Unidad 3 validez, completud y modelos en la logica de primer orden[5]

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Lógica matemática Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lógica de primer orden

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8° Semestre

Lógica matemática

Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lógica de primer orden

Clave: 05144845

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Lógica matemática Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lógica de primer orden Índice

Índice ......................................................................................................................................... 2 Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lógica de primer orden ................................ 3 Presentación de la unidad ........................................................................................................ 3 Propósitos de la unidad ........................................................................................................... 3 Competencia específica ........................................................................................................... 3 Teoremas de validez y completud ........................................................................................... 3 Introducción al enunciado de los teoremas ........................................................................ 4 Demostración de los teoremas ............................................................................................ 5 Teorema de compacidad .................................................................................................... 16 Modelos de teorías ................................................................................................................. 19 Modelos finitos .................................................................................................................... 19 Tamaño de modelos ............................................................................................................ 24 Teoremas de Löwenheim-Skolem ...................................................................................... 24 Cierre de la unidad.................................................................................................................. 28 Para saber más ....................................................................................................................... 28 Referencias bibliográficas ..................................................................................................... 28

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden

PresentaciĂłn de la unidad En esta unidad se establecerĂĄn dos teoremas importantes: la correctud del cĂĄlculo deductivo (Γ ⊢ đ?œ‘ â&#x;š Γ ⊢ đ?œ‘) y su completud (Γ ⊨ đ?œ‘ â&#x;š Γ ⊢ đ?œ‘). Luego serĂĄ posible obtener varias conclusiones interesantes (incluyendo los teoremas de compacidad y de numerabilidad); asĂ­ como el Teorema de LĂśwenheim-Skolem y sus demostraciones.

PropĂłsitos de la unidad Al tĂŠrmino de esta unidad lograrĂĄs:

  

Presentar los teoremas de correctud y completud. Brindar una demostraciĂłn explicada de los teoremas de completud y correctud. Presentar formas para determinar si una deducciĂłn es correcta o no

Competencia especĂ­fica

Analiza propiedades de conjuntos de fĂłrmulas de un lenguaje dado mediante el uso de los teoremas de validez, completud, compacidad y de LĂśwenheim-Skolem para determinar propiedades de modelos o estructuras donde son satisfactibles tales fĂłrmulas.

Teoremas de validez y completud En las unidades anteriores, en especial dentro del subtema 2.3 de la unidad 2, se hace referencia a un cĂĄlculo deductivo, el que se ha estado usando hasta ahora, en la cual se dieron ciertas normas o guĂ­as para ĂŠste y se han tenido las consecuencias. En tal tema se presentan EducaciĂłn Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as 3

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden dos resultados importantes respecto de este cĂĄlculo deductivo: su correctud y su completud. Puedes notar que, a lo largo de este contenido, el cĂĄlculo deductivo se escogiĂł de forma arbitraria de entre los que cumplĂ­an ciertas condiciones que fueron necesarias, a partir de eso se tendrĂĄ que “algĂşnâ€? cĂĄlculo deductivo asĂ­ es correcto y completo.

IntroducciĂłn al enunciado de los teoremas Se presentan los enunciados de los teoremas junto con comentarios de lo que se necesita para ellos y lo que implican.

3.1.1.1. Teorema. [Correctud] Si Γ ⊢ đ?œ‘, entonces Γ ⊨ đ?œ‘. El teorema de correctud dice que las deducciones llevan Ăşnicamente a conclusiones “correctasâ€?. La demostraciĂłn de este teorema se basa en que los axiomas lĂłgicos son lĂłgicamente implicados por cualquier cosa y que el modus ponens preserva las implicaciones. En el siguiente tema se darĂĄ la demostraciĂłn de este teorema. Como consecuencia de este teorema se tienen los siguientes corolarios. 3.1.1.2. Corolario Si ⊢ (đ?œ‘ ↔ đ?œ“), entonces đ?œ‘ y đ?œ“ son lĂłgicamente equivalentes. 3.1.1.3. Corolario Si đ?œ‘′ es una variante alfabĂŠtica de đ?œ‘, entonces đ?œ‘ y đ?œ‘′ son lĂłgicamente equivalentes. Para la siguiente definiciĂłn recuerda que un conjunto Γ es consistente sii (si y sĂłlo si) no hay ninguna fĂłrmula đ?œ‘ tal que Γ ⊢ đ?œ‘ y Γ ⊢ ÂŹđ?œ‘. 3.1.1.1. DefiniciĂłn Un conjunto Γ es satisfactible sii hay algunas đ?”„ y đ?‘ tales que đ?”„ satisface a cada elemento de Γ con đ?‘ . 3.1.1.4. Corolario Si Γ es satisfactible, entonces Γ es consistente. Otro resultado importante es el teorema de completud, al que puedes entender como el inverso del teorema de completud y es mĂĄs profundo que ĂŠste. El enunciado del teorema es el siguiente: 3.1.1.5. Teorema. [Completud] (GĂśdel, 1930) (a) Si Γ ⊨ đ?œ‘, entonces Γ ⊢ đ?œ‘.

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden (b) Cualquier conjunto de fĂłrmulas consistente es satisfactible. De hecho se tiene que (a) y (b) son equivalentes, esto lo puedes demostrar usando que Γ ⊨ đ?œ‘ sii Γ âˆŞ {ÂŹđ?œ‘} es insatisfactible y que Δ es satisfactible sii Δ ⊭⊼, donde ⊼ es alguna fĂłrmula refutable insatisfactible, tal como ÂŹâˆ€đ?‘Ľ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ. De manera similar, el teorema de correctud es equivalente a que cualquier conjunto de fĂłrmulas satisfactible es consistente. La demostraciĂłn del teorema se harĂĄ (dada la equivalencia) sĂłlo de (b) y se darĂĄ con un lenguaje numerable para luego presentar las modificaciones para poder hacerse con un lenguaje de mayor cardinalidad. Las ideas de la demostraciĂłn estĂĄn relacionadas con las de la demostraciĂłn del teorema de compacidad de la lĂłgica de enunciados: Se comienza con un conjunto consistente Γ, el cual se extiende en tres pasos a un conjunto Δ de fĂłrmulas que cumple: i. ii. iii.

Γ ⊆ Δ. Δ es consistente y para cualquier fĂłrmula đ?›ź, đ?›ź ∈ Δ o (ÂŹđ?›ź) ∈ Δ. Para cualquier fĂłrmula đ?œ‘ y variable đ?‘Ľ, hay una constante đ?‘? tal que (ÂŹâˆ€đ?‘Ľ đ?œ‘ → ÂŹđ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ ) ∈ Δ

Para el cuarto paso de la demostraciĂłn se construye una estructura đ?”„ en la cual se satisfacen las fĂłrmulas de Γ que no tengan =. |đ?”„| es el conjunto de tĂŠrminos, y para un sĂ­mbolo de predicado đ?‘ƒ: ⌊đ?‘Ą1 , ‌ , đ?‘Ąđ?‘› âŒŞ ∈ đ?‘ƒđ?”„ đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?‘ƒđ?‘Ą1 â‹Ż đ?‘Ąđ?‘› ∈ Δ. En el quinto y sexto paso se cambia đ?”„ para que satisfaga las fĂłrmulas que contienen el sĂ­mbolo de igualdad. En el siguiente tema se abarca con detalle la demostraciĂłn, presta mĂĄs atenciĂłn en un primer acercamiento a la descripciĂłn de los pasos para tener clara la estructura de la demostraciĂłn para que en una segunda lectura revises cada punto para su mejor comprensiĂłn.

DemostraciĂłn de los teoremas Para la demostraciĂłn del teorema de compacidad se usarĂĄ el siguiente lema. 3.1.2.1. Lema Todo axioma lĂłgico es vĂĄlido. DemostraciĂłn Para la demostraciĂłn de este teorema debes recordar que en la actividad 2 de la unidad pasada demostraste que la generalizaciĂłn de una fĂłrmula vĂĄlida es vĂĄlida. AsĂ­ que basta considerar Ăşnicamente los axiomas lĂłgicos que no sean generalizaciones de otros axiomas. Se examinan los diversos grupos de axiomas:

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden Grupo 1 de axiomas. TautologĂ­as. Para esto puedes ver que: Si đ?”„ es una estructura y si se tiene đ?‘ : đ?‘‰ → |đ?”„|, definiendo una asignaciĂłn de verdad đ?‘Ł sobre el conjunto de las fĂłrmulas primas mediante đ?‘Ł(đ?›ź) = đ?‘‰ đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⊨đ?”„ đ?›ź[đ?‘ ]. Entonces para cualquier fĂłrmula (prima o no prima): đ?‘ŁĚ… (đ?›ź) = đ?‘‰ đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⊨đ?”„ đ?›ź[đ?‘ ]. Debes probar a detalle esto y con ello concluye que si Γ implica tautolĂłgicamente đ?œ‘, entonces Γ implica de manera lĂłgica đ?œ‘. Por lo dicho antes, si ∅ implica tautolĂłgicamente đ?›ź, entonces ∅ ⊨ đ?›ź. Grupo 2 de axiomas. ∀đ?‘Ľ đ?›ź → đ?›źđ?‘Ąđ?‘Ľ , donde đ?‘Ą se puede sustituir por đ?‘Ľ. Significativamente esto es mĂĄs complejo de probar que el resto de los grupos. Primero considera un caso sencillo: se mostrarĂĄ que ∀đ?‘Ľ đ?‘ƒđ?‘Ľ → đ?‘ƒđ?‘Ą es vĂĄlida. Suponga que ⊨đ?”„ ∀đ?‘Ľ đ?‘ƒđ?‘Ľ[đ?‘ ]. Entonces, para cualquier đ?‘‘ en |đ?”„| se tiene: ⊨đ?”„ đ?‘ƒđ?‘Ľ[đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘‘)]. AsĂ­ que en particular tomando đ?‘‘ = đ?‘ Ě… (đ?‘Ą): ⊨đ?”„ đ?‘ƒđ?‘Ľ[đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘ Ě… (đ?‘Ą))],

(3.1.2.1)

Esto es equivalente para una fĂłrmula atĂłmica, segĂşn la definiciĂłn de satisfacciĂłn a que: đ?‘ Ě… (đ?‘Ą) ∈ đ?‘ƒđ?”„ y esto es equivalente a ⊨đ?”„ đ?‘ƒđ?‘Ą[đ?‘ ]

(3.1.2.2)

Para el paso de (3.1.2.1) a (3.1.2.2) en fĂłrmulas no atĂłmicas serĂĄ necesario aplicar el lema de sustituciĂłn que aparece enseguida con el cual se establece que: ⊨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘ Ě… (đ?‘Ą))] đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⊨đ?”„ đ?œ‘đ?‘Ąđ?‘Ľ [đ?‘ ] siempre que đ?‘Ą sea sustituible por đ?‘Ľ en đ?œ‘.

