Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue
Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en Matemáticas
8° cuatrimestre
Análisis Matemático II
Unidad 4. Integral de Lebesgue
Clave: 050930829
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue
Índice Unidad 4. Integral de Lebesgue ............................................................................................... 3 Presentación de la unidad ........................................................................................................ 3 Propósitos de la unidad ........................................................................................................... 3 Competencia especifica de la unidad...................................................................................... 3 4.1. Antecedentes ..................................................................................................................... 3 4.1.1. Definición de la integral de Lebesgue ........................................................................ 6 4.1.2. Propiedades ............................................................................................................... 10 4.1.3. Comparación contra la integral de Riemann ........................................................... 12 Actividad 1. Integral de Lebesgue. ........................................................................................ 15 4.2. Integral de Lebesgue de una función acotada sobre un conjunto de medida finita ... 16 4.2.1. Lema de Fatou ........................................................................................................... 16 Actividad 2. Cálculo de Integrales. ........................................................................................ 22 Autoevaluación ....................................................................................................................... 22 Evidencia de Aprendizaje. Aplicaciones de la integral de Lebesgue .................................. 22 Autorreflexiones ..................................................................................................................... 23 Cierre de la unidad.................................................................................................................. 23 Para saber más: ...................................................................................................................... 23 Referencias Bibliográficas ..................................................................................................... 23
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue Unidad 4. Integral de Lebesgue
Presentación de la unidad Para desarrollar la teoría de integrabilidad es indispensable definir la integral de Lebesgue para funciones medible no negativas, así como establecer unas de sus propiedades fundamentales. Además de hacer la comparación con la integral de Riemann. Observarás que la colección de funciones semicontinuas superiormente es un espacio de funciones y este conjunto son las funciones Lebesgue integrables.
Propósitos de la unidad
Definirás la integral de Lebesgue Compararás la integral de Lebesgue con los conceptos previos de medida y de integral de Riemann Establecerás propiedades básicas de la integral de Lebesgue
Competencia especifica
Aplicar el concepto de integral de Lebesgue para calcular integrales sobre dominios no tradicionales mediante la identificación de sus características
4.1. Antecedentes Para poder explicarte las ideas que motivaron la teoría de integración será necesario que conozcas algunos conceptos, los cuales serán tomados en gran parte del libro Lebesgue theory
of integration. Its origins and development. Se puede decir que Lebesgue creo la primera teoría de la integración. Hay varias definiciones, teoremas y ejemplos que existían antes de su trabajo, pero carecían de la estructura y sistematización de una verdadera teoría, por ejemplo, la noción de integración introducida por Bernhard Riemann en 1854 se deriva de las ideas presentadas por Cauchy (1760-1848); en ésta Riemann define la condición de integrabilidad para una función sobre un intervalo de la siguiente manera: La función
es integrable en
si y sólo si las sumas de Cauchy
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue ∑ donde y , se aproximan a un único valor límite cuando el tamaño de la partición del intervalo se aproxima a . Este único valor es por definición . ∫ Históricamente esto represento una gran innovación, ya que se involucraba el concepto de función como una asignación diferente a la idea que se tenía en esos días. A continuación se definen algunos conceptos que permiten dar un breve panorama histórico de la integral de Lebesgue Sea un conjunto acotado de números reales. Sean un conjunto finito de intervalos que cubren . El contenido externo de , , es el ínfimo de números reales de la forma ∑ , donde cubre a , y es la longitud del intervalo . Análogamente, el contenido interno de , , se define como el supremo de ∑ , donde y . Se dice que un conjunto es Jordan-medible si . ⋃ Estas nociones sugirieron dos nuevas caracterizaciones de la condición de integrabilidad de Riemann. La primera de ellas adopta una visión geométrica, considerando la integral de una función en términos del área delimitada por su gráfica. Dada una función definida y acotada en el intervalo , sea el conjunto de puntos del plano delimitado por la gráfica de , el eje de abcisas y las rectas y . Entonces es Riemann-integrable si y sólo si el conjunto es Jordan-medible, y ∫| |
∫
donde denotan el semiplano positivo y negativo, la segunda caracterización de la condición de integrabilidad de Riemann consiste en que las integrales superior e inferior de f sean iguales, esto es, ∫ siendo el supremo ∫
∫
el supremo y ínfimo, de ∑
donde el supremo de
∫
∑ denotan una partición de
en
,y
denotan, el infimo y
.
