Volumen 8, número especial
Investigación Inv Inve s ig st i ac aciió ión ón
CIENTIFICA CIENT CIENTI IFICA FICA
abril 2014, issn 1870 –8196
Modelado matemático del concreto
mediante las teorías de la plasticidad y de daño
María de Lourdes Oliván Tiscareño Diego Miramontes de León Universidad Autónoma de Zacatecas
lolivant@hotmail.com
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Resumen El análisis de las estructuras en ingeniería civil ha posibilitado el desarrollo de métodos de cálculo avanzados. Un objetivo es la determinación de la respuesta de la estructura bajo solicitaciones de diversa naturaleza (mecánicas, dinámicas, térmicas, químicas, entre otras), así como traducir el comportamiento de las estructuras y componentes en su evolución al colapso; esta respuesta depende del comportamiento de los materiales que las forman. Una alternativa en los métodos de análisis es el modelado matemático del comportamiento de los materiales, lo cual ha conducido a la construcción de modelos mediante teorías matemáticas avanzadas, que permiten simular los diferentes fenómenos físicos observados durante su vida útil. Dicha información establece la capacidad de resistencia de la estructura, el grado de daño sufrido por el efecto de las solicitaciones, la prevención de cargas últimas y la obtención de los índices de seguridad en las estructuras. Palabras clave: plasticidad, deformación plástica, daño.
Introducción Esta investigación presenta un modelo matemático que traduce los efectos plásticos en el concreto al elevar las deformaciones permanentes en el material y la degradación de la rigidez a través de un modelo constitutivo continuo plástico de daño, con un modelo constitutivo discreto elaborado en el marco de la
Investigación
CIENTIFICA termodinámica de procesos irreversibles; en particular de una aproximación por la teoría de plasticidad, la cual esquematiza la deformación irreversible y define la variable de estado que permite observar el fenómeno. Así, las deformaciones, la formulación implícita y las funciones de carga se expresan en función del tensor de los esfuerzos. Se realiza además una aproximación por la teoría del daño, que cuantifica la degradación de la rigidez y genera un modelo acoplado que reproduce los fenómenos más importantes del comportamiento mecánico del concreto, el comportamiento disimétrico, las deformaciones permanentes, el efecto unilateral y la degradación de la rigidez. El propósito del trabajo es estudiar el proceso de falla del material concreto, caracterizado por la formación de bandas de agrietamiento de ancho pequeño o de grietas discretas que concentran el daño, y desarrollar aproximaciones numéricas para solucionar ese tipo de problemas, mediante un modelo elasto– plástico de daño. Diversas teorías se han formulado en escalas macroscópica, mesoscópica, microscópica y nanoscópica para simular el problema de iniciación y propagación de las fisuras en los materiales. La evidencia experimental muestra la existencia de puntos en los que la concentración de esfuerzos causa zonas de localización con deformaciones inelásticas, junto con la formación de macrofisuras. Este fenómeno tiene inconvenientes desde el punto de vista teórico, donde la hipótesis es considerar un material isotrópico, homogéneo y continuo, condición que no se cumple gracias a la creación de una zona de localización en la que el daño y otros efectos no lineales se concentran. Las aproximaciones utilizadas en la resolución del problema difieren según el comportamiento del material, ya sea mediante relaciones esfuerzo–deformación (mecánica de los medios continuos) o relaciones tracción–desplazamiento (mecánica de la fractura). El modelado matemático del fenómeno físico puede formularse con varios marcos teóricos que aportan distintos grados de dificultad en la solución matemática y numérica de las ecuaciones. La aproximación propuesta aporta ventajas matemáticas como la estabilidad de la solución y la divergencia numérica. Con la intención de superar la divergencia, se han planteado en la literatura diferentes métodos que han facilitado la investigación al formular modelos matemáticos con numerosos marcos teóricos, como la mecánica lineal de la fractura, la teoría de la plasticidad o la teoría del daño. En adición, se hace énfasis en la aproximación de grieta discreta y repartida que considera la condición de medio continuo, o en otras más cercanas a la realidad que trabajan en el sentido no lineal y tienen en cuenta las discontinuidades del material, lo que a su vez da lugar a las discontinuidades interiores.
