Unidad2 transformaciones lineales matrices y sistemas de ecuaciones

𝒂𝒊

𝑓: 𝐺 → 𝐻 𝒙, 𝒚 𝑓(𝒙) + 𝑓(𝒚)

𝒚

𝑓(𝒙 + 𝒚) =

𝑓 𝐻

𝑓

𝐺

𝐺 𝑓

𝒙

𝐻

𝑇: 𝑉 → 𝑊 𝑉

𝑊 𝑇(𝑎𝒙 + 𝑏𝒚) =

𝑎𝑇(𝒙) + 𝑏𝑇(𝒚)

𝑎, 𝑏

𝒙, 𝒚

𝑇: 𝑉 → 𝑊

𝑉

𝑊

𝑇

𝑇(𝒙 + 𝒚) = 𝑇(𝒙) + 𝑇(𝒚) 𝑇(𝑎𝒙) = 𝑎𝑇(𝒙)

𝑎

𝑇: 𝑉 → 𝑊 𝑇(𝑎𝒙 + 𝑏𝒚) = 𝑎𝑇(𝒙) + 𝑏𝑇(𝒚) 𝒙, 𝒚

𝑉

𝑊 𝑎, 𝑏

𝑓: 𝑋 → 𝑌 𝒙, 𝒙′ 𝑓(𝒙) = 𝑓(𝒙′ )

𝒙 = 𝒙′

𝑓: 𝑋 → 𝑌 𝒚 𝑌

𝒙

𝑋

𝑓(𝒙) = 𝒚

𝑓: 𝑋 → 𝑌

𝑇: 𝑈 → 𝑉 𝑆: 𝑉 → 𝑊 𝑈, 𝑉

𝑊

𝑆 ∘ 𝑇: 𝑈 → 𝑊

(𝑆 ∘ 𝑇)(𝒖) = 𝑆(𝑇(𝒖))

𝑇

𝑆∘𝑇

𝑇

𝑆

𝑆

(𝑆 ∘ 𝑇)(𝑎𝒙 + 𝑏𝒚) = 𝑎(𝑆 ∘ 𝑇)(𝒙) + 𝑏(𝑆 ∘ 𝑇)(𝒚) 𝑎, 𝑏

𝒙, 𝒚

(𝑆 ∘ 𝑇)(𝑎𝒙 + 𝑏𝒚) = = = =

𝑇

𝑆(𝑇(𝑎𝒙 + 𝑏𝒚)) 𝑆(𝑎𝑇(𝒙) + 𝑏𝑇(𝒚)) 𝑎𝑆(𝑇(𝒙)) + 𝑏𝑆(𝑇(𝒚)) 𝑎(𝑆 ∘ 𝑇)(𝒙) + 𝑏(𝑆 ∘ 𝑇)(𝒚).

𝐼: 𝑉 → 𝑉 𝒙

𝑆

𝑉

𝐼(𝒙) = 𝒙

𝑉 𝑇: 𝑈 → 𝑉 𝐼∘𝑇

𝑆: 𝑉 → 𝑊

𝑆∘𝐼 =𝑆

𝐼 ∘ 𝑇: 𝑈 → 𝑉

𝑆 ∘ 𝐼: 𝑉 → 𝑊

𝑇: 𝑉 → 𝑊

𝑉

𝑊

𝑇(𝑎𝒙 + 𝑏𝒚) = 𝑎𝑇(𝒙) + 𝑏𝑇(𝒚)

𝑎, 𝑏

𝑉

𝒙, 𝒚

ℝ𝑚

𝑊

𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , … , 𝒂𝒎 𝒙 𝑥𝑚 𝒂𝒎

𝑉

ℝ𝑛 𝑉

𝑉

𝒙 = 𝑥1 𝒂𝟏 + 𝑥2 𝒂𝟐 + ⋯ +

𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚

𝑚

𝒄𝟏 , 𝒄𝟐 , … , 𝒄𝒎

𝑇: 𝑉 → 𝑊

𝒙 = 𝑥1 𝒂𝟏 + 𝑥2 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝒂𝒎 ,

𝑊

𝑇(𝒙) = 𝑥1 𝒄𝟏 + 𝑥2 𝒄𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝒄𝒎 .

