Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad
Licenciatura en matemáticas 9° cuatrimestre Programa de la asignatura: Topología General
Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad
Clave: 050930933
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad Índice Unidad 3.Conexidad por trayectorias y compacidad ................................................................... 3 Presentación de la unidad........................................................................................................... 3 Propósitos de la unidad............................................................................................................... 3 Competencia específica .............................................................................................................. 4 3.1. Espacios conexos por trayectorias ....................................................................................... 4 3.1.1.Espacios conexos por trayectorias ................................................................................. 4 3.1.2 Componentes arco-conexas ........................................................................................... 7 Actividad 1. Conexidad por trayectorias .................................................................................... 10 3.2. Aplicaciones de conexidad por trayectorias ....................................................................... 10 3.2.1. Robots y topología ....................................................................................................... 10 Actividad 2. Robots y conexidad ............................................................................................... 13 3.3. Compacidad ....................................................................................................................... 14 3.3.1. Cubiertas abiertas y compacidad ................................................................................. 14 3.3.2. Compacidad en
..................................................................................................... 19
3.3.3. Aplicaciones ................................................................................................................ 19 Actividad 3. Aplicaciones de compacidad y conexidad a funciones reales ................................ 21 Autoevaluación ......................................................................................................................... 21 Evidencia de aprendizaje. Distinguir espacios .......................................................................... 22 Autorreflexiones ........................................................................................................................ 22 Cierre de la unidad.................................................................................................................... 22 Para saber más ........................................................................................................................ 23 Fuentes de consulta.................................................................................................................. 23
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad Unidad 3.Conexidad por trayectorias y compacidad
Presentación de la unidad En las dos unidades anteriores has estudiado los espacios topológicos y las funciones que aparecen naturalmente entre ellos, las funciones continuas. En otras palabras has estudiado los objetos y las funciones de la topología. También pudiste revisar la definición de propiedad topológica y su utilidad para distinguir espacios topológicos, es decir, para clasificarlos. En ésta, la tercera y última unidad del curso, podrás familiarizarte con dos propiedades topológicas: la conexidad por trayectorias, también conocida como arco-conexidad, y la compacidad. De estas dos propiedades, la arco-conexidad es la más sencilla e intuitiva. Se trata, hablando informalmente, del número de pedazos del que está hecho un espacio. Un pedazo de un espacio es un subconjunto en el que un punto del espacio podría viajar libremente. Si un espacio tiene un solo pedazo se dice que es arco-conexo. Si no es arco-conexo, se puede saber de cuantos pedazos está hecho. Para que dos espacios sean homeomorfos es necesario (aunque no suficiente) que estén hechos del mismo número de pedazos. Con la teoría que se desarrolla en la sección 3.1 el problema de clasificar espacios topológicos queda reducido a clasificar los que son arco-conexos. La compacidad es menos intuitiva que la conexidad y también es más difícil de definir. La compacidad es una especie de “finitud”. Si en un espacio compacto se tiene una forma de medir distancias, los elementos del espacio no pueden alejarse mucho, es decir las distancias entre puntos del espacio estarían acotadas. Otra forma de decir esto es que si viviéramos en un espacio compacto y comenzáramos un viaje, no podríamos alejarnos de nuestro lugar de origen tanto como quisiéramos. La diferencia entre un espacio compacto y uno no compacto es la misma que habría entre vivir en un planeta como el nuestro, que es una esfera, y un planeta cuya superficie fuera un plano infinito. En la sección 3.2 se analiza con cuidado este concepto. En esta unidad también podrás enterarte de una aplicación práctica de la conexidad por trayectorias al diseño de rutas para robots móviles en una fábrica. Además, te darás cuenta de que algunos de los teoremas que estudiaste en tus cursos de análisis real y cálculo son en realidad teoremas topológicos.
Propósitos de la unidad Al finalizar el estudio de la unidad tres: Comprenderás la definición de arco-conexidad y de compacidad.
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Distinguirás los espacios topológicos conexos de los no conexos y los compactos de los no compactos. Utilizarás el concepto de arco-conexidad para analizar las rutas de robots móviles. Utilizaras el concepto de compacidad para analizar las propiedades de una función.
Competencia específica Utilizar los conceptos de conexidad por trayectorias y compacidad para distinguir espacios topológicos, mediante el uso y la relación entre las propiedades topológicas de dicho espacio.
3.1. Espacios conexos por trayectorias En esta sección se introduce el concepto de conexidad por trayectorias, una de las dos propiedades topológicas que se mencionaron en la sección anterior. La conexidad por trayectoria es un concepto muy intuitivo y sirve para distinguir espacios topológicos de acuerdo al número de “pedazos” por los que están constituidos.
3.1.1.Espacios conexos por trayectorias Definición 3.1.Sea un espacio topológico y y dos puntos en . Una trayectoria de en es una función continua , tal que ( ) y ( ) . Definición 3.2. Un espacio topológico existe una trayectoria en de , si tal que ( )
a
es conexo por trayectorias si para cualesquiera a . Dicho con símbolos, es conexo por trayectorias ( ) .
