Unidad1 espacios vectoriales y matrices

ℝ𝒏

𝑭(𝑽, 𝑾) 𝑽

𝑾

Figura 1. Sistema de ecuaciones en el plano

•







Ω

→

→

←

→

→

→

→

→

←

→

→

←

←

→

→

→

→

→

11𝐼1 − 3𝐼2 = 30 −3𝐼1 + 6𝐼2 − 𝐼3 = 5 −𝐼2 + 3𝐼3 = −25.

.

FĂ­gura 2. Papiro de Rhind

3� + 2� + � = 39 2� + 3� + � = 34 � + 2� + 3� = 26.

Figura 3. AnĂĄlisis diofĂĄntico

Figura 4. Matriz en un plano

𝐼1 − 𝐼3 = 30 3𝐼1 + 5𝐼2 + 2𝐼3 = 5 4𝐼1 + 7𝐼2 + 3𝐼3 = −25.

𝐼1 − 𝐼3 = 30 3𝐼1 + 5𝐼2 + 2𝐼3 = 5 4𝐼1 + 7𝐼2 + 3𝐼3 = 1.

ℝ𝒏

(𝑎, 𝑏) (𝑎, 𝑏, 𝑐)

(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 )

𝑛

ℝ𝑛

ℝ2

ℝ3

ℝ𝑛

(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) = (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 )

𝑎1 = 𝑏1 , 𝑎2 = 𝑏2 , … , 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 .

(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 )

(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) + (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ) = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ).

𝑟

𝑟

(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) 𝑟

𝑟 ∙ (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) = (𝑟 ∙ 𝑎1 , 𝑟 ∙ 𝑎2 , … , 𝑟 ∙ 𝑎𝑛 ). ℝ𝑛

((𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) + (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 )) + (𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 ) = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) + ((𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ) + (𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 )).

(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) + (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ) = (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ) + (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ).

(0, 0, … ,0)

(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) + (0, 0, … ,0) (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ).

(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) (−𝑎1 , −𝑎2 , … , −𝑎𝑛 ) (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 )

(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) + (−𝑎1 , −𝑎2 , … , −𝑎𝑛 ) = (0, 0, … ,0).

𝑟 ∙ ((𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) + (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 )) = 𝑟 ∙ (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) + 𝑟 ∙ (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ) (𝑟 + 𝑠) ∙ (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) = 𝑟 ∙ (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) + 𝑠 ∙ (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 )

(𝑟𝑠) ∙ (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 )).

1 ∙ (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ).

(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) + (−𝑎1 , −𝑎2 , … , −𝑎𝑛 ) = (𝑎1 + (−𝑎1 ), 𝑎2 + (−𝑎2 ), … , 𝑎𝑛 + (−𝑎𝑛 )) = (0, 0, … ,0).

𝑎 + (−𝑎) = 0

ℝ𝑛 3×3

4×3

3×4

1 𝑎) (0 0

0 0 1 0) 0 1

1 3 −2 𝑏) ( 0 1 4 ) 2 0 1 −5 0 0

𝑚

1 𝑐) (3 3

5 3 1 0 0 0

𝑛

𝑚×𝑛

𝑖

𝑎𝑖𝑗 𝑎11 𝑎21 ( ⋮ 𝑎𝑚1

−2 0).

1

𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2

… 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋱ ⋮ ) ⋯ 𝑎𝑚𝑛

𝑎𝑖𝑗 𝑨 = (𝑎𝑖𝑗 )

ℝ𝑛

ℳ(𝑚, 𝑛)

𝑗

ℝ𝑛

1∈ℝ

𝟎 𝑨

𝑨 = (𝑎𝑖𝑗 ) 𝑩 = (𝑏𝑖𝑗 )

–𝑨

𝑪 = (𝑐𝑖𝑗 )

𝑚×𝑛

𝑟, 𝑠 ∈ ℝ

(𝑨 + 𝑩) + 𝑪 = 𝑨 + (𝑩 + 𝑪) 𝑨+𝑩= 𝑩+𝑨 𝑨+𝟎=𝑨 𝑨 + (−𝑨) = 𝟎 𝑟 ∙ (𝑨 + 𝑩) = 𝑟 ∙ 𝑨 + 𝑟 ∙ 𝑩

(𝑟 + 𝑠) ∙ 𝑨 = 𝑟 ∙ 𝑨 + 𝑠 ∙ 𝑨

(𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝑨 = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝑨) 1 ∙ 𝑨 = 𝑨.

