Unidad 1 procesos estocasticos y movimiento browniano by PDLM

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

8° cuatrimestre

Programa de la asignatura: Probabilidad III

Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento browniano

Clave: 050930831

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano

Índice Presentación de la unidad………………………………………………………………………………….

Propósitos …………………………………………………………………………………………………….

Competencia específica …………………………………………………………………………………….

1.1 Introducción ……………………………………………………………………………………………..

1.1.1 Definición y ejemplos ………………………………………………………………………………..

Actividad 1. Procesos estocáticos……………………………………………………………………..

1.2 Movimiento Browniano ………………………………………………………………………………..

1.2.1 Definición y propiedades……………………………………………………………………………

1.2.2 Procesos derivados del movimiento Browniano ………………………………………………..

Actividad 2. Movimiento Browniano……………………………………………………………………

Autoevaluación……………………………………………………………………………………………….

Evidencia de aprendizaje: demostración sobre movimiento browniano………………………….

Atorreflexiones…………………………………………………………………………………………….

Cierre de la unidad ………………………………………………………………………………………….

Para saber más ………………………………………………………………………………………………

Fuentes de consulta …………………………………………………………………………………………

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano Presentación de la unidad

En la presente unidad, titulada Procesos estocásticos y movimiento browniano, se presentan temas que son fundamentales para incursionar en el estudio del cálculo estocástico, el cual tiene diversas aplicaciones en áreas de conocimiento, como la física, las finanzas, la economía y la econometría, entre otras. La presentación del contenido se realiza a través de dos subtemas: •

Se abordará el concepto de proceso estocástico y algunos ejemplos de éste, con la finalidad de tratar el movimiento browniano.

•

Se proporcionará el concepto de movimiento browniano, así como algunas generalidades que éste presenta.

Debes tener presente que a lo largo de la unidad, las definiciones, teoremas y propiedades se resaltan empleando un fondo de color, debiendo hacer énfasis en comprender cada uno de éstos, con la finalidad de que los emplees para ir construyendo un nivel de conocimientos óptimo acerca de la materia de estudio.

Propósitos de la unidad

Al término de esta unidad lograrás: 

Identificar

proceso

estocástico

sus

características. 

Identificar

proceso

Wiener

(movimiento

browniano) y algunos procesos derivados de éste. 

Demostrar que un proceso estocástico es un proceso de Wiener.

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano Competencia específica

 Utiliza la teoría de procesos estocásticos para identificar

un movimiento

browniano

través de sus definiciones y propiedades.

1.1. Introducción

En esta sección se te proporcionarán algunas de las definiciones fundamentales de la Teoría de procesos estocásticos.

Cabe mencionar que este curso muestra un alto grado de rigurosidad, por lo que es necesario que al menos tengas presente todas las definiciones que contemplaste en asignaturas de probabilidad y, además, pongas atención en las

demostraciones

que

exhiben

para

que,

posteriormente, logres construir tu propio aprendizaje.

Asimismo, no olvides pedir apoyo de tu Facilitador(a) cuando se te presente algún tipo de problemática, logrando con ello, reforzar el estudio de los temas de estudio correspondientes a la unidad. 1.1.1. Definición y ejemplos

Un proceso estocástico (o aleatorio) sobre un espacio de probabilidad

 , F , P  ,

es una familia de

magnitudes aleatorias X t   que dependen de un parámetro real t, el cual toma valores en un conjunto T que se le denomina “dominio de definición del proceso”, “espacio parametral” o “conjunto de índices 4

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano del proceso”. El conjunto S que contiene a todos los valores posibles que pueden tomar las variables aleatorias X t   es llamado espacio de estados.

Proceso en tiempo discreto Cuando el conjunto T es numerable. Por ejemplo. T = {1, 2, 3, ……} Proceso en tiempo continuo Cuando T es un intervalo de



y es usual emplear como T al conjunto 0,  

En virtud de lo anterior, podemos formalizar la definición de proceso estocástico, como se muestra a continuación: Definición. Proceso estocástico

Un proceso estocástico X es una colección de variables aleatorias:

 X t , t T    X t   , t T ,   Definida en algún espacio muestral  . Como puedes ver, la definición nos indica que un proceso estocástico es una función de dos variables t y  , definidas de la siguiente manera: 1) Para un instante fijo de tiempo t, es la variable aleatoria X t  X t   ,   . 2) Para un suceso aleatorio fijo   , es una función del tiempo dada por X t  X t   , t  T . Esta función recibe el nombre de “realización”, “trayectoria” o “camino muestral” del proceso X. Debido a que a cada elemento   se le asocia una realización del proceso, es posible considerar a un proceso estocástico como una función aleatoria.

