Unidad 1 sistemas de ecuaciones lineales

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales

Licenciatura en matemáticas

10° cuatrimestre

Ecuaciones diferenciales II

Unidad 1: Sistemas de ecuaciones lineales

Clave: 050941038

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Índice Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales ............................................................................ 3 Presentación de la unidad ........................................................................................................ 3 1.1. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos ................................ 3 1.1.1. Definición y propiedades ............................................................................................... 4 1.1.2. Puntos críticos ............................................................................................................... 9 Actividad 1. Características de los sistemas lineales .......................................................... 10 1.2. Linearidad ......................................................................................................................... 11 1.2.1 Principio de linearidad .................................................................................................. 11 1.2.2. Problemas de valores iniciales .................................................................................... 12 Actividad 2. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos ............................................... 19 1.3. Plano fase ......................................................................................................................... 19 1.3.1. Vectores propios reales y complejos ........................................................................... 21 1.3.2 Vectores propios de casos especiales .......................................................................... 30 Actividad 3. Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos .......................................... 37 Actividad 4. Aplicaciones de los sistemas lineales ............................................................. 40 Evidencia de aprendizaje: Solución de sistemas lineales ................................................... 40 Autoevaluación ....................................................................................................................... 41 Autorreflexiones ..................................................................................................................... 41 Cierre de la unidad.................................................................................................................. 41 Para saber más ....................................................................................................................... 41 Referencias Bibliográficas ..................................................................................................... 42

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Presentación de la unidad Las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales te brindan las herramientas necesarias para resolver problemas que involucran sistemas que cambian en el tiempo. La unidad 1 contempla tres subtemas; Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos (definición y propiedades), Linearidad (principio de linearidad, valores iniciales) y Plano fase (vectores propios reales, complejos y casos especiales) El primer subtema te muestra la definición y propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos para facilitar su comprensión y solución de problemas. El segundo subtema corresponde al principio de linearidad y problemas con valores iniciales. El tercer subtema abarca el plano fase que consiste en un análisis cualitativo del comportamiento de las trayectorias del sistema. A lo largo de la unidad se presentarán en fondo de color las definiciones, teoremas, propiedades y ejemplos y se resaltará en letra negrita los conceptos importantes.

Propósitos de la unidad  

Aplicar las propiedades y teoremas de los sistemas de ecuaciones lineales Resolver sistemas homogéneos y no homogéneos por medio de la teoría de matrices y el principio de linealidad.

Competencia específica Utilizar la definición, propiedades y métodos de solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos y no homogéneos, para resolver problemas de la vida real, mediante el uso del principio de linearidad y la teoría de matrices.

1.1. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos En esta asignatura se definen los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos y las propiedades más importantes asociadas a ellos. A continuación se presentan

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales algunos de los conceptos y teoremas mĂĄs representativos de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Debes tener presente los conceptos de ecuaciĂłn diferencial, espacios vectoriales, teoremas y propiedades de matrices reales o complejas de orden nxm, derivadas parciales, funciones lineales y, en general, conocimientos sĂłlidos de ĂĄlgebra lineal y cĂĄlculo diferencial. A lo largo de la asignatura asumirĂĄs que las funciones son continuas y derivables en los intervalos especificados de â„?. TambiĂŠn recuerda que puedes utilizar las propiedades y teoremas aplicables a dichas funciones. AsĂ­ mismo, estarĂĄs trabajando con sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. En general, se presentarĂĄn las definiciones, teoremas y resultados para n ecuaciones diferenciales aunque, por simplicidad, en algunos casos trabajĂĄndose trabajarĂĄ con sistemas de dos ecuaciones.

1.1.1. DefiniciĂłn y propiedades DefiniciĂłn: Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es aquel que estĂĄ formado por un conjunto de n ecuaciones diferenciales lineales y n variables dependientes. Se representa de la siguiente forma: đ?‘Ľ1′ = đ?‘Ž11 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘“1 đ?‘Ľ2′ = đ?‘Ž21 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘“2 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘›â€˛ = đ?‘Žđ?‘›1 đ?‘Ľ1 + đ?‘Žđ?‘›2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘“đ?‘› Donde: đ?‘›â‰Ľ1 đ?‘Žđ?‘–đ?‘– son coeficientes, 1 ≤ đ?‘– ≤ n đ?‘Ľđ?‘– son continuas en un intervalo de â„? đ?‘“đ?‘– Son funciones lineales arbitrarias de t El sistema anterior estĂĄ representado en forma explĂ­cita pero, como verĂĄs mĂĄs adelante, existen diferentes formas de representar a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales que te facilitarĂĄn encontrar su soluciĂłn. Por comodidad, en adelante, abreviaremos “sistema de ecuaciones diferenciales linealesâ€? como “sistema linealâ€?. DefiniciĂłn: El orden de un sistema de ecuaciones es el grado de la derivada de mayor orden.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales NotaciĂłn matricial: La notaciĂłn matricial es uno de los mĂŠtodos de resoluciĂłn mĂĄs convenientes para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales debido a que al escribir nuestro sistema en forma matricial podemos hacer uso de todos los mĂŠtodos de la teorĂ­a de matrices y, por tanto, de resoluciĂłn de sistemas de ecuaciones lineales. En notaciĂłn matricial-vectorial se escribe de la siguiente forma: đ?‘‘đ?‘‹ đ?‘‘đ?‘Ą

= đ?‘‹ ′ = đ??´đ?‘‹ + F

Ahora, considerando el sistema de la definiciĂłn de sistema lineal, su representaciĂłn matricial serĂĄ: đ?‘Ž11 â‹Ż đ?‘Ž1đ?‘› â‹ą â‹Ž ) đ??´=( â‹Ž đ?‘Žđ?‘›1 â‹Ż đ?‘Žđ?‘›đ?‘› đ?‘Ľ1 đ?‘‹=( â‹Ž ) đ?‘Ľđ?‘› đ?‘Ľ1′ đ?‘‘đ?‘‹ ′ =đ?‘‹ =( â‹Ž ) đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Ľđ?‘›â€˛ đ?‘“1 đ??š=(â‹Ž) đ?‘“đ?‘› Donde: A es la matriz de coeficientes dependientes X el vector de las variables dependientes đ?‘‘đ?‘‹ đ?‘Ą

es la matriz de coeficientes independientes

F es un conjunto de funciones arbitrarias de t Ejemplo Escribe en forma matricial el siguiente sistema: đ?‘Ľ1′ = đ?‘Ľ1 − 8đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ2′ = 4đ?‘Ľ1 + 6đ?‘Ľ2 SoluciĂłn: La matriz de coeficientes se construye al escribir el valor de cada una de las variables del sistema en el orden que presenta la fila de đ?‘Ľ1′ y đ?‘Ľ2′ . 1 −8 đ??´=( ) 4 6 El vector đ?‘‹ de las variables dependientes es đ?‘Ľ1 đ?‘‹ = (đ?‘Ľ ) 2

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales El vector đ??š de las funciones arbitrarias es 0 đ??š=( ) 0 Porque el sistema no tiene funciones que donde se presenta el parĂĄmetro t. Sistema lineal autĂłnomo DefiniciĂłn: Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales y de primer orden (en este caso, con dos variables dependientes) es autĂłnomo cuando no depende de la variable independiente, t, por lo que ĂŠsta no aparece en forma explĂ­cita en las ecuaciones del sistema: x1′ = ax1 + bx2 x2′ = cx1 + dx2 Donde: a, b, c y d son los coeficientes constantes del sistema đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 son las variables dependientes Este tipo de sistemas resultan muy importantes para ejemplificar en forma especĂ­fica la soluciĂłn de sistemas lineales, por lo que estaremos utilizando sistemas de esta forma. Ejemplo Explica por quĂŠ el siguiente sistema es lineal autĂłnomo. đ?‘Ľ1′ = −đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ2′ = đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 Al aplicar la definiciĂłn de sistema lineal autĂłnomo, en el sistema se observa que estĂĄ formado por dos ecuaciones lineales, tiene coeficientes constantes y dos variables dependientes (đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 ), por lo tanto el sistema es lineal autĂłnomo. Sistema lineal homogĂŠneo DefiniciĂłn: Un sistema de ecuaciones lineales homogĂŠneo es aquel cuyos valores constantes independientes son iguales a cero Ăł F(t) = 0. Es decir, cuando son de la forma AX=0: đ?‘Ľ1′ = đ?‘Žđ?‘Ľ1 + đ?‘?đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ2′ = đ?‘?đ?‘Ľ1 + đ?‘‘đ?‘Ľ2 Donde: a, b, c y d son los coeficientes constantes del sistema

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 son las variables dependientes

Ejemplo ÂżQuĂŠ tipo de sistema es el que se muestra a continuaciĂłn? Justifica tu respuesta. đ?‘Ľ1′ = −đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ2′ = đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 El sistema es lineal autĂłnomo y homogĂŠneo, estĂĄ formado por dos ecuaciones lineales, tiene coeficientes constantes y dos variables dependientes (đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 ), es decir; satisface la definiciĂłn de sistema lineal autĂłnomo homogĂŠneo. Sistema lineal no homogĂŠneo DefiniciĂłn: Un sistema de ecuaciones lineales no homogĂŠneo o completo es aquel que tiene la forma đ?‘‹â€™ = đ??´đ?‘‹ + đ??š, es decir: đ?‘Ľ1′ = đ?‘Žđ?‘Ľ1 + đ?‘?đ?‘Ľ2 + f1 đ?‘Ľ2′ = đ?‘?đ?‘Ľ1 + đ?‘‘đ?‘Ľ2 + f2 Donde: đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? y đ?‘‘ son los coeficientes constantes del sistema đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 son las variables dependientes đ?‘“1 y đ?‘“2 son funciones arbitrarias de t Ejemplo ÂżPor quĂŠ el siguiente sistema es no homogĂŠneo? đ?‘Ľ1′ = −đ?‘Ľ2 + đ?‘Ą đ?‘Ľ2′ = 9đ?‘Ľ1 Porque sus coeficientes constantes son no cero y tiene una funciĂłn en tĂŠrminos del parĂĄmetro t. Propiedades Una de las propiedades mĂĄs importantes de los sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales, es que puede obtenerse una soluciĂłn para el sistema no homogĂŠneo resolviendo el sistema homogĂŠneo asociado y sumando una soluciĂłn particular del sistema completo. AdemĂĄs de la notaciĂłn matricial vista en esta secciĂłn, a continuaciĂłn recordarĂĄs algunos resultados de la teorĂ­a de matrices y de espacios vectoriales que resultarĂĄn indispensables para

