Modelación numérica de materiales compuestos (parte II)

Volumen 8, número especial

Investigación Inv Inve s ig st i ac aciió ión ón

CIENTIFICA CIENT CIENTI IFICA FICA

abril 2014, issn 1870–8196

Modelación numérica de materiales compuestos utilizando un método

de homogenización equivalente

ParTe ii: aPlicaciÓn en el anÁlisis de esTrUcTUras comPUesTas

Hiram Badillo Almaraz Universidad Autónoma de Zacatecas

Sergio Horacio Oller Martínez Universitat Politècnica de Catalunya, España

hbadillo.civil.uaz@gmail.com

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Investigación

CIENTIFICA

Resumen En este estudio se propone obtener la respuesta de una estructura compuesta a través del método de homogenización equivalente formulado en la primera parte de la investigación. El ejemplo consistió en una placa rectangular de 2.0 m x 1.0 m compuesta por dos materiales, fibras y matriz, con comportamientos clásicos de elasto–plasticidad y daño, respectivamente. Se tuvieron en cuenta diversos factores para realizar el análisis con el fin de verificar la aplicabilidad del método de homogenización propuesto: se utilizaron diferentes condiciones de carga, densidades de malla en la escala global y tamaños de la celda en la escala local. Ahora se presenta un análisis comparativo entre el método de homogenización en dos escalas y el método clásico de elementos finitos.

Palabras clave: método de homogenización equivalente, materiales compuestos, análisis multi–escala, método de elementos finitos.

Introducción

una estimación fiable de la respuesta lineal y no– lineal de materiales compuestos que presentan una distribución periódica, independientemente de las propiedades de los componentes y de su disposición geométrica. El método se sustenta en la resolución de dos problemas de valores de contorno acoplados en dos escalas (global y local), los cuales son resueltos numéricamente a través del ensamblaje de dos programas de cómputo, uno por cada escala, basados en el método de los elementos finitos. En cada punto de integración numérica de cada elemento finito en la escala global, se tiene que resolver un problema de elementos finitos en la escala local, el cual es definido por el rVe o celda unidad.

La respuesta global del compuesto se consigue con microestructura: se obtiene una solución de manera homogenizada según la teoría clásica de los promedios. De acuerdo con esa definición, por ejemplo, dentro de una formulación «débil» de elementos finitos, el tensor homogenizado constitutinelem n 1 vo tangente no–lineal c–Tnl(x)= se da por ( ∑ i=elem1 CijTnl ( y( ∑1.i= nelem la ecuación nint 1 l ∑ i=1 ( ∑ i=1 w j(e) ) nelem nelem Tnl l l c–Tnl(x)= nelem 1nint ( ) 1) ∑ ∑ i = i=1 Cij ( y(e) )w j(e) 1 l ∑ i=1 ( ∑ i=1 w j(e) )

1 elem elem Tnl l l es el ntensor tangente donde c–Tnl(x)= (∑ ) ∑ i= nintconstitutivo elem n i=1 Cij ( y(e) )w j(e) 1 nelem l 1 elem T ( ) ∑ ∑ l l w j nl (e) (x)= nelema unnmaterial i=1∑ i(=∑ 1 ) componente, Diversas técnicas han sido desarrolladas para re- c asociado represen) C ( y w j (e) (e) i=1 ij ( ∑ i=intde ∑ i= w lj(e) ) i=1 de 1 1 integración presentar y modelar matemáticamente materia- ta cada punto la microestructul les compuestos o heterogéneos; así como un gran ra, ( y (e) εΩ c(e)), w l es el peso correspondiente, j(e) número de modelos constitutivos que evalúan es el Jacobiano del elemento, nelem es el número el comportamiento global de los compuestos de total de elementos en el dominio de la celda Ω c y acuerdo con las leyes de la termodinámica en el nint es el número de puntos de integración para el rango lineal y el no lineal. Las ecuaciones cons- elemento Ω c(e). El resto de las variables homogetitutivas de los macro modelos han sido creadas nizadas (esfuerzos y variables internas) se calcupara materiales compuestos con diferentes arre- lan siguiendo la misma formulación. glos, como los materiales con fibras largas, cortas, A continuación se ofrece un ejemplo que deestratificadas con una o más direcciones, lamina- muestra la aplicabilidad del método de homogedos con una o más capas, etcétera. Sin embar- nización en dos escalas propuesto (hom) para el go, existe un inconveniente en ellos: no se puede análisis de materiales y estructuras compuestas generalizar porque las relaciones constitutivas se que pueden ser representados por un dominio han efectuado en un material compuesto en parti- periódico. En él se tuvieron en cuenta diversos cular y no se pueden extrapolar a otros, por lo que factores: se emplearon diferentes condiciones de se hallan restringidos. carga, densidades de malla en la escala global y En la primera parte de la investigación se expu- tamaños de la celda en la escala local. Asimismo sieron las bases teóricas para la formulación y la se llevó a cabo una comparación entre el hom y el implementación numérica de un método de ho- método clásico de elementos finitos (fem). mogenización equivalente, con el fin de obtener n

