http://www.algebra.com/algebra/homework/word/mixtures/Mixture_Word_Problems.faq.questi on.143643.html http://es.calameo.com/read/00451042532c5bfe4d690 http://www.biblioises.com.ar/Contenido/500/510/algebra-y-trigonometria-.pdf 2.2 Ej. 4 y 11
9.2 EJ. 30. http://www.biblioises.com.ar/Contenido/500/510/algebra-y-trigonometria-.pdf http://www.mhhe.com/math/devmath/streeter/ia/graphics/streeter5ia/ch05/oth ers/strI_5.2.pdf http://www.matematicaeducativa.com/libros/Swokowski12ed.pdf http://www.shmoop.com/linear-equation-systems/solving-mathproblems.html http://www.biblioises.com.ar/Contenido/500/510/algebra-y-trigonometria-.pdf http://www.biblioises.com.ar/Contenido/500/510/algebra-y-trigonometria-.pdf https://www.ithaca.edu/hs/depts/math/docs/placement/studyGuide.pdf http://biblioteca.udgvirtual.udg.mx/eureka/pudgvirtual/Baldor.pdf https://drive.google.com/file/d/0B63mQbEg2gSAYjM0MjA2NjEtN2YxMi00NTljL ThjODUtODg0ZDJiMDI2OTg3/view?ddrp=1&hl=es#
Definamos en este caso el promedio final previo como siguiente f贸rmula: p=
72+83+65+73+62 355 = =71 5 5
p
a trav茅s de la
Por lo que entonces denotemos a la incógnita
x
como la puntuación
obtenida en el examen final, esto nos conlleva a plantear la siguiente ecuación lineal: 2 1 p+ x=76 3 3 Por lo que esto implica entonces que: 1 86 2 1 142 1 1 142 1 86 3 3 258 ( 71 ) + x =76 → + x=76 → x=76− → x= → x= → x= → ∴ x=86 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 3 3 3 Con esto finalmente decimos que la calificación de
x=86
es la que debe
recibir el estudiante para tener un promedio final de 76
Denotemos a la incógnita
x
que entonces decimos que el
como la superficie total de la Tierra, por lo 70.8
es equivalente decir que es el
0.708
en relación a la área superficial de la Tierra. Con esto se plantea la ecuación lineal de la siguiente manera: 0.708 x=361 ×10
6
Por lo que se procede a resolver esta ecuación de la siguiente manera:
0.708 x=361 ×106 →
6
0.708 361× 10 x= → ∴ x=510 ×106 0.708 0.708
Decimos finalmente que aproximadamente el área superficial total de la Tierra es
6
x=510 × 10 km
2
Cantidades: Consideremos que: Salario básico por hora:
($ 12)
Salario por hora de horas extras Cheque de pago para la semana: Horas trabajadas básicas: Horas extras trabajadas: Salario básico Pagos por tiempo extra
(40) (?)
($ 714)
Análisis preliminar: Consideremos en definir las siguientes formulas: Cheque de pago para la semana=salario base+ salario de horas extras
Salario básico =( horas básicos ) ( salario básicoextra )=( 40 ) ( 12 )=480 tasa de salario de las horas extras Horas extras de salario=(horas extras)¿ ) 1 3 Salario de horas extras=(1 )(tasa básica de salario)=( )(12) 2 2 Sea
x=¿
número de horas extras trabajadas
Con esto entonces decimos que: x
( 32 )( 12) =18 x
Que esto es considerado como los pagos por tiempo extra.
Entonces de manera equivalente decimos que
x
se denota como la
incógnita que se considera como el número de horas que el trabajador lo hizo a $ 18 por hora. Con esto se plantea la siguiente ecuación lineal que define este problema como: 40 ( $ 12 )+ x ( $ 18 )=$ 714 Por lo que esto implica en resolver de la siguiente manera y queda por lo tanto como: 40 ( $ 12 )+ x ( $ 18 )=$ 714 → $ 480+$ 18 x =$ 714 → $ 18 x=$ 714−$ 480 → $ 18 x=$ 234 →
Finalmente decimos que el trabajador trabajó
x=13 hrs.
extras.