Definición 3.3. Un subconjunto de un espacio topológico es conexo por trayectorias en si es conexo por trayectorias utilizando la topología que le hereda . Ejemplos: (i) es conexo por trayectorias . Si entonces una trayectoria que une con en es , dada por ( ) ( ). Observa que la imagen de la función es el segmento que une con . (ii) La bola abierta (y la cerrada) en de radio y centro en es conexa por trayectorias en para todo y . La trayectoria del ejemploi) funciona también para este caso. (iii) No es difícil ver que si “se hace un agujero” a un plano, el espacio resultante es conexo por trayectorias. Es decir * + es conexo por trayectorias para todo . Sean y dos puntos en * +; si no está en el segmento que une con entonces la trayectoria en * + que une con es ( ) ( ); si está en el segmento entre y , se
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad construye una trayectoria que evite a eligiendo un tercer punto que no esté en la línea recta que pasa por y y tomando los dos segmentos que unen con y con ; esta trayectoria está dada por la función
( )
{
(
)
(
)
Se deja como ejercicio verificar que la función es continua. Observa la Ilustración 1 para que tengas una idea geométrica de la función . Se puede hacer la misma construcción para cada lo cual muestra que * +es conexo por trayectorias para cada .
Ilustración 1. El espacio
* +es conexo
El siguiente teorema dice que la imagen de un espacio conexo por trayectorias bajo una función continua es también conexa por trayectorias. Esto implica que la conexidad por trayectorias se preserva bajo homeomorfismos (los homeomorfismos son funciones continuas) y por lo tanto es una propiedad topológica. Teorema 3.4. Sean y dos espacios topológicos. Si trayectorias, entonces ( ) es conexo por trayectorias en .
es continua y
es conexo por
Prueba: Sean y dos puntos en ( ). Sea (* +) y (* +) . Como es conexo por trayectorias, existe una trayectoria , tal que ( ) y ( ) . Entonces es una trayectoria de a . La últimaafirmación se sigue de que la composición de ( ) funciones continuas es una función continua, así que , es continua, ( ) ( ) ( ) y . ( ( )) ( ( )) Este teorema, además de probar que la conexidad por trayectorias es propiedad topológica, nos proporciona una manera sencilla de probar que un espacio es conexo por trayectorias si sabemos que es la imagen de una función continua definida en un dominio conexo por trayectorias. Esto es lo que vemos en los siguientes ejemplos.
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad Ejemplos: El círculo y la esfera son conexos por trayectorias. El círculo es la imagen de bajo la función continua ( ) y la esfera es la imagen de bajo la función continua ( ) ( ). (v) El toro ( ) es conexo por trayectorias porque es la imagen de bajo la función ) ( continua ( ). (vi) Una forma más sencilla (que la del ejemplo (iii)) de probar que el plano agujerado ( *( )+) es conexo por trayectorias es observar que es la imagen de bajo la función continua ( ) ( ). (iv)
No todos los espacios topológicos son conexos por trayectorias, como lo muestran los siguientes ejemplos: Ejemplos: Sea * +. Cualquier trayectoria que una el con el debe pasar por el . Por esto, no es conexo por trayectorias. Tenemos así el primer ejemplo de un espacio que no es conexo por trayectorias y por fin una prueba de que dos espacios no son homeomorfos: no es homeomorfo a porque no es conexo y sí. tampoco es homeomorfo a ninguno de los espacios de los ejemplos (i) – (vi). (viii) Sea la unión de los semiejes positivos de *( ) + y *( ) + (observa la Ilustración 2). no es conexo por trayectorias porque cualquier trayectoria en el plano que una un punto en un semieje con un punto en el otro semieje debe pasar por la recta . Pero no intersecta a esa recta, por lo que no puede haber una trayectoria de ese tipo contenida en . Otra forma de probar que no es conexo es probar que es homeomorfo al conjunto del ejemplo (vii). (vii)
Ilustración 2. El conjunto T
Ya logramos distinguir algunos espacios topológicos de otros usando la conexidad por trayectorias, seguimos sin poder distinguir al círculo de un intervalo, pues ambos son arcoconexos. En la siguiente sub-sección se desarrollan herramientas para hacer más distinciones.
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad 3.1.2 Componentes arco-conexas No todos los espacios son conexos por trayectorias, pero todos los espacios pueden ser divididos en subconjuntos maximales que son conexos por trayectorias. A tales subconjuntos se les conoce como las componentes arco-conexas del espacio. Para definir las componentes arco-conexas se utiliza una relación de equivalencia. Dado un espacio topológico y dos puntos y , en él, decimos que está arco-relacionado con si existe una trayectoria en entre y . Esta relación se denota por . Afirmación.
es una relación de equivalencia.
