SISTEMA DE APRENDIZAJE AUTOGESTIONADO ASISTIDO EL
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Todos los derechos reservados. Sólo se admitirá la reproducción total o parcial de este material didáctico con fines exclusivamente instruccionales y no comerciales. 2008 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA (UNEFA) Av. La Estancia con Av. Caracas y Calle Holanda frente al Edificio Banaven (Cubo Negro), Chuao. Código Postal 1061 Caracas, Venezuela saaa.unefa@gmail.com
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ÍNDICE DE CONTENIDO TÓPICO
Pág.
PRESENTACIÓN
4
PROGRAMA DE ESTUDIO ANALÍTICO
5
Programa de Estudio Detallado
6
Justificación
7
Objetivos y Estructura del Contenido
8
Materiales de Lectura
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RECOMENDACIONES GENERALES
11
GUÍA DIDÁCTICA
13
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: UNIDAD 1: Números Reales
13
SELECCIÓN DE LECTURAS
25
UNIDAD Nº 1: Números Reales LECTURA Nº 1. Los Sistemas de Numeración
25
LECTURA Nº 2. El Conjunto de los Números Reales
34
LECTURA Nº 3. El Mundo de las Proporciones
52
LECTURA Nº 4. Proporciones y Porcentajes
54
BIBLIOGRAFÍA
63
3
PRESENTACIÓN La UNEFA, como institución educativa preocupada por mejorar la calidad de preparación de sus estudiantes desde el momento en que ingresan, busca aplicar novedosas estrategias de enseñanza con tecnología aplicada. En este sentido, la asignatura Fundamentos de Matemática tiene como objetivo básico capacitar a los estudiantes para que adquieran y manejen adecuadamente habilidades y destrezas para resolver los diferentes problemas que puedan presentarse durante su etapa formativa y en la vida cotidiana.
La asignatura Fundamentos de Matemática pretende contribuir a mejorar los procesos de formación de los estudiantes, afianzando el desarrollo de los conocimientos y habilidades en el área, las cuales serán reforzadas en la búsqueda de la excelencia académica.
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Un hombre sin estudios es un ser incompleto. La instrucción es la felicidad de la vida; y el ignorante, que siempre está próximo a revolverse en el lodo de la corrupción, se precipita luego infaliblemente en las tinieblas de la servidumbre
Bolívar, 1829
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA VICERRECTORADO ACADÉMICO
CIU 2009-2010
PROGRAMA DE ESTUDIO ANALÍTICO Fundamentos de Matemáticas Código: CIM-02110
CURSO DE INDUCCIÓN UNIVERSITARIA
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PROGRAMA DE ESTUDIO DETALLADO ESPECIALIDAD: Todas las carreras ASIGNATURA: Fundamentos de Matemática
SEMESTRE: CIU CÓDIGO CIM-02110
UNIDADES DE CRÉDITO:
PRELACIÓN DE LA ASIGNATURA: Ninguna
FECHA DE ELABORACIÓN: Julio 2008
CARÁCTER DE LA ASIGNATURA:
Teórico-práctico
MODALIDAD EDUCATIVA:
Mixta
ESTRATEGIA EDUCATIVA: SISTEMA DE APRENDIZAJE AUTOGESTIONADO ASISTIDO: • Diálogo Didáctico Real (actividades presenciales/asistidas): Encuentros (comunidades de aprendizaje): ambientes de aprendizaje, tutorías (individuales y grupales). • Diálogo Didáctico Simulado (actividades a distancia/asistidas): Autogestión y estudio independiente/asistido (material didáctico y tutorías). • Vinculación con el contexto social: Asistida por docentes/tutores(as). • Servicios de apoyo al participante.
Nº DE HORAS POR SEMESTRE (semanales) Nº DE HORAS DE DIÁLOGO DIDÁCTICO REAL
Nº DE HORAS DE DIÁLOGO DIDÁCTICO SIMULADO
Actividades presenciales:
04
Tutorías y actividades electrónicas:
02
Autogestión y estudio independiente:
10
COMPETENCIAS ASOCIADAS A LA ASIGNATURA •
Integrar los conocimientos matemáticos.
•
Desarrollar capacidad de análisis, síntesis y pensamiento crítico.
•
Argumentar y justificar para resolver problemas.
•
Autogestionar y desarrollar estudio independiente.
OBJETIVO DE APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA Resolver problemas cotidianos que involucren conceptos básicos, propiedades y operaciones matemáticas sobre los números reales.
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JUSTIFICACIÓN La UNEFA, como institución educativa preocupada por mejorar la calidad de preparación de sus estudiantes desde el momento en que ingresan, busca aplicar novedosas estrategias de enseñanza con tecnología aplicada. En este sentido, la asignatura Fundamentos de Matemática tiene como objetivo básico capacitar a los estudiantes para que adquieran y manejen adecuadamente habilidades y destrezas para resolver los diferentes problemas que puedan presentarse durante su etapa formativa y en la vida cotidiana. Las teorías constructivistas aportan variadas experiencias a la educación holista para su ejecución y aplicación. Este tipo de educación académicamente exigente, requiere de los estudiantes un conjunto de herramientas de aprendizaje que deben desarrollar tales como: capacidad de lectura comprensiva, identificación y solución de problemas, capacidad de análisis crítico, habilidad para investigar y comunicar adecuadamente los resultados. Tomando en cuenta estos aspectos y considerando la realidad encontrada en cuanto al dominio de los contenidos del área de matemática en los aspirantes a cursar estudios en la UNEFA, se diseñó el presente programa para el Curso de Iniciación Universitaria(CIU), integrando todos los contenidos del nivel educativo previo, a fin de completar el desarrollo de las habilidades matemáticas necesarias para iniciar al estudiante en su carrera universitaria. El programa de Fundamentos de Matemática es de suma importancia para el aprendizaje; el mismo va a contribuir a mejorar el proceso de formación de los estudiantes y lograr así una educación adecuada a sus intereses y necesidades. Está concebido como un proceso dinámico que no es un fin en sí mismo, sino un eslabón que les permitirá alcanzar nuevas metas en el marco integral del desarrollo de la experiencia educativa novedosa, elevará sus niveles de compromiso personal, profesional ante la sociedad donde se desenvuelve. Asimismo, este programa tiene como norte el afianzamiento, desarrollo de conocimientos y habilidades en el área de matemática, las cuales serán reforzadas en la búsqueda de la excelencia académica. Está orientada bajo la modalidad del Sistema de Aprendizaje Autogestionado Asistido, sustentado en una educación científica y humanista a objeto de motivar al estudiante a aplicar los cuatro fundamentos de la educación popular: aprender a ser, aprender a aprender, aprender a hacer y aprender a convivir. Todas las ideas expuestas con anterioridad obligan a presentar en el curso de inducción la asignatura Fundamentos de Matemáticas, que contempla las siguientes unidades de contenido: UNIDAD 1: Números Reales UNIDAD 2: Expresiones Algebraicas. UNIDAD 3: Unidades de Medida y Geometría. UNIDAD 4: Radicación. UNIDAD 5: Ecuaciones e Inecuaciones. UNIDAD 6: Trigonometría.
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OBJETIVOS Y ESTRUCTURA DEL CONTENIDO UNIDAD 1: NÚMEROS REALES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Resolver ejercicios aplicando las operaciones y propiedades en cada uno de los subconjuntos que conforman los números reales. CONTENIDO: 1.1 El conjunto de los números Reales: definición, representación en la recta real. 1.2 Operadores numéricos: propiedades (Estabilidad, Conmutativa, Asociativa, Elemento Neutro, Elemento Simétrico, Distributiva). Regla de signos, eliminación de signos de agrupación, operaciones combinadas. 1.3 Relaciones de orden e intervalos: Tipos de Relaciones, propiedades de las relaciones de orden, axiomas, tipos de intervalos, distancia entre dos puntos, punto medio. 1.4 Subconjuntos de los Números Reales: Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales.
UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Aplicar las operaciones matemáticas que se presentan entre expresiones algebraicas en los números reales. CONTENIDO: 2.1- Terminología: algebraicas.
Variable,
constante,
coeficiente,
grado,
término,
expresiones
2.2- Tipos de expresiones algebraicas: Enteras o polinómicas (monomios, binomios, polinomios), racionales y radicales. 2.3- Operaciones con expresiones algebraicas: Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y sus propiedades. Resolución de problemas. 2.4- Productos Notables: Definición, tipos: cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia, suma por diferencia, producto de dos binomios, cubo de una suma, cubo de una diferencia. 2.5- Factorización: Definición, métodos, factor común, binomios en forma de diferencia de X 2 + AX + B , cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma complementación de cuadrados, cociente de una suma o diferencia de potencias iguales. Regla de Ruffini.
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UNIDAD 3: UNIDADES DE MEDIDA Y GEOMETRÍA OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Calcular perímetro, área y volumen de figuras y cuerpos geométricos. CONTENIDO: 3.1- Unidades de medida: Capacidad, longitud y superficie. Conversión de unidades. 3.2- Geometría Plana: Figuras planas (Triángulo, cuadrilátero, círculo, pentágono). Elementos básicos de las figuras planas (Vértice, lados, ángulos, aristas, radio, diámetro, cuerda, centro, arco, sector circular, mediana, mediatriz) Cálculo de perímetro y área. 3.3- Geometría en el Espacio: Formas tridimensionales (Cono, pirámide, cilindro, paralelepípedo, pentágono, prisma, trapezoide, esfera) Cálculo de superficie y volumen. UNIDAD 4: RADICACIÓN OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Aplicar las propiedades de radicación en la resolución de ejercicios y problemas. CONTENIDO: 4.1- Terminología: Radicales, índice de una raíz, cantidad subradical. 4.2- Propiedades de los radicales: producto, cociente, potenciación. 4.3- Operaciones con radicales: Adición, sustracción, multiplicación, división, reducción a índice común, extracción de factores en una raíz. 4.4- Racionalización: Monómica y Binómica. UNIDAD 5: ECUACIONES E INECUACIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Resolver problemas en los cuales se determine su solución por medio de ecuaciones e inecuaciones en el conjunto de los números reales. CONTENIDO: 5.1- Terminología: Definición, igualdad, variable, grado de una ecuación. 5.2- Solución de una ecuación: Lineal, Cuadrática, Radical, Valor absoluto 5.3- Planteamiento y resolución de problemas. 5.4- Sistema De Ecuaciones: definición, términos, sistemas homogéneos, sistemas no homogéneos, sistema compatible determinado, sistema compatible indeterminado, sistema incompatible, criterios para determinar la existencia de solución, interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones. 5.5- Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones: Sustitución, Igualación, Reducción, sistema de ecuaciones lineales 2x2, sistema de ecuaciones lineales 3x3, sistema de ecuaciones no lineales 2x2. 5.6- Inecuaciones: Lineal, Cuadrática, Racional, Valor Absoluto.
9
UNIDAD 6: TRIGONOMETRÍA OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Resolver ejercicios y problemas aplicando las razones, identidades y relaciones trigonométricas en triángulos rectángulos. CONTENIDOS: 6.1
Definición de trigonometría.
6.2
Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo.
6.3
Identidades trigonométricas.
6.4
Relaciones trigonométricas de un ángulo en el plano cartesiano.
6.5
Relaciones trigonométricas de los ángulos n otables.
6.6
Relación trigonométrica para la suma y resta de dos ángulos.
6.7
Solución de un triángulo rectángulo.
6.8
Aplicaciones de triángulos rectángulos.
MATERIALES DE LECTURAS UNIDAD Nº 1: NÚMEROS REALES Lectura Nº 1: Los Sistemas de Numeración Ochoa, A. (2007). Los Sistemas de Numeración. Artículo no publicado. Caracas. Lectura Nº 2: El Conjunto de los Números Reales Ochoa, A. (2007). Los Números Reales. Artículo no publicado. Caracas Lectura Nº 3: El Mundo de las Proporciones Fundación Polar: Matemática para todos. Fascículo 10. (pp. 153-155 y 145-151). [Consulta en Línea]. Octubre 2007. Lectura Nº 4: Proporciones y Porcentajes Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas, M., (2006). Proporciones y Porcentajes, Artículo no publicado. Caracas.