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden (Si observas, un lema dentro de un lema que ayuda a probar el primero, esta forma es comĂşn de trabajar y la habrĂĄs quizĂĄ encontrado ante la idea de ponerla en este punto de la demostraciĂłn, es asĂ­ como sabes que la razĂłn estĂĄ bien determinada y la utilidad del lema, aparece mĂĄs justificada y no sĂłlo como un resultado de tantos para probar.) Previo al lema de sustituciĂłn se prueba un caso especial sencillo de ĂŠste con el siguiente lema. Considera una đ?”„ y una đ?‘ fijas. Para cualquier tĂŠrmino đ?‘˘ sea đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘Ľ el resultado de reemplazar la variable đ?‘Ľ en đ?‘˘ por el tĂŠrmino đ?‘Ą.

3.1.2.2. Lema Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… (đ?‘Ą))(đ?‘˘) đ?‘ Ě… (đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘Ľ ) = đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘ Ě… La expresiĂłn del lema afirma que se puede realizar una sustituciĂłn tanto en đ?‘ como en el tĂŠrmino đ?‘˘, con los resultados equivalentes. El diagrama de esto es el siguiente:

TĂŠrminos

SustituciĂłn de đ?‘Ą por đ?‘Ľ

Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘ Ě… (đ?‘Ą))

TĂŠrminos

đ?‘ Ě… |đ?”„|

DemostraciĂłn (lema 3.1.2.2) Por inducciĂłn sobre đ?‘˘. Si đ?‘˘ es un sĂ­mbolo de constante o una variable diferente de đ?‘Ľ, entonces đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘Ľ = đ?‘˘ y la ecuaciĂłn se reduce a đ?‘ Ě… (đ?‘˘) = đ?‘ Ě… (đ?‘˘). Si đ?‘˘ = đ?‘Ľ, la ecuaciĂłn toma la forma đ?‘ Ě… (đ?‘Ą) = đ?‘ Ě… (đ?‘Ą). El paso inductivo es directo, intenta expresarlo, es complicado de escribir. ∎ Ahora en concreto el lema de sustituciĂłn. 3.1.2.3. Lema [de sustituciĂłn] Si el tĂŠrmino đ?‘Ą es sustituible por la variable đ?‘Ľ en la fĂłrmula đ?œ‘, entonces: ⊨đ?”„ đ?œ‘đ?‘Ąđ?‘Ľ [đ?‘ ] đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⊨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘ Ě… (đ?‘Ą))] DemostraciĂłn [lema de sustituciĂłn] Se usarĂĄ inducciĂłn sobre đ?œ‘ (recuerda que la definiciĂłn de las funciones es recursiva por esta razĂłn se usa inducciĂłn) para probar que esto se cumple para toda đ?‘ . Caso 1. đ?œ‘ es atĂłmica. Entonces la conclusiĂłn se sigue del lema 3.1.2.2.

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden Caso 2. đ?œ‘ es ÂŹđ?œ“ o đ?œ“ → đ?œƒ. Entonces se sigue inmediatamente la conclusiĂłn para đ?œ‘ usando la hipĂłtesis de inducciĂłn para đ?œ“ y đ?œƒ. Caso 3. đ?œ‘ es ∀đ?‘Ś đ?œ“, y đ?‘Ľ no ocurre libre en đ?œ‘. Entonces đ?‘ y đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘ Ě… (đ?‘Ą)) coinciden en todas las variables que ocurran libres en đ?œ‘. AdemĂĄs đ?œ‘đ?‘Ąđ?‘Ľ es simplemente đ?œ‘, asĂ­ que se sigue la conclusiĂłn. Caso 4. đ?œ‘ es ∀đ?‘Ś đ?œ“, y đ?‘Ľ sĂ­ ocurre libre en đ?œ‘. Debido a que đ?‘Ą es sustituible por đ?‘Ľ en đ?œ‘ por hipĂłtesis, se tiene que đ?‘Ś no ocurre en đ?‘Ą y que đ?‘Ą es sustituible por đ?‘Ľ en đ?œ“ (puedes revisar la definiciĂłn de sustituible para constatar esto). AsĂ­ se tiene que: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…(đ?‘Ą) đ?‘ Ě… (đ?‘Ą) = đ?‘ (đ?‘Ś|đ?‘‘)

(3.1.2.3)

para cualquier đ?‘‘ en |đ?”„|. Pues đ?‘Ľ ≠đ?‘Ś, đ?œ‘đ?‘Ąđ?‘Ľ = ∀đ?‘Ś đ?œ“đ?‘Ąđ?‘Ľ . ⊨đ?”„ đ?œ‘đ?‘Ąđ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?‘ đ?‘–đ?‘–

para cada đ?‘‘, ⊨đ?”„ đ?œ“đ?‘Ąđ?‘Ľ [đ?‘ (đ?‘Ś|đ?‘‘)] para cada đ?‘‘, ⊨đ?”„ đ?œ“[đ?‘ (đ?‘Ś|đ?‘‘)(đ?‘Ľ|đ?‘ Ě… (đ?‘Ą))] por hipĂłtesis de inducciĂłn y 3.1.2.3. đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⊨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘ Ě… (đ?‘Ą))]

Por inducciĂłn el lema se cumple para toda đ?œ‘. ∎ AsĂ­ concretamente se verĂĄn las condiciones para el grupo 2 de axiomas. Suponga que đ?‘Ą es sustituible por đ?‘Ľ en đ?œ‘. Suponga tambiĂŠn que đ?”„ satisface ∀đ?‘Ľ đ?œ‘ con đ?‘ . Se necesita mostrar que ⊨đ?”„ đ?œ‘đ?‘Ąđ?‘Ľ [đ?‘ ]. Se sabe que para cualquier đ?‘‘ en |đ?”„|, ⊨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘‘)]. En particular para đ?‘‘ = đ?‘ Ě… (đ?‘Ą): ⊨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘ Ě… (đ?‘Ą))]; y por el teorema de sustituciĂłn, ⊨đ?”„ đ?œ‘đ?‘Ąđ?‘Ľ [đ?‘ ]. Por lo tanto ∀đ?‘Ľ đ?œ‘ → đ?œ‘đ?‘Ąđ?‘Ľ es vĂĄlida. Grupo 3 de axiomas. ∀đ?‘Ľ(đ?›ź → đ?›˝) → (∀đ?‘Ľ đ?›ź → ∀đ?‘Ľ đ?›˝). En un ejercicio de la actividad 2 de la unidad pasada debĂ­as probar que: {∀đ?‘Ľ (đ?›ź → đ?›˝), ∀đ?‘Ľ đ?›ź} ⊨ ∀đ?‘Ľ đ?›˝ EducaciĂłn Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as 8

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden y con esto llegar a la conclusiĂłn. Grupo 4 de axiomas. đ?›ź → ∀đ?‘Ľ đ?›ź, donde đ?‘Ľ no ocurre libre en đ?›ź. Basta que pruebes que si đ?‘Ľ no ocurre libre en đ?›ź, entonces đ?›ź ⊨ ∀đ?‘Ľ đ?›ź, considera los mĂŠtodos usados durante la actividad, pues esto se desprende de ese tema. Grupo 5 de axiomas. đ?‘Ľ = đ?‘Ľ. đ?”„ satisface đ?‘Ľ = đ?‘Ľ con đ?‘ sii đ?‘ (đ?‘Ľ) = đ?‘ (đ?‘Ľ), lo cual siempre es verdadero. Grupo 6 de axiomas. đ?‘Ľ = đ?‘Ś → (đ?›ź → đ?›ź ′ ). Para empezar, como ejemplo de esto, puedes mostrar que la siguiente fĂłrmula es vĂĄlida: đ?‘Ľ = đ?‘Ś → đ?‘ƒđ?‘§đ?‘“đ?‘Ľ → đ?‘ƒđ?‘§đ?‘“đ?‘Ś donde đ?‘“ es un sĂ­mbolo de funciĂłn y đ?‘ƒ es un sĂ­mbolo de predicado de dos argumentos. Ahora supĂłn que đ?›ź es atĂłmica y que đ?›ź ′ se obtiene al reemplazar đ?‘Ľ por đ?‘Ś en algunos lugares. AsĂ­ es suficiente probar que {đ?‘Ľ = đ?‘Ś, đ?›ź} ⊨ đ?›ź ′ Se toman de manera arbitraria đ?”„ y đ?‘ tales que ⊨đ?”„ đ?‘Ľ = đ?‘Ś[đ?‘ ], es decir, đ?‘ (đ?‘Ľ) = đ?‘ (đ?‘Ś) Entonces, cualquier tĂŠrmino đ?‘Ą tiene la propiedad de que si đ?‘Ą ′ se obtiene de đ?‘Ą al reemplazar đ?‘Ľ por đ?‘Ś en algunos lugares, entonces đ?‘ Ě… (đ?‘Ą) = đ?‘ Ě… (đ?‘Ą ′ ), aunque esto es claro, podrĂ­as demostrarlo completamente usando inducciĂłn sobre đ?‘Ą. Si đ?›ź es đ?‘Ą1 = đ?‘Ą2 entonces đ?›ź ′ tiene que ser đ?‘Ą1′ = đ?‘Ą2′ , donde đ?‘Ąđ?‘–′ se obtiene a partir de đ?‘Ąđ?‘– como se describiĂł. ⊨đ?”„ đ?›ź[đ?‘ ] đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?‘ Ě… (đ?‘Ą1 ) = đ?‘ Ě… (đ?‘Ą2 ) đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?‘ Ě… (đ?‘Ą1′ ) = đ?‘ Ě… (đ?‘Ą2′ ) đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⊨đ?”„ đ?›ź ′ [đ?‘ ]. De manera similar, si đ?›ź es đ?‘ƒđ?‘Ą1 â‹Ż đ?‘Ąđ?‘› entonces đ?›ź ′ es đ?‘ƒđ?‘Ą1′ â‹Ż đ?‘Ąđ?‘›â€˛ , se tiene el resultado con un argumento anĂĄlogo. De esta manera se tienen todos los grupos de axiomas, asĂ­, la conclusiĂłn del lema 3.1.2.1. ∎ DemostraciĂłn del teorema de correctud [3.1.1.1. Teorema]