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El concreto es un material compuesto de una matriz de cemento y de inclusiones de agregados cuya repartición y geometría se desconocen a priori y con frecuencia muestran una dispersión importante. A la composición se agrega una heterogeneidad estructural, debido a la existencia de fallas iniciales en el seno de la micro–estructura. En su mayoría las fallas se sitúan en la interfase entre los agregados y la pasta de cemento, esta interfase presenta la rigidez más débil. Cuando la superficie se somete a una solicitación, los micro–agrietamientos suplementarios se forman con la concentración de esfuerzos de tensión aislados a causa de las deformaciones incompatibles de los agregados y el cemento. Una vez que aumenta la carga, las grietas se desarrollan y se conectan entre sí para crear grandes grietas y romper el material, lo que se traduce a mayor escala por una disminución de los esfuerzos acompañada de un aumento de deformaciones. Este comportamiento denominado casi frágil se asocia a un fenómeno de localización de las deformaciones, definido por una zona que concentra daño y otros efectos no lineales. Las zonas localizadas son pequeñas, de tal modo que la deformación no es homogénea, mientras que el resto del material tiende a descargarse. En consecuencia, esa naturaleza heterogénea tiene un comportamiento mecánico complejo, que propicia que los fenómenos físicos sean no lineales bajo un estado de esfuerzos multiaxial. A continuación se expone un modelo matemático que traduce los efectos plásticos al evaluar las deformaciones permanentes en el ma-
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terial y la degradación de la rigidez a través de un modelo constitutivo continuo elasto–plástico de daño.
Materiales y métodos La teoría de la plasticidad es la teoría matemática de las deformaciones irreversibles, que traduce los procesos de ruina engendrados por mecanismos de cortadura responsables de la plasticidad. La descripción del comportamiento no lineal del concreto mediante esa teoría implica la definición de una ley del comportamiento, junto con el criterio de resistencia de fluencia o de plasticidad. Es pertinente aclarar que la teoría se sustenta en las siguientes hipótesis: Material inicialmente isotrópico. Deformación plástica acumulada (historia de carga). No considerar el tiempo. Se desprecian los efectos térmico y dinámico. No se consideran las grandes deformaciones.
Integración de las ecuaciones de la plasticidad A continuación se presentan los conceptos teóricos que forman la estructura del modelo referente a la plasticidad y los algoritmos numéricos utilizados para la solución de las ecuaciones. La respuesta del material se determina en la etapa final en términos de variables (n+1) según el estado inicial (n); de igual modo, la deformación total se divide en una parte elástica y una plástica: {De} = {Dee}+{De p} Estado inicial {sn} {en} {sm} Kn
1)
Estado final {sn+1} = [d e]{Dee} {en+1} = {en}+{De} Kn+1 = Kn+DK
2)
Dentro de la evaluación a cada paso o incremento de carga, el estado final se verifica con respecto a la superficie de carga en función del estado de esfuerzos s y de la variable de endurecimiento K. f(sn+1, Kn) < 0
{Dep} = 0
3)
Investigación
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CIENTIFICA Comportamiento elástico
Determinación del multiplicador plástico
En un estado de carga creciente el material endurece, por lo que la condición a verificar es el estado final de esfuerzos sn+1 y la variable de endurecimeinto Kn+1. f(sn+1, Kn+1) = 0
4)
Condición de consistencia La fluencia plástica se presenta normal a la superficie y queda definida por el potencial plástico G y la ley de normalidad. {De } = Dl ∂g p ∂s
{ }
Se da a partir de la posición del punto en la que es linealizado el criterio. El multiplicador plástico Dl se calcula por el algoritmo de retorno radial [Ortiz et Simo, 1986].