𝑇

𝒙 = 𝑥1 𝒂𝟏 + 𝑥2 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝒂𝒎

𝒚 = 𝑦1 𝒂𝟏 + 𝑦2 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑦𝑚 𝒂𝒎

𝒙+𝒚

𝒙 + 𝒚 = (𝑥1 + 𝑦1 )𝒂𝟏 + (𝑥2 + 𝑦2 )𝒂𝟐 + ⋯ + (𝑥𝑚 + 𝑦𝑚 )𝒂𝒎

𝑇(𝒙 + 𝒚) = (𝑥1 + 𝑦1 )𝒄𝟏 + (𝑥2 + 𝑦2 )𝒄𝟐 + ⋯ + (𝑥𝑚 + 𝑦𝑚 )𝒄𝒎 = 𝑇(𝒙) + 𝑇(𝒚)

𝑇(𝑎𝒙) = 𝑎𝑇(𝒙)

𝒂𝒊

𝒂𝒊

𝒂𝟏 = 1𝒂𝟏 + 0𝒂𝟐 + ⋯ + 0𝒂𝒎 𝒂𝟐 = 0𝒂𝟏 + 1𝒂𝟐 + ⋯ + 0𝒂𝒎 ⋮ 𝒂𝒎 = 0𝒂𝟏 + 0𝒂𝟐 + ⋯ + 1𝒂𝒎 .

𝑉 𝒂𝒊 𝑖 = 1,2, … , 𝑚

𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , … , 𝒂𝒎

𝑇 𝒂𝒊

𝑇(𝒂𝒊 ) = 𝒄𝒊

𝒂𝒊

1,2, … , 𝑚

𝑇

𝒂𝒊

𝑖=

𝒄𝒊

𝑇 :𝑉 → 𝑊

𝑆(𝒂𝒊 ) = 𝒄𝒊

𝑖 = 1,2, … , 𝑚

𝑇(𝒙) = 𝑥1 𝒄𝟏 + 𝑥2 𝒄𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝒄𝒎 = 𝑥1 𝑆(𝒂𝟏 ) + 𝑥2 𝑆(𝒂𝟐 ) + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑆(𝒂𝒎 ) = 𝑆(𝒙)

𝒙

𝑉.

𝑇=𝑆

𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , … , 𝒂𝒎 𝑉

𝒙

𝑉

𝒙 = 𝑥1 𝒂𝟏 + 𝑥2 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝒂𝒎

𝑚

𝒄𝟏 , 𝒄𝟐 , … , 𝒄𝒎

𝑊 𝑉

𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , … , 𝒂𝒎

𝑊 𝒄𝟏 , 𝒄𝟐 , … , 𝒄𝒎

𝑊

ℝ𝑚

ℝ𝑛

𝐿(ℝ𝑚 , ℝ𝑛 )

𝑚×𝑛 ℳ(𝑚, 𝑛)

𝒂𝟏 = (1,0, … ,0) 𝒂𝟐 = (0,1, … ,0) …

𝒂𝒎 = (0,0, … ,1)

𝒙 = 𝑥1 𝒂𝟏 + 𝑥2 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝒂𝒎 𝒂𝒊

𝒙

𝒙 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 )

𝑉

𝒙 = 𝑦1 𝒂𝟏 + 𝑦2 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑦𝑚 𝒂𝒎

(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 ) = 𝒙 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑚 ), ℝ𝑚 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖

𝑖 = 1,2, … , 𝑚

ℝ𝑚

𝒙

𝒂𝒊

ℝ𝑚

𝑇: ℝ𝑚 → ℝ𝑛 𝒂𝒊

𝒂𝒊 𝑇

𝒂𝒊

𝒄𝒊 = 𝑇(𝒂𝒊 )

𝑇(𝒂𝟏 ) = 𝒄𝟏 = (𝑎11 , 𝑎12 , … , 𝑎1𝑛 ) 𝑇(𝒂𝟐 ) = 𝒄𝟐 = (𝑎21 , 𝑎22 , … , 𝑎2𝑛 ) ⋮ 𝑇(𝒂𝒎 ) = 𝒄𝒎 = (𝑎𝑚1 , 𝑎𝑚2 , … , 𝑎𝑚𝑛 ).

