Unidad 2 transformadas[5]

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Transformaciones y series Unidad 2. Transformadas Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8° Semestre

Transformaciones y series

Unidad 2. Transformadas

Clave: 05144844

Ciencias Exactas, ingenierías y tecnologías Licenciatura en Matemáticas 1

Transformaciones y series Unidad 2. Transformadas

Índice Unidad 2. Transformadas ................................................................................................ 3 Introducción ..................................................................................................................... 3 Transformada de Fourier................................................................................................. 4 Definición de transformada de Fourier............................................................................ 4 Transformada de Laplace................................................................................................ 6 Definición de transformada de Laplace .......................................................................... 6 Transformada Z................................................................................................................ 7 Definición funciones ortonormales.................................................................................. 7 Series de Fourier .................................................................. ¡Error! Marcador no definido. Definición de serie de Fourier .......................................... ¡Error! Marcador no definido. Cierre de la Unidad .......................................................................................................... 9 Fuentes de consulta ........................................................................................................ 9

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Transformaciones y series Unidad 2. Transformadas Unidad 2. Transformadas

Introducción La palabra “transformada” indica que estamos trabajando con una herramienta para transformar un tipo determinado de problema en otro. Esta propiedad se refleja primordialmente en problemas de ecuación de onda, calor o Laplace que surgen en la naturaleza. Sin embargo, también se pueden utilizar las diversas transformadas para resolver problemas de transmisión de señales digitales.

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Transformaciones y series Unidad 2. Transformadas Transformada de Fourier La transformada de Fourier es Ăştil para simplificar el estudio de la soluciĂłn de cierto tipo de ecuaciones diferenciales, convirtiendo el problema de la soluciĂłn de una ecuaciĂłn diferencial en un problema de soluciĂłn de ecuaciones algebraicas. La transformada de Fourier posee buenas propiedades algebraicas cuando se aplica a las derivadas sucesivas de una seĂąal, o al trasladar la seĂąal. . DefiniciĂłn de transformada de Fourier Sea đ?‘“(đ?‘Ľ) ∈ đ??ż2 (â„?) una funciĂłn dada, definida para todos los valores de đ?‘Ľ, es decir ∞

âˆŤ |đ?‘“(đ?‘Ľ)|2 đ?‘‘đ?‘Ľ < ∞ −∞

Si se multiplica đ?‘“(đ?‘Ľ) por đ?‘’ −đ?‘–đ?œ”đ?‘Ľ y se integra con respecto a đ?‘Ľ de menos infinito a infinito; si la integral resultante existe, serĂĄ una funciĂłn de đ?œ”, digamos ∞

đ??š(đ?œ”) = âˆŤ đ?‘’ −đ?‘–đ?œ”đ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ. −∞

A la funciĂłn F(đ?œ”) se le llama transformada de Fourier de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) y se denota por â„ą{đ?‘“}. Por lo tanto ∞

â„ą{đ?‘“} = â„ą{đ?‘“(đ?‘Ľ)} = âˆŤ đ?‘’ −đ?‘–đ?œ”đ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ. −∞

Ejemplo.- Determine la transformada de Fourier de la funciĂłn 1 si đ?‘Ľ ∈ (−đ?‘‡â „2 , đ?‘‡â „2) đ?‘“(đ?‘Ľ) = { 0 si đ?‘Ľ ∉ (−đ?‘‡â „2 , đ?‘‡â „2) donde đ?‘‡ es una constante positiva. SoluciĂłn: Aplicando la definiciĂłn de transformada de Fourier tenemos Ciencias Exactas, ingenierĂ­as y tecnologĂ­as Licenciatura en MatemĂĄticas 4

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�/2

∞

â„ą{đ?‘“} = âˆŤ đ?‘’

−đ?‘–đ?œ”đ?‘Ľ

đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘’

−∞

−đ?‘–đ?œ”đ?‘Ľ

−đ?‘‡/2

1 −đ?‘–đ?œ”đ?‘Ľ đ?‘‡/2 đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘’ | −đ?‘–đ?œ” −đ?‘‡/2

1 sen(đ?œ”đ?‘‡/2) (đ?‘’ −đ?‘–đ?œ”đ?‘‡/2 − đ?‘’ đ?‘–đ?œ”đ?‘‡/2 ) = đ?‘‡ −đ?‘–đ?œ” đ?œ”đ?‘‡/2 Utilizando la fĂłrmula de Euler đ?‘’ đ?‘–đ?œƒ − đ?‘’ −đ?‘–đ?œƒ sen(đ?œƒ) = 2đ?‘– =

A la funciĂłn original đ?‘“(đ?‘Ľ) se llama transformada inversa de Fourier o inversa de F(đ?œ”) y se simboliza por đ??żâˆ’1 {đ??š}; es decir ∞