Modelo plástico Se formula en el marco general de la Mecánica del Medio Continuo. Se basa en la hipótesis de pequeñas deformaciones y postula la existencia de un potencial termodinámico: Energía libre ψ = ψe(ee,d)+ψp(k,d) ψe(e e, d) = 1/2 ee : e : ee
5)
Entonces, la ley de endurecimiento enlaza a la variable de endurecimiento (h) y el multiplicador plástico, expresado por: DK = Dlh(s, K )
6)
Considerando la expresión de la deformación plástica, el estado plástico final se expresa: ∂g {sn+1} = {s e}–Dl[d e] ∂s
{ }
La deformación total es descompuesta en una parte reversible y una irreversible: e = e e+e p
9)
Así, la relación esfuerzo deformación se expresa por la ecuación constitutiva: s = e 0 : ee s = e0 : (e– e p)
10)
Criterio de plasticidad
{ }
p ∂g {e } = {e pn}+Dl n+1 ∂s
8)
7)
K n+1 = K n+Dlh(s, K )
La solución del sistema de ecuaciones depende de la determinación del multiplicador plástico, el término diferencial y la función h, los cuales necesitan un tratamiento matemático cuidadoso. Debido a su naturaleza diferencial estas ecuaciones de comportamiento no lineales requieren un método de solución incremental.
Con la finalidad de tomar en cuenta la disimetría del concreto se plantea un criterio de plasticidad multi–superficies (Feenstra,1993; Georgin,1998). Las de tipo Rankine y Drucker–Prager describen el comportamiento de tensión y compresión respectivamente. Para el comportamiento de tensión se usa: ft = s1– rt
11)
De ese modo, el criterio se escribe en un repertorio no principal de esfuerzos planos (Feenstra, 1993):
√
ft = 1/2(sx+ sy )+ 1/4(sx+ sy )2+ sx2y– rt
12)
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En la representación del estado límite en compresión el criterio de plasticidad de tipo Drucker– Prager se expresa en función del primer invariante del tensor de esfuerzos i1 y el segundo invariante del tensor deviatórico de esfuerzos j2 de la forma siguiente:
√
fc = 3j2+ai1–rcx
13) Rankine
f´c
ft
σ1 ft
Drucker–Prager
Rankine
fc
σ2
Regla de fluencia Al emplear multi–criterios el flujo plástico se halla conforme a las proposiciones de Koiter (1953) y Maier (1969). Al considerar la contribución individual de cada potencial plástico, una ley asociada de flujo es utilizada en tensión, mientras que para la compresión se emplea una ley no asociada.
{ }
{ } = {·e }+{·e } t
c
14)
Donde λ es el multiplicador plástico. Regla de endurecimiento Con la intención de tener una evolución de la variable interna de endurecimiento k, la integración a lo largo de la carga de la deformación plástica acumulada k es expresada por: · k = √(2/3) ·e p : ·e p · k = ∫ kdt
Dk = Dlk(s,k)
16)
Por su parte, el estado de endurecimiento es traducido por una variable escalar, de manera que se convierte en un endurecimiento isotrópico. La ley de endurecimiento del material se caracteriza por la relación entre la fuerza de endurecimiento rt o rc y la variable de endurecimiento kt o kc. Las leyes de endurecimiento se enuncian así: 17)
Donde ax y bx son parámetros materiales definidos con base en la resistencia última fx(x=t o x=c). En tanto, fxo define el límite elástico. La evolución de las deformaciones plásticas cumple con las condiciones de Kuhn–Tucker: · · li ≥ 0, fi ≤ 0 li fi = 0 li fi = 0 18)
Figura 1. Superficie de ruptura en el plano de esfuerzos principales.