–Tnl

n

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Ejemplo numérico

Condiciones de contorno

Consiste en una placa rectangular de 2.0 m x 1.0 m de dos materiales, la matriz y las fibras, y con un espesor igual a 0.01 m. Las fibras tienen un ancho igual a 0.01 m y se colocan verticalmente a lo largo de la altura de la placa, de manera que ocupen un 20 por ciento con respecto al volumen total del material compuesto. La distribución geométrica del espécimen se detalla en la figura 1.

El material de la matriz se modela suponiendo un comportamiento con daño, mientras que para las fibras se usa un modelo elasto–plástico perfecto. El espécimen se analiza como un problema de esfuerzos plano. Las propiedades de los materiales constituyentes se especifican en la tabla 1.

La placa se fija en la parte inferior, en tanto que en la superior se aplican dos tipos de carga prescrita en términos de desplazamientos controlados: carga axial pura (carga vertical distribuida de manera uniforme) hacia arriba y carga axial con una distribución trapezoidal, donde la carga varía con un factor de escala de 1 en la esquina superior derecha y 10 en la esquina superior izquierda. Las condiciones de contorno y las dos de carga del análisis de la placa de compuesto se aprecian en la figura 2.

Figura 1. Representación esquemática de la geometría de la placa de material compuesto (cm).

a) Desplazamiento de carga uniforme.

b) Distribución de la carga trapezoidal.

Figura 2. Representación esquemática de las condiciones de borde y de carga aplicadas en el análisis de la placa compuesta.

Tabla 1. Propiedades de los materiales

Modelos de análisis para el fem y el hom

componentes de la placa

Material Módulo de Young Módulo de Poisson Fricción interna Resistencia a la compresión Resistencia a la tensión Energía de fractura Gf / Gc

Matriz 3.5e4 mpa 0.2

Fibra 2.1e5 mpa

30

0.0

20 mpa

200 mpa

2.0 mpa

200 mpa

0.25 / 26.0 kn/m

––

0.3

En el fem de la placa compuesta se emplearon elementos rectangulares. La carga axial se aplicó en términos de desplazamientos controlados en los nodos superiores acorde con las dos distribuciones de carga de la figura 2. El modelo contenía 8 mil elementos cuadrados con 8 mil 181 nodos.

La figura 3 exhibe este modelo.

Concerniente a la solución del hom, cabe mencionar que se necesitan dos modelos de mallas

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de elementos finitos. El primero se usa para representar la estructura a nivel global (macro estructura), en él se aplican todas las condiciones de contorno pues define la geometría del problema real. El segundo representa la celda unidad o rVe que caracteriza la estructura interna periódica del material compuesto y que tiene en cuenta las leyes constitutivas de cada componente (micro estructura).

a) Malla fina.

b) Malla gruesa.

Figura 4. Mallas utilizadas a nivel global (macro estructura) en el método de homogenización.

Figura 3. Malla para el método clásico de elementos finitos (fem) de la placa compuesta.

Con la finalidad de mostrar que el método es independiente del tamaño de la malla, en la estructura global o macro se consideraron dos densidades de malla. Los dos macro modelos se generaron usando elementos cuadriláteros. El primer modelo comprende 200 elementos con 231 nodos (figura 4a) y es identificado como «malla fina»; en tanto que el segundo consiste en 72 elementos con 91 nodos (figura 4b) y se le conoce como «malla gruesa». La carga se aplicó del mismo modo que en el fem en términos de desplazamientos controlados de los nodos situados en la parte superior de la placa.

La celda unitaria o rVe que indica la estructura interna del material compuesto (escala local) es la estructura más pequeña y sus propiedades son representativas para toda la micro estructura dependiendo del promedio y considerando a toda la estructura. La celda unidad se ensambla según la disposición geométrica, la relación volumétrica de los materiales y el su comportamiento constitutivo.