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano Debes tener claro que las variables aleatorias que conforman un determinado proceso estocástico no son, en general, independientes, lo que significa que éstas presentan algún tipo de relación que determina las diferencias entre dos o más clases de procesos.

Si se considera la sucesión de observaciones medidas en ciertos Ejemplo

momentos de tiempo, ordenados de manera cronológica a iguales espacios entre sí de forma uniforme. Dichas observaciones pueden representarse por…

 X t , t  T  , donde T  [0, ) . Claramente el conjunto anterior es un proceso estocástico. Este tipo de procesos se conoce como series temporales y pueden ser empleados, por ejemplo, para predecir y pronosticar resultados de un fenómeno natural determinado.

Las temperaturas ambientales diarias de una determinada ciudad mexicana representan una serie temporal, donde, si la temperatura medida al tercer día fue de 30° Celsius, entonces se dice que 30° es el estado del proceso al tiempo t = 3.

Considerando un subconjunto A del espacio de estados S, se indica que el proceso estocástico toma un valor determinado en A para el tiempo i, a través del suceso

 X i  A . Es por ello que si se considera

distintos tiempos se pueden tener vectores como sucesos, con lo que ahora debe ser fácil de comprender por qué es posible interpretar a un proceso estocástico como una colección de vectores aleatorios.

Todo proceso estocástico cuenta con características no aleatorias, como por ejemplo: una distribución, un valor esperado, una varianza, etc. A continuación se definirá el concepto de “distribuciones finito dimensionales” de un proceso estocástico multidimensional.

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano Definición. Distribuciones finito dimensionales

Si X es un proceso estocástico, entonces sus distribuciones finito dimensionales son las distribuciones de los vectores finito dimensionales

X



,..., X tn ,

t1 ,..., tn  T

, para todos los posibles valores que pueden

tomar los tiempos t1 ,..., tn  T y cada n  1

A menudo se hace referencia a las colecciones de distribuciones finito dimensionales de un proceso estocástico, como su distribución. Cabe mencionar que la distribución de un proceso aleatorio puede ser útil para realizar su clasificación.

Sea

X

X   X t , t T 

el proceso estocástico representado por la colección de vectores aleatorios



,..., X tn , t1 ,..., tn  T y n  1

, entonces:

En seguida proporcionaremos 3 definiciones importantes que es necesario que conozcas. Esperanza de X La función de esperanzas de X está dada por…

 X  t    xt  EX t , t  T Covarianza X La función de covarianzas de X es:

cX  t , s   cov  X t , X s   E  X t   X  t    X s   X  s   , t , s  T En este caso, es válido aplicar la igualdad:

E  X t   X  t    X s   X  s    E  X t X s    X  t   X  s  7

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano Lo anterior se debe a que:

E  X t   X  t    X s   X  s    E  X t X s  X t  X  s   X s  X  t    X  t   X  s   E  X t X s   E  X t  X  s   E  X s  X  t   E   X  t   X  s 

 E  X t X s   X  s  E  X t   X t  E  X s   X t  X  s   E  X t X s   X  s  X t   X t  X  s    X t   X  s   E  X t X s   X t  X  s  Varianza de X La función de varianzas de X se define como…

 X2  t   cX  t , t   Var  X t  , t  T Como puedes notar, las funciones anteriores se pueden calcular a través de cada componente del vector aleatorio que representa al proceso estocástico en un instante fijo t. Ejemplo Considerando el proceso estocástico

X  A   sen t , donde A   Uniforme(0,1) . Calcula: 

La función de esperanzas de X.



La función de varianzas de X.