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RECOMENDACIONES GENERALES A continuación te presentamos una serie de recomendaciones de carácter general, que podrás aplicar en el desarrollo de las actividades de aprendizaje que proponemos en esta Guía. Estas recomendaciones te ayudarán a optimizar el rendimiento académico. Si es posible, colócalas en tu ambiente de estudio y repásalas cada vez que inicies una sesión de aprendizaje. Recuerda que estás en libertad plena de desarrollar tu capacidad creativa y ¡éste es sólo el inicio!: •
Desarrolla cada una de las actividades de acuerdo a tu propio ritmo y disponibilidad de tiempo, dentro de los lapsos previstos para desarrollar toda la asignatura. Asegúrate de disponer de los recursos didácticos adecuados.
•
Aprovecha cada minuto de tu tiempo, es parte de tu aprendizaje.
•
Recuerda que ahora tienes más responsabilidades: Eres un estudiante universitario y perteneces a una institución que se afana en brindarte la oportunidad de estudiar con servicios educativos de excelencia. ¡Aprovecha esta oportunidad!
•
Tienes libertad plena para poner en práctica ideas diferentes o complementarias a las que te presentamos en esta Guía.
•
Trata de realizar todas y cada una de las actividades que se plantean.
¡Organízate! La organización del ambiente de estudio y de los recursos de aprendizaje son elementos importantes que pueden facilitar tu aprendizaje. Por esta razón, te sugerimos lo siguiente: •
Ubica y procura organizar el lugar donde desarrollarás tu actividad de estudio. Es importante que esté libre de interrupciones y molestias, aseado, ventilado e iluminado suficientemente.
•
Trata de conservar en orden y buen estado los materiales didácticos, así como otros recursos útiles para el aprendizaje autogestionado y el estudio independiente.
•
Ubica la Selección de Lecturas de esta asignatura y colócala a mano.
•
Selecciona otros materiales que puedan servirte de apoyo, tales como: hojas en blanco, cuaderno, libreta, lápiz, por si deseas tomar nota de alguna información; resaltadores, por si deseas subrayar/resaltar alguna idea del material impreso. La idea es que no te distraigas mientras estudias.
•
Es importante que realices primero una lectura rápida del componente impreso (Guía Didáctica y Selección de Lecturas), correspondiente a esta asignatura y observes las indicaciones contenidas en el mismo.
•
Luego, procura centrar tu atención en la realización de una lectura comprensiva de dichos materiales. Subraya las ideas centrales o principales y aquellas secundarias que tengan relevancia.
•
Trata de indagar y/o ampliar el significado de las palabras y conceptos que desconozcas, apóyate en cualquier otra fuente de información. Hazte preguntas sobre el contenido. Consulta con tus docentes/tutores(as) aquellos aspectos sobre los que tengas dudas.
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¡Adelante, eres el principal recurso de tu aprendizaje! •
Elabora esquemas, gráficos, cuadros, síntesis o mapas mentales sobre las ideas centrales de cada lectura, esto te ayudará a recordar el contenido de las mismas; y podrán resultarte útiles en los encuentros presenciales, o en las actividades de aprendizaje colaborativo y/o cooperativo.
•
Trata de realizar pausas breves entre períodos intensivos de estudio, preferiblemente a los 45 minutos o a la hora. Trata de realizar actividades que te permitan relajar mente y cuerpo (15 minutos aproximadamente). ¡El descanso es una necesidad no un capricho!
•
La repetición, la asociación de ideas y la visualización creativa, son elementos que pueden facilitar tu aprendizaje y ayudarte a fortalecer tu capacidad memorística. ¡Recuerda utilizarlos!
•
Prepárate en forma adecuada antes de participar en las actividades presenciales, de manera que tus dudas o intervenciones sean útiles a ti mismo y al resto de tu comunidad de aprendizaje.
•
Asiste a los encuentros presenciales fijados en el Cronograma de Actividades. Presta atención a las observaciones de tu docente/tutor(a) y de otros miembros de la comunidad de aprendizaje, toma notas o apuntes y pregunta cuando no comprendas. Recuerda llevar las interrogantes o dudas emergentes del proceso de autogestión académica, a los encuentros presenciales o las sesiones de tutoría.
•
Procura acostumbrarte a utilizar los recursos disponibles en las bibliotecas y en Internet, encontrarás en ellos gran cantidad de información útil para tu proceso de aprendizaje. El (la) docente/tutor(a) también es un recurso al que podrás acudir cuando lo requieras.
•
Trata de acercarte a otros(as) docentes/tutores(as) o personas de tu comunidad que conozcan sobre los temas que estás estudiando. Solicítales lecturas complementarias, material con ejercicios o comparte impresiones u opiniones sobre los temas que estás estudiando.
•
Trata de formar grupos de estudio, con los cuales puedas intercambiar información. Aprovechen la oportunidad para formularse preguntas entre ustedes y compartir experiencias sobre los temas de aprendizaje.
•
Recuerda que a partir de ahora comienzas a ser una luz para tu comunidad, mantenla encendida aportando siempre tus conocimientos al beneficio común. En este momento, debes ser el mejor ejemplo para demostrar tu capacidad de autogestión y estudio independiente.
•
Esfuérzate en generar y mantener hábitos de estudio adecuados, pues ello será muy importante para la obtención del éxito que todos esperamos.
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GUÍA DIDÁCTICA ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE UNIDAD 1 NÚMEROS REALES
CONOCE EL NORTE DE TU APRENDIZAJE ¿Has oído hablar del problema de la repartición de los camellos que un padre dejó en herencia a sus tres hijos?, aquí lo presentamos, aunque para regionalizarlo lo haremos con caballos: Tres hermanos se reparten la herencia de su padre que está formada por 35 caballos y en el testamento el padre dejo escrito que el mayor se quedara con la mitad de la herencia, el mediano con la tercera parte y el más pequeño con la novena parte Como las divisiones no eran exactas estos no llegaban a un acuerdo, porque: La mitad de 35 es:
1 35 (35) = = 17,5 (17 caballos y medio) 2 2
La tercera parte de 35 es:
1 35 (35) = = 11,6666667 (más de 11 caballos y medio) 3 3
La novena parte de 35 es:
1 35 (35) = = 3,88888889 (casi 4 caballos) 9 9
Entonces decidieron consultar con un viejo matemático que les propuso lo siguiente: - Puesto que 35 caballos no se pueden dividir exactamente por la mitad, ni por la tercera parte ni por la novena, yo regalo el mío, ahora tienen 36 caballos por lo que los tres saldrán ganando. Veamos como: La mitad de 36 es:
1 36 (36) = = 18 (18 caballos) 2 2
La tercera parte de 36 es:
1 36 (36) = = 12 (12 caballos) 3 3
La novena parte de 36 es:
1 36 (36) = = 4 (4 caballos) 9 9 13
- Ahora ya tienen los tres su herencia, y como 18+12+4=34 ahora sobran dos caballos, por lo que yo recupero el mío y me quedo también con el otro para resolver el problema. ¿Puedes dar una explicación de cómo es esto posible? A través del estudio de los conjuntos numéricos, las relaciones, operaciones y propiedades que se cumplen en ellos podemos conocer el acertijo que encierra tanto este problema como muchos otros. Pues en repetidas ocasiones se nos pueden presentar, no sólo durante la carrera universitaria, sino en el desempeño de nuestra profesión y más aun en la vida cotidiana. Es por ello que en esta unidad pretendemos lograr el siguiente objetivo de aprendizaje:
Resolver ejercicios aplicando las operaciones y propiedades en cada uno de los subconjuntos que conforman los números reales
¿Cómo vas a estudiar matemática?
1- Ya sé lo que quiero lograr, ahora reviso ¿Con qué cuento?
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CONOCE EL NORTE DE TU APRENDIZAJE Ya conoces el objetivo y para lograrlo cuentas con los siguientes recursos:
Organización:
- Del horario de estudio ajustado a tus compromisos familiares y laborales. - Del ambiente apropiado para las sesiones de estudio. - De los materiales y recursos tecnológicos necesarios - De un buen grupo de estudio con tus compañeros.
CUMPLIENDO: - Todas las actividades previstas en esta guía. - Las actividades interactivas de carácter electrónico
Personales
Responsabilidad:
que se asignen.
- La asistencia a las sesiones de tutoría. - La asistencia y participación activa en las actividades presenciales (Comunidad de Aprendizaje)
Material Impreso
Material Interactivo
Institucionales
Tutorías
Servicios de Apoyo
- Guía de selección de lecturas recomendadas para esta unidad. - Guía didáctica - El plan de evaluación de la asignatura. - Actividades interactivas - Páginas WWW recomendadas - Foros, Chats, otros. - Docente de la asignatura quién desarrollará y te guiará en todas las actividades tanto del diálogo didáctico real como el de autogestión y estudio independiente. - Programa Docente – Padre - Sistema de comunicación - Centros de recursos didácticos - Ambientes de aprendizaje - Servicios de bienestar estudiantil
Con la finalidad de facilitar el logro del objetivo propuesto para esta unidad de aprendizaje cuentas con 4 lecturas de apoyo, que te proporcionan un poco de historia, definiciones, simbología, procedimientos, ejemplos muy variados con sus respectivos métodos para la solución de problemas y ejercicios sugeridos para la práctica necesaria de las operaciones con números Reales, estas son:
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1)
Los Sistemas de Numeración
2)
El Conjunto de los Números Reales
3)
El Mundo de las Proporciones
4)
Proporciones y Porcentajes
2- Ahora voy a realizar una lectura rápida de todo el material y luego vuelvo a leer con más profundidad.
VERIFICA TU COMPRENSIÓN LECTORA Si ya realizaste las lecturas y utilizaste las técnicas de comprensión lectora sugeridas, responde las siguientes preguntas. Con estas actividades puedes iniciar la conformación del portafolio de la asignatura. 1. Al conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para expresar las cantidades lo llamamos: 2. ¿En qué consiste el principio aditivo de los sistemas de numeración? 3. Del sistema de numeración que utilizamos comúnmente; a) ¿Qué nombre recibe? b) ¿Qué símbolos utiliza? c) ¿De qué base es? d) ¿Qué principios se deben cumplir para escribir las cantidades? 4. ¿Qué nombre recibe el conjunto numérico que agrupa a los números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales? 5. ¿Para cuáles operaciones es el número 1: a)
Elemento neutro?
b)
Elemento simétrico?
6. ¿Cuándo decimos que un rectángulo es de oro? 7. Si observo en la vidriera de una tienda que las chaquetas están al 30% de descuento, ¿qué se entiende por ese mensaje? 8. Menciona las diferencias entre regla de tres simple, compuesta e inversa.
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3- Entiendo lo que leí, cuando lo comparo con algo que conozco y que he realizado anteriormente, ¿lo entiendo mejor?, veamos¡
REFLEXIONA Ya verificaste tu comprensión lectora, ahora te presentamos una serie de actividades que te permitirán clarificar y relacionar los aprendizajes presentes con respecto a las experiencias pasadas, con la finalidad de generar nuevas ideas y sobre todo incentivar la toma de decisiones frente a la solución de problemas. 11.. ¿Por qué sobran dos caballos después de repartir la herencia en el ejercicio inicial? 22..
¿Ya conocías tantos sistemas de numeración diferentes? y ¿crees que existen otros?
33..
¿Algún sistema de numeración, de los presentados en la Lectura Nº 1 u otro que conozcas, es de más fácil utilización que el decimal? Justifica tu respuesta.
44..
¿Por qué no se cumple la propiedad conmutativa en la sustracción?
55..
Así como se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, ¿podrías aplicar la misma propiedad en la división con respecto a la sustracción?
66..
¿En qué situaciones de la vida cotidiana has escuchado o trabajado los conceptos de proporción?
77..
Menciona 10 casos comunes y cotidianos donde se utilicen los porcentajes.
88..
¿De qué manera habías calculado el descuento ofrecido a través de ofertas
en los
productos que compras? 99..
Considerando la carrera que deseas cursar, ¿en qué situaciones utilizarás los porcentajes? 4- Ahora preparo los materiales, elaboro formularios que me faciliten resolver cada ejercicio y repito cada procedimiento de los ejemplos que me ofrecen.