Prueba: Recuerda que lo que define a una relación de equivalencia es que tenga tres características: que sea reflexiva, simétrica y transitiva. Eso es lo que se mostrará. a) b)
c)
Reflexividad: porque podemos tomar la trayectoria constante , dada por ( ) . Simetría: implica que porque si , es una trayectoria de a , entonces , definida como ( ) ( ) es una trayectoria de a . Transitividad: y implica que porque si es una trayectoria de a y es una trayectoria de a se puede formar una trayectoria de a definida como: ( )
Esta función es continua porque ( ) ( ) tenemos que ( ) y ( ) Por lo tanto,
{
( ) (
( ) y ambas, ( ) .
) y
son continuas. Además
es una relación de equivalencia.
Ejemplo: (ix) Sea la unión de *( ) + y todo el eje . Cada punto en puede ser unido en con el origen ( ). Entonces todos los puntos en están arco-relacionados con el origen y, por transitividad, todos los puntos están arco-relacionados. Por lo tanto es arcoconexo. Como todas las relaciones de equivalencia, divide a en clases de equivalencia, que son subconjuntos disjuntos de elementos relacionados entre sí. Definición: Las clases de equivalencia bajo la relación conexas de .
se llaman las componentes arco-
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad Por supuesto las componentes arco-conexas de un espacio son conexas por trayectorias. No es difícil ver que cualquier subconjunto de conexo por trayectorias es subconjunto de alguna de las componentes arco-conexas de . Es por esto que se dice que las componentes arcoconexas de son los subconjuntos conexos por trayectorias maximales de . Los conjuntos con diferente número de componentes arco-conexas no son homeomorfos. Esto se prueba en el siguiente teorema. Teorema. Los espacios homeomorfos tienen el mismo número de componentes arco-conexas. Prueba: Sea un homeomorfismo y supón que es una trayectoria que une y en . Entonces ( ( )) es una trayectoria que une ( ) con ( ) en . Entonces los puntos que están arco-relacionados en son enviados por a puntos que están relacionados en . Además, si dos puntos no están arco-relacionados en sus imágenes bajo tampoco están arco-relacionadas en , porque si estuvieran querría decir que envía puntos arco-relacionados a puntos que no están arco-relacionados, pero eso no es posible porque también es un homeomorfismo. Por lo tanto, la imagen de una componente de es una componente de y las imágenes de componentes distintas de son componentes distintas de . Esto completa la prueba. , - , El teorema anterior nos sirve para distinguir entre los siguientes espacios: , -y , - , - porque uno tiene tres componentes arco-conexas mientras que el otro solo tiene dos. Además, se observa en la prueba que las componentes son apareadas con sus imágenes bajo el homeomorfismo , por lo que tenemos el siguiente teorema. Teorema. Las componentes arco-conexas de espacios homeomorfos son homeomorfas por parejas. , - , -y , - * +, porque aunque Ahora podemos distinguir entre los espacios * +, ambos tienen dos componentes conexas, que es una de las componentes de , no es homeomorfa a ninguna de las componentes de . El siguiente concepto nos permitirá distinguir el círculo del intervalo: Definición: Sea un espacio arco-conexo. Llamamos a un de si * + tiene componentes arco-conexas. Es decir, si quitando pasamos de un espacio con una componente arco-conexa a otro con componentes arco-conexas. Al punto también se le llama un punto de corte de tipo . Observa que un es un punto que no separa a , por lo que también se le llama un punto no separante.
Ejemplos(ver Ilustración 3):
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad (x) Cada punto del intervalo ( ) es un punto de corte de tipo 2. O lo que es lo mismo, si removemos de ( ) cualquier punto, obtenemos un conjunto con dos componentes arcoconexas. (xi) En el intervalo , - los extremos y son puntos no separantes, puesto que , - * + , ) es un conjunto arco-conexo (lo mismo para , - * +). Todos los demás puntos (los interiores) son puntos de corte de tipo . (xii) El intervalo semi-abierto , ) tiene un , el , y todos los demás puntos son . (xiii) El conjunto del ejemplo (ix) tiene un , el ( ) y todos sus demás puntos son . (xiv) El círculo tiene solamente puntos no separantes o .
Ilustración 3. Cinco conjuntos no homeomorfos
(xv) El conjunto de la Ilustración 4 es arco-conexo y tiene un número infinito de puntos no separantes y exactamente un para cada .
Ilustración 4. Conjunto con n
para cada
Para probar que ninguno de los conjuntos de la Ilustración 3, ejemplos (x) – (xiii), son homeomorfos se utiliza el siguiente teorema: Teorema. Los conjuntos homeomorfos tienen la misma cantidad de para cada . Prueba: Sea un homeomorfismo. Se mostrará que envía cada de a un de . Sea un de . Entonces * + tiene componentes. Como la restricción de un homeomorfismo es un homeomorfismo, * + es * +) homeomorfo a ( * ( )+. Por lo tanto, * +y * ( )+ tienen el mismo número de componentes, lo que nos dice que ( ) es un de . La biyectividad de completa la prueba. Con este teorema finalmente se prueba que un círculo no es homeomorfo a un intervalo.
