Unidad 3 transformadas en calor y ondas[1]

Transformaciones y series Unidad 3. Transformadas en calor y ondas Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8° Semestre

Transformaciones y series

Unidad 3. Transformadas en calor y ondas

Clave: 05144844

Ciencias Exactas, ingenierías y tecnologías Licenciatura en Matemáticas 1

Transformaciones y series Unidad 3. Transformadas en calor y ondas

Índice Unidad 3. Transformadas en calor y ondas ................................................................... 3 Introducción ..................................................................................................................... 3 El problema de Sturm-Liouville ...................................................................................... 4 Definición de ecuación de Sturm-Liouville ...................................................................... 4 Ecuación de calor ............................................................................................................ 5 Definición de ecuación de calor ...................................................................................... 5 Ecuación de onda ............................................................................................................ 7 Definición de ecuación de onda...................................................................................... 8 Cierre de la Unidad ........................................................................................................ 11 Fuentes de consulta ...................................................................................................... 11

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Transformaciones y series Unidad 3. Transformadas en calor y ondas Unidad 3. Transformadas en calor y ondas

Introducción En la física matemática existen diversas ecuaciones fundamentales como la ecuación de onda, ecuación de calor y ecuación de Laplace. La solución de estas ecuaciones diferenciales no resulta sencillo, muchas veces resulta indispensable utilizar condiciones de frontera para encontrar alguna solución. Es aquí donde se pueden emplear las diversas transformadas para resolver dichas ecuaciones.

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Transformaciones y series Unidad 3. Transformadas en calor y ondas El problema de Sturm-Liouville Uno de los problemas matemĂĄticos mĂĄs extendidos en fĂ­sica es el de encontrar soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales de segundo orden con condiciones de contorno referidas a los extremos de un intervalo (o en la superficie de un volumen), este problema, conocido como problema de Sturm-Liouville.

DefiniciĂłn de ecuaciĂłn de Sturm-Liouville Varios conjuntos ortogonales de funciones de importancia se encuentran como soluciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden de la forma [đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)đ?‘Ś ′ ]′ + [đ?‘ž(đ?‘Ľ) + đ?œ†đ?‘?(đ?‘Ľ)]đ?‘Ś = 0 Esta ecuaciĂłn se conoce con el nombre de ecuaciĂłn de Sturm-Liouville, algunas ecuaciones como la ecuaciĂłn de Legendre, la ecuaciĂłn de Bessel y otras importantes pueden escribirse de esta forma.

En algĂşn intervalo đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘?, a las ecuaciones de la forma đ?‘˜1 đ?‘Ś + đ?‘˜2 đ?‘Ś ′ = 0 en đ?‘Ľ = đ?‘Ž đ?‘™1 đ?‘Ś + đ?‘™2 đ?‘Ś ′ = 0 en đ?‘Ľ = đ?‘?; se les da el nombre de condiciones frontera. AquĂ­ đ?œ† es un parĂĄmetro real y đ?‘˜1 , đ?‘˜2 , đ?‘™1 , đ?‘™2 son constantes reales dadas, de las cuales por lo menos una es diferente de cero en cada ecuaciĂłn.

Por supuesto que este problema tiene la soluciĂłn trivial đ?‘Ś = 0 para cualquier valor del parĂĄmetro đ?œ†. Las soluciones đ?‘Ś ≠0 se llaman funciones caracterĂ­sticas o eigenfunciones del problema y los valores de đ?œ† para los cuales existen esas soluciones se llaman valores caracterĂ­sticos o eigenvalores del problema.

Ejemplo.- Encuentre los eigenvalores y las eigenfunciones del problema de Sturm-Liouville đ?œ†â€˛â€˛ + đ?œ†đ?‘Ś = 0 con las condiciones de frontera đ?‘Ś = 0 y đ?‘Ś(đ?œ‹) = 0 SoluciĂłn: Para el valor negativo đ?œ† = −đ?œˆ 2 la soluciĂłn general de la ecuaciĂłn es đ?‘Ś(đ?‘Ľ) = đ?‘?1 đ?‘’ đ?œˆđ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘’ −đ?œˆđ?‘Ľ .

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Por las condiciones de frontera đ?‘?1 = đ?‘?2 = 0 y đ?‘Ś = 0, lo cual no es una eigenfunciĂłn. Para đ?œ† = 0 la situaciĂłn es semejante. Para el valor positivo đ?œ† = đ?œˆ 2 la soluciĂłn general es đ?‘Ś(đ?‘Ľ) = đ??´ cos đ?œˆđ?‘Ľ + đ??ľ sen đ?œˆđ?‘Ľ.

