pensamiento algebraico

Distribución gratuita Prohibida su venta 2002-2003

Licenciatura en Educación Secundaria Especialidad: Matemáticas Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos de las Escuelas Normales

Programa de estudio

Pensamiento Algebraico

er semestre

Pensamiento Algebraico Programa de estudio Licenciatura en Educación Secundaria Especialidad: Matemáticas Tercer semestre

Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos de las Escuelas Normales México, 2002

Pensamiento Algebraico. Programa de estudio. Licenciatura en Educación Secundaria. 3er semestre fue elaborado por el personal académico de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública.

La SEP agradece la participación de los profesores de las escuelas normales en el diseño del programa.

Coordinación editorial Esteban Manteca Aguirre Cuidado de la edición Sergio Peña Diseño Dirección Editorial de la DGMyME, SEP Formación Inés P. Barrera

Primera edición, 2000 Primera reimpresión, 2001 Segunda reimpresión, 2002

D. R. © Secretaría de Educación Pública, 2000 Argentina 28 Centro, C. P. 06020 México, D. F. ISBN 970-18-5103-X

Impreso en México DISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

Índice

Presentación

5

Pensamiento Algebraico Programa Introducción

9

Organización de los contenidos

9

Orientaciones didácticas

9

Propósitos generales

11

Bloques temáticos Bloque I. La observación, generalización y formalización de patrones

11

Bloque II. El estudio de las funciones y relaciones

15

Bloque III. Estructuras y transformación de expresiones algebraicas

22

Bloque IV. El uso de modelos para representar y entender relaciones cuantitativas

26

Presentación

La Secretaría de Educación Pública, en coordinación con las autoridades educativas estatales, ha puesto en marcha el Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos de las Escuelas Normales. Una de las acciones de este programa es la aplicación de un nuevo Plan de Estudios para la Licenciatura en Educación Secundaria, que se inicia en el ciclo escolar 1999-2000.

Este cuaderno está integrado por el programa Pensamiento Algebraico. Los textos cuya consulta es fundamental en el desarrollo del curso, son los propuestos en el apartado de bibliografía básica y están disponibles en las bibliotecas de las escuelas normales. Es importante que los maestros y los estudiantes sean usuarios constantes de estos servicios, con la finalidad de alcanzar los propósitos del curso.

Este cuaderno se distribuye en forma gratuita a los profesores que atienden las asignaturas y a los estudiantes que cursan el tercer semestre de la Licenciatura en Educación Secundaria. Es importante conocer los resultados de las experiencias de trabajo de maestros y alumnos, sus opiniones y sugerencias serán revisadas con atención y consideradas para mejorar este material.

La Secretaría de Educación Pública confía que este documento, así como las obras que integran el acervo de las bibliotecas de las escuelas normales del país, contribuyan a la formación de los futuros maestros que México requiere.

Secretaría de Educación Pública

Pensamiento Algebraico Horas/semana: 4

CrĂŠditos: 7.0

Programa

Introducción Un aspecto central en el estudio y desarrollo del pensamiento algebraico es el poder expresar, de manera compacta y eficiente, una gran variedad de ideas matemáticas inmersas tanto en la misma disciplina como en otros contextos. Esto permite que con ideas algebraicas se puedan estudiar diferentes clases de relaciones entre objetos matemáticos, entre las que destacan las funciones. El álgebra es útil para abordar y analizar una gran cantidad de problemas usando propiedades de manera adecuada.

El uso de alguna computadora (software) o calculadora graficadora puede ser de utilidad para los estudiantes en el planteamiento de conjeturas y como herramienta para graficar, visualizar y entender el significado de ciertas relaciones matemáticas. En particular se recomienda el uso de la “hoja de cálculo” como herramienta, para que el estudiante desarrolle conceptos del álgebra tales como la búsqueda de patrones, funciones y modelación. Por supuesto, su uso depende de la disponibilidad de estos instrumentos y de los materiales de apoyo que el profesor pueda recibir y generar durante su práctica.

Organización de los contenidos El estudio de esta asignatura se organiza alrededor de cuatro temas o ejes fundamentales. Aun cuando cada eje se presenta por separado, es importante mencionar que éstos siempre aparecen conectados y relacionados en la práctica de promover el desarrollo del pensamiento algebraico; por ejemplo, las actividades que se mencionan en cada uno de los ejes, generalmente abordan temas de varios de ellos. Además, en las actividades se ilustran algunas estrategias como el uso de tablas, diagramas, gráficas y fórmulas que los estudiantes deben emplear continuamente en sus experiencias de aprendizaje.

Las actividades que se presentan son vistas como ejemplos tipificados que los maestros pueden utilizar para llevar a cabo el estudio; se trata de que se tomen como punto de referencia para construir o diseñar otros tipos de problemas o extensiones. En cada bloque se identifica un conjunto de contenidos que el maestro debe atender durante la aplicación de las actividades; se pretende que los recursos matemáticos y las estrategias adquieran sentido o emerjan durante el proceso de solución de las actividades.

Orientaciones didácticas La idea de problematizar el estudio de la disciplina Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase se transforme en un medio donde el estudiante tenga oportunidad de reflexionar sobre 9

su aprendizaje de la disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan en un vehículo para que el estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se presentan de cierto modo. Esto significa que las actividades deben presentarse en forma de problemas o preguntas con los cuales el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y resolver una serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta perspectiva, el estudiante tendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver incompatibilidades y rediseñar o formular nuevos problemas.

Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de clase un espacio de diálogo constante donde se problematice el estudio de las matemáticas. En esta comunidad, la actividad central es la discusión de los procedimientos que puedan ayudar a resolver los problemas o preguntas que emerjan de la interacción del estudiante con la situación. Analizar la pertinencia de los procedimientos y evaluar el potencial particular o general de éstos son actividades que ayudan a construir y mantener una actitud crítica en el salón de clase. El papel del maestro es seleccionar y presentar las tareas que ayuden a problematizar la disciplina por parte de los estudiantes. En tal sentido, es importante que tenga en consideración los conocimientos y habilidades con que cuentan los estudiantes.

Aprender a resolver problemas y pensar matemáticamente requiere una reflexión y acción continua acerca de la actividad matemática. Algunas preguntas, que llegan a ser rutina –en un curso que valore la resolución de problemas– y que juegan un papel central en el desarrollo de tal reflexión matemática en los estudiantes son: ¿he usado o identificado la información importante en el problema? ¿Estoy convencido de la forma de solución del problema? ¿Puedo convencer a otros compañeros? ¿He resuelto totalmente el problema? ¿Puedo utilizar otra(s) estrategia(s) de solución? ¿Puede este resultado ser generalizado?

Por otro lado, los estudiantes deben compartir los resultados de sus exploraciones y presentar justificaciones y explicaciones de los procedimientos que empleen. En este sentido, aprender incluye valorar el trabajo de los demás, aprovechar sus ideas y los resultados de sus investigaciones; esto requiere que los estudiantes aprendan a escuchar a sus compañeros y a responder adecuadamente a sus puntos de vista e inquietudes.

La forma de plantear los problemas y de organizar la actividad de los alumnos influye directamente en las actitudes y creencias que los estudiantes desarrollen hacia las matemáticas y su aprendizaje. Al problematizar el estudio de las matemáticas los estudiantes obtienen oportunidades de reconocer el potencial de su propia práctica y de ver a las matemáticas como una actividad intelectual en la que pueden participar y avanzar. Existe evidencia de que los estudiantes que participan en una búsqueda reflexiva desarrollan una disposición consistente con el quehacer matemático.

Los temas que se proponen tienen la finalidad de servir de ejes en la discusión de las ideas fundamentales del quehacer matemático. Por esta razón, se recomienda que no se presenten de manera separada, por el contrario, se debe establecer una conexión 10

entre ellos, de tal forma que los estudiantes vayan concibiendo los sistemas numéricos –y en general las matemáticas– como un todo estructurado en torno a las diferentes necesidades que surjan de problemas originados en el desarrollo social o dentro de la misma disciplina.

Propósitos generales Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los estudiantes normalistas: • Utilicen herramientas algebraicas para resolver problemas en diversos contextos.

• Adquieran elementos de tipo didáctico que les permitan analizar situaciones adecuadas para los alumnos de educación secundaria.

• Adquieran elementos para analizar las dificultades con que tropiezan los alumnos de secundaria en el estudio del álgebra.

Bloques temáticos Bloque I. La observación, generalización y formalización de patrones Temas 1. Procesos de generalización.

2. Expresiones algebraicas y sus operaciones.

3. Diagramas, tablas y gráficas.

4. Uso de variables.

El estudio de la aritmética elemental se enfoca, generalmente, al tratamiento de relaciones numéricas; en dicho estudio, un paso importante es la generalización de tratamientos aritméticos a procesos algebraicos. En la búsqueda de patrones, el álgebra aporta una herramienta importante: el empleo de símbolos que permiten identificar y explotar relaciones o casos generales.

Los procesos de generalización permiten extender el rango de razonamiento o comunicación más allá de los casos considerados; es decir, el individuo identifica y expone propiedades comunes de los casos analizados que van más allá de las situaciones mismas. En este proceso, el estudiante enfoca su atención a detectar patrones, procedimientos, estructuras y relaciones entre los casos particulares en donde se distingue el uso de algún lenguaje simbólico.

Las actividades que se presentan muestran aspectos relevantes relacionados con el desarrollo del pensamiento algebraico de los estudiantes; en la mayoría éstas ilustran la relación entre varias representaciones. La idea es que el maestro formule otras actividades y motive a los estudiantes para que ellos mismos presenten situaciones parecidas o introduzcan algunos cambios en las ya formuladas.

11

Bibliografía básica SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México.

— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.

Santos, L. M. (1997), Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas, Grupo Editorial Iberoamérica.

Actividades sugeridas Actividad 1. Cuatro estudiantes llegan puntuales al curso de pensamiento algebraico. Cada uno saluda de mano a los otros. ¿Cuántos saludos de mano ocurren? Después llega otro estudiante, después otro, etcétera, y todos realizan el mismo procedimiento que sus predecesores. ¿Cuántos apretones de mano se realizan en total, cuando han llegado 25 estudiantes? ¿Cuál es la expresión algebraica que permite encontrar el número de apretones de mano para cualquier número n de estudiantes?

Los estudiantes pueden trabajar en equipos en las fases de entendimiento de la situación. En particular, pueden simular la actividad y empezar a registrar el número de apretones a través de los medios que ellos consideren pertinentes. El maestro puede ayudar a orientar y controlar el trabajo de los estudiantes. Su papel incluye plantear preguntas que permitan a los estudiantes organizar y analizar el trabajo de manera sistemática. Por ejemplo, después de que los estudiantes resuelven el problema, el maestro puede presentar tres formas de representar la información relevante del problema y los estudiantes deben analizar y contrastar las ventajas que ofrecen estas maneras de organizar la información.