Cabe resaltar que la representación de la división de la estructura interna de la placa compuesta a través de celdas unitarias cuadradas se expone en la figura 5. Este ejemplo empleó dos tamaños diferentes de celdas unitarias con el objeto de estudiar la influencia de la magnitud absoluta de la micro estructura en el proceso de homogenización. La primera celda unitaria, denominada «celda grande» (figura 5a), tiene una longitud y una altura igual a 0.1 m, mientras que en la segunda, nombrada «celda pequeña», sus dimensiones son iguales a 0.02 m (figura 5 b). En ambos casos el espesor es igual a 0.01 m y mantienen 40 elementos con 54 nodos.

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Figura 5. Representación de la división de la estructura interna de la placa de material compuesto por medio de celdas unitarias cuadradas y discretización de las mallas de las dos celdas unitarias utilizadas a nivel local: a) celda grande y b) celda pequeña (unidades en cm).

Resultados Los resultados obtenidos con el fem y el hom se describen a continuación. La figura 6 muestra las curvas de capacidad (fuerza aplicada versus desplazamiento) de la carga axial uniformemente distribuida, con dos densidades de malla en la escala global (gruesa y fina) y de dos tamaños de celda unidad (grande y pequeña). A su vez, en la figura 7 se brinda la información correspondiente a la carga con distribución trapezoidal. De manera similar, las figuras 8 y 9 refieren las distribuciones del campo de desplazamientos (en la solución homogenizada esta información sólo es a escala global).

Figura 6. Curvas de capacidad para el fem y el hom.

Carga axial uniformemente distribuida.

De las figuras 6–9 se puede afirmar que la respuesta global del material compuesto calculado con los modelos homogenizados coincide con la solución calculada mediante el fem en los dos casos de carga. El refinamiento de la malla en la escala global en el hom no afecta la respuesta, porque se alcanzaron resultados similares en las densidades de malla fina y gruesa. También el cambio del tamaño de la celda unidad no afecta significativamente la respuesta en términos de las curvas de capacidad o en la distribución del campo de desplazamiento (celda grande y pequeña).

Figura 7. Curvas de capacidad para el fem y el hom.

Carga axial con distribución trapezoidal.

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a) Método clásico fem.

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b) hom (Malla fina).

c) hom (Malla gruesa).

Figura 8. Distribución del campo de desplazamientos para el fem y el hom. Carga axial uniformemente distribuida (cm).

Las figuras 10–13 muestran la respuesta del fem y del hom concernientes a los esfuerzos y la distribución del índice de daño. Así, la figura 10 expone la distribución de los esfuerzos con ambos métodos en la carga axial uniformemente distribuida. A la izquierda de la figura aparece la información del fem (figura 10a); en cambio, los datos del hom de las escalas global y local se hallan en las figuras 10b y 10c, respectivamente. Referente a la respuesta homogenizada, sólo se observan la información en la escala macro de la malla gruesa, y en la escala micro en la celda unidad grande. Lo anterior se debe a propósitos prácticos, puesto que los resultados de la escala macro en malla fina, y en la escala micro en la celda unidad pequeña fueron similares a los de las figuras ya mencionadas.

a) Método clásico fem.

b) hom (Malla fina).

c) hom (Malla gruesa).

Figura 9. Distribución del campo de desplazamientos para el fem y el hom. Carga axial con distribución trapezoidal (cm).

a) Método clásico fem.

b) Escala global.

c) Escala local.

Figura 10. Distribucion esfuerzos obtenida con el fem y el hom (malla gruesa). Carga axial uniformemente distribuida (Mpa).

a) Método clásico fem.

b) Escala global.

c) Escala local.

Figura 11. Distribucion esfuerzos obtenida con el fem y el hom (malla gruesa). Carga axial con distribución trapezoidal (Mpa).

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a) Método clásico fem.

b) Escala global.

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c) Escala local.

Figura 12. Distribucion del daño obtenida con el fem y el hom (malla gruesa). Carga axial uniformemente distribuida.

a) Método clásico fem.

b) Escala global.

c) Escala local.

Figura 13. Distribucion del daño obtenida con el fem y el hom (malla gruesa). Carga axial con distribución trapezoidal.

Dentro del fem se nota que la concentración más alta de esfuerzos se encuentra en las fibras porque son las que soportan a la estructura una vez que el material de la matriz alcanza su esfuerzo de fluencia. Para la escala macro, los esfuerzos se obtienen como el equivalente al promedio de la participación volumétrica de los constituyentes del material compuesto conseguidos en la solución de la escala local. Dado que la distribución de la carga axial es uniforme, los esfuerzos homogenizados son constantes en todo el volumen de la placa.

Estos datos concuerdan con la definición clásica del método de los promedios utilizado en el procedimiento de homogenización.