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales la resoluciĂłn de sistemas lineales. AsĂ­ mismo, en las secciones restantes se introducirĂĄn mĂĄs conceptos conforme sea oportuno. Determinante: El determinante de una matriz de orden tres se define como el valor real: đ?‘Ž11 đ?‘Ž12 đ?‘Ž13 đ?‘Ž11 đ?‘Ž12 đ?‘Ž13 đ?‘Ž đ?‘Ž đ?‘Ž đ?‘Ž đ???đ??žđ??­ ( 21 22 23 ) = | 21 đ?‘Ž22 đ?‘Ž23 | = đ?‘Ž31 đ?‘Ž32 đ?‘Ž33 đ?‘Ž31 đ?‘Ž32 đ?‘Ž33 = đ?‘Ž11 đ?‘Ž22 đ?‘Ž33 + đ?‘Ž12 đ?‘Ž23 đ?‘Ž31 + đ?‘Ž13 đ?‘Ž21 đ?‘Ž32 − đ?‘Ž31 đ?‘Ž22 đ?‘Ž13 − đ?‘Ž32 đ?‘Ž23 đ?‘Ž11 − đ?‘Ž33 đ?‘Ž21 đ?‘Ž12 Independencia lineal: Un conjunto de funciones đ?‘Ľ1 (đ?‘Ą), đ?‘Ľ2 (đ?‘Ą), ‌ , đ?‘Ľđ?‘› (đ?‘Ą) es linealmente independiente si dada la igualdad đ?‘˜1 đ?‘Ľ1 (đ?‘Ą) + đ?‘˜2 đ?‘Ľ2 (đ?‘Ą) + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› (đ?‘Ą) = 0 Las Ăşnicas constantes que la cumplen son cero, es decir, đ?‘˜1 = đ?‘˜2 = â‹Ż = đ?‘˜đ?‘› = 0. Donde: k1 , k 2 , ‌ , k n ∈ â„? SoluciĂłn de un sistema DefiniciĂłn:

đ?‘Ľ1 Se considera una soluciĂłn del sistema lineal al vector đ?‘‹ = ( â‹Ž ) que satisface la igualdad con đ?‘Ľđ?‘› las ecuaciones del sistema. Donde: đ?‘Ľ1 , â‹Ż , đ?‘Ľđ?‘› son funciones continuas en un intervalo đ??ź ⊂ â„? Ejemplo Verifica que las funciones: đ?‘Ľ1 (đ?‘Ą) = đ?‘˜1 đ?‘’ đ?‘Ą ‌ (1) đ?‘Ľ2 (đ?‘Ą) = đ?‘˜1 đ?‘’ đ?‘Ą + đ?‘˜2 đ?‘’ 2đ?‘Ą ‌ (2) Donde: đ?‘˜1 , đ?‘˜2 ∈ â„? son soluciĂłn del siguiente sistema: đ?‘Ľ1′ = đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2′ = − đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 SoluciĂłn: Recuerda que đ?‘‹ ′ = đ??´đ?‘‹ + đ??š , por lo que se comienza escribiendo el sistema en forma matricial.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales La matriz de coeficientes es 1 0 A=( ) −1 2 El vector de las variables dependientes es k et X=( t 1 ) k1 e + k 2 e2t El vector de las funciones arbitrarias es

Calculando đ?‘‹ ′ y đ??´X

0 đ??š=( ) 0

k1 et k 1 et ) 2t ) y đ??´X = ( t −k1 e + k 2 2e −k1 e + k 2 2e2t Entonces, se cumple que đ?‘‹ ′ = đ??´đ?‘‹ đ?‘‹â€˛ = (

t

Por lo que (1) y (2) son soluciones del sistema.

1.1.2. Puntos crĂ­ticos Las soluciones mĂĄs triviales de un sistema son las soluciones de equilibrio pues representan el tipo de trayectoria mĂĄs sencilla de un sistema. DefiniciĂłn: Se llama punto crĂ­tico o de equilibrio del sistema lineal đ?‘‹ ′ = đ??´đ?‘‹ a un punto đ?‘Ľđ?‘? = (đ?‘Ľ1đ?‘? , đ?‘Ľ2đ?‘? ) que cumple con đ??´đ?‘Ľđ?‘? = 0. Por consiguiente, đ?‘Ľ1đ?‘? , đ?‘Ľ2đ?‘? es llamada soluciĂłn de equilibrio. Teorema: đ?‘Ž đ?‘? Si el đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą đ??´ = ( ) ≠0 entonces el Ăşnico punto crĂ­tico para đ?‘‹ ′ = đ??´đ?‘‹ es el origen. AdemĂĄs, a đ?‘? đ?‘‘ (0,0) se le llama punto crĂ­tico aislado del sistema. Ejemplo Determina los puntos crĂ­ticos del siguiente sistema đ?‘Ľ1 5 0 đ?‘‹â€˛ = đ??´ đ?‘‹ = ( ) (đ?‘Ľ ) 3 −2 2 SoluciĂłn: Calcula el đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą đ??´ = 5(−2) − 0(3) = −10 ≠0 , por lo que el Ăşnico punto crĂ­tico es el origen.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales ObservaciĂłn: Todo sistema lineal tiene puntos crĂ­ticos en el origen. Procedimiento para calcular los puntos crĂ­ticos Para que obtengas los puntos crĂ­ticos serĂĄ necesario: Igualar las ecuaciones a cero đ?‘Žđ?‘Ľ1đ?‘? + đ?‘?đ?‘Ľ2đ?‘? = 0 đ?‘?đ?‘Ľ1đ?‘? + đ?‘‘đ?‘Ľ2đ?‘? = 0

Suponer que đ?‘Ž ≠0, despejamos a đ?‘Ľ1đ?‘? de la primer ecuaciĂłn đ?‘? đ?‘Ľ1đ?‘? = − đ?‘Ľ2đ?‘? đ?‘Ž Sustituimos đ?‘Ľ1đ?‘? en la segunda ecuaciĂłn đ?‘? đ?‘? (− đ?‘Ľ2đ?‘? ) + đ?‘‘đ?‘Ľ2đ?‘? = (đ?‘Žđ?‘‘ − đ?‘?đ?‘?)đ?‘Ľ2đ?‘? = 0 đ?‘Ž De la ecuaciĂłn anterior se concluye que para satisfacer la igualdad debe cumplirse que (đ?‘Žđ?‘‘ − đ?‘?đ?‘?) = 0 Ăł đ?‘Ľ2đ?‘? = 0, para esto el punto crĂ­tico es el origen, por lo que para obtener puntos crĂ­ticos no triviales debe cumplirse que (đ?‘Žđ?‘‘ − đ?‘?đ?‘?) = 0. Observaciones: Del procedimiento anterior se sigue que sĂ­ el đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą đ??´ = 0 entonces el sistema tiene puntos crĂ­ticos no triviales y, por tanto, soluciones no triviales.

Actividad 1. CaracterĂ­sticas de los sistemas lineales Por medio de las definiciones y propiedades de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales podrĂĄs identificar las principales caracterĂ­sticas de sistemas homogĂŠneos y no homogĂŠneos. Instrucciones 1. De acuerdo a las definiciones que estudiaste en el primer subtema de la unidad, define sistema lineal homogĂŠneo y sistema lineal no homogĂŠneo con tus propias palabras y muestra por lo menos un ejemplo de cada tipo de sistema lineal donde muestres sus principales caracterĂ­sticas. 2. Ingresa al foro y anota tus conclusiones sobre las definiciones de sistema lineal homogĂŠneo y no homogĂŠneo, y el ejemplo de cada uno de ellos 3. Revisa las conclusiones de tres de tus compaĂąeros aceptando o rechazando su respuesta. Consulta la rĂşbrica general de la participaciĂłn en foros que se encuentra en la secciĂłn

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales “Material de apoyo�.

1.2. Linearidad La linealidad es una propiedad especial de algunas funciones, en particular, el principio de linealidad o superposiciĂłn es una de las propiedades mĂĄs importantes de los sistemas lineales ya que permite obtener una infinidad de soluciones para el sistema lineal.