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden Se mostrara por inducciĂłn que cualquier fĂłrmula đ?œ‘ deducible a partir de Γ es implicada lĂłgicamente por Γ. Caso 1. đ?œ‘ es un axioma lĂłgico. Entonces por el lema (3.1.2.1) se tiene que ⊨ đ?œ‘, por tanto con mayor razĂłn se cumple que Γ ⊨ đ?œ‘. Caso 2. đ?œ‘ ∈ Γ, es claro entonces que Γ ⊨ đ?œ‘. Caso 3. đ?œ‘ se obtiene por modus ponens de đ?œ“ y đ?œ“ → đ?œ‘, de donde por hipĂłtesis de inducciĂłn se tiene Γ ⊨ đ?œ“ y Γ ⊨ (đ?œ“ → đ?œ‘). De esto se sigue que Γ ⊨ đ?œ‘. ∎ Ahora sigue la demostraciĂłn del teorema de completud, que como se dijo, es el regreso del teorema de correctud y la demostraciĂłn serĂĄ para un conjunto numerable de fĂłrmulas. DemostraciĂłn. [Teorema de completud (3.1.1.5)] Sea Γ un conjunto consistente de fĂłrmulas en un lenguaje numerable. Paso 1 Se va a expandir el lenguaje aĂąadiendo un conjunto infinito numerable de nuevos sĂ­mbolos de constante. Luego Γ sigue siendo consistente como un conjunto de fĂłrmulas en el nuevo lenguaje. Pues de no ser asĂ­, entonces para alguna đ?›˝ hay una deducciĂłn dentro del lenguaje expandido de (đ?›˝ ∧ ÂŹđ?›˝) a partir de Γ que contiene Ăşnicamente una cantidad finita de nuevos sĂ­mbolos de constante. Por el teorema de generalizaciĂłn a partir de constantes en la unidad anterior (teorema 2.3.7.1), cada uno puede ser reemplazado por una variable. Entonces se tiene una deducciĂłn (en el lenguaje original) de (đ?›˝ ∧ ÂŹđ?›˝) a partir de Γ. Esto contradice la suposiciĂłn de que Γ era consistente. Paso 2 Para cada fĂłrmula đ?œ‘ en el nuevo lenguaje y para cada variable đ?‘Ľ, se agrega a Γ la fĂłrmula ÂŹâˆ€đ?‘Ľ đ?œ‘ → ÂŹđ?œ‘đ?‘Ąđ?‘Ľ , donde đ?‘? es uno de los nuevos sĂ­mbolos de constante. La idea es que đ?‘? nombrarĂĄ un contraejemplo de đ?œ‘, si hay alguno. Es posible hacer esto de manera tal que Γ, junto con el conjunto Θ de todas las fĂłrmulas agregadas, siga siendo un conjunto consistente. Se da una numeraciĂłn fija de los pares ⌊đ?œ‘, đ?‘ĽâŒŞ donde đ?œ‘ es una fĂłrmula del lenguaje expandido y đ?‘Ľ es una variable ⌊đ?œ‘1 , đ?‘Ľ1 âŒŞ, ⌊đ?œ‘2 , đ?‘Ľ2 âŒŞ, ⌊đ?œ‘3 , đ?‘Ľ3 âŒŞ, ‌ Esto es posible ya que el lenguaje es numerable. Sea đ?œƒ1

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden ÂŹâˆ€đ?‘Ľ1 đ?œ‘1 → ÂŹđ?œ‘1 đ?‘?đ?‘Ľ1 , 1

donde đ?‘?1 es el primero de los nuevos sĂ­mbolos de constante que no ocurren en đ?œ‘1 . De la misma forma para ⌊đ?œ‘2 , đ?‘Ľ2 âŒŞ se define đ?œƒ2 ; en general, đ?œƒđ?‘› es ÂŹâˆ€đ?‘Ľđ?‘› → ÂŹđ?œ‘đ?‘› đ?‘?đ?‘Ľđ?‘› đ?‘›

donde đ?‘?đ?‘› es el primero de los sĂ­mbolos de constante que no ocurren en đ?œ‘đ?‘› ni en đ?œƒđ?‘˜ para cualquier đ?‘˜ < đ?‘›. Si Θ es el conjunto {đ?œƒ1 , đ?œƒ2 , ‌ }. Se afirma que Γ âˆŞ Θ es consistente. Si no, entonces dado que las deducciones son finitas para alguna đ?‘š ≼ 0, Γ âˆŞ {đ?œƒ1 , ‌ , đ?œƒđ?‘š , đ?œƒđ?‘š+1 } es inconsistente. Considera la mĂ­nima đ?‘š que cumple eso, entonces por reducciĂłn al absurdo Γ âˆŞ {đ?œƒ1 , ‌ , đ?œƒđ?‘š } ⊢ ÂŹđ?œƒđ?‘š+1 . Como đ?œƒđ?‘š+1 es ÂŹâˆ€đ?‘Ľ đ?œ‘ → ÂŹđ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ para algunos đ?‘Ľ, đ?œ‘ y đ?‘?. AsĂ­ por la regla T, se obtiene Γ âˆŞ {đ?œƒ1 , ‌ , đ?œƒđ?‘š } ⊢ ÂŹâˆ€đ?‘Ľ đ?œ‘ Γ âˆŞ {đ?œƒ1 , ‌ , đ?œƒđ?‘š } ⊢ đ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ . Puesto que đ?‘? no aparece en ninguna fĂłrmula del lado izquierdo, recordando el corolario 2.3.8.1 de la unidad anterior que afirma que si Γ ⊢ đ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ , donde el sĂ­mbolo de constante đ?‘? no ocurre en Γ ni en đ?œ‘. Entonces Γ ⊢ ∀đ?‘Ľ đ?œ‘, y hay una deducciĂłn de ∀đ?‘Ľ đ?œ‘ a partir de Γ, en la que đ?‘? no ocurre. Usando este corolario en la segunda ecuaciĂłn se obtiene: Γ âˆŞ {đ?œƒ1 , ‌ , đ?œƒđ?‘š } ⊢ ∀đ?‘Ľ đ?œ‘. Esto y las dos ecuaciones previas contradicen la nominalidad de đ?‘š o la consistencia de Γ si đ?‘š = 0. Paso 3 Ahora se extiende el conjunto consistente Γ âˆŞ Θ a un conjunto consistente Δ que es maximal en el sentido de que para cualquier fĂłrmula đ?œ‘ o bien đ?œ‘ ∈ Δ o ÂŹđ?œ‘ ∈ Δ. Se puede argumentar como sigue:

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden Sea Λ el conjunto de axiomas lĂłgicos para el lenguaje expandido. Como Γ âˆŞ Θ âˆŞ Λ es consistente, no existe fĂłrmula đ?›˝ tal que Γ âˆŞ Θ âˆŞ Λ implique đ?›˝ y tambiĂŠn ÂŹđ?›˝. Por lo tanto, hay una asignaciĂłn de verdad đ?‘Ł para el conjunto de todas las fĂłrmulas primas que satisface a Γ âˆŞ Θ âˆŞ Λ. Sea Δ = {đ?œ‘|đ?‘ŁĚ… (đ?œ‘) = đ?‘‰} Claramente, para cualquier đ?œ‘ o đ?œ‘ ∈ Δ o ÂŹđ?œ‘ ∈ Δ, pero no ambas. AdemĂĄs se tiene que Δ ⊢ đ?œ‘ â&#x;š Δ implica tautolĂłgicamente đ?œ‘ â&#x;š đ?‘ŁĚ… (đ?œ‘) = đ?‘‰ â&#x;š đ?œ‘ ∈ Δ. Por lo tanto Δ es consistente, pues de otro modo tanto đ?œ‘ como (ÂŹđ?œ‘) pertenecerĂ­an a Δ. En realidad, independientemente de cĂłmo se haya construido Λ, debe ser deductivamente cerrado. Esto es Δ ⊢ đ?œ‘ â&#x;š Δ ⊏ ÂŹđ?œ‘, por consistencia, â&#x;š (ÂŹđ?œ‘) ∉ Δ, â&#x;š đ?œ‘ ∈ Δ, por maximalidad Paso 4 Ahora, a partir de Λ se construye una estructura para el nuevo lenguaje, pero con el sĂ­mbolo de igualdad (si lo hay) reemplazado por un nuevo sĂ­mbolo de predicado đ??¸ de dos argumentos. đ?”„ no serĂĄ la estructura en la que Γ se satisfaga; serĂĄ una preliminar. (a) |đ?”„| = el conjunto de todos los tĂŠrminos del nuevo lenguaje. (b) Se define la relaciĂłn binaria đ??¸ đ?”„ como ⌊đ?‘˘, đ?‘ĄâŒŞ ∈ đ??¸ đ?”„ đ?‘ đ?‘–đ?‘– la fĂłrmula đ?‘˘ = đ?‘Ą pertenece a Δ. (c) Para cada parĂĄmetro de predicado đ?‘ƒ de đ?‘› argumentos, se define la relaciĂłn đ?‘›-aria đ?‘ƒđ?”„ como ⌊đ?‘Ą1 , ‌ , đ?‘Ąđ?‘› âŒŞ ∈ đ?‘ƒđ?”„ đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?‘ƒđ?‘Ą1 â‹Ż đ?‘Ąđ?‘› ∈ Δ. (d) Para cada sĂ­mbolo de funciĂłn đ?‘“ de đ?‘› argumentos, sea đ?‘“ đ?”„ la funciĂłn definida por đ?‘“ đ?”„ (đ?‘Ą1 , ‌ , đ?‘Ąđ?‘› ) = đ?‘“đ?‘Ą1 â‹Ż đ?‘Ąđ?‘› Esto incluye el caso đ?‘› = 0; para un sĂ­mbolo de constante se considera đ?‘? đ?”„ = đ?‘?. Se define una funciĂłn đ?‘ : đ?‘‰ → |đ?”„|, por la funciĂłn identidad đ?‘ (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ sobre V.