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad Actividad 1. Conexidad por trayectorias En esta actividad discutirás con tus compañeros sobre la arco-conexidad de un sub-espacio topológico. Instrucciones: 1. Identifica el subconjunto de regla de correspondencia
dado por la imagen de la función (
* +
con
).
2. Ingresa en el foro y responde las siguientes preguntas: a) ¿Es arco-conexo el conjunto
*.
/
+? ¿Por qué?
b) Si respondiste que no es conexo, ¿cuántas componentes arco-conexas tiene ? ¿Cuáles son? 3. Lee las respuestas de tus compañeros. Comenta al menos una de ellas, diciendo si respondió correctamente y por qué. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.
3.2. Aplicaciones de conexidad por trayectorias Los vehículos guiados automáticamente son robots móviles que se usan para transportar materiales de un lugar a otro en las fábricas. Parte del desafío al diseñar y construir una fábrica es hacer rutas para que los robots móviles puedan maniobrar de forma segura y eficiente. Herramientas y conceptos de la topología son naturalmente empleados en el proceso de diseño. En esta sección consideraremos algunos ejemplos simples.
3.2.1. Robots y topología Para modelar robots moviéndose en una fábrica se utilizarán puntos en un espacio topológico que a su vez estará modelando las rutas del robot dentro de la fábrica. Por ejemplo, supón que tienes dos robots y que se mueven en una línea representada por como se muestra en la Ilustración 5. Sea la posición del robot y la posición del robot . El espacio de configuración de los dos robots es el espacio de posiciones que pueden ocupar los robots. Este espacio está dado entonces por dos números que representan las posiciones de cada robot. Con símbolos, el espacio de configuración será: *( + )
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad
Ilustración 5. El espacio de configuración de dos robots que se mueven en una línea es
.
Para prevenir colisiones entre los robots, debemos evitar que los robots ocupen el mismo lugar al mismo tiempo. En nuestro modelo, esto quiere decir que no se permite que . Esta restricción da lugar a otro espacio, llamado espacio de configuraciones seguras para los dos robots. Así, el espacio de configuraciones seguras es: *( + ) Observa que el espacio de configuraciones y el espacio de configuraciones seguras no son iguales. Este último se obtiene del primero quitando las posiciones que representan colisiones entre los robots. Los puntos de colisión son los puntos del conjunto *( ) +. Este conjunto se llama la diagonal del plano y se denota con el símbolo . Entonces, , el plano sin su diagonal (observa la Ilustración 6).
Ilustración 6. El espacio de configuraciones seguras de dos robots en una línea es el plano sin su diagonal.
Nota que no es conexo por trayectorias porque no podemos unir un punto arriba de la diagonal con un punto debajo de ella. ¿Qué significado tiene que el espacio de configuraciones seguras no sea conexo por trayectorias? En un momento lo veremos. Generalizando, supongamos que tienes robots en el espacio (la ruta). Si denotamos con la posición del robot tenemos que el espacio de configuración (espacio de posiciones posibles para los robots) es: + ( ) *( )
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad Y el espacio de configuraciones seguras es ( ) donde
{(
)
}
En este caso estas tomando el producto de copias de y removiendo la diagonal . Como en el caso de los dos robots, removiendo se asegura que los robots no colisionen, porque se excluye la posibilidad de que dos o más robots ocupen la misma posición al mismo tiempo. Lo que es de especial importancia es cómo se pueden mover los robots en el espacio sin chocar. Para modelar esto, utilizarás lo que se conoce como un traslado de los robots en el espacio . Supongamos que los robots están colocados en una posición inicial de modo que el robot está colocado en la posición que denotarás con y queremos que se mueva a la posición final que denotaremos con . Definimos un traslado de los robots de la configuración inicial ( )a la configuración final ( ) como una trayectoria , ( ) tal que ( ) y ( ) . La existencia de esta trayectoria asegura que los robots pueden moverse de la configuración inicial a la final sin colisionar. Dadas dos configuraciones de los robots ( )y ( ), decimos que es alcanzable desde si hay un traslado de los robots de a . Si el espacio de configuraciones seguras es conexo por trayectorias, entonces cualquier configuración es alcanzable desde cualquier otra y en este caso se dice que los robots son libremente trasladables en . Regresando al ejemplo de los dos robots en una línea, el espacio de configuraciones seguras ( ) es y este espacio no es conexo por trayectorias, por lo que los robots no son libremente trasladables en la línea. Esto es intuitivamente claro porque si empiezas con una configuración en la que el robot esté a la izquierda del robot no puedes pasar a una configuración en la que esté a la derecha de sin que choquen los robots. Esta idea intuitiva queda capturada en la estructura topológica del espacio de configuraciones ( ) son los conjuntos seguras. En particular, las componentes arco-conexas de ) ) *( +y *( +, que representan en la Ilustración 6 la parte de encima y debajo de la diagonal respectivamente. El conjunto representa las configuraciones en las que el robot A está a la izquierda del robot B; el conjunto V representa las configuraciones en las que el robot B está a la izquierda del robot A. ( ) de a , se concluye, como lo decía la intuición, que Como no hay trayectorias en ninguna configuración en la que está a la izquierda de es alcanzable desde ninguna configuración en la que está a la derecha de . Sin embargo, como hay una trayectoria entre cualesquiera par de puntos en , se puede decir que cualquier configuración en la que está a
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad la izquierda de es alcanzable desde cualquier otra configuración del mismo tipo por medio de un traslado en , es decir, por medio de un traslado en el que siempre está a la izquierda de . Lo mismo pasa para cualquier par de configuraciones en . En la Ilustración 7se muestran dos traslados de los dos robots de una configuración inicial ( ) a una configuración final ( ) en . Como las configuraciones están en , el robot está a la derecha del robot . En el primer traslado ambos robots se mueven hacia la derecha; como la pendiente del segmento entre ( )y( ) es mayor que uno se puede deducir que el robot se mueve más que el robot , por lo que se alejan entre ellos. En el segundo traslado, los robots se mueven en sentidos opuestos, acercándose entre ellos; este hecho queda representado en la pendiente negativa del segmento entre ( )y( ).