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CONSTRUYE TU PROPIO CONOCIMIENTO En esta parte, te presentamos una serie de actividades que te permitirán establecer relaciones entre lo que conocías, los nuevos aprendizajes y tu propia realidad a fin de orientar en los procedimientos precisos que te facilitarán el conocimiento de la utilidad práctica y dominio de las operaciones con radicales: 1. Elabora un cuadro comparativo donde relaciones el sistema de numeración decimal con otros 5 sistemas de numeración diferentes, en cuanto a: base, símbolos, principios. 2. Elabore una tabla especificando cada una de las operaciones con sus propiedades, representándolas con fórmulas según el siguiente modelo: PROPIEDADES Operación
Conmutativa Asociativa
Adición
A+b=b+a
Sustracción
…
…
…
…
…
(a+b)+c=a+(b+c)
no
… … 3. Elabora un algoritmo que permita resolver ejercicios donde se apliquen las propiedades de la potenciación hasta llegar a la fracción canónica. 4. Resuelve los ejercicios de la Lectura Nº 2 que se señalan a continuación: Ejercicios
Aplicando
a) 1 y 3
Producto de potencias de igual base
b) 5
Potencia de una potencia
c) 9
Cociente de potencias de igual base
d) 13
Potencia de exponente negativo
e) 17
Potencia de un producto
f)
21
Potencia de un cociente
g) 25 y 26
Simplificar la expresión
h) 34 y 35
Distancia entre dos puntos de la recta
i)
Valor absoluto
40
5. Si el lado más largo de un rectángulo lo denominamos l, y el más corto a; Escriba una fórmula para relacionarlos de tal manera de cumplir con la proporción de oro.
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6. Resuelve los ejercicios 1 y 2 de la Lectura Nº 4 sobre proporcionalidad utilizando las fórmulas de regla de interés. 7. Resuelva los ejercicios 11 y 12 de la Lectura Nº 4 utilizando los casos de cálculo de porcentaje. 5- Voy muy bien, ahora intercambio ideas, procedimientos y soluciones con otros estudiantes.
COMPARTE Y APRENDE DE OTROS Si ya organizaste un grupo de estudio, incluyendo algún miembro de tu comunidad conocedor del tema, resuelve las actividades que te sugerimos a continuación y reúnete con ellos para comparar tanto procedimientos como resultados: 1. Escriba su fecha de nacimiento en el sistema de numeración: a) Egipcio.
b) Griego.
d) Azteca.
e) Chino.
c) Maya.
2. Resuelve los ejercicios de la Lectura Nº 2 que se señalan a continuación: Ejercicios
Aplicando
a. 8
Potencia de una potencia
b. 10
Cociente de potencias de igual base
c. 14
Potencia de exponente negativo
d. 18
Potencia de un producto
e. 28
Potencia de un cociente
f.
Simplificar la expresión
30 y 32
g. 36
Distancia entre dos puntos de la recta
h. 45
Valor absoluto
3. Analizando la relación de orden Nº vii ¿qué relación existe si c<0? 4.
Calcula el resultado solicitado en los ejercicios 3 y 4 de la Lectura Nº 4.
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5. Guiándote por los ejemplos sobre porcentaje, resuelva los ejercicios 14 y 15 de la Lectura Nº 4.
6- Consulto las dudas con el docente tutor o personas de la comunidad que conozcan del tema y me preparo a crear.
ELABORA UN PRODUCTO PROPIO En esta franja estimularemos en ti la construcción de un producto propio, que pueda llegar a ser utilizado por otros, claro está que estas producciones deben ser discutidas en las sesiones presenciales ya que el buen alumno siempre espera la retroalimentación necesaria por sus producciones. 1. Crea tu propio sistema de numeración considerando tus propios símbolos, la base y los principios que regirán la representación de cantidades. 2. Aplicando las propiedades o definiciones estudiadas, resuelve los ejercicios de la Lectura Nº 2 que se señalan a continuación: a.
2y4
b.
6
c.
11
d.
19
e.
23
f.
31 y 32
g.
37 y 38
h.
42 y 43
3. Realiza un dibujo donde se utilice “la divina proporción” repetidas veces. 4. Resuelve los ejercicios 5, 6 y 9 de la Lectura Nº 4. 5. Cuál es el resultado del ejercicio 16 de la Lectura Nº 4. 7- Ahora determinaré ¿para qué me sirve todo lo estudiado?, ¿cuál será la aplicación práctica?
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CONCIENTIZA TU APRENDIZAJE Cuando el estudiante ha comprendido las lecturas, puede con facilidad utilizar esta franja, porque estará pendiente de los nuevos planteamientos presentados en las lecturas o por el profesor, con sus ejemplificaciones a fin de determinar en que momento o en que situación aplicarlos. 1.
Si en el desempeño de tu profesión eres el dueño de tu propia empresa, representa mediante un ejemplo la manera de llevar la contabilidad con el sistema de numeración creado en la franja anterior.
2. Resuelve los ejercicios de la Lectura Nº 2 que a continuación se enuncian, señalando los conceptos o propiedades que se aplican: Ejercicios
Concepto o
Ejercicios
propiedad
Concepto o propiedad
7
12
16
20
24
29 y 30
39
44 y 45
3. ¿Podrías demostrar si se aplican las medidas del rectángulo de oro en el cuerpo de algún animal? 4. Redacta una conclusión para cada uno de los resultados obtenidos al resolver los ejercicios 7, 8 y 10 de la Lectura Nº 4. 5. ¿Qué razonamiento merece el método utilizado para resolver el ejercicio Nº 17 de la Lectura Nº 4? 6. ¿De qué manera se puede plantear el ejercicio de la herencia para que no sobren caballos?
8- Bien, ahora certifico que es lo que sé, para ir seguro a las evaluaciones que me hará el docente.
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AUTOEVALÚATE Ahora de manera individual y siendo lo más sincero posible contigo mismo, resuelve
los
ejercicios que se te presentan a fin de verificar el dominio de los números reales: 1. Representa las siguientes cantidades en los sistemas de numeración indicados: Decimal
Azteca
Romano
Maya
Chino
Egipcio
9 37 583 7692 45146 2. ¿Cuál será la medida de uno de los lados de un rectángulo para que la longitud del otro, de acuerdo a la proporción de oro, sea un número entero (sin decimales)? 3. Representa los siguientes números en la recta real:
15 17 28 , − , , − 0,05 , − 0,02 , e = 2,71828183K 2 5 3 Cuando el número tiene una expresión decimal infinita, periódica o no, tome una aproximación de 3 decimales. 4. Resuelva las siguientes operaciones:
⎛ ⎝
3⎞ ⎛ 5⎠ ⎝
a. ⎜ 3 + 2 ⋅ ⎟ − ⎜ 4 −
⎡⎛
⎛8 ⎝
1 3 ⎞ + ⎟ 3 20 ⎠ ⎞ ⎠
⎛ 7 14 ⎞⎤ ⎝ ⎠⎦
6⎞
b. 5 ⋅ ⎢⎜⎜ 7 − 4 ⋅ ⎜ + 9 ⎟ − ⎟⎟ + 7 ÷ ⎜ + ⎟⎥ 5 10 3 10
⎣⎝
c.
⎠
⎛ 3 3 11 ⎞ ⎛ 1 2 3 4 ⎞ ⎜ − − ⎟÷⎜ − + − ⎟ ⎝ 5 11 5 ⎠ ⎝ 2 3 4 5 ⎠ 7
3
⎛ 2⎞ ⎛9⎞ ⎛ 5⎞ d. ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ÷ ⎜ − ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝4⎠ ⎝ 2⎠ 3
3
⎛ ⎛ 4 ⎞ 4 ⎞ ⎛ 81 ⎞ 4 ⎛ ⎛ 1 ⎞ −3 ⎞ e. ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ÷ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎝ 8 ⎠ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22
2
5. Resolver los siguientes problemas: a. El CENAPH reporta 9/10 de pulgadas de lluvia el lunes, 3/10 el miércoles y la misma cantidad el viernes. ¿Cuántas pulgadas de lluvia hubo durante la semana? b. Un mueble ha sido barnizado con trementina, sellador y thiner. Si 1/3 de la mezcla es sellador y ¼ es trementina; ¿Qué fracción de la mezcla es thiner? c. Para hacer una pizza, Bruce uso ½ libra de queso, ¼ de peperoni, 1/16 de libras de cebollas y ¼ de libra de tocino. ¿Cuál es el peso de todos los ingredientes juntos? d. Juanita trabaja 37 ½ horas a la semana. Hasta el Jueves ella había trabajado 34 ¼ de horas. ¿Cuántas horas necesita trabajar el viernes? e. Antonio escribió un reporte en ¾ de hora. Francisco hizo 1/3 más de lo que Antonio hizo. ¿Cuánto tiempo hizo Francisco? f.
La velocidad de escritura de Juan es de 60 palabras por minuto. La velocidad de Isabel es 3/5 de lo que Juan hace. ¿Cuántas palabras por minuto escribe Isabel?
g. Un sastre puede terminar un traje en 3 ½ días. Si trabaja 20 días al mes, ¿Cuántos trajes completos puede hacer en un mes? h. Una banda toca tres piezas de musica. La primera pieza dura 1/3 de hora, la segunda 1/6 de hora y la última ¾ de hora. En total, ¿Cuánto tiempo tocó la banda? 6. Determinar la relación existente, < , > , = , entre las siguientes expresiones numéricas: a. − 0,007
c.
73 5
− 0,003
b.
10 31
e. −
14,6
3 1 + 2 5
0,01 3 1 − 2 5
7. Si a > b , determine cual es la relación entre las siguientes expresiones: a.) 7 a
7b
b.) − 5a
− 5b
c.) 5 − 2b
3a + 5(1 − b)
9- ¡Ah¡ nunca me quedo sólo con las lecturas y ejercicios que me recomiendan, siempre busco información de otros autores.
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AMPLÍA Y PROFUNDIZA TUS CONOCIMIENTOS La ejercitación es esencial para el desarrollo de competencias en el razonamiento matemático, te proponemos las siguientes actividades para que continúes mejorando tu capacidad matemática en beneficio de tu propio aprendizaje: 1.- Elabora un directorio de 5 páginas web, en la que encuentres procedimientos, ejercicios y problemas que te permitan consolidar los conocimientos adquiridos de números reales. Utiliza los buscadores más conocidos y utiliza frases que definan: matemáticas y los números, los tipos de números reales, proporciones, problemas de porcentaje, proporción de oro, entre otras. Así tenemos:
http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec1/cap1.html,
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-realesexpresionesalgebraicas/T1-1-numeros-reales-julioetall/index.html
2.- Participa en foros de discusión, donde compartan opiniones acerca de las experiencias de aprendizaje y reflexiones sobre los radicales. 3.- También puedes consultar los siguientes textos:
Libros utilizados durante los años de estudio en el liceo.
Algebra de Baldor.
10- Finalmente incorporo todo lo que he realizado en el portafolio de la asignatura y considero que cuando explico a otros, ejercito y logro un mayor dominio de los contenidos.
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SELECCIÓN DE LECTURAS UNIDAD 1 NÚMEROS REALES LECTURA N° 1: LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Material recopilado con fines instruccionales por: Ochoa, A. (2007). Los Sistemas de Numeración. Artículo no publicado. Caracas.