𝑟 ∙ (𝑨 + 𝑩) = 𝑟 ∙ 𝑨 + 𝑟 ∙ 𝑩

𝑟 ∙ (𝑨 + 𝑩)

=

𝑟 ∙ ((𝑎𝑖𝑗 ) + (𝑏𝑖𝑗 ))

=

𝑟 ∙ (𝑎𝑖𝑗 +𝑏𝑖𝑗 )

=

(𝑟 (𝑎𝑖𝑗 +𝑏𝑖𝑗 ))

=

(𝑟𝑎𝑖𝑗 +𝑟𝑏𝑖𝑗 )

= =

(𝑟𝑎𝑖𝑗 ) + (𝑟𝑏𝑖𝑗 ) 𝑟 ∙ 𝑨 + 𝑟 ∙ 𝑩.

𝑓: ℝ → ℝ

𝑓, 𝑔

𝑓

𝑔

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

ℱ(ℝ)

𝑥∈ℝ

𝑓 + 𝑔: ℝ → ℝ (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥).

𝑟

𝑓

𝑟∙

𝑓: ℝ → ℝ (𝑟 ∙ 𝑓)(𝑥) = 𝑟 ∙ 𝑓(𝑥).

𝑟 𝑓(𝑥)

ℝ𝑛

1∈ℝ

𝑓(𝑥) = 0 𝟎

𝟎(𝑥) = 0

𝑥 −𝑓: ℝ → ℝ

(−𝑓)(𝑥) = −(𝑓(𝑥))

= = =

𝑓(𝑥) + (−𝑓)(𝑥) 𝑓(𝑥) − (𝑓(𝑥)) 0 𝟎(𝑥)

𝑓 + (−𝑓) = 𝟎

𝑓: ℝ → ℝ 𝑔: ℝ → ℝ ℎ: ℝ → ℝ

(𝑓 + 𝑔) + ℎ = 𝑓 + (𝑔 + ℎ) 𝑓+𝑔 =𝑔+𝑓 𝑓+𝟎=𝑓 𝑓 + (−𝑓) = 𝟎 𝑟 ∙ (𝑓 + 𝑔) = 𝑟 ∙ 𝑓 + 𝑟 ∙ 𝑔 (𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝑓 = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝑓) 1 ∙ 𝑓 = 𝑓.

𝑥

𝑓

(𝑓 + (−𝑓))(𝑥) =

𝑥

𝑥

(𝑟 + 𝑠) ∙ 𝑓 = 𝑟 ∙ 𝑓 + 𝑠 ∙ 𝑓

𝑟, 𝑠 ∈ ℝ

𝑭(𝑽, 𝑾) 𝑽 𝑾

𝑓: 𝑉 → 𝑊 𝐹(𝑉, 𝑊) 𝑓, 𝑔 𝑓(𝑣) = 𝑔(𝑣)

𝑣∈𝑉

𝑓

𝑔

𝑓 + 𝑔: 𝑉 → 𝑊

(𝑓 + 𝑔)(𝑣) = 𝑓(𝑣) + 𝑔(𝑣).

𝑟

𝑓

𝑟∙

𝑓: 𝑉 → 𝑊

(𝑟 ∙ 𝑓)(𝑣) = 𝑟 ∙ 𝑓(𝑣).

𝑟 𝑓(𝑣)

ℱ(ℝ)

1∈ℝ

𝟎 de 𝑊

𝑓(𝑣) = 0

𝟎

𝑣

𝟎(𝑣) = 0

𝑣

𝑣

𝑓 (−𝑓)(𝑣) = −(𝑓(𝑣))

−𝑓: ℝ → ℝ

𝑓: 𝑉 → 𝑊 𝑔: 𝑉 → 𝑊 ℎ: 𝑉 → 𝑊

𝑟, 𝑠 ∈ ℝ

(𝑓 + 𝑔) + ℎ = 𝑓 + (𝑔 + ℎ) 𝑓+𝑔 =𝑔+𝑓 𝑓+𝟎=𝑓 𝑓 + (−𝑓) = 𝟎 𝑟 ∙ (𝑓 + 𝑔) = 𝑟 ∙ 𝑓 + 𝑟 ∙ 𝑔

(𝑟 + 𝑠) ∙ 𝑓 = 𝑟 ∙ 𝑓 + 𝑠 ∙ 𝑓

(𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝑓 = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝑓) 1 ∙ 𝑓 = 𝑓.