$ 18 $ 234 x= → $ 18 $ 18
Sea denotada la inc贸gnita
t
como el n煤mero de segundos que el segundo
corredor ha estado corriendo. Entonces para este caso definido la distancia del primer corredor en el tiempo
t
es:
6 t+ 6
( 605 )=6t + 3060 =6 t+ 12
Luego mencionamos que la distancia del segundo corredor para este caso definido es: 8t Con esto definimos la ecuaci贸n lineal respecto al rendimiento de las distancias de los dos corredores que equivale a: 1 6 t+ =8t 2 Por lo que esta ecuaci贸n se resuelve de la siguiente manera:
−1 1 −1 −1 −2 2 −1 1 6 t+ =8t →6 t−8 t= →−2t = → t= → t= → ∴ t= 2 2 2 −2 −2 −4 4 ↔ t=0.25
Por lo que finalmente decimos que el segundo corredor tardará
1 t= hr. en 4
alcanzar al primer corredor. Pero este resultado se puede expresar en minutos por lo que se aplica la siguiente conversión: ¿ ¿ ¿ ¿ 1 min. ¿ 0.0166667 hr.. x min. ¿ 0.25 hr. Por lo que se procede a realizar operaciones de la siguiente manera: x=
0.25 hr. ( 1 min. ) 0.25 = min.=15 min. 0.0166667 hr. 0.0166667
Ahora decimos que el segundo corredor tardará
t=15 min. en alcanzar al
primer corredor.
Bibliografías de consulta. Swokowski, Earl W.; Cole Jeffery A. (1997) Fundamentals of college algebra Ninth Edition Ed. Brooks/Cole Publishing.
Sea x denotado como el número de libras de maníes usados y sea
y
denotado como el número de libras de nueces de la india
usados. Decimos con esto entonces que se define el sistema de ecuaciones de la siguiente manera: =60… E 1 {3 x x+8+ yy=5 ( 60 ) … E 2
Donde la ecuación E 1 es definida como la cantidad y la ecuación E 2 como la calidad.
Por lo tanto realizando operaciones en la ecuación E 2 queda el sistema de ecuaciones como: …E1 {3 xx++8y=60 y=300 … E 2
Para resolver este sistema de ecuaciones se procederá por el método de suma y resta de la siguiente manera: 1. Multiplicamos a la ecuación
E1
por −3 y queda ahora el
sistema como: x+ y=60)… E 1 → −3 x−3 y=−180 … E 1 {−3( 3 x+ 8 y=300… E 2 { 3 x +8 y=300 … E 2
2. Realizamos la suma o resta en las dos ecuaciones definidas como E 1 y E 2 y esto queda como:
{
−3 x−3 y=−180 5 y 120 → 5 y =120 → = → ∴ y=24 3 x+8 y=300 5 5 −−−−−−−−−¿5 y=120
3. Ahora para encontrar el valor de x se sustituye el valor de y
en E 1 y esto queda como:
−3 x −3 y =−180 →−3 x−3 ( 24 )=−180 →−3 x−72=−180 →−3 x=−180+72 →−3 x=−108→
x=36
Finalmente, por lo tanto estos valores de x , y como los resultados que se definen para x=36
libras de maníes usados.
y=24
libras de nueces de la india usados.
se interpretan
−3 x − = −3
Sea x denotado como el número de sofás producidos y sea
y
denotado como el número de divanes producidos. Decimos con esto entonces que se define el sistema de ecuaciones de la siguiente manera: x+6 y=340… E 1 {1808x+105 y=6750 … E 2
Donde la ecuación E 1 es definida como las horas de trabajo y la ecuación E 2 como el costo de los materiales
Para resolver este sistema de ecuaciones se procederá por el método de sustitución de la siguiente manera: 1. Despeje x en la ecuación
E1
y ahora queda el sistema
como: 8 x+ 6 y =340 → 8 x =340−6 y →
8 x 340−6 y 340−6 y = → ∴ x= 8 8 8
2. Sustituimos en la ecuación E 2 el valor obtenido de x y con esto queda en encontrar lo siguiente: 180 x +105 y=6750 →180
y ( 340−6 )+105 y=6750 → 7650−135 y+ 105 y=6750→ 7650−30 y=6750 →− 8
−30 y −900 = → y=30 −30 −30
3. Ahora para encontrar el valor de x se sustituye el valor de y
en E 1 y esto queda como:
8 x+ 6 y =340 → 8 x +6 ( 30 )=340 → 8 x+180=340 → 8 x=340−180 →8 x=160 →
8 x 160 = →∴ 8 8
x=20
Finalmente, por lo tanto estos valores de x , y como los resultados que se definen para x=20
sofás producidos
y=30
divanes producidos
se interpretan
$ 0.50
Consideremos en definir que es equivalente a
$ 0.70
es equivalente a .