ORIGEN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Las civilizaciones primitivas utilizaron diversas formas para resolver el problema de contar, comúnmente usaban los dedos, guijarros, marcaron signos sobre los troncos de los árboles o en huesos disecados. Los indios y los chinos lo hacían en bastones, nudos en cuerdas especiales o usaban piedras pequeñitas coleccionadas en serie. La mayor parte de los pueblos primitivos crearon un sistema de numeración a base de 5,10 ó 20, relacionados con los cinco dedos de la mano, o los 10 de ambas o los 20 si se toman manos y pies. La base que más se ha utilizado a lo largo de la historia es 10, empleada por los antiguos chinos, los egipcios, los griegos y romanos con algunas excepciones, como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad. Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones contaban en unidades, decenas, centenas, millares etc., es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy en día. Casi todos los sistemas utilizados para la época, representaban con exactitud los números enteros, aunque en algunos podían confundirse unos números con otros. Muchos de estos sistemas no representaban grandes cantidades, y otros requerían tal cantidad de símbolos que los hacían poco prácticos, por lo que no permitían efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación; necesitando procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos. Cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los seguidores del ábaco, los profesionales del cálculo se opusieron con argumentos increíbles, entre ellos: que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico, aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. Seis siglos antes de Jesucristo, fue inventado en la India un signo redondo como punto para representar el orden de unidad que faltaba, y se inició el sistema de numeración basado en la colocación de las cifras y el uso del cero o punto. El sistema numérico actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes; de la existencia del sistema de origen indio hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci), quién introdujera el nuevo sistema en la Europa del año 1200. En este caso, su gran aporte fue la introducción del concepto y símbolo
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del cero, lo que permitió un sistema en el que sólo diez símbolos podían representar cualquier número por grande que fuera y simplificar la forma de efectuar las operaciones. ¿Qué es un Sistema de Numeración? Existen diversos conceptos para definir lo sistema de numeración; uno de ellos dice: Es el conjunto de elementos (símbolos o números), operaciones y relaciones que utilizando reglas propias, permite contar, representar cantidades, establecer relaciones entre ellas y resolver operaciones. Historia Las culturas originarias lograron, con mucha sabiduría, asociar tempranamente variados elementos para representar cantidades: una colección de objetos, un grupo de signos o de cosas: trazos marcados en la madera en un hueso o en la arena, montones de piedras, gestos con la mano o con la cabeza. Ejemplos de ellos lo constituyen los pastores sumerios quienes llevaban la cuenta de los nacimientos, pérdidas, compras y ventas de sus ovejas, representando cada animal del rebaño mediante un cono de arcilla (calculi) colocado en una envoltura del mismo material. En las primeras aglomeraciones urbanas de la Baja Mesopotamia, se eligió un sistema más elaborado: se imprimieron sobre la envoltura de arcilla signos semejantes a los representados por los calculi. Éstos últimos, que ya no tenían razón de ser, fueron poco a poco suprimidos, y las envolturas reemplazadas por las primeras tablillas numerales. Por ello, las primeras numeraciones escritas aparecieron al mismo tiempo que las primeras formas de escritura en Mesopotamia y Egipto entre 3200 y 3300 a.C. El principio aditivo de los Sistemas de Numeración El principio aditivo de los sistemas de numeración consiste en acumular los valores de los símbolos de las unidades y decenas que sean necesarias hasta completar el número. Para ilustrar la forma de representación aditiva, consideraremos el sistema jeroglífico egipcio. En este sistema por cada unidad se escribía un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco, por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón, un jeroglífico específico. Así, para ellos 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas, 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma, todas las unidades estaban físicamente presentes. Una de las características del principio aditivo en el sistema egipcio consistía en colocar los símbolos en cualquier orden, aunque se prefería una determinada disposición. Los sistemas de numeración egipcio, sumerio, (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romano y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes utilizaron este principio. Ejemplos de algunos Sistemas de Numeración Sistema de Numeración Egipcio: Los egipcios desde el tercer milenio a.C usaron un sistema para escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la Figura Nº 1 y así representaban los distintos órdenes de unidades. Se usaban tantos jeroglíficos de cada uno cómo fuera necesario y podían escribirse indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de
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arriba abajo, y/o cambiando la orientación de las figuras según el caso. Cuando el orden era indiferente, se escribían atendiendo a criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas, etc.), cuyo número indicaban.
1
Figura Nº 1 El Sistema de Numeración Egipcio Raya
10
Hueso
100
Soga arrollada
1000
Flor de Loto
10000
Dedo índice
100000
Pez
1000000
Hombre asustado
Fuente: //www.equipoweb.com.ar/eduteca/contenidos/curricular/pdf/22010203.pdf
En la Figura Nº 1, podemos observar dichos signos, los mismos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano, quedando su uso reservado a las inscripciones monumentales. En la cotidianidad, fue sustituido por la escritura hierática y demótica, éstas eran formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas. Los grupos de signos en tales sistemas de escritura, adquirieron una forma propia, y así se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... , disminuyéndose de esta forma, la cantidad de signos necesarios para escribir una cifra. El Sistema de Numeración Griego El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 aC. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos que podemos observar en la Figura Nº 2 para representar esas cantidades. Se utilizaban tantos símbolos como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas. Los griegos consideraban más la esencia y atributos de los números, que su representación gráfica, los símbolos numerales correspondían a dos sistemas: el ático (emplea seis símbolos literales básicos), y el alfabético (decimal).
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Figura Nº 2 Sistema de Numeración Griego
Fuente: www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc
Los griegos usaban el sistema acrofónico, en el cual para representar la unidad y los números hasta el 4 usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100, las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi) respectivamente. Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtenían añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente, este sistema ático (de Atenas) fue reemplazado por el jónico, el cual empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos. (ver Figura Nº 3). Figura Nº 3 Sistema de Numeración Jónico
Fuente: www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc
Usando el alfabeto griego, los números parecían palabras, pues estaban formados por letras; a su vez, las palabras tenían un valor numérico y bastaba sumar las cifras que correspondían a las letras que las conformaban. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras.
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El Sistema de Numeración Azteca En México, entre los siglos XIV y XVI de nuestra era, se desarrolló la civilización azteca, ellos crearon un sistema de cifras, conocido a partir de manuscritos que los especialistas llaman Codex. Allí los escribas expresaban los resultados de sus inventarios y el recuento de los tributos recogidos por el imperio, reproducían cada cifra tantas veces como fuera necesario junto a los pictogramas asociados. Esta numeración se basaba en el principio aditivo; según el cual, el valor de una representación se obtenía sumando los valores de las cifras. Era una numeración de base vigesimal (20). A la llegada de los conquistadores españoles, el imperio azteca utilizaba los siguientes símbolos pictóricos.
Para el 10 usaban dos círculos concéntricos, un cuadrado grande con otro adentro, o el más común: un cuadrado colocado con uno de los vértices hacia arriba y con los lados rectilíneos o curvos. El 80 tenía dos representaciones: una atadura de hierbas (símbolo de la izquierda). O una turquesa con hierbas en la parte superior (símbolo de la derecha).
Características del Sistema de Numeración Azteca 1. Agrupamientos de 20 en 20.
Emplearon un sistema vigesimal o de base 20.
2. Usaban el principio aditivo.
• Un número podía repetirse hasta nueve veces. • Al escribir dos ó más símbolos juntos, se sumaban
los valores asignados a cada símbolo. 3. Usaban el principio partitivo
Un símbolo podía partirse para indicar fracciones de su valor.
Principio partitivo. Los aztecas partían un símbolo para indicar fracciones de su valor. Por ejemplo: La bandera podía dividirse en 4 secciones con valor de 5 unidades cada una. La parte sombreada no se tomaba en cuenta. Por eso, tres secciones blancas equivalían a: 5 x 3 = 15.
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Si se representaba la atadura de hierbas incompleta simbolizaba un valor de 60 unidades. La mitad de la atadura correspondía a la mitad del número 80, es decir, a 40. De esta manera, un número podía escribirse de diferentes formas. El 72 se representaba así:
El Sistema de Numeración Chino Era un sistema decimal estricto que usaba las unidades y los distintas potencias de 10. La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 a.C. aproximadamente. Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la Figura Nº 4.
Figura Nº 4 Sistema de Numeración Chino
Fuente www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc
En este sistema de numeración, el orden de escritura se hacía fundamental, pues, 5, 10, 7, igual podría representar 57 que 75. No era necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se colocaran todos los ideogramas, pero aún así, a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10 (forma canónica). Aparte de dicha forma, para los documentos importantes se usaba una grafía más complicada a objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y se utilizaban hasta dos grafías diferentes para usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos, por su parte, desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual, al cual, por influencia india en el siglo VIII a.C, se le incorporó el cero. Los Sistemas de Numeración Posicionales Los sistemas de numeración posicionales son mucho más efectivos que los sistemas anteriores, porque de acuerdo a la posición de una cifra indicamos si son decenas, o centenas ó en general la potencia de la base correspondiente. Además de los Hindúes, en distintas épocas,
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lograron desarrollar un sistema de este tipo: los babilonios, los chinos y los mayas, llegaron al mismo principio. Los Hindúes antes del siglo VII, idearon el sistema numérico tal y como hoy lo conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Es de hacer notar, que aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración como arábigo, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero, tanto en posiciones intermedias como finales. El Sistema de Numeración Maya Los mayas idearon un sistema de numeración de base 20 con el 5 como base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se le añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continuaba hasta el 20, con cuatro rayas. Figura Nº 5 Sistema de Numeración Maya
Fuente: www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc
Hasta aquí parecía ser un sistema aditivo de base 5, pero en realidad, estos símbolos constituían las cifras de un sistema de base 20, en el que había que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupaba y sumar el resultado. Por esta razón, era un sistema posicional que se escribía de arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor. Cada cifra tenía un valor relativo según el lugar que ocupaba, la presencia de un signo para el cero, para indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hacía imprescindible y ellos lo utilizaron, aunque no parecía haberles interesado el concepto de cantidad nula; a diferencia de los mayas, los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número.
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El Sistema de Numeración Babilónico Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el siglo XIX a.C, se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores. Para representar la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se colocaban tantas cuñas como fuera preciso hasta llegar a 10, este número tenía su propio signo. De esta forma, se usaban las que fueran necesarias completando con las unidades hasta llegar a 60. A partir de allí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando secuencialmente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así x continuaba como en los ejemplos que se acompañan. Figura Nº 6 Sistema de Numeración Babilónico
Fuente: www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc
Sistema de Numeración Romano El sistema de numeración romano, carece del 0 por eso se convirtió en un sistema muy complicado al momento de realizar multiplicaciones y divisiones. Este sistema está en desuso, quedando solamente para fines decorativos (relojes, estatuas, monumentos) y cierto protocolo (numerar: los siglos, los papas, los reyes y reinas, etc.). Los signos que utiliza el sistema romano son:
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I=1
X = 10
C = 100
V=5
L = 50
D = 500
M = 1000
Las reglas para escribir el sistema de numeración romano son: 1- Los símbolos I, X, C y M pueden repetirse hasta tres veces seguidas. 2- Un símbolo de valor inferior que antecede a otro de valor superior le resta su valor. 3- Una raya encima de un símbolo, multiplica por mil el valor del símbolo. Dos rayas encima de un símbolo multiplica por un millón el valor del símbolo. Los Sistemas de Numeración Modernos Un sistema de numeración está definido por la elección arbitraria de una base de numeración (esta base debe ser igual al número de símbolos llamados cifras, que se utilizan para representar los números) y por ciertas reglas de posición. La base “α” elegida debe ser un número natural superior a 1; una vez fijada la base, es necesario elegir signos diferentes y nombres diferentes para representar y señalar los primeros números inferiores a α. En el caso en que α = 10 se trata del sistema de numeración decimal, utilizado de manera general, y cuyo origen es con seguridad el número de dedos de las manos. Los símbolos utilizados en este caso son las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En el caso en que α = 2 se trata del sistema de numeración binaria, utilizado por la tecnología en las máquinas de cálculo, en particular en las computadoras. Los símbolos utilizados son las cifras 0 y 1. Las calculadoras utilizan también el sistema de base 8, o sistema octal. En el caso de que α = 12 se trata del sistema de numeración duodecimal, y los doce símbolos utilizados son las cifras 0, 1, 2, …, 9, a las cuales se agregan dos letras A y B. En el caso en que α = 60 se trata del sistema de numeración sexagesimal, utilizado especialmente para las medidas de tiempo y de ángulos. La elección de una base numérica demasiado pequeña provoca rápidamente la utilización de un mayor número de cifras para la escritura de los números (el número 9, en base 2, se escribe 1001). La elección de una base numérica grande hace necesaria la utilización de un número elevado de símbolos. BIBLIOGRAFÍA
• • •
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Numeros/NumRom.htm www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc
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LECTURA N° 2: EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Material recopilado con fines instruccionales por: Ochoa, A. (2007). Los Números Reales. Artículo no publicado. Caracas
NÚMEROS REALES • Los números reales, tienen diversas funciones entre ellos: sirven para contar, los utilizamos
en las operaciones algebraicas y podemos ubicarlos en cada punto de la recta numérica. • Los números reales conforman el conjunto de todos los números que pueden expresarse con
decimales infinitos periódicos o no periódicos (en este caso un decimal finito, tal como 1,2 puede considerarse periódico de periodo 0 ya que 1,2 = 1,2000 . . .). El conjunto de los números reales es denotado por R. Representación de los Números Reales Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica). Se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego, dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4, ... (en este orden) a la derecha del cero y los números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la izquierda del cero.
