Modelación numérica de materiales compuestos (parte I)

Volumen 8, número especial

Investigación Inv Inve s ig st i ac aciió ión ón

CIENTIFICA CIENT CIENTI IFICA FICA

abril 2014, issn 1870 –8196

Modelación numérica de materiales compuestos utilizando un método

de homogenización equivalente

pArTe i: FOrMULAciÓn e iMpLeMenTAciÓn nUMÉricA

Hiram Badillo Almaraz Universidad Autónoma de Zacatecas

Sergio Horacio Oller Martínez Universitat Politècnica de Catalunya, España

hbadillo.civil.uaz@gmail.com

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Investigación

CIENTIFICA

Resumen En esta investigación se propone un método de homogenización equivalente cuyo fin es obtener una estimación fiable de la respuesta lineal y no–lineal de materiales compuestos, independientemente de las propiedades de los materiales componentes y de su disposición geométrica. El método se basa en la resolución de dos problemas de valores de contorno acoplados en dos escalas, una global y otra local, resueltos numéricamente a través del ensamblaje de dos programas de cómputo, uno por cada escala, basados en el método de los elementos finitos. En el método se otorga especial énfasis al cálculo del tensor constitutivo homogenizado del compuesto, ya que tiene que ser calculado para cada punto de integración de la escala global una vez que el material compuesto entra en el rango no lineal.

Palabras clave: Método de homogeneización equivalente, materiales compuestos, análisis multi– escala, método de elementos finitos.

Introducción En el ámbito de la mecánica del medio continuo se han dedicado grandes esfuerzos para representar el comportamiento de los materiales homogéneos mediante el uso de conceptos físicos y matemáticos, de una manera suficientemente aproximada. Este conocimiento se ha aplicado en el campo de la mecánica computacional para obtener la respuesta mecánica de los materiales cuando son sometidos a algún tipo de acción, externa o interna, a través de varios métodos numéricos, por ejemplo, el método de los elementos finitos (FeM). En la actualidad, la suma total de dichos conceptos, posibilita el análisis de casi cualquier tipo de material homogéneo, los resultados obtenidos son lo suficientemente aproximados a lo que sucede en la realidad.

Sin embargo, para el caso de materiales heterogéneos formados por la disposición de dos o más componentes, la combinación de las fases se produce sin que ocurra una reacción química, en

contraste con los casos en que esa fusión produce un nuevo material homogéneo, como ocurre en las aleaciones. Ello significa que cada material que forma parte del compuesto se comportará de un modo característico de acuerdo con las propiedades físicas y químicas que gobiernan su comportamiento.

Esto conlleva a que la aplicación directa de métodos como el FeM, en casos de este tipo, no sea lo más adecuado, puesto que en un análisis convencional hecho con ese método, se tendría que expresar el comportamiento de cada material a través de una ley constitutiva determinada con parámetros específicos. En ese sentido, el modelo estructural debe ser discretizado de una manera que el tamaño del elemento finito sea igual que el tamaño de los componentes del material compuesto. Esta restricción requiere la generación de un modelo discretizado complejo con un gran número de elementos finitos que puede ser difícil de lograr, incluso puede exigir un esfuerzo computacional extremadamente alto. Lo anterior ha motivado a plantear estrategias más apropiadas con el fin de analizar materiales compuestos y observar su desempeño global de manera que sean capaces incluso de representar criterios de falla a nivel de cada componente.

Entre los diversos métodos propuestos como alternativa a los modelos constitutivos desarrollados explícitamente para un compuesto en particular, destaca el de homogeneización. Éste analiza materiales compuestos desde un punto de vista interno de la estructura, es decir, la información del comportamiento de todo el material compuesto se obtiene a través de un estudio micro mecánico de las propiedades de los componentes individuales y de la interacción entre ellos.

Las propiedades se obtienen mediante un nivel en una sub–escala (escala local o micro escala) en un elemento de volumen representativo (rve) del material compuesto (también conocida como celda unidad).

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Figura 1. Representación de la composición interna de un medio periódico compuesto por dos materiales y su descomposición en celdas unitarias o rve.

El método de homogenización se basa en los trabajos propuestos por Eshelby (1957), Hashin y Shtrikman (1962), Hill (1965), Hashin (1962), Bensoussan et al. (1978) y Sánchez Palencia (1980). Trabajos más recientes se pueden encontrar en Kouznetsova et al. (2004), Lefik et al. (2009) Yuan y Fish (2009), Geers et al. (2010), entre otros.

