Unidad 2 acciones de grupo y un teorema de frobenius

Álgebra moderna II Unidad 2. Acciones de grupo y un teorema de Frobenius Contenido nuclear Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8 Semestre

Programa de la asignatura: Álgebra moderna II

Unidad 2. Acciones de grupo y un teorema de Frobenius

Contenido nuclear

Clave: 05144842

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 1

Álgebra moderna II Unidad 2. Acciones de grupo y un teorema de Frobenius Contenido nuclear

Índice Introducción ..................................................................................................................... 3 Acciones de grupo y un teorema de Frobenius ............................................................ 4 Puntos fijos .................................................................................................................... 5 Orbitas ........................................................................................................................... 6 Cierre de la Unidad .......................................................................................................... 6 Fuentes de consulta ........................................................................................................ 6

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Álgebra moderna II Unidad 2. Acciones de grupo y un teorema de Frobenius Contenido nuclear Introducción Como fundamento teórico para la demostración de los teoremas de Sylow aparece el concepto de acción de un grupo sobre un conjunto. Esta noción tiene bastante analogía con el de operación binaria externa y será tratada en el presente capitulo. Se estudiará en particular la acción de conjugación. Además, serán definidos los grupos transitivos del grupo simétrico 𝑆𝑛 . De vital importancia para la demostración de los teoremas de Sylow es la ecuación de clases, la cual estableceremos en este capítulo. Un tratamiento completo de los G-conjuntos nos llevará a la teoría de los espacios vectoriales y módulos sobre anillos. Nosotros nos limitaremos a utilizar los G-conjuntos como lenguaje y herramienta para comprender mejor la teoría de Sylow.

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Ă lgebra moderna II Unidad 2. Acciones de grupo y un teorema de Frobenius Contenido nuclear Acciones de grupo y un teorema de Frobenius En un grupo đ?‘Ž su operaciĂłn binaria es una funciĂłn đ?‘Ž Ă— đ?’€ → đ?’€ que asigna a cada par (đ??ˆ, đ??‰) de elementos de đ?‘Ž el Ăşnico elemento đ??ˆđ??‰ ∈ đ?‘Ž. Generalizando lo anterior y recordando la motivaciĂłn que si đ?‘Ž es un grupo y đ?’€ es un conjunto no vacĂ­o, una acciĂłn de đ?‘Ž en đ?’€ es una funciĂłn.

∗: đ??ş Ă— đ?‘Œ → đ?‘Œ Que asigna a cada elemento đ?œŽ ∈ đ??ş y đ?‘Ś ∈ đ?‘Œ un Ăşnico elemento đ?œŽ ∗ đ?‘Ś ∈ đ?‘Œ. Como đ??ş es un grupo, es neutral pedir que esta acciĂłn de đ??ş en đ?‘Œ satisfaga las propiedades siguientes: 1. Si đ?‘’ es el neutro de đ??ş, entonces para todo đ?‘Ľ ∈ đ?‘Œ se tiene que đ?‘’ ∗ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ.

2. SĂ­ đ?œŽ, đ?œ? ∈ đ??ş y đ?‘Ľ ∈ đ?‘Œ, entonces (đ?œŽđ?œ?) ∗ đ?‘Ľ = đ?œŽ ∗ (đ?œ? ∗ đ?‘Ľ).

En ocasiones, por abuso de notaciĂłn, dada una acciĂłn ∗: đ??ş Ă— đ?‘Œ → đ?‘Œ, en lugar de la notaciĂłn đ?œŽ ∗ đ?‘Ľ usaremos la notaciĂłn đ?œŽđ?œ?. Con esto, la propiedad 2 de arriba se escribe (đ?œŽđ?œ?)đ?‘Ľ = đ?œŽ(đ?œ?đ?‘Ľ), donde a la izquierda đ?œŽđ?œ? es el producto de đ??ş y el segundo producto (đ?œŽđ?œ?)đ?‘Ľ es la acciĂłn de đ?œŽđ?œ? sobre đ?‘Ľ. En la derecha los productos son los de la acciĂłn de đ??ş en đ?‘Œ. Si đ?‘Œ es un conjunto en el cual se tiene una acciĂłn de đ??ş, diremos que đ?‘Œ es đ??ş − đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘—đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ.