Sea x denotado como el número de $ 0.50 sea
y
y que
de bloc de notas y
denotado como el número de $ 0.70 de bloc de notas.
Decimos con esto entonces que se define el sistema de ecuaciones de la siguiente manera: y=500 … E 1 {0.50 xx++0.70 y=286 … E 2
Donde la ecuación E 1 es definida como la cantidad y la ecuación E 2 como los valores de los precios. Para resolver este sistema de ecuaciones se procederá por el método de sustitución de la siguiente manera:
1. Despeje x en la ecuación
E1
y ahora queda el sistema
como: x + y=500 → ∴ x =500− y
2. Sustituimos en la ecuación E 2 el valor obtenido de x y con esto queda en encontrar lo siguiente:
0.50 x +0.70 y=286 → 0.50 ( 500− y ) +0.70 y=286 → 250−0.50 y +0.70 y=286 → 250+0.2 y=286 → 0.2 y =
y=180
3. Ahora para encontrar el valor de x se sustituye el valor de y
en E 1 y esto queda como:
x + y=500 → x +180=500 → x=500−180 → ∴ x=320
Finalmente, por lo tanto estos valores de x , y como los resultados que se definen para x=320
y=180
de
de bloc de notas
de
de bloc de notas
se interpretan
Sea definido x→
Un número
3 x→
El otro número
Con esto decimos entonces en proponer el siguiente modelo que se define mediante la ecuación siguiente: (3 x 2 )2−x 2 =1800 2
2
9 x − x =1800 2
8 x =1800
x 2=225 → x=± √ 225 x 1=15 x 2=−15
Finalmente se halla los dos números que se definen como: x→
Un número
15 →
Un número
3 x→
El otro número
3 (15 )=45 →
El otro número
Bibliografías de consulta. Swokowski, Earl W.; Cole Jeffery A.(1997) Fundamentals of college algebra Ninth Edition Ed. Brooks/Cole Publishing. Baldor Aurelio (2009) Álgebra Segunda Reimpresión Editorial Grupo Patria.
EQUIPO LRR PEDRO DANIEL LARA MALDONADO……………AL12509381 (Ejercicio: 1, 3,7) URSULA KAREN RIVERA CORDOBA…………ES1611308553 (Ejercicio: 2, 4,5) CYNTHIA PATRICIA RODRIGUEZ LINARES…..ES1611307783 (Ejercicio: 6,8)
Identificando y utilizando la ecuación siguiente: V =π r 2 h Considerando los valores dados en el problema que es el
V =3000
y
h=20
Luego, sustituyendo los valores dados en el problema en la ecuación y esto nos conduce a encontrar el radio interior de la lata por lo que entonces queda como: V =π r 2 h → 3000=π r 2 ( 20 ) →
2
↔r =
√
3000 150 2 =π r 2 → 150=π r 2 → ∴ =r 20 π
√
150 150 150 → r= →r= → ∴ r =6.9 cm. π π 3.1416
Entonces el radio interior de la lata es
r =6.9 cm.
Sea
x
denotado como el tiempo deseado.
Entonces usando la relación de las tarifas del tiempo (en minutos) queda en este caso como: 1 1 1 60+90 1 150 1 + = → = → = → 90 60 x 5400 x 5400 x Simplificando la fracción del lado izquierdo entre 150 y esto queda como: 1 1 = 36 x Realizando productos cruzados en la ecuación queda: ∴ x=36 Entonces los hermanos tardarían podadoras.
36 min.
en podar el pasto, usando dos
Sea
x
el número de gramos de la aleación de 35% es equivalente a
mencionar que sea y
x
el número de gramos de la aleación de
0.35
y sea
el número de gramos de la aleación de 60% es equivalente a mencionar
que sea
y
el número de gramos de la aleación de
0.60 .