1.2.1 Principio de linearidad Principio de linearidad Consideremos el sistema lineal đ?‘‹ ′ = đ??´đ?‘‹: Si X es soluciĂłn del sistema en un intervalo đ??ź ⊂ â„? y k ∈ â„? entonces đ?‘˜đ?‘‹ es soluciĂłn del sistema. Si X1 , X 2 son soluciones en un intervalo đ??ź entonces đ?‘‹1 + đ?‘‹2 tambiĂŠn es soluciĂłn del sistema. ObservaciĂłn: Del principio anterior se sigue que si đ?‘‹1 , đ?‘‹2 , ‌ , đ?‘‹đ?‘› son soluciones del sistema entonces la combinaciĂłn lineal đ?‘˜1 đ?‘‹1 + đ?‘˜2 đ?‘‹2 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘› đ?‘‹đ?‘› tambiĂŠn es soluciĂłn del sistema. Donde: k1 , k 2 , ‌ , k n ∈ â„? Ejemplo Sea el sistema 1 2 đ?‘‹ ′ = đ??´đ?‘‹ = ( )đ?‘‹ 5 −2 Con đ?‘‹1 , đ?‘‹2 soluciones del sistema

3đ?‘Ą đ?‘‹1 = (đ?‘’ 3đ?‘Ą ) , đ?‘’

−4đ?‘Ą

đ?‘‹2 = (−2đ?‘’−4đ?‘Ą ) 5đ?‘’

Verifica que se cumple el principio de linearidad. SoluciĂłn: Primero probaremos que si đ?‘‹1 es soluciĂłn entonces đ?‘˜đ?‘‹1 es soluciĂłn: 3đ?‘Ą 3đ?‘Ą đ?‘˜đ?‘‹1 = đ?‘˜ ( đ?‘’3đ?‘Ą ) = ( đ?‘˜đ?‘’3đ?‘Ą ) đ?‘’ đ?‘˜đ?‘’

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Calculamos (đ?‘˜đ?‘‹1 )′ 3đ?‘Ą

(đ?‘˜đ?‘‹1 )′ = ( 3đ?‘˜đ?‘’3đ?‘Ą ) 3đ?‘˜đ?‘’ Por otro lado, 1 đ??´(đ?‘˜đ?‘‹1 ) = ( 5

3đ?‘Ą 3đ?‘Ą 3đ?‘Ą 3đ?‘Ą 2 ) ( đ?‘˜đ?‘’3đ?‘Ą ) = ( đ?‘˜đ?‘’ 3đ?‘Ą + 2đ?‘˜đ?‘’ 3đ?‘Ą ) = ( 3đ?‘˜đ?‘’3đ?‘Ą ) −2 đ?‘˜đ?‘’ 5đ?‘˜đ?‘’ − 5đ?‘˜đ?‘’ 3đ?‘˜đ?‘’

Por lo que se cumple la igualdad y se sigue que đ?‘˜đ?‘‹ es soluciĂłn. Para terminar la demostraciĂłn, basta probar que đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 tambiĂŠn es soluciĂłn: se calcula lo siguiente: −4đ?‘Ą 3đ?‘Ą −4đ?‘Ą 3đ?‘Ą đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 = ( đ?‘’3đ?‘Ą ) + ( −2đ?‘’−4đ?‘Ą ) = ( đ?‘’3đ?‘Ą −2đ?‘’ −4đ?‘Ą ) đ?‘’ + 5đ?‘’ đ?‘’ 5đ?‘’ 3đ?‘Ą −4đ?‘Ą 3đ?‘Ą −4đ?‘Ą (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 )′ = ( đ?‘’3đ?‘Ą −2đ?‘’ −4đ?‘Ą ) = ( 3đ?‘’3đ?‘Ą +8đ?‘’ −4đ?‘Ą ) đ?‘’ + 5đ?‘’ 3đ?‘’ − 20đ?‘’ 3đ?‘Ą −4đ?‘Ą 3đ?‘Ą −4đ?‘Ą 3đ?‘Ą −4đ?‘Ą 3đ?‘Ą 1 2 +8đ?‘’ −4đ?‘Ą ) đ??´(đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 ) = ( ) ( đ?‘’3đ?‘Ą −2đ?‘’ −4đ?‘Ą ) = ( đ?‘’3đ?‘Ą −2đ?‘’ −4đ?‘Ą+ 2đ?‘’ 3đ?‘Ą+10đ?‘’ −4đ?‘Ą ) = ( 3đ?‘˜đ?‘’ 5 −2 đ?‘’ + 5đ?‘’ 5đ?‘’ − 10đ?‘’ − 2đ?‘’ −10đ?‘’ 3đ?‘’ 3đ?‘Ą − 20đ?‘’ −4đ?‘Ą

Entonces, se cumple la igualdad y se sigue que đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 es soluciĂłn. Por lo que queda comprobado el principio de linearidad.

1.2.2. Problemas de valores iniciales Las soluciones de un sistema lineal suelen presentar algunas condiciones iniciales a las que deben restringirse, por lo que nos presentamos ante el problema de hallar un conjunto de soluciones que satisfagan dichas condiciones. DefiniciĂłn: Considera el sistema đ?‘‹ ′ = đ??´đ?‘‹ + đ??š, un problema de valores iniciales consiste en encontrar una funciĂłn soluciĂłn X del sistema, que cumpla con X (t 0 )= X 0. Donde: t0 ∈ I X 0 es un vector con coeficientes en â„?.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales DefiniciĂłn:

�11 �12 �1� Dadas las siguientes n funciones �1 (�) = ( ⋎ ), �2 (�) = ( ⋎ ), ‌, �� (�) = ( ⋎ ) , se ��1 ��2 ��� define al Wronskiano como la función en � que satisface: �11 �21 �21 �22 W[�1 , �2 , ‌ , �� ](t) = | ⋎ ⋎ ��1 ��2

‌ ‌ ⋯

�1� �2� ⋎ | ���

Ejemplo 0 −đ?‘’ −đ?‘Ą đ?‘’ 2đ?‘Ą Calcula el Wronskiano de las siguientes funciones đ?‘“1 = (đ?‘’ 2đ?‘Ą ), đ?‘“2 = ( 0 ) , đ?‘“3 = ( đ?‘’ −đ?‘Ą ) −đ?‘’ đ?‘Ą đ?‘’ −đ?‘Ą đ?‘’ 2đ?‘Ą SoluciĂłn: Se escribe cada uno de los vectores como columnas de la matriz, y obtenemos: đ?‘’ 2đ?‘Ą −đ?‘’ −đ?‘Ą 0 W[đ?‘“1 , đ?‘“2 , đ?‘“3] = | đ?‘’ 2đ?‘Ą 0 đ?‘’ −đ?‘Ą |= 2đ?‘Ą −đ?‘Ą đ?‘’ đ?‘’ −đ?‘’ đ?‘Ą 2đ?‘Ą (0 đ?‘Ą −đ?‘Ą đ?‘Ą =đ?‘’ ∗ −đ?‘’ − đ?‘’ ∗ (−đ?‘’ )) + đ?‘’ −đ?‘Ą (−đ?‘’ −đ?‘Ą ∗ đ?‘’ 2đ?‘Ą − đ?‘’ 2đ?‘Ą ∗ đ?‘’ −đ?‘Ą ) = −3

Teorema:

x11 x12 x1n â‹Ž â‹Ž Sean x1 (t) = ( ), x2 (t) = ( ), ‌, xn (t) = ( â‹Ž ) soluciones del sistema homogĂŠneo đ?‘‹â€™ = xn1 xn2 xnn đ??´đ?‘‹ en un intervalo I ⊂ â„? , el conjunto de soluciones es linealmente independiente si y sĂłlo si W[X1 , X 2 , ‌ , X n ](t) ≠0 Ejemplo 0 −đ?‘’ −đ?‘Ą đ?‘’ 2đ?‘Ą 2đ?‘Ą Para las funciones soluciĂłn đ?‘“1 = (đ?‘’ ), đ?‘“2 = ( 0 ) , đ?‘“3 = ( đ?‘’ −đ?‘Ą ) del sistema đ?‘‹ ′ = đ??´đ?‘‹ + đ??š −đ?‘’ đ?‘Ą đ?‘’ −đ?‘Ą đ?‘’ 2đ?‘Ą su W[đ?‘“1 , đ?‘“2 , đ?‘“3] =-3 ≠0. Ya que el teorema anterior asegura que si W[đ?‘“1 , đ?‘“2 , đ?‘“3] ≠0, entonces el conjunto de soluciones del sistema es linealmente independiente y al escribirlo en forma matricial, obtenemos que: 0 1 đ?‘‹â€˛ = ( 1 0 1 1

1 1) đ?‘‹ 0

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Por lo que las funciones son un conjunto de soluciones linealmente independientes. Teorema: Considerando el sistema de la definiciĂłn de sistema lineal, si las funciones đ?‘“đ?‘– son continuas en un intervalo đ??ź ⊂ â„?, con đ?‘– ∈ â„•, para cada đ?‘Ą0 ∈ đ??ź y para cada đ?‘Ľ0 ∈ â„? , el sistema bajo la condiciĂłn inicial đ?‘Ľ0 tiene una Ăşnica soluciĂłn en đ??ź. Al resultado anterior se le llama teorema de existencia y unicidad de soluciones. A continuaciĂłn verĂĄs la utilidad del principio de linearidad para resolver un problema de valores iniciales. Ejemplo Sea đ?‘‹ ′ sistema lineal 1 2 đ?‘‹ ′ = đ??´đ?‘‹ = ( )đ?‘‹ 5 −2 Cuyas soluciones son: 3đ?‘Ą đ?‘‹1 = (đ?‘’ 3đ?‘Ą ) , đ?‘’

−4đ?‘Ą

đ?‘‹2 = (−2đ?‘’−4đ?‘Ą ) 5đ?‘’

Resuelve el problema de valores iniciales para X 0 = (−1,2).