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden Entonces se sigue que para cualquier tĂŠrmino đ?‘Ą, đ?‘ Ě… (đ?‘Ą) = đ?‘Ą, esto puede probarse por inducciĂłn sobre đ?‘Ą y es muy directo. Para cualquier fĂłrmula đ?œ‘, sea đ?œ‘∗ el resultado de reemplazar el sĂ­mbolo de igualdad en đ?œ‘ por đ??¸. Entonces ⊨đ?”„ đ?œ‘∗ [đ?‘ ] đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?œ‘ ∈ Δ. Esto se probarĂĄ por inducciĂłn sobre el nĂşmero de lugares en los que aparecen los sĂ­mbolos de conectivo o sĂ­mbolos de cuantificador en đ?œ‘. Caso 1. FĂłrmulas atĂłmicas. Se ha definido đ?”„ de manera tal que este caso sea inmediato. Por ejemplo, si đ?œ‘ es đ?‘ƒđ?‘Ą, entonces ⊨đ?”„ đ?‘ƒđ?‘Ą[đ?‘ ] đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?‘ Ě… (đ?‘Ą) ∈ đ?‘ƒđ?”„ đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?‘Ą ∈ đ?‘ƒđ?”„ đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?‘ƒđ?‘Ą ∈ Δ. De forma similar ⊨đ?”„ đ?‘˘ đ??¸đ?‘Ą[đ?‘ ] đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⌊đ?‘ Ě… (đ?‘˘), đ?‘ Ě… (đ?‘Ą)âŒŞ ∈ đ??¸ đ?”„ , đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⌊đ?‘˘, đ?‘ĄâŒŞ ∈ đ??¸ đ?”„ , đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?‘˘ = đ?‘Ą ∈ Δ. Caso 2. NegaciĂłn ⊨đ?”„ (ÂŹđ?œ‘)∗ [đ?‘ ] đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⊭đ?”„ đ?œ‘∗ [đ?‘ ], đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?œ‘ ∉ Δ por hipĂłtesis de inducciĂłn, đ?‘ đ?‘–đ?‘– (ÂŹđ?œ‘) ∈ Δ por las propiedades de Δ. Caso 3. Condicional ⊨đ?”„ (đ?œ‘ → đ?œ“)∗ [đ?‘ ] đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?‘ đ?‘–đ?‘– â&#x;š â&#x;š â&#x;š

⊭đ?”„ đ?œ‘∗ [đ?‘ ] đ?‘œ ⊨đ?”„ đ?œ“ ∗ [đ?‘ ], đ?œ‘ ∉ Δ đ?‘œ đ?œ“ ∈ Δ por hipĂłtesis de inducciĂłn, (ÂŹđ?œ‘) ∈ Δ đ?‘œ đ?œ“ ∈ Δ, Δ ⊢ (đ?œ‘ → đ?œ“) đ?œ‘ ∉ Δ đ?‘œ [đ?œ‘ ∈ Δ y Δ ⊢ đ?œ“], (ÂŹđ?œ‘) ∈ Δ đ?‘œ đ?œ“ ∈ Δ,

AsĂ­ Δ ⊢ (đ?œ‘ → đ?œ“) sii (đ?œ‘ → đ?œ“) ∈ Δ. Caso 4. Cuantificador Se quiere mostrar que ⊨đ?”„ ∀đ?‘Ľ đ?œ‘∗ [đ?‘ ] đ?‘ đ?‘–đ?‘– ∀đ?‘Ľ đ?œ‘ ∈ Δ.

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden Nota que en este caso ∀đ?‘Ľ (đ?œ‘ ∗ ) = (∀đ?‘Ľ đ?œ‘)∗ . Δ incluye la fĂłrmula đ?œƒ: ÂŹâˆ€đ?‘Ľ đ?œ‘ → ÂŹđ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ Para mostrar que ⊨đ?”„ ∀đ?‘Ľ đ?œ‘∗ [đ?‘ ] â&#x;š ∀đ?‘Ľ đ?œ‘ ∈ Δ, se puede argumentar lo siguiente: si đ?œ‘ ∗ es verdadero para cualquier cosa, entonces es verdadera para đ?‘?, donde por hipĂłtesis de inducciĂłn đ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ ∈ Δ. Pero entonces ∀đ?‘Ľ đ?œ‘ ∈ Δ, porque đ?‘? fue elegida como un contraejemplo para đ?œ‘, si es que habĂ­a alguno. Ahora se pasa al inverso. Considera đ?œ“ una variante alfabĂŠtica de đ?œ‘ en la que đ?‘Ą sea sustituible por đ?‘Ľ, entonces:

⊭đ?”„ ∀đ?‘Ľ đ?œ‘∗ [đ?‘ ] â&#x;šâŠ­đ?”„ đ?œ‘∗ [đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘Ą)], para algĂşn đ?‘Ą, fijo en adelante. â&#x;šâŠ­đ?”„ đ?œ“ ∗ [đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘Ą)], por la equivalencia semĂĄntica de las variables alfabĂŠticas. â&#x;šâŠ­đ?”„ (đ?œ“đ?‘Ąđ?‘Ľ )∗ [đ?‘ ], por el lema de sustituciĂłn. â&#x;š đ?œ“đ?‘Ąđ?‘Ľ ∉ Δ, por la hipĂłtesis de inducciĂłn. â&#x;š ∀đ?‘Ľ đ?œ“ ∉ Δ, ya que Δ es deductivamente cerrado. â&#x;š ∀đ?‘Ľ đ?œ‘ ∉ Δ, por la equivalencia sintĂĄctica de las variables alfabĂŠticas. Esto completa todos los casos posibles; se sigue, por inducciĂłn, que para cualquier đ?œ‘, ⊨đ?”„ đ?œ‘∗ [đ?‘ ] đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?œ‘ ∈ Δ. Si el lenguaje original no incluyĂł el sĂ­mbolo de igualdad, entonces puedes ver que aquĂ­ se concluye la demostraciĂłn, pues sĂłlo se debe restringir đ?”„ al lenguaje original para obtener una estructura que satisfaga a cada elemento de Γ con la funciĂłn identidad. Si se tiene el sĂ­mbolo de igualdad đ?”„ no servirĂĄ, pues por ejemplo si Γ contiene el enunciado đ?‘? = đ?‘‘ (donde đ?‘? y đ?‘‘ son sĂ­mbolos constantes distintos), asĂ­ que se usarĂĄ entonces una estructura distinta đ?”… en la cual đ?‘? đ?”… = đ?‘‘đ?”… . Esta serĂĄ el cociente đ?”„/đ??¸ de đ?”„ mĂłdulo đ??¸ đ?”„ . Paso 5 đ??¸ đ?”„ es una relaciĂłn de equivalencia sobre |đ?”„|. Para cada đ?‘Ą en |đ?”„| sea [đ?‘Ą] su clase de equivalencia. đ??¸ đ?”„ es, de hecho, una relaciĂłn de congruencia para đ?”„. Esto significa que se cumplen las condiciones siguientes: (i) đ??¸ đ?”„ es una relaciĂłn de equivalencia sobre |đ?”„|. (ii) đ?‘ƒđ?”„ es compatible con đ??¸ đ?”„ para cada sĂ­mbolo de predicado P: ⌊đ?‘Ą1 , ‌ , đ?‘Ąđ?‘› âŒŞ ∈ đ?‘ƒđ?”„ y đ?‘Ąđ?‘– đ??¸ đ?”„ đ?‘Ąđ?‘–′ , 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› â&#x;š ⌊đ?‘Ą1′ , ‌ , đ?‘Ąđ?‘›â€˛ âŒŞ ∈ đ?‘ƒđ?”„ . (iii)

đ?‘“^đ?”„ es compatible con đ??¸ đ?”„ para cada sĂ­mbolo de funciĂłn đ?‘“:

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden đ?‘Ąđ?‘– đ??¸ đ?”„ đ?‘Ąđ?‘–′ ,

1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› â&#x;š đ?‘“ đ?”„ (đ?‘Ą1 , ‌ , đ?‘Ąđ?‘› )đ??¸ đ?”„ đ?‘“ đ?”„ (đ?‘Ą1 , ‌ , đ?‘Ąđ?‘› ).