Ilustración 7. Traslados en U.
Actividad 2. Robots y conexidad En esta actividad describirás funciones continuas entre un par de espacios topológicos y dirás si son homeomorfos. Instrucciones: 1. Descarga el documento “Act.2. Robots y conexidad” 2. Sigue las instrucciones que se plantean en el documento descargable. 3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MTGE_U3_A2_XXYZ. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad * Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión
3.3. Compacidad Has estudiado en la sección anterior la propiedad topológica más intuitiva: la conexidad. En esta sección se presenta una segunda propiedad topológica conocida como compacidad. Este concepto no es tan intuitivo como la conexidad. En los conjuntos compactos son los conjuntos cerrados y acotados. Pero en general, en un espacio topológico, los conjuntos compactos no pueden ser descritos de forma tan simple. De hecho, establecer una definición formal de compacidad le tomó a los topólogos bastante tiempo. Se dieron varias definiciones durante el desarrollo de la topología en los primeros años del siglo XX y finalmente se estableció como definición la que se enunciará al inicio de esta sección. A lo largo de esta última sección del curso, se definirá compacidad y se presentarán ejemplos y teoremas sobre el concepto. Se estudiará la compacidad en los espacios euclidianos y al final se presentarán resultados que pueden ser usados para estudiar las funciones de variable real.
3.3.1. Cubiertas abiertas y compacidad Considera los subconjuntos de mostrados en la Ilustración 8 y en la Ilustración 9. Todos ellos con la topología estándar. Nuestra meta en esta sección es establecer qué hace distintas, topológicamente hablando, a las figuras etiquetadas como “compactas” de las etiquetadas como “no compactas”.
Ilustración 8. Conjuntos compactos
Ilustración 9. Conjuntos no compactos
Iniciamos con algunas definiciones que nos permitirán establecer el concepto de compacidad. Definición: Sea A un subconjunto del espacio topológico X y sea subconjuntos de X.
una colección de
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad a) La colección es una cubierta de A o se dice que cubre aA, si A está contenido en la unión de los conjuntos de . b) Si es cubierta de A y cada conjunto en es abierto, se dice que es una cubierta abierta de A. Observa la Ilustración 10. c) Si es una cubierta de A y es una subcolección de que también cubre a A, entonces a se le llama sub-cubierta de .
Ilustración 10. Una cubierta abierta de A Ejemplos: (i) Por la definición de base (sección 1.3 de la unidad 1), sabemos que cualquier base de topología de un espacio topológico es una cubierta abierta de . (ii) Las siguientes dos colecciones de intervalos son cubiertas abiertas de . )( )( ) +y )( )+. a. * ( *( Se puede observar en el último ejemplo que hay cubiertas abiertas con un número infinito de conjuntos y otras con un número finito de conjuntos. Los espacios compactos son aquellos para los que cualquier cubierta abierta con un número infinito de conjuntos puede ser reducida a una sub-cubierta con un número finito de conjuntos. La siguiente es la definición formal. Definición. Un espacio topológico X es compacto si toda cubierta abierta de X tiene una subcubierta finita. Ejemplo. La línea real
con su topología estándar no es compacta porque )( )( ) + * (
Es una cubierta abierta, pero ninguna sub-colección de cubre a . ¿Puedes ver por qué? Cada número entero está cubierto por solo un intervalo en , si quitamos cualquier intervalo de , descubrimos un entero. Observa la Ilustración 11.
