Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales
Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en matemáticas
2° cuatrimestre
Introducción al álgebra superior
Unidad 4 Espacios vectoriales
Clave: 05141106/06141106
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 1
Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales
Índice Unidad 4. Espacios vectoriales ........................................................................................................ 3 Presentación de la unidad ............................................................................................................... 3 Propósitos de la unidad ................................................................................................................... 3 Competencia específica .................................................................................................................. 3 Espacios vectoriales de dos dimensiones ....................................................................................... 4 Dependencia e independencia lineal .............................................................................................. 4 Base y dimensión............................................................................................................................. 7 Subespacios ..................................................................................................................................... 9 Actividad 1. Espacios Vectoriales .................................................................................................. 10 Espacios vectoriales de
dimensiones ......................................................................................... 10
Dependencia e independencia lineal ............................................................................................ 10 Actividad 2. Conjuntos linealmente dependientes e independientes .......................................... 11 Base, dimensión ............................................................................................................................ 11 Subespacios ................................................................................................................................... 13 Actividad 3. Espacios y subespacios .............................................................................................. 17 Evidencia de aprendizaje. Espacios vectoriales ............................................................................ 17 Cierre de la unidad ........................................................................................................................ 18 Para saber más .............................................................................................................................. 18 Fuentes de consulta ...................................................................................................................... 19
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Unidad 4. Espacios vectoriales Presentación de la unidad En esta unidad se estudia el plano cartesiano desde un punto de vista algebraico. Los vectores en son la introducción natural al álgebra lineal, por lo que en este espacio se estudiarán los conceptos básicos de vector, independencia lineal, bases y espacios vectoriales que después serán generalizados a . Los vectores son importantes por sus aplicaciones en la Física y porque permiten modelar fenómenos de la Economía, y además son básicos para un estudio posterior en otras ramas de la Matemática como Programación lineal, Análisis funcional, Cálculo vectorial, entre otras. Por lo anterior, la unidad está conformada por dos temas principales: Espacios vectoriales de dos dimensiones y Espacios vectoriales de dimensiones.
Propósitos de la unidad Mediante el estudio de esta unidad podrás:
Diferenciar entre dependencia e independencia lineal. Resolver ejercicios de una base y la dimensión de un espacio vectorial. Identificar qué es un subespacio vectorial. Resolver problemas de espacios vectoriales.
Competencia específica Utilizar los conceptos de independencia lineal, base, dimensión y subespacio, para resolver problemas en espacios de dimensiones, mediante las propiedades de los espacios vectoriales.
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Espacios vectoriales de dos dimensiones Los vectores considerados en la Física como magnitudes con dirección y sentido, son definidos como objetos matemáticos representados por dos puntos en el plano. Además de visualizar estos objetos se aprovechará la ventaja de la estructura del plano relacionada con los números reales, que facilitará las definiciones de dependencia lineal, base y espacio vectorial usando propiedades algebraicas independientes de la representación de los vectores.
Dependencia e independencia lineal En Física los vectores se consideran como fuerzas y dos fuerzas se pueden sumar. En nuestros cursos básicos se utilizaba el método gráfico del paralelogramo, consistente en representar con segmentos dirigidos los vectores de manera tal que tuvieran un punto origen común, se completa un paralelogramo con vectores paralelos a los iniciales para completar un paralelogramo, la diagonal es la fuerza resultante o suma de los vectores.
Suma de vectores: método del paralelogramo. Para definir formalmente los vectores consideremos el plano formado por las ) con y números parejas ordenadas de números reales que representaremos por ( reales, lo representaremos por , generalmente y derivado de la Geometría analítica, decimos que es la primera coordenada o abscisa y la segunda coordenada u ordenada, definiremos las operaciones entre vectores mediante la siguiente definición: ) ( ) Definición 1. Sean ( definimos su suma por ( ( ), por definición la suma es otro vector. ) ( )- ( ) ,( La suma satisface la ley asociativa: ,( ( ), por otro lado ( ) ,( ) ( )- ( ) ( ).