NÚMEROS ENTEROS
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Enteros Negativos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Enteros Positivos
Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expresión decimal tal como se muestra en el ejemplo que sigue: Ejemplo: Representa en la recta numérica los números
Solución:
6 = 1,2 , 5
consideran
números
34
−7 = − 3,5 2 racionales.
6 −7 1 , ,π, . 5 2 3
y ya que son números con expresión decimal finita, se Para
1 = 0,33333... = 0,3ˆ 3
un
número
racional,
su
1 = 0,3 . Mientras que para 3 π = 3,14159265.... , es un número irracional, tomaremos una aproximación de π = 3,14. 6 −7 1 Usando estos resultados, podemos representar en la recta numérica , , π de la , 5 2 3 representación
la
haremos
con
una
aproximación
a
siguiente manera.
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Algunas definiciones: Origen: es el punto que representa el cero en la recta numérica. Números Reales Positivos: son los que se representan a la derecha del origen. Números Reales Negativos: son los que se representan a la izquierda del origen. Operaciones con Números Reales: En el conjunto de los números reales se encuentran definidas las operaciones básicas que son: la adición, la sustracción, la multiplicación y la división. Adición de Números Reales: La adición de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados sumandos, un único número real c, llamado suma de a y b. La adición es una función definida así:
a + b = c Sumandos
Suma
Sustracción de Números Reales: Es la operación inversa de la adición. Mientras en la adición se dan los sumandos y se trata de calcular la suma:
En la adición: a+d=m
Sumandos
En la sustracción; m–a=d
Suma
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En la sustracción se da la suma, llamada ahora minuendo y un sumando llamado sustraendo y se trata de calcular el otro sumando llamado diferencia:
m - a = d Diferencia Minuendo Sustraendo La diferencia d = m – a se calcula sumando al minuendo m el opuesto del sustraendo a: d = m – a = m + (–a) Multiplicación de Números Reales: La multiplicación de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados factores; un único número real c, llamado producto de a y b. La multiplicación es una función definida así:
a
Factores
·
b = c Producto
División de Números Reales: La división es la operación inversa de la multiplicación, mientras en la multiplicación se dan los factores y se trata de calcular el producto, en la división se da el producto llamado ahora dividendo y un factor llamado ahora divisor y se trata de calcular el otro factor, llamado cociente:
c = c ÷ a = b, (a ≠ 0) a
ó
c = c ÷ b = a, (b ≠ 0) b
en la división tenemos que:
a ÷b=c
si y sólo si
a =b⋅c
Potenciación de números reales: Una adición de sumandos iguales, se conviene en escribirlo en forma de producto, así tenemos:
7+7+7+7+7 = 5⋅7 cinco
3+3+3+3 = 4⋅3 cuatro
En forma similar, una multiplicación de factores iguales se conviene escribirlo en forma exponencial. Así tenemos: 4·4·4 = 43
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y
5·5·5·5·5·5·5 = 57
El pequeño número colocado en la parte superior derecha del factor que se repite es denominado exponente. El exponente indica el número de veces que el factor se repite. El factor que se repite recibe el nombre de base. El símbolo completo de base y exponente recibe el nombre de potencia. Así, 34 es la cuarta potencia de tres y 75 es la quinta potencia de siete. En general, si b es un número real y n un número entero positivo, entonces b n se le llama una potencia de base b y significa el producto de b por sí mismo n veces, es decir:
bn =
b ⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ ⋅ ⋅ ⋅b n veces
Por ejemplo: 52 = 5 · 5 = 25, la base 5 se multiplica por si misma tantas veces como lo indica el exponente (en este caso 2) y el resultado (25) recibe el nombre de potencia. La potencia de exponente 2 recibe el nombre de cuadrado. Así: 32 se lee "tres al cuadrado" o "el cuadrado de tres". La potencia de exponente 3 recibe el nombre de cubo. Así π 3 se lee "pi al cubo" o "el cubo de pi". Las potencias de exponentes 4, 5, 6. . . reciben el nombre de cuarta, quinta, sexta, . . . potencia. Así (2 − 5 ) 4 , se lee "cuarta potencia de 2 − 5 ó 2 − 5 a la cuarta". Se conviene en lo siguiente: i.
Cuando la potencia de base un número real no nulo y de exponente cero, es igual a uno: a0 = 1, a ≠ 0.
ii. Cuando la potencia de base un número real y exponente uno (1) es igual al mismo numero real: 101 = 10; ( 2 − 3)1 = 2 − 3 π 1 = π 1 b1 = b Radicación de Números Reales: La radicación es una de las operaciones inversas de la potenciación. Mientras en la potenciación se dan la base y el exponente para calcular la potencia: bn = ?, en la radicación se da la potencia y el exponente para calcular la base: n p = b Propiedades de los números reales (en la adición): a) Propiedad Conmutativa: en la adición de números reales, el orden de los sumandos no altera la suma. Es decir, si a y b son los números reales, entonces: a+b=b+a se dice que la adición de números reales cumple la propiedad conmutativa. Ejemplo: 2 + 7 = 9
y
7+2=9
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b) Propiedad Asociativa: en la adición de números reales, la forma de agrupar los sumandos no altera la suma. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c), se dice que la adición de números reales cumple la propiedad asociativa.
7 + [5 + (− 4 )]
Ejemplo:
7 +1
=
[7 + 5] + (− 4) 12 + (− 4 )
8
=
8
=
c) Existencia de Elemento Neutro: en el conjunto de los números reales, el número real cero (0) es el elemento identidad o neutro para la adición porque, la suma de cualquier número “a” con el cero es el mismo número real “a”. Es decir, si “a” es un número real, entonces:
a + 0 = 0 + a = a. d) Existencia de Elementos Simétricos Opuestos: para cualquier número real a, existe otro número real –a, llamado opuesto de a, tal que: a + (-a) = 0. Así, la suma de un número real y su opuesto es igual al elemento identidad o neutro para la adición, es decir cero (0). Por ejemplo: 5 + (-5) = 0 Las propiedades de los Números Reales (en la Sustracción): a) Si a y b son números reales, entonces su diferencia a - b es un número real. A causa de esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la sustracción. b) La sustracción de números reales no es conmutativa. Ejemplo: 3 – 5 ≠ 5 - 3 c) La sustracción de números reales no es asociativa. Observa: (3√2 – √2) – 3√2 (2√2)
3√2 – (√2 – 3√2)
– 3√2 – √2
3√2 – ≠
(–2√2)
5√2
(3√2 – √2) – 3√2 ≠ 3√2 – (√2 – 3√2) d) El número real cero (0) es un elemento identidad o neutro por la derecha para la sustracción. Observa que la diferencia de cualquier número a menos 0 es igual al numero a: √2 – 0 = √2 5-0=5 (3√2 – √2) – 0 = (3√2 – √2).
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Pero cero no es elemento identidad o neutro por la izquierda. En efecto, 0–a≠ a
0− 3 ≠ 3
0–2≠2
Propiedades de los Números Reales (en la Multiplicación): a) Si a y b son números reales, entonces su producto a · b es un número real. A causa de esta propiedad, se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la multiplicación. b) Propiedad conmutativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces: a·b=b·a Ejemplos: 5 · 3 = 15
6 · √2 = 6√2
− 2 ⋅ π = − 2π
3 · 5 = 15
√2 · 6 = 6√2
π ⋅ (− 2 ) = − 2π
c) Propiedad asociativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a , b y c son dos números reales, entonces: a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c) Ejemplo: (2 · 3) · (-4)
2 · (3 · -4))
6 · (-4) -24
2 · (-12) =
-24
d) Existencia de elemento identidad o elemento neutro: en el conjunto R de los números reales, el número real uno (1) es el elemento identidad o neutro para la multiplicación porque el producto de cualquier número “x” por 1 es x. Es decir, si a es un número real, entonces: a·1=1·a = a e) Existencia de elemento simétrico o inverso: para cualquier número real no nulo a , existe otro número real 1 a = a −1 , llamamos inverso de a , ya que:
a⋅
1 =1 a
a ⋅ a −1 = 1
f) Propiedad distributiva con respecto a la adición: así, el producto de un número real por una suma indicada, se multiplica el número por cada uno de los sumandos y luego se suman los productos obtenidos. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces: (a + b) · c = (a · c) + (b · c) Ejemplo:
2⎞ ⎛ ⎜3 − ⎟ ⋅ 4 5⎠ ⎝
=
(3 ⋅ 4) − ⎛⎜ 2 ⋅ 4 ⎞⎟ ⎝5
⎠
39
⎛ 13 ⎞ ⎜ ⎟⋅4 ⎝5⎠
=
12 −
52 5
=
52 5
8 5
g) Factor cero: todo número multiplicado por cero da cero. Es decir, si a es un número real entonces: a·0=0
√3 · 0 = 0
3·0=0
(-4) · 0 = 0
Propiedades de los números reales en la división: a) Si a y b son números reales, con b ≠ 0, entonces su cociente a / b o a ÷ b es un número real. Debido a esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la división, con divisor no nulo. b) La división de números reales no es conmutativa. Observa que: 8÷2≠2÷8 4 ≠ 0,25 c) La división de números reales no es asociativa; observa que: (16 ÷ 4) ÷ 2
16 ÷ (4 ÷ 2)
=
4 ÷2
= 16 ÷ 2
=
2
= 8
y como 2 ≠ 8 entonces: (16 ÷ 4) ÷ 2 ≠ 16 ÷ (4 ÷ 2) d) El número real uno (1) es elemento identidad por la derecha para la división. Observa que el cociente de cualquier número real “x” entre 1 es igual al número x: x÷1=x pero 1 no es elemento identidad por la izquierda: 1 ÷ 3 = 0,333 ≠ 3 e) El divisor en una división siempre debe ser diferente de cero.
Propiedades de los Números Reales en la Potenciación: Producto de potencias de igual base:
a.)
40
34 ⋅ 32 = (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) ⋅ (3 ⋅ 3) = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36
⎛ −1⎞ b.) ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠
3
⎛ − 1 ⎞ ⎡⎛ − 1 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ ⎛ − 1 ⎞⎤ ⎛ − 1 ⎞ − 1 − 1 − 1 − 1 ⎛ − 1 ⎞ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟⎥ ⋅ ⎜ ⎟ = ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎣⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠⎦ ⎝ 5 ⎠ 5 5 5 5 ⎝ 5 ⎠
4
El producto de potencias de igual base, es otra potencia que tiene la misma base y como exponente la suma de los exponentes de cada factor: a n ⋅ a m = a n + m Ejercicios Usando la propiedad anterior, determina el valor de k en cada uno de los siguientes casos, para que la igualdad sea verdadera. 2. 5 k ⋅ 5 3 = 5 7
1. 2 3 ⋅ 2 7 = 2 k
4. 7 ⋅ 7 k = 71 ⋅ 1
(− 3)2 ⋅ (− 3) = (− 3)k
3.
Potencia de una Potencia: Considera los dos ejemplos siguientes:
( )
a) 9 2
3
= 9 2 ⋅ 9 2 ⋅ 9 2 = (9 ⋅ 9) ⋅ (9 ⋅ 9 ) ⋅ (9 ⋅ 9) = 9 6
2
3 3 6 ⎡⎛ − 2 ⎞ 3 ⎤ ⎡⎛ − 2 ⎞ ⎛ − 2 ⎞ ⎛ − 2 ⎞⎤ ⎡⎛ − 2 ⎞ ⎛ − 2 ⎞ ⎛ − 2 ⎞⎤ ⎛ − 2 ⎞ ⎛− 2⎞ ⎛− 2⎞ b) ⎢⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = ⎢⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎥ ⋅ ⎢⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎥ = ⎜ ⎟ ⎥ = ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
( )
m
Proposición: a n = a n⋅m para resolver la potencia de una potencia, se copia la misma base y se multiplican los exponentes. Ejercicios: Usando la propiedad anterior, determina el valor de k en cada uno de los siguientes casos para que la igualdad sea verdadera. 5.