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Ilustración 11. Una cubierta abierta de
sin sub-cubiertas finitas
Ejemplo. Sea * + un espacio topológico que consiste de un número finito de elementos. Entonces es compacto porque en cualquier topología de puede haber a lo más un número finito de conjuntos abiertos, y por lo tanto cualquier cubierta abierta será finita. Se extenderá ahora la definición de compacidad para sub-espacios topológicos. Definición. Sea un espacio topológico y un subconjunto de . Se dice que es compacto en si es un espacio compacto con la topología que le hereda . En este caso se dice también que es un sub-espacio compacto de . Equivalente a la anterior definición tenemos la siguiente forma de comprobar si un subespacio de es compacto. Sea , es compacto en si cualquier cubierta de con abiertos de tiene una sub-cubierta finita. * + * Ejemplo. El subconjunto + es compacto en . Para probar esto, sea una cubierta de con subconjuntos abiertos de . Como cubre a , entonces hay al menos un conjunto abierto en que contiene al punto . contiene a casi todos los puntos de (casi todos significa en matemáticas todos excepto un número finito). Sean los puntos que no cubre (observa que puede pasar que cubra a todos los puntos de , pero en ese caso * +será la sub-cubierta finita de ). Para cada hay un elemento de que lo cubre. Entonces, * + es una sub-cubierta de . Por lo tanto es compacto en .
Ilustración 12. El conjunto
Ejemplo. Considera el intervalo ( porque la colección
*.
/
contiene a casi todos los puntos de A
- como subespacio de
. Este espacio no es compacto
+ es una cubierta de (
- con conjuntos abiertos de
que no tiene sub-cubiertas finitas. Para probar esto supón que hay una sub-colección que cubre a (
-. Sea
elementos de
es ⋃
el natural más grande tal que ( ( )
(
)
Por lo tanto, ninguna sub-colección finita de
cubre a (
. Entonces la unión de los (
). Entonces el punto
de
- no está cubierto por
.
-.
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad Igual que con la conexidad, los homeomorfismos preservan la compacidad. De hecho, una función continua también la preserva, como lo muestra el siguiente teorema. Teorema. Sea compacto en .
una función continua y sea
un subespacio compacto de . ( )es
Prueba: Sea una función continua y sea un subespacio compacto de . Para mostrar que ( ) es compacto en considera una cubierta de ( ) con abiertos de . Entonces, como es continua, ( ) es un abierto de para todo . Así que ( ) * + es una cubierta abierta de con abiertos . Como es compacto, hay una ( ) ( ) ( )+, que cubre a . Entonces la sub-colección finita de , digamos * sub-colección * + de cubre a ( ). Por lo tanto, tiene una subcubierta finita, lo cual implica que ( ) es compacto en . De modo que la compacidad es una propiedad topológica. Dos espacios homeomorfos son compactos ambos o ninguno lo es. Un homeomorfismo entre ellos envía cualquier cubierta abierta de uno a una cubierta abierta del otro (¿recuerdas que los homeomorfismos son biyecciones entre los abiertos de un conjunto?). Además, cualquier sub-cubierta finita de será enviada a una sub-cubierta finita de por el homeomorfismo. Ejemplos: Como ni ni ( - son compactos, se sigue que todos los intervalos de la forma -o ( ( )( )( ), ), )( - tampoco lo son. ¿Qué pasa con los intervalos de la forma , -? En la próxima sub-sección se mostrará que esos intervalos sí son compactos con la topología estándar. El siguiente teorema muestra que ser cerrado y ser compacto son propiedades parecidas. Teorema. Sea un espacio topológico y sea un subespacio compacto de . Si subconjunto de que es cerrado en entonces es compacto en .
es un
Prueba: Sea un subespacio compacto del espacio topológico . Supón que es un subconjunto de cerrado en . Sea una cubierta de que consiste de conjuntos abiertos en . El conjunto es abierto en porque es cerrado en . Sea ( ) (observa la Ilustración 13). es una cubierta abierta de porque cubre la parte de que no cubre . Entonces es una cubierta abierta de . Como es compacto, existe una sub-colección finita de que también cubre a . Sea tal sub-colección finita. cubre a porque . Entonces ( ) también cubre a y es una sub-colección de . Esto quiere decir que existe una sub-colección finita de que cubre a , por lo tanto es compacto en .