)
(
)
),(
(
) )-
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Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales ) ( ) ( ) La suma también satisface la ley conmutativa: ( ( ) ( ) ( ) (aplicando propiedad conmutativa de los reales en cada coordenada). Existe un elemento ⃗ ( ).
(
), el vector nulo que cumple (
Existe un elemento llamado inverso aditivo: ( ) ( ) ⃗. Otra operación que se define en
(
)
(
involucra un elemento de
)
(
)
(
) tal que (
)
)
y un vector.
) Definición 2. Dado un escalar y un vector ( , el producto escalar por un ( ) ( ), este vector se define como ) , lo denotaremos por ( producto satisface las siguientes propiedades: ,( ( ) ))- ( ) ( )( Dados , , ( ) que es una propiedad asociativa de escalares. Consideremos además ( ) , el producto ) ( )( ) ( ), es una propiedad en la que el producto satisface ,( )( ) ( ) ( ), distributiva con escalar distribuye a la suma de vectores. ( respecto a la suma de escalares. (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ( ) , neutro multiplicativo. Un ejemplo distinto es el de los polinomios lineales, es decir expresiones de la forma , como se vio en la definición de polinomios, éstos pueden verse como -adas de números pertenecientes a un conjunto dado, en nuestro caso al campo de los números ) reales, al polinomio anterior le corresponde la pareja ( , la operación de suma de polinomios se corresponde con la suma de vectores y satisface las propiedades señaladas en la definición de arriba. Para el producto de un escalar por un vector, sea y el polinomio ( ) , el producto ( ) , es otra vez un polinomio de grado uno. Se ve que los conjuntos de pares ordenados reales y polinomios lineales de coeficientes reales satisfacen propiedades similares con operaciones similares, estos conjuntos son importantes y son objeto de estudio en la Matemática, los llamaremos espacios vectoriales, como a continuación se definen. ⃗ Definición 3. Un espacio vectorial es una quinteta ordenada ( ), ⃗ ) es un conjunto con una operación de suma que satisface las propiedades donde ( de la definición 1. es un campo. La operación satisface las propiedades de la definición 2. Con estas definiciones es posible demostrar algunas proposiciones útiles, consideraremos un espacio vectorial como en la definición 3. Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 5
Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales Proposición 1. Existe un único vector ⃗ . Demostración: supongamos que existen ⃗ ⃗ por otro lado ⃗ ⃗ por lo que ⃗ ⃗
⃗ ´, que cumplen la propiedad de vector nulo, ⃗ , combinándolas se obtiene ⃗
⃗´ .
⃗. Proposición 2. Para cada , existe un único ́ tal que ́ Demostración: Supongamos que existen ́ ̈ tal que ́ y ̈ , entonces ) ́ ⃗ ́ ́ ́ ( ̈) ( ́ ̈ ⃗ ̈ ̈ , (aplicando propiedad de neutro aditivo y asociatividad). Al ́ de la proposición 1 se le denota por .
⃗. , el neutro aditivo del campo, entonces para , ) , sumando a ambos lados de la igualdad se
Proposición 3. Sea ( Demostración. ⃗ obtiene .
, (- )
Proposición 4. Si Demostración:
y se le llama el inverso aditivo o negativo de
(
)
(
). ⃗ , sumando
)
)
(
)
⃗
(
) a ambos extremos de la
)) se obtiene asociando los dos ⃗ ( ( )), o que primeros términos del lado izquierdo de la igualdad: ⃗ ( ) ( ) implica ( ) igualdad se obtiene
(
(
( (
Una propiedad fundamental en espacios vectoriales es la independencia lineal. Definición 4. Dos vectores
y se dice que son linealmente independientes, si para ⃗ , entonces .
cada combinación Ejemplos. Los vectores ( pues la combinación lineal .
)
( (
) son linealmente independientes en , ) ( ) ⃗ implica ( ) ( ), por lo que
Denotemos por el espacio vectorial de polinomios de grado , en particular es el espacio vectorial de polinomios lineales con coeficientes reales. Los polinomios ( ) ( ) ( ) ( ) son linealmente independientes pues ( ) ⃗ , implica . Si un conjunto de vectores no es linealmente independiente, entonces se dice que es linealmente dependiente. Definición 5. Un conjunto finito de vectores * independiente si si y sólo si
+ se dice que es linealmente .