La propuesta del análisis en dos escalas surge cuando el comportamiento constitutivo del compuesto se convierte en no lineal, la relación constitutiva a nivel global (macro escala) es difícil de obtener por medio de una formulación fija establecida.

Los procedimientos de modelado multi–escala no resultan en ecuaciones constitutivas generales fijas, ya que éstos calculan la relación esfuerzo–deformación en cada punto de integración de la escala global. La relación esfuerzo–deformación se obtiene a partir de la realización de un modelo detallado de la estructura interna del material compuesto en la escala local del compuesto.

Los procedimientos multi–escala se definen por las siguientes características: a) no requieren ninguna suposición a nivel constitutivo en el nivel global o macro; b) son adecuados para cualquier comportamiento de los materiales, incluyendo respuesta no lineal y dependencia del tiempo; c) pueden proporcionar información micro estructural detallada, comprende la evolución física y geométrica de la microestructura en el análisis macroscópico; d) pueden permitir el uso de cualquier técnica de modelado numérico en el cálculo de la respuesta en la micro escala, por ejemplo, el método de elementos finitos, el método de la celdas Voronoi, etcétera.

La teoría de la homogenización formula el problema del análisis de materiales compuestos empleando un enfoque multi–escala en el que naturalmente existen dos o más escalas de longitud de diferente orden de magnitud. En este estudio toda la formulación se expresa con un enfoque basado en dos escalas: Macro escala (escala global). El comportamiento general de la estructura se toma en cuenta como si se tratara de un mate-

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rial homogéneo, que se ocupa de la geometría global, las condiciones de contorno y las cargas aplicadas.

Micro escala (escala local). Se caracteriza por un volumen elemental representativo (rve) o celda unitaria, en la que se definen los campos micro estructurales del compuesto, encargados de la distribución, la geometría y de las propiedades de los materiales componentes.

La formulación hace uso de la hipótesis de periodicidad local (Bensoussan et al., 1978 & Sanchez Palencia, 1980–1983). Dicha hipótesis se plantea con base en la periodicidad de la estructura interna del material compuesto, lo que significa que los dominios que representan la microestructura se suponen iguales y se considera que los campos de fuerzas y desplazamientos generados en dichos dominios son aproximadamente iguales.

Formulación del problema utilizando variables homogenizadas El problema de la homogenización se basa en la relación entre las deformaciones surgidas en la macro escala con la transformación experimentada por los vectores de periodicidad contenidos en la micro escala. La deformación en la macro escala se asocia con el desplazamiento relativo entre los puntos periódicos que tienen lugar en el nivel micro estructural mediante la homogenización de los tensores de esfuerzo y deformación. Una vez establecida puede formularse y resolverse la ecuación que dicta el equilibrio de la estructura de material compuesto.

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El tensor homogenizado de deformación cuantifica el cambio general del espacio de la celda unitaria bajo un campo de desplazamiento periódico, el cual es independiente de los patrones generados en los contornos de las células. Por otra parte, ya que el tensor de deformación homogenizada mide la deformación que se produce entre las caras del dominio o puntos periódicos del contorno de la celda, este valor también se corresponde con el valor medio de la tensión de deformación en el dominio como se muestra en la ecuación (1). e–=⟨e( y)⟩Ωc=1/vc ∫vc e( y)dvc= 1/vc ∫vc1/2[∇yu+(∇yu)t ]d vc

1)

donde ⟨e( y)⟩Ωc es el campo de deformación en la micro escala, Ωc es el dominio de la celda, vc es el volumen contenido en Ωc, y ∇yu es el gradiente del desplazamiento de una partícula con respecto a la configuración actualizada. Siguiendo esas consideraciones para el tensor homogenizado de deformaciones, el tensor homogenizado de esfuerzos queda expresado como un – , como se indica en la ecuación (2). tensor de segundo orden s ij – =1/v ∫v s dv s ij c c ij c

2)

El tensor satisface a nivel de la macro escala los mismos requisitos que el tensor de esfuerzos para el caso de materiales homogéneos. En consecuencia, el tensor se denomina como el tensor de esfuerzos homogenizado. Si todo el dominio del medio periódico se puede representar como un material homogéneo compuesto de un gran número de celdas o rve exactamente iguales, entonces es posible expresar la ecuación de balance global como la integral de la ecuación de balance de cada una de estas celdas de la siguiente manera: – dv )dv + ∫v Ω (1/vc ∫vc s ij,j c Ω

3)

∫ v Ω (1/ vc ∫ vc ρbid vc)dvΩ=0 donde ρ es la masa y b es la fuerza asociada con la masa.