∂ ft ∂ fc {·e }= lt +lc p ∂s ∂s
mediante una ley de endurecimiento expresada por la función h.
r x = f ox [(1+a x )e (–b x k x) –a xe (–2 b x k x )]
fc
5
15)
Es preciso aclarar que la variable de endurecimiento se vincula con el multiplicador plástico
El modelo elasto–plástico se resume con las siguientes ecuaciones: Energía libre ψ=ψe(ee,d)+ψp(k,d )
ψe(ee,d)=1/2 ee : e : ee
Ecuación constitutiva s = e0 : (e–e p) Criterio de plasticidad En tensión ft = s1 – r t Regla de fluencia En compresión fc = √ 3j2+ai1–r cx
{ } { }
gc {·e } = l ∂ft = {· et}+{·ec} +lc p t ∂s ∂s
Regla de endurecimiento Dk = Dlh(s,k) Condiciones de Kuhn–Tucker · · li ≥ 0, fi ≤ 0 li fi = 0 li f i = 0
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Investigación
CIENTIFICA Ley de evolución de daño
Condición de consistencia Comportamiento elástico f(s,k)<0 Comportamiento plástico f(s,k)=0
Es una función exponencial expresada en términos de las variables de endurecimiento kt y kc (deformación plástica acumulada) relativas al endurecimiento respectivo de los criterios ft y fc:
Modelo de daño A nivel macroscópico el daño es causado por macroagrietamientos que resultan de un proceso interno de degradación de las propiedades mecánicas del material. Con el propósito de considerar los complejos mecanismos de microagrietamientos que existen en los puntos de concentración de esfuerzos se utiliza el principio del esfuerzo efectivo (Nechnech, 2000). – {s} = (1–d){s}
19)
1–dx = exp(–cxkx)
cx® es una parámetro material (x=t para la tensión y x=c para la compresión) que define la evolución del daño. La variable de daño global resulta del acoplamiento entre el comportamiento de tensión y compresión: d = 1–(1–dt )(1–dc )
Se formula una aproximación de daño para representar la degradación del material mediante un modelo constitutivo continuo de daño. Un acoplamiento entre el nivel de endurecimiento alcanzado y el daño da lugar al modelo elasto–plástico de daño. A su vez, una variable de daño isotrópico d escalar simula el grado de degradación del material, además de establecer una relación entre los módulos de elasticidad inicial eo y final e, matemáticamente expresado por:
Leyes de comportamiento uniaxial
e = (1–d)eo
En tanto, en compresión se emplea:
20)
Criterio de daño La elección de una variable interna que dirija la evolución de las leyes es definida por la deformación equivalente acumulada k de daño. En ese sentido, la evolución de las características mecánicas por daño se interpreta por el concepto de – a partir de la hipótesis de equiesfuerzo efectivo s valencia en deformaciones, con un acoplamiento del daño y la plasticidad que permite describir la evolución de la deformación permanente y la degradación de la rigidez.
21)
22)
Las relaciones esfuerzo–deformación que gobiernan el comportamiento, en el acoplamiento variable de endurecimiento daño, son enunciadas por funciones exponenciales para tensión y compresión. El esfuerzo efectivo en tensión se presenta de esta manera: tt=(1–d t (kt ))tt (kt )
tc=(1–dc(k c))tc(k c)
23)
24)
En consecuencia, las curvas uniaxiales recurren a una expresión exponencial: tx=fxo[(1+a x )exp(–bx k x )–a x exp(–2bxkt )]
25)
Donde fxo es esfuerzo límite elástico; en tensión fxo=ft, en compresión fxo=0.3 fc ; los términos ax y bx son parámetros materiales estipulados por pruebas uniaxiales. La ley del comportamiento en tensión requiere: tt=f to{(1+at )[exp(–bt kt )]–at[exp(–btkt )]}
26)
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Resultados y discusión
En cambio, la ley comportamiento en compresión precisa: tc=fco[(1+ac )exp(–bc k c )–ac exp(–2bck c )]
27)
El modelo de daño puede resumirse con las ecuaciones: ψ=ψe(ee, d)+ψp(k, d ) ψe(ee, d)=1/2ee : e : ee – s=(1–d)s
Energía libre
Ecuación constitutiva
1–dx=exp(–cx kx )
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La validación del modelo se efectuó en elementos simples y se consideraron las constantes elásticas del módulo concreto, e=24 gpa, módulo de Pisson 0.2. Las características geométricas y las condiciones a los límites de los especímenes probados aparecen en la figura 3.
