prop aureas

I.E.S. JOSÉ ISBERT (TARAZONA)

Consejos sobre Dimensiones Óptimas <Construcción, ubicación, decoración, logotipos, publicidad,…> Los sentidos se deleitan con las cosas que tienen las proporciones correctas.

Santo Tomás de Aquino (1225‐1274)

Algunos modelos básicos de referencia (cuerpo humano):

La proporción en Geometría

Polígonos irregulares

Polígonos regulares

Polígonos irregulares (cuadriláteros uniformes)

Matemáticas. 3 números mágicos:

π = 3,141592654…

Especialmente útil en Geometría y Trigonometría.

e = 2,718281828…

Especialmente útil en Operaciones Logarítmicas.

φ = 1,618033988…

Especialmente útil para hallar proporciones perfectas.

EL NÚMERO “FI” Letra griega phi.

Sílaba inicial del nombre del célebre arquitecto griego Phidias.

Se obtiene así: [(1 + Raíz Cuadrada de 5)] / 2 = 1,61803398 Es el valor del denominado “número áureo” (número de oro).

Es la referencia de la proporción perfecta, también llamada “áurea” y “divina”.

Phidias (490 AC – 431 AC)

Cuadro de 1868. Phidias mostrando el friso del Partenón a sus amigos.

Pasos para construir la división áurea de un segmento: 1º) Se traza una recta de cualquier longitud “AB”. Y sobre la perpendicular a AB desde el punto B se traza otra recta de longitud AB/2. El punto del nuevo extremo se llamará H. Y por tanto, BH será justo la mitad de AB.

Pasos para construir la división áurea de un segmento: 2º) Se une A con H. Hasta aquí se ha formado un triángulo rectángulo.

Pasos para construir la división áurea de un segmento: 3º) Con centro en H y radio HB se traza un arco hasta determinar el punto C´ (corte con la recta AH).

Pasos para construir la división áurea de un segmento: y 4º) Con centro en A y radio AC´ se traza un arco hasta determinar el punto C (corte con la recta AB).

Obteniéndose este resultado:

Es decir: AC x φ = AB También: AB – AC = CB Longitud total

Mayor Menor

Resumen de la proporción perfecta de un segmento:

Ejercicios: 1.‐ Conocemos la longitud del segmento total (por ejemplo: 24 cms.) y queremos dividirlo “divinamente”. Hállense los valores de los trozos mayor y menor.

2.‐ Conocemos la longitud del segmento mayor (por ejemplo: 12 cms.) y queremos añadirle un segmento menor para alcanzar la longitud total “divina”.

Hállense los valores del trozo menor y del segmento total.

3.‐ Conocemos la longitud del segmento menor (por ejemplo: 5 cms.) y queremos añadirle un segmento mayor para alcanzar la longitud total “divina”. Hállense los valores del trozo mayor y del segmento total.

Donde mejor se aprecia y resulta eficaz la proporción divina es en el rectángulo áureo Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial. Los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. A la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados.

¿Cómo se construye?

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial a través de un arco de circunferencia, obteniendo el lado mayor de un rectángulo. Acto seguido se completa el polígono final.

En un rectángulo divino:

Φ = lado mayor / lado menor Una propiedad importante de los rectángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales, como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.

Es decir, la proporción perfecta se comprueba cuando, tras alinear juntos dos rectángulos iguales (ubicando el primero en horizontal y el segundo en vertical), al trazar la diagonal, dicha recta resultante pasa por los vértices inferior izquierdo y superior derecho del primer rectángulo, así como por el vértice superior derecho del segundo rectángulo.

Algunos ejemplos de rectángulos áureos en la vida cotidiana:

Curiosidades sobre el terreno de juego de los campos de fútbol:

Dimensiones reglamentarias: Medidas reglamentarias

Largo

Ancho

Partidos nacionales

Mín: 90 Máx: 120

Mín: 45 Máx: 90

Partidos internacionales

Mín: 100 Máx: 110

Mín: 64 Máx: 75

Final de un Mundial

105

68

Campo de fútbol

Equipo

Medidas

Proporción

Camp Nou

107 x 72

1,486

Santiago Bernabéu

105 x 68

1,544

Mestalla

100 x 59

1,695

Vicente Calderón

105 x 70

1,500

San Mamés

105 x 68

1,544

Ciutat de Valencia

107 x 68

1,573

Aunque algunas dimensiones se aproximan a la proporción perfecta, ninguna da como resultado exacto el número de oro (que se lograría por ejemplo con 105x65 ó 110x68).

Excepción

Ciutat Esportiva Joan Gamper El 1 de junio del año 2006 se inauguró oficialmente la Ciudad Deportiva del FC Barcelona Joan Gamper.

De los 8 campos construidos de fútbol 11, siete de ellos son “divinos”: la proporción rectangular de sus lados guarda la relación áurea, pues el cociente obtenido es prácticamente el número de oro: 105/65 = 1,61538

Ejemplos de rectángulos cotidianos “no áureos”: ‐‐ Tamaño estándar de las fotografías: 36/24 (relación: 1,5) ‐‐ Pantallas de televisión: 16/9 (relación: 1,77) ‐‐ Hojas DIN A: Raíz cuadrada de 2 (relación: 1,41)

Ejercicios: 4.‐ Conocemos la longitud del lado mayor de un rectángulo (por ejemplo: 22 cms.) y queremos construir un rectángulo divino. ¿Cuánto debe medir el lado menor del rectángulo?

5.‐ Conocemos la longitud del lado menor de un rectángulo (por ejemplo: 10 cms.) y queremos construir un rectángulo divino. ¿Cuánto debe medir el lado mayor del rectángulo?

El rectángulo áureo tiene otra propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo y consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado; la superficie que queda después de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo.

Los números de oro de la Serie de Fibonacci La serie la descubrió cuando resolvió un problema de reproducción de conejos: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja, la cual procrea a su vez a los dos meses de vida?

Leonardo Piosano Fibonacci (1170‐1250)

Mes

1º

2º

3º

4º

5º

6º

7º

8º

9º

10º

11

12º

Parejas Conejos

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

Prácticamente todas las proporciones corresponden al Número de Oro: 13/8= 1,625 21/13=1,615 34/21=1,619 55/34=1,618 89/55=1,618 144/89=1,618

El halcón se aproxima a su presa según una espiral logarítmica: su mejor visión está en ángulo con su dirección de vuelo; este ángulo es el mismo que el grado de la espiral.

Los insectos se aproximan a la luz según una espiral logarítmica porque acostumbran a volar con un ángulo constante a la fuente luminosa.

Proporción divina en la morfología de las abejas.

La medida del abdomen de la abeja dividida por Φ es igual a la medida de su tórax y a su vez la medida del tórax dividida por Φ es igual a la medida de su cabeza.

Algunas imágenes ilustrativas de proporciones idóneas de ubicación empresarial

José Agustín García Talavera Profesor del IES José Isbert (Tarazona)