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano  X  t   EX t  E  A   sen t  

Solución:

1 sen t , t  T 2

2 2  X2  t   Var  X t   cX  t , t   E  X t      X t     2 1   E  A   sen t     sen t    2 

2 1   E  A    sen2t    sen2t   sen 2t   4 

2    1  E  A      4 

1 1  1  sen2t     sen 2t  3 4  12

recuerda que si Nota:

A   Uniforme(0,1) Entonces 



1 x2 1 E  A      x dx   x dx   1 0 2 0 2   Y además 



2 1 x3 1 E  A        x 2 dx   x 2 dx      1  0 3 0 3 

Cuando dos elementos aleatorios (variables aleatorias, vectores aleatorios o procesos estocásticos) X y Y d

tienen la misma distribución, lo denotarás por el símbolo  . Cabe aclarar que para el caso de dos vectores aleatorios o variables aleatorias, significa que sus funciones de distribución son iguales.

Definición. Proceso aleatorio Un proceso aleatorio X   X t , t  T  y T 

se dice que es estacionario en

sentido estricto si sus distribuciones finito dimensionales son invariantes bajo cambios del índice t: 9

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano

X

  d

t1 ,..., X tn  X t1  h ,..., X tn  h



Para todas las posibles elecciones de los índices t1 ,..., tn  T con n  1 y h de tal manera que t1  h,..., tn  h  T .

En otras palabras, un proceso es estacionario, en sentido estricto, si la función de distribución conjunta de cualquier subconjunto de variables es constante respecto de un desplazamiento en el tiempo. Si X   X t , t  T  es un proceso estocástico y T 

es un intervalo, entonces se dirá que:

Definición. Proceso estocástico

1. X tiene incrementos estacionarios si d

X t  X s  X t  h  X s  h para todos los valores de t , s  T y h tales que t  h, s  h  T

Para todas las posibles elecciones de los índices t1 ,..., tn  T con n  1 y h de tal manera que t1  h,..., tn  h  T .

2. X presenta incrementos independientes si para cada elección que se realice de ti  T , de tal manera

que

t1  ...  tn

con

n  1, las variables aleatorias

X t2  X t1 ,..., X tn  X tn1

son

independientes.

Actividad 1. Procesos estocásticos A través de esta actividad podrás identificar procesos estocásticos de situaciones diversas, además de argumentar bajo qué criterios se identifican Instrucciones 1. Revisa el listado de situaciones que se te presentan en el archivo “Act. 1. Procesos estocásticos”. 2. Identifica cuáles de ellas se pueden clasificar como procesos estocásticos, definiendo los 10

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano criterios que puedes emplear de manera general para distinguir un proceso estocástico de uno que no lo es. 3. Ingresa al foro y anota tus conclusiones. 4. Revisa las conclusiones de tres de tus compañeros aceptando o rechazando su respuesta. Nota: Antes de participar en el foro, recuerda consultar la Rúbrica general de participación en foros que se encuentra en la sección Material de apoyo. 1.2. Movimiento Browniano

Ahora que ya has revisado la teoría de procesos estocásticos, se detallará un tipo especial éstos, el llamado “movimiento browniano” o “proceso de Wiener”, el cual es fundamental para modelar muchos fenómenos de la vida real, además para tratar la integral estocástica de Itô.

Su nombre se debe a los estudios del botánico Robert Brown (1773-1858), quien encontró, con ayuda de un microscopio, que los granos de polen de la flor silvestre Clarkia pulcella, suspendidos en una cierta sustancia, se movían errática e inexplicablemente. Aunque después de a su muerte se llevaron a efecto diversos estudios con la finalidad de brindar una explicación satisfactoria a este fenómeno, no se contaba con una Robert Brown

estructura rigurosa de este problema, y es aquí donde el matemático Norbert Wiener (1894-1964) jugó un papel primordial en el estudio del fenómeno propuesto por Brown, es él quien le confiere una estructura matemática, situación por la cual actualmente se da su nombre a este tipo de procesos estocásticos.

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano 1.2.1. Definición y propiedades





El proceso de Wiener (movimiento browniano) es un proceso estocástico W  Wt , t   0,   que satisface las siguientes condiciones: Definición. Proceso se Wiener 1. W0  0 c.s.

2. Los caminos muestrales t

Wt son continuos c.s.

