Vicealmirante Franklin M. Zeltzer Malpica RECTOR SISTEMA DE APRENDIZAJE AUTOGESTIONADO ASISTIDO (TRIPLE A) Dra. Rosa M. Puerta Castro Coordinadora General del Sistema Triple A PRODUCCIÓN DE MATERIALES DIDÁCTICOS DE LA ASIGNATURA “FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA” Dra. Rosa M. Puerta Castro Coordinadora General del Sistema Triple A Lic. José Gómez Barrios (Núcleo Caracas) Lic. José Santamaría (Núcleo Caracas) Prof. Alberto Ochoa Parada (Triple A Sede) Especialistas de Contenido Prof. Alberto Ochoa Parada (Triple A Sede) Diseñador Instruccional Lic. Guillermina Indriago (Triple A Sede) Especialista de Redacción y Estilo Prof. Alberto Ochoa Parada (Triple A Sede) Diseñador y Diagramador PRODUCCIÓN GRÁFICA E IMPRESIÓN (NOMBRE DE LAS EMPRESAS) Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio gráfico, audiovisual o computarizado de este material didáctico sin previa autorización escrita 2007 Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada (UNEFA) Av. La Estancia con Av. Caracas y Calle Holanda frente al Edificio Banaven (Cubo Negro), Chuao. Código Postal 1061 Caracas, Venezuela http://www.aaa.unefa.edu.ve
2
ÍNDICE DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN
5
UNIDAD Nº 1: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
7
LECTURA Nº 1:Cambio de Paradigma
7
LECTURA Nº 2:¿Qué es el Número?
8
LECTURA Nº 3:Los Números Cuadrados
9
LECTURA Nº 4:Los Polinomios
10
LECTURA Nº 5:Productos Notables
22
LECTURA Nº 6:La Factorización como Herramienta de Simplificación
32
LECTURA Nº 7:¿Cómo Completar Cuadrados?
33
LECTURA Nº 8:Métodos de Factorización
34
UNIDAD Nº 2: VALOR ABSOLUTO E INECUACIONES
42
LECTURA Nº 9:Numeración Antigua Egipcia
42
LECTURA Nº 10:El Valor Absoluto y los Números Reales
43
LECTURA Nº 11:Los Intervalos y el Calendario
45
LECTURA Nº 12:Inecuación contra Ecuación
46
LECTURA Nº 13:Conociendo las Inecuaciones
47
LECTURA Nº 14:Inecuaciones en la Recta
52
UNIDAD Nº 3: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
56
LECTURA Nº 15:Algunos Sistemas de Medida
56
LECTURA Nº 16:El Sistema Métrico Decimal
57
LECTURA Nº 17:Figuras Poligonales
62
LECTURA Nº 18:Los Triángulos, los Cuadriláteros y sus Relaciones
63
Métricas
LECTURA Nº 19:La Circunferencia y sus Elementos
67
3
LECTURA Nº 20:Cuerpos Geométricos y sus Elementos
69
LECTURA Nº 21:El Número Pi (∏) y el Cálculo de Áreas
72
LECTURA Nº 22:Thales y la Pirámide de Keops
79
LECTURA Nº 23:La Trigonometría
82
LECTURA Nº 24:La Trigonometría ¿para qué sirve?
86
LECTURA Nº 25:Teorema de Pitágoras
87
UNIDAD Nº 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES
89
LECTURA Nº 26:El Plano Cartesiano
89
LECTURA Nº 27:Coordenadas y Tecnología
91
LECTURA Nº 28:Funciones que tienen Historia
92
LECTURA Nº 29:La Función Lineal
92
LECTURA Nº 30:Distancia entre dos Puntos en el Plano
94
LECTURA Nº 31:Clasificación de Funciones
96
4
INTRODUCCIÓN La Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada (UNEFA), te da la bienvenida al primer semestre de tu carrera y a la vez te ofrece este valioso recurso que contiene una selección de lecturas para la asignatura Fundamentos de Matemática. La Matemática en todas las sociedades civilizadas, ha sido y es, un instrumento imprescindible para el conocimiento y transformación de la realidad que caracteriza la acción humana; por ello, es considerada como ciencia prototípica del razonamiento, constituye un conjunto amplio de modelos y procedimientos de análisis, cálculo, medida y estimación de las relaciones necesarias entre los diferentes aspectos de la realidad. A semejanza de otras disciplinas conforma un campo en continua expansión y creciente complejidad, donde los constantes avances dejan atrás las acotaciones y concepciones tradicionales. A medida que avanza la tecnología, la sociedad del conocimiento y la información, la matemática estudia cada vez objetos más abstractos, sus relaciones cuantitativas y formas espaciales. En el desarrollo del aprendizaje matemático, las operaciones mentales concretas como: contar, ordenar, comparar, clasificar, relacionar, analizar, sintetizar, generalizar, abstraer, entre otras, aunado a la experiencia y la inducción, desempeñan un papel de primer orden, pues te permiten construir representaciones lógicas y matemáticas que más tarde tendrán valor por sí mismas de manera abstracta y serán susceptibles de materializar en un sistema plenamente deductivo, partiendo de la experiencia directa. De ahí, que la eficacia de la matemática radica en la precisión de sus formulaciones y sobre todo en la aplicación consecuente del método hipotético-deductivo, característico de esta ciencia. De las reflexiones anteriores, se puede inferir que durante el estudio de la Matemática se presentan exigencias para el uso y desarrollo del intelecto, mediante la práctica deductiva y la representación mental de relaciones espaciales; ella hace una contribución esencial al desarrollo de tu pensamiento. Se puede plantear que el pensamiento matemático hoy en día, es un componente vital e influyente en cada uno de los aspectos de la cultura universal. El desarrollo intelectual que se logra por de la enseñanza de la Matemática, se promueve debido a que:
∗
Los conceptos, las proposiciones y los procedimientos matemáticos, poseen un elevado grado de abstracción y su asimilación obliga a los alumnos a realizar una actividad mental rigurosa.
∗
Los conocimientos matemáticos, están estrechamente vinculados, formando un sistema que encuentra aplicación práctica de diversas formas, lo cual permite buscar y encontrar vías de solución distintas, por su brevedad, por los medios utilizados o la
5
ingeniosidad de su representación. Ello te ofrece un campo propicio para el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico. Las formas de trabajo y de pensamiento matemático requieren una constante actividad intelectual, que te exige analizar, comparar, fundamentar, demostrar y generalizar, entre otras operaciones mentales. En esta selección de lecturas, encontrarás un resumen de los contenidos básicos de los temas que componen la asignatura, los cuales te apoyarán en el logro de un aprendizaje de calidad. Los temas seleccionados, complementan los ya estudiados durante el desarrollo de Curso de Inducción Universitaria, con miras a integrar todos los contenidos básicos de la asignatura necesarios para emprender una carrera universitaria. Durante la primera unidad, se trabajará con las expresiones algebraicas, específicamente las operaciones con polinomios, los productos notables más comunes y los métodos de factorización, considerando que aparte de los cálculos elementales, como la adición, la multiplicación y la potenciación entre otras, aplicables en todas las ramas de la matemática, y a través de propiedades de composición bien definidas, se derivan procedimientos que permiten simplificar con mayor facilidad las operaciones indicadas tales como: el producto notable y la factorización, que son herramientas muy prácticas para la agilización en la búsqueda de un resultado concreto a los problemas matemáticos. La segunda unidad está referida a los temas de valor absoluto e inecuaciones en donde se plantean ejercicios y problemas relacionados con la realidad y cuya solución involucra las propiedades que rigen las desigualdades entre dos o más expresiones algebraicas. La tercera unidad contempla los temas de Geometría y Trigonometría como vínculo el más real entre la abstracción que representa la matemática con el mundo que nos rodea; se establece una relación entre las figuras planas y los cuerpos geométricos con los cálculos que de ellos se derivan. Involucrando las gran diversidad de unidades de medida con sus respectivas conversiones. Se culmina con la cuarta unidad; ella contiene los temas relacionados al plano cartesiano, relaciones y funciones como manera de utilizar los conocimientos previos en la solución de problemas algebraicos y su respectiva representación gráfica.
6
UNIDAD 1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS LECTURA Nº 1: CAMBIO DE PARADIGMA Tomado con fines instruccionales de: Ascanio, R. y González, P. (2004). “Cambio de Paradigma”, Homotecia: Paradigmas. Publicación periódica Nº 6. Año 2. Valencia:.
Un grupo de científicos colocó cinco monos en una jaula, en cuyo centro había una escalera y, sobre ella, un racimo de cambures. Cuando un mono subía por la escalera para agarrar los cambures, los científicos lanzaban un chorro de agua fría sobre los que quedaban en el suelo. Después de algún tiempo, cuando un mono iba a subir la escalera los otros lo agarraban a golpes evitando así el castigo con el agua fría. Ya transcurrido un tiempo más, ningún mono subía la escalera, a pesar de la tentación de los cambures. Entonces, los científicos decidieron sustituir uno de los monos. La primera cosa que hizo fue subir por la escalera, siendo rápidamente bajado a golpes por los demás monos, quienes le pegaron sin contemplación alguna. Después, de algunas palizas, el nuevo integrante del grupo ya no subió más la escalera. Luego, un segundo mono fue sustituido, y ocurrió el mismo espectáculo que la vez anterior. EL primer sustituto participó con entusiasmo en la paliza al recién llegado. Un tercero, de los más antiguos, fue cambiado y volvió a repetirse el mismo suceso. Y así pasó cuando cambiaron al cuarto de los primeros cinco monos, y finalmente el último de los veteranos que también fue reemplazado. Los científicos quedaron, entonces, con un grupo de cinco monos que, aun cuando nunca recibieron un baño con agua fría, continuaban, sin ninguna explicación, golpeando a aquel que intentase llegar a los cambures. Si fuese posible preguntar a alguno de los miembros del grupo por qué pegaban a quien intentase subir por la escalera, con certeza la respuesta sería: “No sé, las cosas aquí siempre se han hecho de esa manera…”. ¿Te parece familiar la respuesta? Vamos a reflexionar un poco, nos hemos preguntado alguna vez el por qué estamos golpeando… y… por qué estamos haciendo las cosas de una manera, si a lo mejor las podemos hacer de otra. En muchas ocasiones, por no decir siempre, vemos como se asume un rechazo total al estudio de las matemáticas por parte de los estudiantes, quizá parte de esa actitud es producto de la concepción negativa y experiencias ajenas que han pasado de unos a otros, sin detenerse a pensar y a averiguar que tan cierto es y que tan malo puede ser, apartando radicalmente la posibilidad de poseer una herramienta que nos puede guiar al
7
éxito en cualquier ámbito de nuestra cotidianidad, ya sea en las clases, el hogar, el trabajo, de compras, entre otros.
LECTURA Nº 2: ¿QUÉ ES EL NÚMERO? Tomado con fines instruccionales de: Gómez, J. (2006). ¿Qué es el número? Artículo no publicado (pp.1-2). Tinaquillo, Estado Cojedes.
A lo largo de nuestra vida escolar, nos hemos enfrentado a toda clase de operaciones con los números; los multiplicamos, los sumamos, los potenciamos, nos ayudan a ordenar, clasificar y muchas otras operaciones que faltan mencionar. Para muchos de nosotros, es sencillo y elemental contar con ellos; pero cabe preguntar: ¿podemos definirlos?..., allí es donde está la dificultad, cuando tenemos que dar una definición formal de Número. ¿Te lo has preguntado alguna vez? Desde muy niños, nos enseñan a contar con los dedos; luego, con objetos; posteriormente, los aprendemos a escribir y ordenar. En nuestra prosecución académica, los utilizamos en las primeras operaciones fundamentales, unidades, decimales, propiedades, en fin, un mundo complejo en función a ellos; pero insisto… ¿Quién en algún momento te enseñó a definirlos? La creación del número es una de las más grandes hazañas de la mente humana y desde tiempos inmemoriales a la matemática se le atribuye el reinado de las ciencias puras y exactas; sin embargo, qué tan difícil sería aprender a definir “Número”. Algunos autores aseguran que “número es todo aquello que es el número de una clase” y la definición de Russell (1988 ) se centra en que “número es todo aquello que es el número de un conjunto”… sea cual sea la definición pareciera redundar pero, si nos detenemos a reflexionar, ellas nos aproximan a una realidad que aparenta estar sólo en nuestra mente, aunque cada uno de nosotros podemos vivir a diario y relacionarlo con el entorno. Veamos otro ejemplo: Si poseemos un conjunto o clase de elementos llamados balones, podemos afirmar que la clase es el nombre del objeto y/o sujeto y que el número es la cantidad de balones que existan en esa clase. Ejemplo:
Figura 1
Número: 8 Clase: Balones
En conclusión, “ balones” refiere al número de elementos que se encuentran en el conjunto o clase de balones. Este ejemplo y futuras comparaciones nos pudiesen resultar
8
muy obvias, pero ¿sabes algo? en la matemática, nada es obvio… a partir de este momento conociste una de las definiciones de la matemática que mucho se utiliza, pero poco se reflexiona sobre ella. Esta abstracción, debe surgir de las necesidades primarias que tenemos cada uno de nosotros de ordenar, clasificar, seriar y establecer relaciones con el medio. Referencia: Russell, B. (1988). Introducción a la filosofía matemática. Paidós Estudio Básica. (p.25) Barcelona, España
LECTURA Nº 3: LOS NÚMEROS CUADRADOS Tomado con fines instruccionales de: Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemática para Educación Básica. Editorial Santillana, S.A. (p. 68). Caracas, Venezuela.
Los números cuadrados o cuadrados perfectos (1, 4, 9, 16…) fueron llamados así por primera vez por los pitagóricos, una orden comunal fundada por Pitágoras (siglo VI a.C. en la costa suroeste de Italia), donde la matemática regía los principios de convivencia entre los miembros. Estos números indican cantidades o clases de objetos que pueden agruparse formando un cuadrado (ver figura). Además de los números cuadrados, los pitagóricos definieron otros “números figurados”, como los triangulares o pentagonales. Observa el esquema de los números cuadrados perfectos:
Figura 2
Fíjate que cada cuadrado perfecto es igual a la suma de cierta cantidad de números impares consecutivos: 12 = 1 (un número impar) 22 = 1 + 3 (dos números impares) 32 = 1 + 3 + 5 (tres números impares) 42 = 1 + 3 + 5 + 7 (cuatro números impares)
9
Así como en la ciencia matemática existen entes de características perfectas, también nosotros, mediante el esfuerzo, la dedicación, la práctica constante y la pasión por lo que hacemos, debemos ir perfeccionando nuestras competencias y habilidades en pro de una mayor satisfacción tanto intelectual como personal.
LECTURA Nº 4: LOS POLINOMIOS Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J. (2006). Los polinomios. Artículo no publicado (pp.1-20). Tinaquillo, Estado Cojedes.
En estudios anteriores has trabajado con operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números naturales, enteros, racionales e irracionales. Este estudio se enmarca dentro de la aritmética, rama de la matemática que se encarga de situaciones específicas, donde las operaciones sólo se hacen con números. Si profundizamos un poco más en nuestra experiencia, ya sea la que obtuvimos en el bachillerato o en cualquier otra actividad escolar, es posible que recordemos algún conocimiento sobre las operaciones con polinomios, donde de manera similar aplicabas la suma, resta, multiplicación y división, pero ya no sólo intervenían números sino que también se involucraban letras. El estudio de la matemática se tornaba un poco más abstracto, pues aquellas situaciones específicas que se trabajaban en aritmética ahora tomaban un carácter de generalización, es decir, podían representar situaciones diversas en un mismo campo. Ahora la matemática se enfoca desde Álgebra. A pesar de tener más o menos claro las distintas operaciones con polinomios, es necesario retomar y practicar esos conocimientos hasta dominarlos por completo, pues de ello depende alcanzar las competencias en contenidos pertinentes a la asignatura, como lo son: las inecuaciones y las funciones; además de otras actividades que guardan relación con este tema. Empecemos definiendo lo que es un polinomio; este término es de origen griego “poli” que significa muchos y “nomio” expresión algebraica. Un polinomio, matemáticamente hablando es una suma algebraica de varias expresiones algebraicas, que representan cantidades desconocidas. Cuando decimos suma algebraica nos referimos a una operación combinada, donde intervienen la suma y la resta, y al hablar de expresiones algebraicas significa los términos que componen la suma. Cada término que compone un polinomio es una estructura matemática que consta de una parte numérica y una parte literal. Exponente de la variable
Ejemplo de la Estructura de una Término:
− 3x 5 Parte numérica o coeficiente de la variable
Parte literal o variable
10
CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO: Sea el polinomio:
3 2 1 x − 5x 3 + x − 4 3
Vamos a ordenarlo por el exponente de la variable y a describir sus elementos:
− 5x 3 + Términos
3 2 1 x +x− 4 3 3 2 x 4
− 5x 3
Variable Coeficientes de la variable
x
Exponentes de la variable * Grado del polinomio Término Independiente
3 3
−5
x
x
x
3 4
1
2
1
−
1 3
−
1 3
*El grado del polinomio lo representa el exponente mayor de la variable Clasificación de los Polinomios Los polinomios, según el número de términos, se clasifican en:
- Monomio: Es aquella expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplos: −
3 2 x 7
+5
a 2 bx 2
- Binomio: Es aquella expresión algebraica que tiene dos términos: Ejemplos: 3x + 1
5 x4 − a 4
a+b
- Trinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene tres términos: Ejemplos:
6 3 1 x +x− 5 7
−9 2 y + y −5 2
- Polinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene más de tres términos: Ejemplo: −
3 4 2 3 x + x − x2 +1 4 5
Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos de otros por el signo positivo (+) o el negativo (-).
OPERACIONES CON POLINOMIOS Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Vamos a trabajar cada operación y aprender un poco más de ellas.
11
Adición de polinomios: La adición consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas, llamadas sumandos, en una sola que se le llama suma. En la aritmética la adición siempre significa aumento, pero en el álgebra es un concepto más general por lo que puede significar aumento o disminución. En una adición de polinomios se puede dar una agrupación de términos semejantes. Incluso, hasta un polinomio puede tener inmerso términos semejantes. Hay semejanza entre términos cuando: Tienen la misma variable o variables. Tienen igual exponente en la variable o variables. Ejemplo: Son términos semejantes:
− 5x 2
Aunque los coeficientes de las variables sean diferentes
+ 3x 2 + x 2
La variable “x” es la misma para los tres términos
El exponente “2” de la variable es igual para los tres términos
Entonces, se puede hacer una agrupación con estos términos y reducirlos a una sola expresión aplicando una suma. Ejemplo Nº 1: Eliminando los paréntesis queda:
−5 x 2 +3 x 2 + x 2 = Tomemos los coeficientes formando una suma indicada con ellos y esto lo multiplicamos por la variable con su respectivo exponente, así:
( − 5 + 3 + 1) ⋅ x 2 = Efectuamos la suma algebraica entre las cantidades que están dentro del paréntesis:
( − 5 + 3 + 1) ⋅ x 2 = ( − 5 + 4) ⋅ x 2
Primero sumamos los enteros positivos 3 y 1
( − 5 + 3 + 1) ⋅ x 2 = ( − 1) ⋅ x 2
Se restan las cantidades por ser de signos diferentes y la diferencia lleva el signo de la mayor (-5 y -4)
( − 5 + 3 + 1) ⋅ x 2 = − 1 ⋅ x 2 ( − 5 + 3 + 1) ⋅ x 2 = − x 2
Se elimina el paréntesis Como el 1 es elemento neutro de la multiplicación, sólo se multiplican los signos (+ . - = -)
Son términos no semejantes los siguientes:
2 6x 3 , 6x 2 , 6 y ,
12
Los términos 6x 3 y 6x 2 , tienen igual variable pero distintos exponentes, y a pesar que 2 tienen el mismo coeficiente no son términos semejantes. El término 6 y no es semejante a ninguno de los otros dos términos, pues su variable es distinta.