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Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales
Ejemplos. Los vectores (
)( )( ) son linealmente dependientes, ya que ( ) ( ) ( ) ⃗ implica y , si son distintos de cero si , si son cero cualquier valor satisface ( ) la relación. Los polinomios ( ) y ( ) son linealmente dependientes.
Base y dimensión En la sección anterior se pudo escribir la relación de dependencia lineal de la forma ( ) ( siguiente: ( ) ), esta forma de relación es muy útil, en los siguientes teoremas partiremos de un elemento distinto de cero y una relación de dependencia para expresar un vector en términos de otro, generalizando el proceso partiremos de un conjunto de vectores (denotaremos l. d. por linealmente dependiente) l. d. para expresar un vector en términos de los restantes, daremos los teoremas y resultados para un espacio vectorial general. Teorema 1 Si * múltiplo de .
+ es un conjunto linealmente dependiente y si
Demostración: Sea ya que , por tanto
⃗ donde no son ambos cero, si y por tanto existe , lo que implica
⃗ , entonces
es un
, entonces .
Definición 6. Dados dos vectores decimos que es una combinación lineal de , si existen escalares tal que . El vector ( ) es una combinación ( ) lineal de ( ) como se vio en el ejemplo de arriba. Teorema 2. Si * + es un conjunto l. d. y si * + es l. i. (linealmente independiente), entonces es combinación lineal de . Demostración. Sea =0 donde no todos los coeficientes son cero, pues de lo contrario se tendría una combinación lineal nula de que implicaría que los otros coeficientes sean cero contradiciendo su independencia, por lo tanto y existe , por tanto . . Definición 7. Dado un conjunto de vectores * combinación lineal de , si existen escalares Generalizamos el teorema 12. Teorema 3. Si * lineal de .
+ es l. i. y si *
+, diremos que es una ∑ tales que
+ es l. d. entonces
.
es combinación
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Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales ⃗, Demostración: Sea ∑ , pues de lo contrario se tendría una combinación lineal de los , que nos llevaría a para todo , por tanto y existe ∑ , por tanto se tiene la expresión . Definición 8. Un conjunto de vectores * + de un espacio vectorial se dice que es un conjunto de generadores de V espacio vectorial, si para todo , existe un subconjunto finito de vectores tal que es combinación lineal de . Ejemplos. Si es un espacio vectorial y * + es el conjunto de todos los vectores de , entonces* + es un conjunto de generadores. En el espacio vectorial , los vectores ( ) ( ) es un conjunto de generadores. En el espacio vectorial de polinomios lineales con coeficientes reales los polinomios ( ) ( ) , es un conjunto de generadores. Definición 9. Un espacio vectorial se dice que es de dimensión finita si contiene un conjunto finito de generadores. Los espacios vectoriales y son de dimensión finita. Definición 10. Un conjunto de vectores de un espacio se dice que es una base si es l. i. y además es un conjunto de generadores. En el espacio vectorial , el par de vectores ( ) ( ) es una base. En el espacio vectorial de polinomios lineales con coeficientes reales los polinomios ( ) ( ) , son una base. Definición 11. Un espacio vectorial se dice que es de dimensión r si tiene una base de r ( ) vectores, se escribe . Los espacios vectoriales y son de dimensión dos. ( ) Ejemplo. Sea ( ) las funciones seno y coseno de variable real, consideremos ( ) el conjunto T de las combinaciones lineales de la forma ( ) con reales, estas son funciones reales de variable real, bajo las siguientes operaciones ( ) ( ) resultan ser un espacio vectorial. Sean ( ) ( )y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y el ( ), definimos la suma ( ) ( ) ( ) producto de un escalar por una función ( ), el conjunto de estas funciones forman un espacio vectorial sobre los reales, las funciones ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) se pueden ver como las combinaciones ( ) ( )y ( ) ( ) ( ), así todos los elementos de son generados por las funciones s(x) y c(x). Si demostramos que ( ) ( ) son linealmente independientes, demostraremos que es un espacio vectorial de dimensión dos. Supongamos que ( ) tenemos la combinación lineal ( ) con reales y válida para todo ( ) ( ) ( ) ( ) real, por definición , si hacemos se obtiene ( ) y si hacemos , obtenemos , así ( ) ( ) son l. i. .
