Mm00 matematica

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Matemรกtica E d u a r d o

Al c รก n t a r a

B e c e r r a

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Serie: Cuadernos de Ingenier铆a de Sistemas C贸mputo y Telecomunicaciones

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FONDO EDITORIAL

Matemรกtica

E d u a r d o A l c รก n ta r a B e c e r r a

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FICHA TÉCNICA Título: Autor: Categoría: Código: Edición: Formato: Impresión: Soporte: Interiores: Publicado:

Matemática Eduardo Alcántara Becerra Texto - Matemática T/004-2015 Fondo Editorial de la UIGV 170 mm X 245 mm. 278 pp.

Offsett y encuadernación en rústica Cubierta: folcote calibre 14 Bond alisado de 75 g.

Lima, Perú. Agosto de 2015

Universidad Inca Garcilaso de la Vega Rector: Luis Cervantes Liñán Vicerrector Académico: Jorge Lazo Manrique Vicerrector de Investigación y Posgrado: Juan Carlos Córdova Palacios Jefe del Fondo Editorial: Fernando Hurtado Ganoza

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Universidad Inca Garcilaso de la Vega Av. Arequipa 1841 - Lince Teléf.: 471-1919 Página web: www.uigv.edu.pe

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Fondo Editorial Editor: Fernando Hurtado Ganoza Jr. Luis N. Sáenz 557 - Jesús María Teléf.: 461-2745 Anexo: 3712 - 3721 Correo electrónico: fondoeditorial@uigv.edu.pe

Estos textos de educación a distancia están en proceso de revisión y adecuación a los estándares internacionales de notación y referencia.

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2015- 10576

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ÍNDICE Presentación.................................................................................................... 11 Introducción.................................................................................................... 13

PRIMERA UNIDAD

Lógica proposicional...................................................................................... 15 Lección 1 Lógica proposicional.......................................................................................... 17 Enunciado....................................................................................................... 17 Proposición...................................................................................................... 18 Clases de proposiciones..................................................................................... 19 a. Proposiciones simples.............................................................................. 19 b. Proposiciones compuestas........................................................................ 19 Conectivos lógicos............................................................................................ 20 Suma lógica incluyente o disyunción inclusiva....................................................... 20 Suma lógica excluyente o disyunción exclusiva..................................................... 21 Producto lógico o conjunción.............................................................................. 22 La negación..................................................................................................... 24 La implicativa o condicional................................................................................ 24 La si y solo sí o bicondicional ............................................................................. 28 Jerarquía de los conectivos lógicos...................................................................... 29 Cálculo de los valores de verdad......................................................................... 30 Tautologías, contradicciones y contingencias........................................................ 33 Problemas resueltos.......................................................................................... 35 Problemas propuestos....................................................................................... 39 Principales leyes lógicas.................................................................................... 43 1. Ley de identidad...................................................................................... 43 2. Ley de no contradicción............................................................................ 43 3. Ley del tercio excluido.............................................................................. 43 4. Ley del modus ponens.............................................................................. 43 5. Ley de simplificación................................................................................ 43 6. Ley de modus tollens............................................................................... 44 z5 z

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7. Ley del silogismo hipotético...................................................................... 44 8. Ley del silogismo disyuntivo ..................................................................... 44 9. Ley del absurdo....................................................................................... 44 Equivalencias notables...................................................................................... 44 1. Ley de involución (doble negación)............................................................ 44 2. Ley de idempotencia................................................................................ 44 3. Leyes conmutativas................................................................................. 45 4. Leyes asociativas..................................................................................... 45 5. Leyes distributivas................................................................................... 45 6. Leyes de morgan..................................................................................... 45 7. Leyes de complemento............................................................................. 45 8. Leyes del condicional............................................................................... 46 9. Ley del bicondicional ............................................................................... 46 10. Leyes de identidad................................................................................... 46 11. Leyes de absorción.................................................................................. 46 12. Leyes de transposición............................................................................. 46 13. Leyes de exportación .............................................................................. 47 14. Elementos neutros para la conjunción y disyunción...................................... 47 Equivalencia lógica........................................................................................... 47 Función proposicional........................................................................................ 50 Cuantificadores................................................................................................ 51 El cuantificador universal................................................................................... 51 El cuantificador existencial................................................................................. 52 Negación del cuantificador existencial.................................................................. 54 Negación del cuantificador universal.................................................................... 54 Problemas propuestos....................................................................................... 56

SEGUNDA UNIDAD

Sistema de números reales............................................................................ 59 Lección 2 Correspondencia Biunívoca entre conjuntos.......................................................... 61 El sistema coordenado unidimensional................................................................. 62 Relación de chasles........................................................................................... 63 Abscisa de un punto sobre la recta...................................................................... 64 Medida algebraica de un segmento orientado....................................................... 65 Distancia entre dos puntos que están sobre una recta........................................... 65 División de un segmento por un punto en una razón dada...................................... 65 Abscisa del punto medio de un segmento............................................................ 65 Problemas propuestos....................................................................................... 69 Definición axiomática de números reales............................................................. 70 Axiomas de la adición....................................................................................... 70 Definición de la sustracción................................................................................ 70 Axiomas de la multiplicación.............................................................................. 70 Definición de la división .................................................................................... 70 Axiomas de la distributividad.............................................................................. 70 Axiomas de la relación de igualdad..................................................................... 71 Relación de orden en R...................................................................................... 71 Axiomas de la relación de orden......................................................................... 71 z6 z

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Definición de las relaciones mayor, menor, mayor igual y menor igual...................... 72 Propiedades básicas de la relación de orden......................................................... 72 Inecuaciones................................................................................................... 72 Definición........................................................................................................ 72 Inecuaciones enteras........................................................................................ 72 Inecuaciones lineales........................................................................................ 73 Inecuaciones cuadráticas .................................................................................. 73 Inecuaciones polinomiales o de grado superior..................................................... 75 Inecuaciones racionales..................................................................................... 77 Problemas propuestos....................................................................................... 80 Intervalos........................................................................................................ 81 Tipos de intervalos........................................................................................... 81 Intervalos abiertos............................................................................................ 81 Intervalos cerrados........................................................................................... 81 Intervalos semiabiertos por la izquierda............................................................... 82 Intervalos semiabiertos por la derecha................................................................ 82 Intervalos infinitos ........................................................................................... 82 Problemas propuestos....................................................................................... 85 Conjuntos acotados en R................................................................................... 86 Valor absoluto.................................................................................................. 89 Propiedades..................................................................................................... 91 Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto....................................................... 92 Problemas propuestos....................................................................................... 94 Distancia en R.................................................................................................. 94

TERCERA UNIDAD

La recta y las cónicas en el plano................................................................... 97 Lección 3 Sistema coordenado rectangular bidimensional..................................................... 99 Distancia entre dos puntos............................................................................... 100 1. Si la recta es horizontal.......................................................................... 101 2. Si la recta es vertical............................................................................. 101 3. El segmento no es paralelo a ninguno de los ejes....................................... 102 Problemas propuestos..................................................................................... 105 División de un segmento en una razón dada....................................................... 106 Problemas propuestos..................................................................................... 111 La recta........................................................................................................ 111 Inclinación de una recta ................................................................................. 111 Pendiente de una recta ................................................................................... 112 Ángulo entre dos rectas................................................................................... 113 Rectas paralelas............................................................................................. 113 Rectas perpendiculares.................................................................................... 114 Formas de la ecuación de una recta.................................................................. 114 Forma Punto – Pendiente................................................................................. 114 Forma Pendiente Ordenada en el origen............................................................. 114 Forma segmentaria......................................................................................... 114 Forma general................................................................................................ 114 Distancia de un punto a una recta..................................................................... 115 z7 z

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Distancia entre rectas paralelas........................................................................ 115 Problemas resueltos........................................................................................ 116 Problemas propuestos..................................................................................... 132 La circunferencia............................................................................................ 136 Definición...................................................................................................... 136 Ecuaciones de la circunferencia ....................................................................... 136 Forma general de la ecuación de la circunferencia............................................... 137 Problemas propuestos..................................................................................... 147 La parábola................................................................................................... 149 Definición...................................................................................................... 149 Elementos de la parábola................................................................................. 150 1. Eje Focal.............................................................................................. 150 2. Vértice................................................................................................. 150 3. Cuerda................................................................................................. 150 4. Cuerda Focal......................................................................................... 150 5. Excentricidad........................................................................................ 150 Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje, el eje x............................. 151 Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje, el eje y............................. 151 Ecuación de la parábola con eje paralelo al eje x................................................. 152 Ecuación de la parábola con eje paralelo al eje y................................................. 153 Ecuación general de la parábola....................................................................... 154 Problemas propuestos..................................................................................... 159 La elipse....................................................................................................... 162 Definición...................................................................................................... 162 Elementos de la elipse..................................................................................... 163 Ecuaciones de la elipse.................................................................................... 164 a. Si la elipse tiene eje focal el eje x............................................................ 164 b. Si la elipse tiene eje focal en el eje y........................................................ 165 Ecuación de la elipse con centro en un punto (h,k) del plano y eje focal paralelo a un eje coordenado....................................................................................... 166 a. Si el eje focal es paralelo al eje x............................................................. 166 b. Si el eje focal es paralelo al eje y............................................................. 166 Ecuación general de la elipse............................................................................ 167 Problemas propuestos..................................................................................... 175 La hipérbola................................................................................................... 177 Definición...................................................................................................... 177 Elementos de la hipérbola................................................................................ 177 Ecuación de la hipérbola.................................................................................. 178 1. Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre un eje coordenado.......................................................................................... 178 a. Hipérbola con eje focal sobre el eje x.................................................... 178 b. Hipérbola con eje focal sobre el eje y.................................................... 179 2. Ecuación de la hipérbola con centro en (h;k) y eje focal paralelo a un eje coordenado.......................................................................................... 180 a. Hipérbola con eje paralelo al eje x........................................................ 180 b. Hipérbola con eje paralelo al eje y........................................................ 180 3. Ecuación general de la hipérbola.............................................................. 181 Hipérbola Equilátera o Rectangular.................................................................... 182 Hipérbolas Conjugadas.................................................................................... 183 z8 z

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Problemas resueltos........................................................................................ 183 Problemas propuestos..................................................................................... 188

CUARTA UNIDAD

Relaciones binarias y funciones................................................................... 191 Lección 3 Pares ordenados............................................................................................. 193 Definición...................................................................................................... 194 Igualdad de pares ordenados........................................................................... 194 Producto cartesiano........................................................................................ 195 Definición...................................................................................................... 195 Definición...................................................................................................... 198 Propiedades del producto cartesiano................................................................. 199 Relaciones binarias......................................................................................... 200 Definición...................................................................................................... 201 Dominio y rango de una relación binaria............................................................ 202 Relación inversa............................................................................................. 203 Relaciones reales............................................................................................ 206 Definición...................................................................................................... 206 Dominio y rango de una relación binaria de R en R.............................................. 206 Gráfica de una relación binaria de R en R........................................................... 207 Discusión de la gráfica de una relación binaria.................................................... 208 1. Intersecciones........................................................................................ 208 a. Con respecto al eje x ........................................................................... 208 b. Con respecto al eje y............................................................................ 209 c. Con respecto al Origen.......................................................................... 209 2. Simetría................................................................................................. 209 a. Simetría con respecto al eje x................................................................ 209 b. Simetría con respecto al eje y................................................................ 209 c. Con respecto al origen.......................................................................... 209 3. Extensión............................................................................................... 209 4. Asíntotas................................................................................................ 210 5. Tabulación.............................................................................................. 210 6. Trazado de curva..................................................................................... 210 Gráfica de relaciones lineales........................................................................... 218 Gráfica de desigualdades................................................................................. 220 Gráfica de relaciones con valor absoluto............................................................ 224 Problemas resueltos........................................................................................ 227 Problemas propuestos..................................................................................... 241 Funciones...................................................................................................... 247 Definición...................................................................................................... 247 Funciones reales............................................................................................. 247 Dominio y rango de una función....................................................................... 250 Función constante.......................................................................................... 250 Función identidad........................................................................................... 251 Función lineal................................................................................................. 252 Función cuadrática.......................................................................................... 252 Función raíz cuadrada..................................................................................... 253 z9 z

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Función valor absoluto.................................................................................... 255 Función máximo entero................................................................................... 256 Función signo................................................................................................. 258 Problemas resultos de funciones....................................................................... 260 Operaciones con funciones............................................................................... 267 1. Suma o adicion..................................................................................... 267 2. Resta o diferencia.................................................................................. 267 3. Producto o multiplicación........................................................................ 267 4. División o cociente................................................................................. 267 Composición de funciones................................................................................ 269 Sucesiones aritméticas.................................................................................... 275 BIBLIOGRAFÍA............................................................................................... 278

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

P R E S E N TA C I Ó N El Fondo Editorial de la Universidad Inca Garcilaso de la Vega participa como editor y productor de los textos universitarios para los alumnos de pregrado de la modalidad de educación a distancia. Esta labor exige del personal directivo, académico, profesional y técnico una visión de conjunto de las estrategias metodológicas propias de esta modalidad. El trabajo del Fondo Editorial se desarrolla en el diseño, diagramación y corrección de estilo lingüístico de los textos universitarios. Los contenidos están ubicados en los tres grandes campos del conocimiento: científico, humanístico o artístico.

El esfuerzo compartido con las Facultades, a través de sus docentes-tutores, autores de los referidos libros, conduce, sin duda alguna, a la elaboración de textos de buena calidad, los cuales podrán utilizarse a través de la página web o mediante la presentación física clásica.

En los últimos quince años la modalidad de educación a distancia ha evolucionado, pasando por el e-learning, que privilegia la formación profesional digital; b-learning, que combina lo tradicional y lo nuevo en el proceso de la formación profesional; hasta la aproximación actual al móvil learning, que aparece como la síntesis de todo lo anterior y una proyección al futuro.

Con todo ello, el Fondo Editorial reitera su compromiso de participar en la tarea universitaria de formación académica y profesional, acorde con los tiempos actuales.

Fondo Editorial

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

INTRODUCCIÓN

El texto Matemática está dirigido a los estudiantes del segundo ciclo de las diferentes Facultades de la Universidad del Sistema a Distancia. Aborda temas básicos para la iniciación del estudio de las matemáticas en toda universidad.

Proporciona herramientas que permiten resolver problemas de aplicación, por estar más de acuerdo con las necesidades de cada estudiante y de cada especialidad sin dejar de considerar la estructura lógica indispensable.

Las ideas matemáticas se desarrollan sin perder de vista los objetivos generales del programa oficial vigente y los temas son tratados de acuerdo con la conviccion propia del autor. Cada concepto se ilustra con varios ejemplos, seguidos de una serie de ejercicios cuidadosamente seleccionados en cuanto a dificultad y calidad, de tal manera que el estudiante resuelva problemas matemáticos con facilidad.

La ciencia y la tecnología, como lenguajes indispensables para expresar las leyes físicas, requieren de la matemática como instrumento permanente en su quehacer profesional.

Este texto está estructurado en 4 unidades correlacionadas en un orden que demanda el currículo y el silabo de la asignatura.

La Unidad I, referente a la Lógica proposicional describe las estructuras matematicas y está acompañada con ejemplos prácticos y aplicativos, y un conjunto de ejercicios para su resolución.

La Unidad II, referente al Sistema de Números reales define la correspondencia biunívoca entre conjuntos para definir el sistema coordenado unidimensional y la solución de ecuaciones e inecuaciones.

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La Unidad III, referente a la Recta y las conicas en el plano, ha sido planteada básicamente como una preparación para el estudio de la matemática superior. Con este fin, los enfoques que se han hecho en su desarrollo. Abarcan la presentación de la recta y las curvas cónicas en el sistema coordenado Bidimensional.

La Unidad IV, referente al estudio de la Relaciones Binarias, Funciones y sucesiones, se pone especial énfasis en el graficado de las diferentes curvas estudiando su comportamiento y la extensión de éstas, asi como construir sucesiones de números a partir de una regla dada y determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas.

El autor

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p r i m e r a

UNIDAD L贸gica proposicional

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

L e c c i ó n

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LÓGICA PROPOSICIONAL

El Inicio de toda estructura matemática supone la necesidad de razonar en forma válida acerca de casos trascendentes. Esto implica que ha de existir absoluta claridad en todo lo concerniente al razonamiento deductivo válido. En ese sentido, para el estudio de la lógica proposicional, es necesario conocer algunas definiciones:

Enunciado Un enunciado es toda frase u oración de nuestro lenguaje. Algunos enunciados indican expresiones imperativas, exclamativas, interrogativas, otros en cambio, pueden ser verdaderos o falsos.

Ejemplos •

Prohibida la entrada con alimentos y bebidas

•

¿Qué hora es?

•

¡Arriba Alianza!

•

6+5 = 11

•

3 es un número par.

•

La matemática es importante.

•

2x+3 = 9 z1 7 z

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M AT E M Á T I C A

•

Jorge es médico pediatra.

•

x+4 < 6

•

00 = 0

•

x+2

Aquellos enunciados que indican una orden, una exclamación, una interrogación, o aquellos que tienen variables o incógnitas son expresiones no proposicionales.

Proposición Se llama proposición a toda expresión libre de ambigüedad que tiene la propiedad de ser verdadero (V) o falso (F), pero nunca verdadero y falso a la vez.

Ejemplos 1. La expresión: “Dos es mayor que uno” (2 > 1), es una proposición verdadera. (V) 2. La expresión: “Seis es menor o igual que tres” (6 ≤ 3), es una proposición falsa (F).

3. Si decimos “Carlos es abogado” no podemos saber si es verdadera o falsa (a menos que se conozca al sujeto); pero queda claro que es proposición porque es una afirmación.

4. La expresión: “El número 1 + 2i es menor que el número 4 + 3i”, es una proposición falsa (F).

Las proposiciones se denotan con letras minúsculas del alfabeto castellano, tales como: p, q, r, s, t,..........., etc., llamadas variables proposicionales.

NOTA: 1. Si una proposición “p” es verdadera, se dice que su validez o valor de verdad es V, y escribimos V(p)=V, que se lee: “valor de verdad de “p” es igual a V”.

2. Si una proposición “p” es falsa, se dice que su validez o valor de verdad es F, y escribimos V(P)=F, que se lee: “valor de verdad de “p” es igual a F” 3. El valor de verdad de una proposición “p” también se representa por 1 y 0, según la proposición sea verdadera o falsa, respectivamente.

Así por ejemplo:

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

VALORES DE VERDAD

PROPOSICIÓN

Notación común

Notación binaria

p: Lima es la Capital de Perú.

V(p)=V

V(p)=1

q: 3 es un número par.

V(q)=F

V(q)=0

r: 2+5 > 1+3

V(r)=V

V(r)=1

Clases de proposiciones Con facilidad, podemos distinguir dos clases de proposiciones: simples y compuestas.

a) Proposiciones simples Llamadas también proposiciones atómicas o elementales, se caracterizan porque ya no se puede descomponer en dos expresiones que sean proposiciones.

Ejemplos •

Patricia estudia matemática.

•

El triángulo es un polígono.

•

La carpeta es de madera.

•

2<5

b) Proposiciones compuestas Llamadas también proposiciones moleculares o coligativas, son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simples unidas por los conectivos lógicos.

Ejemplos •

Hugo es militar o estudia abogacía.

•

Si Juan va al cine, entonces tiene dinero.

•

Un triángulo es equiángulo, si y sólo si, es equilátero.

El valor de verdad de una proposición compuesta queda determinado por el valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que la componen y de la forma cómo se unen (conectivos lógicos).

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M AT E M Á T I C A

Conectivos lógicos Son símbolos lógicos que enlazan proposiciones simples o atómicas, sin formar parte de ellas. Los conectivos lógicos que usaremos son: la disyunción o suma lógica en sentido incluyente y excluyente, la conjunción o producto logico,la negación, la implicativa, y la si y sólo si.

Suma lógica incluyente o disyunción inclusiva Dadas las proposiciones: p: Luis es médico. q: Luis es profesor. con estas proposiciones y con ayuda del conectivo lógico “o”, cuyo símbolo es “∨”, construimos una nueva proposición.

“Luis es médico o Luis es profesor”. que simbólicamente denotaremos así: p ∨ q ; y se lee

p “o” q

Esta proposición llamada suma logica incluyente, afirma que, o bien Luis es médico, o bien es profesor, o bien Luis es, al mismo tiempo médico y profesor.

Por lo tanto: La suma lógica incluyente es verdadera, si al menos una de las proposiciones componentes es verdadera, resultando falsa solamente cuando las dos proposiciones son falsas.

Su tabla de verdad es la siguiente:

p

q

p∨q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Ejemplo 1 Recordando que el símbolo ≤ quiere decir “menor o igual”, determine cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. a) 5 ≤ 7

b) 8 ≤ 8

c) 3 ≤ 2 z2 0 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Solución

a) 5 ≤ 7 :

5 < 7 ∨

V

b) 8 ≤ 8 :

5=7 F

V

8 < 8 ∨ F

∴ 5 ≤ 7 es verdadera

8=8 V

V ∴ 8 ≤ 8 es verdadera

c) 3 ≤ 2 :

3 < 2 ∨

3=2

F

F

F ∴ 3 ≤ 2 es falsa Ejemplo 2 Determine el valor de verdad de la siguiente proposición: “12 es múltiplo de 3 ó 5 es número par”.

Si p: 12 es múltiplo de 3 ⇒ V(p) = V q: 5 es número par ⇒ V(q) = F luego, por la tabla de verdad, la suma lógica incluyente: V(p ∨ q) = V

Suma lógica excluyente o disyunción exclusiva Dadas las proposiciones: p: Juan está vivo. q: Juan está muerto.

Las proposiciónes: “Juan está vivo” o “Juan está muerto” se caracterizan porque la ocurrencia de una excluye la ocurrencia de la otra. La palabra “o” suele usarse en un sentido excluyente, en cuyo caso el conectivo lógico, denotado por: “ ∨ ” o “∆”, se llama disyunción exclusiva o fuerte, y se escribe: p ∆ q que se lee : “p o q, pero no ambos”

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M AT E M Á T I C A

La suma lógica excluyente es verdadera cuando sólo una de las proposiciones que la componen es verdadera y en cualquier otro caso es falsa.

Esta característica se resume en la siguiente tabla de verdad:

p

q

p∆q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Ejemplo Determina el valor de verdad de la proposición: “Pablo Neruda es chileno o es ecuatoriano”.

Si p: Pablo Neruda es chileno. ⇒ V(p) = V q: Pablo Neruda es ecuatoriano. ⇒ V(q) = F según la tabla de verdad de la suma lógica excluyente tenemos que: V(p ∆ q) = V

Producto lógico o conjunción Dadas las proposiciones “p” y “q”, el producto lógico es el resultado de componer estas proposiciones por el conectivo lógico “y”. Se denota por el símbolo “∧”. Se escribe así: p ∧ q se lee “p y q” Ejemplo Sea p: Luis es estudiante de matemática. q: Carlos es abogado. p ∧ q: Luis es estudiante de matemática y Carlos es abogado.

El producto lógico es verdadero únicamente cuando las dos proposiciones p y q son verdaderas. En cualquier otro caso es falso.

Esta característica se resume en la siguiente tabla. z2 2 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

p

q

p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Ejemplo Sean las proposiciones: p: 5 es un número primo. q: 15 es un número impar. con ellas formamos la nueva proposición: “5 es un número primo y 15 es un número impar” que se denota por: “p ∧ q” Lo que afirma esta proposición es que la primera y segunda proposición se cumplen a la vez. Determinemos su valor de verdad: p: 5 es un número primo

⇒

V(p) = V

q: 15 es un número impar ⇒ V(q) = V según la tabla, el valor de verdad de la proposición compuesta es: V(p ∧ q) = V Ejemplo Determinar el valor de verdad de: 2+3 > 7-1 ∧ 6-3 = 2+1 sea p: 2+3 > 7-1 ⇒ V(p) = F q: 6-3 = 2+1 ⇒ V(q) = V luego: V(p ∧ q) = F Debemos tener en cuenta que, en nuestro idioma, hay palabras que también se emplean para unir proposiciones. Éstas son: “pero”, “aunque”, “además”, “no obstante”, “a la vez”, “sin embargo”, etc.

Ejemplo 3 es un número primo además 9 es múltiplo de 3.

Si p: 3 es un número primo. z2 3 z

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M AT E M Á T I C A

q: 9 es múltiplo de 3. la proposición compuesta la denotamos: “p ∧ q”

La negación Llamamos negación de la proposición “p” a otra proposición que denotamos por “~p” y que se lee “no p” o “no es cierto que p“ y cuya verdad o falsedad queda determinada por la siguiente tabla:

p

~p

V

F

F

V

Observamos que si p es verdadero, entonces, ~p es falso; si p es falso, entonces, ~p es verdadero. Es decir, el valor de la negación de un enunciado es siempre opuesto del valor de verdad del enunciado inicial.

Ejemplo “Pedro es alto”.

Si p: “Pedro es alto”. q: “Pedro no es alto” o también: “no es cierto que Pedro es alto” o “Es falso que Pedro es alto”.

La implicativa o condicional En temas económicos, la siguiente proposición es una verdad: “Si los precios de los artículos suben, entonces, tienen menos demanda”.

Esta expresión se puede simbolizar así: p: “Los precios de los artículos suben”. q: “Los artículos tienen menos demanda”.

“Si p entonces q” La palabra “entonces” se abrevia con el símbolo “⇒”, luego escribimos así: p⇒q

z2 4 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

a la proposición “p” se le llama antecedente o hipótesis y a “q” se la llama consecuente o tesis.

“Si 2x3 = 6, entonces, 6 es un número par”.

“Si hay un golpe militar, entonces, Lima quedará desprotegida”.

Estas expresiones no tendrán, para nuestro propósito de estudio, ningún interés particular. Centraremos nuestra atención a expresiones, tales como: “Si 2 = 3, entonces, 5 = 5” Analizando la palabra “entonces”, esta palabra la podemos entender como una deducción (que se puede hacer en base a la experiencia o por simple razonamiento mental).

De nuestro primer ejemplo: “Si los precios de los artículos suben, se deduce que tienen menos demanda.” Ahora, para realizar esta deducción (p ⇒ q) hemos hecho uso solamente de una condición (p), o mejor dicho: “Con solo p se puede deducir q”. que se abrevia también como: p sólo si q

………( 1 )

o como: “p es suficiente para q” Corrientemente, también, se permuta el orden del enunciado, tal como: “Los artículos tienen menos demanda, si es que el precio sube”.

(Observa que la condición para que los artículos tengan menos demanda no ha variado, sigue siendo el precio alto).

Este enunciado último se puede simbolizar así: “q si p”

………( 2 )

o como: “q siempre que p” Vamos a analizar algunas situaciones mediante ejemplos que nos servirán de referencia para definir la tabla de la condicional. Pero antes, aceptemos el hecho que: “De una verdad no se puede deducir una falsedad”.

1.

¿Es posible deducir una verdad, partiendo de otra verdad? z2 5 z

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M AT E M Á T I C A

Intuitivamente la respuesta es afirmativa, es decir:

Si V(p) = V y V(q) = V aceptamos que

2.

¿Es posible deducir una falsedad a partir de una verdad?

Hemos aceptado previamente que no es posible, por tanto escribimos:

Si V(p) = V y V(q) = F aceptamos que V(p ⇒ q) = F

3.

¿Es posible deducir una verdad, partiendo de una falsedad?

V(p ⇒ q) = V

Aunque esto contradiga nuestra intuición, si es posible. Veamos el siguiente ejemplo:

Es posible deducir que 5 = 5 a partir de la condición 2 = 3

simbólicamente : (2 = 3) ⇒ (5 = 5)

analizando decimos que:

i) Si 2 = 3, se puede escribir así: 3 = 2

ii) Sumando miembro a miembro las igualdades anteriores, tenemos:

2 = 3

3 = 2

2+3 = 3+2

5

=

5

entonces decimos que:

de una falsedad (2 = 3) hemos deducido una verdad (5 = 5).

En general:

Si V(p) = F y V(q) = V, aceptamos que: V(p ⇒ q) = V

4.

¿Es posible deducir una falsedad a partir de una falsedad?

También es posible. Veamos el siguiente ejemplo:

Si (2 = 3) ⇒ (4 = 6)

multiplicando ambos miembros de (2 = 3) por 2, tenemos:

z2 6 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

2x2=3x2

4

=

6

hemos deducido que : Si (2 = 3) ⇒ (4 = 6)

Puesto que en nuestra deducción no hemos cometido ningún error, lo consideramos como válida, aunque el antecedente y el consecuente sean falsos.

En general, escribimos así: Si V(p) = F y V(q) = F aceptamos que : V(p ⇒ q) = V Como conclusión del comentario de estos cuatro casos tenemos la siguiente definición: La implicativa p ⇒ q es una proposición falsa (F), si el antecedente es verdadero (V) y el consecuente es falso (F), en todos los demás casos, el condicional es verdadero (V).

Su tabla de verdad es:

p

q

p⇒q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

NOTA Basta que el antecedente sea falso para que la implicativa sea verdadero, sin importar el valor de verdad del consecuente (ver las dos últimas líneas del cuadro de verdad).

A la proposición Implicativa se le asocia tres proposiciones importantes. Éstas son: La proposición recíproca, la proposición contraria y la proposición contrarrecíproca.

Sea el Implicativo p ⇒ q que llamaremos directo, en conexión con él se presentan: La proposición recíproca: q ⇒ p La proposición inversa o contraria : ~p ⇒ ~q La proposición contrarrecíproca: ~q ⇒ ~p Obtenidas por las permutaciones o negociaciones posibles del antecedente y consecuente de la implicativa dada. Las 4 proposiciones reciben el nombre de implicaciones conjugadas, y eventualmente cualquiera de ellas puede tomarse como directa. z2 7 z

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M AT E M Á T I C A

El siguiente cuadro nos muestra las relaciones entre estas condicionales.

RECIPROCA q⇒p

CONTRARIAS O INVERSAS

CO

NT

RA

A TR ON

R RE

C

~p ⇒ ~q

CA

RO

IP EC

CIP

RO

CA

CONTRARIAS O INVERSAS

p⇒q

~q ⇒ ~p

RECIPROCA

La tabla de verdad de estas implicativas conjugadas es:

Directo

Recíproco

Contrario

Contrarrecíproco

p⇒q

q⇒p

~p ⇒ ~q

~q ⇒ ~p

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

F

V

V

V

V

p

q

V

La si y solo sí o bicondicional Dada las proposiciones simples “p” y “q”, se llama bicondicional a la proposición definida por la conjunción de la proposición condicional con su recíproca: Así: (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) que se denota p ⇔ q se lee: “p si, y sólo si q” Esta forma de leer se debe a la definición dada y a las formas de interpretar la condicional vista antes. “p si y sólo si q”, quiere decir: (q si p) ∧ (p sólo si q), lo que a su vez significa (q ⇒ p) ∧ (p ⇒ q) lo cual, por definición se escribe: p ⇔ q Nótese que la bicondicional p ⇔ q significa una deducción doble: De “p” se puede deducir “q” y de “q” se puede deducir “p”.

z2 8 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Analicemos los siguientes casos: 1.Si “p” es verdadero, “q” es verdadero: ¿Se puede deducir “q” a partir “p” y viceversa?

La respuesta es afirmativa, porque: V(p) = V,

V(q) = V,

V(p ⇔ q) = V

2. Si “p” es verdadero y “q” es falso. ¿Se puede deducir “q” a partir de “p” y viceversa?

La respuesta es negativa, porque siendo “p” verdadera no se puede deducir “q” (que es falsa), aunque al deducir “p” partiendo de “q” sea verdadero.

V(p) = V,

V(q) = F,

V(p ⇔ q) = F

3. Si “p” es falsa y “q” verdadero. ¿Se puede deducir “q” a partir de “p” y viceversa?

La respuesta es negativa, pues siendo “p” falsa, si es posible deducir “q” (recuerda que de una falsedad si se puede deducir una verdad); pero, lo que falla es la implicación contraria “q ⇒ p”, puesto que de una verdad no se puede deducir una falsedad, entonces: V(p) = F,

V(q) = V,

V(p ⇔ q) = F

4. Si “p” es falso y “q” es falso, es inmediato que se pueda realizar la deducción p ⇒ q y viceversa q ⇒ p, entonces: V(p) = F,

V(q) = F,

V(p ⇔ q) = V

Resumiendo este análisis, definimos el bicondicional por el siguiente cuadro:

p

q

p⇔q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Jerarquía de los conectivos lógicos Se dice que “~” es la conectiva de menor jerarquía, luego le siguen “∧” , luego “∨“, “∆” que son de igual jerarquía, luego “⇒” y finalmente “⇔” que es el de mayor jerarquía.

Los signos de agrupación, tales como los paréntesis, corchetes, llaves, etc. se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos y son éstos que determinan la jerarquía de los conectivos lógicos una expresión como: z2 9 z

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M AT E M Á T I C A

p∧q∨r es ambigua, pero asociando sus términos; tal como: (p ∧ q) ∨ r

o

p ∧ (q ∨ r)

la expresión resultante tiene sentido y deja de ser ambigua.

Ejemplo a) ~p ⇒ (q ∧ r) b) [(q ∧ r) ∨ ~p] ⇔ (p ∨ q) c) ~[(p ⇒ q) ∧ (~p ∨ r)] los operadores de mayor jerarquía son: en a) ”⇒”,

en b) ”⇔”

y en c) ”~”

Cálculo de los valores de verdad Utilizando los conectivos lógicos estudiados, se pueden combinar cualquier número finito de proposiciones para obtener otras proposiciones cuyos valores de verdad pueden ser conocidos construyendo sus tablas de verdad. Hemos visto que para evaluar una tabla de dos variables proposicionales (p, q), se necesitan 4 = 22 valores de verdad para cada variable. En general al número de valores de verdad que se asigna a cada variable resulta de aplicar la fórmula: 2n, donde “n” es el número de variables que hay en el esquema molecular.

Las combinaciones de todas las posibilidades de “V” y “F” se hacen en las columnas de referencia, luego se procede a aplicar la regla a cada uno de los operadores empezando por el de menor alcance, hasta llegar al de mayor jerarquía.