Veamos algunos ejemplos de adición de polinomios: Cuando es una suma de monomios Ejemplo Nº 2: Sumar:
− 5x 2 y 7 x
Solución:
− 5 x 2 + 7 x = −5 x 2 + 7 x
Observa que, como los términos no son semejantes la suma se deja indicada
Cuando es una suma de binomios Ejemplo; Sumar:
3 2 1 x − 4 3
y
7 2 x + 3x 8
3 2 1 7 2 x − + x + 3x = 3 8 4
Solución:
3 2 1 7 2 x − + x + 3x = 4 3 8 3 2 7 2 1 x + x − + 3x = 8 3 4 3 7 1 + x 2 + 3x − = 4 8 3
Recordar : Para sumar fracciones de diferente denominador Se calcula el mcm entre los denominadores Esta cantidad es el denominador del resultado Se multiplica cada fracción por el mcm y estas cantidades forman el numerador del resultado Se efectúa la operación indicada y obtenemos la fracción resultado
Indicamos la operación de los dos binomios agrupando cada uno entre paréntesis Eliminamos los paréntesis, como el signo que los precede es positivo, no se afecta ningún término Agrupamos los términos semejantes
Extraemos la variable con su respectivo exponente como factor dejando los coeficientes dentro del paréntesis. Observe que estos nos indican una suma de fracciones con diferente denominador 123-
4-
m.c.m(4,8) = 8 3 7 + = 4 8 8 3 24 8. = =6 4 4 7 56 8. = =7 8 8 3 7 6 + 7 13 + = = 4 8 8 8 13
Luego el polinomio resultante es:
13 2 1 x + 3x − 8 3 En la adición de trinomios y polinomios se procede igual que en las sumas anteriores, solo debes estar pendiente de la agrupación de términos semejantes. Es importante señalar que la sustracción de polinomios es un caso particular de la adición. Esto lo podemos explicar de la siguiente manera: Ejemplo Nº 3: Sea A =
3 7 x + 6x − 5 4
y
1 1 5 B = x3 − x 2 + x + 5 2 6
y nos piden determinar: A – B = Es decir, al polinomio
3 2 7 1 2 1 5 3 x + 6x − le restamos el polinomio x − x + x + 5 4 5 2 6
estructuremos la operación:
A− B =
3 2 7 1 1 5 x + 6x − − x 3 − x 2 + x + 5 4 5 2 6
Observa que el polinomio B por estar precedido del signo negativo se encierra entre paréntesis. Recordar: Para eliminar signos de agrupación
Cuando un paréntesis está precedido del signo menos, todos los términos que están dentro de él cambian de signo
3 Si B = x −
1 2 1 5 x + x+ 5 2 6
Entonces
− B = −x3 +
1 2 1 5 x − x− 5 2 6
- B es el opuesto de B Luego, la operación quedaría así:
A + (− B) =
3 2 7 1 1 5 x + 6x − + − x 3 + x 2 − x − 5 4 5 2 6
Si eliminamos el paréntesis:
A + (− B) =
3 2 7 1 1 5 x + 6x − − x3 + x 2 − x − 5 4 5 2 6
Agrupamos los términos semejantes:
1 1 3 7 5 A + (− B) = x 2 + x 2 + 6 x − x − x 3 + − − 5 2 5 4 6 14
Extraemos la variable de cada paréntesis con su respectivo exponente, dejándola como factor
1 3 1 7 5 A + (− B) = + x 2 + 6 − x − x 3 + − − 2 5 5 4 6 Observa que dentro de cada paréntesis hay una suma de fracciones con diferente denominador. Vamos a realizar cada adición por separado: Para sumar fracciones con igual denominador
Recordar:
3 1 4 1º Adición +es una = suma de fracciones con igual Observa : que 5 5 5 resultante tendrá el mismo denominador. La fracción denominador común y el numerador será la suma de los numeradores parciales
Recordar: Para sumar fracciones con diferente denominador Tenemos una suma de fracciones con diferente denominador, calculamos el m.c.m de los denominadores; es decir, m.c.m (1,2) = 2, este m.c.m= 2 representa el denominador común a todas las fracciones; ahora, los numeradores también cambian multiplicando el m.c.m= 2 por las 360 fracciones parciales
3º Adición
2º Adición
6 1 12 1 12 − 1 11 = + = − = 2 2 1 2 2 2
Para sumar fracciones con diferente denominador
−
7 5 (12 . 7 / 4) (12.5 / 6) − =− − 4 6 12 12
−
7 5 21 10 31 − =− − =− 4 6 12 12 12
Recordar:
Calculamos el mcm entre los denominadores mcm (4 , 6) = 12, este es el denominador del resultado y esa misma cantidad se multiplica por cada fracción para calcular los nuevos numeradores
Finalmente, realizadas las adiciones de los términos semejantes, tenemos:
A + (− B) = − x 3 +
4 2 11 31 x + x− 5 2 12
Practica la Adición de polinomios con los siguientes ejercicios: - Sean los polinomios
15
A=
1 2 1 x + 6x − 2 3
,
C=
3 1 − x + x2 5 4
,
B=
6 3 7 x − x 2 + 92 − 7 2
,
3 2x 2 8x D=− + − − x3 8 9 3
Calcula: 1) A + B + C = 2) D + C + A =
3) (D + A) – C = 4) B – (D + A) =
5) D + B = 6) C – A =
Multiplicación de Polinomios: La multiplicación de polinomios, es una operación que consiste en multiplicar dos o más polinomios llamados factores para obtener otro polinomio llamado producto. Para multiplicar polinomios es necesario tener claro la regla de los signos, las leyes de la potenciación y la agrupación de términos semejantes. Recordar: Regla de los signos
Recordar: Leyes de la potenciación
+*+=+ -
*
-=+
* * *
* * *
Veamos algunos casos de la multiplicación:
Multiplicación de Monomios Multiplicar:
( 3 x ) . ( − 2 x ) . ( − 5) = 2
( 3) . ( − 2) . ( − 5) . ( x 2 ) . ( x ) =
En esta multiplicación tenemos varios factores con sus respectivos signos, hay factores numéricos y factores literales o variables.
Observa que los coeficientes numéricos de cada monomio, son también factores y se pueden manipular independientemente de la variable, siempre y cuando estén como factores dentro de la misma multiplicación. En la organización es conveniente que los factores numéricos sean los primeros en expresarse.
16
( + 3) . ( − 2) . ( − 5) . ( + x 2 ) . ( + x ) =
Si multiplicamos los signos de cada uno de los factores: + . - . - . + . + = + obtenemos el signo del producto. En este caso es positivo
+
( 3).( − 2).( − 5).( x 2 ).( x ) = +30.( x 2 ).( x)
Ahora calculamos el producto de los factores numéricos: 3 . 2 . 5 = 30
Para multiplicar las variables (la parte literal), que son potencias, tienes que estar claro con la ley de la potenciación que dice que “en la multiplicación de potencias de igual base se obtiene otra potencia con la misma base, cuyo exponente resulta de sumar los exponentes parciales de cada potencia” x2 . x = x2+1 = x3
( 3).( − 2).( − 5).( x 2 ).( x ) = +30.x 3
Este es el resultado de multiplicar los monomios
(3x ) . ( − 2 x ) . ( − 5) = 30 x 2
3
Multiplicación de Monomios por polinomios
Multiplicar:
5 3 2 2 x . − x + 2 x − = 2 5
(
Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica una propiedad distributiva del producto con respecto a la adición, de esta manera obtenemos una suma algebraica con los productos parciales.
)
5 3 2 3 2 2 3 2 3 5 2 x . − x + 2 x − = x . − x + x .( 2 x ) + . − 2 5 5 5 5 2 Observa que cada producto parcial es una multiplicación de dos monomios. Recuerde el procedimiento para este caso. En cada multiplicación parcial, realiza primero la multiplicación de los signos, luego, multiplica los coeficientes de cada monomio y por último realiza la multiplicación de las variables o potencias literales.
17
Vamos a calcular los productos por separado: 1° producto:
(
)
Coeficientes
( )( )
3 4 3 2 3 2 2 2 x . − x = .( − 1). x . x = − x 5 5 5
Producto
Potencias Literales
Ya debes tener claro la regla de los signos (+. - = -) ; los coeficientes o parte numérica son números racionales; es decir, fracciones. Para multiplicar fracciones se hace de forma lineal, numerador por numerador y denominador por denominador.
3 3 3 1 .( − 1) = . − = − 5 5 5 1
La multiplicación de las potencias literales se realiza aplicando la ley de potenciación “cuando se multiplican potencias de igual base, el producto que resulta es otra potencia con la misma base y el exponente es la suma de los exponentes parciales”.
x 2 .x 2 = x 2 + 2 = x 4
2° producto:
( )
6 3 3 2 3 2 2 x .( 2 x ) = . . x ( x ) = + x 5 5 5 1
Se procede igual al caso anterior:
6 3 3 2 Coeficientes .( 2 ) = . = + 5 5 51 x 2 .x = x 2+1 = x 3
Potencias Literales
Se procede igual al caso anterior:
3° producto:
( )
15 2 3 2 3 2 5 3 5 2 x . − = . − . x = − x = − x 10 2 5 2 5 2
15 3.5 3 3 5 =− . − = − = − 10 2.5 2 5 2
Observa que el producto de los coeficientes, resultó una fracción que se simplificó, debido a que al descomponer tanto el numerador como el denominador, resultó un factor común (el 5), el cual se canceló por ley de la potenciación, quedando una fracción irreducible. Luego, reuniendo los productos parciales resultantes conformamos el producto total de la multiplicación inicial:
5 3 4 6 3 3 2 3 2 2 x . − x + 2 x − = − x + x − x 2 5 5 2 5
El polinomio resultante no tiene términos semejantes por lo tanto es un polinomio irreducible.
18
Multiplicación de un polinomio por otro polinomio 4 3 3 x − y x 2 − x + 1 3 4 2
Multiplicar:
Observa que el primer factor es un polinomio de dos términos, por lo tanto hay que aplicar la propiedad distributiva dos veces. El primer término del binomio multiplica a todos los términos del trinomio, luego el segundo término del binomio multiplica a todos los términos del segundo factor, es decir, del trinomio.
4 3 2 3 x − . x − x + 1 3 4 2
Solución:
Si observas cada par de líneas notarás como se efectuaron los productos
3 3 2 3 3 4 3 2 4 4 x . x + x .( − x ) + x .( + 1) + − . x + − .( − x ) + − .( + 1) 2 4 2 2 3 4 3 3 1° producto:
( )
9 3 3 3 2 3 3 2 x . x = . .( x ). x = x 8 2 4 2 4 2° producto:
Después de aplicar la propiedad distributiva hemos obtenido muchos productos parciales, para ser más exactos, seis productos. Vamos a resolverlos uno a uno:
3 2 3 3 x .( − x ) = .( − 1).( x ).( x ) = − x 2 2 2 3° producto:
3 3 3 x .( + 1) = .( + 1).( x ) = + x 2 2 2 4° producto:
( )
12 2 −4 3 2 −4 3 2 2 ⋅ x = ⋅ ⋅ x = − x = −x 12 3 4 3 4 5° producto:
4 −4 −4 ⋅ (− x) = ⋅ ( − 1) ⋅ ( x ) = + x 3 3 3 6° producto:
4 4 4 1 − ⋅ ( + 1) = − ⋅ + = − 3 3 3 1 19
Luego: Tomamos los productos parciales resultantes y estructuramos el polinomio total.
4 3 2 4 4 3 9 3 3 2 3 2 x − ⋅ x − x + 1 = x − x + x − x + x − 3 4 2 2 3 3 2 8 Revisamos si el polinomio resultante tiene términos semejantes; si los tiene hacemos agrupaciones con ellos:
4 3 2 4 4 3 9 3 3 2 3 2 x − ⋅ x − x + 1 = x + − x − x + x + x − 3 4 3 3 2 8 2 2 Como en los casos anteriores, en agrupaciones de términos semejantes extraemos la variable con su respectivo exponente como factor fuera del paréntesis.
4 3 2 3 9 3 3 2 3 x − ⋅ x − x + 1 = x + − − 1 x + + 3 4 2 8 2 2
4 4 ⋅x − 3 3
Realizamos la adición dentro de cada paréntesis paso a paso: 1º Adición:
3 2 −3− 2 5 3 1 =− − − = − − = 2 2 2 2 2 1
2° Adición:
3 + 2
4 9 8 17 = + = 3 6 6 6
Luego, resueltas las adiciones, volvemos al polinomio.
4 3 2 4 3 9 3 5 2 17 x − ⋅ x − x + 1 = x − x + x − 3 4 2 6 3 2 8 De esta manera, hemos llegado al producto final de la multiplicación de dos polinomios. Para que practiques los procedimientos en la multiplicación de polinomios te proponemos los siguientes ejercicios: Dadas las expresiones algebraicas:
7 P=− x 2 T =
x2 3 5 − + 9x − 2 4 9
Q=
4 − x2 5
V =
11 3
R=
8 3 6 x −x+ 7 7
Calcula: 1) V .P.Q =
2) Q.R =
3) T.Q =
4) V.T =
5) P.R =
20
División de polinomios Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un polinomio es como un grupo de números enteros descompuestos en una adición de muchos sumandos. Vamos a explicarlo por medio de un ejemplo: Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades “dividendo” y “divisor”, se debe buscar otra cantidad llamada “cociente” que multiplicada por el “divisor” nos resulte el “dividendo”. Resolveremos la siguiente división de polinomios paso a paso:
(3x
2
) (
− 10 x 3 + 4 x 5 − x + 6 ÷ x 2 + 1 − 2 x
)
Se ordenan los dos polinomios tomando en cuenta los exponentes de la variable (x) en orden decreciente y completando con coeficiente cero (0) la potencia faltante.
4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3 x 2 − x + 6
x2 − 2x + 1
Se divide el primer término del polinomio dividendo entre el primer término del divisor
4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3 x 2 − x + 6
x2 − 2x + 1
Para efectuar esto se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y con la variable se aplica la regla de potencia de un cociente de igual base.
4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3 x 2 − x + 6
x2 − 2x + 1
4 x5 4 x5 = = 4 x( 5 − 2 ) = 4 x3 2 2 x 1x Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, a estos productos se les cambia el signo y se ordenan debajo del dividendo según el exponente de la variable. Estos productos se resta del dividendo
4x 3 Este es el primer término del cociente
4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3 x 2 − x + 6 x 2 − 2 x + 1 − 4 x5 + 8x 4 − 4 x3
4x 3
4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3 x 2 − x + 6 x 2 − 2 x + 1 − 4 x5 + 8x 4 − 4 x3 4x 3 8 x 4 − 14 x 3 + 3x 2 − x + 6
Se repite todo el procedimiento considerando que ahora el primer término del nuevo dividendo es 8x4
8x 4 8 x 4 = = 8x( 4− 2) = 8x 2 2 2 x 1x
4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3 x 2 − x + 6 x 2 − 2 x + 1 − 4 x5 + 8x 4 − 4 x3 4 x3 + 8 x 2 8 x 4 − 14 x 3 + 3x 2 − x + 6 − 8 x 4 + 16 x 3 − 8 x 2 2 x3 − 5 x 2 − x + 6
Continuamos ahora dividiendo los demás términos
21
4 x 5 + 0 x 4 − 10 x 3 + 3 x 2 − x + 6 x 2 − 2 x + 1 − 4 x5 + 8x 4 − 4 x3 4 x3 + 8 x 2 + 2 x − 1 8 x 4 − 14 x 3 + 3x 2 − x + 6 − 8 x 4 + 16 x 3 − 8 x 2 2 x3 − 5 x 2 − x + 6 − 2 x3 + 4 x 2 − 2 x − x 2 − 3x + 6 x2 − 2x + 1 − 5x + 7 El cociente de la división es : 4 x 3 + 8 x 2 + 2 x − 1 Y el residuo: − 5 x + 7 (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se
puede continuar dividiendo por lo que la división es inexacta) Ejercicios propuestos:
( ) 2- ( 9 x − x − 24 x − 3 x + 8 x ) ÷ ( x 3- (10 y − 20 y − y + 2 ) ÷ ( y − 2 ) 1- 3 x 3 + 2 x 2 − 7 x + 2 ÷ ( x + 2 ) 4
5
8
3
6
2
2
2
)
−1
2
1 1 2 1 3 1 4 1 2 4- x − x + x + x − ÷ x − 2 3 2 2 3 5- ¿Cuál debe ser el valor de a, b y c para que se cumpla la siguiente igualdad?
(10 x
a
)
(
)
+ 50 x b − 5 x c ÷ 5 x 5 = 2 x 3 + 10 x 2 − 1
LECTURA Nº 5: PRODUCTOS NOTABLES Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J. (2006). Productos notables. Artículo no publicado (pp.1-8). Tinaquillo, Estado Cojedes.
Al iniciarnos en nuestra aventura por el conocimiento de las matemáticas, lo primero a lo que se hace referencia es al número, como clase, según lo plantean algunos, o como conjunto, según otros. La cuestión es que el hombre y su inmensa necesidad de organizarse en sociedades, poco a poco, fue implementando un lenguaje simbólico que le sirvió de instrumento en las actividades cotidianas, tanto para comunicarse como para demarcar y establecer normas de convivencia. Primero, se da cuenta que el medio natural le ofrece una serie de herramientas para tal organización; comienza a utilizar las
22
piedras como mecanismo de conteo; luego, descubre que puede hacer marcas en los árboles, en el suelo, en las paredes de las cavernas… y así llega, sin saber, a la intuición de número. El estudio de los números, o mejor dicho la fase de estructuración de los números y su aplicación en otras ramas de la matemática, como la geometría, la aritmética y el álgebra, no ha sido fácil. Desde mucho antes de Cristo, con Pitágoras de Samos, pasando por Euclides, Al-Jwārizmī, Fermat, Descartes, Leibniz, entre otros; todos ellos fueron dándole forma y sentido a todo ese conocimiento vago que desde tiempos remotos, babilonios y egipcios aplicaban en su cotidianidad. Por ejemplo, en la aritmética, que es la parte de la matemática que trata del arte o habilidad para contar, sólo se utilizan números o cantidades conocidas que mediante operaciones de adición, multiplicación y potenciación, de acuerdo con ciertas propiedades ya existentes, es posible realizar todos los cálculos habidos y por haber. En el álgebra, rama de la matemática que permite generalizar las aplicaciones aritméticas, mediante el uso de cantidades desconocidas representadas por letras, también se vale de las operaciones de adición, multiplicación y potenciación para tales aplicaciones. Y en la geometría (del griego geō que significa 'tierra' y metrein 'medir'), rama de las matemáticas que se encarga de las relaciones métricas del espacio y sus propiedades, en su forma más elemental y no tan elemental; se vale del álgebra y la aritmética para formalizar y sistematizar sus aplicaciones. Dentro de todas estas operaciones elementales, como la adición, la multiplicación, la potenciación, entre otras, aplicables en todas las ramas de las matemáticas anteriormente mencionadas, a través de propiedades de composición bien definidas, se derivan procedimientos que permiten simplificar con mayor facilidad las operaciones indicadas. Procedimientos como el producto notable y la factorización son herramientas muy prácticas para la agilización en la búsqueda de un resultado concreto. Cuando se realiza un producto notable se está aplicando una multiplicación, pero se hace de una forma directa reduciendo la operación a un mínimo de pasos posibles, por ejemplo en aritmética no es muy frecuente encontrarse con un producto notable pero se puede ejemplificar un ejercicio para hacer sencillas demostraciones, de la siguiente manera:
(5 + 3) 2 = 5 2 + 2 ⋅ (5 ⋅ 3) + 3 2 = 25 + 30 + 9 Si se realiza la multiplicación aplicando la propiedad distributiva, que es el proceso normal, el procedimiento se hace más largo; observa:
(5 + 3) 2 = (5 + 3) ⋅ (5 + 3) = 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 3 = 25 + 15 + 15 + 9 Ahora
bien, si trabajamos dentro del álgebra, el mismo producto notable pudiese
aplicarse de la siguiente manera:
23
(3x + 5 y ) 2 = (3 x + 5 y ).( 3x + 5 y ) = (3x).( 3x ) + ( 3 x ).(5 y ) + (5 y ).( 3x ) + ( 5 y ).( 5 y ) (3x + 5 y ) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ (3x ⋅ 5 y ) + (5 y ) 2 = 9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 Al llevar este mismo procedimiento al campo de la geometría le daríamos el siguiente enfoque: Suponga un terreno de forma cuadrada, donde cada lado mide ” y − 4 ”, calcula el área del terreno: Para hallar el área de un cuadrado se multiplica lo que mide de ancho por lo que mide de largo; así:
( y − 4) ⋅ ( y − 4) = ( y − 4) 2 = y 2 + 2 ⋅ ( y ) ⋅ ( −4) + ( −4) 2
y −4
= y 2 − 8 y + 16 , es el área del terreno
El producto notable es aquella multiplicación que se efectúa con expresiones algebraicas de forma directa, aplicando una fórmula o procedimiento, de acuerdo a una situación específica. Veamos algunos casos específicos de productos notables.
EL CUADRADO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS Ejemplo Nº 1 Supóngase que tenemos una región de forma cuadrada, cuyas dimensiones son las siguientes: de largo y de ancho mide " x + 7" unidades. Necesitamos conocer el área del cuadrado. Sabemos que para calcular el área de un cuadrado, sólo tenemos que multiplicar lo que mide de ancho por x+7 lo que mide de largo, Es decir: Área del Cuadrado = Largo ⋅ Ancho x+7 Área = (Lado) 2 Entonces; Apliquemos la Fórmula: Área
= ( x + 7) ⋅ ( x + 7) = ( x + 7) 2
Ancho Largo
Por Ley de Potenciación: a ⋅ a = a 2
Si aplicamos la propiedad distributiva nos quedaría: (X + 7) . (X + 7) =
Luego: Área
X2 + X.7 + 7.X + 72 = X2 + 2 (7.X) + 72
= ( x + 7) 2
24
Desarrollemos esta potencia de la siguiente manera: Doble
( x +7 )
2
=x
2
Primer Segundo Término Término
+2 ⋅( x ) ⋅( 7 ) +( 7 ) 2
Primer Término
El resultado es un polinomio de tres términos: “EL primer término al cuadrado, más el doble del producto del primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado”
Segundo Término
Simplificando el resultado, tenemos que: De esta manera obtenemos el área de la región cuadrada:
Área
=
Ejemplo Nº 2: Desarrollemos el Producto Notable: (5 + y ) 2
(5 +y ) 2 =(5) 2 +2 ⋅(5) ⋅ y +( y ) 2 Simplificando queda:
Cuadrado del 1er Término
El Doble del producto: del 1er término por el 2do término
Cuadrado del 2do Término
(5 + y ) 2 = 25 + 10 y + y 2 Ejercicios propuestos: 5.1- (x + 7)2
5.2- (3X/2 + 4/9) 2
5.3- ( a/5 + 5) 2
5.4- (x2 + 3) 2
5.5- (xy + xz) 2
5.6- (Xa+1 + 1) 2
5.7- (a2 b + ac) 2
5.8- (2xy + y2 ) 2
5.9- En un club se desea crear una cancha para la práctica individual de tenis y se dispone de una pared cuadrada de lado x. Los especialistas en ese deporte solicitan que sea más grande, por lo que se le añadieron 3m a cada lado. ¿Cuál es el área de la nueva pared?