SoluciĂłn Primero evaluamos la condiciĂłn inicial en las soluciones: 3đ?‘Ą 1 đ?‘‹1 (0) = (đ?‘’ 3đ?‘Ą ) = ( ) , 1 đ?‘’

−4đ?‘Ą −2 đ?‘‹2 (0) = (−2đ?‘’−4đ?‘Ą ) = ( ) 5 5đ?‘’

Y sabemos que por el principio de linealidad existen đ?‘˜1 , đ?‘˜2 ∈ â„? tales que

1 −2 −1 đ?‘˜1 ( ) + đ?‘˜2 ( ) = ( ) 1 5 2 Es decir, se resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los valores de las constantes đ?‘˜1 y đ?‘˜2 . đ?‘˜1 − 2đ?‘˜2 = −1 đ?‘˜1 + 5đ?‘˜2 = 2

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales 3

5

Y llegamos a que đ?‘˜1 = 7 y đ?‘˜2 = 7 Entonces, al sustituir los valores en la soluciĂłn general 1 −2 −1 3/7 ( ) + 5/7 ( ) = ( ) 1 5 2

Y, por el principio de linealidad podemos calcular una tercera soluciĂłn dela forma:

đ?‘‹(đ?‘Ą) =

3 5 đ?‘‹ (đ?‘Ą) + 7 đ?‘‹2 (đ?‘Ą) 7 1

=

−4đ?‘Ą 3 đ?‘’ 3đ?‘Ą 5 ( ) + 7 (−2đ?‘’−4đ?‘Ą ) 7 đ?‘’ 3đ?‘Ą 5đ?‘’

=

3 3đ?‘Ą 10 −4đ?‘Ą đ?‘’ − đ?‘’ 7 (37 25 −4đ?‘Ą ) 3đ?‘Ą đ?‘’ + đ?‘’ 7 7

Por el teorema de existencia y unicidad, esta soluciĂłn es la Ăşnica que resuelve el problema dada la condiciĂłn inicial X 0 = (−1,2). AdemĂĄs, al calcular el Wronskiano de la matriz de coeficientes, las soluciones son linealmente independientes: 3đ?‘Ą

W[đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ,] = |đ?‘’ 3đ?‘Ą đ?‘’

−2đ?‘’ −4đ?‘Ą | = đ?‘’ 3đ?‘Ą (5đ?‘’ −4đ?‘Ą ) + đ?‘’ 3đ?‘Ą (2đ?‘’ −4đ?‘Ą ) = đ?‘’ 3đ?‘Ą (7đ?‘’ −4đ?‘Ą ) = 7đ?‘’ −đ?‘Ą ≠0 5đ?‘’ −4đ?‘Ą

ObservaciĂłn: Es importante notar que siguiendo el procedimiento anterior se puede hallar la soluciĂłn general del sistema, es decir, siempre es posible hallar el valor de las constantes đ?‘˜1 , đ?‘˜2 ∈ â„?. Por lo que basta expresar a la soluciĂłn de la forma −4đ?‘Ą 3đ?‘Ą đ?‘˜ đ?‘’ 3đ?‘Ą −2đ?‘˜2 đ?‘’ −4đ?‘Ą đ?‘‹(đ?‘Ą) = đ?‘˜1 đ?‘‹1 (đ?‘Ą) + đ?‘˜2 đ?‘‹2 (đ?‘Ą) = đ?‘˜1 (đ?‘’ 3đ?‘Ą ) + đ?‘˜2 (−2đ?‘’−4đ?‘Ą )=( 1 3đ?‘Ą ) đ?‘˜1 đ?‘’ + 5đ?‘˜2 đ?‘’ −4đ?‘Ą đ?‘’ 5đ?‘’

Teorema: Sean đ?‘‹1 , đ?‘‹2 soluciones del sistema lineal homogĂŠneo đ?‘‹ y si X1 (0), X 2 (0) son linealmente independientes, entonces para cualquier condiciĂłn inicial đ?‘‹(0) = (đ?‘Ľ0 , đ?‘§0 )podemos encontrar constantes đ?‘˜1 , đ?‘˜2 tales que đ?‘˜1 đ?‘Œ1 + đ?‘˜2 đ?‘Œ2 es soluciĂłn al problema de valor inicial đ?‘Ľ0 đ?‘‹ ′ = đ??´đ?‘‹, đ?‘‹(0) = (đ?‘§ ) 0

Y đ?‘˜1 đ?‘Œ1 + đ?‘˜2 đ?‘Œ2 es llamada la soluciĂłn general del sistema. Donde: k1 , k 2 ∈ â„?

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Al teorema anterior se le conoce como Teorema de la soluciĂłn general. Conjunto fundamental de soluciones y matriz fundamental DefiniciĂłn: Se le llama conjunto fundamental de soluciones del sistema lineal homogĂŠneo đ?‘‹ ′ = đ??´đ?‘‹ a un conjunto X1 , ‌ , X n de soluciones linealmente independientes en un intervalo đ??ź ⊂ â„?, y a la matriz đ?‘‹(đ?‘Ą) formada por un conjunto fundamental de soluciones se le llama matriz fundamental de soluciones: đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? X(t) = ( â‹Ž â‹Ž đ?’™đ?’?đ?&#x;? đ?’™đ?’?đ?&#x;?

‌ ‌ ⋯

đ?’™đ?&#x;?đ?’? đ?’™đ?&#x;?đ?’? â‹Ž ) đ?’™đ?’?đ?’?

Ejemplo El sistema 0 1 �′ = ( 1 0 1 1

1 1) đ?‘‹ 0

0 −đ?‘’ −đ?‘Ą đ?‘’ 2đ?‘Ą Tiene como soluciones a los vectores đ?‘Ľ1 = (đ?‘’ 2đ?‘Ą ), đ?‘Ľ2 = ( 0 ) , đ?‘Ľ3 = ( đ?‘’ −đ?‘Ą ) −đ?‘’ đ?‘Ą đ?‘’ −đ?‘Ą đ?‘’ 2đ?‘Ą ÂżCĂłmo se escribe su matriz fundamental de soluciones? SoluciĂłn Ya que las soluciones de un sistema forman un conjunto linealmente independiente, su matriz fundamental se escribe de la forma: đ?‘’ 2đ?‘Ą −đ?‘’ −đ?‘Ą 0 X(t)= (đ?‘’ 2đ?‘Ą 0 đ?‘’ −đ?‘Ą ). đ?‘’ 2đ?‘Ą đ?‘’ −đ?‘Ą −đ?‘’ đ?‘Ą Soluciones para un sistema lineal homogĂŠneo Teorema: Sean đ?‘‹1 , ‌ , đ?‘‹đ?‘› n soluciones del sistema lineal đ?‘‹ ′ = đ??´đ?‘‹ en đ??ź ⊂ â„?, entonces toda soluciĂłn del sistema en đ??ź. se puede escribir de la forma đ?‘˜1 đ?‘‹1 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘› đ?‘‹đ?‘› . Donde: k1 , k 2 , ‌ , k n ∈ â„?

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales ObservaciĂłn: La teorĂ­a anterior nos proporciona informaciĂłn suficiente, para decir que la soluciĂłn general de un sistema se puede escribir en forma matricial como: đ?‘Ľ(đ?‘Ą) = đ?‘‹(đ?‘Ą)đ??ž. DĂłnde: đ?‘‹(đ?‘Ą) es la matriz fundamental de soluciones cuyas columnas son de la forma đ?‘Ľđ?‘– (đ?‘Ą), 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›. đ??ž es el vector columna formado por los valores đ?‘˜đ?‘– ∈ â„? , 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›. MĂŠtodo para hallar la soluciĂłn đ?’™đ?’‘ del sistema lineal no homogĂŠneo A continuaciĂłn estudiaremos un mĂŠtodo que estĂĄ basado en la soluciĂłn de ecuaciones lineales no homogĂŠneas para encontrar una soluciĂłn particular đ?‘Ľđ?‘? de un sistema. VariaciĂłn de parĂĄmetros Sea đ?‘‹(đ?‘Ą) una matriz fundamental e invertible del sistema homogĂŠneo đ?‘‹â€™ = đ?‘‹đ??´, dado un problema de valor inicial de la forma đ?‘‹â€™ = đ?‘‹đ??´ + đ?‘“(đ?‘Ą), đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘Ľ(đ?‘Ą0 ) = đ?‘Ľ0 , una soluciĂłn particular đ?‘Ľđ?‘? para este sistema đ?‘Ľđ?‘? (đ?‘Ą) = đ?‘‹đ??šđ?‘€ (đ?‘Ą)đ?‘Ł(đ?‘Ą) = đ?‘‹đ??šđ?‘€ (đ?‘Ą) âˆŤ đ?‘‹đ??šđ?‘€ −1 (đ?‘Ą)đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą Combinando la ecuaciĂłn con la soluciĂłn del sistema homogĂŠneo asociado đ?‘‹ (đ?‘Ą) = đ?‘‹đ?‘‹đ??šđ?‘€ (đ?‘Ą)đ?‘˜ + đ?‘‹đ??šđ?‘€ (đ?‘Ą) âˆŤ đ?‘‹đ??šđ?‘€ −1 (đ?‘Ą)đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą

Utilizando la condiciĂłn inicial puede obtenerse el valor de k, y tenemos đ?‘Ą

đ?‘‹ (đ?‘Ą) = đ?‘‹đ??šđ?‘€ (đ?‘Ą)đ?‘‹đ??šđ?‘€ −1 (đ?‘Ą0 )đ?‘Ľ0 + đ?‘‹đ??šđ?‘€ (đ?‘Ą) âˆŤ đ?‘‹đ??šđ?‘€ −1 (đ?‘Ą)đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Ą0

Donde: đ?‘‹đ??šđ?‘€ es la matriz fundamental del sistema homogĂŠneo asociado. đ?‘‹đ??šđ?‘€ −1 es la inversa de la matriz fundamental del sistema homogĂŠneo asociado.

k ∈ â„? Ejemplo Encuentra la soluciĂłn del sistema lineal no homogĂŠneo đ?‘‹â€™ = (

2đ?‘Ą 2 −3 ) đ?‘‹(đ?‘Ą) + (đ?‘’ ), con valor 1 −2 1

inicial đ?‘‹(0) = (−1)