A partir de las condiciones a la frontera se obtiene đ?‘Ś(0) = đ??´ = 0 y asĂ­, đ?‘Ś(đ?œ‹) = đ??ľ sen đ?œˆđ?œ‹ = 0 para toda đ?œˆ = 0, Âą1, Âą2, ‌ . Si đ?œˆ = 0 se tiene đ?‘Ś = 0, para đ?œ† = đ?œˆ 2 = 1, 4, 9, 16, â‹Ż, tomando đ??ľ = 1, se obtiene đ?‘Ś(đ?‘Ľ) = sen đ?œˆđ?‘Ľ.

Para toda đ?œˆ = 0, Âą1, Âą2, ‌ . sen đ?œˆđ?‘Ľ son las eigenfunciones del problema y đ?œ† = đ?œˆ 2 son los eigenvalores.

EcuaciĂłn de calor La necesidad de resolver la ecuaciĂłn de calor resulta del estudio de propagaciĂłn de calor, filtraciĂłn de lĂ­quidos y gas en medios porosos como por ejemplo filtraciones de petrĂłleo y gas en el subsuelo.

DefiniciĂłn de ecuaciĂłn de calor La ecuaciĂłn de calor unidimensional se define como đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) đ?œ• 2 đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ?‘Ž2 , đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ 2 A esta ecuaciĂłn se le pueden poner diversas condiciones dependiendo el problema que se quiera resolver. Por ejemplo si se busca modelar la dispersiĂłn de calor en una barra aislada de longitud đ?œ‹ se utilizan con las condiciones de contorno

đ?‘˘(0, đ?‘Ą) = đ?‘˘(đ?œ‹, đ?‘Ą) = 0 y la condiciĂłn inicial đ?‘˘(đ?‘Ľ, 0) = đ?‘“(đ?‘Ľ).

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Para resolver este problema se puede usar el mĂŠtodo de separaciĂłn de variables đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ?‘‹(đ?‘Ľ)đ?‘‡(đ?‘Ą), đ?‘‹(đ?‘Ľ) ≢ 0, đ?‘‡(đ?‘Ą) ≢ 0 al sustituir en la ecuaciĂłn original nos da đ?‘‹(đ?‘Ľ)đ?‘‡ ′ (đ?‘Ą) = đ?‘Ž2 đ?‘‹ ′′ (đ?‘Ľ)đ?‘‡(đ?‘Ą) đ?‘‹ ′′ (đ?‘Ľ) 1 đ?‘‡ ′ (đ?‘Ą) = 2 = −đ?œ† đ?‘‹(đ?‘Ľ) đ?‘Ž đ?‘‡(đ?‘Ą) donde đ?œ† ∈ â„?, es decir, tenemos las ecuaciones đ?‘‹ ′′(đ?‘Ľ) + đ?œ†đ?‘‹(đ?‘Ľ) = 0

đ?‘‹(0) = đ?‘‹(đ?œ‹) = 0

y đ?‘‡ ′ (đ?‘Ą) + đ?‘Ž2 đ?œ†đ?‘‡(đ?‘Ą) = 0.

La soluciĂłn general de la ecuaciĂłn đ?‘‹ ′′(đ?‘Ľ) + đ?œ†đ?‘‹(đ?‘Ľ) = 0 depende del valor de đ?œ† Es fĂĄcil comprobar que solamente se tienen soluciones no nulas si đ?œ† > 0. En ese caso la soluciĂłn general es đ?‘‹(đ?‘Ľ) = đ?›ź cos √đ?œ† đ?‘Ľ + đ?›˝ sin √đ?œ† đ?‘Ľ.

Que junto con las condiciones de contorno para đ?‘‹ nos dan las soluciones đ?œ† ≔ đ?œ†đ?‘› = đ?‘› 2 .

�� (�) = sen �� , En este caso para � obtenemos

đ?‘‡ ′ (đ?‘Ą) + đ?‘Ž2 đ?‘›2 đ?‘‡(đ?‘Ą) = 0, luego đ?‘‡đ?‘› (đ?‘Ą) = đ?‘’ −đ?‘Ž

2 đ?‘›2 đ?‘Ą

y por tanto una soluciĂłn ecuaciĂłn de calor con las condiciones de contorno serĂĄ đ?‘˘đ?‘› (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ??´đ?‘› đ?‘’ −đ?‘Ž

2 đ?‘›2 đ?‘Ą

đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľ

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Transformaciones y series Unidad 3. Transformadas en calor y ondas Como la ecuaciĂłn del calor es lineal y homogĂŠnea entonces su soluciĂłn general serĂĄ de la forma ∞