1 đ?‘“(đ?‘Ą) = â„ą −1 {â„ą(đ?‘“)} = â„ą −1 {đ??š(đ?œ”)} = âˆŤ đ?‘’ đ?‘–đ?œ”đ?‘Ľ đ??š(đ?œ”) đ?‘‘đ?œ” 2đ?œ‹ −∞

La Trasformada de Fourier, asĂ­ como su inversa cumplen con las siguientes condiciones:

 â„ą{đ?‘Žđ?‘“(đ?‘Ľ) + đ?‘?đ?‘”(đ?‘Ľ)} = đ?‘Žâ„ą{đ?‘“(đ?‘Ľ)} + đ?‘?â„ą{đ?‘”(đ?‘Ľ)}  â„ą{đ?‘“(đ?‘Ľ)} = đ??š(đ?œ”) ⇒ â„ą{đ??š(đ?‘Ľ)} = 2đ?œ‹đ?‘“(−đ?œ”)  â„ą{đ?‘Žđ?‘“(đ?‘Ľ)} =

1 đ?œ” đ??š( ) |đ?‘Ž| đ?‘Ž

Ě…  â„ą{đ?‘“ (đ?‘Ľ)} = đ??šĚ… (−đ?œ”)  â„ą{đ?‘“(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 )} = đ?‘’ −đ?‘–đ?œ”đ?‘Ľ0 đ??š(đ?œ”)  â„ą{đ?‘’ đ?‘–đ?œ”0 đ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ)} = đ??š(đ?œ” − đ?œ”0 ) đ?œ• đ?‘› đ?‘“(đ?‘Ľ) } = (đ?‘–đ?œ”) đ?‘› đ??š(đ?œ”) đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘› đ?œ• đ?‘› đ??š(đ?œ”)  â„ą{(−đ?‘–đ?œ”) đ?‘› đ?‘“(đ?‘Ľ)} = đ?œ•đ?œ” đ?‘›  â„ą {

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Transformada de Laplace La transformada de Laplace es un mĂŠtodo poderoso para resolver las ecuaciones diferenciales que se presentan en las matemĂĄticas. La ventaja de resolver una ecuaciĂłn diferencial mediante transformadas de Laplace es que se pueden considerar las condiciones iniciales sin necesidad de obtener primero la soluciĂłn general y despuĂŠs, a partir de ĂŠsta una soluciĂłn particular.

DefiniciĂłn de transformada de Laplace Sea đ?‘“(đ?‘Ą) una funciĂłn dada, definida para todos los valores positivos đ?‘Ą. Si se multiplica đ?‘“(đ?‘Ą) por đ?‘’ −đ?‘ đ?‘Ą y se integra con respecto a đ?‘Ą de cero a infinito; si la integral resultante existe, serĂĄ una funciĂłn de đ?‘ , digamos ∞

đ??š(đ?‘ ) = âˆŤ đ?‘’ −đ?‘ đ?‘Ą đ?‘“(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą. 0

A la funciĂłn đ??š(đ?‘ ) se le llama transformada de Laplace de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ą) y se denota por â„’{đ?‘“}. Por lo tanto ∞

â„’{đ?‘“} = â„’{đ?‘“(đ?‘Ą)} = âˆŤ đ?‘’ −đ?‘ đ?‘Ą đ?‘“(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą. 0

Ejemplo.- Determine la transformada de Laplace de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ą) = đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Ą cuando đ?‘Ą > 0, donde đ?‘Ž es una constante. SoluciĂłn: Aplicando la definiciĂłn de transformada de Laplace tenemos ∞

â„’{đ?‘’

đ?‘Žđ?‘Ą }

=âˆŤđ?‘’ 0

−đ?‘ đ?‘Ą đ?‘Žđ?‘Ą

đ?‘’

∞ 1 1 −(đ?‘ −đ?‘Ž)đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘’ | = đ?‘Žâˆ’đ?‘ đ?‘ −đ?‘Ž 0

siempre que đ?‘ − đ?‘Ž > 0.

A la funciĂłn original đ?‘“(đ?‘Ą) se llama transformada inversa de Laplace o inversa de đ??š(đ?‘ ) y se simboliza por â„’ −1 {đ??š}; es decir Ciencias Exactas, ingenierĂ­as y tecnologĂ­as Licenciatura en MatemĂĄticas 6

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đ?‘“(đ?‘Ą) = â„’ −1 {đ??š} La transformada de Laplace posee varias propiedades generales mediantes las cuales se pueden obtener las transformadas de muchas funciones de manera muy sencilla.