3. Para cualquier sucesión finita de tiempos 0  t1  ...  tn y para cualesquiera conjuntos de Borel A0 ,..., An 

se tiene que la probabilidad





P Wt1  A1 , ..., Wtn  An   ...  p  t1 , 0, x1  p  t2  t1 , x1 , x2   p  tn  tn 1 , xn 1 , xn  dxn  dx1 donde A1

expresión

p  t , x, y  

 1 e 2 t

 x  y 2 2t

Está definida para cualesquiera x, y 

y t  0 . A dicha expresión se le llama la densidad de

transición.

Nota: recuerda que una sucesión de variables aleatorias X1 ,..., X n converge casi seguramente (c.s.) a una variable aleatoria



X , si para cada   0 , se tiene que:



P lim X n  X    1 n 

X s X s Esta definición establece que X n converge es. a X si las funciones n convergen a para todos S A S los elementos s de un espacio , excepto posiblemente para aquellos elementos s de en los que

P  A  0

Es necesario acordar que, en lo sucesivo, cada vez que un proceso estocástico presente la letra W mayúscula, se tratará de un proceso de Wiener. 12

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano Teorema 1.2.1.2

La función 2

x  1 fWt  x   e 2t 2 t





Es la densidad de probabilidades de W  Wt , t   0,   .

Demostración

Si consideramos un tiempo t y un boreliano A fijos, se tiene, por la condición 3 de la definición anterior, que:

P Wt  A   p  t , 0, x  dx A

de donde: 2

p  t , 0, x  

x  1 e 2t  fWt  x  2 t

Que es lo que se quería probar.





Es fácil ver que el valor esperado del movimiento browniano W  Wt , t   0,   , cuya función de densidad de probabilidades se muestra en el teorema anterior, es igual a cero, pues: 

1 E Wt    x p  t , 0, x  dx  2 t 



 xe



x2 2t



x  t dx   e 2t 2 t



0 

Y además la varianza será t debido a que:



E Wt 





1   x 2 p  t , 0, x  dx  2 t 



x





x2 2t

x  t dx   x e 2t 2 t



t  2 t 



e



x2 2t



Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano 

Donde, del hecho de que

e



x2 2

x , se obtiene que: dx  2 , y haciendo la sustitución u  t





E Wt 



t  0 2 t



e



u2 2

du  t



Teorema

E Ws  Wt   min s, t

Demostración

Para dos tiempos fijos s ,

tales que 0  s  t , y dos borelianos fijos, entonces, por la condición 3 de la

definición de proceso de Wiener se tiene que:

fWs ,Wt  x, y   p  s, 0, x  p  t  s, x, y  Y por tanto:

  E Ws  Wt     x y p  s, 0, x  p  t  s, x, y  dy dx   x p  s, 0, x    p t  s, x, y  dy  dx        



Sustituyendo en la integral entre los corchetes y  x  u se tiene:

  E Ws  Wt    x p  s, 0, x     x  u  p  t  s, x, x  u  du  dx     

  x p s , 0, x x  u p t  s , 0, u du         dx      



      x p  s, 0, x   x  p  t  s, 0, u  du   u p  t  s, 0, u  du  dx      









x p  s, 0, x   x  0 dx 



 x p  s, 0, x  dx  E  W  2



s 14

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano De donde se infiere que para valores arbitrarios s, t mayores o iguales que cero se debe cumplir que:

E Ws  Wt   min s, t

En este caso también existe una definición de movimiento browniano para el caso n-dimensional, y se define de la siguiente manera:

Definición. Movimiento browniano

Si Wt , ..., Wt 1

es una colección de movimientos brownianos independientes n



unidimensionales, entonces al vector aleatorio W  Wt1 , ..., Wtn como movimiento browniano en



se le conoce

La siguiente proposición nos proporciona una propiedad de los incrementos de los procesos de Wiener. Proposición Si se considera un incremento de movimientos brownianos, Wt  Ws , para cualesquiera valores 0  s  t tiene distribución con media cero y varianza

t s.