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Subespacios Consideremos el espacio vectorial , el subconjunto de vectores de la forma ( ) son ) ( ) ( tal que si sumamos dos de ellos por ejemplo ( ), la suma ) ( vuelve a ser de la misma forma, por otro lado el producto ( ) vuelve a ser de la misma forma, si llamamos a este conjunto por se puede probar que es un espacio vectorial sobre los reales. Por otro lado el conjunto formado por el ⃗ ( ) es cerrado bajo la suma y el producto por escalares, fácilmente se puede ver que este conjunto también es un espacio vectorial. Los subconjuntos de espacios vectoriales que son a la vez un espacio vectorial sobre el mismo campo son muy importantes. Definición 12. Si es un espacio vectorial, un subconjunto no vacío se llama un subespacio de V, si con las operaciones definidas en es un espacio vectorial. Ejemplos. Si es un espacio vectorial, entonces tiene a mismo y a *⃗ + como subespacios vectoriales. Si , entonces el conjunto formado por los vectores de la forma con es un subespacio vectorial de . Para determinar si un subconjunto dado es un subespacio vectorial de un espacio vectorial sobre un campo , habría que probar que satisface todas las propiedades de espacio vectorial, pero ya que las operaciones son las mismas que las del espacio, se cumplen en automático las siguientes: ) 1. Asociativa de la suma, para , se satisface ( ( ). 2. Conmutativa. Para , se cumple . 3. Asociativa de producto por vectores. Dado ,( ) ( ), 4. Distributiva de escalares sobre suma de vectores. Si , entonces ( ) . ) 5. Distributiva sobre suma de escalares. Si , entonces ( . 6. , entonces para todo . Sólo faltarían por probar las siguientes propiedades: 7. Cerradura. Si , entonces . ⃗ 8. Existe ⃗ tal que ⃗ . 9. 10.
̇ tal que ̇ , entonces
⃗. ̇ .
Las propiedades 8 y 9 pueden ser reducidas a probar las siguientes: 8´. 9´. Si , entonces . De lo anterior concluimos que para probar si es un subespacio vectorial basta con probar que se cumplen 7, 8´y 9´ y 10. El siguiente teorema nos da condiciones para demostrar si es subespacio de . Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 9
Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales
Teorema 4. Sea V espacio vectorial y , . Las tres siguientes proposiciones son equivalentes: i. . , . ii. Se cumplen a. . b. Si , entonces . iii. es un subespacio vectorial de . Demostración. ) ) ) ) son inmediatas. Probaremos ii) implica iii). Supongamos que son válidos a) y b) de ii), probaremos que se satisfacen las propiedades ⃗ 8´. Sea ( ), por a) con , . 9´.Sea , ya que ⃗ , por a) ⃗ 7. Sean , por 9´) , por a) 10. Es el inciso b. Ejemplos. Los conjuntos *⃗ + *( Los conjuntos * ( )
)
(
. )
.
+ son subespacios de . }y {q(x)=a: a + son subespacios de
.
Actividad 1. Espacios Vectoriales El objetivo de esta actividad es que analices ejemplos de la vida diaria donde aparecen vectores y logres diferenciar entre dependencia e independencia lineal.
Espacios vectoriales de
dimensiones
En la sección anterior se trabajó con espacios vectoriales de dimensión dos, en particular con el espacio que fue descrito como el conjunto de pares ordenados de números reales, una generalización natural es llevarla a -adas de reales y verificar que satisfacen las mismas propiedades. Se construirán otros espacios vectoriales como los polinomios o los espacios de funciones, todos los resultados de dos dimensiones se extenderán a dimensiones, solo se harán explícitos los resultados que no fueron probados en la sección anterior y que se necesite la condición de dimensión mayor que dos.
Dependencia e independencia lineal Definición 13. El espacio vectorial ordenadas de números reales ( ) ( i) Suma (
consta del conjunto de todas las colecciones ) y las operaciones siguientes: ) ( ).