𝑝(𝑥) = 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 𝑝 ℝ[𝑥]

𝑚 𝑎𝑚 ≠ 0

𝑝(𝑥) = 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 𝑏𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0

𝑛≥𝑚

𝑛 =𝑚+𝑘

𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0

𝑘≥0

𝑞(𝑥) =

𝑎𝑛 =

0, … , 𝑎𝑚+1 = 0 𝑛

𝑛

𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) 𝑥

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥)

(𝑝 + 𝑞)(𝑥)

(𝑝 + 𝑞)(𝑥) = (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )𝑥 𝑛 + (𝑎𝑛−1 + 𝑏𝑛−1 )𝑥 𝑛−1 + ⋯ + (𝑎1 + 𝑏1 )𝑥 + 𝑎0 + 𝑏0 .

𝑟 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0

𝑝(𝑥) =

𝑟 ∙ 𝑝(𝑥)

𝑟 ∙ 𝑝(𝑥) = 𝑟 ∙ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑟 ∙ 𝑎𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ + 𝑟 ∙ 𝑎1 𝑥 + 𝑟 ∙ 𝑎0 .

𝑟 𝑎𝑚 , … , 𝑎1 , 𝑎0

ℝ𝑛

1∈ℝ

𝑝(𝑥) −𝑝(𝑥) = (−𝑎𝑚 )𝑥 𝑚 + (−𝑎𝑚−1 )𝑥 𝑚−1 + ⋯ + (−𝑎1 )𝑥 + (−𝑎0 )

𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥)

ℎ(𝑥)

𝑟, 𝑠 ∈ ℝ

(𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) + ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)) 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = 𝑞(𝑥) + 𝑝(𝑥) 𝑝(𝑥) + 𝟎(𝑥) = 𝑝(𝑥) 𝑝(𝑥) + (−𝑝(𝑥)) = 𝟎 𝑟 ∙ (𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) = 𝑟 ∙ 𝑝(𝑥) + 𝑟 ∙ 𝑞(𝑥)

(𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝑝(𝑥) = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝑝(𝑥)) 1 ∙ 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥).

(𝑟 + 𝑠) ∙ 𝑝(𝑥) = 𝑟 ∙ 𝑝(𝑥) + 𝑠 ∙ 𝑝(𝑥)

𝑉

ℝ

𝒙, 𝒚

𝑉

𝒙+𝒚 𝑟

𝒙

𝑉

𝑉

𝑟∙𝒙

𝑉 𝑉 𝒙 𝑉

−𝒙

𝒙, 𝒚, 𝒛

𝒙

𝑟, 𝑠

(𝒙 + 𝒚) + 𝒛 = 𝒙 + (𝒚 + 𝒛) 𝒙+𝒚=𝒚+𝒙 𝟎

𝑉

𝒙+𝟎=𝒙 𝒙

𝑉

𝑟 ∙ (𝒙 + 𝒚) = 𝑟 ∙ 𝒙 + 𝑟 ∙ 𝒚 (𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝒙 = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝒙)

−𝒙 𝒙 + (−𝒙) = 𝟎

(𝑟 + 𝑠) ∙ 𝒙 = 𝑟 ∙ 𝒙 + 𝑠 ∙ 𝒙

𝑉

1 ∙ 𝒙 = 𝒙.

𝒙+𝒚 =𝒙+𝒛

𝒚=𝒛

0∙𝒙=𝟎

𝒙

𝑟∙𝟎=𝟎

𝑟 −𝒙

𝒙

(−1) ∙ 𝒙

𝒚 = 𝟎 + 𝒚 = (−𝒙 + 𝒙) + 𝒚 = −𝒙 + (𝒙 + 𝒚) = −𝒙 + (𝒙 + 𝒛) = (−𝒙 + 𝒙) + 𝒛 = 𝟎 + 𝒛 = 𝒛

𝑟 ∙ 𝒙 + 0 ∙ 𝒙 = (𝑟 + 0) ∙ 𝒙 = 𝑟 ∙ 𝒙 = 𝑟 ∙ 𝒙 + 𝟎 𝒙

𝑟∙

∙𝒙=𝟎

𝑟 ∙ 𝒙 + 𝑟 ∙ 𝟎 = 𝑟 ∙ (𝒙 + 𝟎) = 𝑟 ∙ 𝒙 + 𝟎

𝑟∙𝒙

𝑟∙𝟎=𝟎 𝒙 + (−1) ∙ 𝒙 = 1 ∙ 𝒙 + (−1) ∙ 𝒙 = (1 + (−1)) ∙ 𝒙 = 0 ∙ 𝒙 = 0 = 𝒙 + (−𝒙) 𝒙

(−1) ∙ 𝒙 = −𝒙