Ejemplo 1 Construir la tabla de valores de verdad del siguiente esquema [~p ⇒ (q ∧ p)] ⇒ ~q Solución Como el número de variables que hay en el esquema molecular es 2, (p, q), entonces el número de valores de verdad para cada variable es 22= 4. Luego construyendo la tabla de valores:

z3 0 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

[ ~ p ⇒ ( q ∧ p ) ] ⇒ ~q

p

q

V

V

F

V

V

V

F

V

F

F

V

F

V

V

F

V

V

F

F

F

F

F

F

V

F

F

V

V

Ejemplo 2 Construir la tabla de valores de verdad del siguiente esquema [~p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∨ r) ∧ q] Solución El número de variables del esquema molecular es 3, entonces el número de valores de verdad para cada variable es 23 = 8. Luego, construyendo la tabla:

p

q

r

[~ p ∧ ( q ∨ r ) ] ⇔ [ ( p ∨ r ) ∧ q ]

V

V

V

F

F

V

F

V

V V

V

V

F

F

F

V

F

V

V V

V

F

V

F

F

V

V

V

F F

V

F

F

F

F

F

V

V

F F

F

V

V

V

V

V

V

V

V V

F

V

F

V

V

V

F

F

F V

F

F

V

V

V

V

F

V

F F

F

F

F

V

F

F

V

F

F F

Notar que los valores que se toman en la primera columna son 4 verdaderos y 4 falsos, en la segunda columna son 2 verdaderos y 2 falsos intercalados y en la tercera columna 1 verdadero y 1 falso intercaladas.

Ahora nos plantearemos otro problema, conociendo el valor de verdad de las proposiciones simples, obtendremos el valor de verdad de la proposición compuesta.

Ejemplo 3 Hallar el valor de verdad del siguiente esquema (q ∧ p) ⇒ ~p, sabiendo que: V(p) = V, V(q) = F Solución Para su solución, escribimos la proposición compuesta y se va colocando debajo de cada proposición simple el valor de verdad asignado.

Una visión del proceso a seguir es el siguiente: z3 1 z

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M AT E M Á T I C A

Recordando además que si “p” es verdadera (V(p) = V), entonces ~p es falsa (V(~p) = F) tenemos: (q ∧ p) ⇒ F

~p

V F

F V

Ejemplo 4 Dada la proposición [(q ∧ (p ∨ ~q)] ⇒ ~(p ∧ q); Hallar el valor de verdad, si: V(p) = F y V(~q) = F Solución Si V(p) = F y V(~q) = F entonces V(q) = V luego colocamos el valor de verdad de cada proposición y se tiene: [(q ∧ (p ∨ ~q)] ⇒ ~(p ∧ q) F V

F

F

F

V F

F

V V

Otro caso que puede presentarse para este tipo de ejemplos, es conociendo el valor de verdad de una proposición compuesta, obtener el valor de verdad de otras proposiciones compuestas.

Ejemplo 5 Si la proposición (~p ∨ q) ⇒ [p ∨ (q ⇒ ~r)] es falsa. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a. [p ∧ (q ∆ r)] ⇒ [(~p ∨ r) ∧ ~q] b. [(p ⇔ q) ∧ r] ∨ (p ∆ ~q) Solución

z3 2 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Si (~p ∨ q) ⇒ [p ∨ (q ⇒ ~r)] es falso, el antecedente (~p ∨ q) es verdadero y el consecuente [p ∨ (q ⇒ ~r)] es falso, deducimos que: V(p) = F; y V(q ⇒ ~r) = F; donde V(q) = V; y V(~r) = F; o sea V(r) = V. Del mismo modo, tenemos que: Si V(~p ∨ q) = V , sabemos que: V(~p) = V o sea V(p) = F Con los valores de verdad de p, q, r, procedemos a resolver: a. [p ∧ (q ∆ r)] ⇒ [(~p ∨ r) ∧ ~q] V

F

V

V

F

V V

F

F F

V

b. [(p ⇔ q) ∧ r] ∨ (p ∆ ~q) F

V F

V

F

F

F F

F

Tautologías, contradicciones y contingencias Una expresión proposicional se llama Tautología, si los valores de verdad de su operador principal son verdaderos.

Se llama Contradicción o Antitautología si los valores de verdad de su operador principal son todos falsos.

Se llama Contingencia cuando en los valores de verdad de su operador principal hay valores verdaderos y falsos.

Ejemplo1 Sea la proposición compuesta: [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q Desarrollando su tabla, tenemos:

z3 3 z

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M AT E M Á T I C A

[(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q

p

q

V

V

V

V V V V

V

F

F

F V V

F

V

V

F F V V

F

F

V

F F V

F F

Es una tautología porque los valores de verdad de su columna final del desarrollo todas son verdaderas.

Ejemplo2 Evaluar la tabla de verdad de la proposición: ~[p ⇒ (p ∨ q)] Solución

p

q

~ [p ⇒ (p ∨ q)]

V

V

F V V

V

V

F

F V V

V

F

V

F F V

V

F

F

F F V

F

Es una contradicción.

Ejemplo 3 Evaluar la tabla de verdad de la proposición: ~[p ⇔ (p ∨ q)] Solución

p

q

~ [p ⇔ (p ∨ q)]

V

V

F V V

V

V

F

F V V

V

F

V

V F F

V

F

F

F F V

F

Es una contingencia.

z3 4 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Problemas resueltos 1. Diga cuál de las siguientes expresiones son proposiciones: a) 7+5 = 20 b) ¿Eres un estudiante de matemática? c) x+5 = 8 d) El día está frío. e) ¡Cierra la puerta!

Solución a) 7+5 = 20, es una expresión cuyo valor de verdad es falsa. Luego, es una proposición. b) ¿Eres estudiante de matemática?, es una pregunta que carece de valor de verdad, es decir, no se puede afirmar si es verdadero o si es falso, luego no es una proposición. c) x+5 = 8, es un enunciado abierto, porque tiene variable por lo tanto no es proposición. d) “Jorge es Médico” es una proposición que puede ser verdadera o puede ser falsa. e) ¡Cierra la puerta!, es una orden, luego no es una proposición.

2. Sean las proposiciones p, q, r, cuyos valores de verdad son: V(p) = V, y V(r) = F. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: a) ~r ∧ (p ∨ ~q) b) (~p ∨ ~q) ∧ [(p ∨ ~r) ∧ (q ∨ r)] c) (p ∧ ~q) ⇒ (q ∨ r) Solución a) ~r ∧ (p ∨ ~q) Si V(r) = F, entonces V(~r) = V

V(p) = V

V(q) = V, entonces V(~q) = F z3 5 z

V(q) = F

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M AT E M Á T I C A

luego sustituyendo estos valores de verdad en cada proposición.

~r ∧ (p ∨ ~q)

V

V

V

F

V es verdadera

b) (~p ∨ ~q) ∧ [(p ∨ ~r) ∧ (q ∨ r)]

F

F

V

F

V

V

V

F V

V F

es falsa

c) (p ∧ ~q) ⇒ (q ∨ r)

V

F

V

F

F V

V

es verdadera

3. Si el esquema [(p ∨ ~q) ⇒ (r ⇒ q)] es falsa, hallar el valor de verdad de los siguientes esquemas que se dan a continuación, sabiendo que la proposición p: 2 es divisor de 5. a) (p ∨ q) ∧ (r ∨ ~q) b) (p ⇒ ~r) ∨ (~q ∧ p) Solución La proposición p: 2 es dividendo de 5, es falsa, escribimos: V(p) = F. Asimismo

z3 6 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Si [(p ∨ ~q) ⇒ (r ⇒ q)] es falsa, entonces el valor de verdad del antecedente y del consecuente son: V(p ∨ ~q) = V y V(r ⇒ q) = F Si V(p ∨ ~q) = V y V(p) = F, entonces V(~q ) = V, donde V(q) = F; del mismo modo: Si V(r ⇒ q) = F y V(q) = F, entonces V(r) = V Conociendo los valores de verdad de: V(p) = F, V(q) = F, V(r) = V,

tenemos el desarrollo para:

a) (p ∨ q) ∧ (r ∨ ~q)

F

F

V

F

V

V

F es falso

b) (p ⇒ ~r) ∨ (~q ∧ p)

F

F V

V

F F

V

es verdadero

4. Escribir la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca de cada una de las siguientes proposiciones. a) Si 2 > 5, entonces 8 es múltiplo de 2. b) Si un número termina en cero, entonces es múltiplo de 5.

Solución a)

Sea p: “2 > 5”

q: “8 es múltiplo de 2”

La proposición es: p ⇒ q

su recíproca es: q ⇒ p

“Si 8 es múltiplo de 2, entonces, 2 > 5”

z3 7 z

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M AT E M Á T I C A

su inversa es: ~p ⇒ ~q

“Si 2 no es > que 5, entonces 8 no es múltiplo de 2”

su contrarrecíproca es: ~q ⇒ ~p

“Si 8 no es múltiplo de 2, entonces, 2 no es > que 5.”

b)

Sea p: “Un número termina en cero”.

q: “Un número es múltiple de 5”.

La proposición es: p ⇒ q

su recíproca es: q ⇒ p

“Si un número es múltiplo de 5, entonces, el número termina en cero.”

su inversa es: ~p ⇒ ~q

“Si un número no termina en cero, entonces, no es múltiplo de 5.”

su contrarrecíproca es: ~q ⇒ ~p

“Si un número no es múltiplo de 5, entonces, no termina en cero.”

5. Demostrar, mediante tablas de verdad, cuáles de las siguientes fórmulas son tautologías, contradicciones o contingencias. a) (p ∧ ~q) ⇒ (~p ∨ ~q) b) [~p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∨ r) ∧ q] c) ~(p ⇒ ~q) ⇔ (q ⇒ ~p) Solución a)

p

q

( p ∧ ~ q ) ⇒ ( ~p ∨ ~q )

V

V

V F

F

V

F

F F

V

F

V V V

V

F

V V

F

V

F

F

F

V

V

V F

F

F

F

F V

V

V

V V

La fórmula es una tautología

z3 8 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

b)

[ ~p ∧ ( q ∨ r ) ] ⇔ [ ( p ∨ r ) ∧ q ]

p

q

r

V

V

V

F

F

V

F

V

V V

V

V

F

F

F

V

F

V

V V

V

F

V

F

F

V

V

V

F F

V

F

F

F

F

F

V

V

F F

F

V

V

V

V

V

V

V

V V

F

V

F

V

V

V

F

F

F V

F

F

V

V

V

V

F

V

F F

F

F

F

V

F

F

V

F

F F

La proposición es una contingencia

c)

p

q

~( p ⇒ ~q ) ⇔ ( q ⇒ ~p )

V

V

V V

F

F

F

V F F

V

F

F V

V

V

F

F V F

F

V

F F

V

F

F

V V V

F

F

F F

V

V

F

F V V

La proposición es una contradicción

Problemas propuestos 1. Establecer si las siguientes expresiones son o no proposiciones y asignar su valor de verdad si es que tuvieran. a) 2+8 = 10 b) 0 > 1 c) Esta oración es falsa. d) Simón Bolívar nació en Caracas. e) ¿Qué hora es? f) Él tiene 20 años.

z3 9 z

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M AT E M Á T I C A

2. Escribir los siguientes enunciados en forma simbólica, considerando a: p: “Pablo es inteligente”. y q: “Jorge es inteligente”. a) Pablo es inteligente y Jorge tonto. b) Jorge es inteligente y Pablo es tonto. c) O Pablo es inteligente o Jorge es tonto. d) Ni Jorge, ni Pablo son inteligentes.

3. Si p: “Los precios de los artículos están altos” q: “Los artículos están subiendo” obténgase la traducción verbal de cada una de las proposiciones simbólicas: a) ~(~p ∨ ~q) b) (p ∨ q) ⇒ ~p c) (p ⇒ q) ∧ ~q 4. Demostrar cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías, contradicciones y cuáles contingencias. a) ~(~p) ⇔ ~(~(~p))

Rpta. Contradicción

b) (~p ∨ q) ∧ (~q ⇒ p)

Rpta. Contingencia

c) (p ∨ q) ∧ r ⇔ ~(p ∧ r) ∧ ~(q ∧ r)

Rpta. Contradicción

d) [(p ∨ ~q) ∧ (~p)] ∨ ~(~q ⇒ p)

Rpta. Contradictorio

e) [p ∨ (q ⇒ ~r)] ∧ [(~p ∨ r) ⇔ ~q]

Rpta. Contingente

z4 0 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

f) ~(p ⇒ q) ⇔ ~[(~q) ⇒ (~p)]

Rpta. Tautología

5. Si ~[(~p ∨ q) ∨ (r ⇒ q)] ∧ [(p ∨ q) ⇒ (q ∧ ~p)] es verdadera; hallar el valor de verdad de las proposiciones. a) p ⇒ (~q ∧ r)

Rpta. Verdadero

b) (p ∨ ~q) ∧ (r ∆ p)

Rpta. Falso

c) (p ∧ ~r) ⇔ q ∨ (~p ∧ r)

Rpta. Verdadero

6. Se sabe que V(p ∧ q) = F

y V(q ⇒ r) = F ; deducir el valor de verdad de:

a) (~p ∨ r) ∨ ~q

Rpta. Verdadero

b) ~[p ∨ (~q ∨ ~p)]

Rpta. Falso

c) [(p ⇒ q) ∧ ~(q ∧ r)] ⇔ [~p ∨ (q ∧ ~r)]

Rpta. Verdadero

7. Dado los esquemas lógicos:

A = (p ⇒ q) ∧ ~(~p ∧ q)

B = ~(~p ⇔ q)

C = ~(p ∨ ~q)

¿Cuál de las siguientes relaciones es la correcta? a) A = B

b) B = C

c) A = C

d) Ninguna

Rpta. a

z4 1 z

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M AT E M Á T I C A

8. Sean las proposiciones lógicas p, q, r, s, t Si los valores de verdad de las proposiciones (a) y (b) es falsa. a) [ ~(p ⇒ q) ⇒ r] ⇒ (s ∧ r) b) ~p ∨ q ¿Cuál es el valor de verdad de las proposiciones (c) y (d)?. c) [(t ⇒ p) ∧ ~r ] ⇒ p

Rpta. Verdadero

d) s ⇒ (p ⇔ t)

Rpta. Verdadero

9. Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r, s, son respectivamente V, F, F, V. Obtener los valores de verdad de: a) [(p ∨ q) ∨ r] ∧ s

Rpta. Verdadero

b) (r ⇒ s) ∧ p

Rpta. Verdadero

10. ¿Cuáles de los siguientes esquemas son equivalentes? a) ~(q ⇒ ~p) ⇔ (q ∨ p) b) ~(p ⇒ q) ⇔ (p ∨ q) ∧ (~q)] c) ~(p ⇔ ~q) ⇔ (p ⇔ q) d) {(~p ∧ ~q) ∨ ~q} ⇔ ~[(p ∨ q) ∧ q]

Rpta. c y d

z4 2 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Principales leyes lógicas En lógica, las tautologías son conocidas con el nombre de Leyes Lógicas o Principios Lógicos, y son las siguientes:

1. Ley de identidad Una proposición sólo es idéntica a sí misma. Se expresa por: p⇒p y p⇔p

2. Ley de no contradicción Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez; se expresa así: ~(p ∧ ~p) p ∧ ~p = C

C: Contradicción

3. Ley del tercio excluido Una proposición es verdadera o es falsa; no hay otra tercera posibilidad. Se expresa así: p ∨ ~p p ∨ ~p = T

T: Tautología

4. Ley del modus ponens Se expresa así: [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q

5. Ley de simplificación a) p ∧ q ⇒ p b) p ∧ q ⇒ q

z4 3 z

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M AT E M Á T I C A

6. Ley de modus tollens Se expresa así: [(p ⇒ q) ∧ ~q] ⇒ q

7. Ley del silogismo hipotético Se expresa así: [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)

8. Ley del silogismo disyuntivo [(p ∨ q) ∧ ~q] ⇒ q

9. Ley del absurdo a) [~p ⇒ (q ∧ ~q)] ⇒ q b) [p ⇒ (q ∧ ~q)] ⇒ ~p c) [(~p ⇒ q) ∧ (~p ⇒ ~q)] ⇒ p

Equivalencias notables 1. Ley de involución (doble negación) ~(~p) ≡ p

2. Ley de idempotencia a) p ∧ p ≡ p b) p ∨ p ≡ p

z4 4 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

3. Leyes conmutativas a) p ∧ q ≡ q ∧ p b) p ∨ q ≡ q ∨ p c) p ⇔ q ≡ q ⇔ p

4. Leyes asociativas a) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) b) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) c) (p ⇔ q) ⇔ r ≡ p ⇔ (q ⇔ r)

5. Leyes distributivas a) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) b) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) c) p ⇒ (q ∧ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) d) p ⇒ (q ∨ r) ≡ (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)

6. Leyes de morgan a) ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q b) ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

7. Leyes de complemento a) p ∨ ~q ≡ V b) ~(~p) ≡ p c) p ∧ ~p ≡ F

z4 5 z

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M AT E M Á T I C A

8. Leyes del condicional a) p ⇒ q ≡ ~p ∨ q b) ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~q c) (p ⇒ q) ≡ ~q ⇒ ~p

9. Ley del bicondicional a) (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) b) (p ⇔ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)

10. Leyes de identidad a) p ∨ V ≡ V b) p ∧ V ≡ p c) p ∨ F ≡ p d) p ∧ F ≡ F

11. Leyes de absorción a) p ∧ (p ∨ q) ≡ p b) p ∨ (p ∧ q) ≡ p c) p ∧ (~p ∨ q) ≡ p ∧ q d) p ∨ (p ∧ q) ≡ p ∨ q

12. Leyes de transposición a) (p ⇒ q) ≡ (~q ⇒ ~p) b) (p ⇔ q) ≡ (~q ⇔ ~p)

z4 6 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

13. Leyes de exportación a) (p ∧ q) ⇒ r ≡ p ⇒ (q ⇒ r) b) [(p1 ∧ p2 ∧ .........pn) ⇒ r] ≡ [(p1 ∧ p2 ∧ ....pn ) ⇒ (pn ⇒ r)]

14. Elementos neutros para la conjunción y disyunción a) p ∧ T ≡ p b) p ∨ T ≡ T

T = Tautología

c) p ∨ C ≡ p d) p ∧ C ≡ C

C = Contradicción

Equivalencia lógica Dos proposiciones son equivalentes cuando el resultado de sus tablas de verdad son iguales, o cuando lo unimos con la si y solo si o bicondicional se obtiene una tautologia.

Ejemplo Determina si las proposiciones p ⇒ q, y ~p ∨ q son equivalentes.

Solución Construyendo sus tablas de verdad

p

q

p ⇒ q

V

V

V

F

V

V

V

F

F

F

F

F

F

V

V

V

V

V

F

F

V

V

V

F

(1)

~p ∨ q

(2)

Comparando (1) con (2), vemos que estas proposiciones son equivalentes, hecho que se denota por: “≡” que se lee “equivalente a” luego escribiremos p ⇒ q ≡ ~p ∨ q z4 7 z

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M AT E M Á T I C A

NOTA La equivalencia posee las siguientes propiedades a) p ≡ p

b) p ≡ q ⇒ q ≡ p

(reflexiva)

(simétrica)

c) p ≡ q ∧ q ≡ r ⇒ p ≡ r

(transitiva)

Para demostraciones, la equivalencia muy usada es: p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p Este método llamado MÉTODO DEL ABSURDO consiste en negar el consecuente (tesis) y llegar mediante deducciones lógicas a negar el antecedente (hipótesis).

Ejemplo Demostrar que los esquemas: A = (p ∧ q) ⇒ r ; B = p ⇒ (q ⇒ r), son equivalentes Solución

A

B

(p ∧ q ) ⇒ r

p ⇒ (q ⇒ r)

p

q

r

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

V

F

V

V

F

V

V

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

V

V

⇔

(1)

(2)

Comparando las columnas (1) y (2), observamos que A ≡ B, es decir: A ⇔ B es una tautología Ejemplo Simplificar el siguiente esquema: (~p ∧ q) ⇒ (q ⇒ p)

z4 8 z

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Solución (~p ∧ q) ⇒ (q ⇒ p) ≡ ~(~p ∧ q) ∨ (q ⇒ p)

(ley 8)

≡ (p ∨ ~q) ∨ (~q ∨ p)

(ley 6 y 8)

≡ (p ∨ ~q) ∨ (p ∨ ~q)

(ley 3b)

≡ (p ∨ ~q)

luego diremos que (~p ∧ q) ⇒ (q ⇒ p) ≡ (p ∨ ~q) Ejemplo 1 Usando las leyes lógicas demostrar que: ~[(~p) ⇔ q] ≡ (p ⇔ q) Solución ~[(~p) ⇔ q] ≡ ~[(~p ∧ q) ∨ (~~p ∧ ~q)]

(ley 9b)

≡ ~[(~p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q)]

(ley 1)

≡ ~[(~p ∧ q) ∧ ~(p ∧ ~q)]

(ley 6a)

≡ (p ∨ ~q) ∧ (~p ∨ q)

(ley 6a)

≡ (~q ∨ p) ∧ (~p ∨ q)

(ley 3b)

≡ (q ⇒ p) ∧ (p ⇒ q)

(ley 8a)

≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

(ley 3a)

≡ (p ⇔ q) (ley 9a)

Ejemplo 2 Encontrar una proposición equivalente a: ~q ∧ [~p ∧ q) ⇒ (~r ∧ r)] Solución ~q ∧ [~p ∧ q) ⇒ (~r ∧ r)]

≡ ~q ∧ [~(~p ∧ q) ∨ (~r ∧ r)

(ley 8a)

≡ ~q ∧ [(p ∨ ~q) ∨ C ]

(ley 6b)

≡ ~q ∧ [(p ∨ ~q)

(ley 14b)

≡ ~q

(ley 11a)

z4 9 z

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M AT E M Á T I C A

luego: ~q ∧ [~p ∧ q) ⇒ (~r ∧ r)] ≡ ~q

Función proposicional Si en la proposición “siete es mayor que cuatro” (en símbolos es 7 > 4) reemplazamos al número 7 por la letra “y”, se obtiene la expresión “y es mayor que cuatro” (y > 4), y si convenimos que “y” no represente necesariamente al número 7, sino a un número real cualquiera, entonces el enunciado y > 4 se denomina función proposicional y se denota p(y) o P(y).

Una función proposicional en una variable o indeterminada “y” es un enunciado en el que aparece “y” como sujeto, que se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable.

Ejemplo p(x): x es un astro q(x): x+5 > 7 r(x): x+6 = 8 s(x): x es un número natural Ejemplo Sea la función proposicional p(y): 2y-2 = 4. Si se remplaza “y” por 3 y por 4, se obtienen, respectivamente, los siguientes valores de verdad: p(3) = V , p(4) = F Ejemplos p(x): 2x+5 > 11. Si x=4, p(4) = 13

∴ 13 > 11

(Verdadero)

q(y): 3y+7 = 11. Si y=5, q(5) = 22

∴ 22 = 16

(Falso)

r(x): 2x+1 = 5. Si x=2, r(2) = 5

∴ 5 = 5

(Verdadero)

Ejemplo

Sea p(x): x+5 = 11 es una función proposicional, pues, si convenimos que x es un número real y reemplazamos x por 0, la ecuación resultante es falsa; en cambio si reemplazamos a x por 6, la ecuación es verdadera, o sea: z5 0 z

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p(0): 0+5 = 11

Falso

p(6): 6+5 = 11

Verdadero

Ejemplo Sean las expresiones a) p(x): x+6 < 8 b) q(x): 5x-1 En el primer caso si x es un número entero, entonces p(x) es una función proposicional, así si x=-2 ⇒ p(-2): -2+6 < 8 proposición verdadera x=9 ⇒ p(9): 9+6 < 8

proposición falsa

En el segundo caso si x=3 ⇒ q(3): 5(3) - 1 si x=1 ⇒ q(1): 5(1) - 1 no se le puede asignar su valor de verdad V ni F, luego q(x) no es una función proposicional.

Cuantificadores Los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto cumplen con cierta propiedad convirtiendo a un enunciado abierto en proposición. Entre los principales cuantificadores tenemos:

El cuantificador universal Sea la función proposicional p(x): x<5 con la cual formaremos el siguiente enunciado: “Para todo x ∈ A = {1, 2, 3, 4} se tiene que x < 5” La palabra “para todo” tiene la virtud de transformar este enunciado en una proposición; pues podemos afirmar, sin lugar a dudas, que es verdadera (es verdad que todos los elementos de A son menores que 5) El símbolo usual de “para todo” es “∀”, llamado cuantificador universal z5 1 z

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M AT E M Á T I C A

Si A es cualquier conjunto, p(x) es cualquier función proposicional.

El esquema: ∀x ∈ A ; p(x) se lee: Para todo x que pertenece a A se cumple p(x) Obviamente es verdadera si al reemplazar x, en p(x), por cada elemento de A, se tiene una proposición verdadera.

En caso contrario será falsa.

Ejemplo 1 ∀x ∈ A = {2, 4, 6, 7}, x es par; es una proposición falsa, pues obviamente el número 7 no es par. (7 es par: falso).

El cuantificador existencial Si en el ejemplo anterior, en lugar de decir “para todo” decimos: “existe (al menos) un elemento x ∈ A, x es par” (la coma se sustituye muchas veces por una barra inclinada / que se lee, “tal que”), dicha proposición es a todas luces verdadera, pues en el conjunto hay hasta tres elementos que son números pares.

La palabra “existe al menos un” se simboliza por “∃” y se denomina Cuantificador Existencial se denota: ∃x ∈ A ; p(x) Se lee: “existe al menos un elemento x ∈ A, tal que p(x)”.

Una proposición de este tipo es verdadera si al menos un elemento de A satisface p(x). En caso contrario es falsa.

Ejemplo 2 ∃x ∈ A = {1, 3, 5, 7}, x es par; es una proposición falsa, pues en A no hay ningún elemento que sea par.

Ejemplo 3 Analice usted, las siguientes proposiciones: a) ∃x ∈ Z , ∀y ∈ Z: x . y = 0

Donde Z = {0, ± 1, ± 2, .....}

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

b) ∀x ∈ Z, ∃y ∈ Z: x . y = 0 ¿Cuál es verdadera: a) o b)?

Empezaremos analizando a) Esta proposición nos dice que hay al menos un elemento de Z, de modo que al multiplicarlo con todo otro elemento de Z dá como resultado cero.

Es claro que esta proposición es verdadera Estudie la siguiente tabla

∃x ∈ Z

0

0

0

0

...

∀y ∈ Z

1

-1

2

-2

...

x.y

0

0

0

0

...

Analicemos ahora la proposición b) Esta nos dice que todo elemento de Z tiene asociado un elemento (que no necesariamente es cero), de modo que el producto es cero. Al no ser obligatorio que el elemento asociado sea cero, la proposición es falsa porque estaríamos asegurando que hay elementos x, pero no ceros (ambos) de modo que x.y = 0.

Ejemplo 4 Determine cuál de las siguientes expresiones es verdadera a) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R: x+y = 0 b) ∃x ∈ R, ∀y ∈ R: x+y = 0; (donde R = conjunto de números reales) Solución a) Esta proposición nos dice que todo número tiene asociado (existe) otro número que al sumarlo lo anula.

Esta proposición es verdadera, pues todo número x tiene asociado el número -x de modo que x + (-x) = 0. b) Esta proposición nos dice que hay (existe) un número que al sumarlo a todos los demás da como resultado cero. Esta proposición, si la meditamos bien, es falsa. ¿Puede usted encontrar un número que al sumarlo con todos los demás, el resultado sea cero?

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M AT E M Á T I C A

Negación del cuantificador existencial Para negar una proposición cuantificada existencialmente se cambia el cuantificador y se niega la función proposicional. Es decir: ~[∃x ∈ A: p(x)] ≡ ∀x ∈ A: ~p(x) Observación. Obsérvese que la relación de pertenencia no se niega.

Negación del cuantificador universal Para negar una proposición cuantificada universalmente se cambia el cuantificador y se niega la función proposicional. Es decir: ~[∀x ∈ A: p(x)] ≡ ∃x ∈ A: ~p(x) Observación. Obsérvese que la relación de pertenencia no se niega.

Ejemplo 1 ~(∀x ∈ R , ∃y ∈ R: x+y = 0) ≡ ∃x ∈ R, ∀ y ∈ R: x+y ≠ 0 ~(∃x ∈ Z , ∀y ∈ Z: x . y = 0) ≡ ∀x ∈ Z , ∃y ∈ Z: x . y ≠ 0 Ejemplo 2 Negar el enunciado: “Para todo número real x, existe un número natural n , tal que x2 - 1 < n siempre que x < n “ Solución Simbolizando, tenemos: ∀x ∈ R , ∃n ∈ N / x < n ⇒ x2 -1 < n La negación de este enunciado será: ∀x ∈ R , ∃n ∈ N / x < n ⇒ x2 -1 < n ≡ ∃x ∈ R , ∀n ∈ N / ~(x < n ⇒ x2 -1 < n) ≡ ∃x ∈ R , ∀n ∈ N / ~[~(x < n) ∨ (x2 -1 < n)] ≡ ∃x ∈ R , ∀n ∈ N / (x < n) ∧ ~ (x2 -1 < n)] ≡ ∃x ∈ R , ∀n ∈ N / (x < n) ∧ (x2 -1 ≥ n)

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Ejemplo 3 Negar, ∀x ∈ R: x2 < 5 ∈ x < Solución Antes de resolver este ejercicio no está demás recordar una propiedad ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~q, y observar que no nos estamos preocupando por la verdad o falsedad de la proposición enunciada, sólo nos interesa negarla. ~(∀x ∈ R: x2 < 5 ⇒ x <

) ≡ ∃x ∈ R: (x2 < 5 ⇒

)

≡ ∃x ∈ R: x2 < 5 ∧ ~(

)

≡ ∃x ∈ R: x2 < 5 ∧ x no es <

≡ ∃x ∈ R: x2 < 5 ∧ x ≥

Ejemplo 4 Negar, ∃ x ∈ Z: x3 - 1 = 0 ⇔ x = 1 Solución ~(∃x ∈ Z: x3 -1 = 0 ⇔ x=1) ≡ ∀x ∈ Z: ~(x3 -1 = 0 ⇔ x=1) ≡ ∀x ∈ Z: ~{[(x3 -1 = 0) ∧ (x=1)] ∨ [~(x=1) ∧ ~(x3 -1 = 0)]} ≡ ∀x ∈ Z: ~(x3 -1 = 0 ∧ x ≠ 1) ∧ (x=1 ∨ x3 -1=0) ≡ ∀x ∈ Z: (x3-1 ≠ 0 ∨ x ≠ 1) ∧ (x=1 ∨ x3 -1=0) ~(∃x ∈ Z: x3 -1 = 0 ⇔ x=1) ≡ ∀x ∈ Z: (x3 -1 = 0 ∨ x=1) ∧ (x3 -1 ≠ 0 ∨ x ≠ 1) Ejemplo 5 Negar, ∀x ∈ Z, ∃y ∈ Z: (x2+y2 = 4) ∧ (x=1 ∨ y ≠ 2) Solución ~[∀x ∈ Z, ∃y ∈ Z: (x2+y2 = 4) ∧ (x=1 ∨ y ≠ 2)] ≡ ∃x ∈ Z, ∀y ∈ Z: ~[(x2+y2 = 4) ∧ (x=1 ∨ y ≠ 2)] ≡ ∃x ∈ Z, ∀y ∈ Z: ~(x2+y2 = 4)∨ [~(x=1) ∧ ~(y ≠ 2)] ≡ ∃x ∈ Z, ∀y∈ Z: (x2+y2 ≠ 4 ) ∨ [x ≠ 1 ∧ y=2]

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M AT E M Á T I C A

Ejemplo 6 Negar, Solución La negación de la proposición dada equivale a:

Problemas propuestos 1. Demostrar que: 2. Demostrar que: 3. Simplificar:

Rpta. q

4. simplificar:

Rpta. ~q

5. Demostrar que: 6. Demostrar que: 7. Demostrar que:

es tautología

8. Determine cuál es verdadero i) ii) iii) iv)

Rpta. i) F

ii) F

iii) V

iv) F

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

9. Negar: a) b) c) d) Rpta. a) b) c) d) 10. Sabiendo que el valor de verdad de la proposición es falso.

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) b) c)

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s e g u n d a

UNIDAD Sistema de nĂşmeros reales

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

L e c c i ó n

2

CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCA ENTRE CONJUNTOS

Permite establecer a cada elemento de un conjunto A, uno y solo uno en el conjunto B, y a cada elemento de conjunto B uno y solo uno en el conjunto A estableciéndose de esta manera una correspondencia biunívoca perfecta entre los elementos de los dos conjuntos. A esta relación se conoce como equivalencia entre conjuntos, denotado por: y se lee A es equivalente a B o B es equivalente a A. Ejemplo

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M AT E M Á T I C A

El sistema coordenado unidimensional Una recta numérica en la cual se fija un punto O como origen y un segmento orientado OU=+1, determina un sistema coordenado unidimensional. La recta orientada es ahora una recta numérica o eje

O

U

semieje negativo

semieje positivo

En la recta real existe una correspondencia biunívoca perfecta entre los puntos de la recta y los números reales, es decir a cada punto de la recta le corresponde un punto y a cada punto le correspon un número real.

El número real recibe el nombre de abscisa del punto.

Siempre que el eje numérico se dirija hacia la derecha, se cumple.

Todo punto situado a la derecha del origen tiene abscisa positiva y el punto se encuentra en el semieje positivo OX. Todo punto situado a la izquierda del origen tiene abscisa negativa y el punto se encuentra en el semieje negativo O. Dos puntos en la recta originan un segmento, llamado segmento orientado, en él se distingue un punto como origen del segmento y el otro como extremo del segmento.

Gráficamente

Si consideramos el segmento orientado AB, el origen es A y el extremo es B Si consideramos el segmento orientado BA, el origen es B y el extremo es A El módulo de un segmento orientado AB es la longitud del segmento denotado por: , por lo tanto =

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

La medida algebraica de un segmento orientado AB se denota por: y es igual a su módulo con signo positivo o signo negativo dependiendo como se tome, en sentido de la recta o en sentido contrario.

La medida algebraica del segmento AB es: La medida algebraica del segmento BA es:

= + (positiva) = - (negativa)

En conclusión: Si

,y

son segmentos orientados opuestos se tiene: o también

Relación de Chasles Si se tiene puntos sobre una recta orientada, dispuestos en cualquier orden se cumple: AB + BC + CD + ... + LM + MN + NA = 0

AB + BC + CD + ... + LM + MN = AN Por lo tanto: si AB es el segmento orientado

AB es la medida algebraica del segmento

AB o AB es el módulo o longitud del segmento orientado.

Ejemplo Si AB = BA =7 entonces AB = + 7 y sentido que se tome para el segmentro.