Las dos caracterizaciones expuestas anteriormente hacen ver que una generalización de los conceptos de medida y medible permitiría una extensión de los conceptos de integral e
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue integrabilidad. En otras palabras, supon que denota la clase de conjuntos medibles que contiene la clase de conjuntos Jordan-medibles, y que una medida, , ha sido definida para todos los elementos de de tal manera que coincide con cuando es Jordanmedible. Con estas dos caracterizaciones surgen conceptos más amplios sobre medida, que representan la generalización de la integral de Riemann; cuando denota la clase de conjuntos Lebesgue-medibles, las definiciones resultan ser la de la integral de Lebesgue para funciones acotadas. Fue a través de estas consideraciones que Lebesgue obtiene su generalización para la integral. Con el nacimiento de medida atribuido a Emile Borel, el cual seguiré las propiedades que una medida debía tener, con lo que Borel da la definición de premedida, nombre que más adelante asignaría Lebesgue. Borel no probó la existencia y unicidad de dicha definición, sin embargo, gracias a las aportaciones de Lebesgue al trabajo de Borel, es que queda incluido en la integral de Lebesgue. A los conjuntos que se refería Borel, Lebesgue los llamó borelianos. Dos de los problemas más importantes que motivaron una nueva definición de integral son las series trigonométricas y el teorema fundamental del cálculo. El primero de estos problemas lo presento Fourier en 1822: si una función se puede representar como una serie trigonométrica. Es decir cuando es cierto que: ∫ (∑
)
∑∫
Fourier asumió que la respuesta es „siempre‟. Hacia finales del siglo se demostró que no se ∑ podía integrar término a término ya que no tiene por qué ser Riemann integrable. Otro gran problema fue el teorema fundamental del cálculo: ∫ El trabajo de Ulisse Dini y Vito Volterra mostró que existen funciones con derivadas acotadas pero no integrables. Más adelante se encontraron nuevas funciones, como las monótonas integrables, tales funciones sirvieron como ejemplo para probar que el teorema a tales funciones no es aplicable. El trabajo de Lebesgue en el teorema fundamental del cálculo fue muy importante en el descubrimiento de que una función continua con variación acotada posee una derivada finita salvo quizás en un conjunto de medida cero. Hoy en día todavía se siguen generando consecuencias de la teoría de Lebesgue, y enumerar las consecuencias sería muy difícil, tan solo se puede decir que los dos campos donde ha tenido mayor repercusión, son el cálculo y la probabilidad.
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue 4.1.1. Definición de la integral de Lebesgue En el capítulo 3.2 se describen conceptos y algunas aplicaciones para las funciones medibles, sin embargo se retomaron los conceptos y teoremas más relevantes para este capítulo, ya que son fundamentales y además son de gran importancia para el desarrollo de esta unidad. Definición 1. [Espacio medible] Un espacio medible es una pareja conjunto no vacío y es una - álgebra de subconjuntos de .
en la que
es un
Definición 2. [Función medible] Sean y dos espacios medibles. Una función se llama función medible relativa a las -álgebras y si , esto quiere decir , para todo . Si y (donde es el álgebra de Borel en ), entonces diremos que es medible si . Proposición 1. Sean Supongamos que existe
y
dos espacios medibles y tal que
Demostración. Si
es una función y
una función.
una -álgebra, entonces:
es una -álgebra de subconjuntos de . Ahora sea que por hipótesis contiene a . Así , por lo tanto
es una -álgebra
∎ Notación. Si es un espacio de medida, entonces se dice que una relación se mantiene casi en donde quiera (abreviado c.d.q.), cuando la relación se mantiene en casi todas partes con respecto a la medida exterior generada por . Las relaciones que se van a utilizar en esta sección se resumen a continuación. Suponemos que es un espacio de medida dada y que y denotan funciones reales definida en . a) c.d.q. si b) c.d.q. si c) c.d.q. si d) c.d.q. si c.d.q. para toda y c.d.q. e) c.d.q. si c.d.q. para toda y c.d.q. Para el especial en el que
y
se obtiene:
Corolario 1. Sean un espacio medible y afirmaciones son equivalentes: a) b)
es -medible. ( )
pertenece a
una función. Entonces las siguientes
para todo
.