CUADRADO DE UNA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS Se resuelve de la misma forma que el caso del cuadrado de la suma de dos términos; sólo que para desarrollar este caso hay que tomar en cuenta el signo de los términos. Ejemplo Nº 3: Doble
( x −3) 2 = x 2 +2 ⋅( x ) ⋅( −3) +( −3) 2 Primer Término Simplificando:
Segundo Término
Primer Término
Segundo Término
25
( x − 3) 2 = x 2 − 6 x + 9
El cuadrado de una diferencia es igual a: El cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo
Ejercicios propuestos: 5.10- (X - 5)2
5.11- (2X/3 - 1/5) 2
5.13- (X2 - 2) 2
5.14- (Xa-1 - 1) 2
5.12- (a/3 - 3) 2 5.15-
(2xy - x2 ) 2
5.16- Si a2 + b2 = 13 y a . b = 6 ¿cuánto vale (a – b) 2? 5.17- Calcula los productos: a) (–x – a) 2 b) (x + a)
2
¿Qué relación existe entre ellos? ¿Por
qué? 5.18-
Se necesita revestir un piso con cerámica, el cual tiene forma cuadrada de lado x, pero la cantidad de cerámica sólo cubre una superficie también cuadrada que tiene ¾ de metro menos por cada lado del área total. ¿Cuántos m2 de cerámica se compraron? 5.19- ¿Qué diferencia observas en estos ejercicios? : a) (x – a) 2 b) x2 - a2 después de resolverlos, ¿qué apreciación tienes al respecto?
EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN Ejemplo Nº 4: Tenemos una región de forma rectangular cuyas dimensiones ya conocemos: Se necesita conocer el área de la región.
x−5
Sabemos que el área de un rectángulo se calcula multiplicando lo que mide de largo por el ancho.
x+7 Entonces:
Área
= ( x + 7 ) ⋅ ( x − 5)
Largo Ancho Desarrollarnos este producto de la siguiente manera:
( x +7 ) ⋅( x −5) =x 2 +x ⋅[7 +( − 5)] +7 ⋅( − 5) Término Común
Términos no comunes
Término común
Suma de términos no comunes
Producto de términos no comunes
26
El resultado de este producto notable es un trinomio: “El término común al cuadrado más el producto del término común con la suma algebraica de los términos no comunes más el producto de los términos no comunes”.
Simplificando el resultado, queda: Trinomio
De esta manera se obtiene el área de la región rectangular: = x 2 + 2 x − 35
Área
Ejemplo Nº 5: Desarrolla el producto: (3x − 9) ⋅ (3x + 2)
(3x −9 ) ⋅(3x +2) =(3x ) 2 +(3x ) ⋅( −9 +2) +( −9 ) ⋅ 2 Término Común
Término no comunes
Simplificando cada término:
(3 x ) 2 = (3 x ) ⋅ (3 x ) = 9 x 2 (3x ) ⋅ (−9 + 2) = (3 x) ⋅ (−7) = −21x (−9) ⋅ 2 = −18 Luego:
(3x − 9) ⋅ (3x + 2) = 9 x 2 − 21x − 18 El producto de los términos no comunes Producto del término común con la suma de los no comunes El cuadrado del término común
Ejercicios propuestos: 5.19- (x2 + 6) . (x2 – 2)
5.20- (a3 + 1/5) . (a3 + 2/3)
5.21- (y – 3/5) . (y + 4)
5.22- (2x - 7) . (2x +2)
5.23- Si se cumple que (x + a) . (x + b) = x2 - 2x + 8 entonces ¿cuánto vale a + b? 5.24- ¿Para qué valores de la x se cumple que el producto de: a) (x + 3) por b) (x - 1) es igual a cero? 5.25- Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 9 cm y en el otro se x b le resta 2cm, ¿cuál será el área de la nueva figura?
x 2.26- Calcule el área del siguiente rectángulo:
a 27
LA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR SU DIFERENCIA: Ejemplo Nº 6: Se conocen las dimensiones de una región rectangular: Largo = x + 6 y Ancho = x − 6 Tenemos que calcular el área respectiva: Para hallar el área de un rectángulo aplicamos la Fórmula: Área = Largo x Ancho. o Área = base x Altura
x−6
= ( x + 6) ⋅ ( x − 6)
Entonces, Área
x+6
Para desarrollar este producto procedemos de la siguiente forma:
( x +6) ⋅( x −6) =( x ) 2 −(6) 2 Suma
Diferencia 1er Término al cuadrado
2do Término al cuadrado
Simplificando el resultado:
x 2 − 36
El resultado de este producto notable es un binomio: “El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término”
Luego: El área de la región rectangular es:
x 2 − 62
Ejercicios propuestos: 5.27- (y – 3/5) . (y + 3/5)
5.28- (x2 + 6) . (x2 – 6)
5.29- (a3 + 1/5) . (a3 –
1/5) 5.30- (x/3 + 2/7) . (x/3 – 2/7)
5.31- (2x - 7) . (2x +7) 2
5.32- Si a un cuadrado cuya área mide x se le suma a un lado 5 m y en el otro se le resta 5 m ¿cuál será el área de la figura que se originó? 5.33- Calcula el área de la figura sombreada:
x
a
x a
EL CUBO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS: Ejemplo Nº 6: Se debe determinar el volumen de un tanque que tiene forma de cubo, conociendo sus dimensiones: Largo = x + 5, Ancho = x + 5 y Alto = x + 5 Para hallar el volumen de un cubo aplicamos la fórmula: Volumen = Largo x Ancho x Alto
28
x+5
Como las tres medidas son iguales entonces
x+5
Volumen = (Lado)3
Entonces: Volumen = ( x + 5) ⋅ ( x + 5) ⋅ ( x + 5) Por Ley de Potenciación: ( x + 5) ⋅ ( x + 5) ⋅ ( x + 5) = ( x + 5)3 Luego: Volumen = ( x + 5) 3 Para desarrollar esta potencia procedemos así:
( x + 5) 3 = (x + 5)2 . (x + 5) esto por ley de potenciación y como sabemos calcular el cuadrado de una suma
( x + 5) 3 = (x2 + 10.x + 25) . (x + 5) ( x + 5) 3 = x3 + 5.x2 + 10.x2 + 50.x + 25.x + 125 esto por multiplicación de polinomios ( x + 5) 3 = x3 + 15.x2 + 75.x + 125 por agrupación de términos semejantes ( x + 5) 3 = x3 + 3 . 5. x2 + 3. 52.x + 53 El resultado de este producto notable es un polinomio: “El cubo del primer término, más el triple del producto del primer término al cuadrado, por el segundo término, más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término”. Triple
( x +5)3 =(x )3 +3 ⋅( x ) 2 ⋅5 +3 ⋅( x ) ⋅(5) 2 +(5)3 Primer Segundo Término Término
Primer Término
Segundo Término
Luego; simplificando cada término:
( x) 3 = x 3
,
(5) 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 ,
3 ⋅ ( x ) 2 ⋅ (5) = 15 ⋅ x 2 3 ⋅ ( x ) ⋅ (5) 2 = 3 ⋅ x ⋅ 25 = 75 x
De esta manera tenemos que:
( x + 5) 3 = x 3 +15 x 2 + 75 x +125 29
Ejemplo Nº 7: Desarrollar el producto notable: ( 2 x + 1) 3 Si aplicamos el procedimiento anterior; obtenemos: El cubo del primer término
(2x) 3
El triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término
3 . (2x) 2 . 1
El triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo
3 . 2x . 13
El cubo del segundo término
13
Sumando estos términos
( 2 x +1) 3 = ( 2 x ) 3 + 3 ⋅ ( 2 x ) 2 ⋅ (1) + 3 ⋅ ( 2 x ) ⋅ (1) 2 + (1) 3 Simplificando cada término del resultado: 3 * (2x ) = (2x ) ⋅ (2x ) ⋅ (2x )
Luego, el polinomio se reduce a:
= 8x 2 2 * 3 ⋅ ( 2 x ) ⋅ (1) = 3 ⋅ 4 x ⋅ 1 = 12x 2 2 * 3 ⋅ ( 2 x ) ⋅ (1) = 3 ⋅ 2 x ⋅ 1 = 6x 3 * (1) = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 3
( 2 x + 1) 3 = 8 x 3 + 12 x + 6 x + 1
Ejercicios propuestos: 5.34- (x + 3)3
5.35- (3X/2 + 4/5) 3
5.36- ( y/3 + 3) 3
5.37- (x2 + 5) 3
5.38- (xy + xz) 3
5.39- (a2 b + ac) 3
5.40- (2xy + y2 ) 3 5.41- Si el volumen de un cubo es 27 cm3 ¿Cuál será el nuevo volumen si se aumenta su arista en x unidades?
EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS. Se desarrolla aplicando el mismo procedimiento de “el cubo de la suma de dos términos”, sólo que en este caso se debe tomar en cuenta el signo de los términos. Veamos esto en un ejemplo: Ejemplo Nº 8:
30
Desarrolla el producto notable: ( y − 2) 3
( y −2) 3 = ( y ) 3 +3 ⋅( y ) 2 ⋅ ( −2) +3 ⋅ ( y ) ⋅ ( −2) 2 +( −2) 3 Primer Segundo Término Término
Simplificando cada término en el resultado: * ( y) 3 = y 3
Luego; Simplificado cada polinomio resultante es:
3 ⋅ ( y ) 2 ⋅ ( 2 ) = −6 y 2 * 3 ⋅ ( y ) ⋅ ( −2) 2 = 3y ⋅ ( 4) = 12 y 3 * ( −2) = ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −2) = −8 *
término
el
( y − 2) 3 = y 3 − 6 y 2 + 12 y − 8
En resumen, obtenemos como resultado: El cubo del primer término, menos el triple del producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.
Ejercicios propuestos: 5.42- (X – 1/2)3
5.43- (2X/3 - 1/5) 3
5.44- (a/3 - 3) 3
5.45- (X2 - 5) 3
5.46- (xy - xz) 3
5.47-
5.48- Compara los siguientes cubos
(2xy - x2 ) 2
a) (x - p) 3 b) (p - x) 3 ¿Son iguales? ¿Por qué?
5.49- Las cajas para embalaje de mercancía de una empresa tienen forma cúbica con volumen de 125 cm3, con la finalidad de disminuir costos, la empresa decide reducir el tamaño del envase restando x unidades (con x < 5) a la arista del cubo original. ¿Qué fórmula permite conocer el volumen del nuevo envase? 5.50- Si a = b + 3 ¿cuánto vale (a – b) 3 ? 5.51- Simplifica las siguientes operaciones: 2 a) 3 ⋅ ( 2 x + 1) − ( 4 x + 1) ⋅ ( 4 x − 1) =
[
]
2 b) 2 ⋅ ( 7 x + 3) ⋅ (7 x − 11) − 4 ⋅ ( x − 9) = 3 3 c) 2 ⋅ (3x + 1) − ( x − 6) =
5.52- Halla la suma de: el doble del cuadrado de la diferencia entre X y 2, con el triple del producto de la suma de X y 1 por su diferencia.
31
LECTURA Nº 6: LA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA DE SIMPLIFICACIÓN Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J. (2006). La factorización como herramienta de simplificación. Artículo no publicado (pp.1-2). Tinaquillo, Estado Cojedes.
El procedimiento contrario al producto notable es la factorización, el cual es un proceso que consiste en transformar una expresión algebraica en un producto o multiplicación. Cuando un número o cualquier otra expresión no pueden descomponerse en factores, se dice que es un número primo. En las operaciones aritméticas y algebraicas se utiliza mucho el procedimiento de la factorización como herramienta, para simplificar y resolver los ejercicios con menor dificultad y mayor rapidez. Por ejemplo: Aritméticamente:
3 15 9 3 3⋅ 5 3⋅ 3 1 3 + − = + − = +5− 12 3 15 3 ⋅ 4 3 3 ⋅ 5 4 5
3 15 9 3 3⋅ 5 3⋅ 3 1 3 + − = + − = +5− 12 3 15 3 ⋅ 4 3 3 ⋅ 5 4 5 En el álgebra:
x+2 x2 − 5x x+2 x( x − 5) + = + 2 2 x + 4 x + 4 x − 25 ( x + 2)( x + 2) ( x + 5)( x − 5)
=
1 x + ( x + 2) ( x + 5)
Observa que hay una suma de fracciones; tanto en el numerador como en el denominador de cada fracción se hizo una descomposición en factores con aquellos números que no son primos, ejemplo: 12 = 3 · 4, 15 = 3 · 5 y 9 = 3 · 3 Luego se cancelaron aquellos factores iguales en el numerador y denominador de cada fracción, simplificándose cada término. Aquí tenemos otra suma de fracciones, pero no es aritmética como la anterior. Se hizo una descomposición en factores en el numerador y x +cada 2" fracción. La denominador "de expresión no se pudo descomponer por ser un polinomio primo. Luego, se simplificó cada fracción cancelando factores iguales en el numerador y denominador.
Cada fracción algebraica está compuesta por expresiones llamadas polinomios, que para factorizarlos se debe tener en cuenta algunas reglas, un ejemplo de ello es la expresión " x 2 + 4 x + 4" , que representa un trinomio de cuadrado perfecto. Para factorizar este tipo
32
de expresión primero se debe estar familiarizado con ella, pues existen muchos casos de factorización para ciertos tipos de polinomios.
LECTURA Nº 7: ¿CÓMO COMPLETAR CUADRADOS? Tomado con fines instruccionales de: Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemática de Educación Básica. Editorial Santillana, S.A. (p. 149). Caracas, Venezuela:
Fueron primero los griegos, y luego los árabes, los que utilizaron métodos geométricos para dar con la solución de muchos de los problemas que hoy en día se resuelven mediante la simbología algebraica. Por ejemplo, Mohammed al-Khowarizmi propuso, hacia el año 825, un método geométrico para obtener una solución positiva de una ecuación cuadrática. De acuerdo con lo que él proponía, para resolver la ecuación siguen los siguientes pasos:
x 2 + 8x
Suponemos que
x 2 + 8 x = 33 ,
se
es una suma de áreas, la cual nos da 33 unidades
cuadradas, observemos el gráfico:
x x
Luego,
2
El cuadrado tiene lados de medidas x unidades, para hallar su área multiplicamos lo que mide de ancho por lo que mide de largo. Así: Largo . ancho = x . x = x2
x 2
x x
2
x 2
Observa que se ha construido rectángulos a cada lado del cuadrado, cuyos lados miden “x” y “2” unidades, respectivamente (esta medida “2” se obtiene de dividir “8”, que es el coeficiente del término lineal 8x, entre el número de rectángulos). Al calcular el área de uno de estos rectángulos resulta: Largo . Ancho = 2 . x
Entonces, al construir cuatro rectángulos, se forma un área entre todos ello que está representada por:
2 x + 2 x + 2 x + 2 x = 8x El área total de los rectángulos, más el área del cuadrado resulta 2 2 2 2
x 2 + 8 x = 33
Ahora, se construyen cuadrados pequeños en cada esquina de la figura para completar el cuadrado mayor. Como podrás darte cuenta cada cuadrito tiene lado igual a 2 unidades, siendo el área 2 · 2 = 4 unidades cuadradas.
33
Entonces, entre los cuatro cuadritos se tiene un área igual a 4 ∙ 4 = 16 unidades cuadradas, lo que indica que el cuadrado mayor tiene un área de: 33 + 16 = 49 Luego, Tenemos un cuadrado cuyos lados miden (2 + x + 2) = x + 4 2 por lo que el área sería: Largo . ancho = (x + 4).(x + 4) = (x + 4)2 x Pero ya se conoce el área total que es 49 unidades cuadradas Entonces: (x + 4)2 = 49 donde despejando el cuadrado nos queda:
2
2
x
x + 4 = 49
2
x+4=7 x =7–4 x=3
Entonces, volviendo al problema original, el área del cuadrado de lado x es igual a: 3 . 3 = 9 unidades cuadradas
x x
LECTURA Nº 8: MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Tomado con fines instruccionales de: Ochoa, A. (2007). Métodos de Factorización. Unefa. Artículo no publicado (pp.1-6). Caracas. Venezuela.
La operación de descomponer en factores los productos notables, también se llama “Factorización”. Es el proceso inverso al desarrollo de los productos notables. Para factorizar polinomios hay varios métodos:
FACTOR COMÚN Consiste en transformar la expresión dada en un producto, donde uno de los factores es común entre los términos y el otro se obtiene al dividir cada término de la expresión original entre el factor común. Ejemplo Nº 1:
12x + 3
3 ⋅ 4.x + 3 3 ( 3.4.x + 3) = 3 3.4.x 3 3. + = 3 3 3.( 4 x + 1) =
Descomponemos el número 12 en dos factores y observamos que el 3 es común en los dos términos. Multiplicamos y dividimos toda la expresión por el factor común Efectuamos el cociente de cada término entre en factor común Esta es la expresión ya factorizada
34
Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. 36 x 2 − 12 x 3 + 18 x
Ejemplo Nº 2: factorizar el polinomio
Ordenamos y calculamos el máximo común divisor entre los coeficientes de cada término, mcd(36,12,18) = 6 Como la variable x es común en los tres términos, multiplicamos el mcd por la x elevada a la menor potencia que aparezca. En este caso es elevada a la 1 (6x) Multiplicamos y dividimos toda la expresión por este factor común
− 12 x 3 + 36 x 2 + 18 x − 12 x 3 + 36 x 2 + 18 x
(
)
6x . − 12 x 3 + 36 x 2 + 18 x 6x 12 x 3 36 x 2 18 x 6 x. − + + 6x 6 x 6x
(
Efectuamos el cociente de cada término entre el factor común Resolviendo cada cociente: - Se dividen los coeficientes, y - Se aplica la ley de cociente de potencias de igual base (se copia la base y se restan los exponentes) y así se obtiene la expresión factorizada por factor común
)
6 x. − 2 x 2 + 6 x + 3
Ahora extraeremos factores comunes diferentes por agrupación de términos. Ejemplo Nº 3: factorizar
(3x
3 x 2 − 6 xy + 4 x − 8 y
)
2
− 6 xy + ( 4 x − 8 y )
(
)
3x 2 4 3 x − 6 xy + ( 4 x − 8 y ) 3x 4 2 3x 6 xy 4 x 8 y + 4 − 3 x − 3 x 4 4 3x 3 x.( x − 2 y ) + 4( x − 2 y )
( x − 2 y ) [ 3x.( x − 2 y ) + 4( x − 2 y ) ] ( x − 2 y) ( x − 2 y ) 3x.( x − 2 y ) + 4( x − 2 y ) ( x − 2 y) ( x − 2 y) ( x − 2 y )( 3x + 4)
Formamos dos grupos considerando que los dos primeros términos son divisibles entre 3x y los dos últimos entre 4 Multiplicamos y dividimos las dos expresiones por estos factores comunes Simplificando Observa que surgió un nuevo factor común entre los dos términos. Se procede a multiplicar y dividir por el nuevo factor común Simplificando Obtenemos la expresión ya factorizada
DIFERENCIA DE CUADRADOS Este caso se basa en la fórmula: a2 – b2 = (a + b) . (a – b)
35
Ejemplo Nº 4: factorizar
x2 – 9 Expresamos todos los términos en cuadrados Tomando en cuenta que la factorización procedimiento inverso a producto notable y como
x 2 − 9 = x 2 − 32 x 2 − 9 = ( x + 3).( x − 3)
es
el
( a + b ).( a − b ) = a 2 − b 2
x4 – 16
Ejemplo Nº 5: factorizar
( ) ( )(
Expresamos todos los términos en cuadrados
2
x 4 − 16 = x 2 − 4 2 x 4 − 16 = x 2 + 4 . x 2 − 4
(
)
)
x 4 − 16 = x 2 + 4 .( x + 2 ).( x − 2 )
Tomando en cuenta que la factorización es el procedimiento inverso a producto notable y como:
( a + b ).( a − b ) = a 2 − b 2
Como el segundo factor también es una diferencia de cuadrados, se procede a factorizarlo:
x 2 − 4 = x 2 − 22 TRINOMIO Se pueden conseguir tres casos:
Trinomio de la forma x2 + ax + b: La fórmula general viene dada por: x2 + ax + b
y al factorizarlo queda expresada como
(x + n).(x + m) donde n.m = b y n + m = a Ejemplo Nº 6:
x 2 − 7 x + 12 -3-4=-7 (-3).(-4) = 12
x 2 − 7 x + 12 = x 2 + ( − 3 − 4 ) x + ( − 3).(−4 ) x 2 + 10 x + 24 = ( x − 3).( x − 4 )
Buscamos dos cantidades, tales que su producto sea 12, estás deben tener el mismo signo para que el producto sea positivo, y para que su suma sea -7, deben ser los dos negativos. Se sustituyen los coeficientes, una por una adición y la otra por una multiplicación Aplicando la fórmula general
Ejemplo Nº 7:
x 2 − 7 x + 12 6 + 4 = 10 6 . 4 = 24
x 2 + 10 x + 24 = x 2 + ( 6 + 4 ) x + ( 6.4 ) x 2 + 10 x + 24 = ( x + 6 ).( x + 4 )
Buscamos dos cantidades, tales que su suma sea 10 y su producto sea 24 Se sustituyen los coeficientes, una por una adición y la otra por una multiplicación. Aplicando la fórmula general.