BA = − 7, se puede notar que el signo depende del

Ejemplo Sobre una recta orientada se tiene los puntos A,B,C, y D; si AB = 5 , BC = −11 , AD = 6 , graficar tomando un punto cualquiera de la recta orientada como punto A, e

indicar que par de puntos son los mas próximos.

z6 3 z

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M AT E M Á T I C A

Solución En primer lugar ubicamos los puntos en la recta teniendo en cuenta su medida algebraica de cada segmento.

Ubicamos el punto A como origen, si la medida algebraica AB es positiva entonces el punto B se ubica 5 unidades a la derecha de A, el punto C estará 11 unidades a la izquierda de B esto por que la medida algebraica de BC es negativa, finalmente el punto D estará 6 unidades a la derecha de A por que la medida algebraica de AD es positiva.

Por lo tanto, el par de puntos más próximos son B y D. Ejemplo Si PS = 6 , QR = −6 y SR = −1 , son segmentos orientados que están sobre una recta orientada. Graficar tomando un punto cualquiera de la recta orientada como punto P, e indicar que par de puntos son los más lejanos.

Solución

Los puntos más lejanos son P y Q.

Abscisa de un punto sobre la recta La abscisa de un punto A es la medida algebraica del segmento orientado OA , el punto A de abscisa x se denota por: A(xa), por lo tanto la abscisa del punto O es cero (O es el origen de Abscisas).

z6 4 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Medida algebraica de un segmento orientado Es igual a la abscisa del punto final menos la abscisa del punto inicial. Es decir:

AB = xb − xa

Distancia entre dos puntos que están sobre una recta Es el módulo de la medida algebraica del segmento. Es decir:

d AB = AB

;

d AB = xb − xa

División de un segmento por un punto en una razón dada Sea xp la abscisa del punto P que divide al segmento AB en la razón r, entonces se tiene:

xp =

xa + rxb 1+ r

donde : r =

AP y r ≠ −1 PB

Abscisa del punto medio de un segmento Es la semisuma de las abscisas de los extremos, se denota por:

xm =

xa + xb 2

z6 5 z

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M AT E M Á T I C A

Ejemplo 1 Se tiene los siguientes puntos P(1), Q(4), R(2) sobre una recta numérica, determinar si se cumple la relacion de Chasles Solución Sea la relación de Chasles:

PQ + QR = PR

Ubicamos los puntos en una recta numérica.

PQ = 4 − 1 = 3

,

Por lo tanto:

PQ + QR = PR

QR = 2 − 4 = −2 ,

PR = 2 − 1 = 1

3 + (−2) = 1

1=1

V

Ejemplo 2 Hallar la distancia entre los puntos: A(-3) y B(-6) Solución Aplicando la fórmula de la distancia

d AB = xb − xa

se tiene:

d AB = xb − xa = −6 − (−3) = −6 + 3 = −3 = 3

d AB = 3 Ejemplo 3 Hallar la distancia entre los puntos cuyas abscisas son: A(-5) y B(6); C(3) y D(-7); E(-8) y F(-12) Solución z6 6 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

d AB = 6 − (−5) = 6 + 5 = 11

d AB = 11

d BA = −5 − 6 = −11 = 11

d BA = 11 dCD = −7 − 3 = −10 = 10

dCD = 10 d DC = 3 − (−7) = 3 + 7 = 10 = 10

d DC = 10 d EF = −12 − (−8) = −12 + 8 = −4 = 4

d EF = 4 d FE = −8 − (−12) = −8 + 12 = 4 = 4

d FE = 4 Puedes observar que el orden que tomes los puntos no interesa la respuesta es la misma.

Ejemplo 4 La distancia entre dos puntos es 12. Si uno de los puntos es A(-4), hallar la abscisa del otro punto Solución Sea el otro punto ”B” entonces se tiene:

d AB = xB − x A 12 = xB − (−4)

12 = xB + 4 Aplicando valor absoluto se tiene:

xB + 4 = 12 ⇔

xB + 4 = 12 ∨

xB + 4 = −12

⇔

xB = 12 − 4 ∨

xB = −12 − 4

⇔

xB = 8 ∨

xB = −16 z6 7 z

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M AT E M Á T I C A

Ejemplo 5 Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos: A(-6) y B(16) Solución Sean los puntos de trisección P y Q, entonces la razón que divide el punto Q al 2 , por lo tanto r = 2 segmento es:

r=

1

Hallando la abscisa del punto Q

xq =

−6 + 2(16) −6 + 32 26 = = 1+ 2 3 3

xq =

26 3

Hallando la abscisa del punto P El punto P será punto medio del segmento AQ, entonces tenemos:

xp =

xp =

26 −18 + 26 8 8 4 3 = 3 =3= = 2 2 2 6 3

−6 +

4 3

Ejemplo 6 Los extremos de un segmento dirigido son los puntos P(8) y Q(2), hallar la razón

QC : CP , en que el punto C(10) divide a este segmento.

Solución Si la razón es: QC : CP entonces se tiene que

r= r=

QC xc − xq = CP x p − xc

r=

QC CP

xc − xq x p − xc

Remplazando las abscisas de los puntos P, Q y C se tiene:

z6 8 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

10 − 2 8 − 10 8 r= = −4 −2

r=

r = −4

Observa que la razón resultó negativa. Ésto significa que el punto C está fuera del segmento o lo que es igual a decir que el punto C es exterior al segmento.

Problemas propuestos  3 8 1. Sea AB un segmento dirigido de extremos: A  −  , y B   determinar las absci 2 3 sas de los puntos C y D de modo que: el punto C verifique

AC 3 =− 2 BC

D es punto medio de AB

Rpta. a) 1

y b)

7 12

2. Sean A, B y C puntos de una recta dirigida tal que 4 AB = 5 BC si además se sabe que A(3) y B(4), entonces hallar la abscisa de C Rpta.

xc = 4,8

1 3. Sobre una recta orientada se toma el punto E   , si F,G,H,I son puntos sobre 2 dicha recta tal que: EH = −2 ; HG = 4 , FE = 1 , y FI = 2 ; entonces graficar los puntos F,G,H,I sobre la recta orientada, indicar cuál es la distancia dirigida de E al punto más alejado de él.

Rpta. el punto más alejado de E es -6

AB

= 3 , hallar el 4. Si A(6), B(12) y P(x) son puntos de una recta numérica en donde AP valor real de la abscisa de P

Rpta. 8

5. Sobre una recta dirigida se toman los puntos A,B,C, y D de modo que: AB = −5 ,

BD = 7 , DC = −11 , entonces hallar los puntos más cercanos sobre la recta.

Rpta. A y D

z6 9 z

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M AT E M Á T I C A

Definición axiomática de números reales El sistema de los números reales es un conjunto  en el cual se han definido las operaciones de adición “+” y multiplicación “.” asi como La relación de igualdad “=” y de orden menor que “<” que satisfacen los siguientes axiomas.

Axiomas de la adición

Definición de la sustracción

Axiomas de la multiplicación

Definición de la división

Axiomas de la distributividad

z7 0 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Axiomas de la relación de igualdad

Relación de orden en R Para contar siempre llevamos un orden 1, después el 2, luego el 3, y luego el 4, y asi sucesivamente. La correspondencia uno a uno entre el conjunto de números reales y los puntos de una recta numérica permite representar geométricamente la relacion de orden de los números reales, según La cual los números reales son ordenados: Si a y b son números reales, entonces se tiene lo siguiente: Si a–b es mayor que cero, es decir a–b > 0, a es mayor que b, lo que se simboliza con a > b Si a–b es menor que cero, entonces a es menor que b, lo que se simboliza con a < b Si a–b = 0, entonces a=b Respecto a La recta numérica, se tiene que a > b si el número a se ubica a la derecha de b, a la vez a < b si a se localiza a la izquierda de b, por lo tanto, solo una de las expresiones siguientes es verdadera. a > b; a < b; a = b, esta propiedad recibe el nombre de la tricotomía.

Axiomas de la relación de orden

z7 1 z

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M AT E M Á T I C A

Definición de las relaciones mayor, menor, mayor igual y menor igual

Propiedades básicas de la relación de orden

Inecuaciones Definición Las inecuaciones son desigualdades de expresiones algebraicas en las que hay al menos una variable cuyo valor numérico desconocemos y al que llamamos incógnita.

Inecuaciones enteras Una inecuación entera es toda desigualdad de la forma P(x) < 0;

P(x) > 0

P(x) ≤ 0; P(x) ≥ 0. en donde P(x) es un polinomio de primer grado, segundo grado, o de grado superior.

El conjunto solución de una inecuación es un subconjunto del conjunto de los números reales.

z7 2 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Inecuaciones lineales Las inecuaciones lineales o de primer grado son aquellas que tienen las siguientes formas: ax + b < 0;

ax + b > 0;

ax + b ≤ 0 ; ax + b ≥ 0 donde a≠0 y a; b

R

Para dar solución a una inecuación pasamos los términos que contienen la variable al primer miembro de la inecuación y los que no tienen variable pasamos al segundo miembro de la inecuación y luego simplificamos.

Ejemplo 1 Resolver la inecuación 4x + 5 < 3x - 3 Solución 4x - 3x < - 3 - 5

efectuando

x<-8 cs = < - ∞, - 8 > Ejemplo 2 Resolver la inecuación

5x - 6 > 8x – 2

Solucion 5x - 8x > -2 +6 - 3x > 4 multiplicando por - 1 x<-

4 3

cs = < -∞; -

4 > 3

Inecuaciones cuadráticas

Las inecuaciones cuadráticas o de segundo grado son aquellas de la forma:

z7 3 z

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M AT E M Á T I C A

El conjunto solución de una inecuación cuadrática o de segundo grado es todo subconjunto del conjunto de números reales para hallar dicho conjunto solución aplicaremos el método de los puntos críticos.

Ejemplo 1 Resolver la inecuación

Factorizando la expresión P(x) se tiene (x-3)(x-2) < 0

Obtenemos los valores para x; x=3, x=2 llamados puntos críticos, estos ubicamos en la recta numérica abiertos.

Como estamos resolviendo la inecuación de la forma P(x)<0 tomamos el intervalo negativo <2 ; 3> cs = <2 ; 3> Ejemplo 2 Resolver la inecuación

Factorizando la expresión P(x) se tiene (x-6)(x-1) > 0

Obtenemos los valores para x; x=6, x=1 llamados puntos críticos, éstos ubicando en la recta numérica

Como estamos resolviendo la inecuación de la forma P(x) > 0 tomamos los intervalos positivos <-∞ ; 1> <6 ; +∞> cs = <-∞ ; 1>

<6 ; +∞> z7 4 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Inecuaciones polinomiales o de grado superior Las inecuaciones Polinomiales o de grado superior son aquellas de la forma

a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + a3 x n −3 + ...an −1 x + an < 0, a0 ≠ 0

a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + a3 x n −3 + ...an −1 x + an > 0, a0 ≠ 0 a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + a3 x n −3 + ...an −1 x + an ≤ 0, a0 ≠ 0 a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + a3 x n −3 + ...an −1 x + an ≥ 0, a0 ≠ 0 El conjunto solución de una inecuación de grado superior es todo subconjunto del conjunto de números reales para hallar dicho conjunto aplicaremos el método de los puntos críticos, para eso factorizamos el polinomio P(x) por el método de Ruffini.

Ejemplo 1 Resolver la inecuación

x 4 + 2 x3 − 9 x 2 − 2 x + 8 < 0

Factorizando la expresión P(x) se tiene (x+4)(x+1)(x–1)(x–2) < 0

Obtenemos los valores para x; x=-4, x=-1, x=1, x=2 llamados puntos críticos, éstos ubicando en la recta numérica

cs = <-4 ; -1> <1 ; 2> Ejemplo 2 Resolver la inecuación

x 4 − 4 x3 − 3 x 2 + 14 x − 8 ≥ 0

z7 5 z

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M AT E M Á T I C A

Factorizando la expresión P(x) se tiene (x+2)(x-1)(x–1)(x–4)

0

Obtenemos los valores para x; x=-2, x=1, x=1, x=4 llamados puntos críticos, éstos ubicando en la recta numérica.

cs = Observa cuando el valor real del punto crítico se repite en un número par de veces el signo es el mismo antes y después del punto critico, siendo este punto crítico cerrado, por lo tanto, es parte del conjunto solución.

Ejemplo 3 Resolver la inecuación

x 7 − 5 x 6 + 2 x 5 + 14 x 4 − 3x 3 − 9 x 2 < 0

Solución

x 7 − 5 x 6 + 2 x 5 + 14 x 4 − 3x 3 − 9 x 2 < 0

Factorizando la expresión P(x) se tiene:

( x )( x 2

5

− 5 x 4 + 2 x 3 + 14 x 2 − 3 x − 9 ) < 0

(x2)(x+1)(x+1)(x–1)(x–3)(x–3) < 0

Obtenemos los valores para x; x=0, x=0, x=-1, x=-1, x=1, x=3, x=3, llamados puntos críticos, éstos ubicando en la recta numérica.

cs = <-1 ; 0> <0 ; 1> z7 6 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Observa cuando el valor real del punto crítico se repite en un número par de veces el signo es el mismo antes y después del punto crítico, siendo este punto crítico abierto, por lo tanto, éste no es parte del conjunto solución.

Ejemplo 4 Resolver la siguiente inecuación polinomial en el conjunto de números reales.

x 3 ( x + 6 )( x + 4 )( x + 2 ) ( x + 1) ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 4 )( x − 7 ) ≤ 0 6

2

5

4

3

Solución

x 3 ( x + 6 )( x + 4 )( x + 2 ) ( x + 1) ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 4 )( x − 7 ) ≤ 0 6

2

5

4

3

Como el polinomio P(x) está factorizado obtenemos los valores reales para la variable x; x=-6, x=-4, x=-2, x=-1, x=0, x=1, x=2, x=4, x=7 llamados puntos críticos, éstos ubicando en la recta numérica.

CS = [ −6; −4] ∪ [ 0;1] ∪ [ 4;7 ] ∪ {−2; −1; 2} Observa cuando el valor real del punto crítico se repite en un número par de veces el signo es el mismo antes y después del punto crítico, y cuando se repite en un número impar de veces el signo se intercala siendo estos puntos criticos cerrados por lo tanto son parte del conjunto solución y van entre llaves.

Inecuaciones racionales Una inecuación racional es toda desigualdad de la forma P( x) < 0; Q( x)

P( x) >0 Q( x)

P( x) ≤ 0; Q( x)

P( x) ≥ 0. en donde Q(x) Q( x)

0

Para la solución se utiliza el método de los puntos críticos, teniendo en cuenta que los puntos críticos del denominador siempre irán abiertos para todos los casos.

z7 7 z

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M AT E M Á T I C A

Ejemplo 1 Resolver la inecuación

(x+4)(x–3)

0; x

x+4 ≥0 x−3

3

Utilizando puntos críticos x=-4 cerrado y x=3 abierto ubicando en la recta tenemos

cs = <-∞ ; -4]

<3 ; +∞>

Ejemplo 2 Resolver la inecuación

4x + 1 ≥5 x −1

Pasando el 5 al primer miembro de la inecuación Simplificando Efectuando Por lo tanto

4 x + 1 − 5( x − 1) ≥0 x −1

4 x + 1 − 5x + 1 ≥0 x −1

;

4x + 1 −5≥ 0 x −1

−x+6 ≥ 0 , multiplicando por -1 x −1

x−6 ≤0 x −1

Puntos críticos 1 abierto y 6 cerrado ubicamos en la recta.

cs = <1 ; 6] Ejemplo 3.

Resolver la inecuación

x +1 x + 2 ≤ x − 2 x −1

Pasando todo al primer miembro de la inecuación Efectuando

z7 8 z

x +1 x + 2 ≤0 − x − 2 x −1

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

los puntos críticos son: 2 abierto y 1 abierto Ubicamos en la recta.

cs = <1 ; 2> Ejemplo 4 Resolver la inecuación

2 ≥ −1 x −1

Pasando al primer miembro de la inecuación Efectuando

2 + x −1 ≥ 0; x −1

x +1 ≥0 x −1

2 +1 ≥ 0 x −1

los puntos críticos son: -1cerrado y 1 abierto Ubicamos en la recta (no olvidar que el punto crítico del denominador siempre es abierto).

cs = <-∞ ; -1]

<1 ; +∞>

Ejemplo 5 Resolver la inecuación

2 4 +3> −5 x x

Pasando al primer miembro de la inecuación Efectuando

2 4 − +8 > 0; x x

2 − 4 + 8x >0 x

z7 9 z

2 4 +3− +5 > 0 x x

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M AT E M Á T I C A

8x − 2 >0 x los puntos críticos son:

1 y 0 Ubicamos en la recta (no olvidar que el punto crítico del 4

denominador siempre es abierto).

cs = <-∞ ; 0]

< ; +∞>

Problemas propuestos 1. Indicar cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F), justificar su respuesta.

El conjunto solución de (2–x)2 > 0 es ℜ

Al resolver

se obtiene [3; ∞>

El conjunto solución de 6x2+x ≤ 2 es [-2; 1] El conjunto solución de (2–x)(3x) ≥ 0 es [0;2] 2. Dado el polinomio P(x) = ( x + 3 ) (x – 4), resolver la inecuación Q(x) = x2 – 1 3. Resolver las siguientes Inecuaciones Racionales en R. a)

2 x ≥ x 8

1 2 b) (2 x − 3) 2 − (1 − x) 2 ≤ 0 z8 0 z

P( x) ≥ 0, Q( x)

si

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

c)

2 −1 ≤ ≤ x −1 2x − 3 x

d)

e)

x − 3 3x − 1 > x+2 x+3

f)

4 3 < x−5 x+2

Intervalos Es el conjunto de números reales “x” tales que x>a y x<b

Tipos de intervalos Intervalos abiertos Si a y b son números reales tales que a<b se denomina intervalo abierto al conjunto de todos los números reales x para los cuales a<x<b; se denota <a ; b>, si a=b entonces el intervalo <a ; b> = Gráficamente

Intervalos cerrados Si a y b son números reales tales que a<b se denomina intervalo cerrado al conjunto de todos los reales x para los cuales a x b; se denota [a ; b], si a=b entonces [a; b] = {a} ó {b}

z8 1 z

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M AT E M Á T I C A

Intervalos semiabiertos por la izquierda Si a y b son números reales tales que a<b se denomina intervalo semiabierto por la izquierda al conjunto de todos los reales x para los cuales a<x b ; se denota <a ; b], si a=b entonces <a ; b] = absurdo

Intervalos semiabiertos por la derecha Si a y b son números reales tales que a < b se denomina intervalo semiabierto por la derecha al conjunto de todos los reales x para los cuales a x < b; se denota [a ; b> si a=b entonces [a ; b> = absurdo

Intervalos infinitos < a ; ∞ > = {x∈R ⁄ x > a } [ a ; ∞ > = {x∈R ⁄ x ≥ a } < -∞ ; a > = {x∈R ⁄ x < a } < -∞ ; a ] = {x∈R ⁄ x ≤ a } < -∞ ; ∞ > = {x ⁄ x∈R } Ejemplo 1 Hallar los intervalos correspondientes a cada uno de los siguientes conjuntos:

3 − x ∈ <-3 ; 5]} 2

A = {x∈R ⁄ x-2∈ [-2 ; 4>}; B ={x∈R ⁄

C = {x∈R ⁄ x∉B ⇔ x∈A}; D = {x∈R ⁄ x∈A ⇒ x∈C} Solución

z8 2 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

A:

-2 ≤ x–2 < 4

sumando 2

-2+2 ≤ x –2+2 < 4+2 simplificando 0 ≤ x < 6

A = [0; 6>

B:

-3 <

3− x ≤ 5 multiplicando por 2 2 3− x -3(2) < ( )(2) ≤ (5)(2) 2

-6 < 3–x ≤ 10 restando 3

-6–3 < -3+3–x ≤ 10–3 simplificando

-9 < -x ≤ 7

multiplicando por – 1

-7 ≤ x < 9 B = [-7; 9> C:

aplicando ley del bicondicional

aplicamos ley del Condicional convirtiendo a conjuntos

remplazando los intervalos de A y de B

efectuamos

D:

aplicando ley del condicional convirtiendo a conjuntos remplazando los intervalos de A y de C efectuando

z8 3 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:52 a.m. - 84 - ( )

M AT E M Á T I C A

Ejemplo 2 2.

Dados los siguientes conjuntos: A = {x∈R /

x ∈[-2;3]}; D = [-7; 0] 2

−x + 1 B = {x∈R / − x + 1 ∉<-∞ ; -2]}; C = {x∈R /-4 ≤ < -2]. − 2

2

Hallar: {[(A ∩ B)

C] – D} ∩ Z. (Z números enteros)

Solucion A: -2 ≤

x ≤ 3 2

multiplicando por 2

x )(2)≤ (3)(2) 2

(-2) (2) ≤(

-4 ≤ x ≤ 6

A = [-4; 6]

-2 <

B:

−x + 1 < +∞ 2

(-2)(2) < (

efectuando

multiplicando por 2

−x + 1 )(2)< +∞ efectuando 2

-4 < -x+1 < +∞

-4–1 < -x+1–1 < +∞-1

-5 < -x < +∞ multiplicando por – 1

B = <-∞ ; 5>

C: -4 ≤

−x + 1 < -2 − 2

8 ≥ -x+1 > 4

8–1 ≥ -x+1–1 > 4-1

7 ≥ -x > 3

-7 ≤ x < -3

C = [-7 ; -3>

{[(A ∩ B)

restando 1

multiplicando por – 2

restando 1 efectuando

multiplicando por – 1

C ] – D} ∩ Z = {1 ; 2 ; 3 ; 4}

z8 4 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

3. Dados los conjuntos: A = [-4 ; 8] ∩ {x∈R / (-x+1)∈<-4 ; 6]} B = R–[0 ; 4>; C = <-4 ; 4>. Hallar: [(A

C) ∩ B] ∩ Z

Solución

A = [-4 ; 8] ∩ {x∈R / (-x+1)∈<-4 ; 6]}

Hallamos el intervalo de β β: -4 < -x+1 ≤ 6 sumamos -1 β: -4–1 < -x+1–1 ≤ 6–1 β: –5 < -x ≤ 5 multiplicamos por – 1 β: –5 ≤ x < 5 β = [–5 ; 5 > A=α∩β A = [-4 ; 8] ∩ [–5 ; 5 > A = [-4 ; 5 > B = <-∞; 0>

[4 ; ∞ >

(A ∩ B ) ∩ Z = {-4; -3; -2; -1; 4}

Problemas propuestos 1. Dados los siguientes conjuntos: A = {x∈R ⁄

−2 − x ∈[-2 ; 5>}; 3

B = {x∈R ⁄ 2x-1∈[-3 ; 3]}; C ={x∈R ⁄ x∉<-1; 3>} Hallar los intervalos correspondientes a cada uno de los siguientes conjuntos: M ={x∈R ⁄ x∈A

x∈B}; S ={x∈R ⁄ x∈B

x∈C}

Rpta. A = <-13 ; 8]; B = [-1 ; 2]; C = <-∞ ; -1]

M = <-∞ ; -13]

[-1 ; 2]

[3; ∞>

<8 ; ∞>; S = <2 ; 3> z8 5 z

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M AT E M Á T I C A

2. Se dan los siguientes conjuntos A= {x∈R / 2-x ∈[-5 ; 3>}

x +3 ∉[2 ; ∞>} B = {x∈R / 3-3x∈<-6 ; 9]} ; C = {x∈R / 1 − x ∈<-2 ; 8> ⇒ 2

4

Hallar el o los intervalos correspondientes a dichos conjuntos

Rpta. A = <-1 ; 7]; B = [-2 ; 3>; C = <-∞ ; 1> [9 ; ∞>

3. Si A={x∈R / dos en los reales

3− x ∈[-1;4]} y; B={x∈R /5x-1∉<-∞ 4]}; son dos conjuntos defini3

Hallar: i) (A - B)

ii) (A

B)| ∩ N

Rpta. i) (A-B)= [-9 ; 1>

(N: números naturales)

ii)

2x ∈(<-1 ; 2> <2 ; 3])} 3 4 − 2x B = {x∈R / (5-2x)∉<-∞ ; 1]}; C = {x∈R / ∈<-1 ; 2>} −3 4. Dados los conjuntos: A = {x∈R /

Hallar: Rpta.

= <-

3 ; -1] ∪ [5 ; +∞> 2

Conjuntos acotados en R Un conjunto A de números reales se dice que está acotado superiormente si existe un número real K que es más grande que todos y cada uno de los elementos del conjunto, es decir: A está acotado superiormente si y solo si existe un K que pertenece a los números reales tal que para todas las x que pertenecen a A, x es menor o igual que K simbólicamente:

A esta a cot ado sup eriormente ⇔ ∃k ∈ ℜ / ∀x ∈ A, x ≤ k Al número real K se le denomina cota superior de A. La menor de todas las cotas superiores de A recibe el nombre de extremo superior o supremo de A (denotado por: sup A). Si dicho supremo pertenece al conjunto A, lo llamamos máximo de A (denotado por: máx A).

Ejemplo Consideremos el siguiente conjunto A = <-∞ ; 5]

z8 6 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Observamos que el número real 5 y todos los mayores que 5 son cotas superiores de A, por lo tanto el conjunto A está acotado superiormente en conclusión el supremo de A es 5 (sup A=5) Además 5∈A luego el máximo de A es 5 (max A=5) Ejemplo Consideremos el siguiente conjunto B = <-∞ ; 9] Observamos que el conjunto B está acotado superiormente, son cotas superiores por ejemplo el 217, el 45, el 12, pero no serian cotas superiores por ejemplo el 7 el 0 o el -7; en conclusión el supremo de B es 9 (sup B=9) además 9∈B luego el máximo de B es 9 (max B=9) Un conjunto A de números reales se dice que está acotado inferiormente si existe un número real “m” que es mas pequeño que todos y cada uno de los elementos del conjunto es decir: A esta acotado inferiormente si y solo si existe un “m” que pertenece a los números reales tal que para todas las x que pertenecen a A, “m” es menor o igual que x simbólicamente:

A esta a cot ado inf eriormente ⇔ ∃m ∈ ℜ / ∀x ∈ A, m ≤ x Al número real m se le denomina cota inferior de A. la mayor de todas las cotas inferiores de A recibe el nombre de extremo inferior o infimo de A (denotado por: inf A), si dicho infimo pertenece al conjunto A, lo llamamos mínimo de A (denotado por: mín A).

Ejemplo Consideremos el siguiente conjunto D = [7 ; +∞> Observamos que el número rel 7 y todos los menores que 7 son cotas inferiores de D, por tanto D está acotado inferiormente y el ínfimo de D es 7 (inf D=7), además 7∈D, luego el mínimo de D es 7 (min D=7).

Ejemplo 1 Consideremos el siguiente conjunto A = <-4 ; +∞> Observamos que el número real -4 y todos los mayores que -4 son cotas inferiores de A, por lo tanto el conjunto A está acotado inferiormente en conclusión el ínfimo de A es -4 (inf A=-4) además -4∉A por lo tanto no existe minimo

z8 7 z

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M AT E M Á T I C A

Un conjunto A de números reales se dice que está acotado si está acotado tanto superior como inferiormente, es decir: Un conjunto A está acotado si y solo si existe un K, m que pertenece a los números reales tal que para todas las x que pertenecen al conjunto A, x es mayor o igual que m, pero menor o igual que k. Simbólicamente tenemos:

A esta a cot ado ⇔ ∃k , m ∈ ℜ / ∀x ∈ A, m ≤ x ≤ k Ejemplo 2 Consideremos el siguiente conjunto A = [-2 ; 5> Observamos que el conjunto A está acotado, por lo tanto el número 5 y todos los números reales mayores que 5 son cotas superiores de A, luego A está acotado superiormente, es decir, sup A=5. El numero –2 y todos los números reales menores que –2 son cotas inferiores de A, luego A está acotado inferiormente, es decir, inf A=-2.

Como A está acotado superior e inferiormente, podemos decir que A está Acotado.

Además, como -2 está en el conjunto A podemos decir que el mínimo de A=-2, como el 5 no está en el conjunto A podemos decir que no existe máximo.

Ejemplo 3 Consideremos el conjunto B = [-3 ; 7> Observamos que el conjunto B está acotado, cota superior es el 9,3 y cota inferior es –4,1 además – 3 es un ínfimo, pero como pertenece al conjunto, se dice que es un mínimo y el 7 es un supremo, el 7 no sería un máximo porque no pertenece al intervalo.

Ejemplo 4 Consideremos el conjunto C = <7; +∞> El conjunto C está Acotado inferiormente por 7 o por los números reales menores que 7, sin embargo, no está acotado superiormente, por lo tanto, el conjunto C no esta Acotado.

Ejemplo 5 Consideremos el conjunto de números naturales. Éste conjunto está acotado inferiormente .

En cambio, el conjunto de números enteros, el conjunto de números racionales, el conjunto de números reales no están acotados ni inferior ni superiormente.

z8 8 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Ejemplo 6 Consideremos el conjunto C= <4 ; 9> El intervalo <4 ; 9> es un conjunto acotado tanto superior como inferiormente, y tiene como supremo el valo 9 y como ínfimo el valor 4, en conclusión no tiene máximo ni mínimo.

Ejemplo 7 Consideremos el conjunto D = {x R / 3x 9}, a este conjunto le corresponden los valores reales menores o iguales que 3. Por lo tanto el conjunto D está acotado superiormente, pero no está acotado inferiormente, además el número real 3 es su máximo (max D=3) Ejemplo 8 Consideremos el conjunto E={x R / x<2}, a este conjunto le corresponden los valores reales menores que 2. Por lo tanto, el conjunto E está acotado superiormente, pero no está acotado inferiormente, además el número real 2 es un supremo y no tiene máximo porque el número 2 no pertenece al conjunto E. Ejemplo 9

1   Consideremos el conjunto E =  x ∈ ℜ / x = − , n ∈   , Los elementos que satisfacen el n  

1 1

conjunto E son: − ; −

1 1 1 1 1 1 1 ; − ; − ; − ; − ; − ; − ;.....0 , por lo tanto el conjunto E está aco2 3 4 5 6 7 8

tado superior e inferiormente, tiene como mínimo el -1 porque pertenece al conjunto y como supremo el 0 no pertenece al conjunto por más grande que sea el valor de n el valor de x nunca será igual a 0.

Valor absoluto Definición. El valor absoluto de un número real “a” se denota por a , y se define:

a = { − aa,,

si a ≥ 0 si a < 0

Ejemplo

5 = 5 , puesto que 5

0

z8 9 z

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M AT E M Á T I C A

−5 = −( −5) = 5 , puesto que (−5) < 0 0 =0 −7 = 7 7 =7

De acuerdo con los ejemplos anteriores podemos concluir diciendo que el valor absoluto de un número real siempre es positivo.

Geométricamente, el valor absoluto de un número real “a” es la distancia entre el número real “a” y el origen, es decir representa a los valores a cuya distancia al origen es k en la recta se tiene:

Ejemplo 1

Lo podemos interpretar como los valores de “a” cuya distancia al origen es 6 Gráficamente

Ejemplo 2

Se interpreta los números cuya distancia a 2 es igual a 7

Por lo tanto, los números que satisfacen la igualdad son: -5 y 9

z9 0 z

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E D U A R D O A L C Ă N TA R A B E C E R R A

Ejemplo 3

Se interpreta como los nĂşmeros cuya distancia al origen es mayor que 3

Propiedades

Estas propiedades son utilizadas en forma adecuada para resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

z9 1 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 92 - ( )

M AT E M Á T I C A

Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto Ejemplo 1 Resolver x–4 = 5 Solución Aplicamos una de las propiedades del valor absoluto (Nº 8) x–4= 5 ⇔ 5 ≥ 0 ∧ (x–4 = 5 ∨ x–4 = -5) ⇔ R ∧ (x=9 ∨ x=-1) ⇔ R ∧ {9 ; -1} cs = {9 ; -1} Ejemplo 2 Resolver x+3 = 2x–1 Solución Aplicamos una de las propiedades del valor absoluto (Nº 8) x+3= 2x–1 ⇔ 2x–1 ≥ 0 ∧ (x+3 = 2x–1 ∨ x+3 = -2x+1) ⇔ 2x ≥ 1 ∧ (4=x ∨ 3x = –3+1)

7 ∧ (4=x ∨ 3x = –2) 2 2 7 ∧ (4 = x ∨ x = – ) ⇔ x ≥ 3 2 2 7 ∧ {4 ; – } ⇔ x ≥ 3 2 ⇔ x ≥

cs = {4} Ejemplo 3 Resolver 4x-5 ≥ 3 Solución Aplicamos una de las propiedades del valor absoluto (Nº 12) 4x-5≥ 3 ⇔ (4x-5 ≤ -3 ∨ 4x-5 ≥ 3)

z9 2 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

⇔ (4x ≤ 2 ∨ 4x ≥ 8)

1 ∨ x ≥ 2) 2 1 cs = <-∞ ; ] ∪ [2 ; +∞> 2 ⇔ (x ≤

Ejemplo 4 Resolver 2x-4 ≤ x-6 Solución Aplicamos una de las propiedades del valor absoluto (Nº 12) 2x-4≤ x-6 ⇔ x-6 ≥ 0 ∧ (-x+6 ≤ 2x-4 ≤ x-6) ⇔ x ≥ 6 ∧ [(-x+6 ≤ 2x–4) ∧ (2x-4 ≤ x-6)] ⇔ x ≥ 6 ∧ [(10 ≤ 3x ) ∧ (x ≤ -2)] ⇔ x ≥ 6 ∧ [(x ≥

) ∧ (x ≤ -2)]

⇔ x∈ [6 ; +∞> ∩ [

; ∞> ∩ <-∞; -2]

cs = φ Ejemplo 5 Resolver x-1 ≤ 2x+3  Solución Aplicamos una de las propiedades del valor absoluto (Nº 11) x-1≤2x+3⇔ (x–1)2 ≤ (2x+3)2 ⇔ (x–1)2 ≤ (2x+3)2 ⇔ (x–1)2 - (2x+3)2 ≤ 0 ⇔ (x–1+2x+3)(x–1-2x-3) ≤ 0 ⇔ (3x+2)(-x-4) ≤ 0 ⇔ (3x+2)(x+4) ≥ 0 cs = <-∞ ; -4] ∪ [

7 ; ∞> 2 z9 3 z

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M AT E M Á T I C A

Problemas propuestos 1. Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones a)



x + 2 = 2 x −3

b) x-3 = x+3

c) 8-x ≥ 3x 

2. Dados los conjuntos A = {x∈R / 2x+3= 5} B = {x∈R /3x-3+ x = 7} Hallar (A

B) ∩ N (N: números naturales)

3. Dados los conjuntos A = {x∈R / 2–5

x −6 = 5x-8} 2

B = {x∈R /3x-1= x–1,5} Hallar: (A - B) ∩ Z (Z: números enteros) 4. Dados los conjuntos A = {x∈R /x+3=2x+1} B = {x∈R /3x-1-1 = x+2} Hallar: (A

B) ∩ R (R: números reales)

5. Resolver en R,2x-3+1= 3–x 6. Resolver en R, 2x2+5-3= 2–x

Distancia en R La distasncia entre dos números reales a y b que se denota por d(a,b), se define como el valor absoluto de la diferencia entre ambos números.

d ( a, b) = b − a Ejemplo1 Hallar la distancia entre los números 5 y 9

d (5,9) = 9 − 5

d (5,9) = 4 z9 4 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Si tomamos la distancia entre 9 y 5 tenemos

d (9,5) = 5 − 9

d (9,5) = −4

d (9,5) = 4 Podemos observar que el orden en que se tomen los números no interesa porque la distancia es la misma.