Por lo que entonces se representa un sistema de ecuaciones definido de la siguiente manera: x+ y=100 … E 1 x+ y=100 … E 1 →{ {0.35 x+ 0.60 0.35 x +0.60 y=50 … E 2 y =( 0.50 ) ( 100 ) … E 2 Donde la ecuación
E1
es definida como la cantidad y la ecuación
E2
es definida como la calidad porcentual. Para resolver este sistema de ecuaciones se procederá por el método de sustitución de la siguiente manera: 1. Despejemos a la
x
como: x + y=100 → ∴ x =100− y
en la ecuación
E1
y ahora queda el sistema
2. Sustituimos en la ecuación
E2
el valor obtenido de
x
y con esto
queda en encontrar lo siguiente: 0.35 x +0.60 y=50 → 0.35 (100− y ) +0.60 y=50 → 35−0.35 y +0.60 y=50 → 35+0.25 y=50 → 0.25 y=50−35→ 0.25 y=15 →
3. Ahora para encontrar el valor de E1
x
se sustituye el valor de
0.25 y 15 = → ∴ y=60 0.25 0.25
y
en
y esto queda como:
x + y=100 → x +60=100 → x=100−60 → ∴ x=40
Finalmente, por lo tanto estos valores de
x,y
se interpretan como los
resultados que se definen para: x=40 gr.
de la aleación de 35%
y=60 gr.
de la aleación de 60%
Consideremos en definir para este caso la fórmula de promedio como:
Promedio=
Total de puntos de honor ponderados Total de las horas de los créditos
Tomemos en cuenta que
x
sea el número de horas de los créditos
necesarios para el promedio estipulado y después sustituyendo los valores respectivos para este caso queda definido como: 3.2=
48 ( 2.75 )+ x (4.0) 48 ( 2.75 ) + x ( 4) 48 ( 2.75 ) + 4 x → 3.2= → 3.2= 48+ x 48+ x 48+ x
Realizando operaciones en esta ecuación queda como: 3.2=
132+ 4 x 132+ 4 x 132+ 4 x 3.2 ↔ =3.2 → = 48+ x 48+ x 48+ x 1
Luego efectuando producto cruzado, después realizando operaciones correspondientes y finalmente despejando a x en esta ecuación queda entonces como: 132+4 x=( 48+ x ) 3.2 → 132+4 x=153.6+3.2 x → 4 x−3.2 x=153.6−132 → 0.8 x=21.6 →
Por lo tanto decimos que: x=27 hrs. crédito adicionales de trabajo.
0.8 x 21.6 = →∴ 0.8 0.8
Sea
x
denotado como la longitud de un lado, por lo que entonces para
este caso nos conduce en definir la fórmula siguiente: Cost o preparación +Cost ocercano=Cost ototal
Esto implica en definir los valores de este problema para sustituirlos respectivamente en la fórmula ya definida y queda esto como: x 2 ( $ 0.50 ) + 4 x ( $ 1 )=$ 120 → 0.50 x 2 + 4 x=120 → 0.5 x 2 + 4 x−120=0 Se simplifica esta ecuación dividida por el primer término numérico definido en este caso como 0.5 y esto queda como: 2
0.5 4 120 x + x− =0 → x 2+8 x −240=0 0.5 0.5 0.5 Esta ecuación cuadrática se puede resolver mediante el método de la fórmula general de la siguiente manera: Para encontrar las soluciones mediante el método de la fórmula general se define como:
x=
−b ± √b 2−4 ac 2a
Donde en este caso se identifica en
a=1, b=8, c=−240 y con esto decimos
que: −8 ± √ 82−4 (−240 ) −8± √ 64+960 −8 ± √ 1024 x= → x= → x= → 2 2 2 ∴ x=
−8 ± 32 2
Desglosando la bivalente se encuentra dos soluciones que son: x 1=
−8+32 24 = =12 → ∴ x 1=12 2 2
x 2=
−8−32 −40 = =−20 → ∴ x 2=−20 2 2
En este problema se toma en cuenta la solución que es positiva a razón de que se tratando con datos numéricos positivos por lo que entonces decimos que x=12 ft. Finalmente decimos que el tamaño del jardín debe ser de
12 ft.
por
12 ft.
Sea
x
denotado como las horas de la ingeniera.