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Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales ii)
Si , entonces ( por vector).
)
(
) (producto de escalar
La suma y el producto arriba definido satisfacen las mismas propiedades que , las enlistamos: ) 1) La adición es asociativa. Si , entonces ( ( ). 2) La adición es conmutativa. Si , entonces . ⃗ ⃗ 3) Neutro aditivo. Existe un vector nulo ( ) tal que . ⃗ , si 4) Inverso aditivo. Dado existe , tal que ( ), entonces ( ), se denotará a este vector como . ( ) ( ) 5) Asociativa de escalares. Si , entonces . 6) Distributiva del producto escalar con respecto a la suma de vectores. Si ) , entonces ( . 7) Distributiva con respecto a la suma de escalares. Si y , entonces ( ) . 8) Neutro multiplicativo. Si , entonces . Todas las definiciones y propiedades de 3 a 9 de la sección 4.1.1. son válidas también en esta sección. Ejemplos. Consideremos el conjunto de polinomios de grado menor o igual que con , coeficientes reales * ( ) ( ( )) +, si ( ) ( ) definimos la ( ) ( ) suma como ( ) ) ( ( ) , donde ( ) ∑ y ( ) ∑ , y el producto escalar por ( ) ∑ , este conjunto con estas operaciones satisfacen las propiedades 1)-8) de la definición anterior) es un espacio vectorial con las operaciones aquí definidas.
Actividad 2. Conjuntos linealmente dependientes e independientes El objetivo de esta actividad es la aplicación de definiciones, resultados y teoremas para construir conjuntos linealmente dependientes e independientes.
Base, dimensión En la sección 4.1.2 definimos conceptos relacionados a base y dimensión, en las que no fue necesario considerar que la dimensión fuera dos. Repetiremos la definición sólo para dar unos ejemplos. Definición 14. Un conjunto de vectores * + de un espacio vectorial se dice que es un conjunto de generadores de V espacio vectorial, si para todo , existe un subconjunto finito de vectores tal que es combinación lineal de . Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 11
Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales
El siguiente teorema será útil para determinar la dimensión de un espacio vectorial. Teorema 5. Sea * + un conjunto finito de generadores de un espacio vectorial V y sea * + un conjunto l.i., entonces . La demostración de este teorema usa álgebra de matrices. La demostración se hará por contrapostiva, es decir, supondremos que no se satisface la tesis: y se demostrará que la hipótesis no se cumple. Sea * + un conjunto de vectores de V con , ya que * + es un conjunto de generadores de V cada uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los : ∑
(
)
Queremos demostrar que los son l. d., es decir que existen no todos cero tal ⃗ que ∑ , considérese ahora el sistema de r ecuaciones lineales.
Con k incógnitas, como k>r , el sistema tiene soluciones no nulas ∑ ∑ (∑ , para . La combinación ∑ ya que cada coeficiente ∑ vectores .
. Es decir )=∑ (∑ )
,
, obtenemos una combinación lineal no nula de los
Enunciamos otra vez la siguiente definición, pues caracteriza una base. Definición 15. Un conjunto de vectores de un espacio se dice que es una base si es l. i. y además es un conjunto de generadores. Ejemplos. En el espacio el conjunto * + es una base, ya que genera el espacio, todo polinomio de grado menor o igual que n se expresa como combinación de elementos de X, es fácil ver que es l. i. ya que ( ) ∑ ( ) implica . )( ) ( )+ es una base llamada la base canónica, la En , *( prueba de que este conjunto es l. i. y que es un conjunto generador es muy fácil. El siguiente teorema nos da un mecanismo para construir una base de un espacio vectorial. Teorema 6. Sea existen vectores
un espacio vectorial de dimensión finita y sea * + l. i. Entonces , tal que * + es una base.