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad
Ilustración 13. Si se agrega
a un cubierta abierta de
se obtiene una cubierta abierta de
El teorema anterior establece que un subconjunto cerrado de un espacio compacto también es compacto. Sin embargo, la relación inversa no es cierta en general, es decir, hay conjuntos compactos que no son cerrados. Para dar un ejemplo, se necesita un espacio topológico con una topología rara. En el siguiente ejemplo puedes ver además que la compacidad depende de la topología que le demos a un conjunto. Ejemplo. Considera la recta de los números reales con una topología que se conoce como topología del complemento finito. En la topología del complemento finito los conjuntos abiertos son los que tienen complemento finito. Puedes probar fácilmente que los conjuntos de complemento finito en son una topología usando las herramientas de la unidad 1. Al espacio topológico formado por el conjunto y la topología del complemento finito se le denota . Por ejemplo, en este espacio, * + es un conjunto abierto porque su complemento es * +, un conjunto finito; pero el intervalo ( ) no es abierto, porque su complemento ( ) no es finito. En todos los subconjuntos son compactos. Esto se debe a que cualquier abierto de deja sin cubrir solo un número finito de puntos del espacio entero, de modo que en cualquier cubierta de un subconjunto de con abiertos de hay una sub-colección finita que cubre a todo , y por lo tanto a cualquiera de sus subconjuntos. Sin embargo, en no todos los subconjuntos son cerrados. De hecho, ningún subconjunto infinito (excepto mismo) es cerrado, pues su complemento no es abierto. Por lo tanto, en no todos los compactos son cerrados. Como ejemplo fácil, el conjunto de los números enteros es compacto en pero no es cerrado. Ejemplo: También hay conjuntos cerrados que no son compactos. En con la topología estándar, el eje es cerrado pero no es compacto (por ser homeomorfo a con la topología estándar). Entonces, aunque las propiedades de ser cerrado y ser compacto son cercanas, parece difícil decir cuál es la relación exacta que hay entre estas dos propiedades. Sin embargo, cuando los espacios topológicos en los que trabajamos son los euclidianos, se tienen un teorema que caracteriza a los conjuntos compactos como cerrados y acotados. Ese es el tema de la próxima sub-sección.
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad 3.3.2. Compacidad en En los cursos de cálculo o de análisis real, donde se estudian los espacios euclidianos con la métrica estándar (y por lo tanto con la topología estándar), se suele definir a los conjuntos compactos como los que son cerrados y acotados. Observa que esa definición solo vale donde además de una estructura topológica se tiene una estructura métrica, es decir, solo vale para los espacios donde se puede medir, porque ser acotado es un concepto que necesita la noción de distancia. Sin embargo, si el objeto de estudio son los espacios euclidianos, es una gran ventaja tener una caracterización de los espacios compactos en términos de dos características que son más fáciles de verificar: ser cerrado y acotado. Para ello se enuncia el teorema que sustenta tal caracterización y se muestran algunos ejemplos. El siguiente teorema se conoce como el teorema de Heine-Borel y nos da una caracterización completa de los subconjuntos compactos de con su topología estándar. Teorema. Un subconjunto
es compacto si y solo sí es cerrado y acotado.
La prueba de este teorema es muy larga y llena de detalles tediosos por lo que no se incluirá en el texto, pero puede ser revisada en cualquiera de los libros anotados en las Fuentes de consulta. Ejemplos: (i) Vuelve a ver la Ilustración 8 y la Ilustración 9. Usando el teorema de Heine-Borel se puede decir fácilmente por que las figuras de la Ilustración 8 representan subconjuntos compactos de ¿verdad? Todas ellas son figuras cerradas y acotadas. Y a las figuras de la Ilustración 9 les falta alguna de esas dos propiedades, por lo que no son compactas. (ii) El intervalo , - es cerrado (se probó en la unidad 1) y acotado porque está contenido en la bola ( ) de radio 2 y centro en cero en (¿recuerdas la definición de conjunto acotado que se estudio en la sección de propiedades topológicas de la unidad 2?). Por lo tanto el intervalo , - es compacto. (iii) Es círculo unitario en es compacto porque es cerrado y acotado. También puede probarse este hecho diciendo que el círculo es la imagen del intervalo , - bajo la función continua dada por la regla ( ) ( ).
3.3.3. Aplicaciones Ahora estudiaremos algunas aplicaciones de la compacidad a funciones entre espacios euclidianos o entre subconjuntos de ellos.
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad El teorema del máximo y del mínimo, como es conocido en los cursos de cálculo, es un teorema topológico. Es decir, es un teorema que se aplica a funciones reales con dominio compacto. De hecho, su versión usual (la de análisis) es un corolario del siguiente teorema: Teorema (del máximo y mínimo versión general). Sea un espacio compacto y función continua. Entonces alcanza su valor máximo y mínimo en . Es decir, existen tal que ( ) ( ) ( ) para toda . Para probar este teorema se puede hacer uso del siguiente lema: Lema: Sea A un subconjunto compacto de . Entonces existen para toda .
una
tales que
Prueba (del lema): Se probara solamente la existencia del valor máximo , la prueba de que existe el mínimo es similar. Como es compacto es cerrado y acotado en . Entonces A es acotado superiormente y por lo tanto existe una cota superior mínima (axioma del supremo para ). Sea M la cota superior mínima. Se afirma que pertenece al conjunto ; para esto, supón que ; como es cerrado entonces es punto interior del complemento de , o lo que es ) lo mismo, tal que ( . Entonces es también cota superior de que es menor que , lo cual contradice que es la mínima cota superior de . Por lo tanto y es su valor máximo. Prueba (del teorema del máximo y mínimo): Como es compacto y es continua tenemos que ( ) es compacto en . Entonces, por el lema anterior, existen ( ) tales que ( ) para todo ( ) ( ). Como y están en ( ), existen tales que ( ) ( ) y ( ) . Así, tenemos que para todo , ( ) ( ), como se quería probar. El siguiente corolario es el teorema del máximo y mínimo como se estudia usualmente en los cursos de análisis de funciones reales de variable real. Se obtiene inmediatamente de la versión general tomando , -, que es un conjunto compacto de por ser cerrado y acotado. Corolario (teorema del máximo y mínimo en , -). Sea Entonces alcanza su máximo y su mínimo en , -.