0

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales SoluciĂłn Primero calcula las soluciones del sistema lineal homogĂŠneo asociado para hallar la matriz fundamental, que serĂĄn 3đ?‘Ą −đ?‘Ą đ?‘‹1 (đ?‘Ą) = (đ?‘’ ) đ?‘Ś đ?‘‹2 (đ?‘Ą) = (đ?‘’ ) đ?‘Ą đ?‘’ đ?‘’ −đ?‘Ą

DespuĂŠs calcula la inversa de la matriz fundamental 3đ?‘Ą

đ?‘‹đ??šđ?‘€ (đ?‘Ą) = (đ?‘’ đ?‘Ą đ?‘’

1/2đ?‘’ −đ?‘Ą −1 đ?‘‹đ??šđ?‘€ (đ?‘Ą) = ( −1/2đ?‘’ −đ?‘Ą

đ?‘’ −đ?‘Ą ) đ?‘’ −đ?‘Ą −1/2đ?‘’ −đ?‘Ą ) 3/2đ?‘’ đ?‘Ą

Finalmente, aplicando la fĂłrmula obtenemos

đ?‘‹ (đ?‘Ą) = (

9 5 4 − đ?‘’ đ?‘Ą − đ?‘’ −đ?‘Ą + đ?‘’ 2đ?‘Ą + 3 2 6 3 3 đ?‘Ą 5 −đ?‘Ą 1 2đ?‘Ą − đ?‘’ − đ?‘’ + đ?‘’ +2 2 6 3

)

La soluciĂłn de un sistema lineal de la forma đ?‘żâ€™ = đ?‘żđ?‘¨ + đ?’‡(đ?’•) Para obtener la soluciĂłn de un sistema procede de la siguiente forma: ObtĂŠn el conjunto fundamental de soluciones del sistema lineal homogĂŠneo đ?‘żâ€™ = đ?‘żđ?‘¨. Escribe la soluciĂłn general del sistema đ?‘‹â„Ž (đ?‘Ą) = đ?‘˜1 đ?‘’ đ?œ†1 đ?‘Ą đ?‘˘1 + đ?‘˜2 đ?‘’ đ?œ†2 đ?‘Ą đ?‘˘2 Encuentra una soluciĂłn particular đ?‘Ľđ?‘? del sistema no homogĂŠneo đ?‘żâ€™ = đ?‘żđ?‘¨ + đ?’‡(đ?’•). La soluciĂłn general del sistema serĂĄ đ?‘‹(đ?‘Ą) = đ?‘Ľđ?‘? + đ?‘˜1 đ?‘’ đ?œ†1đ?‘Ą đ?‘˘1 + đ?‘˜2 đ?‘’ đ?œ†2 đ?‘Ą đ?‘˘2

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Actividad 2. Sistemas de ecuaciones lineales homogĂŠneos Al finalizar esta actividad podrĂĄs resolver problemas de sistemas lineales homogĂŠneos. Instrucciones: 1. Descarga el archivo llamado “Actividad 2. Sistemas lineales homogĂŠneosâ€?. 2. Analiza cada sistema de ecuaciones diferenciales lineales e identifica el mĂŠtodo de soluciĂłn de cada una de ellos. 3. Resuelve cada uno de los ejercicios de forma ordenada y clara. 4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MED2_U1_A2_XXYZ.

5. EnvĂ­a tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentaciĂłn. Nota: No olvides consultar la Escala de evaluaciĂłn para conocer los criterios con que serĂĄ evaluado tu trabajo.

1.3. Plano fase En la mayorĂ­a de los casos un sistema de ecuaciones lineales no puede resolverse por medio de mĂŠtodos analĂ­ticos, por lo que resulta de suma utilidad considerar su comportamiento cualitativo. Esbozar el plano fase de un sistema es una forma de predecir su comportamiento incluso sin resolver el sistema. DefiniciĂłn: El plano fase es una representaciĂłn geomĂŠtrica del conjunto de trayectorias soluciĂłn de un sistema de ecuaciones diferenciales. Para poder dibujar el plano fase, es necesario calcular el campo de pendientes que se calcula al evaluar el comportamiento numĂŠrico (signo) de cada una de las ecuaciones del sistema. Otro resultado que se utiliza para dibujar el plano fase son los valores y vectores propios, pero esos los aprenderĂĄs hasta el subtema 1.3.1. Como un primer acercamiento al tema, el siguiente es un ejemplo de cĂłmo obtener un campo de direcciones de un plano fase. Ejemplo −1 −1 Sea đ?‘‹ ′ = đ??´đ?‘‹ tal que đ??´ = ( ). 1 −1 En este caso es importante escribir al sistema como uno de ecuaciones.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘ĽÂ´ = −đ?‘Ľ − đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘ŚÂ´ = đ?‘Ľ − đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą Ahora nos fijamos en los valores que toma đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ś , đ?‘‘đ?‘Ľ

para diferentes valores que toman đ?‘Ľ, đ?‘Ś en

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

y

para obtener la pendiente de las trayectorias del campo vectorial del sistema.

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś > 0 y > 0 entonces > 0 y las pendientes de las trayectorias serĂĄn positivas. đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś ii) Si > 0 y < 0 entonces < 0 y las pendientes de las trayectorias serĂĄn negativas. đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś iii) Si < 0 y < 0 entonces > 0 y las pendientes de las trayectorias serĂĄn negativas. đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś iv) Si đ?‘‘đ?‘Ą < 0 y đ?‘‘đ?‘Ą < 0 entonces đ?‘‘đ?‘Ľ > 0 y las pendientes de las trayectorias serĂĄn positivas.

i) Si

Campo de pendientes del sistema �� Imagen generada por el programa Dfield and plane de: J. C. (2002). Dfield and plane. Recuperado el 20 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Es importante seĂąalar que para los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales, el Ăşnico punto de equilibrio es el origen, como observamos en el ejemplo anterior. Ya que el plano fase se utiliza con mayor frecuencia para sistemas no lineales, en la unidad 2, estudiaremos otros mĂŠtodos para obtenerlo.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales 1.3.1. Vectores propios reales y complejos DefiniciĂłn: Sea A una matriz constante de đ?‘›đ?‘Ľđ?‘›, un nĂşmero real o complejo đ?œ† se llama valor propio de A si existe un vector đ?‘˘ = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ) ≠0 tal que đ??´đ?‘˘ = đ?œ† đ?‘˘ . Al vector đ?‘˘ se le dice vector propio de A asociado al valor propio đ?œ†. La manera de hallar las soluciones de lĂ­nea recta de un sistema lineal consiste en calcular los vectores propios de la matriz de coeficientes. La siguiente definiciĂłn serĂĄ crucial para resolver un sistema lineal homogĂŠneo por medio de vectores propios. Polinomio caracterĂ­stico DefiniciĂłn: Se define el polinomio caracterĂ­stico asociado a una matriz A de đ?‘›đ?‘Ľđ?‘› como đ?‘ƒđ??´(đ?œ†) = đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą(đ??´ − đ?œ†đ??ź) = 0 DĂłnde: đ?œ† es el valor propio de la matriz A. I es la matriz identidad de đ?‘›đ?‘Ľđ?‘› Observaciones: đ?‘Ž đ?‘? En particular, el polinomio caracterĂ­stico para una matriz đ??´ = ( ) se obtiene al escribir el đ?‘? đ?‘‘ đ?‘Ž đ?‘? đ?œ† 0 đ?‘Žâˆ’ đ?œ† đ?‘? đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą(đ??´ − đ?œ†đ??ź) = det ( ( )−( )) = đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą ( ) = (đ?‘Ž − đ?œ†)(đ?‘‘ − đ?œ†) − đ?‘?đ?‘? = 0 đ?‘? đ?‘‘ 0 đ?œ† đ?‘? đ?‘‘− đ?œ† Y se escribe la ecuaciĂłn caracterĂ­stica del sistema, đ?œ†2 − (đ?‘Ž + đ?‘‘)đ?œ† + (đ?‘Žđ?‘‘ − đ?‘?đ?‘?) = 0 Cuyas raĂ­ces serĂĄn los valores propios (reales o complejos) de la matriz A. Ejemplo Calcula los valores y vectores propios para el sistema: 2 1 đ?‘‹â€™ = ( )đ?‘‹ 2 3 SoluciĂłn Obtenemos el polinomio caracterĂ­stico y obtenemos sus raĂ­ces đ?œ†2 − (2 + 3)đ?œ† + (2 ∗ 3 − 1 ∗ 2) = đ?œ†2 − 5đ?œ† + 4 = 0

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales đ?œ† =

−(−5) Âą √(−5)2 − 4(1 ∗ 4) 5 Âą √25 − 16 5 Âą 3 = = 2 2 2

Por lo que los valores propios son đ?œ†1 = 4 đ?‘Ś đ?œ†2 = −1. Para hallar los vectores propios, basta calcular đ??´đ?‘˘ = đ?œ† đ?‘˘. Entonces, đ?‘Ľ1 2 1 2 1 đ?‘Ľ1 ( )đ?‘˘ = ( ) ( đ?‘Ľ ) = 4 ( đ?‘Ľ ) = 4đ?‘˘ 2 3 2 3 2 2 Escribiendo en forma de ecuaciĂłn para đ?œ†1 = 4 2đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 = 4đ?‘Ľ1 2đ?‘Ľ1 + 3đ?‘Ľ2 = 4đ?‘Ľ2 Resolvemos el sistema −2đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 = 0 2đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 = 0 Por lo que đ?‘Ľ1 = đ?‘Ľ2 /2 Entonces, cualquier vector que cumpla con la igualdad serĂĄ un vector propio para đ?œ†1 = 4, por ejemplo đ?‘˘ = (1,2). Escribiendo en forma de ecuaciĂłn para đ?œ†1 = 1 2đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 = đ?‘Ľ1 2đ?‘Ľ1 + 3đ?‘Ľ2 = đ?‘Ľ2 Resolviendo đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 = 0 2đ?‘Ľ1 − 2đ?‘Ľ2 = 0 Por lo que đ?‘Ľ1 = đ?‘Ľ2 Entonces, cualquier vector que cumpla con la igualdad serĂĄ un vector propio para đ?œ†2 = 1, por ejemplo đ?‘˘ = (1,1).