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Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales Demostración:. Supongamos que { + es l. i., si es un conjunto de generadores, terminamos por definición, si no existe un vector tal que no es combinación lineal de los vectores , sea * + es l. i., si no encontraríamos una combinación lineal de los restantes elementos. Si es un conjunto de generadores ya terminamos, si no, podemos repetir el proceso hasta completar la base debido a que la dimensión de V es finita. Corolario 24. Si
es un espacio no nulo de dimensión finita, entonces tiene una base. ⃗ , * + es l. i. y aplicando Demostración. Ya que el espacio es no nulo, existe un , el teorema 6 garantizamos la existencia de la base. )( Ejemplos. En , los vectores ( ) son l.i. el vector ( ) no es combinación ) ( ) ( ) lineal de los dos primeros, si lo fuera tendríamos ( )( )( ( ), que no tiene solución para ,así ( ) es l.i. y como la dimensión de es tres, entonces el conjunto construido es una base. Teorema 7. Si dos conjuntos * entonces .
+y*
+ son bases de un espacio,
La demostración es inmediata aplicando el teorema 5. Corolario 26. Si es un espacio vectorial dimensión , entonces todo conjunto l. i. de vectores es un base.
Subespacios Recordemos la definición de subespacio vectorial Definición 16. Si es un espacio vectorial, un subconjunto no vacío se llama un subespacio de V, si con las operaciones definidas en es un espacio vectorial. El teorema 4 nos dio condiciones para probar si un conjunto era o no subespacio vectorial. La dimensión de un subespacio vectorial tiene que ver con las condiciones que se requiere para ser una base. Lema 1. Sea un subespacio vectorial de y * + es l. i. en si y solo si es l. i. en . Teorema 8. Si es un espacio vectorial y 1) tiene dimensión finita.
vectores de , entonces
es un subespacio, entonces
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Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales 2) ( ) ( ). ( ) 3) ( ) si y solo si, . Demostración: 1) Sea * + un conjunto l. i. en y por tanto en , por el teorema 22 . 2) Si * + es una base de entonces es l. i. en y por tanto en , si genera a ( ) ( ) entonces ( ), si no entonces ( ). ( ) ( ) 3) Si entonces ( ), supongamos que ( ), sea * + base de , entonces por lema 1 es l. i. en y ,si existiera elemento , tal que no esté en el conjunto generado por los , entonces tendríamos un conjunto l. i. de más de n elementos. por tanto , y por definición , por tanto Ejemplos: tiene a él mismo y a *⃗ + como subespacios, y los subespacios de dimensión uno. Ya que tiene dimensión finita y un base canónica )( ) ( )+ cualquier subconjunto no vacío es l.i. y por tanto *( genera un subespacio, así tiene subespacios de dimensión: 1, 2, 3,…, n. Un espacio muy importante es el espacio de funciones reales de variable real, lo denotaremos por está definido con las siguientes operaciones: 1. Suma. Sean ( ) ( ) funciones reales dependiendo de la variable real , el álgebra de funciones que se estudia en Cálculo Diferencial, la función suma )( ) ( ) ( ) para cada , se verifica que esta , tal que ( esta operación así definida satisface las propiedades de la suma de un espacio vectorial: conmutativa, asociativa, neutro aditivo(función constante cero), inverso aditivo( ( )). 2. El producto de un escalar por una función ( ) es la función , dada por ( )( ) ( ) , este producto cumple las propiedades del producto vectorial enunciadas en la definición 1:asociativa (( )( )( ) )( ) ( ) ( )( )),distribuye la suma de vectores( ( ( )), distribuye )( )( ) ( ) ( )( ) la suma de escalares(( ( )), para ( ). El espacio de funciones polinomiales es el conjunto de funciones , tal que está definida por un polinomio de coeficientes reales, ( ) ∑ , , para ver que este conjunto es un subespacio de funciones basta observar que son polinomios con coeficientes reales la suma es un polinomio. Si ( ) ∑ , y ( ) ∑ , )( ) ∑ ∑ ∑ ( , la suma ( ) * + es una función polinomial, por el teorema 4 el espacio de funciones polinomiales es un subespacio de funciones reales de variable real. Si tomamos el espacio de funciones polinomiales de grado a lo más , con las operaciones del párrafo anterior, resultan ser un subespacio vectorial de y este a la vez del espacio de funciones reales de variable real .