Ley de evolución de daño
d = 1–(1–dt )(1–dc )
Daño total
Leyes de comportamiento en tensión y en compresión 20 cm
tt=f to{(1+at )[exp(–bt kt )]–at[exp(–bt kt )]} tc=fco[(1+ac )exp(–bc k c )–ac exp(–2bck c )] Por medio de los marcos teóricos se pueden traducir los fenómenos observados en el concreto; asimismo, una modelización elasto–plástico permite simular la deformación matemática o plástica del material al rebasar el límite elástico (figura 2a). En tanto, la modelización enfocada únicamente sobre la evaluación del daño posibilita simular la degradación de la rigidez (figura 2b). Por último, una modelización de la deformación plástica y la degradación de la rigidez, con un acoplamiento elasto–plástico–daño, facilita recrear los dos efectos (figura 2c).
20 cm
σ
20 cm
σ
σ
a) Elasto–plástica
b) Elástica–dañada
20 cm ε
σ
ε
Ensayo a carga cíclica tensión–compresión
c) Acoplada
ε
Figura 2. Modelización.
Figura 3. Geometría del espécimen.
Los resultados de las pruebas de carga tensión–compresión se advierten en la figura 4.
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Investigación
CIENTIFICA La figura 6 muestra la respuesta del modelo en elementos sujetos a carga cíclica de compresión.
Ensayo a compresión cíclica
Figura 4. Curva esfuerzo–deformación de la carga tensión–compresión.
El modelo expone una respuesta a los objetivos planteados, describe la deformación permanente, el comportamiento más allá del límite elástico, el esfuerzo último y la etapa de ablandamiento, hasta la descarga y cambio de signo de la solicitación a carga de compresión, así como el cierre de las fisuras producidas en la solicitación a tensión. En la figura 5 se aprecia la respuesta del modelo elasto–plástico de daño y el modelo del Insituto Nacional de Ciencias Aplicadas de Lyon, Francia (insA). Con el propósito de comprobar la respuesta del modelo se superponen la descripción de esfuerzos a carga cíclica, en la que se observa la degradación paulatina de la rigidez, deformación plástica, que exhibe una correcta descripción del efecto unilateral.
Figura 5. Comparación entre el modelo elasto–plástico de daño y el modelo insA.
Figura 6. Curva esfuerzo–deformación en la carga de compresión.
Conclusiones La elección de un modelo de plasticidad que describa el comportamiento mecánico del material permite detallar el cambio irreversible que experimenta al seno del material cuando sucede la deformación plástica. Además, la extensión de la plasticidad al daño explica el deterioro de la resistencia al abordar dos puntos importantes en la modelización, junto con la integración del efecto unilateral en el concreto, la abertura y el cierre de las fisuras de acuerdo con la solicitación y la tensión–compresión. Cabe destacar que es posible observar la respuesta del modelo ante solicitación cíclica, donde la rigidez se deteriora y hay una pendiente más pequeña en la gráfica esfuerzo–deformación conforme se incrementa la deformación. También se aprecia que al cambiar de solicitación las fisuras se cierran y recuperan la rigidez. Por ello, se hace un análisis comparativo con el modelo insA, cuya validez ha sido ya comprobada, en el que hay una respuesta similar, lo que facilita validar el funcionamiento del modelo. Ante solicitación uniaxial de compresión se lleva a cabo una vez más la descripción de la deformación permanente y la degradación de la rigidez. De esa forma el acoplamiento de la teoría de la plasticidad
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y la teoría del daño simula la evolución que experimenta el concreto en una historia de carga dada, detalla el comportamiento mecánico más allá del límite de proporcionalidad, y evalúa los efectos no lineales. El modelo presentado posibilita recrear en el concreto el comportamiento disimétrico, las deformaciones permanentes, el efecto unilateral y la degradación de la rigidez.
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