𝑚×𝑛 𝑇(𝒂𝒊 )

𝑖

𝑖 = 1,2, … , 𝑚 𝑎11 𝑎21 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) = ( ⋮ 𝑎𝑚1

𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2

… ⋯ ⋱ ⋯

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ ). 𝑎𝑚𝑛

𝑋, 𝑌 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 ′ )

𝑓: 𝑋 → 𝑌 𝑌

𝑥

𝑋

𝑥 = 𝑥′

𝑦

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑓: 𝐿(ℝ𝑚 , ℝ𝑛 ) → ℳ(𝑚, 𝑛) (𝑎𝑖𝑗 )

𝑇: ℝ𝑚 → ℝ𝑛

𝐿(ℝ𝑚 , ℝ𝑛 ) 𝑓(𝑇) 𝑇(𝒂𝒊 )

𝑖

𝑖 = 1,2, … , 𝑚

(𝑎𝑖𝑗 ) = 𝑓(𝑇) = 𝑓(𝑆) = (𝑏𝑖𝑗 ) 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗

𝑖 = 1,2, … , 𝑚

𝑇=𝑆

𝑇: ℝ𝑚 → ℝ𝑛

𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) 𝑇(𝒂𝒊 ) 𝑓

𝑗 = 1,2, … , 𝑛

𝑖

𝐴

𝑖 = 1,2, … , 𝑚

𝑓(𝑇) = 𝐴

𝑓

𝐿(ℝ𝑚 , ℝ𝑛 )

ℳ(𝑚, 𝑛)

ℝ𝑚

ℝ𝑛

𝑚× 𝑛

𝒚 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑚 ) =

𝒙 = 𝑥1 𝒂𝟏 + 𝑥2 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝒂𝒎 𝑇(𝒙)

𝑇(𝒙)

= = = =

𝑥1 𝑇(𝒂𝟏 ) + 𝑥2 𝑇(𝒂𝟐 ) + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑇(𝒂𝒎 ) 𝑥1 (𝑎11 , 𝑎12 , … , 𝑎1𝑛 ) + 𝑥2 (𝑎21 , 𝑎22 , … , 𝑎2𝑛 ) + ⋯ + 𝑥𝑚 (𝑎𝑚1 , 𝑎𝑚2 , … , 𝑎𝑚𝑛 ) (𝑥1 𝑎11 , 𝑥1 𝑎12 , … , 𝑥1 𝑎1𝑛 ) + (𝑥2 𝑎21 , 𝑥2 𝑎22 , … , 𝑥2 𝑎2𝑛 ) + ⋯ + (𝑥𝑚 𝑎𝑚1 , 𝑥𝑚 𝑎𝑚2 , … , 𝑥𝑚 𝑎𝑚𝑛 ) (𝑥1 𝑎11 + 𝑥2 𝑎21 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑎𝑚1 , 𝑥1 𝑎12 + 𝑥2 𝑎22 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑎𝑚2 , … , 𝑥1 𝑎1𝑛 + 𝑥2 𝑎2𝑛 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑎𝑚𝑛 ). ℝ𝑛

𝑦𝑖

𝑦1 = 𝑥1 𝑎11 + 𝑥2 𝑎21 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑎𝑚1 𝑦2 = 𝑥1 𝑎12 + 𝑥2 𝑎22 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑎𝑚2 ⋮ 𝑦𝑛 = 𝑥1 𝑎1𝑛 + 𝑥2 𝑎2𝑛 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑎𝑚𝑛 .

𝑇

𝑥𝑖

𝐴= (𝑎𝑖𝑗 )

𝐴 𝐴𝑡

𝑇 𝐴

𝐴

𝑚×𝑛

𝐴𝑡

𝑛×𝑚

𝐴𝑡 = (𝑎𝑖𝑗 𝑡 )

𝑎𝑖𝑗 𝑡 = 𝑎𝑗𝑖

ℝ𝑚

𝑖 = 1,2, … , 𝑚

𝑗 = 1,2, … , 𝑛

𝒂𝟏 = (1,0, … ,0) 𝒂𝟐 = (0,1, … ,0) …

𝒂𝒎 = (0,0, … ,1)

𝒙 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 ) = 𝑥1 𝒂𝟏 + 𝑥2 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝒂𝒎

𝒙

𝑉

𝒂𝒊

𝑛×𝑛 ℝ𝑛

ℝ𝑚

ℝ𝑛

ℝ𝑛 𝐿(ℝ𝑚 , ℝ𝑛 )

𝑚 × 𝑛 ℳ(𝑚, 𝑛)

𝑛=𝑚

𝑓: 𝐿(ℝ𝑛 , ℝ𝑛 ) → ℳ(𝑛, 𝑛)

ℳ(𝑛, 𝑛)

𝑓 𝐿(ℝ𝑛 , ℝ𝑛 )

𝑓

𝐿(ℝ𝑛 , ℝ𝑛 ) 𝐹(ℝ𝑛 , ℝ𝑛 )

𝑓(𝑇 + 𝑈) = 𝑓(𝑇) + 𝑓(𝑈)

𝑓(𝑟 ∙ 𝑇) = 𝑟 ∙ 𝑓(𝑇)

𝑟

𝑟

𝒂𝒊 ℝ𝑛

𝒂𝒊 𝒂𝒊

𝑇(𝒂𝟏 ) = (𝑎11 , 𝑎12 , … , 𝑎1𝑛 )

𝑈(𝒂𝟏 ) = (𝑏11 , 𝑏12 , … , 𝑏1𝑛 )

𝑇(𝒂𝟐 ) = (𝑎21 , 𝑎22 , … , 𝑎2𝑛 )

𝑈(𝒂𝟐 ) = (𝑏21 , 𝑏22 , … , 𝑏2𝑛 ) ⋮

𝑇(𝒂𝒎 ) = (𝑎𝑚1 , 𝑎𝑚2 , … , 𝑎𝑚𝑛 )

𝑈(𝒂𝒎 ) = (𝑏𝑚1 , 𝑏𝑚2 , … , 𝑏𝑚𝑛 ).

𝑇(𝒂𝟏 ) + 𝑈(𝒂𝟏 )

= (𝑎11 , 𝑎12 , … , 𝑎1𝑛 ) + (𝑏11 , 𝑏12 , … , 𝑏1𝑛 ) = (𝑎11 + 𝑏11 , 𝑎12 + 𝑏12 , … , 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛 ) = (𝑇 + 𝑈)(𝒂𝟏 )

𝑇(𝒂𝟐 ) + 𝑈(𝒂𝟐 )

= = =

(𝑎21 , 𝑎22 , … , 𝑎2𝑛 ) + (𝑏21 , 𝑏22 , … , 𝑏2𝑛 ) (𝑎21 + 𝑏21 , 𝑎22 + 𝑏22 , … , 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛 ) (𝑇 + 𝑈)(𝒂𝟐 ) ⋮

𝑇(𝒂𝒎 ) + 𝑈(𝒂𝒎 ) = = =

(𝑎𝑚1 , 𝑎𝑚2 , … , 𝑎𝑚𝑛 ) + (𝑏𝑚1 , 𝑏𝑚2 , … , 𝑏𝑚𝑛 ) (𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 , 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 , … , 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛 ) (𝑇 + 𝑈)(𝒂𝒎 ).

(𝑇 + 𝑈)(𝒂𝒊 ) 𝑇(𝒂𝒊 )

𝑈(𝒂𝒊 )

𝑖 = 1,2, … , 𝑚

𝑖 = 1,2, … , 𝑚,

𝑓(𝑇 + 𝑈) = 𝑓(𝑇) + 𝑓(𝑈)

𝑓(𝑟 ∙ 𝑇) = 𝑟 ∙ 𝑓(𝑇)

𝐴 𝑇𝐴 𝑓: 𝐿(ℝ𝑛 , ℝ𝑛 ) → ℳ(𝑛, 𝑛)

𝑓

𝑔: ℳ(𝑛, 𝑛) → 𝐿(ℝ𝑛 , ℝ𝑛 )

𝑔(𝐴) = 𝑇𝐴

𝑓

𝑇𝐴

𝐴

𝑓 ∘ 𝑔(𝐴) = 𝑓(𝑔(𝐴)) = 𝑓(𝑇𝐴 ) = 𝐴 = 𝐼(𝐴).