Ejemplo2 Hallar la distancia entre los números -7 y 7

d (−7, 7) = 7 − (−7)

d (−7, 7) = 7 + 7 d (−7, 7) = 14 d (−7, 7) = 14 Si tomamos la distancia entre 7 y -7 tenemos

d (7, −7) = −7 − 7

d (7, −7) = −14

d (7, −7) = 14

z9 5 z

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z9 6 z

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t e r c e r a

UNIDAD La recta y las c贸nicas en el plano

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z9 8 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

L e c c i ó n

3

SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR BIDIMENSIONAL Se define como dos ejes e , perpendiculares entre sí que se cortan en sus orígenes, forman un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas. Llamado plano cartesiano el punto de intersección O, es el origen del sistema.

El eje es el primer eje llamado de abscisas o de las X. El eje , es el segundo eje llamado de las Y o de las ordenadas. Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro partes llamados cuadrantes. Cada cuadrante está compuesto por un número infinito de puntos, que son descritos por pares ordenados de la forma (x;y), si x e y son positivos el punto es del primer cuadrante; si x es negativo e y positivo el punto es del segundo cuadrante; si x e y son negativos el punto es del tercer cuadrante; si x es positivo e y negativo, el punto es del cuarto cuadrante. Los puntos de los ejes no pertenecen a cuadrante alguno. El primer elemento del par se llama abscisa del punto y el segundo ordenada del punto. Ambos son números reales y genéricamente reciben el nombre de coordenadas del punto.

Gráficamente

Cuadrante II

Cuadrante I

Cuadrante III

Cuadrante IV

z9 9 z

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M AT E M Á T I C A

Los infinitos puntos del plano cartesiano se representan como RxR o R2, llamado producto cartesiano de reales por reales originando los llamados pares ordenados de la forma (x;y).

Para determinar la posición de un punto A en el plano cartesiano, se baja desde el punto A una perpendicular AM al eje , y otra perpendicular AN al eje , los puntos M y N de intersección de estas perpendiculares con los ejes coordenados se denominan proyecciones del punto A sobre los respectivos ejes coordenados.

Si x es la coordenada del punto M del eje de abscisas, x es la abscisa o primera coordenada del punto A. Si y es la coordenada del punto N del eje de ordenadas, e y es la ordenada o segunda coordenada del punto A. Los números reales x e y, se escriben entre paréntesis, x en primer lugar e y en segundo lugar separándolos por punto y coma (;).

La notación de un punto A, en el plano cartesiano se denota por: A(x;y).

Gráficamente

Distancia entre dos puntos Si los puntos P1 ( x1 ; y1 ) y P2 ( x2 ; y2 ) pertenencen al plano cartesiano, puede ocurrir:

z 1 00 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

1. Si la recta es horizontal El segmento determinado por dos puntos es paralelo al eje de las x. Entonces, la distancia entre P1 y P2 es igual en valor absoluto a la distancia entre Q1 y Q2 que están sobre el eje x, es decir:

d ( P1 ; P2 ) = d (Q1 ; Q2 ) = x2 − x1

2. Si la recta es vertical El segmento determinado por dos puntos es paralelo al eje de las y. éntonces, la distancia entre P1 y P2 es igual en valor absoluto a la distancia entre Q1 y Q2 que están sobre el eje y, es decir:

d ( P1 ; P2 ) = d (Q1 ; Q2 ) = y2 − y1

Q2 (y2 ;0)

P2

Q1 (y1 ;0)

P1

z 1 01 z

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M AT E M Á T I C A

3. El segmento no es paralelo a ninguno de los ejes En un plano se tiene los puntos P(x1; y1), y Q(x2; y2); la distancia entre dichos puntos es la longitud del segmento PQ

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − (yx1 2) 2− x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

En el triángulo rectángulo que se muestra en la figura, aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene:

[ d ( P; Q)]

2

= ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

Aplicando raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación, tenemos:

[ d ( P; Q)]

2

d(P; Q) =

= ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

Ejemplo 1 Hallar la distancia entre los puntos P1(-1; 2), y P2(5; -6), Solución Ubicando los puntos en el plano cartesiano tenemos:

z 1 02 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 103 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

d ( P1 ; P2 ) = [5 − (−1)]2 + (−6 − 2) 2 d ( P1 ; P2 ) = [5 + 1]2 + (−8) 2

d ( P1 ; P2 ) = [6]2 + (−8) 2 d ( P1 ; P2 ) = 36 + 64

d ( P1 ; P2 ) = 100

d ( P1 ; P2 ) = 10

Como caso particular, la distancia de un punto P(x; y) al origen de coordenadas estará dado por:

OP = x 2 + y 2 Ejemplo 2 Hallar las longitudes de los lados de un triángulo de vértices A(-2; -3), B(5; 1) y C (-2; 5).

Solucion Graficando el triángulo en el plano cartesiano tenemos:

Para hallar las longitudes de los lados del triángulo, hallamos la distancia entre sus vértices, así: z 1 03 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 104 - ( )

M AT E M Á T I C A

2

2

d(P;Q) = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )

Hallando la distancia del vértice A al vértice C

d ( A; C ) = (−2 − (−2)) 2 + (5 − (−3)) 2 d ( A; C ) = (−2 + 2) 2 + (5 + 3) 2 d ( A; C ) = (0) 2 + (8) 2 d ( A; C ) = (8) 2

d ( A; C ) = 8 Hallando la distancia del vértice A al vértice B

d ( A; B) = (5 − (−2)) 2 + (1 − (−3)) 2 d ( A; B) = (5 + 2) 2 + (1 + 3) 2 d ( A; B) = (7) 2 + (4) 2 d ( A; B) = 49 + 16

d ( A; B) = 65 Hallando la distancia del vértice B al vértice C

d ( B; C ) = (−2 − 5) 2 + (5 − 1) 2 d ( B; C ) = (−7) 2 + (4) 2 d ( B; C ) = 49 + 16

d ( B; C ) = 65

z 1 04 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Problemas propuestos 1. Los vértices de un triángulo son los puntos A(2; -3); B(-2; 1) y C(4; -1); hallar la longitud de sus lados.

2. Los puntos A(-1; 0); B(2; 0) y C(0; 5) son los vértices de un triángulo; hallar su perímetro.

3. Encontrar las distancias entre los pares de puntos que se dan: A(1; -4)

y B(4; 7)

M(-3; 4) y N(4; -4)

C(-2; 3)

y D(1; -2)

P(-4; -2)

E(0; -4)

y F(4; 0)

R(2; -2)

y Q(4; 5) y S(4; 4)

4. Determinar la medida de cada uno de los lados del triángulo cuyos vértices son P1(2, 1), P2(-1; 3) y P3(7; -2). Determinar también el área del triángulo.

5. Determinar si los siguientes puntos A(-3; 2), B(3; 10) y C(7; 2) son los vértices de un triángulo isósceles.

6. Trazar la figura cuyos vértices son (0; -4), (-4; 2), (-4; 7), (6; 3) y hallar su perímetro.

7. Determinar el punto A de ordenada 3, que se halla a 5 unidades del punto B(2, -1).

8. Determinar un punto del eje x, equidistante de P1(4; 3) y P2(1; -1).

9. Encontrar las coordenadas del punto P que se halla a 3 unidades del eje x y 6 unidades del punto P(2; 1).

10. Si el punto P (x; 3) se encuentra equidistante de Q(3; -2) y de R(7; 4), encontrar el valor de la abscisa x del punto P.

z 1 05 z

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M AT E M Á T I C A

División de un segmento en una razón dada Sean los puntos P(x1; y1), y Q(x2; y2) extremos de un segmento PQ, las coordenadas de un punto N, que divide al segmento PQ en la razón “r” está dado por: Gráficando dichos puntos en el plano cartesiano tenemos:

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 ( x 2 − x1 ) 2 +((xy2 2−−x1y)1 2) 2+ ((xy22 −−xy11))22 + ( y 2 − y1 ) 2

Calculando la abscisa del punto N r=

x − x1 x–x1 = r(x2–x) x2 − x

x–x1 = rx2–rx

x+rx = x1+rx2

x(1+r) = x1+rx2

x=

x1 + rx2 1+ r

Calculando la ordenada del punto N

r=

y − y1

y2 − y

y–y1 = r(y2–y)

y–y1 = ry2–ry

y+ry = y1+ry2

y(1+r) = y1+ry2

y=

y1 + ry2 1+ r z 1 06 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 107 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

por lo tanto: N (

x1 + rx2 y1 + ry2 ; ) 1+ r 1+ r

Cuando N es punto medio del segmento PQ la razón es 1, por lo tanto remplazando en la fórmula anterior, r=1 se tiene:

N(

x1 + x 2 y1 + y 2 ; ) 2 2

Ejemplo1 Encontrar los puntos de trisección del segmento AB, cuyos extremos son: A(-2; 5) y B(6; -3) Solución Graficando el segmento AB se tiene:

P2 P1

Trisección es la división de un segmento en 3 partes iguales, por dos puntos, tales como P1 y P2.

Para hallar el punto P1 (x, y) la razón es:

r=

AP1 P1 B

⇒ r=

2 ⇒ r=2 1

Por fórmula:

y1 + ry2 1+ r

x=

x1 + rx2 1+ r

x=

10 −2 + 2(6) −2 + 12 ⇒ x= ⇒ x= 1+ 2 3 3

y=

z 1 07 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 108 - ( )

M AT E M Á T I C A

y=

5 + 2(−3) ⇒ 1+ 2

y=

5−6 ⇒ 3

y=−

1 3

 10 1  P1  ; −   3 3 Para hallar las coordenadas de P2, la razón es:

AP2 1 ; r= P2 B 2 1 −2 + (6) −2 + 3 1 2 ⇒ x= ⇒ x= x= 1 3 3 1+ 2 2 2

r=

1 5 + (−3) 2 y= ⇒ 1 1+ 2

y=

5− 3 2

3 2

⇒

⇒ x=

7 y= 2 3 2

⇒

2 3

y=

7 3

2 7 P2  ;  3 3 Ejemplo 2 El segmento que une los puntos A(-2; -1) y B(3; 3) se prolonga hasta C sabiendo que BC = 3AB. Hallar las coordenadas de C. Solución: Como C está en la prolongación de AB, entonces, la gráfica es:

z 1 08 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 109 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Por lo tanto la razón es:

r=

Como BC=3AB, entonces

AB BC

1 AB 1 = , por lo tanto r = 3 BC 3

aplicando la fórmula de división de un segmento por un punto, se tiene:

B(

x1 + rx2 y1 + ry2 ; ) 1+ r 1+ r

Como la abscisa y ordenada del punto B es 3, se tiene:

x1 + rx2 =3 ∧ 1+ r

y1 + ry2 =3 1+ r

1 −2 + ( x) 3 =3 ∧ 1 1+ 3 −6 + x =3 ∧ 4

⇒ x = 18 ∧

1 −1 + ( y ) 3 =3 ⇒ 1 1+ 3

−6 + x 3 =3 ∧ 4 3

−3 + y 3 =3 4 3

−3 + y = 3 ⇒ − 6 + x = 12 ∧ − 3 + y = 12 4

y = 15

C(18;15) Ejemplo 3 Hallar las coordenadas del punto Q que divide el segmento determinado por los puntos P1(-1; 3) y P2(4; 6) en partes proporcionales a los números 2 y 5.

Solución Sea el punto Q(x, y) , que divide a P1P2 fórmulas:

en la razón r =

2 −1 + (4) −5 + 8 3 5 x= = = 2 7 7 1+ 5

 3 27  Q ;  7 7 

z 1 09 z

2 , Se tiene aplicando las 5

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 110 - ( )

M AT E M Á T I C A

Ejemplo 5 Determinar las coordenadas del baricentro del triángulo, cuyos vértices son A(4; 6), B(-3; 1) y C(3; -2).

Solución Se sabe que el baricentro o centro de gravedad de un triángulo está en el punto de intersección de las medianas, Todo se reduce, entonces, a encontrar primero las coordenadas del punto medio M del lado AB, por ejemplo, y luego las coordenadas del punto G que divide el segmento MC en dos segmentos. MG y GC, tales que: Graficando el problema tenemos:

Como el baricentro es un punto que divide a las medianas en la razón 1:2 tenemos

MG 1 1 = ⇒ r = , por lo tanto: GC 2 2 7 1 1 1  1 3 7 2 4 5  2 + 2 (3) 2 + 2 (−2)  2+2 2−2   ⇒ G ⇒ G 2 ; 2  G ; ;   3 3 3 1 1 3  1+      1+   2 2 2 2 2  2   4 5 G ; 

 3 3

z 1 10 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 111 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Problemas propuestos 1. Determinar las coordenadas del punto que divide el segmento que une P1(-1; 6) con P2(4; -4) en la razón r = 2/3.

2. Determinar los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son A(-1, 2) y B(7; 8).

3. Los vértices de un triángulo son A(1; 4); B(3; 1) y C(-2; -1). Determinar el perímetro del triángulo formado al unir los puntos medios de los lados del triángulo ABC. 4. Determinar las coordenadas del centro de gravedad del triángulo cuyos vértices son A(3; 2); B(0; 4) y C(-2; -1).

5. Encontrar las coordenadas del punto P que divide el segmento cuyos extremos son A(1; 2) y B(4; 5) en la razón r =

AP 5 =− 2 PB

6. Si los puntos medios de los lados del triángulo ABC son M1(4; 3); M2(6; 5) y M3(3; 4), hallar los vértices del triángulo ABC.

La recta Es el conjunto de puntos alineados en una misma dirección.

Inclinación de una recta Dada una recta L en un plano, la inclinación de L es el ángulo que forma el eje x con la recta L, medido en sentido antihorario a partir del semieje positivo de las x.

Si θ = Inclinación de L , entonces se cumple que: 0º ≤ θ < 180º

z 1 11 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 112 - ( )

M AT E M Á T I C A

Pendiente de una recta Es la tangente trigonométrica de su ángulo de Inclinación. Usualmente se denota por la letra “m” es decir: Pendiente de L = Tg θ m = Tg θ la pendiente de una recta no vertical que pasa por los puntos P(x1; y1), y Q(x2; y2) está determinado de la siguiente manera.

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − (yx1 2) 2− x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

Tg θ =

m=

y 2 − y1 x 2 − x1

y 2 − y1 x 2 − x1

; x2 ≠ x1 por lo tanto

; x2 ≠ x1

La pendiente de una recta es positiva si está inclinada hacia la derecha.

La pendiente es igual a cero cuando la recta es horizontal.

La pendiente de una recta es negativa si está inclinada hacia la izquierda.

Si la recta es vertical esta no tiene pendiente.

z 1 12 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 113 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Ángulo entre dos rectas El ángulo formado por dos rectas secantes se puede calcular cuando se conoce el valor de la pendiente de cada recta. El ángulo es medido en sentido antihorario de manera que se puede distinguir el lado inicial y el lado final del ángulo. Sean las rectas L1 y L2 , m1 y m2 sus respectivas pendientes, entonces un ángulo específico “a” formado por las rectas L1 y L2 está definido por:

Gráficamente:

θ1 = α + θ 2 ⇒ α = θ1 − θ 2

θ1 = α + θ 2 ⇒ α = θ1 − θ 2

θ1 = α + θ 2 ⇒ α = θ1 − θ 2

Demostración:

θ1 = α + θ 2 ⇒ α = θ1 − θ 2 Entonces:

t g (α ) = t g (θ1 − θ 2 )

Donde por fórmula:

tgα =

m − m2 tgθ1 − tgθ 2 , entonces se tiene que : tgα = 1 1 + m1.m2 1 + tgθ1tgθ 2

Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales

z 1 13 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 114 - ( )

M AT E M Á T I C A

Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1, es decir:

Formas de la ecuación de una recta Forma Punto – Pendiente Cuando se conoce la pendiente “m” y un punto P(x0; y0) llamado punto de paso de la recta “L”, entonces su ecuación es: y – y0 = m(x – x0)

Forma Pendiente Ordenada en el origen Cuando se conoce la pendiente “m” y la ordenada “b” en el origen, la ecuación de la recta “L” es: y = mx + b

Forma segmentaria Cuando se conoce los puntos de corte de la recta “L” con los ejes coordenados, la ecuación de la recta “L” es.

x y + =1 a b

siempre que a y b diferentes de cero.

Forma general La forma general de la ecuación de la recta “L” es: Ax + By + C = 0; donde A, B y C son constantes reales y la pendiente es: m =

z 1 14 z

−

A B

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 115 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Distancia de un punto a una recta Dado un punto P(x0; y0) y una recta “L”

La distancia del punto P(x0;y0) a la recta “L” de ecuación Ax+By+C=0 está determinada por la siguiente relación: d(P; L) =

Distancia entre rectas paralelas Dadas las rectas paralelas “L 1” de ecuación Ax+By+C 1 = 0, y “L 2” de ecuación Ax+ By+C 2 = 0

La distancia entre dichas rectas está dado por la siguiente relación:

d ( L1 ; L2 ) =

C1 − C2 A2 + B 2 z 1 15 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 116 - ( )

M AT E M Á T I C A

Problemas resueltos 1. Hallar la distancia entre los puntos P(2; -3) y Q(3; 4) Solución Utilizando la formula de la distancia entre dos puntos en el plano tenemos:

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

d(P; Q) =

x2–x1 = 3–2 = 1 ;

y2–y1 = 4–(-3) = 7

Luego:

(1) 2 + (7) 2

d(P; Q) = d(P; Q) = d(P; Q) = d(P; Q) = d(P; Q) =

2 5

2. Sean P(1; -1) y Q(-3; 2) dos puntos en el plano. Determine las coordenadas del punto medio N del segmento PQ Solución Utilizando la fórmula del punto medio de un segmento se tiene: N( x1 + x 2 ;

2

y1 + y 2 ) 2

x1+x2 = 1+(-3) = -2 ;

y1+y2 = -1+2 = 1

Luego:

−2 1 ; ) 2 2 1 ) N ( −1 ; 2 N(

3. Dados los puntos P1(-1; 3) y P2(3; 0) en el plano, hallar las coordenadas del punto P sobre el segmento P1 P2 que divide a este en la razón Solución En la figura se muestra el segmento P1P2 y el punto P z 1 16 z

1 3

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 117 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

9 4

1

Se sabe que r = y los puntos P1(-1; 3) y P2(3; 0), entonces utilizamos la siguiente 3 fórmula:

1 1 − 1 + (3) 3 + (0) 3 3 P( ; ) 1 1 1+ 1+ 3 3 P(

−1+1 ; 4 3

P(0;

3 ) 4 3

9 ) 4

4. Hallar la ecuación de las rectas L1, L2, L3, y L4 indicadas en la figura.

Solución

z 1 17 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 118 - ( )

M AT E M Á T I C A

La recta L1 pasa por el punto O(0;0) y cuyo ángulo de inclinación es 30º, entonces se tiene: Pendiente de L1=Tg 30º m de L1 =

3 3

Utilizando la fórmula y–y0 = m(x–x0) y–0 = (x–0) y =

3 x 3

3 x–3y = 0

La recta L2 pasa por el punto O(0;0) y cuyo ángulo de inclinación es 45º, entonces se tiene: Pendiente de L2=Tg 45º m de L2 = 1 Utilizando la fórmula y–y0 = m(x–x0) y–0 = 1(x–0) y=x x–y = 0

La recta L3 pasa por los puntos O(0;0) y A( 2; 4), entonces su pendiente es: m=

4−0 ; m=2 , A es punto de paso: 2−0

Utilizando la fórmula y–y0 = m(x–x0) y–4 = 2(x–2) y–4 = 2x–4 y–2x = 0 2x–y = 0 z 1 18 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 119 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

La recta L4 pasa por el punto O(0;0) y cuyo ángulo de inclinación es 135º, entonces se tiene: Pendiente de L4=Tg 135º m de L4 = - 1 Utilizando la fórmula y–y0 = m(x–x0) y–0 = -1(x–0) y = -x x+y = 0 5. Hallar las ecuaciones de las rectas L1, L2, L3, y L4 que se muestran en la siguiente figura.

Solución La recta L1 pasa por los puntos B(0;-2) y A(2;0), entonces su pendiente es: m=

0 − (−2) ; m=1, A es punto de paso.

2−0

Utilizando la fórmula y–y0 = m(x–x0) y–0 = 1(x–2) y = x–2 y–x+2 = 0 x–y–2 = 0 z 1 19 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 120 - ( )

M AT E M Á T I C A

La recta L2 pasa por los puntos C(-1; 0) y D(0; 1), entonces su pendiente es: m=

1− 0 ; m=1, D es punto de paso.

0 − (−1 )

Utilizando la fórmula y–y0 = m(x–x0) y–1 = 1(x–0) y–1 = x y–x–1 = 0 x–y+1 = 0 La recta L3 pasa por los puntos C(-1; 0) y E(0;2), entonces su pendiente es: m=

2−0 ; m=2, E es punto de paso.

0 − (−1)

Utilizando la fórmula y–y0 = m(x–x0) y–2 = 2(x–0) y–2 = 2x y–2x–2 = 0 2x–y+2 = 0 La recta L4 pasa por el punto D(0;1) y cuyo ángulo de inclinación es 135º, entonces se tiene: Pendiente de L4 = Tg 135º m de L4 = - 1 Utilizando la fórmula y–y0 = m(x–x0) y–1 = -1(x–0) y–1 = -x x+y–1 = 0

z 1 20 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 121 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

6. Sabiendo que el ángulo formado por las rectas L1 y L2 es de 45º y que la pendiente de L1 es

2 , hallar la pendiente 3

de L2.

Solucion Graficando el problema

, entonces:

Como:

m − m1 tg 45° = 2 1 + m1m2 3m2 − 2 3 1= 3 + 2m2 3

⇒ tg 45° =

⇒ 1=

3m2 − 2 = 3 + 2m2

m2 −

2 3

2 1 + m2 3

3m2 − 2 3 ⇒ 1= 3 + 2m2 3

3m2 − 2 ⇒ 3m2 − 2 = 3 + 2m2 3 + 2m2

⇒ m2 = 5

7. Hallar los ángulos interiores del triángulo ABC cuyos vértices son: A(-3; -2), B(2; 5) y C(4; 2).

Solución Hallamos las pendientes de los lados del triángulo ABC. Así:

mAB =

5+ 2 7 = 2+3 5 z 1 21 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 122 - ( )

M AT E M Á T I C A

mBC =

2−5 3 =− 4−2 2

mAc =

2+2 4 = 4+3 7

tgA =

7 −4 mAB − mAC 29 = 5 7 74 = ⇒ 1 + mAB. .mAC 1 + 5 ( 7 ) 63

A = 24.4º

tgB =

− 32 − 75 mBC − mAB 29 = = ⇒ B = 69.2º 7 −3 1 + mBC mAB 1 + ( 2 )( 5 ) 11

tgC =

4 − ( −3 ) mAC − mAB 29 = 7 4 2 −3 = ⇒ C = 86.4º 1 + mAC mAB 1 + ( 7 )( 7 ) 2

8. Los vértices de un triángulo son: A(-2; 1), B(6; 3) y C(2; -3).

Hallar el ángulo formado por la altura y la mediana trazada a partir del vértice A al lado opuesto BC. Solución Graficando el triangulo tenemos:

z 1 22 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 123 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Como el ángulo formado por la altura AH y la mediana AM es α; se tiene: mf = pendiente final

AM

mi= pendiente inicial

AH

como AH ⊥ BC , entonces calculamos la pendiente de BC

mBC =

−3 − 3 −6 3 , por lo tanto m = − 2 = = AH 3 2 − 6 −4 2

Como el punto medio del lado BC es: M(4; 0), entonces la pendiente de AM es:

mAM =

0 −1 −1 1 = =− 4 − (−2) 4 + 2 6

1  2 1 2 −1 + 4 3 3 − −−  − + 6  3 tgα = = 6 3= 6 = 6 = 6 18 + 2 20 10  1  2  1 + 2 1 +  −  −  18 18 18 9  6  3 

3 27 9 tgα = 6 = = 10 60 20 9

tgα =

9 20

 9    20 

α = arc tg 

9. Los puntos medios de los lados del triángulo ABC son M(-1; 1), N(3; 7) y P(7; 1).

Encontrar las coordenadas de los vértices del triángulo ABC. Solucion Graficando el triángulo, tenemos:

z 1 23 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 124 - ( )

M AT E M Á T I C A

A( x; y ), B (m; n), C ( z; t ) como los puntos M, N Sean los vértices del triángulo y P son puntos medios de AB, BC, y AC, respectivamente, entonces las coordenadas de los vértices del triangulo serán: x+m = −1 ⇒ x + m = −2 ...............(1) 2 y+n = 1 ⇒ y + n = 2 .....................(2) 2 m+ z = 3 ⇒ m + z = 6 .....................(3) 2 n+t = 7 ⇒ n + t = 14 .....................(4) 2 x+z = 7 ⇒ x + z = 14 .....................(5) 2 y+t =1 ⇒ 2

y + t = 2 .....................(6)

 x + m = −2  Sistema (1) m + z = 6   x + z = 14 Resolviendo el sistema (1) de ecuaciones, se tiene:

x = 3, m = −5, z = 11 y + n = 2  Sistema (2) n + t = 14 y +t = 2  Resolviendo el sistema (2) de ecuaciones, se tiene:

y = −5, n = 7, t = 7 Luego los vértices del triangulo son:

A(3; −5) B(−5;7) C (11;7)

z 1 24 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 125 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

10. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto P(-2; 3) y cuyo ángulo de inclinación es α = 30º.

Solución Graficando el problema tenemos

la ecuación de la recta conociendo un punto y su pendiente es:

y − y0 = m( x − x0 ) Además se sabe que:

m = tgα

⇒ m = tg 30° ⇒ m =

1 3

Luego, la ecuación de L es:

y − (−3) =

1 ( x − 2) 3

3( y + 3) = ( x − 2) 3y + 3 3 = x − 2 x − 3 y − (2 + 3 3) = 0

11. Encontrar la ecuación de la recta L cuya pendiente “m” es -2 y pasa por el punto P(-1, 4).

Solución Graficando la recta en el plano se tiene:

z 1 25 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 126 - ( )

M AT E M Á T I C A

Sabemos que m = −2 y − y0 = m( x − x0 ) ,

y el punto de paso de la recta es P, entonces se tiene:

remplazando tenemos:

y − 4 = −2( x − (−1)) simplificando

y − 4 = −2( x + 1) ⇒

y − 4 = −2 x − 2 ⇒ 2 x + y − 2 = 0

Por lo tanto, la ecuación de L es:

2x + y − 2 = 0

12. Una recta L intercepta a los ejes coordenados en A(2; 0) y B(0; -5). Hallar la ecuación de la recta L. Solución Graficando la recta L, se tiene:

z 1 26 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 127 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Como se conoce los interceptos con los ejes coordenados, utilizamos la ecuación segmentaria, es decir:

x y + =1 a b x y + = 1 ⇒ 5 x − 2 y = 10 2 −5 Por lo tanto, la ecuación de L es:

5 x − 2 y − 10 = 0

13. Una recta L pasa por el punto P(2; 7) y es perpendicular a otra recta L1 de ecuación 3x – y + 2 = 0. Hallar la ecuación de la recta L. Solución Graficando las rectas en el plano, tenemos:

Como las rectas son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es igual a -1 esdecir: mL .mL = −1 1

Ecuación de

L1 : 3 x − y + 2 = 0 , entonces su pendiente es: mL1 = 3 , por lo tanto la

pendiente de L es: mL = −

1 3

Tenemos punto de paso y pendiente de L, entonces su ecuación es:

1 3

y − y0 = m( x − x0 ) , remplazando tenemos: y − 7 = − ( x − 2) , 3 y − 21 = −1( x − 2) ⇒ 3 y − 21 = − x + 2 ⇒ x + 3 y − 23 = 0 Por lo tanto, la ecuación de L es:

x + 3 y − 23 = 0 z 1 27 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 128 - ( )

M AT E M Á T I C A

14. Los vértices de un triángulo son A(x; y); B(3; -5) y C(6; 10). El punto donde se cortan las medianas es G(1; 3). Hallar: a) Las coordenadas del vértice A. b) El perímetro del triángulo ABC. c) Hallar la longitud de la mediana relativa al vértice B. d) Hallar la ecuación de la recta que lo contiene al lado AB. Solución Graficando el triángulo, tenemos:

a) Hallando las coordenadas del vértice A. sabemos que el punto G (baricentro) está dado por:

 x + 6 + 3 y + 10 − 5  , pero G(1;3) entonces se tiene: G ;  3 3   x+6+3 =1 ∧ 3

y + 10 − 5 =3 3

x+6+3=3 ∧

x = −6 ∧ Por lo tanto

y + 10 − 5 = 9

y=4 A ( −6; 4 ) z 1 28 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 129 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

b) El perímetro del triángulo ABC es:

P=|

| =

Luego:

c) Hallando la longitud de la mediana relativa al vértice B en primer lugar hallamos el punto medio del lado AC.

 −6 + 6 4 + 10   0 14  ; M AC   ⇒ M AC  ;  ⇒ 2   2 2 2 

log Med =

( 3 − 0 ) + ( −5 − 7 ) 2

2

=

( 3) + ( −12 ) 2

M AC ( 0;7 ) 2

= 9 + 144 = 153

log Med = 153 d) Hallando la ecuación de la recta que lo contiene al lado AB Punto de paso puede ser A o B la pendiente es:

mAB =

−5 − 4 −3 − 6

mAB =

−9 = 1 , entonces la ecuación es: −9

9 y + 5 = − ( x − 3) 3 3 y + 15 = −9 x + 27 ⇒ 9 x + 3 y − 12 = 0 Por lo tanto, la ecuación de la recta es:

9 x + 3 y − 12 = 0

z 1 29 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 130 - ( )

M AT E M Á T I C A

15. La recta L, de pendiente positiva, pasa por el punto A(0; 1) formando un ángulo de 45º con la recta L1 de ecuación 3x+2y-1 = 0. Hallar la ecuación de la recta L. Solución Graficando las rectas, tenemos:

Como se conoce la ecuación de L1, entonces su pendiente es: mL1 = − La tg del ángulo que forman las rectas está dado por: tgα =

3 − − mL 2 tg 45° = 3 1 + (− ).mL 2

1=

−3 − 2mL 2 − 3mL

3 − − mL ⇒ 1= 2 3 1 − mL 2

⇒ − 3 − 2mL = 2 − 3mL

−3 − 2mL 2 ⇒ 1= 2 − 3mL 2

⇒ 1=

mL1 − mL

3 2

1 + mL1 .mL

−3 − 2mL 2 − 3mL

⇒ − 3 − 2mL − 2 + 3mL = 0

−3 − 2mL − 2 + 3mL = 0 ⇒ mL = 5 Como L pasa por el punto A(0; 1) y tiene pendiente y–1 = 5(x–0)

mL = 5 ; su ecuación es:

5x–y+1 = 0

16. Los vértices de un triángulo ABC son A(-3; 2), B(-1; 6) y C(7;-8).

Hallar: a) La ecuación de la altura trazada a partir del vértice A. b) La ecuación de la mediana trazada a partir del vértice A. c) El ángulo formado por la altura y la mediana trazada del vértice A.

z 1 30 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Solución Graficando el triángulo, tenemos:

a) Para hallar la ecuación de la altura AH, sabemos que AH es perpendicular a BC. Luego hallamos la pendiente de BC:

mBC =

−8 − 6 14 7 =− =− 7 +1 8 4

Luego, pendiente de AH es:

mAH =

4 7

Luego, la ecuación de la recta que lo contiene a la altura AH es.

4 y − 2 = ( x + 3) ⇒ 7 y − 14 = 4 x + 12 ⇒ 4 x − 7 y + 26 = 0 7 b) Para hallar la mediana hallamos el punto medio de BC.

hallando la pendiente de la mediana AM, tenemos:

−1 − 2 −3 1 = = − , el punto de paso es A(-3; 2) 3+3 6 2 1 y − 2 = − ( x + 3) . Luego la ecuación es: x+2y-1 = 0 2

mAM =

c) El ángulo a formado por AM y AH está dado por:

z 1 31 z

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M AT E M Á T I C A

Problemas propuestos 1. Hallar la distancia entre los pares de puntos cuyas coordenadas son: a. (4; 1), (3; -2)

c. (0; 3), (-4; 1)

e. (2; -6), (2; -2)

b. (-7; 4), (1; -11) d. (-1; -5), (2; -3)

Rpta. a.

b. 17

c.

f. (-3; 1), (3; -1)

d.

e. 4

f.

2. Hallar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son: a. (-2; 5), (4; 3), (7; -2)

c. (2; -5), (-3; 4), (0; -3)

b. (0; 4), (-4; 1), (3; -3)

d. (-1; -2), (4; 2), (-3; 5)

Rpta. a. 23,56

b. 20,67

c. 20,74

d. 21,30

3. Hallar las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos: a. (3; 3), (6; 2), (8; -2) b. (4; 3), (2; 7), (-3; -8) c. (2; 3), (4; -1), (5; 2)

Rpta. a. (-3; 2)

b. (-5; 1)

c. (3; 1)

4. Hallar el punto de abscisa 3 que se halla a 10 unidades del punto A(-3; 6).

Rpta. (3; -2), (3; 14)

5. Hallar las coordenadas de un punto P(x; y) que divida al segmento que determinan P1 (x1; y1) y P2 (x2; y2) en la razón determinada. a. P1 (4; -3), P2 (1; 4); r=2/1. b. P1 (5; 3), P2 (-3; -3); r=1/3 c. P1 (-2; 3), P2 (3; -2); r=2/5

Rpta. a. (2; 5/3)

b. (3; 3/2)

c.(-4/7; 11/7)

6. Hallar las coordenadas del baricentro de los triángulos cuyos vértices son: a. (5; 7), (1; -3), (-5; 1)

z 1 32 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:53 a.m. - 133 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

b. (2; -1), (6; 7), (-4; -3) c. (3; 6), (-5; 2), (7; -6)

Rpta a. (1/3; 5/3)

b. (4/3; 1)

c. (5/3; 2/3)

7. Sabiendo que el punto A(9; 2) divide al segmento que determinan los puntos P(6; 8) y Q(x; y) en la r=3/7, hallar las coordenadas de Q.