36
Ejemplo Nº 8:
x 2 + 15 x − 100 20 + (-5) = 15 20 . (-5) = -100
Buscamos dos cantidades tales que su suma sea 15 y su producto sea -100. Para que el producto sea negativo deben ser de signos diferentes. x 2 + 10 x + 24 = x 2 + ( 20 + ( − 5) ) x + ( 20.( − 5) ) Se sustituyen los coeficientes, una por una adición y la otra por una multiplicación. 2 x + 10 x + 24 = ( x + 20 ).( x − 5) Aplicando la fórmula general
3.2 Trinomio cuadrado perfecto Se basa en las siguientes fórmulas (a +b )2
=a 2 +2 ab +b 2
(a −b )2
y
=a 2 −2 ab +b 2
Analizamos el procedimiento mediante el ejemplo Nº 9:
x 2 + 25 + 10 x
x 2 + 10 x + 25 2
X ya está en forma de cuadrado 25 = 52
10 x = 2( x.5)
x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5)
Verificamos si dos de los términos se pueden expresar en forma de cuadrado. También verificamos si el término restante se puede expresar como el doble producto de las bases de los cuadrados. Al cumplir las condiciones, se pasa a factorizarlo según la fórmula.
2
Ejemplo Nº 10:
4 x 2 − 12 x + 9 = 4 x 2 − 12 x + 9 = 2 4x2 = ( 2x) 2 9 = ( − 3) − 12 x = 2.( 2 x ).( − 3)
Verificamos si dos de los términos se pueden expresar en forma de cuadrado. También verificamos si el término restante se puede expresar como el doble producto de las bases de los cuadrados. Expresamos el trinomio en cuadrados y productos. Factorizamos aplicando la fórmula.
4 x 2 − 12 x + 9 = ( 2 x ) + 2.( 2 x.( − 3) ) + 32 2
4 x 2 − 12 x + 9 = ( 2 x − 3)
2
Trinomio de segundo grado (
ax 2 +bx +c
)
Cuando no se cumplen las condiciones de los dos casos anteriores.
37
Para la factorización de este caso se procede de la siguiente manera:
ax 2 + bx + c = 0 x=
Se iguala toda la expresión a cero (0). Se calculan los dos valores de x, utilizando la ecuación cuadrática.
− b ± b − 4ac 2a 2
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 ).( x − x2 )
Se aplica la fórmula general.
Ejemplo Nº 11: Factorizar el polinomio
2 x 2 +5 x −3
2 x2 + 5x − 3 = 0 a=2
x=
b=5
c = -3
− 5 ± 5 − 4.2.( − 3) 2.2 2
− 5 ± 25 + 24 x= 2.2 x=
Igualamos a cero y determinamos los valores de a, b y c. Sustituimos los valores de a, b y c en la ecuación cuadrática Resolviendo lo que está dentro de la raíz: 52 = 25 -4 . 2 . (-3) = -8 . (-3) = + 24
− 5 ± 49 2.2
−5±7 x= 4 −5+7 2 1 x1 = = = 4 4 2 − 5 − 7 − 12 x2 = = = −3 4 4 1 2 x 2 + 5 x − 3 = 2 x − .( x + 3) 2
Extraemos la cantidad subradical por ser un cuadrado perfecto. Obtenemos dos valores de la x uno sumando 7 y el otro restándolo. Así obtenemos:
x1 =
1 2
x2 = −3
Reemplazamos los valores en la fórmula general. Recuerda que x-(-3) = x + 3
Regla de Ruffini 38
Se aplica para cualquier polinomio que tiene raíces enteras; es decir, encontrar valores de x (números enteros) que al sustituirlos en el polinomio nos da cero. Por ejemplo, si un polinomio de cuarto grado x x x x enteras, , , y se factoriza así: 1
2
3
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e
, tiene cuatro raíces
4
ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx +e =a (x −x1 )(x −x 2
)(x −x 3 )(x −x 4 )
Pero ¿cómo se aplica la regla de Ruffini para obtener las raíces? Ejemplo Nº 12: Factorizar
x4 − 4x 3 − x2 + 16 x − 12
Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12, o sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12 Probemos con uno (1)
x4
− 4 x3
− x2
+ 16 x − 12
1
-4
-1
16
-12
Se copian los coeficientes del polinomio. Escribimos el número seleccionado a la derecha (a este lo llamaremos raíz). Se copia el primer coeficiente debajo de él mismo.
-4 1 -3
-1
16
-12
Se multiplica la raíz por el primer coeficiente que se bajó y el producto se copia en la segunda fila debajo del segundo coeficiente. Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en la columnas donde se colocó el producto.
-4 1 -3
-1 -3 -4
16
-12
Se multiplica la raíz por el resultado de la suma algebraica realizada y este producto se copia en la segunda fila debajo del tercer coeficiente. Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en las columnas donde se colocó el producto.
-4 1 -3
-1 -3 -4
16 -4 12
-12
Se vuelve a multiplicar y sumar el producto con el siguiente coeficiente.
-4 1 -3
-1 -3 -4
16 -4 12
-12 12 0
Se efectúa el último producto y la última suma. Como el resultado final es cero (o), esto nos indica que el 1 sí es una raíz del polinomio y nos sirve para factorizar.
1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 (x – 1) . ( x
3
− 3x 2
− 4 x + 12 )
Hasta ahora tenemos un producto como se observa al utilizar los nuevos coeficientes obtenidos.
Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12.
39
De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado debemos intentar seguir factorizándolo. Probando ahora por 2 y aplicando otra vez la regla queda:
1 1 1 2 1
-4
-1
16
-12
1
-3
-4
12
-3
-4
12
0
2
-2
-12
-1
-6
0
Así hemos conseguido la segunda raíz, por lo que el polinomio va quedando factorizado de la siguiente manera:
( x − 1).( x − 2).( x 2 − x − 6)
Ahora seguimos aplicando la regla para encontrar las otras raíces.
1 1 1 2 1 -2 1
-4
-1
16
-12
1
-3
-4
12
-3
-4
12
0
2
-2
-12
-1
-6
0
-2
6
-3
0
La nueva raíz en -2 y el último cociente se toma con la raíz -3 La factorización final es: x4 − 4x 3 − x2 + 16 x − 12
=
(x −1)(x −2 )(x +2 )(x −3)
Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales.
RESUMIENDO: Según como sea el polinomio hay métodos que se pueden aplicar y otros que no. Se aconseja que se intenten aplicar los cinco métodos sucesivamente, es decir, en primer lugar se puede extraer el factor común, y luego se pueden seguir aplicando otros de los métodos. Ejercicios propuestos:
40
Factoriza: 6.1-
x2 + 2x + 3
6.3- 3 x 5 6.5-
− 48 x
x2 − a2 + x − a2 x
6.4- 4 x12
x 3 − 12 x 2 + 41x − 30
6.7- 3 x 2 6.9-
6.2-
+ 12 x 6 + 9
6.6- 3 xm 2
+ 15 x + 18
6.8- 3 x 3
x 2 xy y 2 + + 4 3 9
6.10-
− x + 3m 2 − 1
+ 3x 2 + 3x + 3
a 2 b4 − 100 9
Calcula el valor de k en: 6.11- P( x )
= −2 x 4 − 6 x 3 + 5 x − k
si
P( − 2) = 35
6.12- P( x )
= 8x 4 −
1 2 x + 12 x + k 4
si
1 P = 125 2
6.13-Si el volumen de un paralelogramo viene dado por la fórmula: V = x 3 + 5 x 2 + 6 x . ¿Cuáles podrían ser las medidas de las aristas (largo, ancho y altura)?
(
)
6.14-¿Para qué valor de n se cumple que x n − x = x x 2 − 1 ? 6.15-¿De cuántas maneras podemos factorizar el número 64?
41
UNIDAD 2 VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES LECTURA Nº 9: NUMERACIÓN ANTIGUA EGIPCIA Tomado con fines instruccionales de: Perelman. (2002). Aritmética recreativa. Traducida por Barros P. Editorial URSS. Antofagasta URSS.
La numeración egipcia es una de las más antiguas, data aproximadamente de hace 7000 años, más de tres mil antes de nuestra era. En el transcurso de los tres primeros milenios estos símbolos sufrieron cambios insignificantes, fijemos nuestra atención en la forma que los egipcios representaban los signos numéricos y cómo los escribían. En la numeración egipcia, existían signos especiales (jeroglíficos) para los números: uno, diez, cien, mil, diez mil, cien mil, un millón, cada uno de ellos está representado en las figuras que observamos a continuación:
Estos signos especiales (jeroglíficos) eran utilizados por los antiguos egipcios para la notación de los números. Para representar, por ejemplo, el número entero 23145, era suficiente escribir en serie dos jeroglíficos de diez mil luego tres jeroglíficos de mil, uno de cien, cuatro de diez y cinco jeroglíficos para las unidades.
Estos símbolos en la escritura, no podían aparecer más de nueve veces en cada número. Este ejemplo es suficiente para aprender a escribir los números tal y como los representaban los antiguos egipcios. El sistema egipcio de numeración es muy simple y primitivo, no hay signo alguno para el cero, es un sistema decimal puro puesto que en la representación de los números enteros, se emplea el principio decimal conforme al orden clase. Se puede notar que cada signo numérico representa solamente un número. Así, por ejemplo, el signo para las decenas denota solamente diez unidades y no diez decenas o diez centenas, lo que evidencia por qué el sistema de numeración egipcio no era posicional.
42
LECTURA Nº 10 EL VALOR ABSOLUTO Y LOS NÚMEROS REALES Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J. (2007). El Valor Absoluto y los Números Reales. Artículo no publicado (pp.1-2). Tinaquillo, Estado Cojedes.
El valor absoluto de un número real, se puede definir como la distancia que existe entre dos posiciones simétricamente iguales, partiendo de un mismo punto de referencia; esto se puede ilustrar como sigue, tomemos una recta y la enumeramos tanto con valores enteros negativos como positivos, y luego tomando el cero como punto de referencia, establecemos una distancia tanto a la izquierda como a la derecha: ? Teléfono Público
Teléfono Público
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Vamos a suponer, que un individuo se encuentra en una parada de autobús y decide hacer una llamada telefónica de urgencia desde un teléfono público. El teléfono más cercano se encuentra a cierta distancia a la derecha de donde él está, pero hacia la izquierda esté otro teléfono exactamente a la misma distancia. La pregunta es: ¿a cuál teléfono se dirigirá? ¿cuál le queda más cerca? Según el grafico anterior, podemos deducir que el individuo se puede dirigir a cualquiera de los dos teléfonos, pues ambos están a igual distancia de donde él se encuentra. Es decir, el valor absoluto de los “+4” y “-4”, nos da el mismo resultado “4”. Esto se puede representar de la siguiente forma:
+4 =4 y
− 4 = −( − 4 ) = 4 entonces ⇒ + 4 = − 4
El valor absoluto de una expresión numérica se suele representar entre barras. De esta situación podemos deducir que el valor absoluto de un número real cualquiera (positivo o negativo) es el número siempre positivo. Ahora bien, definamos esto en términos matemáticos:
x , si x > 0 x = 0 , si x = 0 siendo “ x ” cualquier número real. − x , si x < 0 El valor absoluto no sólo se aplica a cantidades conocidas, sino también a expresiones desconocidas o algebraicas, para ello es necesario conocer las propiedades que lo conforman como estructura matemática. Entre esas propiedades se encuentra las siguientes:
43
1.- El valor absoluto de una adición de dos números reales cualesquiera, es menor o igual a la suma de los valores absolutos de cada número real. En lenguaje matemático esto es:
x+ y ≤ x + y siendo “ x ” e “ y ” dos números reales cualesquiera ( x, y ∈ R) Ejemplo Nº 1: − 9 + 5 ≤ − 9 + 5
⇒ −4 ≤9+5 ⇒ 4 ≤ 14
se comprueba la desigualdad.
2.- El valor absoluto de una multiplicación de dos o más números reales, es igual a la multiplicación de los valores absolutos de cada número real. En lenguaje matemático sería:
x ⋅ y = x ⋅ y , x, y ∈ R Ejemplo Nº 2: (−9) ⋅ 5 = − 9 ⋅ 5
− 45 = 9 ⋅ 5 45 = 45 Probemos ahora con dos números enteros negativos: Ejemplo Nº 3: (−1) ⋅ (−7) = − 1 ⋅ − 7
7 = 1. 7 7=7 3.- El valor absoluto de una división de dos números reales, es igual a la división de los valores absolutos de cada número real. En lenguaje matemático es:
x x = , siendo x, y ∈ R con y ≠ 0 y y Ejemplo Nº 4:
21 21 = −3 −3 ⇒ −7 =
21 3
⇒7=7 Ejercicios propuestos:
10.1) ¿A qué es igual
9 ?
10.2) Calcula 1 − π + − 3 44
10.3) ¿A qué es igual
(x
2
)
−9 ?
10.5) Si − 2 x + 5 = 0 entonces x =
10.4) ¿Cuánto vale x si x + 2 = 1 − x ? 10.6) Si 3 −
2( x + 2) = 3 entonces x = 5
LECTURA Nº 11: LOS INTERVALOS Y EL CALENDARIO Tomado con fines instruccionales de: Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticas de Educación Básica. Editorial Santillana, S.A. (p.110). Caracas,
Los intervalos se han utilizado prácticamente desde los comienzos de nuestra civilización, el hombre mediante la observación de los fenómenos naturales, comenzó a registrar el tiempo a través de marcas en los árboles o en sus cuevas. Con el tiempo, se estableció el año de 360 días, dividido en 12 meses y 4 estaciones; pero las civilizaciones que usaban el calendario señalado se percataron de que este cálculo no era exacto y tenían que agregar días para predecir el período de siembra y cosecha. Fue en el año 45 AC. cuando el emperador romano Julio César fijó la duración del año en 365 días y ordenó se acumularan 6 horas por año, y que cada cuatrienio (4 años) se aplicará un día más, lo cual debía llevarse a cabo en el mes de febrero; así surgió el año bisiesto. Aunque el cálculo de Julio César fue muy aproximado, cometió un error, pues al año solar no le sobraban 6 horas, sino 5 horas, 48 minutos y 46 segundos. Esta pequeña diferencia no fue grave al principio, pero hacia el siglo XVI (casi 600 años después) ya se había producido una diferencia tan grande y un desplazamiento de las estaciones, que a causa de ello, el Papa astrónomo Gregorio XIII, en el año de 1582 determinó adelantar al calendario 19 días para actualizarlo; éste fue más preciso, apenas tiene un error de 1 día, 4 horas y 48 minutos en 4000 mil años. El calendario se origina, por la necesidad de registrar el tiempo en función de los intereses de aquella época. Cabe destacar que el término intervalo, utilizado con frecuencia en matemática, es aplicable para fijar parámetros en los registros del tiempo, cuando se hace referencia a ciertos períodos o momentos que ocurrieron, ocurren o están por ocurrir, por ejemplo: milenios, siglos, décadas, años, meses, días, horas, minutos, segundos, entre otros.
45
LECTURA Nº 12: INECUACIÓN CONTRA ECUACIÓN Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J. (2007). Inecuación contra ecuación. Artículo no publicado (pp.1-2). Tinaquillo, Estado Cojedes.
Inecuación
Ecuación
Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas, en la cual aparecen constantes y una o varias variables desconocidas llamadas incógnitas.
Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, en la cual aparecen constantes y una o varias variables desconocidas llamadas incógnitas.
Ejemplos: x − 2 ≤ 5 ;
x< y
;
x 2 + y 2 ≥ −1 ; log( 2 x + a ) > 0
Ejemplos: x − 2 = 5 ;
sen( x) =
1 ; 2
x2 −
1 = 1; 2
x − y = −6 .
Si a ambos miembros de una inecuación se Si a ambos miembros de una ecuación se les suma o se les resta un mismo número, les suma o se les resta un mismo la inecuación no se altera. número, la ecuación no se altera. Si se multiplican o dividen ambos miembros Si se multiplican o dividen ambos de una inecuación por un mismo número miembros de una ecuación por un mismo no nulo, resulta que la inecuación: número positivo o negativo no nulo, la ecuación no se altera. • No se altera, si el número es positivo. • Cambia el signo de desigualdad, si el número es negativo. Un punto (de la recta, plano,...) es una solución de una inecuación, si al sustituir las variables por los correspondientes valores de las coordenadas del punto, la desigualdad numérica resultante es verdadera.
Un punto (de la recta, plano,...) es una solución de una ecuación, si al sustituir las variables por los correspondientes valores de las coordenadas del punto, la igualdad numérica resultante es verdadera.
46
LECTURA Nº 13: CONOCIENDO LAS INECUACIONES Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J. (2007). Conociendo las inecuaciones. Artículo no publicado (pp.12). Tinaquillo, Estado Cojedes.
Las inecuaciones forman desigualdades entre dos o más expresiones algebraicas, donde cada una de estas expresiones pertenecen a miembros de la desigualdad, una inecuación encuentra solución en el conjunto de todos los valores de las incógnitas que verifican la desigualdad, dicho conjunto recibe el nombre de “Conjunto Solución” y se representa generalmente con la letra “S”. Para realizar cualquier operación relacionada con inecuaciones, es necesario conocer las propiedades que rigen las desigualdades. Veamos cada caso:
1) Si sumamos o restamos un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido de la primera.
Si a > b ⇒ a + c > b + c Ejemplo Nº 1:
16 > 8
Si a < b ⇒ a − c < b − c
ahora le sumamos 2 a cada término
16 + 2 > 8 + 2
se mantiene la desigualdad con el resultado
18 > 10 Ejemplo Nº 2: -5 < 8
ahora le sumamos -3 a cada término
- 5 + (-3) < 8 + (-3)
se mantiene la desigualdad con el resultado
-8 < 5 2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número positivo, la desigualdad no cambia de sentido.
si a > b y c > 0 ⇒ a.c > b.c si a < b y c > 0 ⇒ a.c < b.c 1 1 si a < b y c > 0 ⇒ a. < b. c c Los intervalos denotan el conjunto solución de una inecuación. Es recomendable y casi necesario graficar dichos intervalos para visualizar el conjunto solución. A continuación podemos observar una tabla que muestra los diferentes intervalos unidimensionales:
47
INTERVALOS
REPRESENTACION
[ a, b ] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b } ( a, b ) = { x ∈ R / a < x < b }
( − ∞, a ) = { x ∈ R / x < a} ( − ∞, a ] = { x ∈ R / x ≤ a}
a
b
a
[ a, b ) = { x ∈ R / a ≤ x < b}
[ a,+∞ ) = { x ∈ R / x ≥ a}
b
Intervalo Cerrado Intervalo Abierto Intervalo Semiabierto en
( a, b] = { x ∈ R / a < x ≤ b}
( a,+∞ ) = { x ∈ R / x > a}
a
NOMBRE
b
a Intervalo Semiabierto en
a b /////////////////////////////////////
+∞
a
/////////////////////////////////////
+∞
a
//////////////////////////////////////
−∞
a
//////////////////////////////////////
−∞
a
b Abierto en “a” hasta infinitos valores positivos Cerrado en “a” hasta infinitos valores positivos Abierto en “a” hasta infinitos valores negativos Cerrado en “a” hasta infinitos valores negativos
Al resolver inecuaciones de 1º grado en una variable, se debe tener presente todos los procesos antes vistos. Resuelve las siguientes inecuaciones: Ejemplo Nº 1: 3 x − 7 < 5 Solución: a) 3 x − 7 + 7 < 5 + 7 b) 3 x < 12
1 1 c) 3x < 12 3 3 3 3
12 3
d) x <
a) Se suma el opuesto de -7 a ambos lados de la desigualdad.
b) Se efectúan las sumas algebraicas (-7+7=0) y (5+7=12) c) Se multiplica por el inverso multiplicativo de “3” que es “ 1 ” a ambos lados de la desigualdad. 3 d)
Se simplifican las expresiones
e) Se encuentra el intervalo solución y se procede a graficar.
d) x < 4 S= ( − ∞,4 )
////////////////////////////////////////////////////
−∞
4
Al sumar el opuesto a cada lado de una desigualdad, es lo mismo que se hace cuando decimos que “si está sumando lo pasamos al otro extremo restando y viceversa” 3x – 7 < 5 queda 3x < 5 + 7 Recordar: Cuando indicamos que se multiplica por el inverso multiplicativo, es lo mismo que se hace cuando decimos que “si está multiplicando pasa dividiendo y viceversa”
48
Ejemplo Nº 2: − 9 ≤ 2 x − 5 ≤ 9 Solución: a) − 9 + 5 ≤ 2 x − 5 + 5 ≤ 9 + 5 b)
− 4 ≤ 2 x ≤ 14
1 1 1 c) − 4. ≤ 2 x. ≤ 14. 2 2 2 d) − 2 ≤ x ≤ 7
a) Sumamos el opuesto aditivo de -5 en todos los miembros de la desigualdad. b) Se efectúan las sumas algebraicas. c) Se multiplica por el inverso multiplicativo de “2” que es “
1 ” a ambos lados de la desigualdad. 2
d) Se encuentra el intervalo solución y se procede a graficar.
S= [ − 2,7]
/////////////////////////////////////////// -2
Ejemplo Nº 3:
0
7
3( X − 2 ) ≤ 5 X + 8
Solución:
3( X − 2 ) ≤ 5 X + 8
///////////////////////////////////////////
-7
3X − 6 ≤ 5X + 8
+∞
S= [ − 7,+∞ )
3X − 6 + 6 ≤ 5X + 8 + 6 3 X ≤ 5 X + 14
3 X − 5 X ≤ 5 X − 5 X + 14 − 2 X ≤ 14 1 1 − 2 X . − ≤ 14. − 2 2
X ≥ −7
Sistemas de inecuaciones: Son conjuntos de inecuaciones lineales con una incógnita que deben verificarse simultáneamente; es decir, sea cual sea el número de conjuntos soluciones, todos deben intersectarse para determinar el conjunto solución de dicho sistema, en conclusión son todos los valores de x que satisfacen todas las inecuaciones. A continuación podemos observar algunos ejemplos:
49
3 x − 6 < 6 − x + 3 ≤ 0
Ejemplo Nº 4: Solución:
Se debe resolver de manera independiente cada una de las inecuaciones del sistema planteado.