En estas circunstancias, es posible construir la estructura cociente đ?”„â „đ??¸, definida como sigue: (a) |đ?”„â „đ??¸ | es el conjunto de todas las clases de equivalencia de elementos de |đ?”„|. (b) Para cada sĂ­mbolo de predicado đ?‘ƒ de đ?‘› argumentos, ⌊[đ?‘Ą1 ], ‌ , [đ?‘Ąđ?‘› ]âŒŞ ∈ đ?‘ƒđ?”„â „đ??¸ đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⌊đ?‘Ą1 , ‌ , đ?‘Ąđ?‘› âŒŞ ∈ đ?‘ƒđ?”„ (c) Para cada sĂ­mbolo de funciĂłn đ?‘“ de đ?‘› argumentos, đ?‘“ đ?”„â „đ??¸ ([đ?‘Ą1 ], ‌ , [đ?‘Ąđ?‘› ]) = [đ?‘“ đ?”„ (đ?‘Ą1 , ‌ , đ?‘Ąđ?‘› )] Esto incluye los casos đ?‘› = 0 đ?‘? đ?”„â „đ??¸ = [đ?‘? đ?”„ ]. Sea â„Ž: |đ?”„| → |đ?”„â „đ??¸ | la funciĂłn natural: â„Ž(đ?‘Ą) = [đ?‘Ą] Entonces â„Ž es un homomorfismo de đ?”„ sobre đ?”„â „đ??¸. AdemĂĄs, đ??¸ đ?”„â „đ??¸ es la relaciĂłn de igualdad sobre |đ?”„â „đ??¸ |. Por lo tanto, para cualquier đ?œ‘: đ?œ‘ ∈ Δ â&#x;şâŠ¨đ?”„ đ?œ‘∗ [đ?‘ ] â&#x;şâŠ¨đ?”„â „đ??¸ đ?œ‘∗ [â„Ž ∘ đ?‘ ] â&#x;şâŠ¨đ?”„â „đ??¸ đ?œ‘[â„Ž ∘ đ?‘ ] AsĂ­ đ?”„â „đ??¸ satisface todos los elementos de Δ (y, por lo tanto, todos los elementos de Γ) con â„Ž ∘ đ?‘ . Paso 6 Al restringir la estructura đ?”„â „đ??¸ al lenguaje original se satisface a todo elemento de Γ con â„Ž ∘ đ?‘ . ∎ Para un lenguaje no numerable, es necesario hacer unas cuantas modificaciones a la demostraciĂłn anterior del teorema de completud, (Si el lenguaje tiene cardinalidad đ?œ†, es decir, que tiene đ?œ† sĂ­mbolos o, equivalentemente, đ?œ† fĂłrmulas.) Se describen las modificaciones necesarias, para esto debes tener un conocimiento importante de la teorĂ­a de conjuntos, de no ser asĂ­ puedes quedarte esencialmente con el resultado del teorema y tratar de entender sus implicaciones. En el paso 1 se agregan đ?œ† nuevos sĂ­mbolos de constante; los detalles no cambian. En el paso 2, Ăşnicamente cambian los detalles. El cardinal đ?œ† es un ordinal inicial. (ImplĂ­citamente se ha bien ordenado el lenguaje.) “Numerandoâ€? los pares

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden ⌊đ?œ‘đ?›ź , đ?‘Ľđ?›ź âŒŞđ?›ź<đ?œ† indexados por los ordinales menores que đ?œ†. Para đ?›ź < đ?œ†, đ?œƒđ?›ź es đ?‘Ľ

ÂŹâˆ€đ?‘Ľđ?›ź đ?œ‘đ?›ź → (ÂŹđ?œ‘)đ?‘?đ?›źđ?›ź donde đ?‘?, es el primero de los nuevos sĂ­mbolos de constante que no estĂĄ en đ?œ‘đ?›ź , ni en đ?œƒđ?›˝ para toda đ?›˝ < đ?›ź. (Esto excluye a lo mĂĄs â„ľ0 â‹… đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘‘(đ?›ź) sĂ­mbolos de constante, asĂ­ que quedan algunos.) Finalmente, en el paso 3, es posible obtener el conjunto maximal Δ usando el lema de Zorn. El resto de la demostraciĂłn es igual.

Teorema de compacidad El siguiente teorema, estudiado de forma separada de los dos previos ya que ĂŠsos estĂĄn completamente relacionados, es un resultado importante dentro de la lĂłgica de primer orden. PodrĂĄs notar la relaciĂłn con la lĂłgica de enunciados. 3.1.3.1. Teorema a) Si Γ ⊨ đ?œ‘, entonces existe un subconjunto finito Γ0 ⊆ Γ, tal que Γ0 ⊨ đ?œ‘. b) Si cada subconjunto finito Γ0 de Γ es satisfactible, entonces Γ es satisfactible. En particular, un conjunto ÎŁ de enunciados tiene un modelo sii cada subconjunto finito tiene un modelo. DemostraciĂłn Para probar la parte a) del teorema de compacidad, simplemente observa que Γ⊨đ?œ‘â&#x;šÎ“⊢đ?œ‘ â&#x;š Γ0 ⊢ đ?œ‘ para algun Γ0 ⊆ Γ finito, ya que las deducciones son finitas â&#x;š Γ0 ⊨ đ?œ‘ La parte b) tiene una demostraciĂłn similar. Si cada subconjunto finito de Γ es satisfactible, entonces por correctud, cada subconjunto finito de Γ es consistente. Por lo tanto, Γ es consistente, ya que las deducciones son finitas. AsĂ­ que, por completud, Γ es satisfactible. AdemĂĄs, se cumple que a) y b) son equivalentes. ∎ Nota que en el teorema de compacidad intervienen Ăşnicamente nociones semĂĄnticas de lo estudiado en la unidad 2, no involucra para nada las deducciones; de hecho hay demostraciones que evitan las deducciones, asĂ­ como el siguiente teorema.

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden 3.1.3.2. Teorema [de numerabilidad] En un lenguaje razonable, el conjunto de fĂłrmulas vĂĄlidas es efectivamente numerable. Por lenguaje razonable se entiende un lenguaje cuyo conjunto de parĂĄmetros se puede numerar efectivamente y en el que las dos relaciones {⌊đ?‘ƒ, đ?‘›âŒŞ|đ?‘ƒ es un sĂ­mbolo de predicado de đ?‘› argumentos} y {⌊đ?‘“, đ?‘›âŒŞ|đ?‘“ es un sĂ­mbolo de funciĂłn de đ?‘› argumentos} son decidibles. Por ejemplo, cualquier lenguaje que tenga sĂłlo una cantidad finita de parĂĄmetros (a esto se le llama lenguaje finito) es ciertamente razonable, ya que los conjuntos finitos siempre son decidibles. Por otra parte, un lenguaje razonable deberĂĄ ser a lo mĂĄs numerable, ya que no es posible numerar efectivamente un conjunto no numerable. DemostraciĂłn El hecho esencial es que Λ es decidible, y por lo tanto el conjunto de deducciones es decidible. Si se nos da cierta expresiĂłn đ?œ€. (La suposiciĂłn de que el lenguaje es razonable ya estĂĄ aquĂ­. SĂłlo existe una cantidad numerable de cosas elegibles que una persona puede dar a otra.) Se quiere decidir si đ?œ€ estĂĄ en Λ o no. Primero se verifica que đ?œ€ tenga la forma sintĂĄctica necesaria para ser una fĂłrmula. Al comparar con la unidad 1, es posible hacer esto para la lĂłgica de primer orden pues se te dieron las herramientas para ello. Si đ?œ€ pasa esa prueba, entonces se verifica (construyendo una tabla de verdad) si es una generalizaciĂłn de una tautologĂ­a. Si no, se procede a ver si đ?œ€ tiene la forma sintĂĄctica necesaria para estar en el grupo 2 de axiomas. Y asĂ­ sucesivamente. Si đ?œ€ no ha sido aceptada cuando se termine el grupo 6 de axiomas, entonces đ?œ€ no estĂĄ en Λ. Con esto puedes ver que en verdad se puede distinguir entre los que son elementos de Λ y los que no lo son. Ya que Λ es decidible, el conjunto de consecuencias tautolĂłgicas de Λ es efectivamente numerable, eso por unos de los Ăşltimos teoremas en la unidad 1. Pero {đ?›ź|đ?›ź es una consecuencia tautolĂłgica de Λ} = {đ?›ź| ⊢ đ?›ź} = {đ?›ź|đ?›ź es vĂĄlida} ∎ En el siguiente argumento se presenta una alternativa al pĂĄrrafo anterior de esta prueba, que posiblemente sea mĂĄs claro: primero se afirma que el conjunto de las deducciones (a partir de ∅) es decidible. Para una sucesiĂłn finita dada đ?›ź0 , ‌ , đ?›źđ?‘› se puede examinar cada đ?›źđ?‘– para ver si EducaciĂłn Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as 17

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden se encuentra en Λ o se puede obtener de elementos anteriores de la sucesiĂłn mediante modus ponens. DespuĂŠs, para numerar las fĂłrmulas vĂĄlidas, se comienza por numerar todas las sucesiones finitas de fĂłrmulas. Examinando cada sucesiĂłn cuando aparece y se decide si es o no una deducciĂłn. Si no lo es, se descarta; pero si lo es, entonces se pone su Ăşltimo elemento en la lista de fĂłrmulas vĂĄlidas. Continuando de esta manera, se genera de una forma poco eficiente una lista en la que a la larga aparecerĂĄ cualquier fĂłrmula vĂĄlida. 3.1.3.3. Corolario Sea Γ un conjunto decidible de fĂłrmulas en un lenguaje razonable. a) El conjunto de teoremas de Γ es efectivamente numerable. b) El conjunto {đ?œ‘|Γ ⊢ φ} de fĂłrmulas implicadas lĂłgicamente por Γ es efectivamente numerable. Puedes notar que el conjunto en a) y b) es el mismo, y que este corolario incluye el teorema de enumerabilidad cuando Γ = ∅. DemostraciĂłn Γ âˆŞ Λ es decidible, asĂ­ que su conjunto de consecuencias tautolĂłgicas es efectivamente numerable. Y ĂŠste es justamente el conjunto que se quiere. ∎ Por ejemplo, sea Γ el conjunto (decidible) de axiomas para cualquiera de los sistemas de teorĂ­a de conjuntos usuales. Entonces este corolario dice que el conjunto de teoremas de la teorĂ­a de conjuntos es efectivamente numerable. De una manera mĂĄs general, es natural insistir en que el conjunto de axiomas sea decidible al establecer alguna teorĂ­a axiomĂĄtica. DespuĂŠs de todo, se quiere que las demostraciones a partir de estos axiomas sean argumentos “convincentesâ€? que puedan ser “verificadosâ€?. Parte del proceso de verificaciĂłn supone revisar que los enunciados que se dice que son axiomas, sean de hecho axiomas. Para que esto sea posible, es necesario que el conjunto de axiomas sea decidible. Esto tiene como consecuencia que el conjunto de los teoremas que se siguen de los axiomas sea efectivamente numerable. 3.1.3.4. Corolario Si Γ es un conjunto decidible de fĂłrmulas en un lenguaje razonable, y que para cualquier enunciado đ?œŽ, o bien Γ ⊨ đ?œŽ o Γ ⊨ ÂŹđ?œŽ. Entonces el conjunto de enunciados que implica Γ es decidible. DemostraciĂłn Si Γ es inconsistente, entonces se tiene simplemente el conjunto (decidible) de todos los enunciados. AsĂ­ que suponga que Γ es consistente. Suponga tambiĂŠn que se da un enunciado đ?œŽ y se pide que se decida si Γ ⊨ đ?œŽ o no. Es posible numerar los teoremas de Γ y buscar đ?œŽ o ÂŹđ?œŽ. Finalmente aparecerĂĄ alguno y asĂ­ se sabrĂĄ la respuesta.