En la figura siguiente aparece una representación gráfica de la información relevante del problema.

12

Con esta construcción se tienen algunos elementos que ayudan a lograr un mejor entendimiento de la situación. La tabla que aparece más abajo permite identificar un patrón entre los casos particulares que se ilustran con la figura. También permite identificar el patrón de comportamiento del caso general, con lo que se pueden contestar las preguntas planteadas.

Núm. de maestros

Nuevos saludos

Total, otra forma

4

6=1+2+3

5

4

10 = 1 + 2 + 3 + 4

6

5

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

7

6

21= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

25

24

21= 1 + 2 + 3 +… + 24 = 25(24/2) = 150

N

n-1

n(n-1)/2

Otra forma de representar este problema es por medio de un arreglo matricial donde 1 representa un saludo y 0 sin saludo (nadie se saluda a sí mismo).

A

B

C

D

…

N

A

0

1

1

1

…

1

B

1

0

1

1

…

1

C

1

1

0

1

…

1

D

1

1

1

0

…

1

.

.

.

.

.

…

.

.

.

.

.

.

…

.

N

1

1

1

1

…

0

En la matriz se observa que si fueran N amigos, entonces se tendrían N2 - N saludos.

Se observa que en la diagonal solamente aparecen ceros e indican que aquí no hay saludo. Hay N ceros sobre la diagonal, y como los saludos en la mitad de abajo de la diagonal son los mismos que la de arriba (es lo mismo que Juan salude a Pedro o que Pedro salude a Juan), entonces la cantidad total de saludos será: (N2 - N)/2 Actividad 2. Resolver los problemas del tema 14 para tercer grado del Fichero de actividades didácticas.

Actividad 3. Regularmente, a principios del año escolar los estudiantes tienen que comprar varios útiles escolares. José decide comprar cuadernos que cuestan $25.00 y plumas de $15.00. Se plantea la idea de hacer una tabla donde se muestren las diferentes combinaciones de estos artículos y el precio que tiene que pagar por ellos. Empieza a llenar una tabla como la siguiente: 13

9 8 7 6 200

5 4

60

185

3

45

170

2

30

55

80

105

130

155

1

15

40

65

90

115

140

0

0

25

50

75

100

125

0

1

2

3

4

5

150

Los estudiantes pueden trabajar individualmente y después en equipos para discutir cada una de las siguientes preguntas. La idea central es identificar los distintos caminos que les ayuden a llenar la tabla y las formas de representarlos. Además, se sugiere que los estudiantes formulen problemas o situaciones similares.

I. Describe la forma en que José ha llenado las casillas. ¿Es ésta la única forma de llenarlas?

II. Completa la tabla y explica los cálculos que utilizaste para obtener la información de cada casilla.

III. Describe lo que significa cada término de la expresión 25x + 15y = 320 en relación con lo que José compra.

IV. Observa la expresión 25x + 15y = 182. Si x y y representan el número de cuadernos y plumas respectivamente, entonces la parte del lado izquierdo de la igualdad es múltiplo de 5 (¿por qué?). Como 182 no es múltiplo de 5, entonces no existen dos valores enteros que cumplan la igualdad. Explica este hecho en términos de los cuadernos, plumas y el precio.

Determina para qué cantidades entre 200 y 300 (en pesos) es posible comprar una cantidad exacta de cuadernos y plumas.

Actividad 4. Un papel importante en el uso de las variables es que funcionan como herramientas para expresar generalizaciones matemáticas. Se sugiere que los estudiantes expresen algunos resultados y observaciones de sus experiencias con números como actividad que les permita paulatinamente transitar de la aritmética al álgebra. ¿Qué ocurre si el triple de un número a es el doble de ese mismo número? ¿Se puede decir que la suma de dos números impares será necesariamente par o impar?

Existen muchos fenómenos que el estudiante puede discutir donde aparece el concepto de variable. Por ejemplo, puede observar que el costo (variable) que se reporta en una máquina despachadora de gasolina es una función (lineal) de la cantidad de gasolina que sale de la bomba (se sugiere que los estudiantes formulen una función que relacione la cantidad de gasolina con el costo.) Otro componente importante en el 14

análisis de las expresiones con variables es la interpretación que puedan admitir dentro de algún contexto. Por ejemplo, la expresión: a/(a + 1) con a un entero positivo es susceptible de ser interpretada como: I. Un valor particular, por ejemplo, 3/4 cuando a = 3.

II. Una expresión algebraica.

III. Un conjunto de valores 1/2, 2/3, 3/4, etcétera.

IV. Una fracción que se acerca a 1 cuando se aumenta el valor de a.

Es importante que el estudiante identifique y exprese diversos tipos de patrones.

Por ejemplo, en la secuencia 4, 6, 8, 10, 12, …, se observa un patrón de crecimiento que puede ser expresado como pn+1 = p n + 2 y donde p1 = 4 que se identifica con una idea central de crecimiento aritmético. Esta idea es base para el análisis de fenómenos que se comportan en forma lineal.