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Valores propios reales Teorema Sea A con un valor propio real đ?œ† y đ?‘˘ su correspondiente vector propio, entonces el sistema đ?‘‹â€™ = đ??´đ?‘‹ tiene la soluciĂłn de lĂ­nea recta đ?‘‹(đ?‘Ą) = đ?‘’ đ?œ†đ?‘Ą đ?‘˘ Corolario Sea A con valores propios đ?œ† 1 đ?‘Ś đ?œ† 2 reales y distintos, con đ?‘˘ 1 đ?‘Ś đ?‘˘ 2 sus correspondientes vectores propios, entonces las soluciones el sistema đ?‘‹â€™ = đ??´đ?‘‹, đ?‘‹1 (đ?‘Ą) = đ?‘’ đ?œ†1 đ?‘Ą đ?‘˘1 y đ?‘‹2 (đ?‘Ą) = đ?‘’ đ?œ†2 đ?‘Ą đ?‘˘2 son linealmente independientes y la soluciĂłn general del sistema es: đ?‘‹(đ?‘Ą) = đ?‘˜1 đ?‘’ đ?œ†1 đ?‘Ą đ?‘˘1 + đ?‘˜2 đ?‘’ đ?œ†2 đ?‘Ą đ?‘˘2 DĂłnde: k1 , k 2 ∈ â„? Conjunto de Vectores propios Sea A la matriz de coeficientes de un sistema con un valor propio real đ?œ† y đ?‘˘ su correspondiente vector propio, entonces đ?‘˜đ?‘˘, đ?‘˜ ∈ â„?, tambiĂŠn es un vector propio asociado a đ?œ†. Observaciones: Si đ?œ† > 0 el campo de direcciones estarĂĄ en la misma direcciĂłn que el vector propio asociado a đ?œ†. Si đ?œ† < 0 el campo de direcciones estarĂĄ en direcciĂłn contraria al vector propio asociado a đ?œ†. Valores propios reales diferentes con mismo signo i) Cuando ambas raĂ­ces del polinomio caracterĂ­stico son negativas 0 > đ?œ†1 > đ?œ†2 al punto crĂ­tico se llama nodo estable, las trayectorias se acercan al origen.

Imagen i) Imagen basada en el tema 3.3 del libro: P. Blanchard, R. Devaney & G. Hall. (1999). Ecuaciones diferenciales. MĂŠxico: International Thomson Editores

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales ii) Cuando ambas raĂ­ces del polinomio caracterĂ­stico son positivas đ?œ†1 > đ?œ†2 > 0 al punto crĂ­tico se le llama nodo inestable, las trayectorias se alejan del origen.

Imagen ii) Imagen basada en el tema 3.3 del libro: P. Blanchard, R. Devaney & G. Hall. (1999). Ecuaciones diferenciales. MĂŠxico: International Thomson Editores

Ejemplo Encuentre la soluciĂłn general y el plano fase para el sistema 2 1 X’ = ( )X 2 3 SoluciĂłn Ya se han determinado los valores propios del sistema con sus correspondientes, otro par de vectores propios son para Îť1 = 4, u = (2, 4) y para Îť2 = 1, u = (−1, 1). Entonces, por el resultado anterior la soluciĂłn general buscada estĂĄ dada por 1 −1 X(t) = k1 e4t ( ) + k 2 e t ( ) 2 1 Donde: k1 , k 2 ∈ â„? Ahora, como las raĂ­ces del polinomio caracterĂ­stico son reales diferentes y del mismo signo, su plano fase es de la siguiente forma:

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales

Plano fase del sistema X’ Imagen generada por el programa Dfield and plane de: J. C. (2002). Dfield and plane. Recuperado el 20 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Dado que esto es vĂĄlido para todo đ?‘˜1 , đ?‘˜2 ∈ â„? se puede graficar cualquier cantidad de curvas soluciĂłn. Luego, ademĂĄs de los ejes, se pueden encontrar curvas en los cuatro cuadrantes.

Valores propios reales con signo opuesto Cuando las raĂ­ces del polinomio caracterĂ­stico son de signo opuesto Îť1 > 0 > Îť2 las trayectorias cercanas al vector correspondiente a Îť2 tenderĂĄn a cero, mientras que las trayectorias cercanas al vector correspondiente a Îť2 tenderĂĄn a infinito. A este tipo de punto se le llama punto silla.

Trayectorias de un punto silla Imagen basada en el tema 3.4 del libro: P. Blanchard, R. Devaney & G. Hall. (1999). Ecuaciones diferenciales. MĂŠxico: International Thomson Editores

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo Escriba la soluciĂłn general y el plano fase para el sistema −2 0 X’ = ( )X −3 4 SoluciĂłn Los valores propios del sistema con sus correspondientes vectores propios son para Îť1 = −2, u = (2,1) y para Îť2 = 4, u = (1, 0). Entonces, la soluciĂłn general buscada estĂĄ dada por 2 1 X(t) = k1 e−2t ( ) + k 2 e4 t ( ) 1 0 Donde: k1 , k 2 ∈ â„? Su plano fase corresponde a valores propios diferentes y de signo contrario, por lo que serĂĄ de la siguiente forma:

Plano fase del sistema X´ Imagen generada por el programa Dfield and plane de: J. C. (2002). Dfield and plane. Recuperado el 20 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Vectores propios linealmente independientes Ya que los sistemas de ecuaciones diferenciales los estudiamos utilizando teorĂ­a de matrices, no es casualidad que los vectores propios formen conjuntos linealmente independientes, porque se comportan como los elementos que forman una base para un espacio vectorial. Teorema Sea đ??´ con đ?œ†1 , ‌ , đ?œ†n valores propios distintos y đ?‘˘1 , ‌ , đ?‘˘n sus correspondientes vectores propios, entonces đ?‘˘1 , ‌ , đ?‘˘n son linealmente independientes. Corolario Sea đ??´ con đ?œ†1 , ‌ , đ?œ†n valores propios distintos y đ?‘˘1 , ‌ , đ?‘˘n sus correspondientes vectores propios,

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales entonces đ?‘’ đ?œ†1 đ?‘Ą đ?‘˘1 , ‌ , đ?‘’ đ?œ†đ?‘› đ?‘Ą đ?‘˘đ?‘› es un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogĂŠneo đ?‘‹â€™ = đ??´đ?‘‹. Valores propios complejos Ahora verĂĄs sistemas que no presentan soluciones de lĂ­nea recta, mĂĄs aĂşn verĂĄs cĂłmo obtener soluciones con valores reales a partir de soluciones con valores propios complejos. La soluciĂłn es equivalente a obtener los valores propios complejos para una ecuaciĂłn lineal. Teorema Sea đ??´ una matriz con coeficientes en â„? cuyos valores propios son conjugados complejos de la forma đ?›ź Âą đ?›˝đ?‘– y sus correspondientes vectores propios son aÂąđ?‘?đ?‘–, entonces el sistema đ?‘‹â€™ = đ??´đ?‘‹ tiene soluciones linealmente independientes de la forma đ?‘Ľ1 = đ?‘’ đ?›źđ?‘Ą cos đ?›˝đ?‘Ą đ?‘Ž − đ?‘’ đ?›źđ?‘Ą sen đ?›˝đ?‘Ą đ?‘?

đ?‘Ľ2 = đ?‘’ đ?›źđ?‘Ą sen đ?›˝đ?‘Ą đ?‘Ž + đ?‘’ đ?›źđ?‘Ą cos đ?›˝đ?‘Ą đ?‘?

Los valores propios son complejos conjugados đ?œś Âą đ?œˇđ?’Š i) Cuando đ?›ź = 0 las soluciones son periĂłdicas y tienden a rodear al punto crĂ­tico que se le llama centro (el sentido de las trayectorias estarĂĄn dadas por el vector propio).

Imagen iii) Imagen basada en el tema 3.4 del libro: P. Blanchard, R. Devaney & G. Hall. (1999). Ecuaciones diferenciales. MĂŠxico: International Thomson Editores

ii) Cuando � < 0 las trayectorias tienden a cerrarse en forma de espiral hacia el punto crítico que se le llama foco estable.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales

Imagen iv) Imagen basada en el tema 3.4 del libro: P. Blanchard, R. Devaney & G. Hall. (1999). Ecuaciones diferenciales. MĂŠxico: International Thomson Editores

iii) Cuando � > 0 las soluciones se alejan del punto crítico, las trayectorias tambiÊn tienen forma de espiral, al punto crítico se le llama foco inestable.