Por lo que entonces decimos en definir la siguiente ecuación para este caso que queda como: Cuent a ingeniera +Cuent a asistente =Cuent atotal
Por lo que esto implica en sustituir los datos en la ecuación donde se definen en este caso como: 60 ( x ) +20 ( x −5 )=580 Realizando operaciones correspondientes queda como: 60 ( x ) +20 ( x −5 )=580 → 60 x +20 x−100=580 → 60 x +20 x=580+100 → 80 x=680 →
Finalmente simplificando esta fracción entre 40 y dividiendo queda como: x=
17 → ∴ x=8.5 2
80 680 6 x= → ∴ x= 80 80
Con esto decimos que la ingeniera pasó
8.5 hrs. en el trabajo y su asistente
pasó 8.5−5=3.5 hrs. en el trabajo.
Consideremos que la superficie del área total es la suma de la superficie del área cilindro y la de la parte superior e inferior, por lo que entonces se define la siguiente ecuación: S =2 πrh+ 2 π r 2 Esto implicar sustituir en la ecuación los valores que se dan en este caso por lo que entonces decimos que: 2
2
2
S =2 πrh+ 2 π r → S =2 hπr + 2 π r →10 π=2 ( 4 ) πr + 2 π r → 2
2
2
10 π =8 πr +2 π r → 0=2π r +8 πr −10 π ↔ 2 π r +8 πr −10 π =0
Por lo que aquí procedemos en simplificar esta ecuación entre 2 π r 2 +8 πr −10 π =0 →
2π
2π 2 8π 10 π r + r− =0 → r 2 +4 r−5=0 2π 2π 2π
Esta ecuación cuadrática se puede resolver mediante el método de la fórmula general de la siguiente manera:
:
Para encontrar las soluciones mediante el método de la fórmula general se define como: r=
−b ± √ b2 −4 ac 2a
Donde en esta caso se identifica en
a=1, b=4, c=−5 y con esto decimos
que: r=
−4 ± √ 4 −4 (−5 ) −b ± √ b2 −4 ac −4 ± √ 16+20 → r= →r= → 2a 2 2
r=
−4 ± √ 36 −4 ± 6 → r= 2 2
2
Desglosando la bivalente se encuentra dos soluciones que son: r 1=
−4+6 2 = =1 → r 1 =1 2 2
r 2=
−4−6 −10 = =−5 → r 2 =−5 2 2
En este problema se toma en cuenta la solución que es positiva a razón de que se tratando con datos numéricos positivos por lo que entonces decimos que el radio es r =1 ft. Finalmente para encontrar el diámetro siguiente ecuación que la define como: d =2 r → d =2 ( 1 ft. ) → ∴ d =2ft.
d
del barril se considera la
Sea
x
el número de onzas de avena utilizada y sea
y
el número de
onzas de harina de maíz utilizado. Por lo que entonces se representa un sistema de ecuaciones definido de la siguiente manera: …E1 {184xx++324y=200 y =1320… E 2 Donde la ecuación
E1
es definida como la proteína y la ecuación
definida como los carbohidratos.
E2
es
Para resolver este sistema de ecuaciones se procederá por el método de suma y resta de la siguiente manera: 1. Multiplicamos a la ecuación
E1
por −8
y queda ahora el sistema
como: x +3 y=200)… E 1 → −32 x−24 y=−1600 … E 1 {−8(4 { 18 x + 24 y=1320 … E 2 18 x+ 24 y=1320 … E 2 2. Realizamos la suma o resta en las dos ecuaciones definidas como E2
E1
y esto queda como:
{
−32 x −24y=−1600 −14 x −280 →−14 x=−280 → = → ∴ x=20 18 x +24 y=1320 −14 −14 −−−−−−−−−¿−14 x =−280
3. Ahora para encontrar el valor de E1
x
se sustituye el valor de
y
en
y esto queda como:
4 x+3 y=200 → 4 ( 20 )+ 3 y=200 → 80+3y=200 → 3 y=200−80 → 3 y=120 →
3 y 120 = → ∴ y=40 3 3
Finalmente, por lo tanto estos valores de
x,y
se interpretan como los
resultados que se definen para x=20
onzas de avena utilizada.
y=40 onzas de harina de maíz utilizado.
Bibliografías de consulta. Swokowski, Earl W.; Cole Jeffery A.(1997) Fundamentals of college algebra Ninth Edition Ed. Brooks/Cole Publishing.
y