Otras ideas centrales son el crecimiento geométrico y el crecimiento exponencial que pueden servir de marco para que los estudiantes detecten patrones, formulen expresiones algebraicas que les permita predecir, controlar y entender la situación.

Argumentos geométricos también desempeñan un papel importante en la búsqueda de expresiones generales. ¿Puede encontrar la relación entre la suma 1 + 3 + … + (2n - 1) (números impares) y la siguiente figura?

Actividad 5. Resolver los problemas que se plantean en el tema 7 del Fichero de actividades didácticas de segundo grado.

Bloque II. El estudio de las funciones y relaciones Temas 1. Concepto de función.

2. La idea de variación y sus diferentes representaciones.

3. Clasificación de funciones.

Las funciones y relaciones pueden ser expresadas a través de múltiples sistemas de representación y también ser la base para explorar diversos problemas. Por ejemplo, en el estudio del crecimiento de población, los alumnos pueden representar una función 15

que describa el fenómeno vía una tabla, una gráfica o una fórmula. Una cierta transformación geométrica se puede representar a través de una matriz. Las definiciones recursivas de funciones son de utilidad para analizar fenómenos en varios contextos.

El concepto de función puede abordarse a partir del análisis de cantidades que cambian con el tiempo (peso, temperatura, precios, etcétera) y estableciendo sus representaciones gráficas. La idea de función involucra el uso de múltiples formas de representación (lista, tabla, gráfica, fórmula) y un proceso que permite generalizar. ¿Qué es lo que tienen en común todas estas instancias?

Bibliografía básica SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México.

— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.

Santos, L. M. (1997), Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas, Grupo Editorial Iberoamérica.

Actividades sugeridas En las actividades siguientes se sugiere que los alumnos se organicen en grupos pequeños y discutan la “calidad” de los argumentos en cada una de las respuestas. En todos los casos es importante que los estudiantes valoren la posibilidad de utilizar múltiples representaciones que les permitan analizar el comportamiento de la situación desde al menos tres ángulos diferentes: una tabla o lista ordenada, una gráfica y una fórmula.

Además, resulta importante que la información que aparezca en las representaciones se interprete en términos del fenómeno o situación bajo estudio. Al final de la discusión grupal, es conveniente que el maestro promueva una discusión global con todo el grupo donde los estudiantes puedan conocer y contrastar el trabajo de todos los equipos o grupos pequeños. Se recomienda que los estudiantes desarrollen el hábito de buscar otras conexiones de la situación en estudio o de formular problemas relacionados.

Actividad 1. Realizar los siguientes ejercicios sobre porcentaje.

I. Si el precio de un artículo se reduce en un 40% inicialmente y, más tarde, a este nuevo precio se le aumenta un 40%, ¿cómo es el último precio que se obtiene?: a) Éste muestra un incremento comparado con el precio original. b) Éste muestra una reducción con respecto al precio original. c) Éste no muestra ninguna variación comparada con el precio original. ¿Qué significa calcular el porcentaje de cierta cantidad? ¿Cómo es la cantidad a la que se le aumenta el 40% comparada con la cantidad inicial? Estas son algunas preguntas iniciales que pueden ayudar a identificar los elementos importantes de la situación.

El precio original se reduce en un 40%. La cantidad que después se aumenta es un 40% del nuevo precio. Como el nuevo precio es menor que la cantidad original, entonces el resultado muestra una reducción con respecto al precio original. (El aumento es una cantidad menor que la de la reducción inicial). En términos cuantitativos, se observa que: 16

• La reducción del 40% equivale a multiplicar el precio original por .6.

• Aumentarlo en un 40% equivale a multiplicar este nuevo precio por 1.4.

• Realizar las dos operaciones es equivalente a multiplicar (.6)(1.4) = .84. Esto significa que el precio original tuvo una reducción neta de un 16% del precio original d) En una papelería el precio de lista de un cuaderno es $10.00.

• El primer día que aparece a la venta reducen su precio en un 40%.

• El segundo día se incrementa el precio del primer día en un 40%.

• El tercer día, se reduce el precio del segundo día en un 40%.

• Esta acción se repite cada día por un periodo prolongado.

Representar la información de tal manera que fácilmente se puedan leer las variaciones del precio del cuaderno durante las dos primeras semanas Una representación podría ser una tabla como la siguiente:

PI

1

10

6

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

8.4 5.04 7.06 4.23 5.93 3.56 4.98 2.99 4.18 2.51 3.51 2.11 2.95

Con los valores de la tabla se puede construir una representación gráfica:

¿Cómo se obtuvieron los valores de la tabla?

17

Día

Precio

Precio (otra representación)

1

10(.6)

10 (.6) = 6

2

10(.6)(1.4)

10 (.84)

3

10(.6)(1.4)(.6)

6 (.84)

4

10(.6)(1.4)(.6)(1.4)

10 (8.4)2

5

10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)

6 (.84)2

6

10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4)

10 (.84)3

7

10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)

6 (.84)3

8

10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4)

10(8.4)4

Analizando la tabla donde se indican los cálculos, se puede plantear la tarea de representar el precio para el caso en que el número de días sea par y para cuando sea impar.

II. El precio inicial es $10.00 y cada dos días es multiplicado por (.6)(1.4) = .84. Si el número n de días es par, el precio será multiplicado por (.84) un total de n/2 veces. De aquí que la fórmula sea: Precio después de n (n par) días = ($10.00)(.84)n/2.