Rpta. (16; -12)

8. Hallar las coordenadas de los vértices de un triangulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son A(-2; 1), B(5; 2) y C(2; -3)

Rpta. (1; 6), (9; -2), (-5; -4)

9. Hallar las inclinaciones de las rectas que pasan por los puntos: a. (4; 6) y (1; 3) b. (2;

c. (2; 3) y (1; 4)

) y (1; 0)

d. (3; -2) y (3; 5)

e. (

; 2) y (0; 1)

f. (2; 4) y (-2; 4)

10. Hallar los ángulos interiores de los triángulos cuyos vértices son: a. (3; 2), (5; -4) y (1; -2)

Rpta. 45º, 45º y 90º.

b. (4; 2), (0; 1) y (6; -1)

Rpta. 109º39,2’; 32º28,3’; 37º52,5’

c. (-3; -1), (4; 4) y (-2; 3)

Rpta. 113º29,9’; 40º25,6’; 26º4,5’

11. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1; 5/2) y forma con los ejes coordenados un triángulo de área 5u2

Rpta. 5x+2y = 10

12. Los lados de un triángulo ABC, están contenidos en las ecuaciones: 5x–7y+27 = 0;

9x–2y–15 = 0; y

4x+5y+11 = 0.

Hallar los vértices del triángulo ABC.

Rpta. A(3; 6), B(-4; 1) y C(1; -3)

z 1 33 z

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M AT E M Á T I C A

13. El punto P de ordenada 10, está sobre la recta L cuya pendiente es 3 y pasa por el punto A (7; -2 ). Calcular la abscisa del punto P.

Rpta. abscisa de P, 11

14. Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuación de la recta Ax+By+4 = 0; que pasa por los puntos P1(-3; 1) y P2(1; 6).

Rpta. A=5; B=-4

15. Hallar la ecuación de la recta con los datos que se tiene. a. Si tiene pendiente m = ½, y pasa por el punto P1(-4; 3). b. Si pasa por el punto P1(0; 5) y tiene pendiente m=-2. c. Si pasa por los puntos P1(-2; -3) y P2(4; 2)

Rpta. a) x-20y+10 = 0, b) 2x+y+5 = 0; c) 5x-6y+8 = 0

16. Encontrar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada son 5 y -3 respectivamente.

Rpta. 3x-5y-15 = 0

17. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; -3) y: a. Es paralela a la recta que pasa por los puntos (4; 1) y (-2; 2) b. Si es perpendicular a la recta 2x-3y+6 = 0

Rpta. a) x+6y+16 = 0;

b) 3x+2y = 0

18. Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos (7; 4) y (-1; -2).

Rpta. 4x+3y-15 = 0

19. Si el ángulo de indicación de una recta L es 60º. Hallar la ecuación de L, si pasa por el punto (2; -3) Rpta.

20. Encontrar el valor de k, si ocurre los siguientes casos. a. 3kx+5y+k-2 = 0; pasa por el punto (-1; 4)

z 1 34 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

b. 4x-ky-7 = 0; tenga pendiente m=3; c. Kx–y = 3x-6; tenga abscisa en el origen.

Rpta. a. k=9

b. k=4/3

c. k=-3

21. Hallar las ecuaciones de las rectas de pendiente m = -3/4 que formen con los ejes coordenados un triángulo de área de 24u2

Rpta. 3x+4y–24 = 0

22. En el triángulo de vértices A(-5; 6), B(-1; -4) y C(3; 2), hallar: Las ecuaciones de sus medianas

Rpta. 7x+6y-1 = 0,

x+1 = 0;

x-6y+9 = 0

23. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; 3) y cuya abscisa en el origen es el doble que la ordenada en el origen.

Rpta. x+2y-8 = 0.

24. Hallar el valor de k en la ecuación 2x+3y+k = 0, de forma que dicha recta forme con los ejes coordenados un triángulo de área de 27 unidades de superficie.

Rpta. k= ±18

25. Hallar el valor de k para que la recta de ecuación 2x+3Ky–13 = 0; pase por el punto (-2; 4)

Rpta. k = 17/12

26. Hallar el valor de K para que la recta de ecuación 3x–Ky–8 = 0; forme un ángulo de 45º con la recta 2x+5y–17 = 0

Rpta. k = 7

27. Hallar un punto de la recta de ecuación 3x+y+4 = 0; que equidista de los puntos A(-5; 6) y B(3; 2).

Rpta. (-2; 2)

28. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(1; -6) y cuyo producto de coordenadas en el origen es 1.

Rpta. 9x+y–3 = 0; 4x+y+2 = 0.

z 1 35 z

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M AT E M Á T I C A

La circunferencia Definición Es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante del centro a cualquier punto equidistante se llama radio.

Graficamente:

Ecuaciones de la circunferencia Si C(h;k) es el centro de la circunferencia y r el radio, P(x;y) un punto cualquiera de la circunferencia, entonces por distancia entre dos puntos se tiene:

d ( C ; P ) = ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 Pero d ( C ; P ) = r , entonces tenemos:

A esta ecuación se le llama forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia.

Si el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas y el radio es r;

z 1 36 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

la circunferencia tendrá por ecuación:

2

x + y =r 2

2

A esta ecuación se le conoce como ecuación canónica de la circunferencia.

Para hallar la ecuación de una circunferencia es necesario conocer el centro y el radio.

Forma general de la ecuación de la circunferencia Sabemos que la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria está dada por: , centro (h;k) y radio r; desarrollando la expresión se tiene:

; lo que podemos escribir así:

Donde: D = −2h

E = −2k

F = h2 + k 2 − r 2  − D − E  y el radio ;   2 2 

Entonces el centro de la circunferencia es: C 

r 2 = h2 + k 2 − F

Ejemplo 1 Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyos extremos de su diámetro son: A(-2;7) y B(4;1) Solución Graficamos la circunferencia

El centro C(h,k) de la circunferencia está en el punto medio del diámetro AB, entonces, aplicando la nocion de punto medio, tenemos:

−2 + 4 =h ∧ 2

7 +1 = k ⇒ − 2 + 4 = 2h ∧ 7 + 1 = 2k 2 z 1 37 z

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M AT E M Á T I C A

2 = 2h ∧ 8 = 2k ⇒ h = 1 ∧ k = 4

∴ C (1; 4) El radio es la distancia entre los puntos C y A es decir: puntos, tenemos:

r = CA .

Por distancia entre

r = (−2 − 1) 2 + (7 − 4) 2 = 9 + 9 ⇒ r = 3 2 Luego la ecuación es: Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en (-4;-1) y tangente a la recta L de ecuacion 3x + 2y – 12 = 0.

Solución Graficando tenemos:

Hallamos el radio de la circunferencia una recta:

r=

Ax1 + By1 + C A +B 2

2

=

3(−4) + 2(−1) − 12 3 +2 2

2

=

r = CP , utilizando la distancia de un punto a −12 − 2 − 12 −26 26 26 13 = = = 13 9+4 13 13

r = 2 13 La ecuación de la circunferencia es: ( x + 4) 2 + ( y + 1) 2 = (2 13) 2 simplificando

z 1 38 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Ejemplo 3 Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje x y pasa por los puntos A(1;3) y B(4;6).

Solución Graficando la circunferencia tenemos:

Observamos que la distancia de CA es igual a la distancia CB, es decir:

(h − 1) 2 + (3) 2 = (h − 4) 2 + (6) 2

⇒

(

dCA = dCB

2 2 2 2

(h − 1) + 9

) =(

(h − 4) + 36

)

(h − 1) 2 + 9 = (h − 4) 2 + 36 ⇒ h 2 − 2h + 1 + 9 = h 2 − 8h + 16 + 36

−2h + 10 = −8h + 52 ⇒ 8h − 2h = 52 − 10 ⇒ 6h = 42 ⇒ h = 7 Por lo tanto, el centro de la circunferencia es C(7; 0) Hallamos el radio de la circunferencia por distancia entre dos puntos, es decir:

dCA = r = (7 − 1) 2 + 9 = 62 + 9 = 36 + 9 = 45 Luego la ecuación de la circunferencia es: ( x − 7) + ( y − 0) = 2

2

(

45

)

2

Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la circunferencia de radio r=13 que pasa por el origen de coordenadas y tiene como centro el punto C(-12;k).

Solución z 1 39 z

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M AT E M Á T I C A

(

)

2

Su ecuación es de la forma: ( x − h) + y − k = r porque tenemos centro y radio, pero la circunferencia pasa por el origen de coordenadas es decir por O(0;0).

2

2

Entonces se tiene:

(0 − (−12)) 2 + ( 0 − k ) = (13)

2

144 + ( k ) = 169 ⇒

= 169 − 144 ⇒

2

2

(k )

2

⇒ (12) 2 + ( k ) = (13) 2

(k )

Luego la ecuación es: (x+12)2 + (y-5)2 = 169

2

2

⇒ 144 + ( k ) = 169 2

= 25 ⇒ k = ± 25 , k = ±5 o (x+12)2 + (y+5)2 = 169

Ejemplo 5 Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-3;3) y B(1;4) sabiendo que el centro está sobre la recta L de ecuación 3x+2y–23 = 0.

Solución Graficando la circundferencia tenemos:

Sea el centro de la circunferencia el punto C(h;k), entonces:

(h + 3) 2 + (k − 3) 2 = (h − 1) 2 + (k − 4) 2

dCA = dCB , es decir:

⇒ h 2 + 6h + 9 + k 2 − 6k + 9 = h 2 − 2h + 1 + k 2 − 8k + 16

h 2 + 6h + k 2 − 6k + 18 = h 2 − 2h + k 2 − 8k + 17 ⇒ 6h − 6k + 18 = −2h − 8k + 17 8h + 2k = −1 Como el centro C(h, k) pertenece a la recta L: 3x + 2y – 23 = 0, entonces tenemos:

3h + 2k = 23 Resolviendo las ecuaciones 8h + 2k = −1 y 3h + 2k = 23 , simultáneamente, obtenemos: z 1 40 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

h=−

24 5

∧ k=

187 , entonces 10

 24 187  C− ;   5 10  2

donde el radio r = 2

 29   −147  r =   +   5   10  r=

24973 100

(1 +

24 2 187 2  5 + 24   40 − 187  ) + (4 − ) =   +  5 10  5   10 

2

⇒ r=

841 21609 + 25 100

⇒ r=

2

3364 + 21609 100

⇒ r = 15.8

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:

(x +

24 2 187 2 24973 ) + (y − ) = 5 10 100

Ejemplo 6 Hallar la grafica y la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(-2;3) y es 2 2 concéntrica a la circunferencia cuya ecuación es x + y − 6 x + 4 y + 5 = 0 Solución Para Graficar las circunferencias, como son concéntricas, tienen el mismo centro, entonces, de la ecuación conocida, hallamos el centro de las circunferencias completando cuadrados.

x2 − 6x + y 2 + 4 y + 5 = 0

(x

2

⇒

(x

2

− 6 x ) + ( y 2 + 4 y ) = −5

− 6 x + 9 ) + ( y 2 + 4 y + 4 ) = −5 + 9 + 4 ⇒

( x − 3) + ( y + 2 ) 2

Entonces, el centro de las circunferencias es C (3; −2)

z 1 41 z

2

=8

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M AT E M Á T I C A

Luego, el radio de la circunferencia es:

r = (3 + 2) 2 + (−2 − 5) 2 = 25 + 49 = 74 La ecuación es:

( x − 3) 2 + ( y + 2) 2 =

(

74

)

2

⇒ ( x − 3) 2 + ( y + 2) 2 = 74

Ejemplo 7 Hallar la ecuación de la circunferencia C1, de radio igual a 5 y que es tangente a la circunferencia C2 de ecuación x2 + y2 = 100 en el punto P(6;-8) Solución Graficando la Circunferencia “C2” para lo cual calculamos el centro y el radio dando la forma canónica de la ecuación de la circunferencia x2 + y2 = 102 C(0;0)

r = 10

Para hallar las coordenadas de C1(h;k) que es el centro de la circunferencia C1 por división del segmento C2C1 por el punto P(6;-8) en la razón =

razon =

10 5

la razón es:

razon = 2

por lo tanto C1 es :

, igualando componentes con el punto

P se tiene:

0 + 2h =6 3

2h = 18

h=9

Ù

Ù

Ù

C2 P r2 = se tiene PC1 r1

0 + 2k = -8 3

2k = -24

k = -12 z 1 42 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

C1( 9;-12 ), r=5 ecuación de la circunferencia C1 es:

2

2

2

( x - 9) + ( y +12) = (5)

efectuando

tenemos: x2 + y2 – 18x + 24y + 200 = 0 Ejemplo 8 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0;3), B(-1;0) y C(2;3) Solución Si x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 es la ecuación general de la circunferencia entonces se tiene: C

Si A(0;2) Si B(-1;0)

C

Si C(2;3)

C

02 + 32 + D(0) + E(3) + F = 0, (-1)2 + 02 + D(-1) + E(0) + F = 0, 22 + 32 + D(2) + E(3) + F = 0,

3E + F = - 9 D-F=1 2D + 3E + F = - 13

Resolviendo las tres últimas ecuaciones se obtiene: D = -2,

E = -2, F = - 3, por lo tanto la ecuación de la circunferencia es: x2 + y2 - 2x - 2y - 3 = 0

Ejemplo 9 Hallar la ecuación de una circunferencia de radio r=1 y de centro en el primer cuadrante que sea tangente a las rectas L1: 3x-4y = 0; y L2: 4x-3y = 0 Solución Graficando:

z 1 43 z

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M AT E M Á T I C A

L1, si x=0 Si x=4

y=0 y=3

L2, si x=0

y=0

Si x=3

Del gráfico, tenemos que:

y=4

dCM = dCN

por ser C el centro de la Circunferencia.

Utilizando distancia de punto a recta, se tiene:

dCM = 4h - 3k 2

2

4 +3

1=

4h - 3k 5

4h - 3k = 5

3h - 4k 3h - 4k = 5 5 32 + 42 Por lo tanto, se tiene: 4h - 3k = 3h - 4k aplicando valor absoluto:

dCN = 3h - 4k

4h-3k = 3h-4k 4h-3h = -4k+3k h=-k

1=

4h-3k = -3h+4k 4h+3h = 4k+3k

7h=7k

h=k No porque el centro de la circunferencia es del 1° cuadrante.

Si “h” es igual a “k” se tiene:

4h - 3h = 5

h =5

h=5 y k=5 2

2

C(5;5) y r=1, por lo tanto la ecuación es: ( x - 5) + ( y - 5) = 1 Ejemplo 10 La recta “L” tiene un ángulo de inclinación de 135° y pasa por el centro de la circunferencia cuya ecuación es x2+(y-2)2-9 = 0, hallar la ecuación de la recta “L” en forma general.

Solución

z 1 44 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:54 a.m. - 145 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Hallando el centro de la circunferencia: (x+0)2 + (y-2)2 = 32 C(0;2), r=3 Como tg 135° = -tg 45°

m = -tg 45°

m=-1 y el punto

de paso es: C(0;2), por lo tanto, la ecuación de la recta L es: y-2 = -1(x-0)

y-2 = -x

x+y-2 = 0 Ejemplo 11 Hallar la ecuación de la circunferencia en forma general que es tangente a las rectas L1: x+y+4 = 0, y L2: 7x–y+4 = 0, si su centro se halla en la recta L3: 4x+3y–2 = 0 Solución

Se sabe que CM = CN , por definición de distancia de punto a recta, se tiene:

h+k +4

(1) + (1) 2

2

=

h+k +4

7h − k + 4

( 7 ) + (1) 2

2

2

=

7h − k + 4 50

h+k +4 2

5 h + k + 4 = 7 h − k + 4 , por propiedad de valor absoluto se tiene: z 1 45 z

=

7h − k + 4 5 2

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5 ( h + k + 4 ) = ( 7h − k + 4 ) ∨ 5 ( h + k + 4 ) = − ( 7h − k + 4 ) 5h + 5k + 20 = 7 h − k + 4 ∨ 5h + 5k + 20 = −7 h + k − 4 −2h + 6k + 16 = 0 ∨ 12h + 4k + 24 = 0 h − 3k − 8 = 0..... (1) ∨ 3k + k + 6 = 0..... ( 2 ) Como el centro (h;k) pertenece a la recta L3: 4x+3y–2 = 0, se tiene la siguiente ecuación 4h + 3k − 2 = 0 ….. ( 3) Resolviendo ecuaciones

( 2 ) y ( 3)

(1) y ( 3)

3h + k + 6 = 0 ( −3)

h − 3k − 8 = 0

∨

4h + 3k − 2 = 0

∨

h − 3k − 8 = 0 4h + 3k − 2 = 0

∨ − 9h − 3k − 18 = 0 ∨

5h + 0 − 10 = 0 5h–10 = 0

4h + 3k − 2 = 0 4h + 3k − 2 = 0 −5h + 0 − 20 = 0

-5h–20 = 0

5h=10

5h=-20

h=2

h=-4

k=–2

k=6

C1(2;-2)

C2(-4;6)

Para calcular el radio de la circunferencia utilizamos la distancia de punto a recta:

dCM =

dCM = dCM =

2−2+4 2

4

∨ dCM =

∨ dCM =

2 4 2 2

dCM = 2 2

∨ dCM =

−4 + 6 + 4 2

6 2 6 2 2

∨ dCM = 3 2

Luego la ecuación de la circunferencia es:

C1 : ( x − 2 ) + ( y + 2 ) = 8 ∨ C2 : ( x + 4 ) + ( y − 6 ) = 18 2

2

2

z 1 46 z

2

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Problemas propuestos 1. Hallar la ecuación de la circunferencia. a. De centro el punto (3;-1) y radio 5.

Rpta. b. De centro el punto (0;5) y radio 5.

Rpta. c. De centro el punto (-4;2) y diámetro 8.

Rpta.

x +y 2

2

+ 8x − 4 y + 4 = 0

d. De centro el punto (4;-1) y que pase por (-1;3).

Rpta. e. De diámetro el segmento que une los puntos (-3;5) y (7;-3).

Rpta. f. De centro el punto (-4;3) y que sea tangente al eje y.

Rpta.

x +y 2

2

+ 8x − 6 y + 9 = 0

g. De centro el punto (3;-4) y que pasa por el origen.

Rpta.

x +y 2

2

− 6x + 8 y = 0

h. De centro el origen y que pase por el punto (6;0).

Rpta. i. Que sea tangente a los dos ejes de coordenadas de radio r=8 y cuyo centro esté en el primer cuadrante.

Rpta. j. Que pase por el origen, de radio r=10 y cuya abscisa de su centro sea -6.

Rpta.

z 1 47 z

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2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos. a. (4;5), (3;-2) y (1;-4) Rpta. b. (8;-2), (6;2) y (3;-7) Rpta. c. (1;1), (1;3) y (9;2) Rpta.

3. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados. a. x–y+2 = 0, 2x+3y–1 = 0, y 4x+y–17 = 0 Rpta. b. x+2y–5 = 0, 2x+y–7 = 0, y x–y+1 = 0 Rpta. c. 3x+2y–13 = 0, x+2y–3 =0, y x+y–5 = 0 Rpta.

4. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-1;-3) que sea tangente a la recta que une los puntos (-2;4) y (2;1).

Rpta.

5. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esté en el eje x, que pase por los puntos (-2;3) y (4;5).

Rpta.

6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1;-4) y (5;2) y que tiene su centro en la recta x–2y+9 = 0.

Rpta.

7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-3;2) y (4;1) y sea tangente al eje x.

Rpta.

z 1 48 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

8. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2;3) y (3;6) y sea tangente a la recta 2x+y–2 = 0.

Rpta.

9. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (11;2) y sea tangente a la recta 2x+3y–18 = 0 en el punto (3;4).

Rpta.

10. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 10 que sea tangente a la recta 3x–4y–13 = 0 en el punto (7;2).

Rpta.

La parábola Definición Es el conjunto de puntos del plano que equidistan de una recta fija y de un punto fijo que no está en dicha recta. El punto fijo se llama Foco de la parábola y la recta fija se llama directriz de la parábola.

Gráficamente:

z 1 49 z

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Elementos de la parábola

1.Eje Focal Es la recta perpendicular a la directriz y pasa por el foco (MM¢).

2.Vértice Es el punto de intersección de la parábola con el eje Focal(V).

3.Cuerda Es el segmento que une dos puntos de la parábola (SW).

4.Cuerda Focal Es la cuerda que pasa por el foco (HT).

5.Lado Recto Es la cuerda focal perpendicular al eje Focal (LR).

6.Excentricidad Es la relación de:

z 1 50 z

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Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje, el eje x La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje, el eje x o eje de las abscisas es:

y 2 = 4 px

En el gráfico, se tiene: las coordenadas del foco es: F(p;0), del vértice es V(0;0), de un punto de la parábola es: P(x;y), ecuación de la directriz es: x= -p, por lo tanto: Si p>0, la parábola se abre hacia la derecha Si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda.

La longitud del lado recto es: LR = 4 p

Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje, el eje y La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje, el eje y o eje de las ordenadas es:

x 2 = 4 py

z 1 51 z

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En el gráfico, se tiene: las coordenadas del foco es: F(0;p), del vértice es V(0;0), de un punto de la parábola es: P(x;y), ecuación de la directriz es: y=-p, por lo tanto: Si p>0, la parábola se abre hacia arriba.

Si p<0, la parábola se abre hacia abajo.

La longitud del lado recto es: LR = 4 p NOTA Para hallar la ecuación de una parábola de vértice en el origen, basta conocer el valor de p, es decir la distancia del vértice al foco.

Ecuación de la parábola con eje paralelo al eje x

Sea el vértice V(h;k) y p la distancia dirigida VF, entonces F(h+p;k), y x=h–p la ecuación de la directriz, por definición de parábola se tiene: PF = PD , por lo tanto

PF = PD

 x − ( h + p )  + ( y − k ) 2 = x − (h − p ) 2

2

2 2 ⇒   x − ( h + p )  + ( y − k ) 2  = x − (h − p )  

2 2  x − ( h + p )  + ( y − k ) 2 = x − (h − p ) , desarrollando y simplificando se obtiene:

(y −k)

2

= 4 p ( x − h)

Llamada ecuación de la parábola en forma ordinaria NOTA Se debe tener en cuenta que: z 1 52 z

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Si p>0; la parábola se abre hacia la derecha.

Si p<0; la parábola se abre hacia la izquierda.

La longitud de su lado recto será LR=4p.

El foco será F(h±p;k) La ecuación de la directriz será: x=h±p.

Ecuación de la parábola con eje paralelo al eje y

Sea el vértice V(h;k) y p la distancia dirigida VF, entonces F(h;k+p), e y=k–p la ecuación de la directriz, por definición de parábola se tiene: PF = PD , por lo tanto

PF = PD

( x − h) 2 +  y − ( k + p )  = y − (k − p ) 2

2

2 2 ⇒  ( x − h) 2 +  y − ( k + p )   = y − (k − p )  

( x − h) 2 +  y − ( k + p )  = y − (k − p ) , desarrollando y simplificando se obtiene: 2

( x − h)

2

2

= 4 p( y − k )

NOTA Se debe tener en cuenta que: z 1 53 z

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Si p>0; la parábola se abre hacia arriba.

Si p<0; la parábola se abre hacia abajo.

La longitud de su lado recto será LR=4p.

El foco será F(h;k ± p).

La ecuación de la directriz será: y=k±p.

Para hallar la ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y eje focal paralelo a un eje coordenado, basta conocer su vértice (h,k) y el valor de p=VF.

Ecuación general de la parábola Teniendo en cuenta las ecuaciones ordinarias de la parábola, obtendremos la ecuación general, así: Para la parábola de eje focal, paralela al eje x, se obtuvo desarrollando la ecuación de la forma:

( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) efectuando y ordenando, se tiene: , en general escribiremos:

Para la parábola de eje focal paralela al eje y, cuya ecuación es

( x − h) 2 = 4 p ( y − k ) efectuando y ordenando, se tiene: , en general escribiremos:

Ejemplo 1 Sea la parábola con vértice en el origen. a) Hallar la ecuación de la parábola si tiene foco en F(2;0).

z 1 54 z

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b) Hallar la ecuación de la parábola; la ecuación de su directriz, si su foco de la parábola es el punto F(0;-3). c) Hallar la ecuación de la parábola si su directriz es y=-2.

Solución

a) Para este caso, la ecuación de la parábola es:

y 2 = 4 px ; como p=2; entonces la ecuación será:

y 2 = 8x b) Para este caso, la ecuación de la parábola es: x = 4 py , como p=-3 (se abre hacia abajo), su ecuación es: 2

x 2 = 4(−3) y

x2=-12y

La ecuación de la directriz

D es: y=3

z 1 55 z

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c) Su ecuación es de la forma: x = 4 py 2

como p=|VF|=|FM| = 2 con p>0; su ecuación es:

x 2 = 4(2) y

;

x2 = 8y

Ejemplo 2 La ecuación de una parábola es: directriz. Trazar la parábola.

, encontrar su vértice, foco y

Solución

, ordenando y completando cuadraComo la ecuación general es: dos, escribimos: (sumando a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente 6)

z 1 56 z

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El vértice es r(-3;1), h=-3; k=1 4p=8; p=8/4

p=2

Su foco es: F(h;k+p) = (-3;1+2) F (-3;3) Ecuación de la directriz es y=k-|p| y= 1–2;

y=-1

Ejemplo 3 Hallar la ecuación de la parábola de foco (1;1) y directriz y–3=0.

Solución

El vértice V es el punto medio entre el foco F y la directriz

D: V(1;2)

Su ecuación es de la forma:

( x − h) 2 = 4 p ( y − k ) , donde h=1, k=2; p=|VF|=1, como la parábola se abre hacia abajo p<0; luego p = -1, entonces, la ecuación será:

z 1 57 z

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Ejemplo 4 Encontrar la ecuación de la parábola de eje focal paralelo al eje x, y que pasa por los puntos (0;0), (8;-4) y (3;1).

Solución

Como los puntos dados están sobre la parábola, sus coordenadas satisfacen la ecuación de la parábola cuya forma general es: Si pasa por (0;0)

F=0 ……(1)

Si pasa por (3;1)

1+3D+1E+F = 0; o sea, 3D+E+F = -1 ……(2)

Si pasa por (8;-4)

16+8D-4E+F = 0; o sea, 8D-4E+F = -16 …...(3)

Resolviendo las ecuaciones (1), (2) y (3) se tiene que: F= 0; D= -1; E= 2.

La ecuación es:

y2 − x + 2y = 0

Ejemplo 5 Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el punto (4;-1), eje la recta y+1 = 0 y que pasa por el punto P(3;-3).

Solución

z 1 58 z

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Como la parábola tiene eje paralelo al eje x; su ecuación es de la forma:

( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) , donde: h=4; k=-1; entonces, se tiene:

( y + 1) 2 = 4 p ( x − 4) …….(α)

Como pasa por (3;-3) podemos escribir (α) así: (3 + 1) 2 = 4 p (−3 − 4) 16 = -28p;

p= −

 4 ( x − 4 )  7

4.

7

Luego, la ecuación es: ( y + 1) 2 = 4 −

Ejemplo 6 La directriz de una parábola es la recta y–1=0 y su foco es el punto (4;-3). Hallar la ecuación de la parábola y la longitud de su lado recto.

Solución Según los datos el eje focal es vertical y pasa por el foco F(4;-3) y perpendicular a ; o sea V(4;-1). Por lo tanto, la ecuación la recta y=1. El vértice es el punto medio de de la parábola es:

( x − h) 2 = 4 p ( y − k )

⇒

|p| = |VF|

|p| = |-1-(-3)| = 2.

( x − 4) = 4 p ( y + 1) 2

Como la parábola se abre hacia abajo p<0

p=-2 Luego la ecuación es:

Problemas propuestos 1. Hallar las coordenadas del foco, la longitud del lado recto y la ecuación de la directriz de las parábolas siguientes. Represéntelas gráficamente. a.

y 2 = 6x Rpta. (3/2;0), 6; x+3/2=0.

b.

x2 = 8y Rpta. (0;2), 4/3; y+2=0. z 1 59 z

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c.

3 y 2 = −4 x Rpta. (-1/3;0), 4/3; x-1/3=0.

2. Hallar la ecuación de las parábolas siguientes: a. Foco (3;0), directriz x+3 = 0.

Rpta. b. Foco (0,6), directriz l eje x.

Rpta. c. Vértice el origen, el eje de coordenadas x, y que pase por (3;6).

Rpta.

3. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo (-2;3) sea igual a su distancia a la recta x+6 = 0.

Rpta.

4. Hallar la ecuación de la parábola de foco al punto (-2;-1) y cuyo lado recto es el segmento entre los puntos (-2;2) y (-2;-4).

Rpta.

;

y 2 + 2 y + 6x + 4 = 0

5. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (-2;3) y foco (1;3) Rpta.

6. Dadas las parábolas siguientes, calcular: a) las coordenadas del vértice; b) las coordenadas del foco; c) la longitud del lado recto y d) la ecuación de la directriz.

1.

2.

y 2 − 4 y + 6x − 8 = 0 Rpta. a) (2;2); b) (1/2;2); c) 6; d) x-7/2=0

3x 2 − 9 x − 5 y − 2 = 0 Rpta. a) (3/2;-7/4); b) (3/2;-4/3); c) 5/3

3.

Rpta. a) (3/2, 2); b) (3,2); c) 6; d) x = 0

z 1 60 z

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7. Hallar la ecuación de una parábola cuyo eje sea paralelo al eje x; y pase por los puntos (3;3), (6;5) y (6;-3).

Rpta.

y

2

− 2 y − 4x + 9 = 0

8. Hallar la ecuación de una parábola de eje vertical y que pase por los puntos (4;5), (-2;11) y (-4;21).

Rpta.

9. Hallar la ecuación de una parábola cuyo vértice esté sobre la recta 2y-3x = 0, que su eje sea paralelo al de coordenadas x, y que pase por los puntos (3;5) y (6;-1).

Rpta.

;

10. Hallar la abscisa del punto medio de la cuerda focal de la parábola paralela a la recta 3x+4y = 7.

que es

Rpta. 3

11. Hallar la longitud del radio parábola 3 y + 4 x = 0 cuya ordenada es 2.

2

Rpta. 10/3

12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el extremo derecho del lado recto de la 2 parábola x = 8 y y por el punto de intersección de la directriz con el eje de la parábola.

Rpta. x–y–2 = 0.

13. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje horizontal y que pasa por A (-3;6).

Rpta.

14. La recta 4x+5=0 es la directriz de una parábola de foco F(-3/4;4). Hallar la ecuación de la parábola.

Rpta.

15. Hallar la ecuación de la parábola de eje horizontal que pasa por los puntos A(1,2); B(5;3) y R(11;4).

Rpta.

y2 − x − y −1 = 0

16. Hallar la ecuación de una parábola de directriz horizontal, foco F(2;1) y vértice sobre la recta 3x+7y+1 = 0.

Rpta.

( x − 2) 2 = 8( y + 1) z 1 61 z

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17. Si la directriz de una parábola es 3x–4y+5 = 0 y su foco F(6;2), hallar la distancia del vértice a la directriz.

Rpta. 3/2 18. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el vértice de la parábola

y 2 − 2 y − 4 x − 7 = 0 y que pasa por los extremos de su lado recto.

Rpta. x + y + 4 x − 2 y = 0 2

2

19. Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (4;-2) y (-2;4) si la tangente a la parábola en su vértice es la recta y+4 = 0.

Resp.

x 2 − 4x − 2 y − 4 = 0

;

La elipse Definición Elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de las distancias de un punto cualquiera de la curva a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos.

Es decir: PF1 + PF2 = 2a Siendo P un punto cualquiera de la curva y los puntos F1 y F2 los puntos fijos llamados focos, y 2a un número real positivo (distancia entre los vértices).

z 1 62 z

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Elementos de la elipse

L1 y L2 = Directrices F1 F2 = Dis tan cia Focal = 2c

o = centro DD1 = Diametro

PF1 y PF2 = Radios vectores de P

a 2 = b2 + c2 Excentricidad : e =

c a

V1V2 = Eje mayor = 2a L = Eje Focal

Y1 = eje normal â&#x160;Ľ X 1 EE1 = Cuerda Focal

Lado recto : LR =

2b 2 a

B1 B2 = Eje menor = 2b V1V2 = Vertices

GG1 = Cuerda B1 B2 = Extremos del eje menor

LR = lado recto

z 1 63 z

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Ecuaciones de la elipse Ecuación de la elipse de centro en el origen y eje focal un eje coordenado

a) Si la elipse tiene eje focal el eje x

Sean los dos puntos fijos F(c;0) y F1(-c;0) y 2a la suma constante (a>c). Considere un punto tal como P(x;y) que pertenezca al lugar. Por definición. |F1P + PF| = 2a Es decir; O bien; Elevando al cuadrado simplificando y ordenando, se tiene:

(a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ) Dividiendo por a 2 (a 2 − c 2 ) , se obtiene la ecuación

x2 y2 + =1 a2 a2 − c2 Como a>c;

a 2 − c 2 es positivo. Haciendo a 2 − c 2 = b 2

resulta la ecuación de la elipse en la forma:

x2 y2 + =1 a2 b2 Ecuación que representa a la elipse con centro en el origen y eje focal el eje x. donde la excentricidad

x=±

a2 c

e=

y lado recto:

c y las ecuaciones de las directrices están dadas por: a ; eje mayor: VV1 = 2a ; eje menor: AA1 = 2b

z 1 64 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:54 a.m. - 165 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

b) Si la elipse tiene eje focal en el eje y

Sean los focos los puntos F(0;c) y F1(0;-c) y un punto cualquiera de la curva, tal como P(x,y), el eje mayor estaría sobre el eje Y, en forma similar al caso anterior, |PF1 + PF| = 2a Es decir; O bien; Elevando al cuadrado, simplificando y ordenando, se tiene:

(a − c ) y + a x = a (a − c ) 2

2

2

2

2

2

2

2

resolviendo y ordenando resulta la ecuación : 2

2

x y + 2 =1 2 b a Cuya ecuación representa cuando la elipse tiene centro en el origen y el eje focal el eje Y P(x;y) con excentricidad:

e=

c a

Ecuaciones de sus directrices: y el Lado Recto:

z 1 65 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:54 a.m. - 166 - ( )

M AT E M Á T I C A

Ecuación de la elipse con centro en un punto (h,k) del plano y eje focal paralelo a un eje coordenado a) Si el eje focal es paralelo al eje x La ecuación es:

donde los vértices son: V1(h-a;k) y V(h+a;k) y los focos F1(h-c;k) y F(h+c;k). La ecuación de la directriz es:

b) Si el eje focal es paralelo al eje y La ecuación es:

z 1 66 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:54 a.m. - 167 - ( )

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donde los vértices son: V1(h;k-a) y V(h;k+a) y los focos F1(h;k-C) y F(h;k+c), la ecuación de la directriz es,

y=k±

a2 c

Ecuación general de la elipse Desarrollando cualquiera de las ecuaciones ordinarias de la elipse, se obtiene la siguiente expresión general:

llamada ecuación general de la elipse donde A y B son diferentes, pero del mismo signo. Si A<B, la elipse tiene eje focal paralelo al eje x.