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue c)
(
)
d)
(
)
e)
(
d)
pertenece a
)
pertenece a
Demostración. a) b) c) ( c)
pertenece a
. )
(
d) e) ( e) a) Sea Entonces
)
.
para todo para todo
pertenece a ⋃
para todo . .
, para todo
.
pertenece a , para todo
)
pertenece a , para todo , entonces existe una -álgebra es una -álgebra, y además se cumple que
Teorema 1. Si es una función medible y función medible.
satisface
.
. tal que .∎ c.d.q., entonces
.
es una
Demostración. Si , entonces por hipótesis (recuerda que es la medida exterior), por lo que es medible. Ahora, sea un subconjunto abierto de . Como es una función medible, es medible, y por lo tanto, es un conjunto medible. Además, dado que tiene medida exterior cero, es medible. Por lo tanto,
es un conjunto medible, por lo tanto
es una función medible. ∎
Se continuará con más propiedades de las funciones medibles. Teorema 2. Si y son funciones medibles, entonces los tres conjuntos a) , b) y c) son todos medibles. Demostración. a) Si es una enumeración de los números racionales de
, entonces
⋃
que es medible, ya que es una unión numerable de conjuntos medibles. b) Se nota que el inciso anterior (a).
, el cual es un conjunto medible por
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue c) Se observa que
los cuales son medibles por el inciso anterior (b). ∎ Definición 3. [Parte positiva y parte negativa] Sea una función conjuntos | | La función es llamado la parte positiva, a absoluto de .
, se definen los
se le llama la parte negativa, y a | | el valor
El siguiente teorema recordara algunas propiedades de funciones medibles, estudiadas anteriormente, con el fin de observar que la combinación de funciones medibles produce funciones medibles. Teorema 3. Para dos funciones medibles y las siguientes afirmaciones son validas a) es una función medible. b) es una función medible. c) | |, y son funciones medibles.
Recordar que dada
y el límite inferior de
una sucesión acotada de
, el límite superior de [
]
[
]
se define como
por
Por lo tanto y , de la sucesión de funciones
ambos existen en . Por consiguiente, esta definido para cada como y
y
Teorema 4. Para una sucesión de funciones medibles, la siguiente afirmación es válida: Si , entonces es una función medible.
Demostración. Sea . Dado que c.d.q., se sigue que . Entonces es medible y por lo tanto, también lo es el conjunto . Ahora sea . Se observa la siguiente igualdad:
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue (
)
[⋃ ⋂
((
))]
y como cada es medible se tiene que es un conjunto medible. Además, ( ) es un conjunto medible ya que es un subconjunto de un conjunto de medida cero. Por lo tanto, ( ) [ ( )] es un conjunto medible. Esto se sigue directamente del teorema 1, por lo tanto medible.
es una función ∎
Definición 4. [Conjuntos de -medibles] Sea Denotamos por y
es un espacio de medida fijo.
al conjunto de funciones reales que son -medibles y al subconjunto de éste consiste de las funciones no-negativas, respectivamente. De manera análoga definimos ̅ y ̅ para funciones extendidas que son -medibles. Definición 5. [ -simple] Sea un espacio medible. Una función toma solamente un número finito de valores y es -medible. A continuación se describe a estas funciones. Sea todos los valores (diferentes) tomados por ; si
se llama -simple si
una función -simple y
entonces
∑
⋃
3.1
Inversamente, si es una combinación lineal de funciones características de conjuntos ajenos ∑ en , entonces es -medible. Concretamente si entonces para todo : { ⋃ por lo tanto es - medible. Así, es -simple si y sólo si es una combinación lineal de funciones características de conjuntos ajenos en . A la descripción de como en 3.1 con los diferentes y con los ajenos, la llamaremos canónica.