𝑓(𝑇) = 𝐴

𝑔

𝐴

𝑔 ∘ 𝑓(𝑇) = 𝑔(𝑓(𝑇)) = 𝑔(𝐴) = 𝑇𝐴 = 𝑇 = 𝐼(𝑇).

𝑔

𝑓

𝐴 → 𝑇𝐴 → 𝐴,

𝑇

𝑓

𝑔

𝑇 → 𝐴 → 𝑇𝐴 .

𝑇𝐴?𝐵 = 𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴 𝐴

𝐴 𝐵

𝐴? 𝐵

𝐵

𝑇𝐴?𝐵 = 𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴 𝑛×𝑛

𝑇𝐴 : ℝ𝑛 → ℝ𝑛 𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴

𝑇𝐵 : ℝ𝑛 → ℝ𝑛 𝑓 𝐴? 𝐵

𝐴? 𝐵

𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴

𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , … , 𝒂𝒏 𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴 𝒂𝒊 (𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴 )(𝒂𝒊 )

= = = = = =

𝑇𝐵 (𝑎𝑖1 , 𝑎𝑖2 , … , 𝑎𝑖𝑛 ) 𝑇𝐵 (𝑎𝑖1 𝒂𝟏 + 𝑎𝑖2 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝒂𝒏 ) 𝑎𝑖1 𝑇𝐵 (𝒂𝟏 ) + 𝑎𝑖2 𝑇𝐵 (𝒂𝟐 ) + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑇𝐵 (𝒂𝒏 ) 𝑎𝑖1 (𝑏11 , 𝑏12 , … , 𝑏1𝑛 ) + 𝑎𝑖2 (𝑏21 , 𝑏22 , … , 𝑏2𝑛 ) + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 (𝑏𝑛1 , 𝑏𝑛2 , … , 𝑏𝑛𝑛 ) (𝑎𝑖1 𝑏11 , 𝑎𝑖1 𝑏12 , … , 𝑎𝑖1 𝑏1𝑛 ) + (𝑎𝑖2 𝑏21 , 𝑎𝑖2 𝑏22 , … , 𝑎𝑖2 𝑏2𝑛 ) + ⋯ + (𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛1 , 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛2 , … , 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛𝑛 ) (𝑎𝑖1 𝑏11 + 𝑎𝑖2 𝑏21 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛1 , 𝑎𝑖1 𝑏12 + 𝑎𝑖2 𝑏22 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛2 , … , 𝑎𝑖1 𝑏1𝑛 + 𝑎𝑖2 𝑏2𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛𝑛 ).

𝑖

𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴

𝐴? 𝐵

𝐴? 𝐵 𝐴

𝐵

𝐴𝐵 𝑇𝐴?𝐵 = 𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴

𝑇𝐴𝐵 =

𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴

𝑛×𝑛

𝑖

𝑗

𝑖 𝑗

𝑛×𝑚

𝑚×𝑘 𝑛×𝑘

1×𝑛 𝑛×1

1×1

𝑦1 = 𝑥1 𝑎11 + 𝑥2 𝑎21 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑎𝑚1 𝑦2 = 𝑥1 𝑎12 + 𝑥2 𝑎22 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑎𝑚2 ⋮ 𝑦𝑛 = 𝑥1 𝑎1𝑛 + 𝑥2 𝑎2𝑛 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑎𝑚𝑛 𝐴𝑡 𝑥𝑖

𝑛×𝑚

𝑚×1

𝑥𝑖 𝑦𝑖

𝑛×1

𝑦𝑖

𝑖 = 1,2, … , 𝑚

𝑖 = 1,2, … , 𝑚

𝑦1 𝑎11 𝑦2 𝑎12 (⋮)=( ⋮ 𝑦𝑛 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 ⋮ 𝑎2𝑛

… ⋯ ⋱ ⋯

𝑎𝑚1 𝑥1 𝑎11 𝑥1 + 𝑎21 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚1 𝑥𝑚 𝑎𝑚2 𝑥2 𝑎12 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚2 𝑥𝑚 ). ⋮ )( ⋮ ) = ( ⋮ 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 𝑎1𝑛 𝑥1 + 𝑎2𝑛 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑚

𝑚×𝑛

𝑇𝐴𝐵 = 𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