Unidad 3 teoremas de cauchy y sylow

Álgebra moderna II Unidad 3. Teoremas de Cauchy y Sylow Contenido nuclear Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8 Semestre

Programa de la asignatura: Álgebra moderna II

Unidad 3. Teoremas de Cauchy y Sylow

Contenido nuclear

Clave: 05144842

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 1

Álgebra moderna II Unidad 3. Teoremas de Cauchy y Sylow Contenido nuclear

Índice Introducción ..................................................................................................................... 3 Los teoremas de Cauchy y Sylow .................................................................................. 4 Ecuación de clase .......................................................................................................... 4 Teorema de Cauchy ....................................................................................................... 5 Cierre de la Unidad .......................................................................................................... 7 Fuentes de consulta ........................................................................................................ 7

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Álgebra moderna II Unidad 3. Teoremas de Cauchy y Sylow Contenido nuclear Introducción Como fundamento teórico para la demostración de los teoremas de Sylow aparece el concepto de acción de un grupo sobre un conjunto. Esta noción tiene bastante analogía con el de operación binaria externa. Los teoremas de Sylow proporcionan información detallada sobre el número de subgrupos de orden fijo contenidos en un grupo finito dado. Utilizando esta información es posible clasificar a los grupos finitos.

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Ă lgebra moderna II Unidad 3. Teoremas de Cauchy y Sylow Contenido nuclear Los teoremas de Cauchy y Sylow Es de vital importancia para la demostraciĂłn de los teoremas de Sylow es la ecuaciĂłn de clases.

EcuaciĂłn de clase Si đ?‘Œ es un đ??ş-conjunto, con đ?‘Œ y đ??ş finitos y si r es el nĂşmero de Ăłrbitas en đ?‘Œ de la acciĂłn de G, sean đ?‘Ľ1 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘&#x; representantes de cada una de las Ăłrbitas. Como ĂŠstas forman una particiĂłn de đ?‘Œ, se tiene que. đ?‘&#x;

|đ?‘Œ| = ∑|đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘?đ??ş (đ?‘Ľđ?‘– )|. đ?‘–=1

Note ahora que algunas de las Ăłrbitas pueden tener un solo elemento, y cuando esto sucede este elemento đ?‘Ľ no lo mueve ningĂşn elemento de đ??ş, es decir, queda fijo bajo todo đ?œŽ ∈ đ??ş, es decir, đ?œŽđ?‘Ľ = đ?‘Ľ para todo đ?œŽ ∈ đ??ş. Pongamos entonces đ?‘Œ đ??ş ≔ {đ?‘Ľ ∈ đ?‘Œ âˆś đ?œŽđ?‘Ľ = đ?‘Ľ,

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘œ

đ?œŽ ∈ đ??ş},

es decir, đ?‘Œ đ??ş es la uniĂłn de las Ăłrbitas con un solo elemento. Sea đ?‘ = |đ?‘Œ đ??ş | y observe que 0 ≤ đ?‘ ≤ đ?‘&#x;. Si đ?‘Ľ1 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘ son los elementos de las Ăłrbitas con un solo elemento, y đ?‘Ľđ?‘ +1 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘&#x; son representantes de las Ăłrbitas con mĂĄs de un elemento entonces đ?‘&#x;

|đ?‘Œ| =

|đ?‘Œ đ??ş |

+ ∑ |đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘?đ??ş (đ?‘Ľđ?‘– )|. đ?‘–=đ?‘ +1

Ejemplo.- Si đ??ş es un grupo finito, đ?‘Œ = đ??ş y se hace actuar đ??ş sobre sĂ­ mismo por conjugaciĂłn, entonces las Ăłrbitas de la acciĂłn son las clases de conjugaciĂłn de đ??ş. Observe ahora que las Ăłrbitas que tienen un solo elemento đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘?đ??ş (đ?‘Ľ) = {đ?‘Ľ} satisfacen que đ?‘”đ?‘Ľđ?‘”−1 = đ?‘Ľ, es decir, đ?‘”đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ?‘” para todo đ?‘” ∈ đ??ş y por lo tanto đ?‘Ľ debe estar en el centro đ?‘?(đ??ş) de đ??ş. Se sigue que đ?‘Œ đ??ş = đ?‘?(đ??ş).

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Finalmente, si denotamos con đ??ś1 , ‌ , đ??śđ?‘Ą las clases de conjugaciĂłn de đ??ş con mĂĄs de un elemento, por lo tanto đ?‘&#x;

|đ??ş| = |đ?‘?(đ??ş)| + ∑ |đ??śđ?‘– |. đ?‘–=đ?‘ +1

A la ecuaciĂłn anterior se le conoce como ecuaciĂłn de clase de đ??ş.