Demostración La densidad conjunta de Ws y Wt está dada por…

fWs ,Wt  x, y   p  s, 0, x  p  t  s, x, y  Considerando un conjunto de Borel A, se tiene: 15

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano P  Ws  Wt   A 



p  s, 0, x  p  t  s, x, y  dy dx

( x , y ):x  yA

       p  s, 0, x    p  t  s, x, y  dy  dx   p  s, 0, x    p  t  s, x, x  u  du  dx  y:x  yA    A  

     p  s, 0, x    p  t  s, 0, u  du  dx   p  t  s, 0, u  du  p  s, 0, x  dx  A  A  

  p  t  s, 0, u  du A

De aquí se puede ver que f  u   p  t  s, 0, u  es la densidad de la distribución normal con media 0 y varianza

t s,

lo cual nos indica que Wt  Ws

N  0, t  s  para cualesquiera 0  s  t , culminando así la

demostración.



La proposición anterior establece que el movimiento browniano W  Wt , t   0,  



tiene incrementos

estacionarios.

Proposición Para cualesquiera tiempos tales que 0  t0  t1  ...  tn los incrementos Wt1  Wt0 , ..., Wtn  Wtn1

Son independientes.

Demostración

De la proposición anterior. Los incrementos de movimientos brownianos tienen distribución normal. Además, debido a que variables aleatorias que se distribuyen bajo normalidad, son independientes si y sólo si con incorrelacionadas, entonces es suficiente probar que:

E  Wu  Wt Ws  Wr    0 Para cualesquiera 0  r  s  t  u 16

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano Pero

E  Wu  Wt Ws  Wr    E Wu Ws   E Wu Wr   E Wt Ws   E Wt Wr 

 min u, s  min u, r  min t , s  min t , r  sr sr  0 Que es lo que se quería probar.

Ahora, proporciona un teorema que te ayudará a probar que un proceso estocástico es de Wiener, en el que se emplean algunas de las propiedades que ya has demostrado. Teorema Un proceso estocástico Wt , t  0 es un proceso de Wiener (o movimiento browniano) si y sólo si cumple las siguientes condiciones:

W0  0 c.s.

Los caminos muestrales t

Wt tiene incrementos estacionarios.

Los incrementos Wt  Ws tienen una distribución normal con valor esperado 0 y varianza

Wt son continuos c.s.

ts

para cualesquiera 0  s  t . Para cerrar este tema, se mostrará una definición de suma importancia, así como una proposición sobre los procesos de Wiener, en el entendido de que ésta se presentará sin demostración.

Definición. Proceso estocástico

Un proceso estocástico similar, para algún

 X , t  0,    t

se dice H – auto –

H  0 , si sus distribuciones finito

dimensionales satisfacen la siguiente condición 17

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano

T

  d

Wt1 , ..., T HWtn  WTt1 , ..., WTtn



Para cada T  0 , y cualquier elección de

ti  0, i  1,..., n , y

n positivo o cero

Debes considerar que la propiedad anterior corresponde a la distribución de un proceso. La propiedad de auto-similaridad es una cualidad fractal, y nos indica que los modelos, propiamente escalonados de un camino muestral en un intervalo de tiempo, se asemejan en forma, pero no son idénticos.

Se puede verificar que los procesos de Wiener son 0.5-auto-similares, lo cual trae como consecuencia que sus caminos muestrales no sean diferenciables en ninguna parte, en el sentido de la siguiente proposición.

Proposición (No diferenciabilidad de procesos auto – similares) Si  X t  es un proceso H-auto-similar, con incrementos estacionarios para algún

H   0, 1 , entonces para cada valor

lim sup t t0

t0 fijo se cumple que

X t  X t0 t  t0



Lo cual significa que los caminos muestrales de un proceso H-auto-similar no son diferenciables en ninguna parte con probabilidad igual a 1.

Debido a que para llevar a efecto la demostración de los hechos anteriores se requieren algunos otros contenidos, los cuales no están contemplados en el desarrollo de esta unidad, es necesario que por el momento los consideres una propiedad más de los procesos de Wiener de forma axiomática.

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano 1.2.2. Procesos derivados del movimiento Browniano

Esta sección tiene como finalidad mostrarte algunos modelos probabilísticos que se derivan del movimiento browniano, con el objetivo de proporcionarte algunos elementos más acerca de este tema. Se reitera que en el presente documento se emplea la letra W para los procesos aleatorios que son brownianos, aunque se debe contemplar el hecho de que existen autores que los denotan con la letra B , lo cual es totalmente válido.