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Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales
Sean las funciones trigonométricas: y definidas sobre todos los reales, en 4.1.2 se demostró que estas funciones eran l. i., con las operaciones definidas arriba es fácil demostrar que generan un espacio de funciones de dimensión dos. Este espacio de funciones es un subespacio vectorial de . Definición 17. En
(
definimos la norma de un vector
) como el número
real: √ y lo denotamos por ‖ ‖. Por ejemplo si v está en , ( ) su norma es la longitud de la hipotenusa del triángulo formado por los vectores ( ) ( ), aplicando Teorema de Pitágoras se obtiene ‖ ‖ , de manera ‖ ‖ similar si con ( ), entonces . Un ejemplo ( ) ( ) numérico si ( ), entonces ‖ ‖ √( ) √ . Si y son dos vectores diferentes de cero en o en , haciendo coincidir sus puntos iniciales. El ángulo entre y se llamará al ángulo determinado por que satisface . Definición 18. Si son vectores en o en el producto punto o producto interior euclidiano ‖ ‖‖ ‖ { (
Ejemplo. El ángulo entre (√
)y ). /
)(√
‖ ‖
(
‖ ‖
‖ ‖‖ ‖
. Por tanto, )
es el ángulo entre
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ Como ⃗⃗⃗⃗⃗
) es
. Sean
√
vectores distintos de cero. Si cosenos, se obtiene:
(
y es el ángulo entre ellos, entonces se define como:
(
) dos
, entonces aplicando la ley de los ‖ ‖‖ ‖
, la anterior ecuación se puede expresar como: ‖ ‖‖ ‖
(‖ ‖
‖ ‖
‖
‖ )
O sea: (‖ ‖ Haciendo las sustituciones: ‖ ‖ ‖
‖
(
‖ ‖
‖
‖ ‖ Y ) (
‖ )
)
(
)
Simplificando se obtiene , para . Con esta operación podemos construir un ejemplo sea un vector fijo distinto de cero y sea * + este conjunto así definido es un subespacio vectorial ‖ ‖‖ ‖ de , por definición , ya que es distinto de cero y los vectores no Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 15
Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales
son necesariamente cero se concluye que
, es decir
los vectores
son
perpendiculares de hecho por definición si son perpendiculares , para verificar que es un subespacio vectorial necesitamos probar que si , entonces , para demostrar esto necesitamos las propiedades principales de este producto. Teorema 9. Sean o en . ‖ ‖ ( ) 1) 2) Si son diferentes de cero y i) es agudo si y solo si ii) es obtuso si y solo si iii) si y solo si Demostración. Se demostrará el a). es consecuencia de la definición signo del producto solo depende de
es el ángulo entre ellos, entonces . ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖ , considerando . El b) ‖ ‖‖ ‖ , ya que las normas son positivas el , sabemos que si y que
si Teorema 10. Si 1) ( ) 2) ) ( 3) ( 4) si
son vectores en
)
( y
o en
y
, entonces
) si
Demostración. Las demostraciones son inmediatas de la definición, se demostrará una parte de 3). ( ) ) ( ) Sea ( ); entonces ( ( ) ( ) ( ) ( ) , la otra parte se hace de manera análoga. Ahora es muy fácil probar que es un subespacio vectorial de o de , solo ( ) necesitamos probar que si , entonces , ( ) ) ( )(usando el 2) del teorema 32)= ( ( )(usando 3))= =0, por tanto . Dados dos vectores diferentes de cero en o en , queremos expresar como suma de dos vectores que cumplan las condiciones es múltiplo escalar de y es perpendicular a , es decir es la diagonal del rectángulo formado por los vectores ) y , por la condición de perpendicularidad ( , aplicando las ⃗ podemos despejar propiedades del teorema 10 obtenemos , ya que para obtener ; el vector
, el vector
se llama proyección ortogonal de
se llama componente de
sobre
se denota
ortogonal a .
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Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales
Una función distancia se puede definir en
utilizando la definición 29.
Definición 19. Definimos la distancia de
, como (
Ejemplo. Sea datos
(
)
(
)
‖
‖.