III. Si el número n de días tomando como punto de partida $10.00, es impar, enton-

ces el número de días comenzando con $6.00 será n-1 el cual es par. Aquí el precio $6.00 se multiplica cada dos días por (1.4)(.6) = .84. Este es el mismo factor que el caso anterior, pero con un precio diferente $6.00.

El resultado es que el precio de $6.00 será multiplicado por (.84) un total de (n-1)/2 veces.

La fórmula será: Precio después de n (n impar) días = (6.00)(.84)(n-1)/2 Otra pregunta: si decides comprar un par de zapatos que tiene un 12% de descuento y al pagarlos, el encargado de la caja plantea: ¿qué prefieres, que primero te haga el descuento del 12% del precio y después te aumente el IVA o primero te cargo el IVA y después te hago el descuento? Respalda tu respuesta con un argumento claro.

Actividad 2. Cuando José cumplió 9 años, su padre le ofreció darle cierta cantidad de dinero cada año. Le ofreció que escogiera una opción de las siguientes dos ofertas: I. José recibiría $1000.00 en su cumpleaños nueve; $1100.00 en su siguiente cumpleaños; $1200.00 en el siguiente y así sucesivamente. Es decir, José recibiría un regalo de $1000.00 y después se incrementaría en $100.00 cada año.

18

II. José recibiría $1.00 en su cumpleaños 9. Después, en su siguiente cumpleaños reci-

biría $2.00, en el siguiente $4.00, el siguiente $8.00 y así sucesivamente. Es decir, recibiría inicialmente $1.00 y cada año duplicaría la cantidad del previo. ¿Qué plan le recomendarías a José? Argumenta tu respuesta.

Edad

Plan I

Plan II

9

$1,000

$1

10

$1,100

$2

11

$1,200

$4

12

$1,300

$8

13

$1,400

$16

14

$1,500

$32

15

$1,600

$64

16

$1,700

$128

17

$1,800

$256

18

$1,900

$512

19

$2,000

$1,024

20

$2,100

$2,048

21

$2,200

$4,096

22

$2,300

$8,192

23

$3,400

$16,384

Se recomienda que el estudiante exprese gráficamente el comportamiento de la información. Además, escribir y discutir representaciones algebraicas como f(n) = 2n y f(n) = 1000 + (n-1)100.

Actividad 3. Resolver las actividades del tema 17 del Fichero de actividades didácticas de segundo grado.

Actividad 4. La tecnología puede ser un recurso importante que permite a los estudiantes examinar la información relevante de un problema desde distintos ángulos. En esta actividad se emplea un software para analizar el comportamiento de parámetros importantes a partir de su representación gráfica y numérica. El lado AC de un triángulo se divide en tres segmentos congruentes AD, DE, y EC. ¿Qué se puede decir de los tres ángulos que se forman en el vértice B?

19

Se observa que los tres ángulos nunca son congruentes.

Actividad 5. Otro ejemplo donde los estudiantes tienen oportunidad de analizar casos particulares y plantear una generalización y formalización tanto de las dimensiones de las figuras como de la cuantificación de atributos perímetro y área es: las figuras representan tres familias de rectángulos con medidas particulares. ¿Cuáles son las dimensiones del elemento enésimo de cada familia? Calcula el área y perímetro para algunos casos particulares de cada familia. ¿Qué se puede decir del valor del área del enésimo rectángulo de cada familia? ¿Es posible identificar a partir de qué rectángulo de alguna de las familias el área o el perímetro es mayor que los otros correspondientes rectángulos? ¿Cuándo el área y el perímetro son los mismos?

20

P = 18.00 cm P = 20.00 cm Perímetro = 22.00 cm

8 cm

8 cm

Perímetro = 24.00 cm

8 cm

8 cm Á(n) = 8n P(n) = 16 + 2n

Á = 8.00 cm2 Á = 16.00 cm2 Área = 24.00 cm2 Área = 32.00 cm2

1 cm P = 4.00 cm 1 cm Á = 1.00 cm2 1 cm

2 cm

3 cm

4 cm P = 16.00 cm

P = 12.00 cm

P = 8.00 cm

Á(n) = n2 P(n) = 4n

2 cm Á = 4.00 cm2 2 cm

3 cm 4 cm Á = 9.00 cm

2

Á = 16.00 cm2

3 cm P = 4.00 cm Á = 0.50 cm2 1/2

1/2 2 cm

4 cm

P = 8.50 cm Á = 1.00 cm2

Á(n) = (1/4)2n P(n) = 2(1/4 + 2n)

1/2 P = 16.50 cm Á = 2.00 cm2

4 cm

Representación gráfica de los perímetros correspondientes:

21

8 cm

Representación gráfica de las áreas correspondientes

¿Qué se puede decir del comportamiento del perímetro y área de las familias de rectángulos a partir de las gráficas anteriores?

Actividad 6. Resolver las actividades del tema 1 y del tema 3 del Fichero de actividades didácticas de tercer grado.

Bloque III. Estructuras y transformación de expresiones algebraicas Temas 1. Transformación de expresiones algebraicas.

2. Significado del algoritmo de la división.

3. Representación algebraica de procesos aritméticos.

Una meta importante en el estudio del álgebra es que el estudiante trabaje problemas y relaciones a través de generalizaciones y procedimientos en forma sistemática. La organización del álgebra alrededor de estructuras implica discutir cómo funcionan los sistemas: ¿qué propiedades de un sistema permiten que las fracciones se operen o combinen, o que las ecuaciones se resuelvan? El poder de las matemáticas radica en abstraer y generalizar las propiedades comunes de un sistema y aplicar o extender esas ideas a otros.