En la macro escala las fuerzas del cuerpo por unidad de volumen son tomadas en cuenta porque su magnitud llega a ser significativa. Dichas fuerzas pueden calcularse como el promedio de las fuerzas de volumen dentro de la celda como: – b i=1/vc ∫vc ρbi d vc

4)

Sustituyendo las ecuaciones (2) y (4) en la ecuación (3) y usando el teorema de la divergencia, la ecuación de equilibrio global se convierte en:

– dv + ∫ b– dv =0 ∫v Ω s ij,j vΩ i Ω Ω

5)

La ecuación (5) es válida para cualquier región Ω del material compuesto, por lo que también es válida incluso cuando se elige un dominio muy pequeño. En consecuencia, la ecuación local de equilibrio estático homogeneizado se obtiene con base en la ecuación anterior y se expresa: – + b– s ij,j i

6)

Formulación homogenizada lineal en dos escalas Con el fin de acoplar la formulación usando un método de doble escala, se considera que el comportamiento del material compuesto se obtiene a través de la celda como una unidad estructural. Además, se supone al problema como cuasi– estático manifestado en pequeñas deformaciones.

Formulación en la macro escala Para formular el problema en el nivel macro estructural primero se toma en cuenta un problema de valores de contorno (bvp), consistente en un material compuesto de dominio. Su estructura interna se dispone periódicamente, de manera que con respecto a una escala macro el material se considera homogéneo.

El dominio está limitado por el contorno con las condiciones: ∂Ωu ∩ ∂Ωt=0 ∂Ωu ∪ ∂Ωt=∂Ω

7)

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donde ∂Ω u es el límite en el que se conoce el desplazamiento (condición de Dirichlet) y ∂Ω t es el límite donde se conocen las fuerzas (condición de Neumann).

La cinemática del problema se vincula con un campo de desplazamiento u(x) en la escala macro, que expresa el desplazamiento de cada partícula del dominio Ω. Además, la estructura interna del material compuesto es susceptible de ser dividido en unidades muy pequeñas, denominadas celdas estructurales o rve, cuyo dominio se caracteriza por Ω c, de una manera que todo el dominio Ω puede ser representado por una repetición ordenada de esas celdas. Ello da origen al análisis homogenizado en dos escalas. Estas dos escalas, de diferente orden de magnitud, se encuentran dispuestas de modo tal que para cada partícula x i en el dominio Ω existe un dominio Ω c (celda o rve) que consecuentemente contiene un espacio local yi.

Al nivel de la macro escala, el problema de la obtención de la respuesta de los materiales compuestos se convierte en un bvp similar a un problema de materiales homogéneos. Así, los campos de desplazamiento u(x) y esfuerzos s– (x) en el bvp al nivel de la macro escala deben satisfacer el siguiente conjunto de ecuaciones: ecuación de equilibrio en Ω ∂s–(x) – +b =0 ∂(x)

8)

ecuación constitutiva en Ω – (x)=1/v ∫ s(x,y)dv =0 s c vc c

9)

desplazamientos en Ω u(x)=u–(x)

10)

fuerzas en Ω – s–(x)·n=t (x)

11)

donde n es un vector unitario normal del elemen– to de superficie y t es el vector de fuerzas de tracción homogeneizada.

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Formulación en la micro escala En principio, es necesario establecer las condiciones de contorno que conciernen al dominio de la celda. Relativo a la celda unitaria o rve las condiciones de contorno son distintas a las expresadas en las ecuaciones (7), ya que se tienen que introducir condiciones especiales, por ejemplo, las que definen la periodicidad local del campo de desplazamientos y fuerzas en el nivel microestructural. También debe valorarse que las fuerzas externas en el dominio de la celda asociada a dos elementos de contorno periódicos son iguales en magnitud, pero en direcciones opuestas. Dicha condición garantiza la periodicidad del campo de fuerzas, el cual debe ser satisfecho cuando la celda alcanza el equilibrio bajo el mínimo consumo de energía. Bajo estas consideraciones, el problema microestructural de materiales compuestos en la escala local se reduce a resolver el siguiente problema de contorno en el dominio de la celda Ω c: ecuación de equilibrio en Ωc ∂s(y) = 0 ∂y

12)

ecuación constitutiva en Ωc s( y)=c( y):e( y)

13)

desplazamientos periódicos en ∂Ωcu – up+–u d p= e (x)·d

14)

fuerzas periódicas en ∂Ωct tp+d=–tp

15)

donde los esfuerzos en la micro escala s( y) y los campos de deformación e( y) son las incógnitas del problema, c( y) es el tensor constitutivo correspondiente al material componente respectivo en cada punto en el interior del dominio, capaz de representar cualquier tipo de comportamiento mecánico (elástico, plástico, etcétera), –e (x) es el tensor de deformación homogenizado, d son los vectores de periodicidad que relacionan a los puntos de contorno periódicos de la celda y al vector de tracción t.