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue Definición 6. [Integral de funciones simples no negativas] Sea una función simple ∑ y no negativa. Sea su descripción canónica. Definimos la integral de con respecto a la medida , denotada por ∫
como el número real, dado por:
∫
∑
La definición anterior tiene la desventaja de requerir la descripción canónica de , sin embargo será posible eliminar esta restricción en cuanto se establezcan las siguientes propiedades. Definición 7.[Función escalonada] Una función es llamada función escalonada si tiene ∑ una representación de la forma , donde cada es un conjunto que tiene medida finita, esto quiere decir que ( )
.
Definición 8.[Función superior] Una función una sucesión de funciones escalonadas tal que: a) c.d.q. y, b) ∫
es llamada función superior si existe
La colección de todas las funciones superiores se denota por
.
Definición 9.[Integral de Lebesgue ] Sea una función función semicontinua superiormente tal que es convergente. Entonces la integral de Lebesgue (o simplemente integral) de se define por ∫
∫
Una vez más, se hace hincapié en el hecho de que el valor de la integral de Lebesgue de función superior es independiente de la sucesión de funciones escalonadas.
4.1.2. Propiedades Proposición 2. Sean a) ∫ b) ∫
y ∫ ∫
dodos, entonces:
∫
Demostración. 1) Si , entonces , así que ∫ Si y∑ es la descripción canónica de , entonces
∫
∑
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue es la descripción canónica de
, así que:
∫
2) Se escribe a
∑
( )
∑
y en su forma canónica: ∑
luego entonces
∫
( )
∑
admite la siguiente representación: ∑ ∑(
)
la cual podría ser no ser la canónica. Sean
los distintos números reales del conjunto
y ⋃ ∑ Se observa que , en donde la notación ∑ significa que la suma se extiende sobre las parejas tales que . En estos términos, la descripción canónica de esta dada por: ∑ por lo que ∫
∑
∑ ∑( ∑ ∑
) ( ∑ ( )
∑∑
)
∑ ∑( ∑
∑
∫
) (
)
∑ ∫
Por inducción, es posible generalizar a proposición 2 b) para cualquier numero finito. ∎
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue Teorema 5. Si y En particular si
Demostración. Sea y sucesiones para
y , respectivamente, entonces min
es una sucesión que genera a . Entonces se tiene ∫
min |
c.d.q., entonces ∫ .
son funciones superiores tales que y satisface c.d.q., entonces ∫
|
para cada ∫
∫
.
c.d.q., y así , ∫
Por lo tanto, ∫
|
∫
|
∫
con lo que se obtiene la desigualdad. ∎ Teorema 6. Sea que , . ∫
una función. Si existe una sucesión de funciones superiores tal c.d.q. y el ∫ , entonces es una función superior y ∫
Demostración. Para cada se elige una sucesión de funciones superiores, tal que c.d.q. Ahora para cada sea, , y hay que notar cada es una función escalonada tal que c.d.q. Además, observar que para cada , y en consecuencia, ∫ ∫ Ahora, dada cualquier se tiene para toda , se sigue que ∫ para todo . ∫ ∫ ∫
∫
∫
∎
4.1.3. Comparación contra la integral de Riemann Se revisa la relación que existe entre la integral de Lebesgue y la integral de Riemann, limitándonos al caso más sencillo de la medida lineal de Lebesgue en la recta. Teorema. Si existe la integral de Riemann ∫ entonces
es integrable según Lebesgue y ∫
Demostración. Para cada intervalos mediante los puntos
se considera
la partición del segmento
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en
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue Para el cálculo de la integral de Riemann se toman:
La sumas inferior y superior de respectivamente por:
para esta partición del intervalo
están dadas
∑ ∑ Como
es Riemann integrable, se cumple que:
Se eligen
En el punto
las funciones
y
pueden ser definidas arbitrariamente. Se deja como
practica el ejercicio de probar que las integrales de Riemann son: ∫ ∫ Como la sucesión { } es no creciente y la sucesión { } no decreciente, se tiene que en casi todos los puntos Esto ocurre por las propiedades de las sucesiones. Por las propiedades de la integral de Lebesgue tenemos que: ∫
∫
∫
∫
De manera que: ∫|
|
y por consiguiente en casi todos los puntos de
∫[
]
se cumple que:
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue es decir, y por lo tanto ∫ ∎ Las siguientes observaciones se darán para mostrar algunas diferencias respecto a estos dos tipos de integrales. Existen funciones acotas que son integrables según Lebesgue, pero no integrables según Riemann, como se verá en el siguiente ejemplo. Ejemplo. La función de Dirichlet dada por: { Es Lebesgue integrable, pero no integrable según Riemann; Las funciones no acotadas no son integrables según Riemann, pero muchas de ellas son integrables según Lebesgue. En particular cualquier función para la cual la integral de Riemann ∫
existe para cada Lebesgue y
y tiene un límite finito cuando ∫
, es integrable en
según
∫
Se puede ver las integrales impropias ∫
∫
en el caso en que ∫
|
|
no existen en el sentido de Lebesgue, ya que la integrabilidad de |. Por ejemplo, la integral de |
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implica la integrabilidad
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue ∫
existe como integral impropia de Riemann (convencionalmente convergente), pero no existe como integral de Lebesgue. Si una función se considera en toda la recta (o en una semirrecta), su integral de Riemann puede existir solamente en el sentido impropio. Si esta integral converge absolutamente, también existirá en este caso la correspondiente integral de Lebesgue teniendo el mismo valor. En cambio, si esta integral converge convencionalmente, la función no será integrable en el sentido de Lebesgue. Por ejemplo, la función
no es integrable según Lebesgue en toda la recta ya que ∫ |
|
Sin embargo, como se sabe, la integral impropia ∫ |
|
existe y es igual a .
Actividad 1. Integral de Lebesgue. La finalidad de esta actividad es comparar la integral de Riemann, con la integral de Lebesgue, e Identificar las diferencias y similitudes entre las dos definiciones. Para ello. 1.
Revisa la definición de las Integrales de Riemann y de Lebesgue , a partir de ello, primeramente contesta la siguiente pregunta: ¿Qué relación se puede establecer entre las funciones Riemann integrables y las funciones Lebesgue integrables? 2. A partir de las definiciones y tu respuesta, realiza un análisis sobre el impacto que tienen los refinamientos sobre las particiones en el dominio en cada Integral la de Riemann y la de Lebesgue. El análisis debe incluir la condición de medibilidad en el caso de la Integral de Lebesgue. 3. Establece y analiza las condiciones de integrabilidad en cada caso para funciones acotadas e integrabilidad de sucesiones de funciones monótonamente crecientes
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue 4. Ingresa al foro y tomando en cuenta las definiciones, condiciones de integrabilidad, anota tus conclusiones. 5. Revisa aportaciones de tres de tus compañeros, aceptando o rechazando sus respuestas. Nota: Antes de participar en el foro, recuerda consultar la Rúbrica general de participación en foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.
4.2. Integral de Lebesgue de una función acotada sobre un conjunto de medida finita El teorema de convergencia monótona tiene la desventaja de ser aplicable sólo bajo condiciones muy restrictivas, sin embargo un color ario de éste, conocido como el Lema de P. Fatou (1878-1929), puede ser usado con sucesiones de funciones no necesariamente convergentes. Es interesante hacer notar que este resultado fue probado por Fatou en el contexto de series trigonométricas.
4.2.1. Lema de Fatou Definición 1. [Lebesgue integrable] Una función es llamada Lebesgue integrable (o simplemente integrable) si existen dos funciones superiores y tales que . La integral de Lebesgue se define por ∫
∫
∫
Cabe señalar que el valor de la integral es independiente de la representación como una diferencia de dos funciones superiores. De hecho, si c.d.q. tal que las funciones y son funciones superiores, entonces c.d.q. y por las propiedades de la integral se tiene ∫ ∫ ∫ ∫ Teorema 1. La colección de todas las funciones Lebesgue integrable es un espacio de funciones. Demostración. Sea y dos funciones integrables con representación Entonces se cumplen las siguientes igualdades
c.d.q. y
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c.d.q.