Primera Inecuación S1
Segunda Inecuación S2
3x − 6 < 6 3x − 6 + 6 < 6 + 6 3 x < 12 1 1 3x < 12. 3 3 x<4
− x+3≤ 0 − x +3−3 ≤ 0−3 − x ≤ −3 ( − 1) − x ≤ ( − 1) − 3 x≥3
S1
S2
//////////// 3
4
( − ∞,4) ∩ [ 3,+∞ ) = [ 3,4)
St = S1 ∩ S2 =
El intervalo solución está dado por la intersección de las dos soluciones; es decir, si la solución a la inecuación Nº 1 son todos los valores menores que 4 ( − ∞,4) y la solución de la inecuación Nº 2 son todos los valores mayores o iguales a 3 [ 3,+∞ ) , entonces la solución al sistema de las dos inecuaciones son todos los valores mayores o iguales a 3 pero menores de 4.
2 x − 7 > 13 3 x + 2 ≤ 4
Ejemplo Nº 5:
Solución: Se debe resolver de manera independiente cada una de las inecuaciones del sistema planteado
Primera Inecuación S1 2 x − 7 > 13 2 x − 7 + 7 > 13 + 7 2 x > 20 1 1 2x. > 20. 2 2 x > 10 S1= (10,+ ∞) S2
Segunda Inecuación S2 3x + 2 ≤ 4 3x + 2 − 2 ≤ 4 − 2 3x ≤ 2 1 1 3 x. ≤ 4. 3 3 4 4 x≤ S2 = (- ∞, ] , 3 3 S1 50
4 3
10
Como la intersección es vacía, no hay solución para el sistema. Ejercicios propuestos: Determina el conjunto solución de las siguientes inecuaciones y realiza la representación gráfica: 13.1) 3 x ≥ 13
13.3)
x−3 ≤2 2
13.2) 4 x + 5 > 2( x − 3) 3x − 1 4 x + 2 < 13.4) 2 3
Determina el conjunto solución de los siguientes sistemas de inecuaciones y represéntalo gráficamente:
7 x − 2 < 3 x + 5 13.5) 2( x − 1) ≤ 3( x + 3) x − 3 x +1 > 2 13.7) 3 x < 1
3 x + 1 < 2 x − 2 13.6) 2 x − 2 < x − 3 x − 2 < 3x + 5 13.8) 2( x + 1) 3 − 5 ≥ 2
Expresa en forma de ecuación los siguientes problemas, resuélvelos y representa gráficamente: 13.9) ¿Cuál es el entero positivo mayor que 80, cuyo tercio aumentado en 15 es mayor que la mitad aumentado en 1? 13.10)La altura de un triángulo mide 10 metros. ¿Cuánto medirá la base de ese triángulo, si su área no puede exceder de 50 metros? 13.11)La agencia de alquiler de automóviles A cobra Bs. 200.000 por día, más Bs. 1.000 por cada Km. La agencia B cobra Bs. 175.000 por día, más Bs. 1.750 por Km. ¿A partir de qué kilometraje es más ventajoso el plan de cada agencia? 13.12)Las aspas de un ventilador dan una vuelta en 1/20 de segundo. ¿Cuál es el tiempo necesario para que las aspas den más de 1000 vueltas?
51
LECTURA Nº 14: INECUACIONES EN LA RECTA Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar. Inecuaciones en la recta. [Artículo en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática. Extraído: enero 12, 2007 Un fabricante de tornillos recibe un pedido de un cliente, el cual estipula que los tornillos deben tener una longitud de 7,62cm y son aceptables siempre y cuando el error no exceda al 5%. El error ocurre tanto si el tornillo es más largo, como si es más corto que lo deseado. Como el 5% de 7,62cm es 0,381cm, entonces los tornillos son aceptados por el cliente cuando su longitud no es menor que 7,239cm. Asimismo, la longitud de los tornillos no debe ser mayor que 8,001 cm. La menor longitud aceptable: (7,62 - 0,381) cm = 7,239 cm. La mayor longitud aceptable: (7,62 + 0,381) cm = 8,001 cm. Si representamos mediante la variable L la longitud (en centímetros) de los tornillos, lo anterior se expresa simbólicamente así: L1 7,239 cm
L 2 8,001 cm
Gráficamente estas inecuaciones se representan de la siguiente manera: Rango de variación permitido ± 5% -0,381 +0,381
Tamaño exigido 7,62 cm
El margen de error aceptable en la fabricación del tornillo, es un intervalo cerrado que va desde: La medida exigida menos el 5% (7,62 - 0,381)cm = 7,239 cm. y La medida exigida más el 5% (7,62 + 0,381) cm = 8,001 cm.
//////////// 0
7,2390
8,001
52
Esta expresión representa la combinación de las dos inecuaciones anteriores y determina el intervalo cerrado (7,239 ; 8,001); (7,239 , ∞ ) ; (-∞ , 8,001). Es intervalo cerrado porque hasta ese valor se acepta la medida. Las inecuaciones cuadráticas Ya hemos realizado estudios de las inecuaciones lineales, cómo se resuelven y algunas aplicaciones. Ahora nos tocará estudiar las inecuaciones cuadráticas no sin antes recordarles que una inecuación se caracteriza por tener como marco de referencia las relaciones de orden o desigualdades, junto con sus propiedades, además de poseer como posible solución, un conjunto infinito de números reales o intervalos. Las inecuaciones cuadráticas, al igual que las lineales o de primer grado, son expresiones polinómicas cuya solución va a depender de los valores numéricos o raíces que anulen al polinomio que las define. Se diferencian en que el polinomio de la inecuación lineal es de primer grado y el de la inecuación cuadrática es de segundo grado. Veamos algunos ejemplos de inecuaciones cuadráticas:
3 x 2 ≥ 27 ,
x 2 − 2 > 23 ,
( x + 3)( x − 1) < 0 ,
5 x 2 − 2 x + 11 ≤ 0
Resolver una inecuación cuadrática, es un proceso que se puede hacer por muchos métodos, desde un simple despeje, pasando por sencillos procedimientos de factorización, hasta por aplicar la fórmula que la resuelve. Vamos a explicar algunos de ellos de manera detallada: Cuando se trate de un simple despeje: Se tiene la inecuación
3x 2 + 2 ≤ 29 ,
Entonces;
⇒ 3x + 2 − 2 = 29 − 2 2
⇒ 3 x 2 = 27 ⇒
3x 2 27 = 3 3
⇒ x2 = 9 ⇒ x2 = 9
Lo primero es hacer de la inecuación una ecuación; es decir, cambiamos el signo de la desigualdad por una igualdad, para encontrar las raíces o parámetros de los intervalos.
Luego, despejamos la variable “ x ” siguiendo los procedimientos de acuerdo a propiedades de la adición, la multiplicación y la potenciación
Ya encontradas las raíces o parámetros de los intervalos, procedemos a hacer un gráfico de referencia con una parábola y una recta numérica donde se registren los valores de las raíces.
53
⇒ x = ±3 , esto es; x = +3 o x = −3 Ahora bien, si analizas el gráfico podrás observar que hemos tomado como solución el intervalo de la recta que está entre los parámetros “-3” y “+3”, pues la inecuación mantuvo constantemente el signo de la desigualdad “menor o igual que” ( ≤ ), lo cual indica que los valores que satisfacen la inecuación se +∞ -∞ encuentran por debajo de la recta internos a la parábola. +3 -3 Luego; la solución se expresa de la siguiente manera:
Sol = [ − 3,+3]
La solución es un intervalo cerrado en ambos extremos, porque así lo indica el signo de la desigualdad “ ≤ ”
-Cuando se trate de una factorización: Se tiene la inecuación
x2 + 6x + 5 > 0
Entonces; x 2 + 6 x + 5 = 0 Es una ecuación de segundo grado,
Se tiene el polinomio
x 2 +6 x +5 x x
5 1
x + 5x = 6 x ( x + 5)
( x + 1) Luego,
( x + 5) ⋅ ( x + 1) = 0
Lo primero es hacer de la inecuación una ecuación; es decir, cambiamos el signo de la desigualdad por una igualdad, para encontrar las raíces o parámetros de los intervalos.
Para resolver una ecuación de segundo grado es posible factorizar el trinomio, para ello tenemos que recordar los procedimientos aplicados en la unidad Nº 1, de la selección de lecturas en el contenido de factorización de trinomios. Observemos resumidamente cómo se hace:
Las expresiones internas a los rectángulos redondeados se toman formando una adición con sus respectivos signos. Luego, estos binomios se multiplican para establecer nuevamente la igualdad, de la siguiente manera: Tenemos una multiplicación de dos factores desconocidos igualados a cero (0). Para que esta igualdad resulte cero (0) puede pasar que uno de los factores sea cero (0) o ambos lo sean. Es decir; en a ⋅b = 0 , a = 0 o b = 0 , de acuerdo a 54 esto se tiene que:
( x + 5) = 0
∨
( x + 1) = 0
Luego, despejando la variable en cada igualdad, se obtiene:
x = −5 ∨ x = −1
De esta manera hemos obtenido los valores de las raíces o parámetros de los intervalos. Ahora con estos valores hacemos una representación mediante la parábola y la recta numérica.
Luego, la solución se expresa de la siguiente manera: -5
-∞
-1
Sol = ( − ∞,−5) ∪ ( − 1,+∞ )
+∞
En el gráfico se puede observar que se ha tomado como solución la parte superior de la recta; es decir, los intervalos externos a los parámetros “-5” y “-1”, pues, así lo indica el signo de la desigualdad “mayor que” ( > ) que se ha mantenido en la inecuación hasta el final. Lo que indica que la multiplicación de los dos factores: x + 5 y x + 1 es siempre positiva.
(
) (
)
Te proponemos resolver algunos ejercicios, para que pongas en práctica los conocimientos adquiridos hasta ahora sobre las inecuaciones cuadráticas: 14.1- x 2 − x − 20 ≥ 0 14.3- 9 x 2 − 6 x + 1 ≤ 0 14.5- x 2 + x + 1 < 0
14.2- t 2 + 7 ≥ 8t 14.4- d 2 + 21 > 10d 14.6- m 2 + 5m ≤ 0
55
UNIDAD 3 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA LECTURA Nº 15: ALGUNOS SISTEMAS DE MEDIDA Tomado con fines instruccionales de: Martínez, M.(1998). Mi primera enciclopedia científica Matemática. Editorial del Valle de México, S.A. (p.40). México:
A lo largo de la historia, se han establecido diversas referencias de medida que han permitido estandarizar representaciones de longitud, volumen, tiempo, velocidad, en fin múltiples formas de medir. En la historia se dice que los romanos utilizaban sus pies para medir distancias; en las mediciones más pequeñas utilizaban el ancho del dedo pulgar el cual ellos llamaban “uncía”.
Las longitudes muy largas las medían con pasos. Un paso comprendía dos etapas, una con el pie derecho y la otra con el pie izquierdo. En las distancias de mayor prolongación utilizaban las “millas”, una milla era equivalente a 1000 pasos, de allí la palabra milla que proviene del latín “mille” que significa “mil”. Las millas, yardas, pies y pulgadas son medidas del sistema imperial de medición; es curioso mencionar que el rey Enrique I (1068-1135) creó una medida que sirviera a todos, era la distancia desde su nariz hasta su pulgar y lo llamó “yarda”. En nuestros días, una gran cantidad de países utilizan una medida estándar llamada metro, que es mucho más extenso que una yarda. La unidad metro, tanto en España como en Venezuela, miden lo mismo. El Sistema Internacional de Medidas (S.I.M.) utiliza el kilómetro para distancias largas, el centímetro y el milímetro para distancias mucho más pequeñas. A continuación, podemos observar algunas referencias antiguas y modernas con respecto a las unidades de medidas: Romano 1 milla = 1000 pasos 1 paso = 5 pies 1 pie = 12 uncias
Métrico 1 kilómetro = 1000 metros 1 metro = 100 centímetros 1 centímetro = 10 milímetros
Imperial 1 milla = 1760 yardas 1 yarda = 3 pies 1 pie = 12 pulgadas
56
LECTURA Nº 16: EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J (2007) El Sistema Métrico Decimal. Artículo no publicado. (Pp. 5). Tinaquillo, Estado Cojedes.
En 1790, la Academia Francesa de Ciencias fue la que se encargó, de acuerdo a lineamientos de la Asamblea Nacional Francesa y la proposición de los políticos Talleyrand y Prieur, de establecer un sistema unificado de medidas de aplicación sencilla, que culminó el 19 de marzo de 1791 con la definición de Sistema Métrico Decimal a partir de las propuestas de dos comisiones. La unidad de longitud, el metro, se definió igual a la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. Los franceses, Pelambre y Méchain fueron los encargados de medir el arco del meridiano terrestre que pasa por Paris, comprendido entre Dunkerque y el castillo de Monjuich en Barcelona. A partir de la unidad fundamental, el metro, se definieron todas las otras unidades: las de superficie, las de volumen, las de peso y las de capacidad. Por ejemplo, el gramo se definió, para la época, como el peso de la masa de un centímetro cúbico de agua destilada, pesada en el vacío, a la temperatura de 4º C. El Sistema Métrico Decimal es un Sistema, porque comprende un conjunto de medidas relacionadas entre sí; es métrico porque su unidad fundamental es el metro; y es decimal, porque sus medidas aumentan y disminuyen en potencia de 10. Tanto en las medidas de longitud como en las demás, se utilizan múltiplos y submúltiplos a partir de la unidad. Para los submúltiplos se asignaron prefijos latinos: deci para diez; centi para cien; mili para mil y así sucesivamente. Mientras que para los múltiplos se estableció el uso de prefijos griegos: deca para diez; hecto para cien; kilo para mil, etc. Para transformar, medidas de longitud de una magnitud a otra vamos a utilizar siguiente estrategia:
la
Km Hm
Se divide entre 10 por cada escalón que subes
Dam Metro dm Se multiplica por 10 por cada escalón que bajes
cm mm
Veamos algunos ejemplos:
57
Ejemplo 1: Transformar: 35,328 Km a m Si verificamos la escalera anterior, para pasar de Kilómetros a metros, tenemos que bajar tres escalones. Entonces, según el procedimiento debemos multiplicar por 10, por 10 y por 10. Es decir:
( 35,328).10.10.10 = ( 35,328).(10 3 )
Recuerda, cuando se multiplica una cantidad por una potencia de base 10 se corre la coma hacia la derecha tantos espacios como lo indique el exponente de la potencia. 3 Por lo tanto, ( 35,328).10 = 35328,0
Observa que la cantidad tiene tres decimales y se está multiplicando por 10 3 , la coma se corrió a la derecha tres, espacios, esto hace que la cantidad quede sin decimales:
( 35,328 ).10 3
= 35328
∴ 35,328 Km a m es 35328 metros. Ejemplo 2: Transformar:
21307 mm a Dm. Si verificamos la escalera anterior, para pasar de milímetros a decametros, tenemos que subir cuatro escalones. Entonces, según el procedimiento debemos dividir por 10, por 10, por 10 y por 10. Es decir:
21307 21.307 = 10.10.10.10 10 4 Recuerda que cuando se divide una cantidad por una potencia de base 10 se corre la coma hacia la izquierda tantos espacios como lo indique el exponente de la potencia. Si la cantidad es un número entero la coma se omite, pero podemos agregarle la coma para indicar que tiene cero (0) decimales, así: 21307,0 Luego:
21307,0 = 2,13070 10 4 Observa que la coma se corrió hacia la izquierda, cuatro espacios de acuerdo al exponente de la potencia de base 10. Por lo tanto:
58
21307 mm a Dam es 2,1307 Decametros. Te proponemos algunos ejercicios para que practiques este procedimiento de conversión de medidas:
15.1. 3584,1 dm a Dam
15.2. 1,435 Km a cm
15.3. 0,000153 Hm a mm
15.4. 58973,003 cm a Hm
15.5. 3 dm a m
15.6.1 m a Dam
Los múltiplos y submúltiplos en el sistema métrico decimal, se justifican por lo siguiente: Imagínate a un sastre diseñando la manga de una camisa, es de suponer que necesitará cierta cantidad de tela, y expresarla en centímetros bastará para satisfacer los requerimientos. Mientras que es diferente en el caso de un ciclista profesional, sus actividades o recorridos son en grandes distancias, estas cantidades bastaría expresarlas en Kilómetros y no en centímetros; pues no es que no se pueda, pero no sería lo adecuado. Las medidas de superficie son las mismas utilizadas en las longitudes, a diferencia de que aquí se expresan en unidades cuadradas. Por ejemplo, para expresar el área de un terreno se puede hacer en metros cuadrados (m2) o kilómetros cuadrados (Km2). Recuerda que las superficies se representan en dos dimensiones. Para realizar conversiones de medidas de superficie se puede aplicar el procedimiento de la escalera; pero debes tener cuidado, pues las medidas aumentan o disminuyen en potencias de 100, es decir 102. Ocurre lo mismo con las medidas de capacidad, cuyas medidas nos dan a conocer el volumen de un cuerpo. Se sabe que un cuerpo tiene tres dimensiones, por tal motivo, al hablar del volumen de una caja, de un tanque, entre otros; se puede representar en centímetros cúbicos, metros cúbicos, etc. Las conversiones que se realizan en medidas de capacidad aumentan o disminuyen en potencias de 1000, es decir, 103. Multiplicas por 102 por cada escalón que bajes
Km2 Hm2 Dam2
Multiplicas por 103 por cada escalón que bajes
Km3 Hm3 Dam3
m2
m3 dm2 cm2
Divides por 102 por cada escalón que subas Escalera para superficie.
dm3
mm2 transformar
medidas
de
Divides por 103 por cada escalón que subas
cm3 mm3
Escalera para transformar medidas de capacidad
59
Revisemos algunos ejemplos sobre conversiones de medidas en superficie y de capacidad. Ejemplo 1. Transformar 12 m2 a cm2 Según la escalera, para pasar de metros a centímetros se tiene que bajar dos escalones, entonces se debe multiplicar la cantidad dada por 100, y por 100, es decir:
(12).100.100 = (12).10 2.10 2 (12).10 2.10 2 = (12).10 4 (12).10 4 = 120000 Por lo tanto: 12 m2 a cm2 = 120000 cm2 Ejemplo 2: Transformar: 3,5 cm3 a m3 De acuerdo a la escalera, para pasar de centímetros a metros hay que subir dos escalones, por lo tanto se debe dividir por 1000, y por 1000, esto es;
3,5 3,5 3,5 = 3 = 6 3 1000.1000 10 .10 10 Según el procedimiento, cuando se divide por una potencia de base 10 se corre la coma hacia izquierda tantos espacios lo indique el exponente de la potencia.
Entonces;
3,5 = 0,0000035 10 6 En conclusión: 3,5 cm3 a m3 = 0,0000035 m3 Resuelve los siguientes ejercicios para que adquieras un mayor dominio de tus habilidades: Realiza las siguientes conversiones de unidades y resuelve los problemas planteados:
15.7.5,823 Dam3 a cm3 15.9.8 dm2 a mm2
15.8.0,0045 m3 a Km3 15.10.
1 2 m a Hm2 5 60
15.11.
1 Km3 a Dam3 100
15.13.
3 mm3 a Km3 8
15.12.
1 Hm2 a cm2 1000
15.14.Un maratonista, para su entrenamiento, realiza durante cinco días los siguientes recorridos: el primer día recorre 950 Dam, el segundo día 122 Hm; en el tercer día 14 Km, en el cuarto 15420 m, y para el último día recorre 1.800.000 cm. ¿Cuántos kilómetros recorre en los cinco días?
15.15.Calcula la diferencia que existe entre un recipiente, cuya capacidad es de 54 m3 y otro de 44.100.000 cm3 Se sabe que la unidad de volumen en el Sistema Internacional de Medidas es el metro cúbico (m3), pero existe otra unidad de medida para representar las capacidades de los cuerpos como lo es el litro (l). Se relaciona con la otra unidad, ya que 1 decímetro cúbico (1 dm3) es equivalente a 1 litro de agua pura a temperatura de 4º C. Litro, centilitro, mililitro, son medidas de capacidad que tienen sus equivalentes en volumen; por ejemplo: 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 Litros 1 dm3 = 1000 cm3 = 1 Litro 100 cm3 = 100 militros 1cm3 = mililitro Si nos vamos a situaciones de la vida cotidiana; en varios productos es frecuente expresar sus cantidades en cm3 (abreviado cc) o en mililitros (ml). También es usual en muchos productos importados: perfumes, cosméticos, medicinas, etc., expresar las cantidades del producto (capacidades netas de los recipientes que los contienen) en una unidad inglesa expresada como fl oz (onza de flido). Por ejemplo: 16,9 fl oz (500 ml); 4,2 fl oz (125 ml), tal cual como se lee en las etiquetas de esos productos. ¿Cuántos ml equivalen a 1 fl oz? Realiza las siguientes conversiones:
15.16.3240 ml a m3
15.17.53 dm3 a ml
61
LECTURA N° 17: FIGURAS POLIGONALES Tomado con fines instruccionales de: Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticas de Educación Básica. Editorial Antillana, S.A. (p.149) Caracas, Venezuela:
Un polígono es la parte del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Fíjate en el siguiente polígono: Plano
• Los segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG y GA se denominan lados. • El vértice de un polígono, es el punto de intersección de dos segmentos o lados. Dos vértices son consecutivos si son extremos de un mismo lado. Los vértices se denotan así: vértice A, vértice B, etc. Este polígono tiene 7 vértices.