Teorema de Cauchy Ahora enunciamos el teorema de de Cauchy el cual es un reciproco parcial del teorema de Lagrange.

Teorema de Cauchy. Si đ??ş es un grupo finito y đ?‘? es un primo que divide a đ??ş, entonces đ??ş tiene un elemento de orden đ?‘? y por lo tanto đ??ş tiene un subgrupo de orden đ?‘?.

Los siguientes teoremas son conocidos como los tres teoremas de Sylow y son nombrados asĂ­ en honor a Ludwig Sylow.

Teorema (Primer teorema de Sylow). Sea đ??ş un grupo finito de orden đ?‘› y suponga que đ?‘? es un primo tal que đ?‘› = đ?‘?đ?‘š đ?‘Ą con đ?‘š ≼ 1 y đ?‘? ∤ đ?‘Ą. Entonces đ??ş contiene un subgrupo de orden đ?‘? đ?‘— para toda đ?‘— tal que 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š.

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Teorema (Segundo teorema de Sylow). Sea đ??ş un grupo finito de orden đ?‘› y suponga que đ??ť1 y đ??ť2 son dos đ?‘?-subgrupos de Sylow de đ??ş. Entonces đ??ť1 y đ??ť2 son conjugados.

Teorema (Tercer teorema de Sylow). Sea đ??ş un grupo finito de orden đ?‘› y đ?‘? un primo tal que đ?‘?|đ?‘Ą . Entonces, el nĂşmero đ?‘›đ?‘? de đ?‘?-subgrupos de Sylow de đ??ş es congruente con 1-mĂłdulo đ?‘?, y đ?‘›đ?‘? = [đ??ş: đ?‘ đ??ş (đ?‘ƒ)], donde đ?‘ƒ es cualquier đ?‘?subgrupo de Sylow de đ??ş; se sigue que đ?‘›đ?‘? divide al orden đ?‘› de đ??ş.

El siguiente ejemplo muestra cĂłmo se pueden aplicar los teoremas de Sylow en un grupo de permutaciones.

Ejemplo.- Sea đ??ş = đ?‘†3; entonces |đ??ş| = 3! = 6. Para el primo đ?‘? = 2, se quiere saber cuĂĄntos 2-subgrupos de Sylow tiene đ?‘†3 . Denotemos este nĂşmero por đ?‘›2 .

Por el tercer teorema de Sylow sabemos que �2 divide a 6 (y así �2 puede ser 1, 2, 3, 6) y �2 ≥ 1(�ó� 2) (y así �2 puede ser 1, 3). Por lo tanto las posibilidades para �2 son 1 ó 3. Por otra parte observe que cada una de las transposiciones (1,2), (1,3), (2,3) de �3 genera un subgrupo cíclico de orden 2 de �3 y son 2subgrupos de Sylow de �3 . Así hay tres 2-subgrupos de Sylow, es decir, �2 = 3.

Para el primo đ?‘? = 3, denotemos con đ?‘›3 al nĂşmero de 3-subgrupos de Sylow de đ?‘†3 . Entonces las posibilidades para đ?‘›3 son: debe dividir a 6, por lo que đ?‘›3 puede ser 1, 2, 3, 6; y como đ?‘›3 ≥ 1(đ?‘šĂłđ?‘‘ 3), entonces đ?‘›3 debe ser 1. El Ăşnico 3subgrupo de Sylow de đ?‘†3 es đ??ť = {đ?‘’, (1,2,3), (1,3,2)}.

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Álgebra moderna II Unidad 3. Teoremas de Cauchy y Sylow Contenido nuclear Cierre de la Unidad En esta unidad se estudiaron los teoremas de sylow y Cauchy los cuales son teoremas inversos parciales del teorema de Lagrange.

Fuentes de consulta    

Zaldívar. F. (2006). Introducción a la Teoría de Grupos. Primera edición. México: Sociedad Matemática Mexicana.

Rotman. J. J. (2000). A First Course in Abstract Algebra. Second edition. United States of America. Prentice Hall.

Herstein. I. N. Álgebra Moderna: Grupos, Anillos, Campos, Teoría de Galois. Segunda edición. México: Trillas.

Fraleigh. J. B. (1994). A First Course in Abstract Algebra. United States of America.

Addison-Wesley Publishing Company.

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