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue
expresar las funciones anteriores como las diferencias de dos funciones superiores. Esto demuestra que la colección de todas las funciones integrables es un espacio de funciones. ∎ Teorema 2. Si
y
son dos funciones integrables, entonces ∫
∫
∫
para toda Teorema 3. Sea una función de medida que satisface Entonces existe una sucesión de funciones simples tal que toda . Demostración. Para cada sea obsérvese que medibles. Ahora, para cada
para cada si
defínase
. Dado que
es medible, todas las
∑
, y nota que
funciones simples. Además, se verifica que toda . Más aún, si es fijo, entonces sufientemente grandes. Por lo tanto, ésta terminado. ∎ da finalizado el teorema. Teorema 4. Si una función integrable superior.
satisface
c.d.q. para toda . y para
,y son conjuntos
es una sucesión de
se cumple para todo y la igualdad vale para aquellas se cumple para todo , y prueba del teorema
c.d.q., entonces
es una función
Demostración. Sean y funciones superiores tales que c.d.q. Así como y son límites de una sucesión de funciones escalonadas c.d.q., existe una sucesión de funciones escalonadas tal que c.d.q. Dado que c.d.q., se sigue que c.d.q. Por el teorema 3, existe una sucesión de funciones simples que satisfacen que c.d.q. Ahora, para cada sea , entonces es una sucesión de funciones escalonadas tales que c.d.q. Basta mostrar que ∫ es acotado. En efecto, de c.d.q. y de la monotonía y la linealidad de la integral se sigue que ∫ ∫ ∫ , y además ∫ ∫ ∫ para toda . La prueba del teorema está completa. ∎
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue Si es una función integrable, entonces por el teorema pasado y son ambas funciones superiores, y también es una descomposición de como una diferencia de dos funciones superiores positivas. En particular, ∫
∫
∫
Usualmente esta fórmula es usada por algunos autores para definir la integral de Lebesgue. Teorema 5. Sea una función medible. Si existen dos funciones integrables c.d.q., entonces es también una función integrable. Demostración. Se escribe la desigualdad en la forma de generalidad que casi donde quiera.
y
tal que
c.d.q., se puede suponer sin pérdida
Por el teorema 4, es una función superior. Entonces existe una sucesión de funciones escalonadas tal que c.d.q. Por el teorema 3 existe una sucesión de funciones simples tales que c.d.q. Pero entonces es una sucesión de funciones escalonadas tal que c.d.q. y ∫ ∫ ∫ para toda . Así , por lo tanto es una función integrable. ∎ Teorema 6. [Levi] Supón que una sucesión de funciones integrables satisface c.d.q. para cada y . Entonces existe una función tal que c.d.q. (i por lo tanto ∫ ∫ ∫ es válido). Demostración. Sustituyendo por si es necesario. Se asume sin pérdida de generalidad que c.d.q para cada Además, se asume que para toda . Sea ∫ . Para cada sea , se considera el conjunto
Entonces, observa que existe una sucesión
, y entonces es un conjunto medible. Así, se . Nota que cada función es una función superior. Así, para cada de funciones escalonadas tal que c.d.q.
Para cada sea tal que c.d.q. y el funciones escalonadas y ∫
∫
, y nótese que ∫ satisface para cada
es una sucesión de funciones escalonadas . En particular, para cada la sucesión de c.d.q esto se sigue que Entonces .