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden ∎ Nota que esta demostraciĂłn realmente describe dos procedimientos de decisiĂłn. Uno es correcto cuando Γ es inconsistente, y el otro es correcto cuando Γ es consistente. AsĂ­ que existe un procedimiento de decisiĂłn para cada caso. Pero no necesariamente ĂŠste es efectivo, dada una descripciĂłn finita de Γ, cuĂĄl deberĂĄ usarse. Un conjunto es decidible si existe un procedimiento de decisiĂłn para ĂŠl, y esto no es lo mismo que tener en nuestras manos uno conocido de decisiĂłn. Debes observar que, en general, las demostraciones de numerabilidad no pueden convertirse en demostraciones de decidibilidad. Casi para todos los lenguajes, el conjunto de fĂłrmulas vĂĄlidas no es decidible. Los siguientes temas presentan conceptos con los que probablemente estĂĄs familiarizado, pero de manera formal.

Modelos de teorĂ­as Con base en los teoremas de la secciĂłn 3.1, ahora serĂĄ posible responder mĂĄs preguntas de las que se podĂ­an responder anteriormente. Algunos enunciados tienen Ăşnicamente modelos infinitos; por ejemplo, el que dice que < es un orden sin elemento mĂĄximo. La negaciĂłn de dicho enunciado es finitamente vĂĄlida, esto es, es verdadera en toda estructura finita.

Modelos finitos Es posible tener enunciados que tengan Ăşnicamente modelos finitos. Por ejemplo, cualquier modelo de ∀đ?‘Ľ ∀đ?‘Ś đ?‘Ľ = đ?‘Ś tiene cardinalidad 1. Pero si todos los modelos de ÎŁ son finitos, entonces el tamaĂąo de sus modelos tiene una cota finita, como lo establece el siguiente teorema: 3.2.1.1. Teorema. Si un conjunto ÎŁ tiene modelos finitos arbitrariamente grandes, entonces tiene un modelo infinito. DemostraciĂłn Para cada entero positivo đ?‘˜ ≼ 2, se puede encontrar un enunciado đ?œ†đ?‘˜ que se traduce “Hay al menos đ?‘˜ objetosâ€?. Por ejemplo: đ?œ†2 = ∃đ?‘Ł1 ∃đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 ≠đ?‘Ł2 , đ?œ†3 = ∃đ?‘Ł1 ∃đ?‘Ł2 ∃đ?‘Ł3 (đ?‘Ł1 ≠đ?‘Ł2 ∧ đ?‘Ł1 ≠đ?‘Ł3 ∧ đ?‘Ł2 ≠đ?‘Ł3 )

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden Considerar el conjunto ÎŁ âˆŞ {đ?œ†2 , đ?œ†3 , ‌ }. Por hipĂłtesis, cualquier subconjunto finito tiene un modelo; asĂ­ que, por compacidad, todo el conjunto tiene un modelo, que tiende a ser infinito. Ejemplo A priori, es posible pensar que existe una ecuaciĂłn sofisticada de la teorĂ­a de grupos que sea verdadera en todo grupo finito, pero falsa en todo grupo infinito. Sin embargo, de acuerdo con el teorema anterior, dicha ecuaciĂłn no existe. La demostraciĂłn de este teorema ilustra un mĂŠtodo Ăştil para obtener una estructura con propiedades dadas. Se escriben enunciados (posiblemente en un lenguaje expandido) que establecen las propiedades que se quieren. DespuĂŠs se argumenta que cualquier subconjunto finito de estos enunciados tiene un modelo. El teorema de compacidad hace el resto. En las pĂĄginas que siguen verĂĄs mĂĄs ejemplos de este mĂŠtodo. 3.2.1.1 Corolario La clase de todas las estructuras finitas (para un lenguaje fijo) no es EC. La clase de todas las estructuras infinitas no es Clase elemental (EC). DemostraciĂłn El primer enunciado se sigue inmediatamente del teorema. Si la clase de todas las estructuras infinitas es đ?‘€đ?‘œđ?‘‘ đ?œ?, entonces la clase de todas las estructuras finitas es đ?‘€đ?‘œđ?‘‘ ÂŹđ?œ?. Pero esta clases ni siquiera se encuentra en đ??¸đ??śâˆ† , mucho menos en đ??¸đ??ś. A continuaciĂłn se quiere considerar problemas de decisiĂłn relacionados con estructuras finitas. Para cualquier estructura đ?”„, definimos la teorĂ­a de đ?”„, denotada por Th đ?”„, como el conjunto de todos los enunciados verdaderos en đ?”„. Dada una estructura finita đ?”„, se puede preguntar si el conjunto Th đ?”„ es decidible, y lo mismo para el conjunto de enunciados que tienen modelos finitos. Las siguientes observaciones ayudarĂĄn a dar una respuesta: 1. Toda estructura finita đ?”„ es isomorfa a una estructura con universo {1,2, ‌ , đ?‘›}, donde đ?‘› es el tamaĂąo de đ?”„ (es decir đ?‘› = card|đ?”„ |). La idea es que si |đ?”„| = {đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› }, entonces se reemplace đ?‘Žđ?‘– por đ?‘–.

Ejemplo SupĂłngase que el lenguaje tiene Ăşnicamente el parĂĄmetro ∀ y un sĂ­mbolo de predicado đ??¸ de

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden dos argumentos. Considere la estructura finita đ?”… con universo |đ?”…|, compuesta por un conjunto de cuatro objetos distintos {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘}, y con đ??¸ đ?”… = {â&#x;¨đ?‘Ž, đ?‘?â&#x;Š, â&#x;¨đ?‘?, đ?‘Žâ&#x;Š, â&#x;¨đ?‘?, đ?‘?â&#x;Š, â&#x;¨đ?‘?, đ?‘?â&#x;Š}. Entonces đ?”… es isomorfa a la estructura ({1, 2, 3, 4}; {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 3)}).

Sin embargo, para este caso existen otras posibilidades; si nos hubiĂŠramos centrado en los elementos de |đ?”…| ordenados como đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘‘, đ?‘?, tendrĂ­amos una estructura isomorfa, aunque diferente ({1, 2, 3, 4}; { â&#x;¨1, 2â&#x;Š, â&#x;¨2, 1â&#x;Š, â&#x;¨1, 4â&#x;Š, â&#x;¨4, 4â&#x;Š}). 2. Una estructura finita del tipo que acabarnos de describir puede describirse, para un lenguaje finito, mediante una cadena finita de sĂ­mbolos.

Ejemplo ({1, 2, 3, 4}; {â&#x;¨1, 2â&#x;Š, â&#x;¨2, 1â&#x;Š, â&#x;¨2, 3â&#x;Š, â&#x;¨3, 3â&#x;Š}) Esta lĂ­nea describe completamente la estructura y se puede escribir con numerales en base 10, junto con puntuaciĂłn y delimitadores (por ejemplo, parĂŠntesis). Por lo tanto, dicha estructura puede ser comunicada a otra persona o a una mĂĄquina. La cadena finita de sĂ­mbolos puede escribirse en un formato adecuado de entrada. 3. Dada una estructura finita đ?”„ para un lenguaje finito, con universo {1, ‌ , đ?‘›} y por la observaciĂłn anterior, se sabe que dicho objeto puede ser dado, una fĂłrmula đ?œ‘ y una asignaciĂłn đ?‘ đ?œ‘ de nĂşmeros de este universo a las variables libres de đ?œ‘ (por supuesto que sĂłlo hay una cantidad finita), se puede determinar efectivamente si ⊨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ đ?œ‘ ] o no.

Ejemplo đ??ľ = ({1,2,3,4}; {â&#x;¨1, 2â&#x;Š, â&#x;¨2, 1â&#x;Š, â&#x;¨2, 3â&#x;Š, â&#x;¨3, 3â&#x;Š}) đ?œ‘ = ∀đ?‘Ł1 ((ÂŹâˆ€đ?‘Ł2 ÂŹđ??¸đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 ) → đ??¸đ?‘Ł1 đ?‘Ł1 ). Se puede organizar la revisiĂłn en la forma del ĂĄrbol que aparece en la figura 3.2.1.1. Se ve que el enunciado đ?œ‘, que dice “Cualquier cosa en el rango de đ??¸ estĂĄ relacionada consigo mismaâ€?, es

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden falso en đ?”….