Imagen v) Imagen basada en el tema 3.4 del libro: P. Blanchard, R. Devaney & G. Hall. (1999). Ecuaciones diferenciales. MĂŠxico: International Thomson Editores

Ejemplo Encuentre la soluciĂłn general para el sistema 3 −1 X’ = ( )X 5 −1 SoluciĂłn El polinomio caracterĂ­stico es đ?œ†2 − (3 − 1)đ?œ† + (3 ∗ −1 − (−1 ∗ 5)) = đ?œ†2 − 2đ?œ† + 2 = 0 đ?œ† =

−(−2) Âą √(−2)2 − 4(2) 2 Âą √4 − 8 2 Âą √−4 2 Âą 2đ?‘– = = = =1Âąđ?‘– 2 2 2 2

Por lo que los valores propios serĂĄn Îť1 = 1 + đ?‘– y Îť2 = 1 − i.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Para hallar los vectores propios basta calcular đ??´đ?‘˘ = đ?œ† đ?‘˘. Entonces, basta calcular un vector propio (

đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ1 3 −1 đ?‘Ľ1 ) ( đ?‘Ľ ) = (1 − đ?‘–) ( đ?‘Ľ ) = (1 + đ?‘–) ( đ?‘Ľ ) = 5 −1 2 2 2

Escribiendo en forma de ecuaciĂłn para đ?œ†1 3đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 = đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ1 đ?‘– 5đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 = đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ2 đ?‘– Se multiplica por đ?‘– la primer ecuaciĂłn y se resuelve (3đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 = đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ1 đ?‘–)đ?‘– 3đ?‘Ľ1 đ?‘– − đ?‘Ľ2 đ?‘– = đ?‘Ľ1 đ?‘– + đ?‘Ľ1 5đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 = đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ2 đ?‘– Resolviendo, se obtiene para đ?œ†1 = 1 − đ?‘–, đ?›ź = 1 đ?‘Ś đ?›˝ = −1,su vector propio es đ?‘˘ = (1, −3 + đ?‘–) = 1 1 0 ( )=( ) + ( )i −3 + i −3 1 Por lo que la soluciĂłn general buscada estĂĄ dada por 1 0 1 0 X(t) = k1 {(et cos −t ( ) − e t sen − t ( )} + k 2 {(et sen −t ( ) + e t cos − t ( )}= −3 1 −3 1 et cos −t et sen −t = k1 ( ) + k2 ( t ) −3et (cos −t + sen − t) e (cos −t − sen − t) DĂłnde: k1 , k 2 ∈ â„? El plano fase del sistema corresponde a valores propios complejos y conjugados, cuya parte real es positiva, por lo que las soluciones se alejan del origen, el plano serĂĄ de la forma:

Plano fase del sistema X´

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Imagen generada por el programa Dfield and plane de: J. C. (2002). Dfield and plane. Recuperado el 20 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

1.3.2 Vectores propios de casos especiales Hasta ahora has visto diferentes tipos de planos fase y la soluciĂłn a diversos tipos de sistemas de ecuaciones lineales homogĂŠneos. VerĂĄs ahora casos muy especiales y su correspondiente plano fase. Valores propios repetidos Teorema Sea A la matriz del sistema đ?‘‹â€™ = đ??´đ?‘‹ con un valor propio đ?œ† real repetido y đ?‘˘1 su correspondiente vector propio y đ?‘‹1 (đ?‘Ą) = đ?‘’ đ?œ†đ?‘Ą đ?‘˘1 su soluciĂłn de lĂ­nea recta, entonces el sistema tiene posee una segunda soluciĂłn de la forma đ?‘‹2 (đ?‘Ą) = đ?‘’ đ?œ†đ?‘Ą (đ?‘Ąđ?‘˘1 + đ?‘˘2 ) linealmente independiente a đ?‘‹1 (đ?‘Ą), con đ?‘˘2 que satisface đ??´đ?‘˘2 − đ?œ†đ?‘˘1 = đ?‘˘1 . La soluciĂłn general del sistema es đ?‘‹(đ?‘Ą) = đ?‘˜1 đ?‘’ đ?œ†đ?‘Ą đ?‘˘1 + đ?‘˜2 (đ?‘’ đ?œ†đ?‘Ą (đ?‘Ąđ?‘˘1 + đ?‘˘2 )) DĂłnde: đ?‘˜1 , đ?‘˜2 ∈ â„?

Valores propios repetidos Cuando đ?œ†1 = đ?œ†2 : Si đ?œ†1 > 0 se tiene sĂłlo una recta de vectores propios, las trayectorias se alejan del punto crĂ­tico, al punto crĂ­tico se le llama nodo degenerado inestable.

Trayectorias de un nodo degenerado inestable Imagen basada en el tema 3.5 del libro: P. Blanchard, R. Devaney & G. Hall. (1999). Ecuaciones diferenciales. MĂŠxico: International Thomson Editores

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Si đ?œ†1 < 0 se tiene una recta de vectores propios, las trayectorias se acercan al punto crĂ­tico que es llamado nodo degenerado estable.

Trayectorias de un nodo degenerado estable Imagen basada en el tema 3.5 del libro: P. Blanchard, R. Devaney & G. Hall. (1999). Ecuaciones diferenciales. MĂŠxico: International Thomson Editores

Ejemplo Considera el sistema −4 −2 đ?‘‹â€˛ = ( )đ?‘‹ 2 0 Calcule la soluciĂłn general del sistema y esboce el plano fase. SoluciĂłn Primero hallamos los valores y vectores propios đ?œ†2 + 4đ?œ† + (−4 ∗ 0 − (−2 ∗ 2)) = đ?œ†2 + 4đ?œ† + 4 = 0 đ?œ† =

−4 Âą √(4)2 − 4(4) −4 Âą √ 0 = = −2 2 2 đ?œ† = −2, đ?‘Ś đ?‘˘1 = (1, 1)

1 Y una soluciĂłn del sistema es đ?‘‹1 (đ?‘Ą) = đ?‘˜1 đ?‘’ −2đ?‘Ą đ?‘˘1 = đ?‘˜1 đ?‘’ −2đ?‘Ą ( ) 1 Dado que se trata de raĂ­ces repetidas, por el teorema anterior, buscaremos otro vector para tener dos vectores linealmente independientes. Para hallar đ?‘˘2 =(z, w) debemos resolver la ecuaciĂłn đ??´đ?‘˘2 − đ?œ†đ?‘˘1 = đ?‘˘1 −4 −2 1 1 −4 −2 đ?‘§ 1 1 Entonces, ( ) đ?‘˘2 − 5 ( ) = ( ) y ( )( ) − 5( ) = ( ) đ?‘¤ 2 0 1 1 2 0 1 1

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Y, obtenemos đ?‘§ = −3 đ?‘Ś đ?‘¤ = 3, por lo que đ?‘˘2 =(−3, 3) Por lo que otra soluciĂłn linealmente independiente para el sistema serĂĄ −3 1 đ?‘‹2 (đ?‘Ą) = đ?‘˜2 đ?‘’ −2đ?‘Ą (đ?‘Ą ( ) + ( )) 3 1 Y la soluciĂłn general del sistema es 1 −3 1 đ?‘‹ (đ?‘Ą) = đ?‘˜1 đ?‘’ −2đ?‘Ą ( ) + đ?‘˜2 đ?‘’ −2đ?‘Ą (đ?‘Ą ( ) + ( )) 1 3 1 DĂłnde: đ?‘˜1 , đ?‘˜2 ∈ â„? El plano fase del sistema corresponde a valores propios repetidos y negativos, por lo que las trayectorias se acercan al origen, el plano serĂĄ:

Plano fase del sistema X´ Imagen generada por el programa Dfield and plane de: J. C. (2002). Dfield and plane. Recuperado el 20 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Todo vector es vector propio del sistema � 0 ) �(�), se trata de un sistema 0 � desacoplado y donde todo vector es un vector propio. En este caso se tienen varias trayectorias que son líneas rectas. Un tipo de sistema con estas características es �’ = (

Si đ?‘Ž > 0 todas las trayectorias tienden a infinito, al punto crĂ­tico se le llama nodo especial inestable.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales

Trayectoria de un nodo especial inestable Imagen basada en el tema 3.5 del libro: P. Blanchard, R. Devaney & G. Hall. (1999). Ecuaciones diferenciales. MĂŠxico: International Thomson Editores

Si đ?‘Ž < 0 todas las trayectorias se acercan al origen, al punto crĂ­tico se le llama nodo especial estable.

Trayectoria de un nodo especial estable Imagen basada en el tema 3.5 del libro: P. Blanchard, R. Devaney & G. Hall. (1999). Ecuaciones diferenciales. MĂŠxico: International Thomson Editores

Ejemplo Calcule la solución general del sistema y esboce su plano fase 1 0 �’ = ( ) �(�) 0 1

SoluciĂłn Obtenemos el polinomio caracterĂ­stico y lo resolvemos đ?œ†2 − (1 + 1)đ?œ† + (1 ∗ 1 − 0 ∗ 0) = đ?œ†2 − 2đ?œ† + 1 = (đ?œ† − 1)(đ?œ† − 1) = 0 Por lo que el sistema tiene un valor propio repetido đ?œ† = 1 > 0

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Entonces, todo vector es vector propio pues se tiene que x1=x1 y x2=x2. Y el plano fase será de la siguiente forma:

Plano fase del sistema X´ Imagen generada por el programa Dfield and plane de: J. C. (2002). Dfield and plane. Recuperado el 20 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Valor propio es cero Hay sistemas que tienen como valor propio al cero, es decir, el polinomio característico cuenta con dos raíces diferentes λ1 = 0 y λ2 ≠ 0 . En este caso, las soluciones son líneas rectas cuya dirección está determinada por el vector propio asociado al valor propio λ2 y los puntos de equilibrio forman una línea recta. Si λ2 > 0

Trayectorias con solución en línea recta Imagen basada en el tema 3.5 del libro: P. Blanchard, R. Devaney & G. Hall. (1999). Ecuaciones diferenciales. México: International

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Thomson Editores

Si Îť2 < 0

Trayectorias con vector propio cero Imagen basada en el tema 3.5 del libro: P. Blanchard, R. Devaney & G. Hall. (1999). Ecuaciones diferenciales. MĂŠxico: International Thomson Editores