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En las ecuaciones anteriores se aprecia que los desplazamientos y fuerzas periódicas en el límite de la célula ∂Ωc u y ∂ Ωc t , se encuentran directamente relacionados con el tensor de deformaciones homogenizado –e (x) en el nivel de la macro escala. En consecuencia, los dos problemas están acoplados, por tanto, la solución del problema en la macro escala se obtiene siguiendo un procedimiento clásico de problemas de valores de contorno (bvp) utilizando la ecuación de equilibrio en un sólido discreto.

Sin embargo, para que se cumpla el equilibrio en la macro escala, se requiere que las condiciones del bvp en la micro escala sean satisfechas para cada punto del dominio global Ω.

17)

donde K es la matriz de rigidez global de la estructura, u es el vector de desplazamientos nodales y f el vector de fuerza en el contorno del dominio de la celda. Sin embargo, el sistema de ecuaciones representadas por la ecuación (17) debe incluir las restricciones de los desplazamientos periódicos y las fuerzas sobre el contorno del dominio, según se expuso en los párrafos anteriores. Aquí es conveniente obtener una formulación general que permita la imposición de las condiciones de contorno a cualquier tipo de celda, es decir, en forma y en configuración de sus componentes. En este estudio, se emplea el uso de los multiplicadores de Lagrange para la resolución del problema.

Concerniente a la implementación numérica se propone dividir a los multiplicadores de Lagrange en dos grupos, λ1 y λ2 similar a lo propuesto por Anthoine (1995). Los dos operadores relacionan a las fuerzas del contorno en los nodos restringidos y a las magnitudes periódicas correspondientes. La solución estacionaria del funcional aumentado por los multiplicadores de Lagrange está dada por: Π=½ut·K·u–ut·f+λt1·(kp·u–∆ d)+λt2·(kp·u–∆ d)+½(λ1–λ2)t·(λ1–λ2) 18)

Condiciones periodicidad de dominio de la célula El problema de las ecuaciones 12–15 plantea un bvp condicionado, cuya solución es el equilibrio de la microestructura. Dicho equilibrio está planteado a través de la formulación de trabajo virtual con un equilibrio de fuerzas en el interior del dominio con respecto a las fuerzas que actúan en el límite del dominio: r(s)=f(t)

K·u=f

16)

donde r(s) representa las fuerzas dentro del dominio de las celdas que se encuentran en función de los esfuerzos internos, mientras que f(t) son las fuerzas en el contorno de la celda originadas por las fuerzas de tracción. Lo anterior se expresa en una forma discreta mediante el método de elementos finitos, la última ecuación se puede reordenar de la siguiente manera:

La minimización de Π conduce a un sistema lineal simétrico bien condicionado siempre que K sea también una matriz simétrica bien condicionada. La minimización del sistema global se efectúa mediante la minimización del funcional con respecto a los tres vectores desconocidos u, λ1 y λ 2: ∂Π* =0 ∂u

∂Π* =0 ∂λ1

∂Π* =0 ∂λ2

19)

Expresado en términos matriciales: u F kp I –I · λ1 = ∆D kTp –I I λ2 ∆D K

T

kTp kTp

20)

donde K es la matriz de rigidez del rve, K tp es un arreglo matricial que relaciona a los grados de libertad de los nodos del contorno, I es la matriz identidad, u es el vector de desplazamiento, f es el vector de fuerza, ∆ d es el vector de desplazamiento relativo de los nodos periódicos correspondientes a los grados de libertad de los nodos del contorno. Los dos vectores λ1 y λ2 son obviamente iguales y corresponden a las fuerzas de reacción asociadas con las condiciones de contorno de Dirichlet.