∞

đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = ∑ đ?‘˘đ?‘› (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = ∑ đ??´đ?‘› đ?‘’ −đ?‘Ž đ?‘›=1

2 đ?‘›2 đ?‘Ą

đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľ

đ?‘›=1

Para encontrar los coeficientes indeterminados đ??´đ?‘› supondremos que đ?‘“ es casicontinuamente derivable en [0, đ?œ‹]) y vamos a extenderla a todo el intervalo [−đ?œ‹, đ?œ‹] de forma impar, es decir de forma que đ?‘“ sea una funciĂłn impar. Entonces podemos desarrollar en serie de Fourier a đ?‘“ y usamos las condiciones iniciales obtenemos ∞

đ?‘˘(đ?‘Ľ, 0) = đ?‘“(đ?‘Ľ) = ∑ đ??´đ?‘› đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľ , đ?‘›=1

donde đ?œ‹

2 đ??´đ?‘› = âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ. đ?œ‹ 0

Ejemplo. Determine la solución de la ecuación de calor unidimensional la distribución inicial de la temperatura es uniforme, es decir, �(�) = �0 .

SoluciĂłn: Entonces, utilizando la soluciĂłn general tenemos đ??ľđ?‘› = 0 y đ?œ‹

2 2đ?‘‡0 (1 + (−1)đ?‘›+1 ) đ??´đ?‘› = âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?œ‹ đ?œ‹đ?‘› 0

para todo đ?‘› ∈ â„•. AsĂ­ que la soluciĂłn es ∞

4đ?‘‡0 1 2 2 đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = ∑ đ?‘’ −đ?‘Ž (2đ?‘›âˆ’1) đ?‘Ą đ?‘ đ?‘’đ?‘› (2đ?‘› − 1) đ?‘Ľ. đ?œ‹ 2đ?‘› − 1 đ?‘›=1

EcuaciĂłn de onda Ciencias Exactas, ingenierĂ­as y tecnologĂ­as Licenciatura en MatemĂĄticas 7

Transformaciones y series Unidad 3. Transformadas en calor y ondas Las ecuaciones de ondas describen fenĂłmenos ondulatorios: propagaciĂłn del sonido, propagaciĂłn de ondas electromagnĂŠticas, vibraciĂłn de cuerdas, barras y membranas, vibraciones producidas por terremotos, oscilaciones de pĂŠndulos y muelles, movimiento de ondas en un estanque.

DefiniciĂłn de ecuaciĂłn de onda La ecuaciĂłn de onda unidimensional se define como đ?œ•2 đ?œ•2 2 đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ?‘Ž đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą). đ?œ•đ?‘Ą 2 đ?œ•đ?‘Ą 2 A esta ecuaciĂłn se le pueden poner diversas condiciones dependiendo el problema que se quiera resolver. Por ejemplo si se busca modelar el sonido unidimensional se utilizan con las condiciones de contorno đ?‘˘(0, đ?‘Ą) = đ?‘˘(đ?œ‹, đ?‘Ą) = 0 y las condiciones iniciales đ?‘˘(đ?‘Ľ, 0) = đ?‘“(đ?‘Ľ) 2

đ?œ• đ?‘˘(đ?‘Ľ, 0) = đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?œ•đ?‘Ą 2 Para resolver este problema se puede usa el mĂŠtodo de separaciĂłn de variables đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ?‘‹(đ?‘Ľ)đ?‘‡(đ?‘Ą),

�(�) ≢ 0 , �(�) ≢ 0

al sustituir en la ecuaciĂłn de onda nos da đ?‘‹(đ?‘Ľ)đ?‘‡ ′′ (đ?‘Ą) = đ?‘Ž2 đ?‘‹ ′′ (đ?‘Ľ)đ?‘‡(đ?‘Ą) đ?‘‹ ′′ (đ?‘Ľ) 1 đ?‘‡ ′′ (đ?‘Ą) = 2 = −đ?œ† đ?‘‹(đ?‘Ľ) đ?‘Ž đ?‘‡(đ?‘Ą) donde đ?œ† ∈ â„?, es decir, se tienen las ecuaciones đ?‘‹ ′′ (đ?‘Ľ) + đ?œ†đ?‘‹(đ?‘Ľ) = 0,

đ?‘‹(0) = đ?‘‹(đ?œ‹) = 0

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Transformaciones y series Unidad 3. Transformadas en calor y ondas đ?‘‡ ′′ (đ?‘Ą) + đ?‘Ž2 đ?œ†đ?‘‡(đ?‘Ą) = 0.