Ejemplo Calcule la soluciĂłn general del sistema y esboce su plano fase 1 −1 đ?‘‹â€™ = ( ) đ?‘‹(đ?‘Ą) −1 1 SoluciĂłn Obtenemos el polinomio caracterĂ­stico y lo resolvemos đ?œ†2 − (1 + 1)đ?œ† + (1 ∗ 1 − ((−1 ∗ −1) = đ?œ†2 − 2đ?œ† = đ?œ†(đ?œ† − 2) = 0 Por lo que los valores propios son đ?œ†1 = 0 đ?‘Ś đ?œ†2 = 2. Para hallar los vectores propios, por la definiciĂłn, basta calcular đ??´đ?‘˘ = đ?œ† đ?‘˘. Entonces, đ?‘Ľ1 1 −1 1 −1 đ?‘Ľ1 ( )đ?‘˘ = ( ) ( đ?‘Ľ ) = 0 ( đ?‘Ľ ) = 0đ?‘˘ −1 1 −1 1 2 2 Escribiendo en forma de ecuaciĂłn para đ?œ†1 = 0 đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 = 0 −đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 = 0 Resolviendo

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales đ?‘Ľ1 = đ?‘Ľ2 Entonces, el vector đ?‘˘1 = (1, 1). es un vector propio para đ?œ†1 = 0. Resolviendo para đ?œ†2 = 2 đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 = 2đ?‘Ľ1 −đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 = 2đ?‘Ľ2 Por lo que đ?‘Ľ1 = −đ?‘Ľ2 Entonces, cualquier vector que cumpla con la igualdad serĂĄ un vector propio para đ?œ†2 = 2, por ejemplo đ?‘˘2 = (1, −1). La soluciĂłn general serĂĄ 1 1 1 1 đ?‘‹ (đ?‘Ą) = đ?‘˜1 đ?‘’ 0đ?‘Ą ( ) + đ?‘˜2 đ?‘’ 2đ?‘Ą ( ) = đ?‘˜1 ( ) + đ?‘˜2 đ?‘’ 2đ?‘Ą ( ) 1 −1 1 −1 Para tener una idea del comportamiento del sistema, sabemos que hay puntos de equilibrio sobre la recta đ?‘Ľ1 = đ?‘Ľ2 por lo que las soluciones convergen a alguno de esos puntos TambiĂŠn se observa que las trayectorias serĂĄn paralelas al vector đ?‘˘2 = (1, −1). Entonces, el plano fase serĂĄ de la siguiente forma:

Plano fase del sistema X´ Imagen generada por el programa Dfield and plane de: J. C. (2002). Dfield and plane. Recuperado el 20 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Geométricamente un valor propio cero indica que las soluciones tienden a los puntos de equilibrio del sistema.

Actividad 3. Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos Al finalizar esta actividad podrás resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneos. Instrucciones: 1. Descarga el archivo llamado “Actividad 3. Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos”. 2. Analiza cada integral e identifica el método de solución de cada una de ellas. 3. Resuelve cada una de las integrales dependiendo su clasificación. 4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura ED02_U1_A3_XXYZ _XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 5. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación. Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo. Aplicaciones Como has visto, los sistemas lineales tienen la posibilidad de obtener sus soluciones exactas por métodos numéricos o cuantitativos. Por ello, representar un problema en diversas áreas de estudio y de la vida cotidiana en su correspondiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales resulta práctico y conveniente. Ejemplo Se tienen dos recipientes con una solución salina P y Q conectados por un tubo y con P colocado a cierta distancia vertical de Q, cuya cantidad de sal va disminuyendo conforme pasa el tiempo. Si a P ingresa solución salina con una función de variación nula, y se transfiere a Q con una tasa de transferencia constante S=5 y, además, la tasa de transferencia de salida es S=10. Determina la cantidad de sal en el instante t.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales

Recipientes con soluciĂłn salina Imagen generada con GNU (Imagen Manipulation Program), Gimp 2013.

A este tipo de modelo se le conoce como modelo de compartimiento que indica que es posible conocer un estado pĂłstumo conociendo el estado actual. SoluciĂłn El primer paso para resolver el problema es establecer las incĂłgnitas, en este caso la sal en el instante t. Sea đ?‘Ľ1 la cantidad de sal en P y đ?‘Ľ2 la cantidad de sal en Q Entonces, la variaciĂłn de đ?‘Ľ1 en el instante t estĂĄ dada por la variaciĂłn de entrada menos la variaciĂłn del recipiente P al recipiente Q que es (S=20)*đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ1′ = 0 − 5đ?‘Ľ1 AsĂ­ mismo, la variaciĂłn de đ?‘Ľ2 en el instante t estĂĄ dada por la variaciĂłn de P a Q menos la variaciĂłn de salida que estĂĄ dada por (S=10)*đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ2′ = 5đ?‘Ľ1 − 10đ?‘Ľ2 Por lo que tenemos el sistema đ?‘Ľ1′ = 0 − 5đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2′ = 5đ?‘Ľ1 − 10đ?‘Ľ2

Escribimos al sistema en forma matricial −5 0 đ?‘‹â€˛ = ( )đ?‘‹ 5 −10 Resolvemos el sistema homogĂŠneo, primero hallamos los valores y vectores propios

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales đ?œ†2 + 15đ?œ† + (−10 ∗ −5 − (5 ∗ 0)) = đ?œ†2 + 15đ?œ† + 50 = 0 đ?œ† =

−15 Âą √(15)2 − 4(50) −15 Âą √ 25 −15 Âą 5 = = 2 2 2

đ?œ†1 = −5 y đ?œ†2 = −10 Resolvemos el sistema para encontrar el vector propio: −5đ?‘Ľ1 = −5đ?‘Ľ1 5đ?‘Ľ1 − 10đ?‘Ľ2 = −5đ?‘Ľ2 Y encontramos que đ?‘˘1 = (1, 1) Resolvemos el sistema para obtener el otro vector propio: −5đ?‘Ľ1 = −10đ?‘Ľ1 5đ?‘Ľ1 − 10đ?‘Ľ2 = −10đ?‘Ľ2 Y encontramos que đ?‘˘2 = (0, 1) Por lo tanto la soluciĂłn general del sistema tiene la forma,: 1 0 đ?‘‹ (đ?‘Ą) = đ?‘˜1 đ?‘’ −5đ?‘Ą ( ) + đ?‘˜2 đ?‘’ −10đ?‘Ą ( ) 1 1 DĂłnde: đ?‘˜1 , đ?‘˜2 ∈ â„? Al punto crĂ­tico se llama nodo estable, que es el origen, las trayectorias se acercan al punto crĂ­tico y el plano fase serĂĄ:

Plano fase del sistema X´ Imagen generada por el programa Dfield and plane de: J. C. (2002). Dfield and plane. Recuperado el 20 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Actividad 4. Aplicaciones de los sistemas lineales Al finalizar esta actividad podrás resolver problemas de sistemas lineales homogéneos. Instrucciones: 1. Descarga el archivo llamado “Actividad 4. Aplicaciones de los sistemas lineales”. 2. Analiza el problema que se presenta en el documento descargable y en base a ellos resuelve cada uno de las puntos que se solicita. 3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura ED02_U1_A4_XXYZ. 4. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación. Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Evidencia de aprendizaje. Solución de sistemas lineales Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrás que resolver problemas de sistemas lineales homogéneos y no homogéneos, Tomando como referencia lo aprendido durante toda la unidad. Instrucciones: 1. Descarga el documento llamado “Evidencia de aprendizaje. Sistemas lineales” 2. Argumenta tu respuesta en base a lo que aprendiste en la unidad. 3. Resuelve el problema correctamente que se te plantea en el documento. 4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura EDII_U1_EA_XXYZ. 5. Envía tu archivo al Portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación. Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad En esta unidad 1, aprendiste las características principales y solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos y no homogéneos, a través del uso de teoremas y propiedades del álgebra lineal y cálculo diferencial. Ahora sabes que los sistemas lineales tienen aplicación en la vida cotidiana. En la unidad 2, la meta es aprender las características y solución de sistemas no lineales para modelar y solucionar problemas de la vida cotidiana.

Para saber más En los siguientes links podrás encontrar ejercicios resueltos de los temas que viste durante la unidad Sin nombre. (2009). Solución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales. Recuperado el 2 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95843/lecturas/l843-73.pdf Sin nombre. (2011). Sistemas de ecuaciones diferenciales, capítulo 8. Recuperado el 2 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://deymerg.files.wordpress.com/2011/07/capitulo-8.pdf En los siguientes links podrás consultar la demostración de los teoremas y corolarios correspondientes a la unidad 1.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 1. Sistemas de ecuaciones lineales Sin nombre. (2009). Tema 8.3. Recuperado el 2 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://www.ehu.es/izaballa/Ecu_Dif/Apuntes/lec8.pdf M. Molero & L. Garmendia. (2011). Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales. Recuperado el 2 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://www2.caminos.upm.es/departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematic o/Temas/C11_Sistemas.pdf Sin nombre. (2009). Sistemas Diferenciales Lineales. Recuperado el 2 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://personal.us.es/niejimjim/tema03.pdf En los siguientes links podrás encontrar programas para calcular planos fase de un sistema de ecuaciones diferenciales. Sin nombre. (2010). Direction Field. Recuperado el 2 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://www.scottsarra.org/applets/dirField2/dirField2.html J. C. (2002). Dfield and plane. Recuperado el 2 de diciembre de 2013, del sitio web de: http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Referencias Bibliográficas W. Boyce, R. Diprima. (5 Ed.). (2000). Ecuaciones diferenciales con valores en la frontera. México: Limusa M. Hirsch, M. Smale. (1983). Ecuaciones Diferenciales, Sistemas Dinámicos y Álgebra Lineal. Madrid: Alianza. F. Simmons. (1983). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Históricas. Madrid: Mac Graw–Hill. M. Braun. (1990). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. México: Iberoamérica. M. De Guzmán. (1987). Ecuaciones diferenciales ordinarias: teoría de estabilidad y control. Madrid: Alhambra.

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