(5 )
7.
(11 )
2 5
= 5k
k 4
= 1124
6.
(a )
2 k
= a12 3
k ⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ ⎛1⎞ 8. ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎣⎢⎝ 3 ⎠ ⎦⎥
Cociente de Potencias de Igual Base: Observa los siguientes ejemplos:
41
a)
65 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = = 6 ⋅ 6 = 62 63 6⋅6⋅6
b)
84 8⋅8⋅8⋅8 1 1 = = = 3 7 8 8⋅8⋅8⋅8⋅8⋅8⋅8 8⋅8⋅8 8
an = a n−m el cociente de potencias de igual base, es otra potencia que tiene la m a
Proposición:
misma base elevada a la diferencia de los exponentes, Ejercicios: Usando la propiedad anterior determina el valor de k en cada uno de las siguientes casos, para que la igualdad sea verdadera:
9.
57 = 5k 4 5
11.
(− 4)4 (− 4)k
=
7k = 7 72
10.
(− 4)
2
116 −2 12. k = (− 11) 11
Potencia de exponente negativo: Considera los ejemplos siguientes: 2
a) 4
−2
12 1 ⎛1⎞ = ⎜ ⎟ = 2 = 2 4 4 ⎝4⎠
⎛1⎞ c) ⎜ ⎟ ⎝2⎠
−3
=
1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
3
(− 7 )
−4
b)
⎛2⎞ d) ⎜ ⎟ ⎝5⎠
−3
4
14 1 ⎛ 1 ⎞ = = ⎜ ⎟ = 4 (− 7 ) (− 7 )4 ⎝−7⎠ 3
53 ⎛5⎞ = ⎜ ⎟ = 3 2 ⎝2⎠
Para calcular una potencia de exponente negativo, se escribe el inverso de la base elevada al mismo exponente con signo positivo. Según lo dicho anteriormente, debería escribirse
Proposición: a −n =
(a )
−n
n
1 ⎛1⎞ = ⎜ ⎟ = (a )n ⎝a⎠
1 an
Ejercicios: Usando la propiedad anterior determina el valor de k en cada uno de los siguientes casos, para que la igualdad sea verdadera:
42
13. − (7) −3 =
⎛7⎞ 15. ⎜ ⎟ ⎝5⎠
−2
14. (k )
1 k3
⎛5⎞ = ⎜ ⎟ ⎝7⎠
−3
k
16.
⎛k⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠
1 (6)3
=
−4
⎛ 3 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −5⎠
4
Potencia de un producto. Considera el ejemplo siguiente: 4 4 a) (3 ⋅ 5) = (3 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 5) = (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5) = 3 ⋅ 5 4
El ejemplo anterior ilustra la siguiente proposición:
(a ⋅ b )n = a n ⋅ b n Ejercicios: Usando la propiedad anterior, determina el valor de k en cada uno de las siguientes casos, para que la igualdad sea verdadera: 17. (4 ⋅ 7 ) = 4 k .7 3
18. (8 ⋅ k ) = 8 4.7 4
3
4
19. (6 ⋅ 9 ) = 6 5.9 5 k
7
3 ⎛ 2 3⎞ 20. ⎜ ⋅ ⎟ = k 7 . 5 ⎝ 7 5⎠
7
Potencia de un cociente: Considere los dos ejemplos siguientes:
⎛5⎞ ⎝4⎠
3
⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎝ 4⎠ ⎝4⎠ ⎝4⎠
a) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =
5 ⋅ 5 ⋅ 5 53 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 43
⎛−9⎞ ⎛ − 9 ⎞ ⎛ − 9 ⎞ ⎛ − 9 ⎞ ⎛ − 9 ⎞ (− 9) ⋅ (− 9) ⋅ (− 9) ⋅ (− 9) (− 9 ) = ⎟ =⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟= 7⋅7⋅7⋅7 74 ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ 4
4
b) ⎜
Los ejemplos anteriores ilustran la siguiente proposición: n
an ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = n b ⎝b⎠
43
Ejercicios: Usando la propiedad anterior, determina el valor de que la igualdad sea verdadera: 5
en cada uno de las siguientes casos para
3
25 ⎛2⎞ 21. ⎜ ⎟ = k 3 ⎝3⎠
8 ⎛4⎞ 22. ⎜ ⎟ = 125 ⎝k⎠
− 27 ⎛ −3⎞ 23. ⎜ ⎟ = 64 ⎝ 4 ⎠
5 2+ k ⎛5⎞ 24. ⎜ ⎟ = 64 ⎝2⎠ 6
k
Ejercicios: Determina la fracción canónica correspondiente a cada una de las siguientes expresiones:
25.
2 2 ⋅ 35 ⋅ 2 4 = 32 ⋅ 2 7
26.
2
⎡ 2 2 ⋅ 35 ⋅ 4 2 ⎤ 28. ⎢ ⎥ = 2 4 ⎣ 3 ⋅2 ⎦
(3 ) ⋅ (− 3 ) 31. 4 3
2 4
(− 3)15 ⋅ 3 4
=
29.
32.
(− 25)6 ⋅ 1410 ⋅ (− 4)0 (− 7 )10 ⋅ 1010 − 3 −2 ⎛ 4⎞ ⎜1 + ⎟ ⎝ 3⎠
2
=
27.
3 + 2 −1 = 32 ⋅ 2 7
⎛1⎞ 23 + 25 − ⎜ ⎟ ⎝8⎠ 30. 4 2 ⋅3
=
− 3 ⋅ 4 −1 + 1 + 2 ⋅ 4 −2 4 −1 − 2 ⋅ 4 − 2
33.
−1
=
4 −3 ⋅ 6 2 2 −8 ⋅ 3 2
Relaciones de Orden en el Conjunto de los Números Reales La relación "menor que" (<) En el conjunto de los números reales se define una relación, llamada "menor que", de la siguiente manera. Definición: Si a y b son números Reales (a ∈ R
y b ∈ R ) se dice que a < b , si a − b es un
número negativo. Ejemplo: a.)
2 < 3 pues 2 − 3 = −1 y − 1 es negativo
b.)
− 3 < −1 pues − 3 − (− 1) = −2 y − 2 es negativo − 5 < 2 pues − 5 − 2 = −7 y − 7 es negativo − 6 < 0 pues − 6 − 0 = −6 y − 6 es negativo
c.) d.)
44
De la definición de la relación "menor que" se tiene que todo número negativo es menor que cero. La relación "mayor que" (>) Definición: Si a y b son números Reales (a ∈ R número positivo.
y b ∈ R ) se dice que a > b , si a − b es un
Ejemplo: a.)
5 > 2 pues 5 − 2 = 3 y 3 es positivo
b.)
3 > −1 pues 3 − (− 1) = 4 y 4 es positivo − 2 > −4 pues − 2 − (− 4 ) = 2 y 2 es positivo 7 > 0 pues 7 − 0 = 7 y 7 es positivo
c.) d.)
De la definición de la relación "mayor que" se tiene que todo número positivo es mayor que cero. d) Algunas propiedades de la relación "menor que" Si a , b y c son números Reales (a ∈ R
, b∈R
y c ∈ R ) entonces:
i.
Sólo una de las siguientes condiciones es verdadera: a < b, a > b ó a = b
ii.
Si a < b y b < c entonces a < c Ejm. 2 < 4 y 4 < 7 entonces 2 < 7
iii.
⎧a > 0 y b > 0 ⎪ a ⋅b > 0 ⇔ ⎨ ó ⎪a < 0 y b < 0 ⎩
Ejm.
⎧a > 0 y b < 0 ⎪ a ⋅b < 0 ⇔ ⎨ ó ⎪a < 0 y b > 0 ⎩
Ejm.
iv.
2 ⋅ 5 = 10 > 0 ya que 2 > 0 y 5 > 0 (− 2) ⋅ (− 4) = 8 > 0 ya que − 2 < 0 y − 4 < 0
(− 3) ⋅ 9 = (− 27 ) < 0 ya que − 3 < 0 6 ⋅ (− 1) = (− 6) < 0 ya que 6 > 0 y
v.
Si a < 0 entonces 0 < −a Ejm. − 8 < 0 entonces 0 < −(− 8) es decir 0 < 8
vi.
Si a < b entonces − b < −a Ejm. − 2 < 3 entonces − 3 < −(− 2 ) es decir r − 3 < 2
vii.
Si a < b entonces a + c < b + c Ejm. − 7 < 2 entonces − 7 + 5 < 2 + 5
y 9>0 −1 < 0
Si además b ≠ 0 viii. a
Si
b
> 0 entonces a ⋅ b > 0 45
Ejm. ix.
Si
1 > 0 entonces 1 ⋅ 3 > 0 3
a < 0 entonces a ⋅ b < 0 b −1 Ejm. < 0 entonces (− 1) ⋅ 3 < 0 3
si c > 0 x.
Si a < b entonces a ⋅ c < b ⋅ c Ejm. − 3 < 1 entonces − 3 ⋅ 9 < 1 ⋅ 9
Y si c < 0 xi.
Si a < b entonces a ⋅ c > b ⋅ c Ejm. − 1 < 4 y c = (− 2 ) entonces (- 1) ⋅ (− 2 ) > 4 ⋅ (− 2 ) es decir 2 > (− 8)
Observaciones: • Si en cada una de las propiedades anteriores se sustituye el símbolo “<” por el símbolo “>”; las propiedades que se obtienen son ciertas y corresponden a la relación "mayor que". •
Si a y b son números reales, la expresión a < b es equivalente a decir que b > a . Simbólicamente se escribe:
a<b → b>a Ejemplos: a)
2 < 3 es equivalente a 3 > 2
b)
− 5 < −1 es equivalente a − 1 > −5
c)
− 2 < 0 es equivalente a 0 > −2
Notación: la expresión a < b o a = b usualmente se escribe a ≤ b . La expresión a ≤ b se lee a es menor o igual que b . Observación: para que a ≤ b sea verdadera, basta con que se cumpla una de las siguientes condiciones: a < b o a = b . Ejemplos: a)
4 ≤ 6 es verdadera, pues 4 < 6
b)
2 ≤ 2 es verdadera, pues 2 = 2
c)
5 ≤ 3 es falsa, pues no se cumple 5 < 3 ni 5 = 3
46
Notación: la expresión a > b o a = b usualmente se escribe a ≥ b . Y se lee a es mayor o igual a b . Observación: para que a ≥ b sea verdadera basta con que se cumpla una de las siguientes condiciones: a > b ó a = b Ejemplos: a) b)
3 ≥ −2 es verdadera, pues 3 > −2
c)
− 2 ≥ 0 es falsa, pues no se cumple − 2 > 0 ni − 2 = 0
6 ≥ 6 es verdadera, pues 6 = 6
Valor absoluto en el Conjunto de los Números Reales Definición: Sean a y b números reales ( a ∈ R y b ∈ R ) y supongamos que a ≤ b ; se llama distancia entre a y b , al número no negativo que resulte de b − a .
b−a
a
b
Notemos que la distancia entre dos números reales diferentes entre sí, es un número positivo, pues el menor se resta del mayor. Véanse los siguientes ejemplos: a) La distancia entre 1 y 4 es 3, pues 4 – 1 = 3 b) La distancia entre 2 y -3 es 5, pues 2 – (-3) = 2 + 3 = 5 c) La distancia entre -7 y -4 es 3, pues (-4) – (-7) = (-4) + 7 = 3 Ejercicio: Para cada uno de los casos siguientes, determina la distancia entre los números a y b si: 34. a = 2
b=9
35. a = −3
b=5
36. a = 0
37. a = 2
b = −7
38. a = −1
b = −9
39. a = −4
b=6 b=0
Orden en el conjunto de los números reales: Supongamos que se desea calcular la distancia entre 0 y un número real x cualquiera. A esta distancia la denotaremos por x y se llama valor absoluto de x .
47
Así: x indica la distancia entre x y 0 . Ejemplo:
a) 6 = 6 1
2
3
4
5
6
0
6
b) − 5 = 5 1
2
3
4
5
-5
0
En general, sea x ∈ R i.