Por sencillez se puede suponer đ?‘Ž = 1. La soluciĂłn general de ecuaciĂłn đ?‘‹ ′′ (đ?‘Ľ) + đ?œ†đ?‘‹(đ?‘Ľ) = 0 depende del valor de đ?œ† Es fĂĄcil comprobar que solamente se tienen soluciones no nulas si đ?œ† > 0. En ese caso la soluciĂłn general es đ?‘‹(đ?‘Ľ) = đ?›ź cos √đ?œ† đ?‘Ľ + đ?›˝ sin √đ?œ† đ?‘Ľ que junto con las condiciones de contorno para đ?‘‹ nos dan las soluciones đ?œ† ≔ đ?œ†đ?‘› = đ?‘› 2 .

�� (�) = sen ��, En este caso para � se obtiene (� = 1)

đ?‘‡ ′′ (đ?‘Ą) + đ?‘›2 đ?‘‡(đ?‘Ą) = 0, luego đ?‘‡đ?‘› (đ?‘Ą) = đ??´đ?‘› cos đ?‘›đ?‘Ą + đ??ľđ?‘› đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ą, y por tanto una soluciĂłn de ecuaciĂłn con las condiciones de contorno que se plantearon serĂĄ đ?‘˘đ?‘› (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = (đ??´đ?‘› cos đ?‘›đ?‘Ą + đ??ľđ?‘› đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ą )đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľ.

Como la ecuaciĂłn de onda es lineal y homogĂŠnea entonces su soluciĂłn general serĂĄ de la forma ∞

∞

đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = ∑ đ?‘˘đ?‘› (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = ∑(đ??´đ?‘› cos đ?‘›đ?‘Ą + đ??ľđ?‘› đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ą )đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľ . đ?‘›=1

đ?‘›=1

Para encontrar los coeficientes indeterminados đ??´đ?‘› y đ??ľđ?‘› supondremos que đ?‘“ y đ?‘” son casi-continuamente derivables en [0, đ?œ‹] para extenderlas a todo el intervalo [−đ?œ‹, đ?œ‹] de forma impar, es decir de forma que đ?‘“ y đ?‘” sean funciones impares. Entonces podemos desarrollar en serie de Fourier ambas funciones y ademĂĄs las correspondientes series son absoluta y uniformemente convergentes. Ahora aplicando las condiciones iniciales obtenemos

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Transformaciones y series Unidad 3. Transformadas en calor y ondas ∞

đ?‘˘(đ?‘Ľ, 0) = đ?‘“(đ?‘Ľ) = ∑ đ??´đ?‘› đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘›=1 ∞

đ?œ• đ?‘˘(đ?‘Ľ, 0) = đ?‘”(đ?‘Ľ) = ∑ đ?‘› đ??ľđ?‘› đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ą đ?‘›=1

donde đ?œ‹

2 đ??´đ?‘› = âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ, đ?œ‹ 0

đ?œ‹

2 đ??ľđ?‘› = âˆŤ đ?‘”(đ?‘Ľ)đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ. đ?‘›đ?œ‹ 0

Ejemplo. Determine la soluciĂłn de la ecuaciĂłn de onda del perfil inicial de una cuerda estĂĄ dada por la funciĂłn đ??´đ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ) = { đ?‘Ž đ??´(đ?œ‹ − đ?‘Ľ) đ?œ‹âˆ’đ?‘Ž

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ?‘Ž đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?œ‹,

Que inicialmente estĂĄ en reposo, es decir, đ?‘”(đ?‘Ľ) = 0.

SoluciĂłn: Entonces usando la formula general de la soluciĂłn de ecuaciĂłn de onda visto tenemos đ??ľđ?‘› = 0 y đ?œ‹

2 2đ??´ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Žđ?‘› đ??´đ?‘› = âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 2 đ?œ‹ đ?‘Žđ?‘› (đ?œ‹ − đ?‘Ž) 0

Para todo đ?‘› ∈ â„• y por lo tanto la soluciĂłn es ∞

8đ?›ź 1 đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = ∑ cos(2đ?‘› − 1)đ?‘›đ?‘Ą đ?‘ đ?‘’đ?‘› (2đ?‘› − 1) đ?‘Ľ.

(2đ?‘› − 1)3 đ?œ‹ đ?‘›=1

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Transformaciones y series Unidad 3. Transformadas en calor y ondas Cierre de la Unidad En esta unidad se pretende que tengas en cuenta las posibles aplicaciones de las series de Fourier, así mismo, la aplicación de las transformadas de Laplace, Fourier y Z en la solución de problemas de la física matemática.

Fuentes de consulta [1] Álvarez, R. Aplicaciones de las series de fourier, Sevilla, 2007.

[2] Kreyszig, E. Matemáticas avanzadas para la ingeniería Vol. II, Mexico, 1967.

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