Partiendo de la definición por si y si . Entonces c.d.q. y el resultado se sigue de teorema 6 de la sección de propiedades. ∎
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue Teorema 7. Sea una secuencia de funciones integrables no negativas tal que ∑ ∫ . Entonces ∑ define una función integrable y ∫ (∑
)
∑∫
Demostración. ∑ Para cada sea , y nótese que es una función tal que por el Teorema de Levi, ∑ define una función integrable, y ∑∫
∫
∫ (∑
∑
c.d.q. Ahora,
)
con lo que termina la prueba. ∎ Teorema 8. [Lema de Fatou] Sea c.d.q. para cada y ∫
una sucesión de funciones integrables tal que . Entonces define una función integrable, y
∫
∫
Demostración. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que para toda y y toda . Dada una , defínase para cada . Entonces cada es una función medible, y para toda . Entonces por el teorema 5 existe una función integrable tal que c.d.q. Se deduce que c.d.q., entonces el limite define una función integrable. Más aún ∫
∫
∫
∫
y la prueba termina. ∎ Ahora estás en condiciones de afirmar y probar la convergencia dominada de Lebesgue uno de los teoremas más importantes de la teoría de la integración. Teorema 9. [Convergencia dominada de Lebesgue] Sea sea una sucesión de funciones integrables que satisfacen | | c.d.q. para toda y alguna función fija e integrable . Si c.d.q. entonces define una función integrable y ∫
∫
∫
Demostración. Nota que | | c.d.q. y la integrabilidad de se sigue del teorema 5. Observa que la sucesión satisface las hipótesis del Lema de Fatou y por otra parte, c.d.q. Así, ∫
∫
∫
∫
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue ∫
∫
∫
y por lo tanto, ∫
∫
Del mismo modo, el Lema de Fatou aplica a la sucesión ∫
∫
∫
∫
produce
∫ ∫
∫
y así ∫ Entonces el límite existe en
, y el
∫ ∫
∫
es válido. ∎
El siguiente teorema caracteriza las funciones Lebesgue integrables en términos de alguna propiedad dada. Se emplea generalmente para demostrar que todas las funciones Lebesgue integrables poseen una propiedad determinada. Teorema 10. Sea un espacio de medida y sea una propiedad que puede o no tener una función integrable. Asúmase que: a) Si y son funciones integrables con la propiedad , entonces y para toda tienen la propiedad . b) Si es una función integrable de manera que para cada existe una función integrable con la propiedad satisface ∫ | | , entonces tiene la propiedad . c) Para cada tal que , la función característica tiene la propiedad . Entonces, cada función integrable tiene la propiedad
.
Demostración. Supón primero que es una -álgebra tal que . Así, existe una sucesión de conjuntos disjuntos de tal que . Hacer para cada y nótese que . ⋃ ⋃ ∑ De y de los incisos (c) y (a), puedes ver que tiene la propiedad para cada . Dada ∫ | | , se deduce a partir de (b) que tiene a la propiedad . Después, supón que es un conjunto medible de medida finita y sea . Entonces Existe una -álgebra de medida finita tal que y . Esto implica ∫ | | . De lo anterior y de , se infiere que satisface la propiedad . Ahora, de se sigue de
observa que cada función escalonada satisface la propiedad . Pero entonces, que toda función superior satisface la propiedad . Dado que cada función
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue integrable es la diferencia de dos funciones superiores, usando cada función integrable satisface la propiedad .
, se infiere que en efecto ∎
Teorema 11. Cada función integrable Además, ∫ para cada subconjunto medible
es integrable sobre cada subconjunto medible de . ∫
∫
de .