Definición puente browniano El proceso estocástico definido por… X t  Wt  t W1 , 0  t  1

se llama puente browniano. Las funciones de esperanzas y covarianzas que presenta son, respectivamente,

X t   0

cX  t , s   min  t , s   t s

Este tipo de procesos reciben su nombre debido a que cumplen la siguiente propiedad: X 0  X1  0

Las distribuciones finito dimensionales de esta clase de procesos son gaussianas.

Definición. Proceso aleatorio El proceso aleatorio definido por… X t   t   Wt , t  0

Para escalares   0 y   , recibe el nombre de movimiento browniano con dirección. Su función de esperanzas está dada por

 X  t    t , donde y su función de covarianzas es 2

s, t  0

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano La dirección en este modelo es proporcionada por la función de esperanzas.

El siguiente proceso fue propuesto por Black, Scholes y Merton (1973), y es empleado para modelar la “especulación de precios” en el área de las finanzas.

Definición. Proceso aleatorio El proceso aleatorio definido por… X t  e  t  Wt , t  0

Para escalares   0 y   , se denomina movimiento browniano geométrico. Su función de esperanzas está dada por…   0.5  t  X  t   e 2

y su función de varianzas es:

 X2  t   e

 2    t 2

e

 2t



1

Es fácil darse cuenta de que se trata de un modelo exponencial para el movimiento browniano con dirección.

El movimiento browniano geométrico permite calcular el valor esperado de un proceso en un cierto momento, determinado por un valor para el tiempo t, dado el historial del proceso al tiempo t.

Actividad 2. Movimiento browniano Al finalizar esta actividad podrás determinar si un proceso estocástico es un proceso de Wiener. Instrucciones: 1. Descarga el archivo llamado “Act. 2. Movimiento browniano” 2. Analiza cada caso presentado en el archivo y determina si se tratan de procesos de 20

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano Wiener. 3. Argumenta tus respuestas, de acuerdo a las definiciones revisadas en los temas anteriores 4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclaturaMPRO3_U1_A2_XXYZ, sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido y la Z por la inicial de tu apellido materno. 5. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación.

Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación. Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.

Evidencia de aprendizaje: Demostraciones sobre movimiento Browniano Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde podrás resolver ejercicios sobre movimiento Browniano, auxiliándote de toda la teoría aprendida durante la unidad. En esta sección terminarás de formalizar tus conocimientos. Instrucciones: 1. Descarga el documento llamado “EA. Demostraciones sobre movimiento Browniano” 2. Realiza las actividades que se te plantean en el archivo. 3. Argumenta tus respuestas con base en lo que aprendiste en la unidad. 4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MPRO3_U1_EA_XXYZ, sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 5. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 6. Envía tu trabajo al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia. 21

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano 7. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar tu Autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad • •

En esta unidad 1, aprendiste a utilizar la teoría de procesos estocásticos para identificar un movimiento browniano a través de sus definiciones. En esta unidad 2, el objetivo es aprender a aplicar el concepto de la esperanza condicional para resolver diversos problemas probabilísticos, utilizando sus propiedades.

Para saber más

Revisa los contenidos de la asignatura Probabilidad I, y II, así como la de Procesos Estocásticos.

Modelo Estocástico Wiener Gauss: una Aplicación a la Economía Financiera en el Mercado de Capitales de España http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=11400805

Integración estocástica con respecto al movimiento browniano http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=46814206

Fuentes de consulta

Para finalizar la unidad acude a las fuentes de consulta que se utilizaron para el desarrollo de ésta. 

Brzezniak, Z. y Zastawniak, T. (1999). Basic stochastic processes. Gran Bretaña: Springer.

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Chung, K. L. y Williams, R. J. (1990). Introduction to Stochastic Integration. EUA: Birkhäuser.

Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento Browniano 

Klebaner, F. (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. EUA:Imperial College Press.

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Mikosch, T. (2000). Elementary stochastic calculus with finance in view. Singapur: World Scientific Publishing.