Si A>B, la elipse tiene eje focal paralelo al eje y.

Ejemplo 1 Encontrar la ecuación de la elipse con centro en el origen; si uno de los focos es F1(0; 3) y excentricidad e = ½. Además hallar las ecuaciones de sus directrices.

Solución

Como F1(0;3), entonces OF1=c=3; además como entonces;

a=6.

z 1 67 z

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M AT E M Á T I C A

Luego los vértices son V(0;±6) Así mismo, se sabe que:

b2 = a2 − c2

Como la ecuación es de la forma:

; se tiene la ecuación encontrada:

cuyas ecuaciones de sus directrices son:

Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la elipse con vértices en V1(4;0) y V2(-4;0) y focos F1(3;0) y F2(-3;0).

Solución

Con los datos que se tiene, la ecuación es de la forma: ; donde: a=4; y c=3 Como:

=16-9 b 2 = a 2 − c 2 ⇒ b b2 2= 16 − 9

b2=7

Luego la ecuación es:

Ejemplo 3 Encontrar la ecuación de una elipse de centro en el origen si el eje menor coincide con el eje x y pasa por el punto , sabiendo que la longitud del eje mayor es el doble de la de su eje menor.

z 1 68 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Solución

La ecuación es de la forma: como pasa por

;

Como a= 2b, se tiene:

7 + 9 = 4b 2 donde a=2(2);

b 2 = 4;

; b=2

a=4

Luego la ecuación es:

Ejemplo 4 Encontrar los vértices, focos, longitudes de su eje mayor, menor y de su lado recto; su excentricidad y las ecuaciones de sus directrices si la ecuación es: Solución

z 1 69 z

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M AT E M Á T I C A

De la ecuación: Dividiendo entre 36, se tiene:

a2 = 9

a=3

b2 = 4

b=2

Como: b2 = a2 – c2 donde

x2 y2 + = 1 ; de esta ecuación, se deduce que: 9 4

c2 = a2 – b2

c2 =9-4 Luego, los vértices son: V1(3;0) y V2(-3;0) Los focos: F1

(

5 ,0

) y F (−

Eje Mayor: 2a=2(3)=6

2

5 ,0

)

Eje Menor: 2b=2(2)=4

Lado recto

c 5 ⇒e= a 3 a2 Ecuaciones de sus directrices: x = ± c 9 9 5 x=± ⇒x=± 5 5 Excentricidad:

e=

Ejemplo 5 Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos, las longitudes de sus ejes y las ecuaciones de sus directrices, sabiendo que sus vértices son (-3;7) y (-3;-1), sabiendo que su lado recto es 2.

Solución

z 1 70 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

El centro es el punto medio de los vértices: O (-3,3), la ecuación es de la forma:

( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 b2 a2

Donde, h=-3 y k=7 Longitud eje mayor: 2a = V1V2=

7 − (−1) = 8 ,

a = 4

Como: Luego la ecuación es:

Como F1F2 = 2c Sabemos que

b2 = a2 − c2 ;

c2 = a2 − b2 c=2 3

Luego los focos son F1(0; 2

3)

y F2(0;- 2

3)

Ecuaciones de sus directrices:

y=k±

a2 c

;

y = 3±

8 3 3

Ejemplo 6 La ecuación general de una elipse es . Hallar las coordenadas del centro, vértices, focos, longitudes de sus ejes, de su lado recto, su excentricidad y las ecuaciones de sus directrices.

Solución Como la ecuación es: Transformamos a su forma ordinaria, ordenando y completando cuadrados, del siguiente modo:

(x (x

2 2

) ( ) + 2 x + 1) + 4(y − 3 y + 9 ) = −6 + 1 + 9 4

+ 2 x + 4 y 2 − 3 y = −6 2

( x + 1) + 4( y − 2 ) = 4

3 2

( x + 1) 2 ( y − 32 ) + =1 4 1 2

z 1 71 z

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M AT E M Á T I C A

Donde:

a 2 = 4; a = 2 b 2 = 1; b = 1 c 2 = a 2 − b 2 ; c 2 = 3; c = 3

Luego: Centro O(-1;3/2) Vértices: V1(-1+a;3/2); V1(1;3/2) Focos: F1(-1+c;3/2);

F1(-1+

Eje Mayor: 2a=2(2)=4

;3/2)

V2(-1-a;3/2);

V2(-3;3/2)

F2(-1-c;3/2);

F2(-1-

;3/2)

Eje Menor: 2b=2(1)=2

Lado Recto: Excentricidad:

c e= ; a

e=

3 2

Ecuaciones de sus directrices:

y=k±

a2 ; c

y=

3 4 ± ; 2 3

y=

3 4 3 ± 2 3

Ejemplo 7 Hallar el área del polígono cuyos vértices son los extremos de los lados rectos de la cónica Solución

Completando cuadrados se tiene: de donde:

z 1 72 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

que representa una elipse de eje x=3 y centro (3;-4), donde a=5 y b=3; , esto es c=4

asimismo: , como:

Área entonces:

A=

= LR = 18/5;

=2c; 2c=8

144 2 u 5

Ejemplo 8 Hallar la ecuación de la elipse cuyo eje mayor de longitud 6, está sobre la recta 2x–y = 0, y cuyo eje menor de longitud 4 está sobre la recta x+2y = 0.

Solución Representando las rectas R: 2x–y= 0 y S: x+2y = 0 como mR=2 y mS=-1/2, entonces R es perpendicular a S, y constituyen un sistema de coordenadas: R o S en el cual la ecuación de la elipse será:

r

2

9

+

s

2

4

= 1.....(1)

Ahora, si P(x;y) es un punto de la elipse, entonces:

s = d ( P, R ) =

2 x − y , de donde: 5

s2 = 1/5(4x2 + 4xy + y2)

r = d ( P, S ) =

x + 2 y , de donde: 5

, sustituyendo en (1) resulta:

Suprimiendo denominadores y simplificando, se obtiene la ecuación:

z 1 73 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:54 a.m. - 174 - ( )

M AT E M Á T I C A

Ejemplo 9 Un arco tiene la forma de una semielipse de eje mayor igual 48u. y 20u. de semieje menor. Cuál será el ancho que tendrá la elipse para una altura de 10 unidades Solución Según los datos: 2a=48 Eje mayor con b=20 La ecuación que corresponde es de la forma: ; como y=10 , entonces x será:

Por lo tanto el ancho que corresponde será: Ejemplo 10 Determinar la ecuación de la elipse de excentricidad e=2/3 y focos: (4;2 ) y (-8;2) Solución Conociendo los focos, podemos hallar el centro: h = k=

2+2 = 2 ⇒ O(−2,2) , como la distancia entre 2

los focos es 12=2aet, como e=2/3, a=9 ; b2 = a2 – c2

;

⇒c=3 5

Luego la ecuación

será

z 1 74 z

−8+ 4 = −2 ; 2

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:54 a.m. - 175 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Problemas propuestos 1. En cada una de las elipses siguientes, hallar: a) la longitud del semieje mayor, b) la longitud del semieje menor, c) las coordenadas de los focos, d) la excentricidad.

1)

x2 y2 + =1 169 144 Rpta. a) 13, b) 12, c) (±5;0), d) 5/13

2)

Rpta. a) 2

3 , b) 2 2 , c) (0,±2);d)

33

3)

Rpta. a) 17, b) 15, c) (±8;0), d) 8/17

2. Hallar las ecuaciones de las elipses siguientes de forma que satisfagan las condiciones que se indican. i) Focos (±4, 0) y vértices (±5;0) Rpta. ii) Focos (0, ±8) y vértices (0;±17) Rpta.

x2 y2 + =1 225 289

iii) Longitud del lado recto = 5, vértices (±10;0) Rpta.

3. Hallar la ecuación de la elipse de centro el origen, focos en el eje x, y que pase por los puntos (-3, 2 3 ) y (4, 4 5 3) .

Rpta. 4 x + 9 y = 144 2

2

4. Hallar la ecuación de la elipse de centro el origen, semieje mayor de 4 unidades de longitud sobre el eje y, y la longitud del lado recto igual 9/2.

Rpta.

5. Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x;y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (3;1) y (-5;1) sea igual a 10. ¿Qué curva representa dicho lugar?

Rpta.

z 1 75 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:54 a.m. - 176 - ( )

M AT E M Á T I C A

6. Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x;y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (2;-3) y (2;7) sea igual a 12.

Rpta.

7. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo (3;2) sea la mitad de la correspondiente a la recta x+2=0. ¿Qué curva representa dicho lugar?

Rpta.

, una elipse

8. Encontrar los vértices, focos, longitudes de sus ejes mayor y menor, de su lado recto y las ecuaciones de sus directrices de la elipse cuya ecuación es:

Rpta. V (±8;0)

F (±

;0)

LR = 9 ;

9. Hallar la ecuación de la elipse de la forma b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 si la distancia entre las directrices es

y la excentricidad es

.

Rpta.

10. Hallar la ecuación de la elipse uno de cuyos focos es F(-3;2) y directriz correspondiente y–5=0 y pasa por el punto (-2;-5) Rpta.

11. Hallar el menor ángulo con que se observa desde el origen al segmento que une los focos de la elipse .

Rpta. /3 12. Si uno de los focos de la elipse es (7;0) y las directrices x=1 y x=9, hallar su ecuación.

Rpta.

( x − 5) 2 + 2 y 2 = 8

13. Hallar la ecuación de la elipse uno de cuyos focos es el punto (-1;-1), directriz

2 .

2 x 2 + 2 y 2 + 4x + 4 y + 4 = 0

x=0, y excentricidad Rpta.

e=

14. Hallar la ecuación de la elipse de focos (±8, 0) y que pasa por el punto (8, 18/5).

Rpta.

z 1 76 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:54 a.m. - 177 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

La hipérbola Definición La hipérbola es el conjunto de puntos de un plano tal que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias de un punto de la curva a dos puntos fijos es igual a una constante. Los puntos fijos se llaman focos y la constante es 2a.

Dado los puntos fijos F y

y un número real 2a>0, tenemos:

Elementos de la hipérbola Focos: Son los puntos F y

.

Eje: Es la recta que pasa por los focos.

Vértices: Intersecciones de la curva con el eje.

Eje Transverso: Es el segmento V

=2a .

Eje Conjugado: Es el segmento B =2b Eje Focal: Es el segmento F

=2c.

Radio Focal: Es el segmento que une el punto P con su foco Cuerda Focal: Es el segmento que pasa por un foco

o

.

.

Lado Recto: Es la cuerda focal perpendicular al eje.

Directrices: Son las rectas D y

entre las ramas de la curva y perpendiculares al eje.

que pasan por el centro C y se aproximan a las ramas Asíntotas: Son las rectas S y de la curva en tanto que estas se extienden ilimitadamente.

z 1 77 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:54 a.m. - 178 - ( )

M AT E M Á T I C A

Ecuación de la hipérbola 1. Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre un eje coordenado a. Hipérbola con eje focal sobre el eje x

Sea una hipérbola con centro en el origen y eje transverso coincidente en el eje x, con focos F(c;0) y F(-c;0) si d es la diferencia de las distancias de un punto P(x;y) de la hipérbola a los focos F y , se tiene que: |d(P )–d(PF)|=2a Sea P(x;y) un punto cualquiera de la curva. Por definición |d(P )–d(PF)|=2a o bien;

( x + c) 2 + ( y − 0) 2 − ( x − c) 2 + ( y − 0) 2 = 2a

Transponiendo un radical:

( x + c) 2 + ( y − 0) 2 = 2a + ( x − c) 2 + ( y − 0) 2 Elevando al cuadrado y reduciendo términos, Nuevamente elevando al cuadrado y simplificando, (c − a ) x − a y = a (c − a ) 2

Dividiendo por

2

2

2

2

2

2

2

a 2 (c 2 − a 2 ) , se obtiene la ecuación

x2 y2 − =1 a2 c2 − a2 Como c > a, ⇒ c 2 − a 2 es positivo, haciendo c − a = b , se obtiene la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje x.

2

x2 y2 − =1 a2 b2 z 1 78 z

2

2

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:54 a.m. - 179 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Observación En toda hipérbola, la excentricidad Ecuación de las directrices: x = ±

e= 2

c >1, a

Lado Recto:

a ; Vértices: V1(a;0) y V2(-a;0) c

Focos: F1(c;0) y F2(-c;0); Longitud eje transverso: V1V2=2a.

Longitud del eje conjugado: A Las rectas asíntotas I y

= 2b

que limitan a las curvas están dadas por:

y se obtienen haciendo que

x2 y2 − =0 a2 b2

b y =± x, a

B. Hipérbola con eje focal sobre el eje y Sea una hipérbola con centro en el origen y eje transverso sobre el eje Y.

En forma análoga al desarrollo anterior, se establece que la segunda ecuación canónica de la hipérbola es:

y2 x2 − = 1, a2 b2

b 2 = c 2 − a 2

Ecuaciones de las directrices: 2

a

e a Ecuaciones de las asíntotas: y = ± x b y=±

a c

ó

y=±

z 1 79 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 180 - ( )

M AT E M Á T I C A

2. Ecuación de la hipérbola con centro en (h;k) y eje focal paralelo a un eje coordenado a. Hipérbola con eje paralelo al eje x.

Sea la hipérbola con centro C(h;k) y eje transverso paralelo al eje X. Consideremos un nuevo sistema , de manera que coincida con el eje de la hipérbola. En este caso su ecuación es:

x' 2 y ' 2 − =1 a2 b2 por las ecuaciones de translación =x–h ; =y–k sustituyendo, se tiene la ecuación de la hipérbola con eje paralelo al eje X y centro en (h;k): ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1 a2 b2

donde: b = c − a , y además se cumple que los vértices: son V(h+a;k), focos(h±c;k); eje transverso: y=k; 2

2

2

(h-a;k),

b a

directrices ó y asíntotas y − k = ± ( x − h)

b. Hipérbola con eje paralelo al eje y Sea la hipérbola con centro en C(h;k) y eje transverso paralelo al eje Y. Determinamos su ecuación considerando un nuevo sistema , cuyo eje es coincidente con el eje de la hipérbola. En el nuevo sistema su ecuación es:

y2 x2 − =1 a2 b2

z 1 80 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 181 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

como =x–h o =y–k, entonces, la ecuación de la hipérbola con centro en (h;k) y eje focal paralelo al eje Y es:

( y − k ) 2 ( x − h) 2 2 2 2 − = 1 , donde: b = c − a , 2 2 a b y se cumple que los vértices son: V(h;k+a),

(h;k-a),

focos (h;k±c); para F y

directrices

y=k±

a2 c

ó

y=k±

a e

y

las ecuaciones de las asíntotas son:

a y − k = ± ( x − h) ., si el eje focal es paralelo al eje Y b

3. Ecuación general de la hipérbola La ecuación general de una hipérbola está dada por:

Donde A y B son de signos contrarios.

z 1 81 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 182 - ( )

M AT E M Á T I C A

Hipérbola Equilátera o Rectangular Una hipérbola

x2 y2 − = 1 en la cual es a=b se llama hipérbola equilátera o rectangular, a2 b2

cuya ecuación se escribe así: x − y = a , fig.(a) y se cumple que: tricidad es e = 2 y sus asíntotas son las rectas x–y=0, y x+y=0.

2

2

2

c = a 2 , su excen-

Si los ejes transversos y conjugados son coincidentes con la recta x–y=0 y x+y = 0, , en este caso la curva está fig. (b), la ecuación de la hipérbola toma la forma ubicada en el primer y tercer cuadrante; y está en el segundo y cuarto cuadrante si su ecuación es , en ambas situaciones sus asíntotas son los ejes coordenados.

z 1 82 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 183 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Hipérbolas Conjugadas Dadas dos hipérbolas para las cuales se cumplan que el eje transverso de una es idéntica al eje conjugado de la otra y viceversa se dice que las hipérbolas son conjugadas y de ecuaciones:

x2 y2 − =1 a2 b2

,

y2 x2 − =1 b2 a2

Se observa que la circunferencia de radio r, y cuyo centro es el centro de las hipérbolas conjugadas pasa por los focos de las hipérbolas, y además ambas hipérbolas tienen las mismas asíntotas.

Problemas resueltos Ejemplo 1 Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje sobre el de coordenadas Y, y que pase por los puntos (4;6) y (1;-3).

Solución La ecuación es de la forma:

y2 y2 − =1 a2 b2 Sustituyendo x e y por las coordenadas de los puntos dados en la ecuación (1), resultan y z 1 83 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 184 - ( )

M AT E M Á T I C A

Resolviendo este sistema de ecuaciones: Sustituyendo y simplificando,

y

b2 = 4

, o bien

Ejemplo 2 . Hallar las coordenadas de sus vérLa ecuación de una hipérbola es tices, focos, las ecuaciones de sus directrices; las longitudes de sus ejes trasversos y conjugado, y lado recto y las ecuaciones de sus directrices.

Solución

F2(-5,0) Si la ecuación es: ; donde

escribimos en su forma:

a2 = 9 ;

a=3 ; b2=16; b=4

z 1 84 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 185 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

y como b = c − a ; c = b + a ; c = 5 Luego, los vértices son V (±3,0) Los focos son; F(±5;0) ecuaciones de las asíntotas: 2

y=

b ± x a

2

2

2

2

2

4 y=± x 3

Sus ecuaciones de sus directrices:

x=±

a2 c

x=±

9 5

Longitud de su eje transverso: 2a = 2(3) = 6 Longitud de su eje conjugado: 2b = 2(4) = 8 Longitud d su Lado Recto: Ejemplo 3 Si los focos de una hipérbola con F (0,±3) y con eje conjugado igual a 5; hallar la ecuación de la hipérbola y las ecuaciones de sus asíntotas.

Solución

Por dato: c = 3; eje conjugado 2b = 5; b = 5/2 Como

b2 = c2 − a2

; 2 2 ó 100 y − 4 x = 275

Como la ecuación es de la forma: Ecuación de las asíntotas:

a y= ± x b

11 y=± 2 x 5 2 z 1 85 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 186 - ( )

M AT E M Á T I C A

Ejemplo 4 Encontrar la ecuación de la hipérbola de vértice en V(±6;0), sabiendo que una de sus asíntotas tiene por ecuación a la recta 4x–3y = 0.

Solución Como una de las asíntotas es: 4x–3y = 0; la otra asíntota será: 4x+3y = 0.

Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola escribiremos: (4x)2 –(3y)2 = k ……(1) Como pasa por el punto (6;0), entonces éste punto satisface la ecuación (1) Y hallamos el valor de k. Para esto se tiene: 16(6)2 – 9(0)2 = k , entonces k = 576. Luego la ecuación será: 16x2 -9y2 = 576 ó Ejemplo5 . Encontrar el La ecuación general de la hipérbola es centro, los vértices, focos, ecuaciones de las asíntotas y las ecuaciones de las directrices.

Solución

agrupando términos:

escribimos en su forma ordinaria para el efecto,

z 1 86 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 187 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

a = 4; b = 3; y c = a + b ; c=5. De esta ecuación deducimos que: Centro:O(1;-2) Vértices: V(h±a;k) Þ V1(5;-2) y V2(-3;-2) Focos: F(h±c;k) 2

2

2

F1(6;-2) y F2(-4;-2) ecuaciones de las asíntotas: y + 2 = ±

3 ( x − 1) 4

Ejemplo 6 Hallar la ecuación de la hipérbola conjugada de

; y encontrar

las ecuaciones de las asíntotas y las coordenadas de los focos de ambas hipérbolas.

Solución La ecuación de la hipérbola conjugada es: En las dos hipérbolas, Luego las coordenadas de los focos de la hipérbola dada son (±5;0), y la de la conjugada (0;±5).

Las ecuaciones de las asíntotas,

4 y = ± x son las mismas para las dos hipérbolas.

3

Ejemplo 7 , hallar su excentricidad

Dada la ecuación de la hipérbola y las ecuaciones de sus asíntotas.

Solución Completando cuadrados en la ecuación resulta:

De donde: ( y − 2) − ( x + 4) 2

4

9

2

= 1 por lo que a=2 y b=3.

Como el centro de la hipérbola es C (-4;2), las asíntotas son:

a y − k = ± ( x − h) b

es decir:

2 y − 2 = ± ( x + 4) o también 3

2x–3y+14 = 0 y 2x+3y+2 = 0 Ejemplo 8 . Encontrar La ecuación de una hipérbola está dada por el centro, vértices, focos, longitud de sus ejes transversos, conjugado y lado recto, su excentricidad y las ecuaciones de sus asíntotas.

Solución

z 1 87 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 188 - ( )

M AT E M Á T I C A

De la ecuación: Agrupando y completando cuadrados, obtenemos la ecuación en su forma ordinaria:

( y − 2) 2 ( x − 3) 2 − = 1; 9 4 Donde:

a2 = 3 b2 = 4 c2 = a2 + b2 c 2 = 13 ⇒ c = 13 Entonces: El centro es: O(1;3) Vértices: V1(3;1+3) y V2(3;1-3), o sea V1(3;4) y V2(3;-2) Focos: Eje Transverso: Excentricidad:

2a = 6, Eje Conjugado:

e=

2b = 4

c a

De las ecuaciones de las asíntotas: De la ecuación

( y − 1) 2 ( x − 3) 2 − = 1; 9 4

escribimos haciendo que el 2do. Miembro sea cero, y se tiene: Factorizando, e igualando a cero cada factor obtenemos las ecuaciones 2(y-1)+3(x-3)=0; 2(y-1)-3(x-3) = 0

3x+2y-11 = 0;

Problemas propuestos 1. Hallar la ecuación de la hipérbola, sabiendo que: a. Focos F(±5;0), y eje transverso 8

Rpta.

b. Foco F(0;±13); eje conjugado 24 Rpta.

z 1 88 z

3x-2y-7 = 0

- 9(x-3)2 = 0

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

c. Foco F(8;0) y vértice (b;0) Rpta.

7 x 2 − 9 y 2 = 252

2. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro el origen, focos sobre el eje X, distancia entre sus directrices 4 unidades y que pase por el punto P(4;3).

Rpta.

3. Hallar la distancia del foco de la derecha de la hipérbola cualquiera de sus asíntotas.

a

Rpta. 8 unidades

4. Calcular el área del cuadrilátero que tiene por vértices los focos y los extremos del eje conjugado de la hipérbola Rpta.

5. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje real sobre el eje de coordenadas, excentricidad y longitud de lado recto 18 unidades.

Rpta.

6. Si los focos de una hipérbola coinciden con los focos de la elipse hallar la ecuación de la hipérbola de excentricidad igual 2.

,

Rpta.

7. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son los mismos que los de la elipse y cuya excentricidad es 3/2 unidades mayor que la excentricidad de la elipse.

Rpta.

8. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje real sobre el eje de coordenadas y, longitud del lado recto 36 y distancia entre los focos es igual a 24.

Rpta.

3 y 2 − x 2 = 108

9. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, ejes sobre las coordenadas y que pase por los puntos (3;1) y (9;5).

Rpta.

x2 − 3y 2 = 6

10. Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices (±6;0) y asíntotas 6y = ±7x.

Rpta.

z 1 89 z

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M AT E M Á T I C A

11. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a los puntos fijos (-6;-4) y (2;-4) sea igual a 6.

Rpta.

( x + 2) 2 ( y + 4) 2 − =1 9 7

12. Hallar las coordenadas de a) el centro, b) los focos, c) los vértices y d) las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola

Rpta. a) (2;-1); b) (7;-1), (-3;-1); c) (6;-1), (-2;-1); d) y–1 = ±3/4 (x-2)

13. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro (0;0), un vértice en (3;0) y ecuación de una asíntota 2x–3y = 0.

Rpta.

14. La directriz de una hipérbola, de 7 unidades de longitud, es 3x–4y+3 = 0, hallar la distancia del foco al punto P(1;-1) de la hipérbola.

Rpta. 14 unidades.

15. Las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola son x–2y+4 = 0 y x+2y-6 = 0, si P(2;-1) es punto de la hipérbola determinar su ecuación.

Rpta.

16. Identificar la cónica de focos (1;-1) y (-1;-3), cuyas pendientes directrices son x+y+1 = 0 y x+ y+3 = 0.

Rpta.

.

H. Equilátera

17. Las asíntotas de una hipérbola son x–y+1 = 0 y x+y+3 = 0 si uno de sus vértices es (4;2), hallar su ecuación.

Rpta.

18. Los focos de la elipse son los vértices d una hipérbola y recíprocamente, hallar la ecuación de una hipérbola.

Rpta.

z 1 90 z

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c u a r t a

UNIDAD Relaciones binarias y funciones

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z 1 92 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

L e c c i ó n

4

PARES ORDENADOS Al escribir un conjunto por extensión, señalamos cada uno de sus elementos, cualquiera que sea el orden elegido para señalar los elementos, el conjunto será el mismo. Así tenemos por ejemplo: {5,6,7} = {6,7,5} Pero a veces interesa el orden en que se consideran los elementos de un conjunto. En tal caso, decimos que se tiene un conjunto ordenado y podríamos indicarlo encerrando sus elementos entre paréntesis y anotándolos en ese orden. Así: (5,6,7) es el conjunto ordenado, cuyo primer elemento es 5; segundo elemento 6 y tercer elemento 7.

Un conjunto ordenado de dos elementos se llama PAR ORDENADO, así tenemos por ejemplo: (1, 3) ; el primer elemento es 1 y el segundo elemento 3 (3, 1) ; el primer elemento es 3 y el segundo elemento 1 Estos pares ordenados no son, pues, iguales. Es decir, son diferentes o no iguales y escribimos así: (1, 3) ≠ (3, 1) Por lo tanto, al par ordenado lo definimos así:

z 1 93 z

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M AT E M Á T I C A

Definición Un par ordenado es un conjunto formado por dos elementos considerados en determinado orden, en el que se establece cuál es el primer elemento y cuál el segundo. Se denota así: (a, b) se lee: “El par ordenado a, b” donde: “a” es la primera componente o primera proyección o abscisa “b” es la segunda componente o segunda proyección u ordenada NOTA Como en el par ordenado, necesariamente se tiene que tener en cuenta el orden, entonces el par (a, b) ≠ (b, a)

Igualdad de pares ordenados El par ordenado (a,b) es igual al par ordenado (c,d), si las primeras componentes “a” y “c” son iguales entre sí, y las segundas componentes “b” y “d” son iguales entre sí.

Es decir: (a, b) = (c, d)

a=c

b=d

Ejemplo 1 1) (a, b) = (5, 3)

a=5

2) (6, 9 ) = (4+2, 10-1)

b=3 6 = 4+2

9 = 10-1

Ejemplo 2 Hallar los valores “x” e “y” de los siguientes pares ordenados, si: (2x+1, y-3) = (3, 9) Solución Si (2x+1, y-3) = (3, 9)

2x+1 = 3

y-3 = 9

z 1 94 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Resolviendo:

2x+1 = 3

y-3 = 9

x=1 y=6

Rpta. x=1, y=6

Ejemplo 3 Hallar los valores “x” e “y” , si se cumple que: (2x-y, 4x+2y) = (x-3, y+4) Solución Si (2x-y, 4x+2y) = (x-3, y+4) 2x-y = x-3

x - y = -3 ........................ (1)

4x + y = 4 ........................ (2)

4x+2y = y+4

Resolviendo (1) y (2):

5x = 1

x = 1/5

Donde sustituyendo en (1), tenemos: y = x+3

y = 1/5 + 3

y = 16/3 Luego : x = 1/5;

y = 16/3

Producto cartesiano Definición Si A y B son dos conjuntos diferentes al vacío; llamaremos “PRODUCTO CARTESIANO de A por B” y denotamos por AxB al conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados cuyas primeras componentes pertenecen al conjunto A y segundas componentes pertenecen al conjunto B. Es decir:

AxB = {( x; y ) / x ∈ A ∧

y ∈ B}

z 1 95 z

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M AT E M Á T I C A

A y B se llaman respectivamente, primer factor y segundo factor del producto cartesiano AxB. Cada elemento de AxB es un par ordenado cuyo primer elemento pertenece al primer factor A y cuyo segundo elemento pertenece al segundo factor B. Ejemplo 1 Si A = {a, b, c} y B = {x, y} AxB = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)} AxB tiene en total 3 x 2 = 6 elementos; o sea n(AxB) = 6 En general, si los conjuntos A y B son finitos y tienen “m” y “n” elementos respectivamente, entonces, el producto cartesiano de AxB tienen mxn elementos.

Para facilitar la obtención de los pares ordenados del producto AxB, podemos utilizar una tabla de doble entrada, así:

Por

x

y

a

(a, x)

(a, y)

b

(b, x)

(b, y)

c

(c, x)

(c, y)

Cada elemento de A encabeza una línea horizontal o fila, y cada elemento de B encabeza una línea vertical o columna. El par ordenado (a, x), se encuentra en la interseción de la fila encabezada por “a” y la columna encabezada por “x”.

Para la obtención de estos pares ordenados de AxB, suele utilizarse también con frecuencia el Diagrama de Arbol, que se grafica del siguiente modo:

z 1 96 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Representado en el sistema Rectángular de coordenadas cartesianas, sería también así:

Ejemplo 2 Sean los conjuntos M = {2, 5} y N = {m, n, p, q} Hallar: a) MxN b) NxM Solución a) MxN = {(2, m), (2, n), (2, p), (2, q), (5, m), (5, n), (5, p), (5, q)} En total MxN tiene 2x4 = 8 pares ordenados. b) NxM = {(m, 2), (m, 5), (n, 2), (n, 5), (p, 2), (p, 5), (q, 2), (q, 5)} En total NxM tiene 4x2 = 8 pares ordenados.

De los ejemplos (a) y (b) deducimos que MxN ≠ NxM a menos que M=N. NOTA El producto cartesiano no es en general conmutativo. Es decir AxB es distinto de BxA, según se ha visto, el par (2, m) no es igual al par (m, 2), etc.

La definición de producto cartesiano se extiende al caso de varios conjuntos. Así, por ejemplo, si tenemos 3 conjuntos, donde: Si: A = {a, b} ; B = {1, 2, 3} ; C = {m, n} Hallar: AxBxC z 1 97 z

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M AT E M Á T I C A

Tenemos que AxBxC tendrá como elementos a ternas ordenadas, donde la 1era. componente pertenecerá al conjunto de A; la 2da componente será elemento de B y la 3era. componente será elemento de C. Por lo tanto: AxBxC = {(a,1,m), (a,1,n), (a,2,m), (a,2,n), (a,3,m), (a,3,n), (b,1,m), (b,1,n), (b,2,m), (b,2,n), (b,3,m), (b,3,n)} En total tenemos 2x3x2 = 12 ternas ordenadas.

Si A = B, el producto cartesiano AxA suele indicarse por A2 , este conjunto contiene en particular los elementos de la forma (x, x), siendo x A. El conjunto formado sólo por estos pares ordenados de la forma (x, x) se llama Diagonal del Producto Cartesiano

Definición Se llama diagonal del producto cartesiano de AxA, al subconjunto formado por los pares del tipo (x, x).

Diag ( A2 ) = {( x; x ) / x ∈ A} Ejemplo Sea A = {p, q, r} AxA = {(p, p), (p, q), (p, r), (q, p), (q, q), (q, r), (r, p), (r, q), (r, r)} La diagonal de A2 se denota por: Diag (A2) = {(p, p), (q, q), (r, r)} Donde: Diag (A2)

AxA cuya gráfica es:

z 1 98 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Propiedades del producto cartesiano

NOTA Si los componentes de A y B son subconjuntos de los reales, de la forma : A = {x R / a ≤ x ≤ b} y B = {y R / c ≤ y ≤ d} El producto cartesiano AxB está dado por: AxB = {(x,y) R2 / a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d} Cuya gráfica, en el sistema de coordenadas cartesianas, estaría representado por la superficie sombreada.

Ejemplo Dados los conjuntos.

A = {x R / -2 < x ≤ 5} B = {y R / -5 ≤ y < 8} Hallar AxB

z 1 99 z

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M AT E M Á T I C A

Solución AxB = {(x, y) RxR / -2< x ≤ 5

-5 < y < 8}, cuya gráfica es:

Relaciones binarias La idea de establecer una relación entre dos o más objetos es utilizada en matemática y en la vida cotidiana con mucha frecuencia. Es común establecer relaciones mediante frases como “es hermano de ...”, “es mayor que..”, “es semejante a...”, “es paralelo a...”, “es divisor de ...”, etc. Nuestro acontecer diario está lleno de ejemplos de esta naturaleza que a menudo lo empleamos.

Este vínculo, este enlace que relaciona a dos elementos, se llama Relación Binaria; si vincula a tres elementos se llamará Relación Ternaria, o si vincula “n” elementos se llamará Relación n-aria. Por lo tanto, una Relación Binaria establece un vínculo o un nexo entre dos elementos de dos conjuntos, no necesariamente diferentes, y según sea el tipo de conexión se tienen las distintas clases de relaciones. Esto sugiere naturalmente la consideración del producto cartesiano de dos conjuntos y la determinación de los pares ordenados que se vinculan a través de un enunciado. Ejemplo Sean los conjuntos A={1, 3, 6} y B={2, 8} y la relación R definido por “menor que”.

En primer término, hallamos los elementos de AxB y tenemos: AxB = {(1, 2), (1, 8), (3, 2), (3, 8), (6, 2), (6, 8)} De este conjunto, escogemos los pares ordenados que cumplan la condición de que el 1er. componente “es menor que”, el 2do. componente, y son: (1, 2), (1, 8), (3, 8), (6, 8) que constituirán los elementos de la relación R definido de A en B y escribimos:

z 2 00 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

R = {(1, 2), (1, 8), (3, 8), (6, 8)}; graficando:

En consecuencia, se dice que dado 2 conjuntos A y B no vacíos y una relación R definida de A en B; la relación R será un subconjunto de AxB o sea R AxB.