Ejemplo 1 • Si đ?‘Œ es cualquier conjunto no vacĂ­o, sea đ??ş Ă— đ?‘Œ → đ?‘Œ dada por đ?œŽ ∗ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ. Claramente ĂŠsta es una acciĂłn de đ??ş en đ?‘Œ y decimos que đ??ş actua trivialmente en đ?‘Œ

Ejemplo 2 • Si đ?‘Œ es cualquier conjunto no vacĂ­o, sea đ??ş = đ?‘†đ?‘Ś el grupo de permutaciones de đ?‘Œ. Entonces đ??ş actĂşa sobre đ?‘Œ permutando sus elementos, i, e.,đ??ş Ă— đ?‘Œ → đ?‘Œ estĂĄ dada por đ?œŽ ∗ đ?‘Ľ = đ?œŽ(đ?‘Ľ) (la funciĂłn đ?œŽ calculada en đ?‘Ľ

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Ă lgebra moderna II Unidad 2. Acciones de grupo y un teorema de Frobenius Contenido nuclear Ejemplo 3.

Sea đ??ş cualquier grupo y sea đ??ť ⊆ đ??ş un subgrupo de đ??ş. PodrĂ­amos preguntarnos si đ??ť actĂşa sobre đ??ş mediante traslaciones derechas, i. e., si la funciĂłn đ??ť Ă— đ??ş → đ??ş dada por â„Ž ∗ đ?œŽ = đ?œŽâ„Ž es una acciĂłn. Observa que el primer axioma es vĂĄlido: si â„Ž = đ?‘’, đ?‘’ ∗ đ?œŽ = đ?œŽđ?‘’ = đ?œŽ. Ahora, si â„Ž, đ?‘˜ ∈ đ??ť y đ?œŽ ∈ đ??ş, queremos que se cumpla la igualdad (â„Žđ?‘˜) ∗ đ?œŽ = â„Ž ∗ (đ?‘˜ ∗ đ?œŽ), i.e., queremos la igualdad đ?œŽâ„Žđ?‘˜ = đ?œŽâ„Žđ?‘˜ . Si esta igualdad es cierta, en particular para đ?œŽ = đ?‘’ se debe tener que â„Žđ?‘˜ = đ?‘˜â„Ž para todo â„Ž, đ?‘˜ ∈ đ??ť, es decir, el subgrupo đ??ť debe ser abeliano. Claramente ĂŠsta es una condiciĂłn suficiente y por lo tanto la traslaciĂłn derecha es una đ??ť −acciĂłn sobre đ??ş si y sĂłlo si đ??ť es abeliano.

Revisa la secciĂłn 8 del libro ZaldĂ­var. F. (2006). IntroducciĂłn a la TeorĂ­a de Grupos. Primera ediciĂłn. MĂŠxico: Sociedad MatemĂĄtica Mexicana. Revisa los ejemplos y despuĂŠs resuelve los ejercicios presentados en la actividad 2

Puntos fijos Si un grupo đ??ş actĂşa sobre un conjunto đ?‘Œ, interesa saber cĂłmo mueve đ??ş a los elementos đ?‘Œ y que por esto suele ser Ăştil estudiar los elementos đ?‘Œ que no se mueven, i.e., que permanecen fijos bajo la acciĂłn de đ??ş, podemos hacerlo desde dos puntos de vista: (1) Si đ?œŽ ∈ đ??şestĂĄ dado, podemos considerar los elementos de đ?‘Œ que permanecen fijos bajo la acciĂłn de este đ?œŽ, y se define đ?‘Œ đ?œŽ ≔ {đ?‘Ľ ∈ đ?‘Œ âˆś đ?œŽ ∗ đ?‘Ľ } ⊆ đ?‘Œ.

El conjunto đ?‘Œ đ?œŽ se llama el conjunto de puntos fijos de đ??ˆ

(2) Si đ?‘Ľ ∈ đ?‘Œ es un elemento dado, podemos considerar el subconjunto de elementos del grupo đ??ş que dejan fijo a đ?‘Ľ, y se define.

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Ă lgebra moderna II Unidad 2. Acciones de grupo y un teorema de Frobenius Contenido nuclear đ??şđ?‘Ľ ≔ {đ?œŽ ∈ đ??ş âˆś đ?œŽ ∗ đ?‘Ľ} ⊆ đ??ş.