Por ejemplo, el entendimiento de la estructura de los enteros, permite buscar y reconocer estructuras similares en otros sistemas. Las propiedades de las operaciones que se definen en la estructura permiten realizar una serie de transformaciones en las expresiones, que pueden ser de utilidad en el manejo y entendimiento de relaciones matemáticas. Una idea central en el proceso de transformar expresiones algebraicas es que el estudiante encuentre el sentido al utilizar diversas expresiones algebraicas. Dos aspectos resaltan en 22

el entendimiento de cómo y cuando las representaciones simbólicas deben ser usadas para representar relaciones: a) generalizaciones y pruebas, que a simple vista parecen ser invisibles o estar escondidas; y b) habilidad para manipular y leer expresiones simbólicas como dos aspectos complementarios para resolver problemas algebraicos.

Bibliografía básica SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México.

— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.

Santos, L. M. (1997), Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas, Grupo Editorial Iberoamérica.

Actividades sugeridas Actividad 1. Realizar las actividades del tema 6 del Fichero de actividades didácticas de segundo grado.

Actividad 2. Realiza las operaciones correspondientes en cada una de las expresiones de la izquierda para que se transformen en las expresiones de la derecha. En cada caso identifica los valores de A, B, C, D y E.

Reescriba la expresión -2(x + 3(x – 2(x + 1)))

En esta forma A(x+ B)

Escriba el valor de A= B= A=

-3(x – 2)2 + 4

C + x(B + Ax)

B= C= A=

4x - 3 -x - 3

+

8x + 4

Ax + B

B=

2x - 3

(Cx + D)(Ex + D)

C= D= E=

El maestro puede pedir a los alumnos que procedan a llenar la tabla anterior y expliquen sus procedimientos. También puede pedirles que la extiendan, de manera que se incluyan diversas operaciones algebraicas.

Actividad 3. Significado del algoritmo de la división. Generalmente cuando se trabajan las expresiones algebraicas se da mucha atención a los símbolos y reglas sintácticas para manipularlas y poca atención al posible significado que pueda otorgársele a determinadas representaciones. Uno de los algoritmos más útiles es el algoritmo de la división, el cual se presenta usualmente sin ningún referente que ayude a entender su significado.

23

La idea geométrica de este algoritmo, que se remonta a Euclides, puede ser de utilidad para que los estudiantes identifiquen las ideas claves y sentido de los pasos que se realizan en este proceso. Se inicia con una representación geométrica.

Sea b un número mayor que cero, sobre el eje numérico se ubican puntos a una distancia b y también se ubica un punto de referencia, cero. Estos puntos se localizan como múltiplos enteros de b y se representan como en el caso de los números enteros sobre la recta numérica pero con un cambio de escala.

-4b

-3b

-2b

-b

0

b

2b

3b

4b

Cualquier número estará situado entre dos de estos números consecutivos o será uno de ellos. Si qb (con q un número entero) es el punto más cerca a la izquierda del punto a, entonces se tiene la siguiente representación: qb ≤ qb

a

<

a

(q + 1)b (q + 1)b

Ahora restando qb se tiene: 0≤ a – qb < b, si r = a – qb se tiene una interpretación geométrica del algoritmo de la división: el segmento b cabe q veces en el segmento a y sobra un segmento de longitud r. Es decir, si se fija un número real b > 0, entonces para cualquier número real a, existe un único entero q (cociente) y número real r (residuo), 0 ≤ r < b, tal que a = qb + r.

Los estudiantes verificarán el significado de este algoritmo para algunos casos particulares de a y b. Con b = 10, y a = 5297, ¿cuáles son los valores de r y q? Con b = 1.5 y a = 145.65, ¿cuáles son los valores de r y q? Con b = 4/5 y a = 103/7, ¿cuáles son los valores de r y q?

Actividad 4. En un triángulo rectángulo el perímetro mide 70 unidades de longitud y la suma de los cuadrados de los lados es 1682. Determine las longitudes de los tres lados.

En una primera fase los estudiantes pueden discutir en equipo las ideas o conceptos fundamentales relacionados con triángulos. ¿Qué es un triángulo? ¿Qué es lo que caracteriza un triángulo rectángulo? ¿Cómo se calcula el perímetro o área de un triángulo?, etcétera. Posteriormente, estos mismos equipos pueden proponer caminos de solución a todo el grupo. De forma individual, los estudiantes pueden intentar resolver el problema a partir de las sugerencias de los equipos. Finalmente, en una discusión global, se invita a que un estudiante presente su respuesta al problema. El maestro identifica los conceptos e ideas importantes que aparecen durante el proceso de solución.

Una figura ayuda a entender los datos:

24

c

b

a

Se tiene que el perímetro vale 70, esto es a + b + c = 70. También que la suma de los cuadrados de los lados es 1682. Es decir, a2 + b2 + c2 = 1682. Como se trata de un triángulo rectángulo también se cumple el Teorema de Pitágoras, es decir, a2 + b2 = c2.

Con esta información se tiene que 2c2 = 1682, de donde c2 = 1682 —— = 841=, de aquí 2 c vale 29.