El resto de esta sección trata de una observación relativa a las integrales de Lebesgue infinitas. ∑ Si es la representación estándar de una función positiva simple, entonces la suma ∑ tiene sentido como un número real extendido no-negativo. Si ∑ , entonces se acostumbra escribir ∫ y se dice que la integral de Lebesgue de es infinita. Supón ahora que es una función donde existe una sucesión de funciones positivas simples tal que c.d.q. Entonces existe como un número real ∫ extendido, y puedes ver que es independiente de la sucesión elegida. En caso ∫ de que , escribimos ∫ y se dice que la integral de Lebesgue de es ∫ infinita, pero no puede decirse que es una función integrable. En este sentido cada función positiva medible tiene una integral de Lebesgue (finita o infinita) simplemente porque, por el teorema 3, existe una sucesión de funciones positivas simples tal que c.d.q. Además, si define una función medible, entonces se puede escribir y por lo anterior, ambas integrales ∫ y∫ existe como números reales extendidos (nonegativos). Si una de estas integrales es un número real, entonces la integral de se define como el número real extendido ∫
∫
∫
De esta manera, es posible asignar una “integral” a una clase mucho más grande de funciones medibles de valores reales extendidos. Una ventaja de la extensión por arriba de la integral es que una serie de teoremas puedes expresarla sin asumir la integrabilidad de Lebesgue en las funciones. Por ejemplo, el lema de Fatou puede ser escrito como sigue:
Si
es una sucesión de funciones medibles tales que ∫
c.d.q. para cada n, entonces:
∫
donde, por lo anterior, uno o ambos lados de la desigualdad puede ser infinito.
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue Actividad 2. Cálculo de Integrales. A través de esta actividad, podrás resolver ejercicios de integrales de Lebesgue y la aplicación del Lema de Fatou. Para ello: 1.
Descarga el documento “Act. 2. Cálculo de integrales”
2.
De acuerdo al planteamiento, resuelve las integrales de Lebesgue y los ejercicios relacionados con la aplicación de Fatou.
3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MAMT2_U4_A2_XXYZ. 4. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación. *Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión.
Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación. Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.
Evidencia de Aprendizaje. Aplicaciones de la integral de Lebesgue Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrás que aplicar tus conocimientos sobre aproximación de funciones continuas. Instrucciones: 1.
Descarga el documento “ EA. Aplicaciones de la integral de Lebesgue”
2. Lee las instrucciones y resuelve los problemas que se plantean, tomando en cuenta se debes presentar su demostración o resultado. 3. .Guarda y envía tu reporte al portafolio de evidencias con la nomenclatura MAMT2_U4_EA_XXYZ. 4. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue de tu evidencia. Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.
Autorreflexiones Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar tu Autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que también se toman en cuenta para la calificación final.
Cierre de la unidad La integral de Lebesgue es de alguna forma la generalización natural del concepto de integral de funciones medibles en los conjuntos medibles. Una importancia fundamental es la que se manifiesta en Lema de Fatou: que argumenta la monotonía de la integral bajo sucesiones de funciones medibles. El contenido de esta unidad es fundamental para el desarrollo de la Teoría de Integración que es una de las ramas más importantes de la matemática con una aplicación directa en la estadística y probabilidad. El dominio esta materia permitirá al alumno la resolución de problemas planteados en ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales con un entendimiento profundo de las propiedades y teoremas involucrados en la obtención de tales resultados.
Para saber más: Un resumen histórico de la Teoría de la medida de 1887 a 1990: http://www.lps.uci.edu/~johnsonk/CLASSES/FoundationsOfMeasurement/Diez.AnHistoricalIntro ductionToMeasurementTheoryPartOne.pdf El blog de Terence Tao, uno de los matemáticos más notables de nuestra época, entre otras secciones presenta: libros, resúmenes de artículos, apps, etc. sobre Matemáticas en general en particular en Teoría de la Medida http://terrytao.wordpress.com/
Referencias Bibliográficas Charalambos A.D. (1998). Principles of Real Analysis. USA. Academic Press. De Barra, G. (2000). Measure Theory and Integration. India. New Age International.
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Análisis matemático II Unidad 4. Integral de Lebesgue Folland, G. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. USA. Wiley. Galaz, F. (2002). Medida e Integral de Lebesgue en .México. University Press. Grabisnky, G. (2011). Teoría de la Medida. México. Facultad de Ciencias UNAM. Halmos, P. (1991). Measure Theory. USA. Springer Verlag. Hawkins T. Lebesgue theory of integration. Its origins and development, 1970, Chelsea Publishing Company. Royden, H; Fitzpatrick, P. (2010). Real Analysis. USA. Pearson. Sánchez, C. C. (2004). De los Bernoulli a los Bourbaki. España. Nivola. Schram, M. (1996). Introduction to Real Analysis. USA. Prentice Hall.
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