El conjunto đ??şđ?‘Ľ se llama el subgrupo de isotropĂ­a o estabilizador de đ?’™, y en efecto es un subgrupo: Lema 2.1 đ?‘Žđ?’™ đ?’†đ?’” đ?’–đ?’? đ?’”đ?’–đ?’ƒđ?’ˆđ?’“đ?’–đ?’‘đ?’? đ?’…đ?’† đ?‘Ž DemostraciĂłn claramente đ?‘’ ∈ đ??şđ?‘Ľ ya que đ?‘’ ∗ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ si đ?œŽ, đ?œ? ∈ đ??şđ?‘Ľ , entonces (đ?œŽđ?œ?) ∗ đ?‘Ľ = đ?œŽ ∗ (đ?œ? ∗ đ?‘Ľ) = đ?œŽ ∗ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ y por lo tanto đ?œŽđ?œ? ∈ đ??şđ?‘Ľ . Finalmente, si đ?œŽ ∈ đ??şđ?‘Ľ , entonces đ?œŽ −1 ∗ đ?‘Ľ = đ?œŽ −1 ∗ (đ?œŽ ∗ đ?‘Ľ) = (đ?œŽ −1 đ?œŽ) ∗ đ?‘Ľ = đ?‘’ ∗ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ y asĂ­ đ?œŽ −1 ∈ đ??şđ?‘Ľ .

Orbitas Si đ?‘Œ es un đ??ş- conjunto, se define la relaciĂłn siguiente en đ?‘Œ: đ?‘Ľ~đ?‘Ś đ?‘ đ?‘– đ?‘’đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’ đ?œŽ ∈ đ??ş tal que đ?œŽ ∗ đ?‘Ľ = đ?‘Ś. Cuando đ?‘Ľ~đ?‘Ś, diremos que đ?‘Ľ es đ??ş-equivalente a đ?‘Ś. Ésta es una relaciĂłn de equivalencia en đ?‘Œ ya que: i.

Es reflexiva ya que đ?‘Ľ~đ?‘Ľ por que đ?‘’ ∗ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ ii.

Es SimĂŠtrica ya que si đ?‘Ľ~đ?‘Ś entonces existe đ?œŽ ∈ đ??ş tal que đ?œŽđ?‘Ľ = đ?‘Ś asĂ­ đ?œŽ −1 đ?‘Ś = đ?œŽ −1 (đ?œŽđ?‘Ľ) = đ?‘’đ?‘Ľ = đ?‘Ľ y por lo tanto đ?‘Ś~đ?‘Ľ. iii.

Es transitiva ya que si đ?‘Ľ~đ?‘Ś y đ?‘Ś~đ?‘§, entonces existen đ?œŽ, đ?œ? ∈ đ??ş tales que đ?œŽđ?‘Ľ = đ?‘Ś y đ?œ?đ?‘Ś = đ?‘§. Se sigue que (đ?œ?đ?œŽ)đ?‘Ľ = đ?œ?(đ?œŽđ?‘Ľ) = đ?œ?đ?‘Ś = đ?‘§ y asĂ­ đ?‘Ľ~đ?‘§.

Las clases de equivalencia de la relaciĂłn anterior se llaman las orbitas de la acciĂłn de đ??ş en đ?‘Œ. A la Ăłrbita de đ?‘Ľ ∈ đ?‘Œ la denotaremos mediante [đ?‘Ľ] = đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘?đ??ş (đ?‘Ľ) = {đ?œŽ ∗ đ?‘Ľ ∈ đ?‘Œ: đ?œŽ ∈ đ??ş}.

Revisa la secciĂłn 8 del libro ZaldĂ­var. F. (2006). IntroducciĂłn a la TeorĂ­a de Grupos. Primera ediciĂłn. MĂŠxico: Sociedad MatemĂĄtica Mexicana. Revisa los ejemplos y despuĂŠs resuelve los ejercicios presentados en la actividad 2

Cierre de la Unidad En esta unidad construiste un nuevo grupo mediante el producto directo de ellos. Ahora cuentas con las herramientas para entender mejor las acciones de grupos.

Fuentes de consulta Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 6

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Zaldívar. F. (2006). Introducción a la Teoría de Grupos. Primera edición. México: Sociedad Matemática Mexicana.

Rotman. J. J. (2000). A First Course in Abstract Algebra. Second edition. United States of America. Prentice Hall.

Herstein. I. N. Álgebra Moderna: Grupos, Anillos, Campos, Teoría de Galois. Segunda edición. México: Trillas.

Fraleigh. J. B. (1994). A First Course in Abstract Algebra. United States of America.

Addison-Wesley Publishing Company.

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