Utilizando la ecuación a + b + c = 70 y el valor de c se tiene que: a + b = 41 (al sustituir el valor de c en la ecuación del perímetro) a2 + b2 = 841; ahora, despejando b de la primera (b = 41 – a) y sustituyendo su valor en esta última ecuación se tiene: 2a2 – 82a + 1681 = 841, la cual se reduce a a2 – 41a + 420 = 0 (a – 20)(a – 21) = 0 Con esta información se tiene que las medidas de los catetos del triángulo rectángulo son 20, 21 y con hipotenusa igual a 29. Para comprobar las condiciones que tienen que cumplir, se tiene que 20 + 21 + 29 = 70 (la condición del perímetro). Además, 202 + 212 + 292 = 400 + 441 + 841 = 1682. Esto verifica la justifica la validez del procedimiento.

Actividad 5. Dimensiones y área de un rectángulo. Considere cualquier rectángulo: ¿qué le ocurre a su área si una de las dimensiones se incrementa en un 10% y la otra disminuye en un 10%?

Sin realizar operaciones se sugiere que los estudiantes presenten algunas respuestas. Después se pueden analizar algunos ejemplos particulares. En una discusión con todo el grupo se pueden plantear algunas preguntas. ¿Cómo organizar la información que se obtenga al analizar algunos casos particulares? ¿Una tabla? ¿Qué elementos se deben mostrar en esta tabla? ¿Qué se observa en la tabla?

Largo (a)

Ancho (b) Área Inicial

1.1a

.9b

Nueva Área Diferencia

60

40

2400

66

36

2376

24

40

60

2400

44

54

2376

24

90

80

7200

99

72

7128

72

80

90

7200

88

81

7128

72

100

50

5000

110

45

4950

50

25

Se observa que siempre que se disminuye una dimensión en un 10% y se aumenta la otra en un 10% el área inicial del rectángulo disminuye. Para cada caso se puede saber el valor de la diferencia entre las áreas correspondientes. Por ejemplo, para la primera fila se tiene que de 2400 el área se reduce a 2376, lo que significa que el área se reduce en un 1%, ya que 2400 – 2376 = 24 Usando una representación algebraica, la pregunta se puede traducir como: Si a y b son las dimensiones, entonces, para calcular la nueva área se tendría que: (1.1)a x (.9)b = (1.1)b x (.9) a = .99(ab) El área siempre disminuye, además se observa que disminuye un 1% (discutir aquí las ventajas o el poder de la representación algebraica). El resultado es independiente del orden en que se seleccione la dimensión que se incremente o disminuya.

Bloque IV. El uso de modelos para representar y entender relaciones cuantitativas Temas 1. Tratamiento de la información al resolver problemas.

2. Formulación de modelos para analizar el comportamiento de una situación.

El poder de los modelos radica en que permiten estudiar fenómenos o situaciones a través del uso de diversas representaciones. Las representaciones algebraicas de la situación o fenómeno que se modela es una manera efectiva de analizar la información y parámetros relevantes. En este proceso, los estudiantes pueden explotar sus experiencias previas y recursos algebraicos en la búsqueda de soluciones de problemas particulares. Las actividades que aquí se presentan involucran varios aspectos importantes que los estudiantes deben atender durante el proceso de solución. Un primer momento incluye el entendimiento de la situación o problema. Aquí es necesario identificar la información relevante que permita caracterizar o establecer relaciones entre parámetros de la situación. Una segunda fase es intentar representar la información a través de distintos medios que permitan analizar la información desde distintos ángulos. Esta fase está ligada a la adopción de un modelo que permita analizar el comportamiento de la situación.

Bibliografía básica SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México.

— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.

Rojano, T. y S. Ursini (1997), Enseñando álgebra con hojas electrónicas de cálculo, Grupo Editorial Iberoamérica.

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Actividades sugeridas Actividad 1. Resuelva el problema de la página 319 del Libro para el maestro.

Actividad 2. Un alumno en la clase de educación física se lastima una rodilla. El médico de la escuela le receta una medicina anti-inflamatoria (tabletas) para reducirle la hinchazón. El médico le explica al paciente la frecuencia en que se tomará las tabletas y como actuará la tableta en su organismo.

1. La dosis en cada suministro será de 16 unidades (cantidad de sustancia activa) 2. Cuando el paciente recibe un suministro de medicamento, su organismo inmediatamente inicia un proceso para asimilar las 16 unidades, y este proceso culmina 10 minutos después. Es decir, 10 minutos después del primer suministro, el cuerpo del paciente habrá asimilado la cantidad total de sustancia activa que le fue suministrada.

3. Al momento que el organismo del paciente asimila el total de la sustancia activa que le fue suministrada, se inicia un proceso de eliminación del medicamento.

4. Cuando la cantidad máxima de medicamento previa a un suministro se ha reducido a la mitad, tiene lugar el siguiente suministro, en este momento se inicia un aumento de la cantidad de sustancia activa en el organismo del paciente. Para este medicamento en particular, la reducción se logra cada 4 horas a partir del suministro. Por ejemplo, el segundo suministro tendrá lugar cuando la cantidad de sustancia activa sea de 8 unidades (la mitad de 16), lo cual ocurrirá después de cuatro horas de haber recibido el primer suministro.

5. El paciente recibirá varios suministros durante el tratamiento. ¿Cómo se comporta la cantidad de sustancia activa en el organismo del paciente?