• El ángulo interno de un polígono, es la abertura formada por dos lados en un vértice. Los ángulos denotan así: ∠BEC , ∠ABC , ∠FEB , ∠FED , ∠EBC , ∠EBA , etc. Hay muchos ángulos en este polígono. • La diagonal de un polígono, es el segmento de recta que une dos vértices que no pertenecen a un mismo lado. Tenemos la diagonal BE, y podemos trazar en este mismo polígono, diagonales entre los vértices: A y C, A y D, A y E, A y F, B y D, B y F, etc. Se pueden trazar varias diagonales.
• El perímetro de un polígono se calcula sumando las medidas de las longitudes de cada lado. El perímetro de este polígono es igual a: P = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA . Se habla de polígono convexo y cóncavo. Un polígono es convexo, si cada uno de sus ángulos interiores es menor de 180º. Es cóncavo si uno de sus ángulos es mayor de 180º.
Polígono Cóncavo
Polígono Convexo
62
Clasificación de los polígonos Los polígonos se clasifican según sus lados en: Número de lados
Nombre del polígono
3
Triángulos
4
Cuadriláteros
5
Pentágonos
6
Hexágonos
7
Heptágonos
8
Octágonos
9
Eneágonos
10
Decágonos
11
Undecágonos
12
Dodecágonos
Un polígono es regular, cuando todos sus lados miden igual y todos sus ángulos también son iguales. La apotema de un polígono regular, es el segmento de recta que une centro del polígono con el punto medio de uno de sus lados.
LECTURA N° 18: LOS TRIÁNGULOS, LOS CUADRILÁTEROS Y SUS RELACIONES MÉTRICAS Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar. Matemática para todos. [Artículo en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática. Extraído: enero 12, 2007
LOS TRIÁNGULOS El triángulo tiene una característica especial, es estable; por ello es vital en la industria, en efecto, si a una estructura en forma de triángulo se le aplica una fuerza en uno de sus vértices, la forma del triángulo permanece. Observa las estructuras de una torre utilizada en la extracción de petróleo, o las torres que sostienen algunas antenas parabólicas, y también en muchos edificios. El triángulo es un polígono de tres lados. El triángulo ABC se refiere al triángulo determinado por los puntos A, B y C. En este caso sus lados son los segmentos AB, BC y AC. Los ángulos del triángulo son los ángulos de vértices A, B y C, es decir, ∠ CAB, ∠ ABC y ∠ BCA.
63
El símbolo
representa la palabra triángulo. Así
ABC significa el triángulo ABC.
Clasificación de los triángulos Según sus ángulos:
Acutángulo: Tiene tres ángulos agudos (miden menos de 90º)
Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (miden más de 90º)
Rectángulo: Tiene un ángulo recto (mide 90º)
Según sus lados:
Equilátero: Tiene tres lados miden igual
Isósceles: Tiene dos lados que miden igual
Escaleno: Todos sus lados miden distinto.
Otros elementos de los triángulos Alturas: Segmento desde cada vértice perpendicular al lado opuesto
Bisectrices: Semirrecta que divide cada ángulo en dos ángulos iguales
Medianas: Segmento desde cada vértice al punto medio del lado opuesto
Mediatrices: Recta perpendicular a cada lado en su punto medio
Ortocentro: Punto de intersección de las alturas
Incentro: Punto de intersección de las bisectrices y centro del círculo inscrito en el triángulo
Baricentro o Centro de gravedad: Punto de intersección de las medianas
Circuncentro: Punto de intersección de las mediatrices y centro del círculo circunscrito al triángulo
64
LOS CUADRILÁTEROS: Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, se caracterizan por tener, cuatro lados; cuatro vértices, cuatro ángulos interiores, cuatro ángulos exteriores y dos diagonales. Observen las figuras: A
Lado
Vértice
B
A
Diagonales C
α
D
Ángulo exterior
D
B
C
Ángulo interior
Cuadrilátero Cóncavo
Cuadrilátero
En cuadrilátero convexo se muestra que: - Los lados son los segmentos: AB, BC, CD, DA.
- Los vértices, son cada encuentro de los lados: A, B, C y D. - Los ángulos internos, son cada abertura entre dos lados, son: * ∠ DAB, ∠ ABC, ∠ BCD, ∠ CDA. (Observa las tres letras, la que esta en el medio es de donde surge el ángulo)
* El signo “ ∠ ” se lee ángulo - Las diagonales, son cada segmento que une dos vértices opuestos, son: AC, BD. - La letra griega “ α ” Alfa denota un ángulo exterior. A un cuadrilátero se le puede calcular el perímetro y su área. - El perímetro es la suma de las longitudes de sus cuatro lados: Perímetro del cuadrilátero ABCD = AB + BC + CD + DA. Sabemos que un triángulo tiene tres ángulos y la suma de las medidas de esos ángulos es de 180º. Un cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos trazando una de sus diagonales, por tal motivo los cuatro ángulos del cuadrilátero al sumarse se obtiene 360º A
B
α
ABCD:
δ
β
La suma de los cuatro ángulos del cuadrilátero: ∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360º
σ
O también:
α + β + δ + σ = 360º D
C
Letras griegas: α se lee Alfa β se lee Beta
δ se lee Delta σ se lee Tita
65
Clasificación de los Cuadriláteros: CUADRILÁTEROS
FIGURA Y DIAGONALES
Rectángulos
A
B C
D
Cuadrado Paralelogramos
A
B
D
C A
Rombo
B
C
D
A
Romboide
C
D A
Trapecio Rectangular Trapecios
B
B
D
C
A
Trapecio
B
Isósceles B
A
D
C
Trapecio Escaleno
C
D
A
Trapezoides
B
D C
Ejercicios propuestos: calcula el perímetro en cada figura. 18.1.Cuadrado de lado 2/3m.
18.2.Un rectángulo formado con las unión de dos cuadrados de lado 8 m.
Triángulo isosceles
18.3.
7m 10 m
18.4.Un rombo formado por la unión de dos triángulos equiláteros de lado x/2
6m 22 m
LECTURA N° 19: LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ELEMENTOS 66
Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J (2007). La Circunferencia y sus Elementos. [Artículo no publicado]. (Pp. 2).
Tinaquillo, Estado Cojedes. La circunferencia, es el conjunto infinito de puntos que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se le llama radio. Elementos de una circunferencia: La distancia del centro al punto R o segmento OR es un radio de la circunferencia. La distancia del punto P al punto Q o segmento PQ es un diámetro de la circunferencia. Un diámetro equivale a dos veces el radio. La distancia del punto A al punto B o segmento AB es una cuerda de la circunferencia. La recta “s” que toca dos puntos, el punto M y el punto N, de la circunferencia es una recta secante a la circunferencia.
La recta “t” que toca un solo punto, el punto P, de la circunferencia es una recta tangente a la circunferencia. El conjunto de puntos que pertenecen a la circunferencia y están entre dos puntos de ella, entre el punto A y el punto B, por ejemplo, se le llama arco de la circunferencia. El arco de extremos A y B se denota arco Los puntos R, O y P describen un ángulo central a la circunferencia, y se denota ∠ROP . El conjunto infinito de puntos que forman la circunferencia y los interiores a ella conforman una superficie llamada círculo. La región comprendida entre los puntos A, B y O, o mejor dicho, todos los puntos interiores al ángulo ∠AOB representa un sector circular de dicho círculo. A una circunferencia es imposible calcularle el área, pues sólo representa una línea cerrada que limita al círculo, a la circunferencia se le puede calcular la longitud y al círculo se le calcula el área. La fórmula para hallar la longitud de una circunferencia es: L = π ⋅ 2r , siendo
67
π ≈ 3,14 y r = radio de la circunferencia y para determinar la longitud un ángulo central se utiliza:
L=
π ⋅ r ⋅ nº . 180º
Mientras que la fórmula para hallar el área de un círculo es: A = π ⋅ r 2 . Y para calcular el área de un sector circular se usa:
A=
π ⋅ r 2 ⋅ nº , donde nº representa la amplitud del ángulo. 360º
El ángulo central de una circunferencia es aquel que está formado por dos de sus radios. Cada ángulo central determina una cuerda y un arco, y a la vez cada cuerda determina un arco y un ángulo central, y un arco determina un ángulo y una cuerda. Observen la figura, allí se describe en el ángulo central ∠DOE , el arco y la cuerda DE. La medida de amplitud de un arco de una circunferencia se representa en grados (º), y la de un ángulo central de la misma manera; ya habíamos dicho que un ángulo central determina un arco y viceversa, esto indica que las medidas en grados para ambos son iguales. Es decir, si un arco mide 60º, su ángulo central mide 60º. Ejercicios :
19.1.¿Cuál es la longitud de una circunferencia que tiene de radio 5 Km? 19.2.¿Qué longitud tiene un arco cuya amplitud del ángulo central es de 30º? 19.3.Determina el área de un sector circular, si su ángulo central es de 22º.
19.4.Calcula el área de un círculo cuyo diámetro es de 25 metros. 19.5.En una semicircunferencia el radio es de 3/2 cm ¿cuál es su longitud? 1 19.6.La longitud del un arco de una circunferencia es de π , calcula la medida de su 3 ángulo central.
19.7.Hallar el diámetro de un círculo, sabiendo que su área es igual a 100π.
68
LECTURA N° 20: CUERPOS GEOMÉTRICOS Y SUS ELEMENTOS Figura 7 Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J (2007). Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos. Artículo no publicado. (Pp. 3). Tranquillo, Estado Cojedes.
En la geometría plana, se estudian aquellas figuras y formas geométricas que tienen una o dos dimensiones; y sólo se pueden representar en una superficie plana, como la circunferencia, el círculo, el triángulo, los cuadriláteros y demás polígonos. La geometría del espacio se encarga de estudiar aquellas formas, cuerpos y objetos que tienen tres dimensiones. Estas formas se encuentran en el mundo real, sea de manera artificial, construidas por el hombre, como por ejemplo: edificaciones, herramientas, envases, entre otros y la que pertenecen a la naturaleza, como: árboles, montañas, roca, planetas, animales, seres humanos.
CARACTERÍSTICAS DE ALGUNOS CUERPOS GEOMÉTRICOS Cuerpos Redondos: La esfera: es un cuerpo cuya superficie es curva, carece de vértices y su volumen se calcula mediante la fórmula:
V =
4 π .r 3 3
Si hacemos un corte a una esfera con un plano obtenemos una circunferencia. Observa la figura: Plano Circunferencia
C
r P
Circunferencia máxima
La distancia de C a P es el Radio
Si la esfera es sólida como una bola, al realizar el corte obtendríamos el círculo. El Cilindro: es un cuerpo mixto; es decir, tiene superficie plana y superficie curva. El cilindro consta de una base circular y de una determinada altura. Su volumen se halla mediante la fórmula. V = Área de la base x Altura.
69
Eje
Si hacemos un corte al cilindro con un plano paralelo a la base, se obtiene un círculo. Si el corte se hace perpendicular a la base, se obtendría un rectángulo.
Base
Base
El Cono: es un cuerpo de base plana y de superficie lateral curva. A diferencia del cilindro, el cono sólo tiene una base y tiene un vértice. El volumen de un cono se calcula mediante la fórmula:
V =
π .r 2 .( Altura ) 3
Vértice
Si hacemos un corte con un plano paralelo a la base del cono se obtiene un círculo
Eje
Base
Poliedros: Muchas edificaciones construidas por los humanos y algunos cuerpos de la naturaleza tienen forma de poliedros. Los poliedros son cuerpos limitados por un número finito de superficies planas. Estas superficies planas son polígonos que reciben el nombre de caras del poliedro. La intersección de dos caras forman una arista y el punto de intersección de tres o más caras es un vértice.
Entre los poliedros se encuentran: Las pirámides y los prismas. Las pirámides: Son poliedros cuyas caras laterales tienen forma de triángulo; el número de triángulos o caras laterales de una pirámide, depende del número de lados de la base. Éstas pueden ser de base triangular, cuadrada, pentagonal, etc. Los triángulos que
70
conforman las caras de la pirámide convergen en un punto, es decir, tienen un punto en común; este punto recibe el nombre de vértice de la pirámide. Vértice Arista Cara
Base cuadrada Pirámide Hexagonal
Pirámide cuadrada
Los prismas: son cuerpos geométricos tridimensionales, la característica más sobresaliente es que dos de sus caras son paralelas (caras opuestas) y congruentes, llamadas bases del prisma. Cada prisma recibe su nombre de acuerdo a la forma de sus bases. Los prismas, cuyas caras laterales son rectángulos, son llamados prismas rectos; de otra forma son llamados prismas oblicuos. Los prismas rectangulares o “cajas” también son llamados paralelepípedos. Veamos algunos prismas: Base cuadrada Vértice Cara lateral
Bases Triangulares
Arista Prisma Triangular
Algunas cosas curiosas de la naturaleza guardan relación con estas formas geométricas, por ejemplo: ¿Has llegado a ver de cerca un panal de abejas? Si lo observas detalladamente parece un piso cubierto de mosaicos hexagonales. Pero su forma tridimensional es la de prismas rectos hexagonales. Entre el triangulo equilátero, el cuadrado y hexágono regular, este último tiene el menor perímetro para un área establecida. Esto significa, que en los panales de abejas en forma de prisma hexagonal se usa menos cera para su construcción.
71
LECTURA Nº 21: EL NÚMERO PI ( π ) Y EL CÁLCULO DE ÁREAS Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar. El número pí () y el cálculo de áreas. [Artículo en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática. Extraído: enero 7, 2007
El número π (Pi), tiene un origen un poco extenso y muy apasionante; en la antigua Grecia, su aparición se relacionó con el resultado de dividir la longitud de una circunferencia entre la longitud de su diámetro, por lo que se denota con letra griega π, inicial de la palabra “περιμετρο” que significa perímetro. Leonard Euler (1707-1783), matemático suizo, fue quien hizo famosa la notación de π, a pesar de haberla implementado en sus estudios William Jones muchos años antes. La aproximación al número π se remonta a las civilizaciones más antiguas, ejemplo de ello fueron los babilonios y egipcios, que aún cuando desconocían su nombre y simbología, le atribuyeron el valor “3” obtenido con la aproximación de la longitud de una circunferencia mediante “6r” que es el perímetro del hexágono regular inscrito.
Es decir, de la relación 6r = 2πr, se obtiene que π = 3
r r
Lado del hexágono = radio de la circunferencia r=r
Hay un pasaje de la Biblia donde también se puede deducir ese valor “3”: “…Él, hizo también un vaso de metal fundido, la gran cuba, que tenía diez codos de diámetro y era perfectamente redondo, y tenía cinco codos de alto, en tanto que un cordón de treinta codos medía la circunferencia”. De aquí se cumple que: π = 30 codos/10 codos = 3. Aún en nuestra era se hacen cálculos sobre π, llegando a representarlo con 109 cifras decimales. Éste número es tomado en cuenta en muchas fórmulas matemáticas relacionadas con medidas: longitud de una circunferencia, área de un círculo, área de un óvalo, volumen de un cilindro, de un cono y de una esfera, área de la superficie de una esfera, entre otros. El primer matemático que hizo cálculos de π con muchas cifras, 707 cifras decimales, fue el inglés William Shanks en 1873, cifras que adornan la cúpula del “Palacio del
72
Descubrimiento” en el Museo de Ciencias de Paris. Esta cúpula se encuentra en una sala que tiene 10 metros de diámetro y π decámetros de perímetro. El matemático e ingeniero venezolano Francisco José Duarte (1883-1972), nacido en Maracaibo, también calculó el número π con muchas cifras. Duarte escribió, en 1956, una monografía sobre los números irracionales π y ℮
Procedimientos para calcular áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos: En muchas labores de la vida cotidiana se deben hacer cálculos para determinar el área de una determinada región; ya sea sobre un terreno que se va a cultivar, alguna edificación que se va a construir; sobre un piso que se va a cubrir con alfombra o cerámica; sobre una pared o un lienzo donde se va realizar una pintura, entre otros. También es importante realizar cálculos de volumen en situaciones donde; se necesite saber, cuántos litros de agua requiere una piscina, un tanque, una botella o cualquier otro envase; la cantidad de cajas que ocupan una habitación o cava; entre otras actividades de la vida diaria. El área de una figura plana, es la medida de la región encerrada por líneas poligonales, en otras palabras es la medida de la superficie. Realicemos algunos cálculos de perímetro y área. Ejemplo 1: En el terreno de béisbol, las cuatro bases forman un cuadrilátero como se muestra en la figura. Si entre cada base hay una distancia de 90 pies, es decir, 27 metros ¿Cuántos metros recorre el bateador al dar un jonrón? 2da Base Solución:
3ra Base
Sólo tenemos que calcular el perímetro del cuadrilátero: Recuerda que para calcular el perímetro de un polígono se suman las longitudes de sus lados.
Entonces:
1ra Base
Home
P = 27m + 27m + 27m + 27m Luego Perímetro = 4.(27m) = 108 metros. Por lo tanto: El bateador recorre 108 metros al dar el jonrón. ¿Calcula el área que hay entre las cuatros bases? Solución: Para calcular el área del cuadrilátero que es un cuadrado, sólo debemos multiplicar la medida de un lado dos veces, así.
73
Área
= (Lado)2 Área
= (27m)2 = (27m).(27m) = 729 m2
27m
El área del cuadrilátero que está entre las cuatro bases es de 729m2
27m
Ejemplo 2: El terreno de una siembra de café tiene forma de un trapecio isósceles, como se muestra en la figura, se necesita saber el perímetro y el área del terreno. −
A
B Altura
D
C F
Solución:
AB = 3Km − Donde: BC = 5 Km 2 − 11 DC = Km 2 − 8 AF = 3
AD = BC −
AF = Altura
Para calcular el perímetro del trapecio, aplicamos la fórmula: P = AB + BC + CD + DA Entonces: Perímetro
= 3Km +
Perímetro = 3Km +
El perímetro del terreno es de
5 11 5 Km + Km + Km 2 2 2
21 27 Km = Km 2 2 27 Km 2
Luego, cálculo del área: El área de un trapecio se calcula mediante la fórmula:
Área
=
( Base mayor + base menor ) ⋅ Altura 2
Donde: base mayor = DC; base menor = AB Altura = AF. Sustituyendo; queda:
74
Área
5 11 Km + Km = 2 2 ⋅ 8 Km 2 3
Área
=
8KM 8 ⋅ Km 2 3
=
Área
32 Km 2 3
Área
16 Km = 2 ⋅ 8 Km 2 3
Área
= 4Km ⋅
El área del terreno es de
8 Km 3
32 Km 2 3
Ejemplo 3: Una constructora, ha dividido un terreno en cuatro partes iguales para la edificación de cuatro casas. Si el terreno tiene forma de rombo y las medidas y divisiones se especifican en la figura dada. Calcular el área de todo el terreno y el área que corresponde a cada casa. Donde:
D
−
G
DE = 10 Dam
E
−
DF = 16 Dam −
EG = 12 Dam
F
Solución: Para calcular el área de un rombo se aplica la fórmula: Área
=
Diagonal mayor ⋅ diagonal menor 2
Donde; diagonal mayor = DF y diagonal menor = EG Sustituyendo; queda: Área
=
(16Dam ) ⋅ (12Dam ) 2
=
192Dam 2 2
Área
= 96Dam 2
Luego el área de todo el terreno es igual a 96 Dam2 Para calcular el área de una de las divisiones, podemos dividir el área total entre 4 o tomamos una de las cuatro divisiones; que representan triángulos y le calculamos el área. D
G
C F
Para calcular el área del base “CE” y la altura “CD”. E
Recuerda que Área
=
DEC, se necesita conocer la
base . Altura 2 75
Como las diagonales de un rombo se cortan en sus puntos medios, entonces: La mitad de la diagonal EG es igual a CE.
EG 12Dam = = 6Dam Esto es: 2 2 CE = 6Dam = base Esto es;
DF 16Dam = = 8Dam 2 2
Por lo tanto;
Área
=
−
También: DF = CD 2 −
CD = 8Dam = Altura
( 6Dam ) ⋅ ( 8Dam ) 2
=
48Dam 2 = 24Dam 2 2
Ejemplo 4: Miguel es albañil y quiere construir en el patio de su casa un caney de base pentagonal. Si del centro de la superficie de la base, al punto medio entre dos columnas, la distancia es de 7/2 metros y entre cada columna hay una distancia de 3 metros; ¿Cuál es el área del pentágono? Solución:
Los vértices A, B, C, D, E
A
Son los puntos donde van las columnas. El segmento FH es un apotema.