)
si
es el promedio o media, si tomamos (
)
(
)
(
es un vector de )
(
)
obtenemos la varianza dividiendo entre 3, así la varianza es y sacando raíz cuadrada obtenemos la desviación estándar √
(
,
Podemos generalizar el producto punto a
)
.
Definición 20. Definimos el producto punto para vectores , ( ) ∑ ( ) como . Ejemplo Sea ( ), ( ) hallar promedio, la varianza y la desviación estándar,
, la varianza es (
)
‖ ‖ , la desviación estándar es √ , ( ), si el vector es la duración de baterías de autos Honda observemos que la desviación estándar es muy grande. Por otro lado si ( es la duración de baterías de autos Mercedes, el promedio es
)
, la varianza
es ( ) y la desviación estándar es 0.09. El control de calidad es mejor en Mercedes que en Honda.
Actividad 3. Espacios y subespacios Esta actividad tiene como propósito que, a partir de conjuntos linealmente independientes, encuentres la base y la dimensión de espacios vectoriales dados (espacios de vectores y de funciones). Con base en ello, realiza lo que a continuación se te pide:
Evidencia de aprendizaje. Espacios vectoriales Esta actividad final de la unidad tiene como propósito que resuelvas problemas utilizando los conceptos de dependencia e independencia lineal, bases y dimensión en espacios vectoriales, así que realiza lo que se te pide:
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Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales
Cierre de la unidad A través de este curso has entrado en contacto con el maravilloso mundo de las Matemáticas, cada concepto, cada definición, cada ejercicio te ha dejado una semilla que madurará en otras áreas que estudiarás en el futuro: la Teoría de conjuntos considerada la base de las Matemáticas te permitirá acceder a cualquier área, pues es mediante el lenguaje proporcionado por esta que se pueden expresar conceptos desde los básicos hasta los de matemática avanzada; los Números naturales que, a partir de nuestra experiencia previa que inició en nuestros cursos de primaria, nos son presentados como un objeto matemático bien definido, serán tanto una herramienta para expresar conceptos que involucren orden tales como sucesiones, series o procesos recursivos tan útiles en computación; la Combinatoria con sus problemas de conteo tan útil en Probabilidad, será también un curso en el que profundizarás en el futuro, los polinomios como parte fundacional del álgebra serán objeto de estudio en cursos posteriores de álgebra avanzada; en la unidad que ahora terminas has encontrado una introducción a los conceptos básicos del Álgebra lineal, estos conceptos aparecerán en cursos posteriores y son la base para aplicaciones de optimización y programación, también el álgebra de vectores es básica en los cursos de cálculo vectorial y en modelos de la Física.
Para saber más Para profundizar en el estudio de los temas planteados durante la unidad, a continuación se enlistan algunos recursos:
Este sitio presenta la relación entre resolver ecuaciones lineales y problemas de Programación lineal. http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640s/spanlineraalg.htm
Este es un sitio que contiene juegos de coordenadas: http://contenidos.educarex.es/sama/2010/csociales_geografia_historia/terceroeso/ planeta_tierra/coordenadas.html
Esta obra es un buen complemento para conocer y estudiar aplicaciones del Algebra lineal, en particular, el capítulo 12 usa los espacios de los productos internos, proyecciones ortogonales y el espacio de las funciones continuas . Anton H. (1979). Aplicaciones del Álgebra Lineal. México: Editorial Limusa.
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Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales
Fuentes de consulta Básica:
Anton, H. (2011). Introducción al Álgebra Lineal. México: LIMUSA.
Bravo Mójica, A., Rincón Mejía, H., Rincón Orta, C. (2011). Algebra Superior. México: Las prensas de Ciencias
Cárdenas Trigos, H., Lluis, E., Raggi, F.(1973). Algebra Superior. México: Trillas.
Lipschutz, S. (2002). Linear Algebra. USA: Schaum´s, McGraw-Hill.
Villamayor, O. (1967). Algebra Lineal. USA: OEA.
Complementaria:
Fraleigh, J. (1989). Algebra Lineal. México: Addison-Wesley.
Lang, S. (2004). Linear Algebra. USA: Springer-Verlag.
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