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Determinación del tensor constitutivo homogenizado lineal La respuesta del material compuesto se determina por medio de la obtención de un tensor constitutivo homogenizado, de manera que cuando se aplica una deformación – – e (x), esa ley constitutiva c (x) relaciona las variables globales con los esfuerzos s–(x) en el material compuesto de acuerdo con la expresión: –(x)=c–(x): – s e (x)

21)

Ésta es análoga a la expresión clásica para materiales homogéneos. No obstante, referente a los materiales compuestos, la obtención del tensor constitutivo homogenizado no es una tarea sencilla cuando dos o más componentes de material con diferentes participaciones volumétricas son parte del compuesto, en específico cuando alguno de los materiales se ubica en el rango no–lineal. Un modo de obtener dicho tensor constitutivo homogenizado es a través de la aplicación de pequeñas perturbaciones en la celda o rve. En el caso lineal ello se hace para activar las propiedades elásticas del material compuesto, mientras que en el rango no–lineal se hace a fin de conocer el estado de esfuerzos en un punto más adelante de la curva esfuerzo– deformación del compuesto (con la intención de conseguir el tensor constitutivo homogenizado no–lineal tangente).

Los esfuerzos homogenizados en la celda se calculan para cada deformación. Una vez que se realiza la operación, es posible obtener las constantes del material compuesto según la expresión:

–

–

–

c (x)=[s (x)]:[e (x)]–1

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22)

– Ya que el tensor constitutivo homogeneizado c (x) es de cuar–(x) y – to orden y los tensores de esfuerzo y deformación s e (x) son de segundo orden, esta ecuación tiene un número infinito de soluciones. No obstante, si se toma en cuenta la condición de ortotropía y se aplican las perturbaciones por separado en cada una de las direcciones principales, entonces el tensor constitutivo homogéneo se obtiene componente por componente, de ahí que el problema se convierta en uno con solución única.

Método de perturbación en el rango elástico lineal Para el caso de problemas bidimensionales idealizados como problemas de esfuerzos o de deformaciones planos, el tensor constitutivo homogeneizado elástico puede ser expresado en forma matricial como: C–xxxx C–yyxx

– C–(x)= C

yyxx 0

C–yyyy 0

0 –I – C

23)

xyxy

Si las perturbaciones son aplicadas por medio del conjunto de deformaciones independientes en cada una de las direcciones principales, de la manera: – e 1(x)=[e–xx,0,0] ; – e 2(x)=[0,e–yy,0] ; –e 3(x)=[0,02– e xy]

24)

Se obtiene un conjunto de esfuerzos de campo correlacionada con las deformaciones aplicadas de forma independiente para cada dirección, tal como se expresa en las ecuaciones (25).

–[e– (x)] ; s –[e– (x)] s–[e–1(x)] ; s 2 3

25)

Los coeficientes del tensor homogeneizado de la ecuación (23) están dados por el siguiente conjunto de ecuaciones: –

c xxxx=

– – – – s s – xxe 1(x) xxe 2(x) c =

; xxyy – e xx e–yy

– – – – – – – s s s e 3(x) – – yye 1(x) yye 2(x) c yyxx= – ; c yyyy= – ; c xyxy= xy–

e xx e yy 2e xy

26)

La técnica empleada para obtener los coeficientes del tensor constitutivo homogenizado es independiente de la forma y el

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tipo de deformaciones aplicados a la celda o rve. Ello significa que dicho tensor siempre será el mismo, incluso si otro conjunto de distorsiones se aplica, siempre y cuando las propiedades de la celda se mantengan dentro del rango elástico.

Debe considerarse que este factor cambia cuando alguno de los componentes del material compuesto entra en el rango no– lineal. El tensor constitutivo homogenizado se calcula de acuerdo con el estado de carga soportado por la estructura del material compuesto en cada paso de carga y en cada iteración dentro del proceso de cálculo, después de que cualquiera de los constituyentes que forman parte del material compuesto se encuentre más allá del rango lineal.

Formulación homogeneizada no–lineal en dos escalas En el problema no–lineal, las expresiones geométricas y cinemáticas establecidas para el problema elástico siguen siendo válidas. Las ecuaciones de equilibrio locales en la macro y la micro escala presentadas en las ecuaciones 8–11 y 12–15 respectivamente, también lo son. Sin embargo, las leyes de comportamiento expresadas para materiales elásticos, representadas en las Ecuaciones 9 y 13 deben ser sustituidas por sus contrapartes no–lineales, a fin de reproducir el comportamiento inelástico de cada material componente de la microestructura y de todo el material compuesto a la escala global.

En este estudio, la no–linealidad del problema se define por la relación de esfuerzo–deformación de los materiales componentes. Otros tipos de no–linealidades se encuentran fuera del objetivo de esta investigación y deben ser objeto de investigaciones posteriores.

Conceptos básicos para la formulación no–lineal En las formulaciones clásicas de mecánica de medios continuos el comportamiento lineal y no–lineal de los materiales se establece mediante el uso de ecuaciones constitutivas. Estas ecuaciones relacionan dos cantidades físicas (el esfuerzo y la deformación), específicas de un material o sustancia, con las cuales se aproxima la respuesta del material ante un conjunto de fuerzas externas.