,
-
una función continua.
El teorema del máximo y mínimo es la base para un sinnúmero de teoremas y aplicaciones en el área de optimización. Por ejemplo, considera el siguiente problema. Una editorial quiere publicar un nuevo libro de topología que compita con los ya existentes. Han decidido gastar $5,000,000 para el primer tiraje del libro. Esta cantidad debe ser distribuida entre varios aspectos necesarios para la producción del libro (pago al autor, costos de edición, impresión, publicidad, distribución, etc.). Supón que hay de tales aspectos, que se modelarán con variables . La ganancia que obtenga la editorial de esta empresa depende de cómo se reparten los recursos. Por ejemplo, si deciden imprimir el libro en un papel muy caro y con las figuras a color y gastar muy poco en publicidad, van a obtener menor ganancia que si
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad deciden imprimir el libro en un formato estándar y gastar más en publicidad. Se puede modelar la ganancia como una función de las variables . Es natural suponer que es continua. El dominio de está dado por: *( + ) Observa que es un subconjunto cerrado y acotado de y por lo tanto es compacto. El teorema del máximo nos dice que hay una elección de la distribución de gastos para la producción del libro que da como resultado una ganancia máxima. Aunque el teorema no dice cómo repartir los 5,000,000, nos garantiza que existe una elección óptima. Esto es típico de un teorema topológico. En la actividad 3 encontraras otras interesantes aplicaciones de las propiedades de compacidad y conexidad.
Actividad 3. Aplicaciones de compacidad y conexidad a funciones reales En esta actividad resolverás problemas referentes a las diversas aplicaciones de compacidad y conexidad a funciones reales. Para ello: 1. Descarga el documento “Act.3. Aplicaciones de compacidad y conexidad a funciones reales” 2. Sigue las instrucciones que se plantean en el documento descargable. 3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MTGE_U3_A3_XXYZ. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a). * Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión
Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación. Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad Evidencia de aprendizaje. Distinguir espacios topológicos En esta actividad clasificarás espacios topológicos en grupos de espacios topológicamente equivalentes. Utilizando la conexidad y compacidad. Para ello: 1. Descarga el archivo “EA. Distinguir espacios topológicos usando conexidad y compacidad” 2. Sigue las instrucciones que se detallan en el documento descargable. 3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MTOPG_U3_EA_XXYZ. 4. Envía tu documento al Portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia. Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.
Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.
Cierre de la unidad Has llegado al final de la unidad 3 y del curso de topología general. En esta unidad estudiaste a detalle dos propiedades topológicas: la arco-conexidad y la compacidad. Esto te permite distinguir muchos de los espacios topológicos que estudiaste en la unidad uno. La arco-conexidad es una propiedad topológica que distingue el número de componentes de las que está hecho un espacio topológico. Usando esta propiedad se puede distinguir todos los conjuntos finitos dotados con la topología discreta de acuerdo a su número de elementos. También se pueden distinguir espacios como y menos un punto. Haciendo uso de los puntos de corte, concepto asociado a la arco-conexidad, podemos distinguir un círculo de un intervalo. La compacidad es la propiedad que permite distinguir un intervalo abierto de uno cerrado. En los espacios euclidianos puede ser descrita fácilmente como la conjunción de otras dos
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Topología General Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad propiedades que no son topológicas: ser acotado y cerrado. Está propiedad se utiliza mucho en los cursos de análisis y es base para muchos teoremas de optimización. Con la herramienta desarrollada a lo largo del curso estás listo para abordar el estudio de otros temas que podrás consultar en cualquiera de los libros de referencia que aparecen al final del texto. Recuerda consultar con el facilitador si tienes dudas. La autoevaluación de la unidad te servirá para darte cuenta si has comprendido o no los conceptos más importantes de la unidad
Para saber más Puedes encontrar algunos juegos topológicos en la página web de Jeff Weeks: http://www.geometrygames.org/ Puedes consultar las notas de topología básica escritas por A. Hatcher en la página http://www.math.cornell.edu/~hatcher/Top/TopNotes.pdf Puedes consultar el libro de Análisis de Carlos Ivorra.Los primeros dos capítulos son sobre topología. http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Analisis.pdf
Fuentes de consulta Básica: Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall. Huggett, S., Jordan, D. (2009). A Topological Aperitif. London: Springer-Verlag. Kinsey, C. (1993). Topology of surfaces. New York: Springer-Verlag. Complementaria: Munkres, J. R. (2002).Topología. Madrid: Pearson Educación. García-Maynez, A., Tamariz, A. (1998). Topología General. México: Porrúa. Prieto, C.(2003).Topología Básica. México: Fondo de Cultura Económica.
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