 â„’{đ?‘Žđ?‘“(đ?‘Ą) + đ?‘?đ?‘”(đ?‘Ą)} = đ?‘Žâ„’{đ?‘“(đ?‘Ą)} + đ?‘?â„’{đ?‘”(đ?‘Ą)}  â„’{đ?‘“(đ?‘Ą)} = đ??š(đ?‘ ) ⇒ â„’{đ?‘’ đ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ą)} = đ??š(đ?‘ − đ?‘Ž)  â„’{đ?‘Ą đ?‘› đ?‘“(đ?‘Ą)} = (−1)đ?‘› đ??š đ?‘› (đ?‘ ) đ?‘›

 â„’{đ?‘“ (đ?‘›) (đ?‘Ą)} = đ?‘ đ?‘› â„’{đ?‘“(đ?‘Ą)} − ∑ đ?‘ đ?‘›âˆ’đ?‘– đ?‘“ (đ?‘–−1) (0) đ?‘–=1 đ?‘Ą

 â„’ {âˆŤ đ?‘“(đ?œ?)đ?‘‘đ?œ?} = 0

1 â„’{đ?‘“(đ?‘Ą)} đ?‘

Transformada Z La transformada de Fourier tiene una importancia fundamental en la representaciĂłn y anĂĄlisis de seĂąales y sistemas discretos. Una generalizaciĂłn de ella es la transformada Z. El principal motivo para utilizar la transformada Z es que la transformada de Fourier no converge para todas las sucesiones; lo que hace necesario plantear una transformaciĂłn que cubra una mĂĄs amplia gama de seĂąales.

DefiniciĂłn de transformada Z Supongamos que đ?‘“(đ?‘Ą) es una funciĂłn continua, sabemos que đ?‘“(đ?‘›đ?‘Ą) = đ?‘“(đ?‘Ą)đ?›ż(đ?‘Ą − đ?‘Ąđ?‘› ) = đ?‘“(đ?‘Ąđ?‘› )đ?›ż(đ?‘Ą − đ?‘Ąđ?‘› )

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Transformaciones y series Unidad 2. Transformadas donde đ?‘Ąđ?‘› es el tiempo discreto y đ?›ż es la funciĂłn delta de Dirac. Si suponemos que đ?‘Ąđ?‘› = đ?‘›đ?‘‡ donde đ?‘‡ es el periodo de mediciĂłn de la seĂąal, si sumamos sobre todo đ?‘› ∈ â„•, definimos ∞

∞

đ?‘“ ∗ (đ?‘Ľ) = ∑ đ?‘“(đ?‘›đ?‘‡) đ?›ż(đ?‘Ą − đ?‘›đ?‘‡) = đ?‘“(đ?‘Ą) ∑ đ?›ż(đ?‘Ą − đ?‘›đ?‘‡). đ?‘›=0

đ?‘›=0

Tomando la transformada de Laplace tenemos ∞

∞

â„’{đ?‘“ ∗ (đ?‘Ľ)} = ∑ đ?‘“(đ?‘›đ?‘‡) â„’{đ?‘“(đ?‘Ą − đ?‘›đ?‘‡)} = ∑ đ?‘“(đ?‘›đ?‘‡) đ?‘’ −đ?‘ đ?‘›đ?‘‡ . đ?‘›=0

đ?‘›=0

Sea đ?‘§ = đ?‘’ đ?‘ đ?‘‡ ∈ â„‚, se define la transformada đ?‘?Z de la funciĂłn discreta đ?‘“(đ?‘›đ?‘‡) como ∞

đ?’ľ{đ?‘“(đ?‘›đ?‘‡)} = đ??š(đ?‘§) = â„’{đ?‘“

∗ (đ?‘Ľ)}

= ∑ đ?‘“(đ?‘›đ?‘‡) đ?‘§ −đ?‘› đ?‘›=0

Ejemplo.- Encuentre la transformada đ?‘? de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘›) = đ?‘Žđ?‘› para đ?‘› ≼ 0. SoluciĂłn: ∞

∞

đ?‘Ž đ?‘› 1 đ?‘§ đ?’ľ{đ?‘Žđ?‘› } = ∑ đ?‘Žđ?‘› đ?‘§ −đ?‘› = ∑ ( ) = = đ?‘Ž đ?‘§ 1−đ?‘§ đ?‘§âˆ’đ?‘Ž đ?‘›=0 đ?‘›=0 đ?‘Ž

siempre que |đ?‘§ | < 1. Por lo tanto đ?‘§ đ?’ľ{đ?‘Žđ?‘› } = siempre que |đ?‘§| > |đ?‘Ž| đ?‘§âˆ’đ?‘Ž

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Transformaciones y series Unidad 2. Transformadas Cierre de la Unidad En esta unidad se pretende que obtengas las herramientas adecuadas para resolver los problemas de ecuación de onda y calor que se plantearán en la unidad 3.

Fuentes de consulta [1] Kreyszig, E. Matemáticas avanzadas para la ingeniería Vol. II, Mexico, 1967. [2] Piskunov, N. Calculo integral e diferencial Vol. II, Mexico, 1970.

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