RepresentaciĂłn mediante Ă rbol En cada hoja del ĂĄrbol (es decir, en cada vĂŠrtice mĂ­nima) se tiene una fĂłrmula atĂłmica, asĂ­ que se observa para ver si esto se satisface. NĂłtese que todo cuantificador genera una bĂşsqueda a travĂŠs del universo de n elementos. Dada una fĂłrmula đ?œ‘ con đ?‘˜ cuantificadores, el nĂşmero de hojas del ĂĄrbol estĂĄ acotado por un polinomio de grado đ?‘˜ en tĂŠrminos de đ?‘›. Si el lenguaje contiene sĂ­mbolos de funciĂłn, entonces es necesario evaluar cada tĂŠrmino utilizando la funciĂłn (finita) que ofrece la estructura. 3.2.1.1. Teorema. Si đ?”„ es una estructura finita en un lenguaje finito, entonces đ?‘‡â„Ž đ?”„ es decidible. DemostraciĂłn 1 Por observaciĂłn 1, se puede reemplazar đ?”„ por una estructura isomorfa con un universo de la forma {1, ‌ đ?‘›}, sin que cambie cuĂĄles son los enunciados verdaderos. DespuĂŠs, aplicamos la observaciĂłn 3. ∎ DemostraciĂłn 2 Si un lenguaje con igualdad cuyo Ăşnico parĂĄmetro (ademĂĄs de ∀) es un sĂ­mbolo de predicados đ?‘ƒ de dos argumentos y como đ?”„ es finito y đ?”„ ≥ đ?›żđ?”„ . Entonces đ?”„ es isomorfo a đ?›żđ?”„ . Entonces hay un enunciado đ?›żđ?”„ que caracteriza đ?”„, salvo isomorfismos. De donde se sigue que: đ?‘‡â„Ž đ?”„ = {đ?œŽ| đ?›żđ?”„ ⊨ đ?œŽ} Para demostrar la contenciĂłn ⊆ hay que notar que si đ?œŽ es verdadero en đ?”„, entonces es verdadero en todas las copias isomorfas y, por tanto, en todos los modelos de đ?›żđ?”„ . De modo que

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden đ?›żđ?”„ ⊨ đ?œŽ, entonces đ?œŽ es verdadero en todos los modelos de đ?›żđ?”„ , uno de los cuales es đ?”„ aplicando el corolario. Con 3.1.3.4 se nota que para todo đ?œŽ, o bien ⊨đ?”„ đ?œŽ ⊨đ?”„ ÂŹ đ?œŽ. 4. Dado un enunciado đ?œŽ y un entero positivo đ?‘›, se puede decidir efectivamente si đ?œŽ tiene o no un modelo con đ?‘› elementos. Es decir, que la relaciĂłn binaria {â&#x;¨đ?œŽ, đ?‘›â&#x;Š|đ?œŽ tiene un modelo de tamaĂąo đ?‘›} es decidible. La idea clave es que solamente hay que revisar una cantidad finita de estructuras, cosa que ciertamente se puede hacer. Por la observaciĂłn 1, el enunciado đ?œŽ tiene un modelo de tamaĂąo đ?‘› si y sĂłlo si tiene un modelo con universo {1, . . . , đ?‘›}. Si se restringe el lenguaje a los parĂĄmetros que ocurren en đ?œŽ, solamente hay una cantidad finita de ese tipo de estructuras y se pueden generar todas sistemĂĄticamente. Al usar la observaciĂłn 3, se verifica si alguna de ĂŠstas es modelo de đ?œŽ. 5. El espectro de un enunciado a se define como {đ?‘› | a tiene un modelo de tamaĂąo n}. De la observaciĂłn 4 se sigue que el espectro de cualquier enunciado es un conjunto decidible de enteros positivos. 3.2.1.2. Teorema Para un lenguaje finito, {đ?œŽ|đ?œŽ tiene un modelo finito} es efectivamente numerable. DemostraciĂłn A continuaciĂłn se da un procedimiento de semidecisiĂłn: dado đ?œŽ, usando la observaciĂłn 4, revisa primero si ĂŠste tiene un modelo de tamaĂąo 1; si es asĂ­, intĂŠntalo con 2, y asĂ­ sucesivamente. ∎ 3.2.1.2 Corolario SupĂłngase que el lenguaje es finito y sea ÎŚ el conjunto de enunciados verdaderos en una estructura finita. Entonces su complemento ÎŚ es efectivamente numerable. DemostraciĂłn del enunciado đ?œŽ, đ?œŽ ∈ ÎŚ â&#x;ş (ÂŹđ?œŽ) tiene un modelo finito Se puede aplicar el procedimiento anterior de semidecisiĂłn a (ÂŹ đ?œŽ). Se sigue (por el teorema 1.5.3.4) que ÎŚ es decidible si y sĂłlo si es efectivamente numerable. Pero esto no sucede. Entonces se afirma el siguiente: *3.2.1.2. Teorema de Trakhtenbrot (1950) El conjunto de enunciados ÎŚ = {đ?œŽ|đ?œŽ es verdadero en toda estructura finita } EducaciĂłn Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as 23

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden No es en general decidible ni efectivamente numerable. AsĂ­ que el anĂĄlogo del teorema de numerabilidad restringido a estructuras finitas es falso.

TamaĂąo de modelos En la prueba del teorema de completud, se empieza con un conjunto consistente Γ y construir una estructura đ?”„/đ??¸ en la que se satisfacĂ­a el conjunto. ÂżQuĂŠ tan grande era esa estructura? Se afirma que si el lenguaje inicial es numerable, entonces |đ?”„/đ??¸| es un conjunto numerable. De modo que un conjunto consistente de enunciados en un lenguaje numerable tiene un modelo numerable. đ?”„/đ??¸ se construyĂł a partir de una estructura preliminar đ?”„. El universo de đ?”„ era el conjunto de todos los tĂŠrminos del lenguaje obtenido al agregar un conjunto numerable de nuevos sĂ­mbolos de constante. Sin embargo, el lenguaje aumentado seguĂ­a siendo numerable, asĂ­ que el conjunto de todas las expresiones era numerable. Es decir, |đ?”„| era numerable. El universo de đ?”„/đ??¸ estaba compuesto por las clases de equivalencia de elementos de đ?”„, asĂ­ que ĂŠste tambiĂŠn era un conjunto numerable. La conclusiĂłn es que, tal como se afirmaba, đ?”„/đ??¸ es una estructura numerable.

Teoremas de LÜwenheim-Skolem El teorema de LÜwenheim-Skolem fue publicado por Leopold LÜwenheim en 1915 para el caso en el que Γ es un conjunto unitario; en 1920, Thoralf Skolem lo generalizó a un Γ posiblemente infinito. El teorema marcó una nueva fase en la lógica matemåtica. El trabajo anterior se había encaminado a formalizar las matemåticas por medio de lenguajes formales y cålculos deductivos; el inicio de este trabajo, en 1879, se debe en gran parte a Gottlob Frege. Por ejemplo, en los Principia Mathematica (1910-1913) de Whitehead y Russell se realizó dicha formalización con sumo detalle. Sin embargo, el periodo moderno empezó cuando los lógicos dieron un paso atrås y comenzaron a probar resultados acerca de los sistemas formales que se habían estado construyendo. David Hilbert, Emil Post, Kurt GÜdel (ya mencionado) y Alfred Tarski, entre otros, realizaron trabajos en esa dirección.

3.2.3.1. Teorema de LÜwenheim-Skolem (1915) (a) Sea Γ un conjunto satisfactible de fórmulas en un lenguaje numerable. Entonces hay una estructura numerable que satisface Γ. (b) Sea Σ un conjunto de enunciados en un lenguaje numerable. Si Σ tiene un modelo, entonces tiene un modelo numerable.

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden DemostraciĂłn Primero, obsĂŠrvese que Γ es consistente, por el teorema de correctud. Entonces, por el teorema de completud (junto con las observaciones que hemos hecho hasta ahora), hay una estructura numerable que lo satisface.∎

Ejemplo Sea đ??´đ?‘ đ?‘Ą el conjunto de axiomas que el lector prefiera de la teorĂ­a de conjuntos. Se presupone que esos axiomas son consistentes y, por lo tanto, que tienen un modelo. Por el teorema de LĂśwenheim-Skolem, esos axiomas tienen un modelo numerable đ?”–. Por supuesto, đ?”– tambiĂŠn es modelo de todos los enunciados implicados lĂłgicamente por đ??´đ?‘ đ?‘Ą . Uno de estos enunciados afirma (cuando se traduce al espaĂąol, mediante la traducciĂłn propuesta) que hay una cantidad no numerable de conjuntos. AquĂ­ no hay contradicciĂłn, pero la situaciĂłn es lo suficientemente desconcertante como para que se la llame “la paradoja de Skolemâ€?. Lo que es cierto en la estructura đ?”– es que no hay ningĂşn elemento que satisfaga la definiciĂłn formal de ser una funciĂłn biyectiva de los nĂşmeros naturales en el universo. Pero esto de ninguna manera excluye la posibilidad de que haya (fuera de đ?”–) una autĂŠntica funciĂłn que da esa correspondencia uno a uno. Recuerda que la teorĂ­a de đ?”„, denotada por đ?‘‡â„Ž đ?”„, es el conjunto de todos los enunciados verdaderos en 21. Se puede aplicar el teorema de LĂśwenheim-Skolem (conÎŁ = đ?‘‡â„Ž đ?”„) para probar que para cualquier estructura đ?”„ de un lenguaje numerable, existe una estructura numerable đ?”… elementalmente equivalente a ella. Si đ?”… es un modelo de đ?‘‡â„Ž đ?”„, entonces đ?”„ = đ?”…, pues ⊨đ?”„ đ?œŽ ⇒ đ?œŽ ∈ đ?‘‡â„Ž đ?”„ â&#x;š ⊨đ?”… đ?œŽ y ⊭ đ?œŽ â&#x;šâŠ¨đ?”„ ÂŹ đ?œŽ â&#x;š (ÂŹđ?œŽ) ∈ đ?‘‡â„Ž đ?”„ â&#x;šâŠ¨đ?”… ÂŹ đ?œŽ â&#x;šâŠ­đ?”… đ?œŽ.