B
E
F D
H
Como AB = 3m y el pentágono es regular, entonces, C
AB = BC = ED = DC = CB
y
FH =
7 m 2
Luego, para calcular el área de un pentágono regular se aplica la fórmula. Área
=
( Perímetro del
polígono ) ⋅ Apotema 2
Entonces; Perímetro = AB + BC + CD + DE + AE Pero como todos los lados miden igual Perímetro= 5.( AB ) = 5.(3m ) = 15m Por lo tanto; Área
=
(15m ) ⋅ 7 m 2 2
105 2 m 105 2 es el área del pentágono. = 2 = m 2 4
76
Cálculos de algunos volúmenes en cuerpos geométricos. Ejemplo 5: Una tarde, el joven Julio caminaba con su padre por cierta avenida y observa, detalladamente, las cosas a su alrededor; le dice: Papá, viste que algunos carros, en la parte trasera, llevan escrito algunos símbolos como: 1.3L, 1.6L, 2.0L, 4.5L, etc. ¿qué significan esos números? El padre, como todo un experto, le contesta: Hijo, esas expresiones hacen referencia a la cilindrada del automóvil, en otras palabras al volumen útil de los cilindros; cuanto mayor es la expresión que allí se indica mayor es la cilindrada del vehículo. Por ejemplo, en un carro de cuatro cilindros, si calculamos el volumen de cada cilindro, mediante la fórmula: V = π ⋅ r 2 ⋅ h , siendo π ≈ 3,1416 ; h = altura = 7,548cm y r = radio = 4,1035cm . Sustituyendo la fórmula, queda:
V = (3,1416) ⋅ (4,1035cm) 2 ⋅ (7,548cm) = 399,29cm 3 , ésta representa la capacidad para cada cilindro. Si el carro es de 4 cilindros, entonces la cilindrada es de: 4V = 4(399,29cm 3 ) = 1597,16cm 3 . Redondeando esta cantidad por exceso nos resulta, que: V = 1600cm 3 , esto es equivalente a decir V = 1,6litros , y se anota de esta manera para simplificar la escritura. Ejemplo 6: Una piscina, tiene la forma de un prisma como el que se muestra en la figura ¿cuántos litros de agua se necesitan para llenarla por completo? Solución: Observa que si la piscina fuese un paralelepípedo el volumen sería:
V = ( Áreabase) ⋅ altura Esto es, V = (10m ⋅ 4m) ⋅ (4m) Luego; V = 160m 3 Pero a la piscina le hace falta un pedazo, para ser un paralelepípedo, algo como esta forma; un prisma triangular, cuyo volumen es:
V=
V =
( 4m ⋅ 4m ) ⋅ 5 2 m 2
=
( Área base) ⋅ altura . Sustituyendo, queda; 2
(16m )5m = 80m 2
4
4
3
= 20m 3
Luego, al volumen del paralelepípedo le restamos el volumen del prisma triangular y nos dará el volumen de la piscina, así: Volumen de la piscina = 160m 3 − 20m 3 = 140m 3 Pero nos piden la capacidad de la piscina en litros, por lo que hay que transformar 140m 3 a litros ; para hacer esto, primero tenemos que trasformar 140m 3 a dm 3 . De acuerdo
77
a la escalera de conversión, se tiene que: 140m 3 a dm 3 = 140000dm 3 , si se sabe que 1dm 3 = 1litro , entonces; 140000dm 3 = 140000litros . Por lo tanto la piscina necesita 140000litros de agua para llenarse por completo. Te proponemos algunos ejercicios y problemas, debes ejercitar todo lo relacionado al cálculo de áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos. Ejercicios: 21.1.¿Cuál es el área de un triángulo cuya base mide 35 cm y su altura es 3/5 de la base?
21.2.¿Cuánto mide la base menor de un trapecio que tiene como área 204 m 2, la base mayor es de 32 m y su altura es de 12 m?
21.3.¿Cuál es la medida de uno de los lados de un polígono regular de 16 lados, de apotema igual a 60 cm y área 16000 cm2? 21.4.¿Cuál es el área de un círculo cuyo perímetro es de 52 dm? Según la figura que se te indiqua a continuación, realiza los cálculos respectivos: 21.5. Si el área de la figura es igual a 68 cm2 ¿cuánto vale b?
9 cm.
b
A 21.6. El triángulo ABC es isósceles; si AD = 11 cm.
C
D
B
y CD = 7/2 cm. ¿cuánto vale el área?
El trapecio de la figura se ha construido con tres triángulos rectángulos, donde uno de ellos es isósceles. 21.7. Halla el área del trapecio de dos maneras: usando la fórmula del área del trapecio y hallando la suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos.
12 cm.
13 cm.
7 cm.
13 cm.
12 cm.
7 cm.
Resuelve los siguientes problemas:
21.8.La habitación de Juana, mide 4 m de ancho, 5 m de largo y 5/2 m de alto. El área de la puerta y la ventana es de 2 m 2. Ella desea colocar papel tapiz a las cuatro paredes; si cada rollo de papel mide 50 cm de ancho por 5 m de largo ¿Cuántos rollos de papel necesitaría Juana para cubrir las paredes? 21.9.En Tinaquillo hay una estación de radio que tiene una cobertura igual a un radio de 72 Km. ¿Cuántos kilómetros cuadrados cubre la señal de la estación de radio?
78
21.10.Carlos tiene un terreno de forma cuadrada, cuyo lado mide 18 m. En cada esquina del terreno hay un poste y un caballo atado por una cuerda de 9 m. ¿Qué parte del terreno no puede se recorrida por los caballos?
21.11.Calcula el volumen de los siguientes cuerpos:
21.13.El volumen de un cilindro es 330п cm3. Calcula el radio de la base si la altura mide 6 cm. 21.14.Determina la altura de un cono que tiene un volumen de 108п m3 y el área de la base es igual a 36п m2.
LECTURA Nº 22: THALES Y LA PIRAMIDE DE KEOPS Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar. Thales y la pirámide de Keops. [Artículo en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/ matemática. Extraído: enero 11, 2007
Tales de Mileto (s. VI a.C.), matemático y filósofo de la antigua Grecia, pertenece al selecto grupo de los siete sabios de la antigüedad, después de ciertos ensayos y reflexiones, realizó el cálculo de la pirámide de Keops, y lo asombroso fue que lo hizo sin hacer mediciones de manera directa, ni se esforzó por llegar a la cima de tan imponente monumento. Se basó en un planteamiento o teorema que lleva su nombre. Según los antecedentes históricos que se tienen en la actualidad, la idea de Thales para el cálculo que realizó se esquematiza como sigue: Sea “A” la altura de la pirámide para calcular; se clava una vara, cuya longitud se conoce, verticalmente donde termina la sombra que proyecta la pirámide. Los valores “S” y “v” son las longitudes conocidas de las sombras de la 79
pirámide y de la vara. Luego, mediante el teorema de Thales se puede demostrar la siguiente igualdad: A=
D⋅h base , donde D = +S. v 2
Esa igualdad permite calcular “A”, si se conoce, la base de la pirámide cuadrangular, la sombra “S” de la pirámide, la altura “h” de la vara y la sombra “v” de la vara. Cuando se realizaron los cálculos la asombrosa pirámide tenía 227 m de lado y 146,5 m de altura. En la actualidad, el procedimiento más común para realizar medidas en cuerpos geométricos y figuras planas, es la aplicación de fórmulas matemáticas. Esas medidas que llamamos áreas y volúmenes, no se calculan directamente ya que se deben medir previamente ciertas magnitudes. Por ejemplo: Figura Triángulo
Área A=
base ⋅ altura 2 B+b ⋅ altura 2
Trapecio
A=
Paralelogramo
A = base ⋅ altura
Rectángulo
A = base ⋅ altura
Rombo
A=
A = (lado) 2
Cuadrado
A = π ⋅ r2
Círculo
Cuerpo Prisma recto
producto _ de _ diagonales 2
Volumen V = área _ de _ base ⋅ altura 80
V = (lado) 3
Cubo Pirámide
V =
área _ de _ base ⋅ altura 3
Cilindro
V = π ⋅ r 2 ⋅ altura
Cono
π ⋅ r 2 ⋅ altura V = 3
Esfera
V =
4 π ⋅ r3 3
81
LECTURA N° 23: LA TRIGONOMETRÍA Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J (2007). La trigonometría. [Artículo no publicado]. (pp. 1- 3). Tinaquillo, Estado Cojedes.
Es la rama de la geometría, que estudia las relaciones numéricas entre los lados y los ángulos de los triángulos •
.
• •
•
El origen 0 es el vértice de ángulo y las semirrectas 0A y 0B son los lados del ángulo. 0A es el lado inicial y 0B es el lado terminal. El ángulo A0B= & se genera mediante la rotación del lado 0A hasta el lado 0B Los ángulos pueden denominarse con letras del alfabeto griego:
α , β , δ , γ , λ ,σ , φ.
•
También puede denominarse ⊄ A0 B , que se lee como ángulo A0B. Un ángulo es positivo si 0A se rota en sentido contrario al giro de las agujas del reloj hasta 0B. Un ángulo es negativo si 0A se rota en el mismo sentido del giro de las agujas del reloj hasta 0B.
Un ángulo, es la posición del plano limitada por dos semirrectas que poseen un origen común.
•
Un radián es el ángulo central de una circunferencia al que le corresponde un arco de longitud igual al radio. Si 360º=2 π radianes 180º = π radianes de donde 1 radián = 180º/ π = 57,30º
• •
Para convertir de grado a radianes multiplicamos el valor del ángulo en grado por π /180º. Para convertir de radianes a grado se multiplica el valor del ángulo en radianes por 180º/ π .
82
Las razones trigonométricas Consideremos el triángulo rectángulo de referencia
B
AB = c: Hipotenusa BC = a: Cateto opuesto al ángulo & AC = d: Cateto adyacente al ángulo &
c a
& C
d
A
Tomando en consideración el triángulo ABC y el ángulo & pueden definirse las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo así: Se llama seno de & a la razón entre el cateto opuesto BC y la hipotenusa
Sen(&) =
AB:
BC AB
Se llama coseno de & la razón entre el cateto adyacente AC y la hipotenusa AB:
Cos (&) =
AC AB
Se llama tangente de & a la razón entre el cateto opuesto BC y el cateto adyacente AC:
Tag (&) =
BC AC
Razones trigonométricas recíprocas Se llama cotangente de & a la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto:
Ctg (&) =
AC CB
Se llama secante de & a la razón entre la hipotenusa AB y el cateto adyacente AC:
Sec(&) =
AB AC
Se llama cosecante de & a la razón entre la hipotenusa AB y el cateto opuesto BC:
83
Csc (&) =
AB BC
Identidad fundamental de la trigonometría Consideremos el triángulo rectángulo mostrado en la figura. Apliquemos el teorema de Pitágoras a dicho triángulo. (Hipotenusa)2 = (Cateto)2 + (Cateto)2 De acuerdo al triángulo rectángulo ABC se tiene que: ( AC ) 2 = ( AB ) 2 + ( BC ) 2 , luego; dividimos toda la igualdad por (AC)2 y nos queda:
( AC ) 2 ( AC ) 2
=
( AB ) 2 + ( BC ) 2 , ( AC ) 2 ( AC ) 2
por propiedad de la potenciación, se puede representar así: 2
2
AC AB BC = + AC AC AC
2
luego; según la definición de las razones trigonométricas se tiene que: Si AC es la hipotenusa, AB es el cateto opuesto del ángulo α y BC es el cateto adyacente del ángulo α , entonces: AB BC = Senα , = Cosα . AC AC Y por propiedad de inverso en la multiplicación
AC = 1, AC
Por lo tanto, si se sustituye estas igualdades en la anterior, nos queda: 1 = ( Senα ) + ( Cosα ) . 2
2
De esta manera la expresión:
( Senα ) 2 + ( Cosα ) 2 = 1
representa la identidad fundamental de la trigonometría, en función al triángulo rectángulo y a uno de sus ángulos agudos. Ejercicios propuestos 23.1- Encierra en un círculo la opción “V” si consideras el enunciado como verdadero o la letra “F” si lo consideras falso:
84
1. La trigonometría, estudia la simetría de las figuras planas..................... V - F. 2. La identidad fundamental de la trigonometría es llamada teorema de Euclides .................................................................................................. ............ V - F.
3. Las razones trigonométricas parten de un triángulo rectángulo.............. V - F. 4. La razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama cotangente de & de .................................................................................................. ............ V - F.
5. Para hallar la identidad fundamental hay que aplicar el teorema de Pitágoras .................................................................................................. ............ V - F.
6. El seno al cuadrado de un ángulo más el coseno al cuadrado del mismo ángulo es igual a la unidad .................................................................................................. ............ V - F.
7. La secante de & es una razón trigonométrica recíproca del coseno....... V - F. 8. El cateto adyacente más el cateto opuesto es igual a la hipotenusa...... V - F. RESUMEN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Las identidades pitagóricas: 1. sen 2 x + cos 2 x = 1
2. tag 2 x + 1 = sec 2 x
3. 1 + cot ag 2 x + 1 = cos 2
Las identidades del cociente: 4. tagx =
senx cos x
5. cot agx =
cos x senx
Las identidades recíprocas: Figura6. 12cos x =
1 senx
7. senx =
1 cos x
8. cot agx =
1 tgx
Ejercicios:
23.2.Sabiendo que sen α = ¾ calcular el resto de las identidades trigonométricas 23.3.Dado que la tag & =
3 2 calcular cos& y sen& 2 3 85
23.4.Sabiendo que sec & =
30 calcular sen& y cot& 2 3
23.5.Sabiendo que cos α =
m2 − n2 encontrar cot α m2 + n2
23.6.Si sen∞ =
1 2
hallar el valor de la exp resión
23.7. sen∞ = 3 hallar el valor de la exp resión
tag 2∞ − cos 2 ∞ sec 2 ∞ + cot 2 ∞ sen 2∞ + cot 2 ∞ + cos 2 ∞ 2 2 sec ∞ + cos ∞
23.8.Dado el triángulo de la derecha, calcular las razones trigonométricas del ángulo α
1+a α
1-a
LECTURA Nº 24: LA TRIGONOMETRÍA ¿PARA QUÉ SIRVE? Tomado con fines instruccionales de: Feria, D. (s.f.) Trigonometría ¿Para qué sirve? [Artículo en línea]. Disponible: http://www.es.geocities.com/dferiagomez. Extraido: diciembre 6, 2007
El problema básico de la trigonometría es algo parecido a esto: Estás cerca de un ancho río y necesitas conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el árbol marcado en el dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la 3ª dimensión). ¿Cómo hacerlo sin cruzar el río? La forma habitual es como sigue. Clave dos postes en el suelo en los puntos A y B, y mida con una cinta la distancia “c” entre ellos (base del triángulo). Luego extraiga el poste del punto A y sustitúyalo por un telescopio de topógrafo "teodolito", contando con una placa dividida en 360 grados, marque la dirección (azimut) a la que apunta el telescopio. Dirigiendo el telescopio primero hacia el Figura 10 árbol y luego hacia el poste B, mide el ángulo A del triángulo ABC, igual a la diferencia entre los números que ha leído de la placa de azimut. Sustituya el poste por el teodolito en el punto B y mida de la misma forma el ángulo B. La longitud “c” de la base y los dos ángulos A y B es todo lo que necesita para conocer el triángulo ABC, suficiente, por ejemplo, para construir un triángulo de la misma forma y mismo tamaño, en un sitio más conveniente.
86
La trigonometría (de trigón = triángulo) en un principio, fue el arte de calcular la información perdida mediante simple cálculo. Dada la suficiente información para definir un triángulo, la trigonometría te permite calcular el resto de las dimensiones y de ángulos. ¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas radiando desde un ángulo hacia los otros. Para medir un terreno, los topógrafos lo dividen en triángulos y marcan cada ángulo con un "punto de referencia", que hoy en día es a menudo, una placa de latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente). Después de medir la base, como la AB en el ejemplo del río, el topógrafo medirá (de la forma descrita aquí) los ángulos que se forman con el Un antiguo telescopio De topógrafo punto C y usará la trigonometría para calcular las distancias AC y BC. (teodolito). Estas pueden servir como base de 2 nuevos triángulos, que a su vez suministrarán bases para dos más..., y de esta forma construirá más y más triángulos hasta que se cubra el terreno completo, con una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente, se puede añadir una red secundaria, subdividiendo los triángulos grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarán distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los planos. Un gran proyecto de reconocimiento del siglo XIX fue la "Gran Planimetría Trigonométrica" de la India británica. Se construyeron para el proyecto los mayores teodolitos, monstruos con escalas circulares de 36" de ancho, cuyas lecturas se hacían de manera precisa con 5 microscopios. Cada uno con su caja pesaba media tonelada y se necesitaban 12 hombres para trasladarlo. Usándolos, el proyecto cubrió el país con múltiples cadenas de triángulos en las direcciones norte-sur y este-oeste (las áreas entre las cadenas se dejaron para más tarde) y se necesitaron décadas para completarla. En 1843 Andrew Scott Waugh, se encargó del proyecto como Inspector General y puso especial atención a las montañas del Himalaya del norte de la India. Debido a las nubes y a la niebla, esas montañas se ven raramente desde las tierras bajas, y hasta 1847 no se consiguieron varias mediciones. Después de haberse hecho, los resultados necesitaron ser analizados laboriosamente por "computadores" en las oficinas de inspección; no eran máquinas sino personas que efectuaban los cálculos trigonométricos. La historia dice que en 1852, el jefe de los "computadores" fue hacia el director y le dijo: "Señor, hemos descubierto la mayor montaña del mundo". Desde una distancia de más de 100 millas (160 km), observaron la montaña desde seis estaciones diferentes, y "no dio lugar a que el observador sospechara que estaba viendo a través de su telescopio el punto más alto de la Tierra". Al principio se la designó como "Pico XV" por la inspección, pero en 1856 Waugh la denominó Everest, en memoria de Sir George Everest su predecesor, en la oficina de jefe de inspectores. El Everest fue el primero en registrarse y
87
en usar los teodolitos gigantes; ahora están expuestos en el "Museum of the Survey of India" en Dehra Dum. Hoy en día se puede localizar de forma muy precisa la posición de un punto sobre la Tierra, usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satélites en órbita exacta, que están difundiendo constantemente su posición. Un pequeño instrumento electrónico de mano recibe sus señales y devuelve nuestra posición con un error de 1020 metros (aún es más preciso para usos militares, los patrocinadores del sistema). Se usa una gran cantidad de trigonometría, pero lo hace todo la computadora que está dentro de su aparato, lo único que usted necesita es pulsar los botones apropiados.
LECTURA Nº 25: TEOREMA DE PITAGORAS Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar. Teorema de Pitágoras. [Artículo en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática. Extraído: enero 4, 2007
En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual, a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Observa cómo los cuadrados construidos sobre los catetos cubren el cuadrado construido sobre la hipotenusa. El cuadrado superior derecho se descompone, ubicando primero el punto de corte de las diagonales. Luego se trazan por ese punto, un segmento paralelo a la hipotenusa y un segmento perpendicular a ella. En la figura se presenta una “versión visual” de la comprobación de este teorema. Observa un ejemplo de comprobación analítica del teorema: En el triángulo rectángulo que se muestra en la figura, los lados miden 10, 8 y 6 unidades respectivamente. Sobre cada lado se ha construido un cuadrado; según el teorema de Pitágoras se puede verificar que el área del cuadrado mayor, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados menores. Analíticamente hablando, esto es: ( AB) 2 = ( AC ) 2 + ( BC ) 2 , entonces fácilmente podemos constatar la fórmula sustituyendo los valores correspondientes.
88
(10) 2 = (8) 2 + (6) 2 , luego 100 = 64 + 36 .
Figura 12
7cm 20cm 35cm
89
UNIDAD 4 PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES LECTURA Nº 26: EL PLANO CARTESIANO Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, M. (2006). El plano cartesiano. Artículo no publicado. (pp.1-2).Tinaquillo, Estado Cojedes.
La utilidad del plano cartesiano, puede ilustrarse de la siguiente manera: Dos personas acuerdan encontrarse a las 4:00pm, en cierta esquina de una ciudad cuyo sistema vial está constituido por calles paralelas y avenidas perpendiculares a las calles, como en el dibujo. Calle 5
Cale 4
Cale 3
Cale 2
Avenida
Avenida
Avenida
Avenida
Avenida
1
2
3
4
5
Entonces, la ubicación del sitio de encuentro es en la avenida 4 con calle 3. Si las calles y avenidas no estuvieran numeradas, sino que se identificaran por nombres, aunque las personas del encuentro no recordaran, sería posible identificar con precisión el punto de encuentro, si se toma como punto de referencia la catedral, un hospital y una escuela, por ejemplo:
(3,2)
(0,0)
La ubicación sería: dos cuadras arriba de la iglesia y tres cuadras a la derecha.
90
En este último caso, se usó un sistema para identificar el punto de encuentro, que es equivalente al sistema de coordenadas cartesianas. Asignando el punto (0,0) a la esquina de la iglesia; en ese caso, el punto de encuentro tendría coordenadas (3,2), lo que sería equivalente a decir; tres cuadras a la derecha y dos cuadras hacia arriba. Ahora veamos cómo se representan estos puntos de referencia matemáticamente en un Plano Cartesiano. El plano cartesiano llamado también SistemaY de Coordenadas Rectangulares, está formado por dos rectas perpendiculares de origen común y dividen el plano en cuatro cuadrantes.
Forma horizontal (eje de las X) se le llama Eje de Abscisas.
II CUADRANTE
I CUADRANTE (0,0) origen
El punto donde se cortan las rectas se llama Punto de Origen (0,0) y las rectas que se cortan, las llamamos Ejes de Coordenadas.
X Forma vertical (eje de las Y) se le llama Eje de las Ordenadas.