Si x > 0 ; tenemos que x = x − 0 = x , o sea, si x > 0 entonces x = x .
a−0
0
a
ii. Si x < 0 ; tenemos que x = 0 − x = − x , o sea, si x < 0 entonces x = − x .
0− x
x
0
iii. Si x = 0 ; tenemos que x = 0 − 0 = 0 , o sea, si x = 0 entonces x = −0 . Así tenemos la siguiente definición:
48
Para cada número real x , definimos su valor absoluto, y lo representamos por x de la manera siguiente:
x =x
si
x≥0 o
x = −x
si
x<0
Ejercicios: Usando la definición de valor absoluto, calcula: 41. − 13
40. 11 43.
2 5
44. −
42. 0
3 4
45. − 115
Reglas de los Signos:
En suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Ejemplos:
b) (-2) + (-7) = -9
Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor valor absoluto. Ejemplos:
a) 5 + 8 = 13
a) (-5) + 8 = +3
b) 2 + (-9) = -7
En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números tienen signos opuestos, el resultado es negativo. Ejemplos:
a) 5 · 8 = 40
b) 2 · (-9) = -18
c) (-1) · (-4) = 4
d) (-3) · 6 = -18
Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas: Primero: resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación. Segundo: Evaluar las expresiones exponenciales. Tercero: Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. Cuarto: Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Ejemplo:
12 ⋅ (9 − 7 ) + 4 ⋅ 5 34 + 2 3
= =
12 ⋅ (2 ) + 4 ⋅ 5 34 + 2 3 12 ⋅ (2 ) + 4 ⋅ 5 81 + 8
49
=
24 + 20 81 + 8
=
44 89
Subconjuntos que conforman el Conjunto de números reales En este curso se estudiará el conjunto de números reales, el cual se denota con la letra mayúscula R. Este conjunto se forma de la unión de los siguientes conjuntos:
El conjunto de números Naturales denotado por N N = {1,2,3,...} Se conoce como el conjunto de números que se usa para contar.
El conjunto de números Enteros denotado por Z Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
El conjunto de números Racionales denotado y definido por Q
⎫ ⎧a Q = ⎨ , siendo a ∈ Z , b ∈ Z y b ≠ 0⎬ ⎭ ⎩b Estos números representan el cociente entre dos enteros, pues:
a = a ÷b b Ejemplos:
1 4 16 21 9 0 , , , , , 2 10 8 5 9 11
El conjunto de números Irracionales denotado por I y definido por I = {decimales infinitos no repetitivos} Estos números no se pueden expresar como un cociente entre dos enteros. Ejemplos:
2, π , 3
Anota y recuerda: Todo número entero se puede escribir como un número racional de la forma a =
Ejemplos:
50
a o una fracción equivalente : 1
a) 2 =
4 2 ó 2= 1 2
b) − 8 =
−8 ó 1
−8 =
− 72 9
Un número racional equivalente a 1 se escribe de la forma
Ejemplo: 1 =
a a
1 2 − 3 − 14 = = = 1 2 − 3 − 14
Todo número racional puede escribirse como un decimal finito o un decimal infinito repetitivo. Ejemplos:
1 = 0,5 2
decimal finito
1 = 0, 3 3 decimal infinito repetitivo La relación entre los conjuntos antes mencionados es:
R
Q
Z
Q I
N
51
LECTURA N° 3 : EL MUNDO DE LAS PROPORCIONES Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar: Matemática para todos. Fascículo 10. (pp. 153-155 y 145-151). [Consulta en Línea]. Octubre 2007
La Divina Proporción El Rectángulo de Oro En 1876, el filósofo alemán Gustav Theodor Fechner (18011887) hizo un estudio sobre los rectángulos con proporciones especiales entre sus lados. Cerca del 75% de los encuestados seleccionaron los Rectángulos de Oro como más estéticos y placenteros a la vista y al gusto, entre un grupo de formas rectangulares. La selección de los rectángulos cuya razón entre
las
longitudes
de
sus
lados
es:
(1 + 5 ) ÷ 2
aproximadamente 1,618: la Razón de Oro o Divina Proporción
P
C
Observa la construcción del rectángulo de oro
5 2
B
1 2
1 1
Se dibuja un cuadrado
1 M
5 2
1 2 Se determina M, punto medio de un lado.
Con un radio MB se traza Un arco para determinar P.
M
M
1 2
1 2 Q
A
Rectángulo de oro ACPQ QP 1 + 5 = QA 2
Los griegos y las proporciones: Estos rectángulos especiales son llamados Rectángulos de Oro. Las cartas de barajas, muchas puertas, ventanas y portadas de libros, son ejemplos de Rectángulos de Oro. Los griegos utilizaron la Razón de Oro para casi todas sus esculturas y construcciones. El Partenón tiene muchos Rectángulos de Oro. El investigador norteamericano Jay Hambidge estableció que la razón de oro está presente en las proporciones del ser humano. La razón de la altura (b) del ser humano a la altura (h) del ombligo es muy próxima a la Razón de Oro. La razón en el brazo y la razón en la cabeza son también razones próximas a la Razón de Oro.
52
Las escaleras de casas, edificios o calles guardan una relación entre la altura de los escalones y el ancho del escalón. Además, se construyen de forma tal que la altura del escalón sea proporcional a la altura promedio de las personas. Cuando una escalera mecánica está parada se hace mayor esfuerzo para subir por ella. La altura de los escalones no son proporcionales a la altura promedio de las personas.
Proporcionalidad y Belleza Alguna vez hemos escuchado una expresión como esta: ¡qué bien proporcionada está esa chica!, sus medidas son 90-60-90. Esto significa que la medida de su busto y de su cadera es de 90 cm. y la de su cintura 60 cm. si además de esto, su cuerpo está distribuido según el estudio de las proporciones humanas (que Le Corbusier ha hecho de las relaciones que den cumplir las diferentes partes del cuerpo humano para ser considerado perfecto), y su cara está demarcada por los “rectángulos de oro” (rectángulo cuya proporción
entre
sus
lados
es
aproximadamente
1,618)
consideremos que una persona que cumpla con todas estas condiciones es bella matemáticamente. Entonces podríamos preguntarnos: ¿Qué es la belleza? Cabe definir la belleza como el conjunto de cualidades cuya manifestación sensible produce un deleite espiritual, un sentimiento de admiración. La belleza resulta de armonías y contrastes de líneas, colores, formas, tono y palabras, que sugieren o presentan atractivos de la naturaleza, situaciones humanas, logros, anticipaciones o sueños. En el siglo XIII Santo Tomás de Aquino formuló lo siguiente: “los sentidos se deleitan en la cosas debidamente proporcionadas” (Matemáticas, Colección Científica de ime Life, 1971, México). Santo Tomás se refería a la relación directa y frecuentemente manifiesta que existe entre la belleza y la matemática, la cual se encuentra presente a lo largo de la historia con el denominado número de oro, también conocido como la “divina proporción” Este es un número que tiene un valor aproximado de 1.618 y que aparece en la relación que se establece entre los lados que están en proporción de oro en un rectángulo.
53
LECTURA N° 4: PROPORCIONES Y PORCENTAJES Tomado con fines instruccionales de: Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas, M., (2006). Proporciones y Porcentajes, Artículo no publicado. Caracas.
Proporciones Cuando hablamos de Proporción queremos significar que existe algún tipo de correspondencia entre dos procesos. Existen muchas situaciones de la vida cotidiana que involucran una relación constante entre dos o más variables. Estas pueden ser: Proporcionalidad directa La proporcionalidad directa entre dos variables supone que cuando una de las variables aumenta, la otra también lo hace. Este concepto implica la idea de “crecimiento conjunto”, donde la contribución de una de las variables ( x ) afecta siempre de la misma manera a la otra ( y ). Si esto se cumple podemos escribir que:
y = kx Donde
k > 0 y representa dicha contribución, también es la llamada constante de
proporcionalidad. Es importante destacar que existen otras maneras de expresar relaciones de proporcionalidad directa entre variables como sigue: a) 1 : 2 como A : B Se lee “1 es a 2 como A es a B”, lo cual quiere decir que A es proporcional a B de la misma manera que 1 es proporcional a 2 y significa que:
A 1 = B 2 por lo tanto, este valor está indicando la constante de proporcionalidad. Ejemplo 1: la compra de alimentos, por regla general, es un clásico ejemplo de proporcionalidad directa. Si 1 Kg de carne cuesta BsF. 11,2 y realizo una compra de 4,25 Kg ¿Cuánto debo cancelar? Mientras mayor cantidad de carne (c) compre mayor será el monto a cancelar (d) por lo tanto, la correspondencia es directamente proporcional. En consecuencia, podemos escribir: d = k ⋅ c Buscamos el valor de k
54
k=
d ⇒ BsF . 11,2 BsF ⇒ c k= k = 11,2 1 Kg Kg
Una vez encontrado el valor de la constante sustituimos en la primera ecuación
d = 11,2
BsF ⇒ BsF ⋅c d = 11,2 ⋅ 4,25 Kg ⇒ d = 47,6 BsF Kg Kg
Ahora bien, “ y ” puede ser proporcional no sólo a “ x ”. Pueden darse casos donde la proporcionalidad viene dada por el cuadrado de “ x ”, es decir y = k ⋅ x 2 o por la raíz cuadrada de ” x ”, lo cual quedaría expresado como
y=k⋅ x. Ejemplo 2: la velocidad de aterrizaje de un aeroplano es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su masa. Si un aeroplano que tiene una masa de 1.600 Kg aterriza a 80 Km/h. ¿Con qué velocidad aterrizaría si pesara 2.500 Kg? Mientras mayor masa (m) tenga el aeroplano, aterrizará con mayor velocidad (v) por lo que en este caso la correspondencia es directamente proporcional, pero a la raíz cuadrada de la masa, como lo indica el enunciado del problema. Por lo tanto, podemos plantear:
v=k m Buscamos el valor de k
80
Km = k 1600 Kg h
Km h k= 1600 Kg 80
k =2
Km h ⋅ Kg
Para calcular 1.600 Se descompone la cantidad sub radical 1600 800 400 200 100 50 25 5 1
2 2 2 2 2 2 5 5
1.600 = 2 6 ⋅ 5 2 Al calcular la raíz cuadrada resulta 2 6 ⋅ 5 2 = 2 3 ⋅ 5 = 40
Una vez encontrado el valor de la constante sustituimos en la primera ecuación
⎛ Km v = ⎜2 ⎜ h ⋅ Kg ⎝
⎞ ⎟ m ⎟ ⎠
Para una masa de 2.500 Kg sería:
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⎛ Km v = ⎜2 ⎜ h Kg ⎝
⎞ ⎟ 2.500 Kg ⎟ ⎠
⎛ Km v = ⎜2 ⎜ h Kg ⎝
⎞ ⎟ ⋅ 50 Kg ⎟ ⎠
Para calcular 2.500 Se descompone la cantidad sub radical
2500 1250 625 125 25 5 1
Km v = 100 h
2 2 5 5 5 5
2.500 = 2 2 ⋅ 5 4 Al calcular la raíz cuadrada resulta
Proporcionalidad inversa La proporcionalidad inversa
entre dos variables supone que cuando al crecer una de las
variables la otra decrece. En este caso la relación entre las variables “ x ” e “ y ” viene dada por la expresión:
y=k
1 x
Ejemplo 3: 8 jóvenes piensan salir de campamento con víveres para 24 días; llegado el momento, 2 de ellos deciden no ir. ¿Para cuántos días alcanzarán los víveres? Si 8 jóvenes podían vivir 24 días, al disminuir la cantidad de jóvenes ( j ) los alimentos durarán más días (d); la correspondencia es inversamente proporcional, por lo tanto podemos escribir:
d =k
1 j
Buscamos el valor de k
k = d ⋅ j ⇒ k = 24
días ⋅ 8
jóvenes ⇒ k = 192 días ⋅ jóvenes
Una vez encontrado el valor de esta constante sustituimos en la primera ecuación
d = 192 días ⋅ jóvenes ⋅
1 j
⇒ d = 192 días ⋅ jóvenes ⋅
1 ⇒ d = 32 días . 6 jóvenes
Esto significa que los víveres alcanzarán ahora para 32 días. Regla de tres Una de las aplicaciones más importantes de las proporciones se encuentra en la resolución de problemas de regla de tres simple y compuesta. La regla de tres es una operación aritmética que consiste en calcular el cuarto término de una proporción, conocidos los otros tres.