Definición Dados dos conjuntos A y B no vacío, R es una relación entre A y B, sí y sólo si, R es un subconjunto del producto cartesiano de AxB y escribimos así: R es una relación de A en B

R

AxB

NOTA 1) Si A es un conjunto de m elementos y B un conjunto de n elementos, el conjunto de AxB tiene m×n elementos. Existen, 2mn subconjuntos de AxB, o sea, 2mn posibles relaciones entre los elementos de ambos conjuntos.

2) Si los conjuntos A y B son iguales, entonces R es una relación entre los elementos del conjunto A o simplemente R es una relación en A, y se denota: R: A

A

Ejemplo Sean los conjuntos : A={1, 2, 5, 6} y B={2, 3, 7} y la relación R definida por: R={(x,y) AxB / x+y ≤ 6}. Determinar R por extensión y representar gráficamente.

Solución Si A={1, 2, 5, 6} y B={2, 3, 7}

donde

z 2 01 z

R={(x,y) AxB / x+y ≤ 6}.

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M AT E M Á T I C A

Del producto cartesiano de AxB, escogemos los pares ordenados que emplean la condición x+y ≤ 6 (la suma de la 1era. componente, más la 2da. componente de cada par sea menor o igual a 6, donde R será: R = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)} Esta forma de representar a una relación se llama Representación mediante Matriz Binaria, que consiste en anotar sobre una columna los elementos de A y sobre una fila los elementos de B. En el ángulo superior izquierdo, el significado de la relación. Se asigna a cada elemento del producto cartesiano AxB el numeral 1 (uno), si hay relación; o bien el numeral 0 (cero), si no existe relación.

Dominio y rango de una relación binaria Sea una relación R definida de A en B, es decir R: A

B; entonces:

EL DOMINIO de R es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares (x, y) que pertenecen a R. Simbólicamente denotamos: Dom(R) = {x A / y B

(x,y) R}

EL RANGO de R es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares (x, y) que pertenecen a R. Simbólicamente denotamos: Rang(R) = {y B / x A

(x,y) R}

Al conjunto de elementos del Rango se le llama también IMAGEN de R: Im(R) NOTA 1. Si R es una relación de A en B, donde (x, y) R, entonces, se dice que, “y” es una imagen de “x” a través de R y que “x” es un antecedente o preimagen de “y” por R. 2. Si R es una relación de A en B, entonces al conjunto de A se llama CONJUNTO DE PARTIDA, y al conjunto B se llama CONJUNTO DE LLEGADA.

z 2 02 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Dom(R) : Dominio de R Im(R) : Imagen de R, o Rango de R, Rang(R) Ejemplo Sean los conjuntos A={1, 2, 5, 7} y B ={2, 4, 6, 8} y la relación definida por R={(x,y) AxB / y = x+1} Determinar R por extensión y dar el dominio y rango de R. Solución Para hallar los elementos de R, éstos deben cumplir la condición de que y = x+1.

(La 2da componente igual a la 1era. componente más 1) Si , y = x+1 , tabulando tenemos: Luego: R = {(1, 2), (5, 6), (7, 8)} Dom(R) = {1, 5, 7}

Dom(R)

Rang(R) = {2, 6, 8}

Rang(R)

A B

Relación inversa Toda relación R de A en B tiene una relación inversa de B en A, denotado por R-1 y definida por:

R −1 = {( y; x ) / ( x; y ) ∈ R} z 2 03 z

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M AT E M Á T I C A

En otras palabras, los pares ordenados de R-1 son aquellos que resultan de intercambiar los componentes de los pares ordenados de la relación R. Ejemplo 1 Sean A={a, b} y B={1, 2, 3} y la relación R de A en B, donde: R = {(a,1), (a,2), (b,3)} La relación inversa de R será : R-1 = {(1,a), (2,a), (3,b)} Ejemplo 2 Dado A={2, 3, 5, 6} y la relación R definido como sigue: R = {(2,3), (2,5), (3,6), (5,6)} La relación inversa de R será: R-1 = {(3,2), (5,2), (6,3), (6,5)} Si observamos el dominio y rango de R será: Dom(R) = {2, 3, 5} Rang(R) = {3, 5, 6} Del mismo modo, el dominio y Rango de R-1 será: Dom(R-1) = (3, 5, 6} Rang(R-1) = {2, 3, 5} Por lo tanto, enunciamos la Propiedad Fundamental de las relaciones inversas: Dada una relación R de A en B, y su inversa R-1 de B en A, entonces: Dom(R-1) = Rang(R) Rang(R-1) = Dom(R) NOTA Otra forma de denotar a una relación inversa es R*

z 2 04 z

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E D U A R D O A L C ร N TA R A B E C E R R A

Ejemplo Dado el conjunto de A={1, 2, 3, 4, 5} y la relaciรณn R de A en A, donde: R = {(x, y) AxA / y = 2x-1} Determinar: a) R por extensiรณn b) R-1 y dar su dominio y rango c) Graficar R y R-1 Soluciรณn Si R={(x,y) AxA / y = 2x-1} , tabulando:

x

y

1

1

2

3

3

5

4

7

5

9

a) R = {(1,1), (2,3), (3,5)}; Dom(R) = {1, 2, 3} Rang(R) = {1, 3, 5} b) R-1 = {(1,1), (3,2), (5,3)} , escribiendo R-1 por comprensiรณn, escribimos: R-1 = {(x, y) AxA / x = 2y-1} = {(x, y) AxA / y =

x +1 } 2

Dom(R-1) = (1, 3, 5} Rang(R-1) = {1, 2, 3}

z 2 05 z

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M AT E M Á T I C A

En la figura se han ubicado los puntos de las relaciones R y R-1. Vemos que estos puntos están distribuidos a uno y otro lado de la recta simétrica y = x que es la recta que biseca al ángulo X O Y. Luego concluiremos diciendo que la gráfica de la relación R es simétrica a la gráfica de R-1 con respecto a la recta y = x.

Relaciones reales Definición R es una relación definida de los reales en los reales y escribimos así: R:

R→R

”Si R

RxR”

que se lee: “R es un subconjunto del producto cartesiano de RxR”

Dominio y rango de una relación binaria de R en R El dominio de una relación R se define así: Dom(R) = {x R / y R

(x, y) R}

El dominio es un intervalo o reunión de ellos, teniendo en cuenta que un punto es un intervalo. {x} = [x, x] El Rango de una relación R se define así: Rang(R) = {y R / x R

(x, y) R}

El Rango también es un intervalo o reunión de ellos.

z 2 06 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

El producto cartesiano RxR, gráficamente representa todo el plano cartesiano, por lo que una relación R, que representa a una recta, a una curva o a una figura plana, se podrá graficar en el plano cartesiano.

Algebraicamente, las rectas y las curvas son ecuaciones algebraicas con las variables “x” e y” de la forma: F(x, y) = 0 En el que “x” se llama variable independiente, “y” se llama variable dependiente.

Algebraicamente, los planos y los semiplanos son desigualdades con 2 variables que pueden ser de la forma: F(x, y) > 0

;

F(x, y) ≥ 0 ;

F(x, y) < 0

(Semiplanos sin borde)

F(x, y) ≤ 0 (Semiplanos con borde)

Gráfica de una relación binaria de R en R Como una relación R definida de R en R, está representado en el plano cartesiano, entonces, toda gráfica que se dibuje en dicho plano, será una relación definida de R en R. Algebraicamente, si la relación está representado por una ecuación de forma F(x, y) = 0, entonces, su gráfica es una recta o una curva (Si la ecuación es lineal, la gráfica es una recta, si la ecuación no es lineal, la gráfica es una curva). Si la relación está representada por una inecuación de las formas: F(x, y) < 0 F(x, y) > 0, F(x, y) ≥ 0 , F(x, y) ≤ 0 entonces, la gráfica será un semiplano sin borde o con borde, respectivamente.

F(x, y) ≥ 0, F(x, y) ≤ 0 F(x, y) < 0, F(x, y) > 0

z 2 07 z

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M AT E M Á T I C A

Semiplano con borde

Semiplano sin borde

Por los estudios realizados de álgebra elemental, el procedimiento para el trazado de gráficas, consiste en hallar un cierto número de puntos y luego unir con una línea continua dichos puntos. Muchas veces, este procedimiento puede llevar a errores y obtener gráficas que no corresponden a la relación.

Para evitar errores de este tipo, debemos hacer una investigación preliminar de la ecuación que defina la relación buscando ciertas características, tales como: su extensión, su simetría con respecto a los ejes coordenados, sus asíntotas, sus intersecciones con los ejes coordenados, para luego, recién hallar ciertos puntos y luego unir dichos puntos.

Todo este proceso toma el nombre de DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN.

Discusión de la gráfica de una relación binaria En general, para trazar el gráfico de una relación F(x, y) = 0 se siguen los siguientes pasos:

1. Intersecciones Son los puntos donde la curva corta a los ejes coordenados. Para hallar la intersección con los ejes, se procede del siguiente modo:

a. Con respecto al eje x En la ecuación F(x, y) = 0, se hace y = 0 y se resuelve la ecuación F(x, 0) = 0.

b. Con respecto al eje y

z 2 08 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

En la ecuación F(x, y) = 0. Se hace x = 0 y se resuelve la ecuación F(0, y) = 0

c. Con respecto al Origen En la ecuación F(x, y) = 0. Si para x = 0, existe un y = 0

2. Simetría Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta, si la recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio (se dice que dos puntos son simétricos con respecto a un punto 0 , si 0 es el punto medio del segmento que los une).

Luego procedemos del siguiente modo:

a. Simetría con respecto al eje x En la ecuación F(x, y) = 0 Debe cumplirse la proposición: F(x, -y) = F(x, y); es decir; si en la ecuación se reemplaza “y” por “-y” y la ecuación no varía, entonces, la curva es simétrica con respecto al eje x.

b. Simetría con respecto al eje y Debe cumplirse la proposición : F(-x, y) = F(x, y). Es decir, si en la ecuación se reemplaza “x” por “-x” y la ecuación no varía, entonces la curva es simétrica con respecto al eje y.

c. Con respecto al origen Debe cumplirse la proposición F(-x, -y) = F(x, y). Es decir, si la ecuación no altera al reemplazar “x” por “-x” e “y” por “-y”, entonces, la curva es simétrica con respecto al origen.

3. Extensión Con este término se quiere expresar la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de “x” e “y” son valores reales; es decir, como su nombre indica, nos permite determinar el recorrido de la gráfica a lo largo del eje x, o a lo largo del eje y. Esta información es útil por dos razones: a) Da la localización general de la curva en el plano coordenado. b) Indica si la curva es cerrada o si es de extensión indefinida.

Para determinar la extensión de una curva se procede así:

z 2 09 z

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M AT E M Á T I C A

Al resolver la ecuación dada, para determinar el Dominio de la gráfica, se despeja “y” en términos de “x”, luego se observa la variación de “x”. Del mismo modo, para hallar el Rango de la gráfica, se despeja “x” en términos de “y”, luego se observa la variación de “y”.

4. Asíntotas Si para una curva dada existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la curva. Esto significa que si una curva tiene asíntota, la curva no es cerrada y se extiende indefinidamente. Las asíntotas pueden ser: Asíntota Vertical (x = K), Asíntota Horizontal (y = K) y Asíntota Oblicua (y = mx+b).

Para hallar las asíntotas, procederemos como sigue: Para obtener las ecuaciones de las asíntotas verticales, se resuelve la ecuación dada y se despeja “y” en términos de “x”; si en el denominador se encuentra la variable “x”, esta expresión del denominador se iguala a cero, cuyos valores obtenidos, representarán a las ecuaciones de las Asíntotas Verticales que serán rectas de la forma: x = K: (K = constante).

Para obtener las ecuaciones de las asíntotas horizontales, se resuelve la ecuación dada y se despeja “x” en términos de “y”, si en el denominador se encuentra la variable “y”, esta expresión del denominador se iguala a cero, cuyos valores obtenidos representarán a las ecuaciones de las asíntotas horizontales, que serán rectas de la forma y = K: (K = constante). (si en el despeje efectuado, la expresión resultante no presenta denominadores literales, entonces no hay asíntota ni vertical ni horizontal).

Para obtener las ecuaciones de las asíntotas oblicuas, se reemplaza en la ecuación conocida “y” por y = mx+b; se efectúan las operaciones indicadas, luego se ordena la ecuación resultante en términos de “x” y se iguala a cero el coeficiente de la variable x afectados a su mayor exponente, donde se obtendrán los valores de “m” y de “b” que serán sustituidos en la ecuación de la recta y = mx+b. Esta expresión resultante representará la asíntota oblicua.

5. Tabulación Se calcula el número suficiente de puntos para obtener una gráfica adecuada.

6. Trazado de curva Es la unión de los puntos encontrados en el paso anterior, mediante una línea contínua. z 2 10 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Ejemplo 1 Discutir el gráfico de la relación R, si: R = {(x, y) RxR / xy - 2x - 2y + 2 = 0} Solución 1. Intersecciones a. Con el eje x Se hace y = 0

sustituyendo en la ecuación xy-2x-2y+2 = 0 tenemos:

-2x + 2 = 0 x=1 P1(1, 0) b. Con el eje y Si se hace x = 0

-2y+2 = 0

y=1

P2 (0. 1) c. Con el Origen No existe 2. Simetría En la ecuación xy - 2x - 2y + 2 = 0 a. Con respecto al eje x Si reemplazamos y por -y , tenemos x(-y) - 2x - 2(-y) + 2 = 0 -xy - 2x + 2y + 2 = 0 como la ecuación varía, luego no existe simetría con respecto al eje x. b. Con respecto al eje y Si se reemplaza x por -x , observamos que la ecuación varía, luego, no existe simetría con el eje y. c. Con respecto al Origen z 2 11 z

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M AT E M Á T I C A

Si se reemplaza x por -x e y por -y, la ecuación xy-2x-2y+2 = 0 varía, luego de curva no es simétrica con respecto al origen.

3. Extensión xy - 2x - 2y + 2 = 0 despejando y:

xy − 2 y = 2 x − 2 ⇒

y ( x − 2) = 2 x − 2 y = 2x-2/x-2

la variable “x” puede tomar todos los valores reales, excepto x = 2; por lo tanto el dominio de la relación será: Dom(R) : R-{2} Para el rango: despejamos x: donde si y- 2 = 0 , y = 2 Del mismo modo “y” toma todos los valores, excepto y = 2, luego, el rango de la relación es: Rang (R) = R-{2} La gráfica, por lo tanto, es una curva abierta toma todos los valores reales excepto x=2;y=2 4. Asíntotas De la ecuación: xy-2x-2y+2 = 0 Para la asíntota vertical: Despejamos “y”, tenemos: , entonces, igualando a cero el denominador: x -2 = 0

x=2

Asíntota Vertical

Para obtener la asíntota horizontal: Despejamos “x” , tenemos: ; igualando a cero el denominador y-2 y -2 = 0 y=2

Asíntota Horizontal. z 2 12 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Para obtener la asíntota oblícua: En la ecuación: xy - 2x - 2y + 2 = 0 Si: y = mx + b x(mx+b) - 2x - 2(mx+b) + 2 = 0 mx2 + (b-2-2m)x + (-2b+2) = 0 donde: m=0

m=0

b-2-2m = 0

Þ

b=2

Luego y = mx + b

y = 0x + 2

y = 2 (recta horizontal).

5. Tabulación De la ecuación xy - 2x - 2y + 2 = 0:

x

-3

-2

-1

0

1

1,5

1,7

y

1,6

1,5

1,33

1

0

-2

-4,66

6. Trazado

z 2 13 z

2,5

3

4

5

6

6

4

3

2,66

2,5

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 214 - ( )

M AT E M Á T I C A

Ejemplo 2 Discutir la gráfica de la relación R, si R={(x,y) RxR / x3+xy2-y2=0} Solución 1. Intersecciones Con el Eje x: Si y=0

x=0 ; P(0,0). La curva interseca al origen.

Con el eje y: Si x=0

y=0 ; P(0,0). Por lo tanto, el único punto de intersección es con el origen.

2. Simetría Con respecto al Eje x: En la ecuación

x3 + xy2 –y2 = 0

x3 + x(-y)2 - (-y)2 = 0

Si y = -y

La ecuación no varía, luego, la curva es simétrica con respecto al eje x.

Con respecto al Eje y: Al reemplazar x por -x, la ecuación: (-x)3 + (-x)y2 – y2 = 0 varía, luego no es simétrico.

Con respecto al origen: Al reemplazar x por -x e y por -y, tenemos: (-x)3 + (-x)(-y)2 - (-y)2 = 0 La ecuación varía, luego, la curva no es simétrica.

3. Extensión De la ecuación: x3+ xy2 – y2 = 0

x3 ≥0 1− x

,

x3 ≤0 x −1

,

despejando y: x=0 ,

y=

x-1=0

± ;

x3 1− x x=1

Por lo tanto, de esta expresión vemos que “y” es compleja cuando “x” es negativa; por tanto todos los valores de “x” negativos quedan excluídos; según esto no hay curva a la izquierda del eje y; así mismo si x = 1, la curva no está definida y para valores mayores que 1, no existe la curva.

z 2 14 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 215 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Por lo tanto, el dominio de la relación será: Dom(R) = {x R / 0 ≤ x < 1} Para obtener el rango, simplemente observamos que “y” toma todos los valores, positivos y negativos cuando x toma los valores comprendidos en el intervalo 0 ≤ x < 1, luego: Rang(R) = R 4. Asíntotas Al despejar “y” en la ecuación propuesta, tenemos: y = ±

x3 1− x

igualando a cero el denominador: 1-x = 0

x=1 Asíntota Vertical, recta que corta perpendicular al eje x en: x=1

Para la asíntota horizontal despejamos “x”, como vemos, no podemos despejar “x”, no podemos investigar la posible existencia de una o más asíntotas horizontales, tan rápidamente como la asíntota vertical; sin embargo, se puede investigar las asíntotas horizontales dando valores a “x” cada vez mayores, en este caso 0 ≤ x < 1; lo cual es muy restringido. Por tanto no hay asíntotas horizontales.

5. Tabulación Para x3 + xy2 – y2 = 0 ; Donde:

x

0

y

0

0,3 0,3

x3 1− x

y=±

0,5 0,5

0,7 1,06

6. Trazado

z 2 15 z

0,8 1,6

0,9 2,7

1

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 216 - ( )

M AT E M Á T I C A

Ejemplo 3 Discutir la gráfica de la relación R = {(x,y) RxR / xy-x2-1 = 0} Solución 1. Intersección Con el eje x: Si y = 0 x=±

-x2 - 1 = 0

−1

; no existe

Con el eje y: Si

x=0

la expresión no existe

Con el origen: No existe.

2. Simetría Con el eje x: Si y = -y ; la ecuación varía ; no hay simetría Con el eje y: Si x = -x ; la ecuación varía ; no hay simetría Con el origen: Si x = -x e y = -y, la ecuación no varía, luego hay simetría con respecto al origen.

3. Extensión De la ecuación: xy – x2 - 1 = 0

x ≠ 0 , luego : Dom(R) = R - {0} Para el rango; despejamos x: x = Resolviendo:

y ± y2 − 4 2

y2 - 4 ≥ 0 y ≥ 2 y ≤ -2 Rang (R): y

<- , -2]

[2,

>

4. Asíntotas De la ecuación conocida: xy - x2 -1 = 0 ; despejando “y”:

z 2 16 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

x=0

Asíntota vertical.

No hay asíntota horizontal (ver paso IV: extensión).

Asíntota Oblicua: De la ecuación: xy – x2 - 1 = 0 , si hacemos que: y = mx + b Sustituyendo en la ecuación principal, tenemos: x (mx + b) - x2 -1 = 0 mx2 + bx – x2 - 1 = 0 (m-1)x2+ bx - 1 = 0 m = 1. Luego: como y = mx + b, reemplazando:

m-1 = 0 bx = 0

b=0

y=x

Asíntota Vertical

5. Tabulado De la ecuación:

x

-3

-2

-1

1

2

3

y

-3,33

-2,5

-2

2

2,5

3,33

6. Trazado

z 2 17 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 218 - ( )

M AT E M Á T I C A

Gráfica de relaciones lineales Toda ecuación lineal con 2 variables es de la forma Ax + By + C = 0, cuya representación gráfica es una recta.

En la ecuación : Ax + By + C = 0 ; (A, B y C son números reales).

Si A = 0

By + C = 0 donde y = -C/B que corresponde a una recta paralela al eje x

Si B = 0

Ax + C = 0 donde x = -C/A que corresponde a una recta paralela al eje y

Si C = 0 Ax + By = 0 es una recta que no es paralela a ninguno de los ejes coordenados y pasa por el origen.

NOTA Para graficar una recta se necesita sólo dos puntos pertenecientes a la recta.

Ejemplo 1 Graficar la relación R={(x,y) RxR / 5x-3y+2 = 0} Solución La relación R definida en los reales está representado por la ecuación 5x - 3y + 2 = 0

x

-1

2

y

-11

4

(asignamos valores arbitrarios para x)

z 2 18 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Ejemplo 2 Graficar la relación: R={(x,y) RxR / 3x-2y-2 = 0 ; -1≤x ≤5} y dar su dominio y rango.

Solución La expresión que define la relación R es: 3x-2y-9 = 0 Para tabular, asignamos valores para “x” con preferencia aquellos que son los extremos del intervalo -1 ≤ x ≤ 5. Asignamos estos extremos con el fin de encontrar el dominio y rango. Por lo tanto, tenemos:

x

-1

5

y

-6

3

Dom(R) = {x R /-1≤x≤5} Rang(R) = {y R /-6≤x≤3}

z 2 19 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 220 - ( )

M AT E M Á T I C A

Gráfica de desigualdades En temas anteriores, hemos visto que las desigualdades representadas por las inecuaciones: F(x, y) > 0; F(x, y) ≥ 0; F(x, y) < 0; F(x, y) ≤ 0, gráficamente representan a planos o a semiplanos.

Toda inecuación lineal con dos variables representa gráficamente un semiplano, donde son de las formas: Ax+By+C > 0 Ax+By+C ≥ 0 ; Ax+By+C < 0 ; Ax+By+C ≤ 0 En el que la ecuación Ax+By+C = 0 viene a ser la recta que limita el semiplano y las inecuaciones Ax+By+C > 0 Ax+By+C < 0 representan las regiones (semiplanos).

Ejemplo 1 Graficar la relación R={(x,y) RxR / 3x-2y+6 ≥ 0} Solución La relación R está representada por 3x-2y+6 ≥ 0.

Para graficar, primero consideramos la ecuación 3x-2y+6 = 0. Esto lo hacemos con el objeto de encontrar el trazo de la recta límite. La parte sombreada del plano es la que representa a la inecuación 3x-2y+6 > 0, cuyos puntos pertenecientes a la parte sombreada, satisfacen la desigualdad

y<

3x + 6 .

2

(Son los puntos que están debajo de la recta)

{(x,y) RxR /3x-2y+6 ≥ 0} = {(x,y) RxR /3x-2y+6 = 0}

{(x,y) RxR /3x-2y+6 > 0}

R2= semiplano sombreado

R

R1 = recta z 2 20 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 221 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Por lo tanto, un método práctico para graficar una inecuación expresado en las formas: F(x, y) < 0 ; F(x, y) > 0 ; F(x, y) ≤ 0 ; F(x, y) ≥ 0 es el siguiente: i) Graficar la recta o curva que limita el plano o al semiplano, haciendo F(x,y) = 0 ii) “Sombrear la región que satisfaga a la relación R propuesta. Para ello se busca un punto (xo, yo) perteneciente a uno de los semiplanos (que no pertenezca a la línea que separa) y se reemplaza en la expresión de la relación R conocida.

Si (xo, yo)

R entonces, se sombrea la región donde se encuentra el punto (xo, yo)

Si (xo, yo)

R entonces, se sombrea la región donde no esté el punto (xo, yo).

Ejemplo 2 Graficar la relación R={(x,y) R / 5x-3y-1 < 0} Solución La inecuación que representa a R es: 5x-3y-1 < 0 Primero, graficamos la línea que separa el semiplano haciendo que 5x-3y-1 = 0 o sea:

x

-1

2

y

-2

3

Esta recta 5x-3y-1 = 0 ha dividido el plano en 2 regiones, tales como la región A y la región B.

z 2 21 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 222 - ( )

M AT E M Á T I C A

Para saber qué región sombrear, consideremos un punto cualquiera, tal como el punto (1,0) y verificamos en la inecuación: 5x-3y-1< 0

5(1) - 3(0) -1 < 0

5<0

Proposición Falsa.

Luego, el punto (1,0) que pertenece a la región B no pertenecerá a la región sombreada; por lo tanto sombreamos la región A (parte superior a la recta) Además, la línea que separa es una línea que lo representamos por una línea punteada por no pertenecer a la relación.

Ejemplo 3 Graficar la relación R={(x,y) RxR / x2+y2 ≥ 4} Solución La inecuación que representa a R es: x2+y2 ≥ 4 , determinamos la curva que limita al plano haciendo: x2+y2 = 4 y = ± 4 − x 2 ; donde 4 − x 2 ≥ 0 , lo cual se tiene que: -2 ≤ x ≤ 2 Tabulando:

x

-2

y

0

-1

0

1,73

1 2

2 1,75

0

Graficando la curva:

Verificamos que la región (interior o exterior) es la que cumple con la relación x2+y2 ≥ 4, para el efecto, consideramos el punto (3,0), entonces, sustituyendo en x2+y2 ≥ 4 : (3)2 + (0)2 ≥ 4

9>4

(verdadero)

z 2 22 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 223 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Por lo tanto, los puntos que están fuera de la circunferencia verifican la desigualdad y sombreamos la región exterior al círculo, así mismo cumplen la relación R, los puntos que pertenecen a la curva, por lo que trazamos la curva con una línea continua.

Ejemplo 4 Graficar la relación R={(x,y) RxR / x2+y2 ≤ 9 y ≤ x-3}. Dar su dominio y rango.

Solución Graficando cada una de las inecuaciones que expresan la relación R, tales como: x2 + y2 ≤ 9 y ≤ x-3 y verificando como en los casos anteriores, tenemos la gráfica: si

si

y=±

9 − x2 x

-3

y

0

-2

-1

2,23

0

1

2,82

3

x

-0

3

y

-3

0

2 2,82

3 2,23

0

y = x-3

La región doblemente sombreada corresponde a la grafica R pedida.

Para determinar su dominio y rango; resolvemos el sistema formado por las inecuaciones:

z 2 23 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 224 - ( )

M AT E M Á T I C A

Resolviendo el sistema x2+y2 = 9 ................ (1)

(representan las líneas que limitan cada gráfica)

x - y = 3 ..................(2) de la ecuación (2)

y=x-3

sustituyendo en ecuación (1), se tiene: x2 + (x-3)2 = 9 x2 + x2 - 6x + 9 = 0 2x2 - 6x = 0

2x(x-3) = 0

x=0

y = -3

P1(0,-3)

x=3

y = 0

P2(3, 0)

Luego: el Dom(R) = {x R / 0 ≤ x ≤ 3} el Rang(R) = {y R / -3 ≤ y ≤ 0}

Gráfica de relaciones con valor absoluto Para graficar relaciones con valor absoluto basta hacer uso de la definición de valor absoluto Ejemplo 1 Graficar la relación R={(x,y) RxR /

}, y dar su dominio y rango.

Solución La relación R está definida por la ecuación (resolviendo estas inecuaciones)

z 2 24 z

; entonces por definición:

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:55 a.m. - 225 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

De donde tenemos dos ecuaciones, cada una de ellas con sus condiciones, lo cual tabulamos así: (tomamos valores para x mayores o iguales a

x y

1 ) 3

1 0

2

(tomamos valores para x menores a

x

-0

3

y

-3

0

1 ) 3

Ahora, graficando:

Para hallar su dominio y rango, basta observar la gráfica y tenemos que: Dom(R) = R ....... (la gráfica se extiende indefinidamente a lo largo del eje x) Rang(R) = {y R / y ≥ 0} ..... (la gráfica se extiende a partir del eje x, hacia arriba indefinidamente) Ejemplo 2 Graficar la relación R = {(x,y) RxR /

} y dar su dominio y rango.

Solución La ecuación que define la relación R es: ; por definición de valor absoluto:

z 2 25 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 226 - ( )

M AT E M Á T I C A

resolviendo las inecuaciones indicadas, tenemos:

Según estas condiciones, graficamos cada una de las ecuaciones:

Observando la gráfica, tenemos que:

Dom(R) = R ; Rang(R) = { y R / y ≥ 0 } = [0 ,

>

Ejemplo 3 Graficar la relación R = {(x,y) RxR /

}

Solución Por definición:

Para graficar cada una de estas inecuaciones, procedemos como en los casos anteriores; es decir, primero obtenemos una línea que divide el plano luego verificamos la región que debe sombrearse. z 2 26 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 227 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Así ; para:

Si

para:

y = x2 +1

x

-2

-1

0

1

2

y

5

2

1

2

5

Si

y = x2 - 1

x

-2

-1

0

1

2

y

3

0

-1

0

3

graficando, se tiene:

Dom (R ) = R y

Rang(R) =

Problemas resueltos 1. Hallar los valores, si existen, de “x” e “y” sabiendo que (x - y, xy) = (0, 1) Solución Si (x - y, xy) = (0, 1) entonces: x - y = 0 ........................ (1) xy

= 1 .......................... (2)

De ecuación (1), tenemos que: x = y , sustituyendo en (2) x2 = 1

x = ±1

y = ±1

z 2 27 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 228 - ( )

M AT E M Á T I C A

Rpta: Valores de

x: {-1, 1}

y: {-1, 1}

Valores de

2. Dado los conjuntos A = {2x / x N; 1 ≤ x ≤ 3} B = {2x-1/ x N; 2 ≤ x ≤ 5} Hallar: a) AxB b) BxA c) Determinar el número de elementos de P(AxB) Solución Si A = {2x / x N; 1 ≤ x ≤ 3} ; B = {2x-1 / x N; 2 ≤ x ≤ 5} Escribimos estos conjuntos por extensión y tenemos: A={2, 4, 6} ; B={3, 5, 7, 9}Entonces a) AxB = {(2,3),(2,5),(2,7),(2,9),(4,3),(4,5),(4,7),(4,9),(6,3),(6,5),(6,7),(6,9)} b) BxA = {(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),(7,2),(7,4),(7,6),(9,2),(9,4),(9,6)} c) El número de elementos de AxB es: n(AxB) = 3 x 4 = 12 elementos Entonces el número de elementos del conjunto Potencia de AxB es: n[P(AxB)] = 2n = 212 3. Dado los conjuntos en los reales: M = {x R / -4 ≤ x < 2} ; N = {y R / 1 < y < 5 } y P ={z R / z > -1} Hallar y graficar: a) M x N b) N x P Solución a) MxN = {(x,y) MxN / -4 ≤ x < 2 b) NxP = {(y,z) NxP / 1 < y < 5

1< y < 5} z > -1} z 2 28 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

graficando en el Sistema de Coordenadas Cartesianas:

Ejemplo 4 Sea el conjunto A={x Z / -4 < x ≤ 6} y la relación R definido de A en A; donde: R = {(x,y) AxA / 3x-2y = 8}, se pide:

1

a) Determinar R por extensión y dar su representación gráfica. b) Hallar el Dominio y Rango de R. c) Hallar R-1 Solución a) Si A={x Z / -4 < x ≤ 6} = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Para escribir los elementos de R que satisfacen la relación 3x-2y = 6 de manera que estén definidos en AxA, recurrimos a la tabulación del siguiente modo: Despejando “y” de la ecuación propuesta 3x-2y = 6 y=

3x − 6 2 x y

-3

-2 -6

-1

0

1

-3

2 0

Los pares ordenados que satisfacen R: A a) R = {(0,-3) (2,0) (4,3) (6,6)}

z 2 29 z

A son:

3

4 3

5

6 6

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 230 - ( )

M AT E M Á T I C A

b) Dom(R) = {0, 2, 4, 6} Rang(R) = {-3, 0, 3, 6} c) R-1 = {(-3,0) (0,2) (3,4) (6,6)} donde Dom(R-1) = {-3, 0, 3, 6} Rang(R-1) = {0, 2, 4, 6} R-1 podemos determinar por comprensión del siguiente modo: R-1 = {(x,y) A2 / 3y-2x = 6} = {(x,y) AxA / y =

2x + 6 } 3

Ejemplo 5 Dada la relación R={(x,y) RxR / y = x2-1 ; 0 ≤ x ≤ 2} Encontrar R-1 ; dar su dominio, su rango y representado gráficamente.

Solución Como R={(x, y) RxR / y = x2-1 ; 0 ≤ x ≤ 2} , como el Dom(R) = {x R / 0 ≤ x ≤ 2} hallamos el rango de R del siguiente modo: 0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ x2 ≤ 4 1 ≤ x2-1 ≤ 3 -1 ≤ y ≤ 3 luego: Rang(R)={y R / -1 ≤ y ≤ 3} Para encontrar la ecuación que define a R-1, de la ecuación que define R, hacemos el cambio de variables, entonces, la ecuación para R-1 es: x = y2-1 y2 = x+1 z 2 30 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

El Dominio de R-1 es el rango de R, y el Rango de R-1 es el dominio de R. Luego: R-1 ={(x, y) RxR / y2 = x+1 ; -1 ≤ x ≤ 3} Por lo tanto Dom(R-1) = {x R / -1 ≤ x ≤ 3} Rang(R-1) = {y R / 0 ≤ y ≤2}.

Finalmente, graficando R y R-1

Ejemplo 6 Graficar la relación R={(x,y) RxR /

}

Solución Por definición: Tabulando cada una de las ecuaciones: x-y=4

x

0

4

y

-4

0

z 2 31 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 232 - ( )

M AT E M Á T I C A

x – y = -4

x

0

-4

y

4

0

Graficando las 2 ecuaciones

Ejemplo 7 Graficar y dar su dominio y rango de la relación R={(x,y) RxR / x2+y2 ≤ 3 y ≥ x2-1} Solución Como, R={(x,y) RxR / x2+y2 ≤ 3 y ≥ x2-1} Para graficar las relaciones: x2+y2 ≤ 3 y ≥ x2-1; primero encontramos las líneas que limitan las regiones, para el cual hacemos: x2 + y2 = 3 y = ± 3− x

y = x2-1 despejamos y en la primera ecuacion 2

z 2 32 z

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E D U A R D O A L C Ă N TA R A B E C E R R A

Tabulando:

x

y

-1,73

0

-1

1,41

0

1,73

1

1,41

1,73

0

x

y

-2

3

0

-1

1

0

2

3

y = x2-1 tabulando

Verificando en ambas desigualdades, tomando puntos interiores o exteriores a las curvas trazadas, del cual tenemos la siguiente grĂĄfica.