En el caso lineal es común aproximar la ecuación constitutiva por medio de un parámetro de proporcionalidad sencillo al cual se le conoce comúnmente como la ley de Hooke. Pero en el caso no–lineal se requiere una formulación más elaborada con la intención de dar cuenta de las propiedades tensoriales y del cambio en la respuesta de los materiales, según se expresa en la ecuación (27).

·=c tnl :e· s

27)

donde c tnl representa el tensor constitutivo tangente no–lineal de un material constituyente.

La deducción de las ecuaciones constitutivas generalmente se realiza a partir de una energía potencial y se expresa en función de diferentes variables (variables libres, variables internas y variables dependientes). Una generalización de este procedimiento se formula con las expresiones: a) Energía libre del material: F=F(e,a)

28)

b) Variable libre. Tensor de deformaciones: 1 ∂u ∂ut e= + 2 ∂y ∂y

(

)

c) Variables internas: a={ak} k=1,...,n

29)

30)

d) Variable dependiente. Tensor de esfuerzos: ·=s ·(F,e·,a) s 31) El esquema de las ecuaciones 28–31 para obtener una ecuación

constitutiva es válido sólo en el caso de un material componente. No obstante, cuando se trata de materiales o estructuras compuestas de dos o más materiales, cada material que es parte del material compuesto se comportará de una manera característica de acuerdo con las propiedades físicas y químicas que gobiernan su comportamiento.

La formulación no–lineal que aquí se muestra se obtiene con base en las variables de campo en cada componente en el nivel micro estructural. Su realización depende de un número infinito de variables.

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Con el fin de evitar este inconveniente se decide que la forma más adecuada para obtener la ecuación constitutiva no–lineal se debe hacer a través de una formulación a base de una implementación de un algoritmo numérico.

La implementación del algoritmo numérico se lleva a cabo a través de una reproducción de las variables de campo de esfuerzo y deformación en el nivel micro estructural, que son función del comportamiento y de la forma geométrica de los materiales de los componentes. Todo el campo de variables internas de los componentes dentro del dominio celda representa las variables internas de la ecuación constitutiva del material compuesto. Por lo que al formular una ecuación constitutiva para el compuesto (a nivel global), no hay necesidad de operar directamente con las ecuaciones constitutivas de los componentes (a nivel local) ni con su geometría. El seguir una formulación de este tipo resulta en la obtención de un método de carácter general que puede ser aplicado en la solución de casi cualquier tipo de material con configuración estructural compuesta.

Formulación de la ecuación de equilibrio del material compuesto en dos escalas La ecuación constitutiva para el material compuesto se formula como un algoritmo incremental, que controla la deformación global del compuesto a través de un incremento en el instante de tiempo. La respuesta del material compuesto en el momento actual está dada por el tensor de esfuerzos homogenizado de acuerdo con la siguiente expresión:

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·(x)∆t –(x)t+∆t=s – (x)t+c– t nl(x)∆t:e– s

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32)

La expresión anterior cumple estrictamente con la ecuación (2), por lo que ésta se puede expresar en términos de las variables microscópicas de la celda unitaria como: · ∆t · ∆t –(x)t+∆t=1/v ∫ [st(F(y),e–(x)t,a(y)t )+s · ∆t(F(y),e– s (x) , a(y) )]dvΩc Ωc v Ωc

= 1/vΩc ∫v st+∆t(F(y),e–(x)t+∆t,a(y)t+∆t )dvΩc Ωc

33)

donde F(y) representa la energía potencial y a(y) representa las variables internas dentro del dominio de la célula (daño, plasticidad, etc.). La solución de la ecuación (33) representa la respuesta mecánica del material compuesto utilizando el método de homogenización en dos escalas.