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En este tipo de problemas, la parte conocida del planteamiento de las proporciones se conoce con el nombre de supuesto, mientras que los datos de la parte que contiene la incógnita, recibe el nombre de pregunta. La regla de tres puede ser: a) Regla de tres simple directa es cuando solamente intervienen en ella dos variables que se relacionan con proporcionalidad directa. Ejemplo 4: Si 4 pelotas cuestan Bs.F. 34,6 ¿Cuánto costarán 16 pelotas? Aquí el supuesto es: “Si 4 pelotas cuestan Bs.F. 34,6” y la pregunta puede escribirse como: “¿16 pelotas cuánto costarán?” El planteamiento de la Regla de Tres sería:
4 pelotas → Bs.F . 34.6 16 pelotas → Bs.F . x Esto es equivalente a:
Bs. x =
Bs.F . 34,6 Bs.F . x = 4 pelotas 16 pelotas
(Bs.F .
34,6) ⋅ (16 pelotas ) ⇒ Bs .F . x = Bs .F . 138 , 4 4 pelotas
Lo cual quiere decir que 16 pelotas costarán Bs.F. 138,4. b) Regla de tres simple inversa es cuando solamente intervienen en ella dos variables que se relacionan con proporcionalidad inversa. Ejemplo 5: Cuatro obreros hacen una obra en 12 días ¿En cuántos días la harían 7 obreros? Aquí el supuesto es: “Si 4 obreros realizan la obra en 12 días” y la pregunta puede escribirse como: “¿7 obreros en cuántos días la realizarán?” El planteamiento de la Regla de Tres sería:
4 obreros → 12 días 7 obreros → x días A mayor cantidad de obreros menos días para terminar la obra, es decir, la correspondencia es inversamente proporcional.
(12 días ) ⋅ (4 obreros ) x días 4 obreros = x días = 12 días 7 obreros ⇒ 7 obreros ⇒ x = 6,9 días ≈ 7 días . Es decir, los 7 obreros necesitarán aproximadamente 7 días.
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c) Regla de tres compuesta: es cuando intervienen tres o más variables. El método de resolución consiste en descomponer la Regla de Tres Compuesta en Reglas de Tres Simples y luego multiplicar ordenadamente las proporciones formadas. Al formar cada Regla de Tres Simple se considera que las demás magnitudes no varían. Ejemplo 6: Si 3 hombres trabajan 8 horas diarias y terminan 80 metros de una obra en 10 días, ¿cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros? Aquí el supuesto es: “Si 3 hombres trabajando 8 horas diarias y terminan 80 metros de la obra en 10 días”, lo cual también se puede escribir: 3 hombres → 8 horas diarias → 80 metros → 10 días y la pregunta puede escribirse como: “¿5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros en cuántos días lo harán?” y puede escribirse como: 5 hombres → 6 horas diarias → 60 metros → x días? En este caso tenemos 3 proporciones: i. Hombres vs días para completar la obra 3 hombres realizan la obra en 10 días 5 hombres realizan la obra en x días A mayor cantidad de hombres menos días para terminar la obra, es decir, la correspondencia es inversamente proporcional:
5 10 = 3 x ii. Horas diarias trabajadas vs días para completar la obra con 8 horas diarias se completa la obra en x días con 6 horas diarias se completa la obra en y días A mayor cantidad de horas diarias la obra se completa más rápido, es decir, en menor cantidad de días, por lo que la relación es inversamente proporcional.
6 x = 8 y iii. Días empleados para terminar la obra vs cantidad de metros completados 80 metros se realizan en y días 60 metros se realizan en z días
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80 y = 60 z
Si multiplicamos término a término las proporciones resulta:
10 ⋅ 3 5 ⋅ 6 ⋅ 80 10 ⋅ x ⋅ y ⇒z= ⇒ z=6 = 5 3 ⋅ 8 ⋅ 60 x ⋅ y ⋅ z Es decir, se necesitarán 6 días, trabajando 5 hombres, 6 horas diarias para hacer 60 metros de la obra. Porcentajes El porcentaje de un número o tanto por ciento significa “cierta parte de 100”. Las formas más usuales de expresar un porcentaje son la forma fraccionaria y la forma decimal. El 4% de 80 se puede escribir en forma de fracción como
4 de 80, es decir, las cuatro centésimas partes 100
de 80. Ochenta se divide en cien partes iguales y se toman cuatro y visto como un decimal, es decir,
4 = 0,04 de 80. En esta temática se pueden observar ejercicios que contemplan 100
cuatro casos: 1.- Encontrar el tanto por ciento de un número: Hallar el 20% de 30 El 100% es 30; por tanto el 20% de 30 será x
100% → 30 20% → x
⇒ x=
30 ⋅ 20% =6 100%
Directamente se puede calcular el porcentaje multiplicando el porcentaje escrito en forma decimal por el número. Así, en el ejemplo anterior se haría el cálculo de la siguiente manera: Como 20% =
20 = 0.20 , tenemos que el 20% de 30 es igual a: 100
0.20 .30 = 6 2.- Encontrar el número cuando se conoce un tanto por ciento del mismo: ¿De qué número es 46 el 23%? El 23% del número que se busca es 46 y el 100%, es decir, el número buscado será x :
23% → 46 100% → x
x=
100% ⋅ 46 = 200 23% 59
3.- Encontrar qué porcentaje es un número de otro: ¿Qué tanto por ciento es 840 de 2.940?
2.940 → 100% 840 → x%
x=
840 ⋅ 100% = 28,6% 2940
Aumentos y disminuciones porcentuales: Las situaciones que indican el aumento del valor de un objeto o el descuento de otro pueden expresarse como porcentajes. 4.- Ejemplo de aumento porcentual: Si un metro de tela cuesta Bs.F.15 ¿En cuánto debe venderse para ganar el 15% del costo? Primero buscamos el porcentaje que se desea aumentar
100% → Bs.F .15 15% → Bs.F .x
x=
15% ⋅ Bs.F . 15. = Bs.F . 2.25 100%
El aumento es de Bs.F. 2.25 por lo tanto el precio en que la tela debe venderse corresponde a la suma del precio costo más el aumento porcentual o ganancia, es decir:
Bs.F .15 + Bs.F . 2.25 = Bs.F .17.25 5.- Ejemplo de disminución porcentual: Arturo debe BsF. .900. Si le rebajan el 5% de su deuda ¿Cuánto pagará?
100% → Bs.F . 900 5% → Bs.F . x
x=
5% ⋅ Bs.F . 900 = Bs.F . 45 100%
El descuento que le realizaron a la deuda de Arturo es de Bs.F. 45. Para conocer cuánto debe pagar efectuamos una resta:
Bs.F . 900 − Bs.F . 45 = Bs.F . 855 Ejemplo de Interés Por medio de la Regla de Tres se puede encontrar la ganancia o interés que produce una determinada suma de dinero o capital, prestado o ahorrado, a un tanto por ciento conocido, durante un tiempo determinado.
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Ejemplo 7: un empleado tome un préstamo de Bs.F. 480 al 5% anual. Si tarda 3 años en cancelarlo. ¿Cuánto debe pagar de interés? Para resolver el problema se realiza el cálculo del interés anual y luego se multiplica por el número de años que tardó en pagarlo En un año:
100% → Bs.F . 480 5% → Bs.F . x
x=
5% ⋅ Bs.F . 480 = Bs.F . 24 100%
Como tardó cuatro años:
24
Bs.F . ⋅ 4 año = Bs.F . 96 año
El total a pagar será:
Bs.F . 480 + Bs.F . 96 = Bs.F . 576 EJERCICIOS 1. En una evaluación de 40 preguntas con un puntaje total de 100 (cada pregunta tiene el mismo
valor),
un
alumno
obtiene
75
puntos.
¿Cuántas
preguntas
contestó
correctamente? 2. La relación entre dos números es de 5 a 2. Hallar los números, sabiendo que la suma de ellos es 49. 3. En un almacén habían 40 paquetes de queso. Si 14 ratones dejaron 5 paquetes sin roer. ¿Cuántos paquetes hubieran quedado si sólo hubiesen dos ratones? 4. Si dos obreros construyen una casa en 12 días. ¿Cuánto tardarán seis obreros? 5. Un grupo de excursionistas van a acampar con provisiones para 30 días, pero en el viaje se les une un grupo de 4 personas que no llevan alimento. ¿Cuántos días podrían acampar ahora? 6. Si dos obreros hacen 4 muebles en 2 días. ¿Cuántos obreros son necesarios para hacer dos muebles en un día? 7. Si 4 ascensores consumen 40 Kw. de corriente para transportar 600 Kg cada uno a 8 m de altura. ¿Cuántos Kw. de corriente se necesitarán para que 6 ascensores puedan elevar 200 Kg. de peso cada uno a 5 m de altura?
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8. Un frutero compró 300 manzanas a razón de 4 por Bolívar Fuerte y 200 a razón de 5 por Bolívar Fuerte. Si las vendió todas a razón de 5 por 2 Bolívares Fuertes. ¿Cuánto ganó? 9. Los organizadores de un concierto necesitan carpinteros para construir las tarimas. Ellos saben que 15 carpinteros pueden construir dos tarimas en 10 días. Faltando dos semanas para el concierto, los organizadores lograron contratar sólo 5 carpinteros para construir la tarima. ¿Cuándo terminarán de construir la tarima? 10. Se emplean 10 hombres durante 5 días, trabajando 4 horas diarias para cavar una zanja de 10 metros de largo, 6 metros de ancho y 4 metros de profundidad. ¿Cuántos días necesitarán 6 hombres para cavar otra zanja de 15 metros de largo, 3 metros de ancho y 8 metros de profundidad, en un terreno de triple dificultad? 11. Un vendedor gana un sueldo fijo de Bs.F. 820 mensuales. Además gana una comisión del 2% de la venta. El mes pasado ganó en total Bs.F. 1600,00. ¿Cuánto vendió en ese mes? 12. Una mueblería da el 12% de rebaja en una silla que normalmente cuesta Bs.F. 82,50. ¿Cuánto hay que pagar por la silla? 13. Karen compró lápices que costaban originalmente Bs.F. 1,00 cada uno, con un descuento del 10%. Luego los vendió en su colegio 10% más caros de lo que ella los compró. ¿A cuánto vendió los lápices Karen? 14. Un tubo de pasta de dientes cuesta en el abasto Bs.F. 3,90. En el supermercado, el mismo tubo cuesta Bs.F. 3,25. ¿Qué tanto por ciento es la diferencia de precios? 15. Se incendia un carro asegurado en el 86% de su valor y se cobran Bs.F. 45300 por el seguro. ¿Cuál era el valor del auto? 16. Alfredo compró un carro que originalmente valía 42000 Bolívares Fuertes, con un descuento del 5%. Al cabo de un mes, Alfredo decide venderle su carro a Pedro, pero con un 5% de descuento sobre el precio al que él lo compró. ¿En cuánto compró Pedro el carro? 17. Un comerciante compra un televisor en Bs.F. 625 con un 25% de descuento. Arrepentido de la compra, y pensando en recuperar la inversión, decide vender dicho televisor en el mismo precio que lo compró más un 25%. ¿Cuál fue el precio de esta última venta?
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BILIOGRAFÍA Cuadros, B. (2005). “Prevenir y Corregir el Error”. Revista Matemáticas Recreativa, Vol. 2, Nº 3. Bogotá, Colombia : Universidad de los Andes. Feria, D. (s.f.) Trigonometría ¿Para qué sirve? Artículo en línea. http://www.es.geocities.com/dferiagomez. [Consulta: diciembre 6, 2007]
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Feria, D. (s.f.) Trigonometría, ¿Para qué sirve? Artículo en línea. Disponible: http://www.es.geocities.com/dferiagomez. [Consulta: diciembre 6, 2007] Fundación Polar. El Mundo de la Matemática. Fascículo 6. Ecuaciones, pp.5-6. Caracas: Últimas Noticias.
π
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