III CUADRANTE
IV CUADRANTE
Las rectas, al cortarse dividen al punto en cuatro partes exactamente iguales. Todo punto (x,y) lo podemos representar en el plano, mediante un par ordenado de números, donde la primera componente corresponde a la coordenada “X” y la segunda componente a la coordenada “Y”
Ejemplo: Se representa gráficamente el punto “A”, que tiene por coordenadas A (2 ,4) El par ordenado está en el I cuadrante
Y 4
A
2
X
91
LECTURA Nº 27: COORDENADAS Y TECNOLOGÍA Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar. Coordenadas y tecnología [Artículo en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática/. [Consulta:
Actualmente, la posición de un punto sobre la tierra o un objeto en vuelo en la atmósfera terrestre, se puede localizar de forma muy precisa mediante el Sistema de Posicionamiento Global: GPS, por sus siglas en inglés (Global Positioning System), creado por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos en 1978. A partir de 1996 se permitió su uso comercial y civil. Este es un sofisticado sistema de localización de posiciones, basado en la recepción y procesamiento de las informaciones emitidas, permanentemente, por una red de 24 satélites que giran en 6 órbitas circulares de 4 satélites cada una, a una altitud aproximada de 20.200km por encima de la superficie terrestre. Un pequeño instrumento electrónico de mano, denominado GPS, recibe y procesa la combinación de señales de al menos tres satélites, y muestra la posición en la que se encuentra respecto a un sistema de coordenadas geográficas que incluyen la latitud, la longitud y la altura sobre el nivel del mar. ¿Cómo se obtiene la posición de un objeto con el GPS? Supongamos que uno de los satélites está a una distancia de 15.000km. Geométricamente, esto indica que el objeto en cuestión, debe estar situado en algún lugar de la superficie de una esfera, cuyo centro es ese satélite y cuyo radio es de 15.000km. Imaginemos un segundo satélite a 16.000km del objeto que se desea localizar. Ahora el objeto considerado está, en algún lugar de la superficie de la esfera con centro en el nuevo satélite y radio 16.000km. En consecuencia, el objeto se encuentra en la circunferencia intersección de las dos esferas (figura oscura en el gráfico). Pensemos en un tercer satélite, cuya distancia al objeto en consideración es de 14.000km. La nueva esfera con centro en ese satélite y radio 14.000km, intersecta a las otras dos esferas en dos puntos A y B que pertenecen a la figura negra y que señalan la posible ubicación del GPS. Para saber cuál de los dos puntos señala nuestra verdadera posición, deberíamos recibir la señal de un cuarto satélite. Pero en la práctica uno de los puntos indica una posición posiblemente fuera de la Tierra o bien que no cumple con las condiciones requeridas y por tanto se descarta sin tener que analizar otra nueva señal. El procesador del GPS realiza instantáneamente los cálculos trigonométricos necesarios para medir la distancia desde cada satélite y calcular su posición geográfica.
92
LECTURA Nº 28: FUNCIONES QUE TIENEN HISTORIA Tomado con fines instruccionales de: Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticas de Educación Básica. Editorial Santillana, S.A. (p.140). Caracas, Venezuela.
En una oportunidad el rey Hierón encargó a un orfebre la elaboración de una corona de oro y plata. Lista la corona, el rey le pidió a Arquímedes que comprobara si las cantidades de oro y plata eran iguales a las que él le entregó al orfebre. Así llegamos al célebre baño de Arquímedes: al meterse Arquímedes en una bañera llena de agua, el nivel del agua naturalmente subía, pues cuanto mayor era la parte sumergida en el líquido, tanto más alto era el nivel de éste. Esto le dio a Arquímedes una gran idea, llenó completamente un recipiente de agua, sumergió la corona, y recogió el agua que rebasó el recipiente, ya que él sabía que el exceso de agua debía tener el mismo volumen que la corona. Lo que quedaba por hacer era sencillo: conseguir una cantidad similar de oro y comparar su volumen con el de la corona. Así, Arquímedes demostró que la corona contenía menos oro del acordado. Actualmente, se pueden comprobar esas relaciones mediante ecuaciones que expresan funciones: oro: P=19*V; plata: P=(10,5)*V; mercurio: P = (13,6)*V; donde P es el peso y V es el volumen.
LECTURA Nº 29: LA FUNCIÓN LINEAL Tomado con fines instruccionales de: Porras. O. (2004). Tercera Etapa: una propuesta. Escuela Venezolana para la Enseñanza de la Matemática. (p.63). Mérida, Venezuela.
¿Sabías que la notación que se usa actualmente para expresar las ideas relacionadas al concepto matemático de “función” fue introducida por Leonhard Euler, uno de los más brillantes genios de la historia de la ciencia? El concepto de función, ha sido utilizado desde entonces prácticamente en todas las ramas de la matemática, dicho concepto matemático permite organizar información que se obtiene a través de datos numéricos tomados de algún fenómeno, y estudiar la manera en que esos datos se relacionan entre sí. Por ejemplo, se tienen los siguientes datos acerca de los kilómetros recorridos por un ciclista en entrenamiento, en intervalos de tiempo de 15 minutos: Minutos
0
15
30
45
60
kilómetros
0
6
12
18
24
93
Un observador cuidadoso notará que, en cada intervalo de 15 minutos, el número de kilómetros avanzados es siempre el mismo, 6km. Si se representan estos datos en el plano cartesiano, ubicando el tiempo en minutos en el eje de las abscisas (x) y la distancia recorrida en el eje de las ordenadas (y), se obtiene algo así: (60,24)
24 (45,18)
18 (30,12)
12 6 0
(15,6)
15
30
45
60
Esto indica que el ciclista va a una velocidad constante, y que una línea recta representa su recorrido en kilómetros a través del tiempo. El tiempo y la distancia se denominan variables. El tiempo es, en este caso la variable independiente y la distancia recorrida es la variable dependiente, porque depende del tiempo: para cada instante dado, hay una distancia recorrida. Una función, es una manera de asociar cada elemento de un conjunto de variables con un elemento de otro conjunto de variables (como en este caso) y se escribe f (x) para representar el número que se le asocia a la variable independiente x .
f (0) = 0 ; f (15) = 6 ; f (30) = 12 ; f (45) = 18 ; f (60) = 24 Y en general: f ( x) =
2 .x 5
Es decir, cada vez que la x (variable independiente) aumenta en 15 minutos, la variable dependiente (F(x) o y) aumenta en 6 kilómetros.
94
LECTURA Nº 30: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, M. (2007). Distancia entre dos puntos en el plano. Artículo no publicado. (pp.1-2). Tinaquillo, Estado Cojedes.
RECUERDA Teorema de Pitágoras en todo triangulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
La distancia entre dos puntos en el plano, se puede calcular aplicando el Teorema de Pitágoras en función de las coordenadas de esos puntos. En la figura se ha formado el triángulo ABC rectángulo en C , donde la medida de la hipotenusa AB corresponde a la distancia entre los puntos A( x1 , y1 ) y B( x2 , y2 ), que se designa como d ( AB ) .
( AB ) 2 = ( AC ) 2 + ( BC ) 2
B a
d ( AB ) 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2
c
Por lo tanto
C
A b c2 = a2 + b2
d ( AB) = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
De forma tal que: dados dos puntos con sus respectivas coordenadas, se puede encontrar la distancia entre ellos sólo con aplicar la fórmula correspondiente.
ACTIVIDADES: Hallar la distancia entre los puntos: 30.1- A(-2,3) y B(-2,1)
30.2- C(4,4) y D(7,-9)
30.3-E(8,-1) y F(-6,-5)
30.4- G(-5,3) y H(6,6)
30.5- I(4,-3) y J(2,9)
30.6-K(1,1) y U(9,4)
30.7-Representa gráficamente cada par de puntos.
95
Ejemplo: ¿Cuál es la distancia entre los puntos A(-9, 7), y B(3, 2)? Aplicando la fórmula respectiva, se obtiene:
d ( AB) =
[ 3 − (−9)] 2 + (2 − 7) 2
30.8) En la siguiente gráfica obtener: a) Todos los pares ordenados. b) Todas las combinaciones posibles entre dos puntos. c) Hallar la distancia entre dos puntos de las combinaciones obtenidas.
= (3 + 9) 2 + (2 − 7) 2 = (12) 2 + (−5) 2 = 144 + 25 = 169 = 13
3 2 1
Y 7
0 -2
2 -9
3 X
-1
-1
1
2
3
-2
30.9-Si un triángulo tiene como vértices los puntos: A(-2,-3); B(-1, 1) y C(0,4). Calcula el perímetro del mismo.
30.10-Del ejercicio anterior, calcula los puntos medios de cada lado y entre estos puntos traza un nuevo triángulo. Calcula el perímetro del nuevo triángulo.
30.11-¿Qué relación existe entre los perímetros calculados en los ejercicios 30.8 y 30.9?
30.12-Si las coordenadas del punto A son (3,4) y la distancia de A hasta B es 5. Indica dos de las posibles coordenadas de B.
96
LECTURA Nº 31: CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, M. (2007). Clasificación de las funciones. Artículo no publicado. (pp.1-2). Tinaquillo, Estado Cojedes.
Se llama Función Lineal f: R- R definida por la ecuación de primer grado f ( x ) = ax + b, donde a y b son constantes. La gráfica de la Función Lineal es una línea recta. La Ecuación de la recta puede explicarse en forma implícita o en forma explícita Donde
Donde Representación gráfica de la función lineal
Para representar gráficamente una Función Lineal se requiere conocer, por lo menos, dos puntos de ella. Estos puntos se llevan al plano de coordenadas y se unen a través de una línea recta. La recta trazada será la gráfica de la función lineal dada. Ejemplo: Representar gráficamente la función Y = 2 x − 1 , le damos valores arbitrarios a la variable “X” en la tabla.
5 4 3 2 1
-2 -1
1
2
3
4
5
6
7
Ejercicios: Completa las siguientes tablas según las funciones reales dadas. Luego, grafícalas y dale el nombre a cada una. 31.1) f ( x) =
x +1 3
31.2) g ( x) = 6 x − 3
97
Representa gráficamente la Función
31.3)
−2 1 2 X + Y− =0 3 2 3
31.4) Y ) =
7 5 X− 3 3
Pendiente de la recta
La pendiente (m) de la recta y la ordenada del origen (b) quedan perfectamente definidos en la fórmula de la función lineal correspondiente:
La tangente trigonométrica del ángulo que forma dicha recta con el eje horizontal del sistema. Se denota con la letra (m). La tangente de un ángulo es igual al cateto opuesto sobre cateto adyacente: Tag α = CO CA
m=
m = CO CA
y 2 − y1 x 2 − x1
Ejemplo: Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2,4) y B (4,6)
x
y
2 4 4 6
m=
y 2 − y1 x 2 − x1
m=
6 −4 2 = =1 ⇒m =1 4 −2 2
Determina la pendiente de la recta y = 3 x + 2 que pasa por los puntos NOTA: No era necesario aplicar la fórmula ya que A(2,8) y B (−3,−7) en la función lineal f ( x) = mx + b el coeficiente de la variable x es la pendiente. x y 2
8
-3
-7
m=
− 7 − 8 − 15 = =3⇒ m =3 −3− 2 −5
98
Ejercicios: Despeja la “Y”, e indica la pendiente de cada recta. 31.5) 3 x + y = 5
31.6) 2 x − 3 y = 6
31.7) − 2 y = x
Calcula la pendiente de las siguientes rectas dadas por dos puntos. 31.8) CD si C ( −1,6) y D ( −3,5)
31.7) AB si A(3,4) y B(5,7) 31.9) AB si A( −2,−2) y B (2,2)
Despeja la “Y”, e indica la pendiente de cada recta. 31.10) y =
x+ y 2
31.11) 4 x + 2 y − 7 = 0
31.12) 4 − y = 0
Calcula la pendiente de las siguientes rectas dadas por dos puntos. 31.13) MN si M (0,1) ∧ N (4,−2)
31.14) TU si T (2,1) ∧U ( 2,−3)
Resuelve los siguientes problemas: 31.15) Sabiendo que una persona acorta su vida en 8 minutos cada vez que se fuma un cigarrillo. Expresa en forma de función, el cálculo de la cantidad de horas que una persona acorta su vida en un mes si se fuma x cantidad de cigarrillos al día. 31.16) Elabora la gráfica para la función del ejercicio 31.15 y calcula la pendiente. 31.17) Dibuja la gráfica del paralelogramo cuyos vértices están representados por los puntos: A(-3,-1); B(0,-4); C(6,4) y D(3,7). Utilizando el criterio del cálculo de la pendiente de los lados, determina que figura se forma al unir los puntos medios de los cuatro lados. Función cuadrática Ya has estudiado la función lineal, la cual se puede definir como una relación entre dos conjuntos numéricos, un conjunto dominio (valores que puede tomar la x) y un conjunto rango (valores de la y). La relación entre estos conjuntos, está dada de forma que cada elemento del dominio le corresponde una imagen o elemento siempre distinto en el rango. Es decir, la función lineal pertenece al grupo de las funciones biyectivas. Se caracteriza por tener como ecuación la forma y = mx + b y su gráfica es una recta en el plano cartesiano. Ahora bien, la función cuadrática también es una relación entre dos conjuntos numéricos, pero aquí la correspondencia entre los elementos, es un poco diferente a la que se presenta en la función lineal; debido a que pares de elementos distintos en el conjunto dominio se relacionan con una misma imagen o elemento en el conjunto rango. La función cuadrática podría ser un
99
típico caso de las funciones sobreyectivas. Se caracteriza por tener como ecuación la y = Ax 2 + Bx + C ; siendo los forma coeficientes A, B y C números reales cualesquiera y A ≠ 0 , y además su gráfica representa una parábola o curva abierta en forma de campana, simétrica respecto a un eje.
Veamos la comparación entre la función lineal y la cuadrática. Función Lineal
Función Cuadrática
Ecuación
y = f ( x) = mx + b
y = f ( x) = Ax 2 + Bx + C
Variable
La variable “X” tiene exponente 1
La variable “X” tiene exponente 2
Gráfica
Es una línea recta
Es una parábola
Tipo de función
Es Inyectiva y sobreyectiva
Puede ser sobreyectiva
Funciones reales FUNCIÓN: Cuando una cantidad variable depende de otra se dice que está en función de esta última. En una definición moderna de función, Cauchy, explica que “Y” es función de “X” cuando el valor de la variable X le corresponden uno o varios valores determinados de la variable “Y”. La notación para expresar que Y es función de X es: Una Función Real, es una función cuyo dominio y rango están constituidos por números reales R o subconjuntos de éste.
Hemos estudiado las Funciones Lineales Funciones Cuadráticas Funciones Reales
100
101
Ejercicios: Determina cuáles de las siguientes funciones son cuadráticas: 2 31.18- y = 2 x + 5
2 31.19- y = 3 x − 5 x + 6
31.20- y = 2 x − 1
31.21- y = ( x + 2).( x − 2 )
x 1 31.22- y = + 2 3
31.23- y =
2
x + 5x − 1
31.24-¿Cuáles son los coeficientes de las funciones cuadráticas de los ejercicios 36.18 al 36.23 31.25-Realiza la gráfica de las funciones del ejercicio 34.24 Desde la azotea de un edificio de 30m. de altura, es lanzado hacia arriba, un cohetón (fuegos artificiales). El recorrido del artefacto se expresa mediante la 2 función: f (t ) = −2t + 32t (siendo t el tiempo). 31.26-Determina la altura del cohetón al transcurrir 1seg, 2seg, 3seg, 4seg y 5 seg. 31.27-Elabora una gráfica de la función. 31.28-¿Cuál es la mayor altura que alcanza el artefacto y a cuántos segundos? 31.29-¿A cuántos segundos pasa en caída frente al mismo lugar de donde fue lanzado? 31.30-¿Cuántos segundos demora en caer al nivel de la carretera?
Función exponencial Una Función Exponencial, es una función de la forma y = f ( x) = a , donde a es un número real positivo distinto de 1. De acuerdo a esto, podemos escribir en símbolos lo siguiente: x
Una función de la forma y = f ( x) = a x , donde a > 0 y a ≠ 1 , es una función exponencial, siendo “a” la base de la función exponencial.
Ejemplo:
y=2
x
y =5
x
1 y= 2
x
1 y = 5
x
NOTA: Debemos hacer notar que si a = 1 , entonces a x se transforma en 1x = 1 y se tendría una función constante. Es ésta, la razón por la cual se impone en la definición que a ≠ 1 .
102
x Ejemplo: Gráfica de f ( x) = 2
Tabla de Datos De la gráfica podemos observar varios aspectos: Cuando X aumenta ( x → +∞ ) los valores de Y aumentan con rapidez, mientras que cuando los valores de X disminuyen ( x → −∞ ) los valores de Y se acercan cada vez más a “0”. En este caso se dice que el eje X es una Asíntota Horizontal. La función es creciente. Por otro lado, no existen intersecciones con el eje X porque b x ≠ 0 para cualquier valor de X. La intersección con el eje Y es el punto (0,1) ya que b0=1.
Propiedades de las funciones exponenciales • El dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales. • El rango de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos (R+).
• La gráfica de Y = a x muestra un crecimiento exponencial si a > 1 Función Creciente.
• La gráfica de Y = a x muestra un decrecimiento exponencial si 0 < a < 1 Función Decreciente.
• La intersección con el eje Y es 1, no existiendo intersección con el eje X. • El eje X es una Asíntota Horizontal.
• A mayor valor de a , mayor será la rapidez con que crece la función. • La gráfica de cualquier función exponencial pasa por el punto (0,1) porque • Por ser
a0 = 1 .
a1 = a , la gráfica pasará siempre por el punto (1,a).
• Es inyectiva y sobreyectiva, razón por la cual es biyectiva.
103
Ejercicios: Calcula los valores que toman las siguientes funciones para X = -2,-1, 0, 1, 2. 31.32- f ( x) = 5− x
31.31- f ( x) = 5 x 1 31.33- f ( x) = 5
x
1 31.34- f ( x) = 5
−x
31.35-En la definición de función exponencial la base a fue restringida (a > 0) ∧ (a ≠ 1) . 31.36-Si aceptamos la condición
a = 1 ¿Qué le sucede a la función Y = a x ?
31.37-Si el precio de un producto crece de acuerdo a las funciones Y = 3 x y Y = 3x ¿Cuál de las funciones nos conviene si somos compradores? Razona tu respuesta
La Función Logarítmica Hemos estudiado que la función exponencial Y = a x (a > 0 ya ≠ 1) es biyectiva y como consecuencia tiene una función inversa. Como por ejemplo Y = 3 x su inversa X = 3 y imposible despejar a “Y”.
La expresión X = 3 y significa que “Y” es el exponente al que es necesario elevar la base 3 para obtener “X”. Entonces se dice que: Para a > 0 y a ≠ 1 el logaritmo de base “a” de un número X>0 es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número.
log a X = Y Es equivalente a aX = a y Y = log a X Se lee:
“Y es igual a logaritmo de X en la base a” o “Y es igual al logaritmo base a de X”
La siguiente tabla ilustra la equivalencia de las formas exponenciales y logarítmicas.
Consecuencias inmediatas de la definición de logaritmo:
Forma Logarítmica
1. X = ay si y sólo si Y = logax
32 = 9
log 3 9 = 2
2. alogaX = X
33 = 9
log 2 8 = 3
3. logaay = Y
30 = 1
log 3 1 = 0
4. loganam = m/n
Forma Exponencial
104
Ejercicios: Indica en forma de función logarítmica las Indica en forma de función exponencial las siguientes expresiones: siguientes funciones logarítmicas
31.38-hk = p 31.39-72 = 49 31.40-(1/3)4 = 1/81 31.41-27-1/3 = 1/3
( 2) 31.43- ( 2 ) 31.42-
x
31.45-loghp = k 31.46-logph = k 31.47-log249 = 7 31.48-log749 = 2 31.49- log 2 1024 = x
= 1024
31.50- log x 2 = 1024
x
= 16 1 −3 31.44- 4 = 64
31.51- log −3
1 = −3 64
Funciones Trigonométricas Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones trigonométricas, de la forma siguiente:
• El ángulo se expresa en radianes. Por tanto, los 360º de una circunferencia pasan a ser 2
π
radianes
• Se considera que cualquier número real puede ser la medida de un ángulo. Sus razones trigonométricas se relacionan con las razones de los ángulos comprendidos en el intervalo [ 0,2π ) del siguiente modo: Si x-x1 = k2 π , con k número entero, entonces sen(x) = sen(x)1
cos(x) = cos(x)1
tg(x) = tg(x)1
es decir, si dos números difieren en un número entero de veces 2 π , entonces tienen los números razones trigonométricas. De este modo se obtienen las funciones trigonométricas, llamadas también circulares: Y = sen(x),
Y = cos(x)
Y =t g(x),
Sus representaciones gráficas son:
105
Gráfica de la función seno Formamos una tabla de valores Radianes Sen x 0 0
π 2
π
3π 2
2π -
π 2
1 0 -1 -0,87 -1
Análisis de la gráfica
•
A medida que el ángulo crece de 0 a π /2, los valores del seno crecen de 0 a 1; por lo tanto la curva es creciente en este intervalo y sus valores son positivos. El máximo ocurre cuando X= π /2 .
•
A medida que el ángulo crece de π /2 a π , los valores del seno varían de 1 a 0. en este intervalo la curva es decreciente y sus valores son (+).
•
A medida que el ángulo crece entre π y 3 π /2 los valores del seno varían de 0 a -1 en este intervalo la curva es decreciente y sus valores se obtienen cuando X=3 π /2.
•
A medida que el ángulo crece entre 3 π /2 y 2 π los valores del seno varían -1 y 0; por lo tanto, la curva es creciente y sus valores son negativos.
•
La función sen(x) es contraría para el intervalo 0 a 2 π . Esto nos indica que no tiene roturas en su gráfica.
Gráfica de la Función Coseno La función coseno es una función real de variable real, tal que a cada ángulo & medido en radianes se le hace corresponder un número real denominado como cos&.
106
Formamos una tabla de valores. Radianes 0
Cos x 1 0
π 2
π
-1 0
3π 2
2π -
1
π 2
0
La función tangente: La función tangente es una función de variable real definida como el cociente
f ( x) =
senx cos x
siendo cos(x) diferente de cero (0), denotado por f ( x) = tagx , de forma tal que a cada ángulo expresado en radianes, le haga corresponder el valor de su tangente. Gráfica de la función tangente Formamos una tabla de valores. Radianes
Cos x
0
0
π 4
1
π
3π 4
−π
0 -1 0
107