Asumiendo un comportamiento cuasi–estático del material compuesto, donde los datos geométricos de la microestructura son conocidos (dominio Ωc), y suponiendo que se conocen las variables del problema de en un momento dado t, es decir, los –(x)t, deformación –e(x) tensores homogenizados de esfuerzos s t t y de las variables internas a(y) en el dominio compuesto Ω a través de la celda unitario o del dominio del rve, entonces podemos asegurar que el residuo r t es aproximadamente igual a cero, dado que el material compuesto se supone en equilibrio. Esto se expresa como en una forma general de la siguiente manera: –)t–f(t–n)t| ≃ 0 r t=|r(s

34)

–) representan las fuerzas dentro del dominio comdonde r(s puesto que están en función de los esfuerzos homogenizados – internos, mientras que f(t n) son las fuerzas que actúan sobre el contorno del dominio compuesto originadas por las fuerzas de tracción externas. De acuerdo con la ecuación (32) el incremento en la respuesta del material compuesto para el tiempo t+∆t depende de la rapidez del incremento de deformación ho– mogeneizada · e(x)∆t. · –(x)t+∆t–s –(x)t –(x)∆t=c–tnl(x) ∆t:e·–(x)∆t=s s

35)

donde: · – e (x)t+∆t=e–(x)t+e–(x)∆t

36)

La solución de los bvp que representan a cada escala debe ser llevada a cabo como un sistema acoplado, tal como lo establece la ecuación (33). Esto implica resolver una infinidad de

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problemas de valores de contorno, uno en la macro escala y el resto en la micro escala (uno por cada punto de integración de la macro escala). En este punto radica la dificultad de resolver problemas no–lineales mediante el uso de la teoría de homogenización. El tensor constitutivo homogenizado no–lineal desempeña un papel fundamental en la solución acoplada, ya que la tasa de convergencia depende de él, por lo que es deseable una estrategia óptima y adecuada para calcularlo.

Determinación del tensor constitutivo homogenizado no–lineal La obtención de la respuesta no–lineal de un material compuesto es una tarea difícil, ya que el tensor constitutivo no–lineal del compuesto varía de acuerdo con la carga aplicada. Este proceso implica un gran coste computacional. Varios procedimientos han sido desarrollados con el fin de obtener el tensor constitutivo homogenizado no– lineal con el esfuerzo computacional mínimo posible. Estos incluyen, por ejemplo, la construcción de bases de datos con las propiedades homogenizadas, la realización de análisis de sensibilidad, la aplicación de transformaciones rápidas de Fourier, etc. Entre los diferentes métodos que se han desarrollado se ha encontrado que los métodos basados en la aplicación de perturbaciones parecen ser los procedimientos más eficientes desarrollados hasta el momento para calcular el tensor no lineal homogenizada Miehe [1996]. En este estudio se adopta el método basado en perturbaciones desarrollado por Badillo y Oller [2009] para calcular el tensor constitutivo tangente homogenizado no– lineal de los materiales compuestos.

El método consiste en la aplicación de una perturbación para obtener el tensor constitutivo tangente no–lineal ctnl de cada elemento de la celda unidad que representa el material compuesto. El desempeño no–lineal en la celda unidad se implementa a través de los modelos constitutivos (desarrollados a priori). La aplicación de las condiciones de periodicidad en el dominio de la celda permanece igual que en el rango lineal, por lo tanto, a primera vista no se tienen que hacer más suposi-

ciones para resolver el problema a nivel microestructural cuando el rve entra en el rango no–lineal.

Una vez que el tensor tangente se calcula para cada uno de los elementos de la celda unidad, debe ser almacenado con el fin de calcular el tensor constitutivo tangente no–lineal homogenizado – c tnl sobre todo el volumen de la celda, de manera que nos permita resolver el problema constitutivo del material compuesto expresado por la ecuación (27). El tensor constitutivo tangente homogenizado no–lineal se calcula sobre todo el volumen de la celda unidad siguiendo la definición clásica propuesta por el método de los promedios tal como se expresa en la ecuación (37).

–

c t nl(x)=1/vΩ c ∫vΩ c ctinjldvΩ c

37)

La expresión se presenta en la ecuación 37 es análoga a la que se presenta en la ecuación 23 para el caso elástico lineal, ya que ambas expresiones darían el mismo tensor constitutivo elástico lineal. La diferencia entre estas dos expresiones es que en la ecuación 23 el tensor constitutivo homogenizado se calcula directamente a partir de los tensores de esfuerzo y de deformación elásticos homogenizados y de la celda, en tanto que en la ecuación 37 el tensor constitutivo se obtiene de la integración de los tensores constitutivos tangentes de cada punto de integración sobre el volumen del dominio de la celda unidad.

Implementación numérica de la formulación acoplada en dos escalas En esta formulación se usa el código de elementos finitos pLcD [ciMne, 2008] como plataforma de partida para aplicar la implementación numérica de la técnica de homogenización. La técnica de homogenización multi–escala consiste primero en dividir el problema en las dos escalas existentes, por lo que la implementación numérica tiene que ser desarrollada en dos programas diferentes, uno que se ocupa de la escala macroscópica o global (llamado programa global) y otro que se ocupa con la escala microscópica o local (programa local).