Por ejemplo, ¿cuánto medicamento tendrá el paciente después de dos días de tratamiento?

Los estudiantes, trabajando en grupos pequeños o en forma individual representarán la información usando diferentes formas. Por ejemplo, el uso de una tabla puede ayudar a detectar el comportamiento de ciertas relaciones entre los datos a partir de un análisis cuantitativo. Un camino para determinar las entradas de la tabla es tratar de incluir las “formas de asignación” que determinan la cantidad de sustancia activa en el cuerpo del paciente en diferentes momentos.

Suministro (núm.) cada 4 horas

Horas transcurridas al momento del suministro

Cantidad de sustancia Cantidad de sustancia activa en el organismo activa en el organismo, en el momento de cada 10 minutos después de suministro cada suministro

1

0

0

16

2

4

8

24

3

8

12

28

4

12

14

30

5

16

15

31

27

6

20

15.5

31.5

7

24

15.75

31.75

8

28

15.875

31.875

9

32

15.9375

31.9375

10

36

15.96875

31.96875

La información de la tabla ilustra algunos aspectos de cómo varía la cantidad de sustancia activa en el organismo después de que el paciente ha recibido cierto número de suministros. De hecho, nos permite observar una tendencia de la cantidad de medicamento en el cuerpo del paciente.

Los datos de la tabla, en su representación gráfica, confirman de manera visual el comportamiento que se había observado en los números. Se nota que después de cierto suministro la cantidad de sustancia activa se mantiene en un intervalo con un valor mínimo y máximo. Se puede decir que la cantidad no pasa cierto límite para no producir efectos colaterales en el paciente, pero para que surta efecto tiene que estar por arriba de cierta cantidad.

En la construcción de la tabla se detecta cierta regularidad en la forma en que se comporta la cantidad de sustancia activa en el cuerpo del paciente. ¿Cómo describir esas regularidades en forma algebraica? Una forma es reescribir los valores de la tabla de tal manera que las operaciones se dejen indicadas. Esto se ilustra en la siguiente tabla: Suministro número 1 2

Cantidad de sustancia activa en el organismo al momento de cada suministro 0 0 + 16 16 ——— = —— 2 2

28

3

16 —— + 16 16 + 2 × 16 2 ————— = ————— 2 22

4

16 + 2 × 16 ————— + 16 16 + 2 × 16 + 22 × 16 22 ———————— = ————————— 2 23 16 + 2 × 16 + 22 × 16 ————————— + 16 23 16 + 2 × 16 + 22 × 16 + 23 × 16 ———————————— = ————————————— 2 24

5

6

16 + 2 × 16 + 22 × 16 + 23 × 16 ———————————— + 16 24 16 + 2 × 16 + 22 × 16 + 23 × 16 + 24 × 16 —————————————— = ———————————————— 2 25

Se observa que en el suministro n≥2, la cantidad de sustancia es la que había en el suministro anterior, n-1, más 16; todo dividido entre dos.

El comportamiento que se presenta en la tabla se puede escribir como: 16 + 2 × 16 + 22 × 16 + 23 × 16 + . . . + 2 n-2 × 16 = 2 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 2 n-2 = 16 ——————————— 2 n-1 Cn = ———————————————————— n-1

( 1 = 16 (1- —— ) 2

)

n-1

Con esta última expresión se pueden verificar los datos que se obtuvieron en la primera tabla respecto a la cantidad de sustancia en el organismo del paciente después de cada suministro. También se observa que 10 minutos después del n-ésimo suministro, el cuerpo del paciente habrá acumulado la cantidad que tenía en ese momento, más la que acaba de ser asimilada (16 unidades). Si esta cantidad la denotamos por An, entonces también se puede obtener una expresión para esta cantidad:

(

1 2

1 ) + 16 (2 - —— 2 )

An = Cn + 16 = 16 1 - —— n-1

n-1

Es claro que la representación algebraica ofrece ciertas ventajas comparada con las otras representaciones. Por ejemplo, con la ayuda de las expresiones algebraicas resulta fácil calcular la cantidad de medicamento en cualquier suministro.

Tarea de extensión. En la situación anterior cambie la dosis que es suministrada a r unidades y conteste las mismas preguntas.

Actividad 3. Una situación que incluya solamente atributos matemáticos también puede ser modelada a partir de algún software dinámico que permita explorar el comportamiento de sus parámetros importantes. Por ejemplo, ¿cuál es el rectángulo con mayor área de todos aquellos que tienen el mismo perímetro? Es una pregunta que se 29

puede abordar a partir de una representaciรณn dinรกmica que permita establecer conexiones y examinar el comportamiento o variaciรณn continua del รกrea.

6.00 cm 3.00 cm

3.00 cm

3.00 cm

9.00 cm2 3.00 cm

En la figura se observa el valor del รกrea (tabla) de varios rectรกngulos con perรญmetro fijo y estos valores se pueden identificar en la grรกfica de la funciรณn que representa el รกrea. Esto permite visualizar dรณnde se encuentra el rectรกngulo con mayor รกrea.

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Pensamiento Algebraico Programa de estudio Licenciatura en Educación Secundaria 3er semestre se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de con domicilio en el mes de abril de 2002.

Se imprimieron 2 500 ejemplares más sobrantes de reposición.

El cuidado de la edición estuvo a cargo de la Dirección General de Normatividad de la Secretaría de Educación Pública.