Ejemplo Considerar la estructura đ?”‘ = (â„•; 0, đ?‘†, <, +,¡ ). Se afirma que existen una estructura numerable đ?”?0 , elementalmente equivalente a đ?”‘ (es decir, đ?”?0 y đ?”‘ satisfacen exactamente los mismos enunciados), pero que no es isomorfa a đ?”‘. DemostraciĂłn Se construye đ?”?0 usando teoremas compacidad. Se extiende el lenguaje agregando un nuevo EducaciĂłn Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as 25

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden sĂ­mbolo de constante đ?‘?. Sea ÎŁ = {0 < đ?‘?, đ?‘şđ?&#x;Ž < đ?‘?, đ?‘şđ?‘şđ?&#x;Ž < đ?‘?, ‌ } Se afirma que ÎŁ âˆŞ đ?‘‡â„Ž đ?”‘ tiene un modelo. Para demostrarlo, tomar cualquier subconjunto finito de ÎŁ âˆŞ đ?‘‡â„Ž đ?”‘ tiene un modelo. Al usar el teorema de LĂśwenheim-Skolem, ÎŁ âˆŞ đ?‘‡â„Ž đ?”‘ tiene un modelo numerable đ?”? = (|đ?”?|; đ?&#x;Žđ?•¸ , đ?‘şđ?•¸ , <đ?•¸ , +đ?•¸ ,¡đ?•¸ ). Sea đ?”? la restricciĂłn de đ?”? al lenguaje original: đ?”?0 = (|đ?”?|; đ?&#x;Žđ?•¸ , đ?‘şđ?•¸ , <đ?•¸ , +đ?•¸ ,¡đ?•¸ ). Como đ?”?0 es modelo de đ?‘‡â„Ž đ?”‘, se tiene que đ?”?0 ≥ đ?”‘: ⊨đ?”‘ đ?œŽ â&#x;š đ?œŽ ∈ đ?‘‡â„Ž đ?”‘ â&#x;š ⊨đ?”?0 đ?œŽ ⊭ đ?”‘ đ?œŽ â&#x;š ÂŹđ?œŽ ∈ đ?‘‡â„Ž đ?”‘ â&#x;š ⊨đ?”?0 ÂŹ đ?œŽ â&#x;šâŠ¨ đ?”?0 ÂŹ đ?œŽ ⊭đ?”?0 đ?œŽ. Se observa que đ?”?0 no es isomorfo a đ?”‘ . (|đ?”?0 | contiene el nĂşmero infinito đ?‘? đ?”? ).∎

đ?”„/đ??¸ se construyĂł a partir de las estructuras preliminares đ?”„. El universo de đ?”„ era el conjunto de todos los tĂŠrminos en un lenguaje que se obtuvo al agregar đ?œ† nuevos sĂ­mbolos de constante. AsĂ­ que el lenguaje aumentado aĂşn tenĂ­a cardinalidad đ?œ†. AsĂ­, el conjunto de todas las expresiones (y por lo tanto, el conjunto de todos los tĂŠrminos) tenĂ­a cardinalidad ≤ đ?œ†. (De hecho, puesto que al menos se tenĂ­an los đ?œ† nuevos sĂ­mbolos de constante, el conjunto de tĂŠrminos tenĂ­a exactamente cardinalidad đ?œ†.) El universo de đ?”„/đ??¸ estaba compuesto por clases de equivalencia de elementos de đ?”„, asĂ­ que đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘‘ |đ?”„/đ??¸| ≤ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘‘|đ?”„|. (Se puede dar una funciĂłn inyectiva de |đ?”„/đ??¸| en |đ?”„|, al asignar a cada clase de equivalencia alguno de sus elementos, pero es posible que para eso se necesite el axioma de elecciĂłn.) AsĂ­, una vez aclarada la cuestiĂłn, se ve que Γ se satisface en una estructura đ?”„/đ??¸ de cardinalidad ≤ đ?œ†. 3.2.3.2. Teorema de LĂśwenheim-Skolem (a) Sea F un conjunto satisfactible de fĂłrmulas en un lenguaje de cardinalidad đ?œ†. Entonces Γ es satisfactible en alguna estructura de tamaĂąo ≤ đ?œ†. (b) Sea ÎŁ un conjunto de enunciados de un lenguaje de cardinalidadđ?œ†. Si ÎŁ tiene un modelo, entonces tiene un modelo de cardinalidad ≤ đ?œ†. La primera versiĂłn del teorema de LĂśwenheim-Skolem que se presentĂł es un caso particular de esta versiĂłn, en la que đ?œ† = â„ľ0 .

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LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden SupĂłngase que se tiene una estructura no numerable đ?”„ para un lenguaje numerable. Por el teorema de LĂśwenheim-Skolem (aplicado a đ?‘‡â„Ž đ?”„) hay una estructura đ?”… numerable que es modelo de đ?‘‡â„Ž đ?”„, por lo que đ?”„ = đ?”…, como ya se hizo notar antes. De manera inversa, supĂłngase que se empieza con una estructura finita o numerable đ?”…. ÂżExiste una estructurađ?”„ no numerable tal que đ?”„ = đ?”…? Si đ?”… es finita (y el lenguaje incluye la igualdad), entonces esto es imposible. Pero si đ?”… es infinita, entonces sĂ­ habrĂĄ tal đ?”„, gracias al siguiente teorema ascendente y descendente de LĂśwenheim-Skolem. La parte ascendente se debe a Tarski, y de ahĂ­ la "T" de LST. 3.2.3.3. Teorema [LST] Sea 1' un conjunto de fĂłrmulas en un lenguaje de cardinalidad đ?œ†, y supĂłngase que Γ es satisfactible en alguna estructura infinita. Entonces, para todo cardinal đ?‘˜ ≼ đ?œ†, hay una estructura de cardinalidad đ?‘˜ en la que Γ es satisfactible. DemostraciĂłn Sea đ?”„ la estructura infinita en la que Γ es satisfactible. Se extiende el lenguaje al agregar un conjunto C de đ?‘˜ nuevos sĂ­mbolos de constante. Sea ÎŁ = {đ?‘?1 ≠đ?‘?2 |đ?‘?1 , đ?‘?2 elementos distintos de C}. Entonces, cada subconjunto finito de ÎŁ âˆŞ Γ es satisfactible en la estructura đ?”„, extendida para asignar objetos distintos a la cantidad finita de nuevos sĂ­mbolos de constante del subconjunto. (Como đ?”„ es infinito, hay elementos suficientes para dar cabida a cualquier nĂşmero finito de ellos.) AsĂ­ que, por compacidad, ÎŁ âˆŞ Γ es satisfactible, y por el teorema de LĂśwenheim-Skolem puede ser satisfecho en una estructura đ?”… de cardinalidad < đ?‘˜. (El lenguaje expandido tiene cardinalidad đ?œ† + đ?‘˜ = đ?‘˜.) Pero cualquier modelo de ÎŁ tiene cardinalidad ≼. De tal manera que đ?”… tiene cardinalidad đ?‘˜; finalmente se restringe đ?”… al lenguaje original. ∎ 3.2.3.1. Corolario (a) Sea ÎŁ un conjunto de enunciados en un lenguaje numerable. Si ÎŁ cuenta con algĂşn modelo infinito, entonces ÎŁ tiene modelos de cualquier cardinalidad infinita. (b) Sea đ?”„ una estructura infinita para un lenguaje numerable. Entonces, para cualquier cardinal infinito đ?œ†, hay una estructura đ?”… de cardinalidad đ?œ† tal que đ?”… ≥ đ?”„. DemostraciĂłn (a) TĂłmese Γ = ÎŁ, đ?œ† = â„ľ0 en el teorema. (b) TĂłmese ÎŁ = đ?‘‡â„Ž đ?”„ en la parte (a).∎

Ejemplo ConsidĂŠrese un conjunto ÎŁ de enunciados, de los que se pensarĂĄ que son axiomas no lĂłgicos. Sea ÎŁ un conjunto de axiomas de la teorĂ­a de conjuntos o un conjunto de axiomas de la teorĂ­a de los nĂşmeros. Se dice que ÎŁ es categĂłrica si y sĂłlo si cualesquiera dos modelos de ÎŁ son isomorfos. El corolario anterior implica que si ÎŁ tiene algĂşn modelo infinito, entonces ÎŁ no es EducaciĂłn Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as 27

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lĂłgica de primer orden categĂłrica. Por ejemplo, no existe un conjunto de enunciados tal que sus modelos sean exactamente las estructuras isomorfas de (â„•; 0, đ?‘†, +,¡).

Esto concluye los temas de la unidad 3 de LĂłgica matemĂĄtica, con los principales teoremas de la lĂłgica de primer orden. Cabe decir que no es todo lo que se puede decir de esto y que puedes conocer formas distintas de concebir la lĂłgica en este nivel, a manera de un planteamiento distinto, para ello revisa la secciĂłn Para saber mĂĄs. Cierre de la unidad La matemĂĄtica necesita de un lenguaje apropiado para ser lo mas precisa posible, ĂŠste es dado por la lĂłgica, como se mencionĂł, estĂĄ en lenguaje de la lĂłgica de primer orden. A la luz de esto, mirar las propociones que se tienen a diario en el quehacer matemĂĄtico puede brindarte una perspectiva distinta de los teoremas y, asimismo, posibles herramientas para probarlo. Seguramente ya has usado mĂŠtodos de demostraciĂłn de los aquĂ­ presentados, pero ĂŠsta es una formalizaciĂłn de eso. AnalĂ­zalo con cuidado.

Para saber mĂĄs Se puede revisar el capĂ­tulo IV de Enderton, H., A Mathematical Introduction to Logic, Academic Press, 2001, para ver que hay enunciados categĂłricos de segundo orden; sin embargo, los enunciados de segundo orden son objetos peculiares que se obtuvieron a costa de mantener fija la nociĂłn de subconjunto, inmune a la interpretaciĂłn mediante estructuras. Considera revisar textos con alternativas a esta visiĂłn de la lĂłgica en textos como los siguientes: Suppes, P. y S. Hill (1981). IntroducciĂłn a la lĂłgica matemĂĄtica, MĂŠxico: Reverte. Hurley, P. (2012). A concise introduction to logic (11ÂŞ ed.).BostĂłn EUA. Cengage Learning

Referencias bibliogrĂĄficas Amor, J. A. y R. Rojas (1991). Sistemas formales. MĂŠxico: VĂ­nculos matemĂĄticos nĂşm. 149, Facultad de Ciencias UNAM. Amor, J. A. (1993). LĂłgica proposicional dentro de la lĂłgica de primer orden. MĂŠxico: VĂ­nculos matemĂĄticos nĂşm. 113, Facultad de Ciencias UNAM. Enderton, H. (2001). A Mathematical Introduction to Logic.(2a EdiciĂłn) Los Angeles California EUA. Academic Press.

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Lógica matemática Unidad 3. Validez, completud y modelos en la lógica de primer orden

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