Relativo a la escala micro, la distribución de los esfuerzos en la celda unidad concuerda perfectamente con los resultados del fem en la historia de carga.

En contraste, la figura 11 comprende la distribución de los esfuerzos obtenidos con carga axial y distribución trapezoidal. Para el fem (figura 11a), la máxima concentración de los esfuerzos está

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en las fibras de la parte izquierda de la placa debido a la condición de carga trapezoidal aplicada.

Referente a la escala macro (figura 11b) los esfuerzos promedio son más altos en los elementos de la parte izquierda de la placa, mientras que hay una concentración inferior de esfuerzos promedio en el segmento derecho. En la micro escala se representan dos celdas unidad (figura 11c). Hacia la parte inferior de la figura se halla la distribución de esfuerzos de una celda unidad correspondiente a un punto de integración a la izquierda de la placa. En el segmento superior se ofrece la misma información para el punto de integración del lado derecho de la placa. El vector de escala de las celdas unidad se modificó de acuerdo con la escala obtenida con el fem; la finalidad era comparar la respuesta de ambos métodos gráficamente. Los resultados de las celdas unitarias en la figura coinciden con los del fem para todo el historial de carga.

Resultados análogos a los de las figuras 10 y 11 en la distribución de esfuerzos aparecen en las figuras 12 y 13 para el caso de la distribución del índice de daño. En torno a la carga axial uniformemente distribuida (figura 12) en el fem la concentración de daño se encuentra en las franjas del material matriz de la placa. Por el contrario, en la solución homogenizada de la macro escala, el índice de daño homogenizado es constante en todo el volumen de la placa. Mientras tanto, en la micro escala la distribución del índice de daño en la celda unidad concuerda con los resultados del fem.

Dentro de la carga axial con distribución trapezoidal (figura 13), en el fem la concentración máxima del

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índice de daño está en las franjas que indican al material matriz en la izquierda de la placa. Lo anterior es propiciado por la forma trapezoidal de las condiciones de carga aplicadas. A su vez, en la macro escala del hom, el máximo valor del índice de daño promedio se manifiesta en los elementos de la parte izquierda; en contraste, se concentra una cantidad inferior hacia la derecha. Para la micro escala la distribución del índice de daño concuerda de nuevo con la información del fem. El vector de escala de las celdas unidad también se modificó con fines comparativos según la escala elaborada con el fem.

Es importante destacar que el índice de daño homogenizado se calcula como el promedio sobre el volumen del material de este tipo de comportamiento (el volumen de las fibras no se contempla). Si existe otro tipo de material en el que se calcule el parámetro de una variable interna (materiales con comportamiento viscoelástico o con índice de deformación plástica) se debe llevar a cabo el mismo procedimiento. Concerniente a los ejemplos mostrados, el modelo plástico utilizado se considera como perfectamente de plástico, por lo que el índice de deformación plástica no se calcula. En el método de este estudio, el valor homogenizado de dichos índices se estiman sólo sobre el volumen del material que los contiene. El propósito es evaluar el estado global de la estructura en términos de resultados homogenizados.

Investigación

CIENTIFICA Conclusiones El objetivo del estudio fue demostrar la aplicabilidad del método de homogenización en dos escalas propuesto en la primera parte de la investigación para el análisis de materiales y estructuras compuestas que pueden ser representados por un dominio periódico. Se tuvieron en cuenta varios factores: diferentes condiciones de carga, diversas densidades de malla en la escala global y distintos tamaños de la celda en la escala local.

A fin de realizar un análisis comparativo, se obtuvo la respuesta de la misma estructura con el fem y el hom. En una estructura perfectamente periódica la respuesta global calculada con el hom coincide con la solución de referencia del fem. Relativo al refinamiento de la malla en la escala global del modelo homogenizado, no afecta a la solución porque se consiguen resultados similares con diferentes densidades de malla dependiendo del campo de desplazamientos de esfuerzos o la distribución del daño a lo largo de la placa compuesta.

El cambio del tamaño de la celda unidad tampoco afecta a la respuesta según las curvas de capacidad, los esfuerzos o la distribución del daño de las escalas global y local. La celda unidad reproduce con absoluta precisión la distribución de esfuerzos y del índice de daño con respecto al comportamiento alcanzado en los modelos desarrollados con el fem. Además, las celdas unidad recrean la cinemática de las geometrías deformadas de los fem. Cabe resaltar que la eficacia del método propuesto para reproducir las variables internas, tales como el índice de daño, se demostró con gran éxito, incluso en términos de valores homogenizados a escala global, pues evalúan el estado global de la estructura.

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