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El programa en la escala global se ocupa de la geometría del problema, las condiciones de contorno y de las fuerzas aplicadas en la estructura.

La macro estructura se discretiza en elementos finitos y cada punto de integración de la macro estructura se vincula a una celda unidad o rve microestructural única, la cual se resuelve en el programa local. El programa global ensambla la matriz de rigidez con el tensor constitutivo homogenizado computado por el programa local y aplica los incrementos de carga. Una vez que el sistema de ecuaciones es ensamblado y resuelto, el programa global envía un conjunto de deformaciones homogenizadas al programa local y éste, a su vez, envía al programa global un conjunto de esfuerzos homogenizados. El programa global busca la convergencia de manera iterativa. El proceso se repite para cada incremento de carga.

Por otra parte, el programa en escala local se ocupa de las propiedades de los constituyentes del material compuesto tomando en cuenta las ecuaciones constitutivas de cada uno de ellos. El programa local ensambla la matriz de rigidez de los elementos de la celda con el correspondiente tensor constitutivo del componente. Transforma el campo de deformaciones dadas por el programa global en un campo de desplazamientos, tomando en cuenta las condiciones periódicas que se traducen en un conjunto de fuerzas aplicadas en el dominio de la celda unidad. El programa ensambla el sistema de ecuaciones y lo resuelve.

Después calcula las fuerzas residuales considerando cada modelo constitutivo de los constituyentes y busca la convergencia de manera iterativa. El programa local envía un conjunto de esfuerzos homogenizados de cada celda correspondiente a cada punto de integración del problema global.

El programa local calcula el tensor homogenizado elástico lineal en una primera instancia. Cuando al menos uno de los puntos de integración de cualquiera de los elementos de la celda o rve se encuentra dentro de la rama no–lineal se calcula el tensor de homogenizad no–lineal siguiendo el procedimiento descrito anteriormente y envía dicho tensor al programa global. Una representación esquemática de la implementación del código en dos escalas de la técnica de homogeneiza-

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ción propuesta en este estudio se presenta en la figura 2.

Figura 2. Representación esquemática de la solución incremental iterativa anidada para el método de homogeneización en dos escalas.

Conclusiones Un método de homogenización multi–escala ha sido propuesto y desarrollado en esta investigación para el análisis de estructuras periódicas basado en una técnica en dos escalas. El método hace uso de la teoría clásica homogenización siguiendo una formulación basada en la mecánica del medio continuo estándar de primer orden. Se adoptó la decisión de seguir un esquema de cálculo de primer orden, basados en el hecho de que los métodos de mayor orden contienen elementos que hacen uso de un mayor número de nodos, grados de libertad y condiciones de contorno. Lo anterior puede resultar en un incremento consi-

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Investigación

CIENTIFICA

derable del costo computacional con respecto a la formulación de primer orden.

Los principios teóricos utilizados en el método de homogeneización se aplicaron para ensamblar una herramienta computacional basada en dos problemas de valores de contorno (bvp) anidados representados por un código de elementos finitos en dos escalas: a) una escala global, que trata al material compuesto como un material homogéneo, donde se asignan las condiciones de contorno y las cargas aplicadas en la estructura; y b) una escala local que obtiene la respuesta homogenizada del elemento de volumen representativo o celda unitaria, que se ocupa de la distribución de la geometría y de las propiedades de los materiales de los componentes y que resuelve el problema constitutivo a nivel de los componentes del compuesto.

El método se basa en la hipótesis de periodicidad local derivada de la periodicidad interna de la estructura del material compuesto. La implementación numérica de las restricciones de desplazamientos y fuerzas correspondientes a los grados de libertad de los límites del dominio derivado del requisito de periodicidad (es decir, las condiciones de contorno periódicas) se llevó a cabo por medio del método de los multiplicadores de Lagrange.

La formulación incluye un método para calcular el tensor constitutivo homogenizado tangente no–lineal una vez que el umbral de no–linealidad de cualquiera de las celdas unidad ha sido superado. El procedimiento se basa en aplicación de una derivación numérica a través de una técnica de perturbación. El tensor constitutivo tangente se calcula para cada incremento de carga y para cada iteración del análisis de la estructura una vez que la celda unidad o rve ha entrado en el rango no–lineal.

La aplicación numérica del método propuesto para el análisis de materiales y estructuras compuestas se presenta en la segunda parte de esta publicación con el fin de evaluar y explorar las capacidades del procedimiento computacional desarrollado en esta investigación.

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