Para determinar su dominio y rango, resolvemos el sistema: x2 + y2 = 3 .................................. (I) y = x2 - 1

x2 = y + 1 ........... (II)

z 2 33 z

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M AT E M Á T I C A

sustituyendo (II) en (I) y + 1 + y2 = 3 y2 + y - 2 = 0 (y + 2) (y - 1) = 0 y = -2

x2 = -1

y=1

x2 = 2

No existe x=±

Los puntos de introducción son

2 P1 (− 2 ,1), y, P2 (− 2 ,1)

Observando la gráfica, tenemos que: Dom(R) = {x R / Rang(R) = {y R /

} }

Ejemplo 8 Dado los conjuntos:

¿Cuántos elementos tiene el conjunto A x B? Solución a. Hallamos los elementos de A

b. Hallamos los elementos de B

n(B) = 16 + 16 = 30 n(A x B) = 27 x 32 = 810

z 2 34 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Ejemplo 9 Dado el conjunto A = { 2 , 5 , 7 , 9}, encontrar los valores de m y n, para que la siguiente relación sea reflexiva .

R = {(2 , 2) , (5 , n +3) , (7 , m - 1) , (9 , 9)} Solución Por definición de relación reflexiva R

AxA ,

R es reflexiva

xRx ,

x A,

comprobando: 2R2 5R(n + 3)

5=n+3

n=2

7R(m - 1)

7=m-1

m=8

9R9 n=2

Por lo tanto m = 8 Ejemplo 10

Hallar el valor de x e y , para que la relación R = {(4, a) , (x, 8b) , (7y, 6) , (5, b - 3)}, sea una relación simétrica.

Solución El par ordenado (4, a)

R

(a, 4)

R , por ser simétrico.

Observando tenemos que (5, b-3) es el único par que puede ser simétrico de (4 ,a), por lo tanto: (5, b-3) = (a, 4)

a=5 ,

b-3=4

b=7

Los pares (x, 8b) y (7y, 6) , deben ser simétricos para que R sea simétrica, luego: (x, 8b) = (6, 7y) 8(7) = 7y

x=6

8b = 7y , b = 7

y=8

Luego la relación es R = {(4, 5) , (6, 56) , (56, 6) , (5, 4)}

z 2 35 z

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M AT E M Á T I C A

Ejemplo 11 Sea R , una relación de los números naturales, definida por: y2+ 2 = 3x ; x < 10 ; determinar R por extensión y hallar R-1 Solución Para una mejor “tabulación” despejemos y y2+ 2 = 3x y

N,x

3 x − 2 , se debe recordar que:

y=

N , x < 10

Luego tabulando obtenemos: R = {(1 , 1) , (2 , 2) , (6 , 4) , (9 , 5)} R-1 = {(1 , 1) , (2 , 2) , (4, 6) , (5 , 9)} Ejemplo 12 Hallar el Dominio y Rango de la relación inversa de: R = {(x, y) AxB / 2x = y} sabiendo que A = {1 , 2 , 3} y B = {2 , 6 , 7} Solución A x B = {(1,2) , (1, 6) , (1,7) , (2,2) , (2,6) , (2,7) , (3,2) , (3,6) ,(3,7)} R = {(1 , 2) , (3 , 6)} Para encontrar la relación inversa (R-1) de R, solamente se invierten ( c o n m u t a n ) , todo los pares ordenados de R, es decir: R-1 = {(2 , 1) , (6 , 3)} Luego: Dom(R) = {1 , 3}

Dom(R-1) = {2 , 6}

Rang(R) = {2 , 6}

Rang(R-1) = {1 ,3}

Dom(R) = Rang(R-1) , Rang(R) = Dom(R-1)

z 2 36 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Ejemplo 13 Hallar la relación inversa de R = {(x , y) R2/ 2x + y = 8

x [-1 , 4]},

encontrar su dominio y rango , graficar ambas relaciones en el mismo plano.

Solución En R , tomamos: 2x + y = 8 de donde y = 8 - 2x tabulando:

x

y

-1

10

4

0

De R, hallamos R si 2x + y = 8 ,intercambiamos las variables -1

2y + x = 8 , luego despejamos y

y=

8−x 2

x

y

0

4

10

-1

tabulando:

Dom(R) = [-1 , 4]

Dom(R-1) = [0 , 10] ; Rang(R) = [0 , 10] ; Rang(R-1) = [-1 , 4]

z 2 37 z

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M AT E M Á T I C A

Ejemplo 14 R2/

Dada la relación R = {(x, y)

}

a. Graficar y determinar el dominio y rango de R b. Determinar y graficar la inversa de R. Solución a. Como x2 < y2

-3 ≤ y ≤ 3

x2 - y2< 0

-3 ≤ y ≤ 3

(x + y)(x - y) < 0

-3 ≤ y ≤ 3

b. Para hallar la inversa de R, hacemos cambio de variable y tenemos: R-1= {(x, y ) R2/

x2 > y2

} es decir:

-3 ≤ x ≤ 3

x2 - y2> 0

-3 ≤ x ≤ 3 z 2 38 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

(x + y)(x - y) > 0 {[x + y > 0 {[x > -y

-3 ≤ x ≤ 3

x - y < 0] x < y]

[x + y < 0

[x < -y

x - y > 0]}

x > y]} -3 ≤ x ≤ 3

Ejemplo 15 Hallar el dominio, rango y trazar el gráfico de la relación R= {(x, y ) R2/

}

Solución

Luego: Dom(R) = [-4 , 2] Rang(R)=

z 2 39 z

-3 ≤ x ≤ 3

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M AT E M Á T I C A

Ejemplo 16 Graficar, hallar dominio y rango de: R= {(x, y ) R2/ 4 < x2 + y2 ≤ 25} Solución 4 < x2 + y2 ≤ 25

4 < x2 + y2

x2 + y2 ≤ 25

Dom(R) = [-5 , 5] Rang(R) = [-5 , 5]

Ejemplo 17 Dada las relaciones definidas en R. R1 = {(x, y) / (x - h)2+ (y - 3)2= r2 , r >0} R2= {(-2 , 3) , (0 , Hallar h + r , Si R2

) , (4 , 9) , (5 ,

)}

R1

Solución Como R2 R1, los pares ordenados de R2 satisfacen la regla de correspondencia de R1; por lo tanto: z 2 40 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

(-2 , 3) R1

x = -2 , y = 3 estos valores reemplazamos en R1

(-2 - h)2+ (3 - 3)2= r2 4 + 4h + h2= r2 (0 ,

) R1

(0 - h)2+ (

x=0,y=

estos valores reemplazamos en R1

- 3)2= r2

h2+ 20 = r2 (4 , 9) R1

h2 + 4h = r2 - 4 .......... (α)

h2= r2 - 20 ..............

x = 4 , y = 9 estos valores reemplazamos en R1

(4 - h)2+ (9 - 3)2= r2 16 +8h + h2+ 36 = r2 (5 ,

) R1

(5 - h)2+ (

h2- 8h = r2- 16 ..................

x=5,y=

estos valores reemplazamos en R1

- 3)2= r2

25 - 10h + h2+ 35 = r2

h2- 10h = r2- 60 ...............

Escogemos dos cualquiera de las cuatro ecuaciones y resolvemo, simultáneamente, obteniendo: h = 4 y r = 6 , por lo tanto h + r = 10

Problemas propuestos 1. Dado el conjunto A = {1 , 2 , 3 ,4 , 5 ,6 , 7 , 8} , R AxA: (a , b) R

a es divisor de b . Hallar n(R).

2. En A = {1 , 2 , 3 ,4 , 5}, se define una la relación R = {(1 , 1), (2 , 2), (3 , 3), (5 , 1), (2 , 4), (5 , 4), (5 , 2), (4 , 3), (3 , 5)} Si M = {x A / (x , 2) R} Si N = {y A / (3 , y) R} Si P = {x A / (x , 5) R} Hallar (M

N) - P z 2 41 z

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M AT E M Á T I C A

3. Dado los conjuntos A, B, C, donde A={2x / x N; 2 < x < 8} ; B={2x-1 / x Z ; -2 ≤ x ≤ 5} y C={-1, 0, 3, 5, 7} Hallar: a) AxB

b) AxC

c) BxC

d) AxBxC

e) CxAxB

4. Hallar el dominio y rango de las relaciones en A, siendo A={1, 2, 3, 4, 5}, donde: R1={(x,y) AxA / x + y = 7} R2={(x,y) AxA / x + y < 4} R3={(x,y) AxA / x < 2y} Rpta.

Dom(R1) = {2, 3, 4, 5} ; Rang(R) = {2, 3, 4, 5} Dom(R2) = {1, 2, 3} = Rang(R2) Dom(R3) = {2, 3, 4} ; el Rang(R) = {1, 2} 5. Sea A={x N / x ≤ 9} y las relaciones: R1 = {(x,y) A2 / y = x} R2 = {(x,y) A2 / y = 2x} R3 = {(x,y) A2 / x < 4

y > 7}

Hallar: a) n(R1) + n(R2) + n(R3) b) [n(R1) × n(R2)] - n(R3) c) [Rang(R1)

Rpta.

Rang(R2)] a) 17

Rang(R3)

b) 12

c) {0, 4, 8, 9}

6.- Dado los conjuntos A={1, 2, 3, 4}; B={1, 3, 5} y la relación R AxB, donde R={(x,y) AxB / x < y} y las suficientes proposiciones: I) Dom(R) II) R

Dom(R-1) =

R-1 tiene 12 elementos

z 2 42 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

III) La relación T definida por (x,y) T

s A / (x,s) R-1

(s,y) R ; no es simétrica

¿Cuáles de éstas proposiciones son verdaderas?

Rpta.

F

V

V

7. Para las siguientes relaciones en Z: R1 = {(x,y) / x-y = 3k ; k Z} R2 = {(x,y) / x+y = 2h ; h Z} R3 = {(x,y) / x ≤ y} Analice qué tipo de relaciones representa cada una de ellas.

Rpta.

R1 es reflexiva, simétrica y transitiva R2 es reflexiva, transitiva y simétrica R3 no es simétrica es transitiva 8. Sea A={1, 2, 3, 4} y la relación R: A A ; donde R={(2,2) (2,1) (1,1) (4,4) (3,z) (x,y) (x,z) (2,3) (z,y) (3,1)} Si R es una relación de equivalencia en A. Hallar el valor de: 3x+2y-z

Rpta. 4

9. Sea R={(x,y) NxN / x2-2x = y ; x <0,5] } ; 0 N. Si “m” es la suma de los elementos del dominio de R ; “n” es la suma de los elementos del dominio de R-1.

Hallar 26m/n

Rpta. 15

10. Sea n(A) el número de elementos del conjunto A. Si A={1, 2, 3, 4, 5, 6} donde se definen las relaciones R1={(x,y) A2/y = x/3}; R2={(x,y) A2/y=2x} ; R3={(x,y) A2/y=x} Hallar: n(R1 R2 R3)

Rpta. 11

z 2 43 z

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M AT E M Á T I C A

11. Si R = {(x , y) A2 / x + 1 ≤ y2} , A = {2 , 3 , 9}

Hallar n(R) .

12. Dado

A = {x N / 3 < x + 1 < 7} ; B = {x Z /

}

Tabular las siguiente relaciones definidas en AxB R1= {(x , y) AxB / x > y + 3] R2= {(x , y) AxB / x + y = 6] R3= {(x , y) AxB / y + 1 ≤ x2] R4= {(x , y) AxB / x2 - y2 = 1} R5= {(x , y) AxB / 2x - 3y > 2} 13. Hallar dominio y rango de cada relación real y grafique R1 = {(x , y) R2 / y =

}

R2 = {(x , y) R2 / y =

}

14. Dada las relaciones R1 = {(x ,y) R2 / |x| ≤ 4 , y ≥ -3} R2 = {(x ,y) R2 / 5x - 4y + 12 ≥ 0} hallar el área de R1

R2

15. Sea A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} y R = {(x , y) A2 / x-y+1 = 0} Si “a” es el producto de los elementos del dominio de R y “b” el producto de los elementos del rango, hallar el valor de 16. Hallar la inversa de la siguientes relaciones R1 = {(x , y) N2 / y + 2 ≤ 8] R2= {(x , y) R2/ 2y - x ≤ -8} R3= {(x , y) R2/ y = x2- 2x - 3} R5 = {(x , x2) Z2/

}

17. Dada las siguientes relaciones. Graficar indicando dominio y rango.

R1 = {(x , y) R2 / R2 = {(x , y) R2 /

y < x} }

z 2 44 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 245 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

18. Si R1 = {(x , y) R2 / y ≥ x2- 4x}; R2 = {(x , y) R2 /y ≤- x} Graficar R1

R2, indicando dominio y rango.

19. Si R1 = {(x , y) R2 / x > 0

y < 9}

R2 = [(x , y) R2 / x + y < 10} a. Hallar R1

R2

b. Hallar Dominio y rango de R1

R2

20. Graficar la siguiente relación, dar dominio y rango.

R = {(x , y) R2 /

, x2 + y2 ≤ 4}

21. Hallar el rango de la siguiente relación.

R = {(x , y) R2 / y2 ≤ 4x , 2x + y ≤ 4} 22. Graficar, hallar dominio y rango de la siguiente relación R1 = {(x , y) R2 / y + 2 ≤

}

R2 = {(x , y) R2 / y - 3 ≥ -

}

23. Si R = {(x , y) A2 / x + 1 ≤ y2} , A = {2 , 3 , 9} Hallar n(R) 24. Hallar dominio y rango de cada relación real y grafique R1 = {(x , y) R2 / y =

}

R2 = {(x , y) R2 / y =

}

25. Dada las relaciones R1 = {(x ,y) R2 / |x| ≤ 4 , y ≥ -3} R2 = {(x ,y) R2 / 5x - 4y + 12 ≥ 0} hallar el área de R1 26. Dada las relaciones R1 = {(x , y) R2 / 3x -2y + 5 < 0} R2 = {(x , y) R2 / -x - y + 3 > 0}

Hallar dominio y rango de R1

R2

z 2 45 z

R2

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M AT E M Á T I C A

27. Construir el gráfico de las siguientes relaciones definidas en R. R1= {(x , y) / x ≤ 2y

y [-2 , 1]}

R2= {(x , y) / x2+ y2 ≤ 9 R3= {(x , y) /

x ≥ 0}

}

28. Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones definidos en los reales y trazar su gráfica correspondiente: a) R1 = {(x,y) R2 / 3x-2y+6 = 0 ; -4 < x < 4} b) R2 = {(x,y) R2 / x [-3,5> ; y [-2,4]} c) R3 = {(x,y) R2 / x2+y2 = 9} d) R4 = {(x,y) R2 / 2x+y ≥ 4} e) R5 = {(x,y) R2 / y2-2y-3 < x} f) R6 = {(x,y) R2 /

}

g) R7 = {(x,y) R2 /

}

h) R8 = {(x,y) R2 / y ≥ x2-9

y ≤ 3-x }

i) R9 = {(x,y) R2 /

}

29. Si R1={(x,y) R2 / x > 0 ; xy > 9} y R2={(x,y) R2 / x+y < 10} Hallar el rango de R1

R2

Rpta. <1, 9>

30. Bosqueje y discuta las gráficas de las siguientes curvas definido en los reales a) y = 18 - 8x - 2x2 b) x + 2y2 + 8y - 8 = 0 c) x2 + y2 + 6x - 2y + 1 = 0 d) x3 - x2y - xy + y2 = 0 e) xy2 - x2 = y2

z 2 46 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 247 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Funciones Definición Una función es un conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente.

Ejemplo

f = {(1;3);(2;5);(3;7);(4;8)}

f1 = {(0;3);(2;9);(0;6);(1;8)} Podemos observar que f es función, pero f1 no es función por tener dos pares ordenados que tienen la primera componente igual.

Gráficamente:

Puedes observar que al elemento 0 del conjunto C le corresponde dos elementos del conjunto D, por lo tanto no es función.

Puedes observar que a cada elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B, por lo tanto es función.

Funciones reales Sea el conjunto de los números reales “R” y la función “f” definida de R en R, ésta se denota por, f:R R f es una función definido de R en R, si, para cada x que pertenece al dominio de f le corresponde uno y solo un elemento y que pertenece al rango de f de modo que su regla de correspondencia es: y = f(x).

Simbólicamente f:R R es:

f =

{( x; y ) ∈ℜxℜ / y = f ( x); x ∈ Dom ( f )} z 2 47 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 248 - ( )

M AT E M Á T I C A

Gráficamente, toda función definido en los reales es una gráfica cuya recta perpendicular al eje x intercepta a la gráfica a lo más en un punto.

Ejemplos Observa que la recta L corta a la gráfica en un punto, por lo tanto, es función.

Observa que la recta L corta a la gráfica en dos puntos, por lo tanto, no es función.

Observa que la recta L corta a la gráfica en un punto, por lo tanto, es función.

z 2 48 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 249 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Observa que la recta L corta a la gráfica en dos puntos, por lo tanto, no es función.

Observa que la recta L corta a la gráfica en un punto, por lo tanto, es función.

Observa que la recta L corta a la gráfica en un punto, por lo tanto, es función.

z 2 49 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 250 - ( )

M AT E M Á T I C A

Dominio y rango de una función En otras palabras, el dominio de una función son las primeras componentes de los pares oredenados que forma a la función, es decir, los valores de x.

Simbólicamente:

Dom( f ) = { x ∈ℜ / ∃y ∈ Rang ( f ) si y = f ( x)}

De igual manera, el rango de una función es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados que forman a la función es decir, los valores de “y” Simbólicamente:

Rang ( f ) = { y ∈ℜ / y = f ( x); x ∈ Dom( f )}

Sea la función cuya gráfica es:

Dom( f ) = [ x1 ; x2 ]

Rang ( f ) = [ y1 ; y2 ]

Función constante Es aquella cuya regla de correspondencia es: f ( x ) = k en donde K es una constante que pertenece al conjunto de números reales, cuya gráfica será siempre una recta paralela al eje de las abscisas. Gráficamente, tenemos:

Dom( f ) = ℜ Rang ( f ) = {k} z 2 50 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 251 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Ejemplo Hallar gráfica dominio y rango de la siguiente función:

f : ℜ → ℜ / f ( x) = 3 Solución

como

y = f ( x) ⇒ y = 3

La gráfica de la función es:

Dom( f ) = ℜ Rang ( f ) = {3}

Función identidad Es aquella cuya regla de correspondência es: f ( x) = x , cuya gráfica será siempre una recta que pasa por el origen y biseca al primer y tercer cuadrante en partes iguales.

Gráficamente, tenemos:

Dom( f ) = ℜ Rang ( f ) = ℜ

z 2 51 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 252 - ( )

M AT E M Á T I C A

Función lineal Es aquella cuya regla de correspondência es: f(x) = ax + b donde a y b son constantes que pertenecen a los reales con a ≠ 0, de no existir restricciones el domínio es todos los reales, así como su rango, y su gráfica es una recta, a es el valor de la pendiente de la recta, y b es donde la recta corta al eje de las y Ejemplo Hallar la gráfica dominio y rango de la función.

f : ℜ → ℜ / f ( x) = 2 x + 3

Solucion Como y = f(x), entonces se tiene: y = 2x + 3. Su gráfica es una recta el valor de la pendiente es 2 y la recta corta al eje y en el punto 3.

Dom( f ) = ℜ

Rang ( f ) = ℜ

Función cuadrática Es aquella cuya regla de correspondencia es: f(x) = ax2 + bx + c donde a , b y c son constantes que pertenecen a los reales con a ≠ 0. Su gráfica es una parábola para lo cual iniciamos hallando el vértice de la parábola:

 b  −b   v − ; f    2a  2a   z 2 52 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 253 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Ejemplo Hallar la gráfica dominio y rango de la función.

Solución El vértice de la parábola es V(x,y), la abscisa de dicho vértice lo hallamos con:

Para calcular la ordenada del vértice remplazamos el valor de x en la ecuación

Dom( f ) = ℜ Rang ( f ) = [ −1; +∞ >

Función raíz cuadrada Es aquella cuya regla de correspondencia es:

f ( x) = x Como y = f(x) entonces se tiene

y= x

Para que exista y entonces x ≥ 0, Su gráfica es:

z 2 53 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 254 - ( )

M AT E M Á T I C A

f ( x) = x

Dom( f ) = [ 0; +∞ >

Rang ( f ) = [ 0; +∞ > Ejemplo Hallar la gráfica domínio y rango de la función.

f : ℜ → ℜ / f ( x) = x − 4 Solución

como

y = f ( x) ⇒

y = x−4

El dominio será x – 4 ≥ 0 por lo tanto x ≥ 4

Dom( f ) = [ 4; +∞ > Rang ( f ) = [ 0; +∞ > La gráfica de la función es:

f : ℜ → ℜ / f ( x) = x − 4

z 2 54 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 255 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Función valor absoluto Es aquella cuya regla de correspondencia es:

f ( x) = x Como y = f(x), entonces se tiene

y= x

Su gráfica es:

f ( x) = x

Dom( f ) = ℜ Rang ( f ) = [ 0; +∞ > Ejemplo Hallar la gráfica domínio y rango de la funcion.

f : ℜ → ℜ / f ( x) = 2 x − 4 Solución Como y = f(x), entonces tenemos y = |2x-4| Aplicando la definición de valor absoluto: 2x – 4 ≥ 0 , y = 2x – 4 2x ≥ 4 si x = 0 entonces y = - 4 x ≥ 2 si y = 0 entonces x = 2 2x – 4 < 0 , y = - 2x + 4 2x < 4

si x = 0 entonces y = 4

x<2

si y = 0 entonces x = 2 z 2 55 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 256 - ( )

M AT E M Á T I C A

Dom( f ) = ℜ Rang ( f ) = [ 0; +∞ >

Función máximo entero Es aquella cuya regla de correspondencia es:

f ( x) =  x  Dom( f ) = ℜ

Rang ( f ) =  Para hallar su gráfica debemos partir de la siguiente relación:

= n ⇔ n ≤ x < n + 1;

n∈ Asignando algunos valores enteros para n, se tiene:

z 2 56 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 257 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

La gráfica será de la siguiente forma:

f ( x) =  x 

Dom( f ) = ℜ Rang ( f ) =  Ejemplo Hallar el dominio, el rango y la gráfica de la funcion.

Solución Para que exista esta función los valores de x serán mayores o iguales que cero. Es decir:

z 2 57 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 258 - ( )

M AT E M Á T I C A

Dom( f ) = [ 0; +∞ > Rang ( f ) = {0;1; 2;3; 4;...; +∞}

Función signo Es aquella cuya regla de correspondencia es:

f ( x)

sig ( x)

En donde

−1 x < 0  f ( x) = sig ( x) =  0 x = 0 1 x>0 

Por lo tanto, su gráfica es:

Dom( f ) = ℜ Rang ( f ) = {−1;0;1} z 2 58 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 259 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Ejemplo Hallar el dominio, el rango y la gráfica de la función f : ℜ → ℜ / f ( x) = sig ( x − 4) 2

Solución Aplicando la definición, tenemos

−1 ⇒ x 2 − 4 < 0  f : ℜ → ℜ / f ( x) = sig ( x 2 − 4) =  0 ⇒ x 2 − 4 = 0  1 ⇒ x2 − 4 > 0  Podemos observar que se tiene dos inecuaciones y una ecuación.Resolviendo, se tiene:

x ∈< −2; 2 > −1 ⇒  f : ℜ → ℜ / f ( x) = sig ( x − 4) =  0 ⇒ x = −2 ∨ x = 2  1 ⇒ x ∈< −∞; −2 > ∪ < 2; +∞ >  2

Graficando, la función tenemos:

Dom( f ) = ℜ Rang ( f ) = {−1;0;1}

z 2 59 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 260 - ( )

M AT E M Á T I C A

Problemas resultos de funciones Problema 1 Hallar la gráfica domínio y rango de la funcion.

f : ℜ → ℜ / f ( x) =  x + 4 Solución Aplicando la definición de función máximo entero, tenemos:

f ( x) =  x + 4 = n ⇔ n ≤ x + 4 < n + 1;

n∈

f ( x) =  x + 4 = n ⇔ n − 4 ≤ x < n − 3;  .  .   .   −2  −1  f ( x) =  x + 4 =  0 1  2  3 4   .

n∈

. . . − 6 ≤ x < −5 −5 ≤ x < −4 −4 ≤ x < −3 −3 ≤ x < −2 −2 ≤ x < −1 −1 ≤ x < 0 0 ≤ x <1 .

f : ℜ → ℜ / f ( x) =  x + 4

Dom( f ) = ℜ Rang ( f ) = {−∞;...; −2 − 1;0;1; 2;3;...; +∞} z 2 60 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Problema 2 Hallar el dominio el rango y la gráfica de la siguiente función:

f = {( x; y ) ∈ℜxℜ / f ( x) = 3 x − 1;

x > 1}

Solución

como

y = f ( x) ⇒

y = 3x − 1

El dominio será los valores reales mayores que 1, es decir:

Dom( f ) =< 1; +∞ > El rango de la función se calcula despejando x en función de y

x=

y +1 ; 3

pero x > 1 entonces remplazamos el valor de x

y +1 > 1, ⇒ y + 1 > 3, 3

y>2

Rang ( f ) =< 2; +∞ > Gráfica de la función

Problema 3 Hallar el dominio el rango y la gráfica de la siguiente función:

{

f 2 = ( x; y ) ∈ℜxℜ / f ( x) = 3 x 2 − 9

}

Solución

z 2 61 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 262 - ( )

M AT E M Á T I C A

Calculando el dominio de la función como estamos trabajando en el conjunro de números reales, entonces la cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero obteniéndose una inecuación de segundo grado la cual lo resolveremos por los métodos ya conocidos. En este caso, vamos a utilizar el método de los puntos críticos:

3x 2 − 9 ≥ 0

utilizando el método de los puntos críticos se tiene :

3x 2 − 9 = 0 ⇒ 3x 2 = 9 ⇒ x 2 = 3 ⇒ x = ± 3 Como la desigualdad es mayor igual a cero, tomamos los intervalos positivos

Dom( f ) = < −∞; − 3  ∪  2 ; +∞ > Como la variable “y” no puede ser negativa, ya que la cantidad subradical tiene que ser mayor o igual que cero, entonces el rango es:

Rang ( f ) = [ 0; +∞ > Gráfica de la Función

Problema 4 Hallar gráfica dominio y rango de la siguiente función:

f3 : [ −2; 2] → [ −3;3] / f ( x) = x − 2 Solución Observa que existen dos restricciones para el eje x y para el eje y, por lo tanto la gráfica será un segmento de recta comprendido dentro de las dos restricciones.

z 2 62 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

como

y = f ( x) ⇒

y = x−2

y = x−2 si x = −1 ⇒ y = −3 si x = 2 ⇒ y = 0 La gráfica de La funcion será:

Dom( f3 ) = [ −1; 2] Rang ( f3 ) = [ −3;0] Problema 5 Hallar el dominio el rango y la gráfica de la siguiente función:

f = {( x; y ) ∈ℜxℜ / f ( x) = 3 x − 1;

x > 1}

Solución El dominio será los valores reales mayores que 1, es decir :

Dom( f ) =< 1; +∞ > El rango de la función se calcula despejando x en función de y; no olvidar que y = f(x), entonces y = 3x-1

x=

y +1 ; ⇒ 3

y +1 > 1; ⇒ y + 1 > 3; ⇒ y > 2 Por lo tan to 3

Rang ( f ) =< 2; +∞ >

z 2 63 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 264 - ( )

M AT E M Á T I C A

Por lo tanto, la gráfica de la función será:

Problema 6 Hallar el dominio, el rango y la gráfica de la función

f : ℜ ⇒ ℜ / f ( x) = x 2 − 3x + 2 Solución De acuerdo con su regla de correspondencia la gráfica de la función es una parábola para lo cual iniciamos hallando el vértice de la parábola:

 b v − ;  2a

 −b   f    2a  

Entonces, calculamos el valor de “x” abscisa del vértice,

x=

−(−3) 3 3 = ⇒ x= 2(1) 2 2

x=

−b 2a

si y = f ( x) se tiene : y = x 2 − 3x + 2

Remplazando el valor de “x” en y = x2- 3x+2 , se tiene: 2

3 3 x =   − 3  + 2 ⇒ 2 2

y=

9 9 − +2 ⇒ 4 2

y=

9 − 18 + 8 ⇒ 4

y=

−1 4

Por lo tanto, el vértice de la parábola es el punto V  3 ; − 1  2 4 Hallamos los puntos de corte con los ejes coordenados haciendo y = 0

z 2 64 z

bola

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

x 2 − 3x + 2 = 0 ⇒ ( x − 2)( x − 1) = 0 ∴ x = 2 ∧ x = 1

3 1 V  ;−  2 4

Por lo tanto.

Dom( f ) = ℜ =< −∞; +∞ > 1 Rang ( f ) =< − ; +∞ > 4 Problema 7 Hallar el dominio, el rango y la gráfica de la función

f : ℜ ⇒ ℜ / f ( x) = − x 2 + 25 ; y ≤ 0 Solución Si la regla de correspondencia de la función es Entonces tenemos

y = − x 2 + 25 ⇒

f ( x) = − x 2 + 25

y 2 = − x 2 + 25 ⇒

x 2 + y 2 = 52

Por lo tanto la gráfica será una circunferencia con centro en el origen y un radio igual a 5 con una restricción y ≤ 0

z 2 65 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 266 - ( )

M AT E M Á T I C A

Por lo tanto.

Dom( f ) = [ −5;5] Rang ( f ) = [ −5;0] Problema 8 Hallar el dominio, el rango y la gráfica de la función

f : ℜ ⇒ ℜ / f ( x) = 2 x − 4 + x − 1 Solución Como se trata de una función con valor absoluto tenemos.

y = 2x − 4 + x −1

2x − 4 ≥ 0 ∧

2x ≥ 4 ∧ x≥2 ∧

y = 2x − 4 + x −1

y = 3x − 5 y = 3x − 5

y = 3x − 5 si x = 2 ⇒ y = 1; (2;1) si x = 3 ⇒ y = 4 ; (3; 4)

2x − 4 < 0 ∧

y = −2 x + 4 + x − 1

2x < 4 ∧

y = −x + 3

x<2 ∧

y = −x + 3 z 2 66 z

y = f ( x)

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

y = −x + 3 si x = 2 ⇒ y = 1 ; (2;1) si x = 0 ⇒ y = 3 ;(0;3) Por lo tanto.

Dom( f ) = ℜ Rang ( f ) = [1; +∞ >

Operaciones con funciones Sean f y g dos funciones definidas en el conjunto de números reales, cuyas reglas de correspondencia son f(x) y g(x). Se define en ellas las siguientes operaciones:

1. Suma o adicion f + g = {( x; y ) / y = f ( x) + g ( x), x ∈ Dom( f ) ∩ Dom( g )}

2. Resta o diferencia f − g = {( x; y ) / y = f ( x) − g ( x), x ∈ Dom( f ) ∩ Dom( g )}

3. Producto o multiplicación f .g = {( x; y ) / y = f ( x).g ( x), x ∈ Dom( f ) ∩ Dom( g )}

4. División o cociente  f  f ( x) = ( x; y ) / y = , g ( x) ≠ 0, x ∈ Dom( f ) ∩ Dom( g )  g  g ( x)  Ejemplo dadas las funciones:

f = {(−3; 2);(0;0);(2; 4);(3; −1);(4;3)}

g = {(2;0);(3; 4);(4;7);(6; 2)} z 2 67 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 268 - ( )

M AT E M Á T I C A

Hallar: a ) f + g

b) f − g

c ) f .g

d)

f g

Solución Hallamos el domínio de la función f y de la función g.

Dom( f ) = {−3;0; 2; 4;3}

Dom( g ) = {2;3; 4;6}

Hallamos la intersección de los dominios a)

f +g ⇒

Dom( f ) ∩ Dom( g ) = {2;3; 4}

y = f ( x) + g ( x)

y = f (2) + g (2) = 4 + 0 ⇒ 4 ⇒ (2; 4) y = f (3) + g (3) = −1 + 4 ⇒ 3 ⇒ (3;3)

y = f (4) + g (4) = 3 + 7 ⇒ 10 ⇒ (4;10) f + g = {(2; 4);(3;3);(4;10)} b)

f −g ⇒

y = f ( x) − g ( x)

y = f (2) − g (2) = 4 − 0 ⇒ 4 ⇒ (2; 4)

y = f (3) − g (3) = −1 − 4 ⇒ − 5 ⇒ (3; −5) y = f (4) − g (4) = 3 − 7 ⇒ − 4 ⇒ (4; −4)

f − g = {(2; 4);(3; −5);(4; −4)} f .g ⇒ y = f ( x).g ( x) y = f (2).g (2) = (4)(0) ⇒ 0 ⇒ (2;0)

c)

y = f (3).g (3) = (−1)(4) ⇒ − 4 ⇒ (3; −4) y = f (4).g (4) = (3)(7) ⇒ 21 ⇒ (4; 21) d).

f .g = {(2;0);(3; −4);(4; 21)} f ( x) g ( x)

f g

⇒

y=

f (2) 4 ⇒ = In det er min ado ∉ 0 g (2)

y=

z 2 68 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 269 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

y=

f (4) 3 3 ⇒ ⇒ (4; ) g (4) 7 7

f  1 3  = (3; − );(4; )  g  4 7 

Composición de funciones Dadas las funciones f y g, definidas en el conjunto de números reales, la composición de dichas funciones es otra función denotada por: ( f  g ) o ( g  f ) cuyas reglas de correspondencia son:

( f  g )( x) = f [ g ( x) ] g compuesta con f

( g  f )( x) = g [ f ( x) ] f compuesta con g Cuyos dominios son:

Dom( f  g ) = x ∈ dom( g ) ∧

g ( x) ∈ dom( f )

Dom( g  f ) = x ∈ dom( f ) ∧

f ( x) ∈ dom( g )

Ejemplo Dadas las siguientes funciones:

f = {(2;5);(3; 4);(6;7);(0;3);(1;9)} y g = {(5;1);(3;6);(8; 4);(9;7);(6;1)} hallar: ( f  g ) y ( g  f ) Solución Cuando los elementos de las funciones f y g son pares ordenados la ruta más sencilla para hallar la composición de dichas funciones es mediante diagramas de Ven Eular.

Calculando

( f  g)

z 2 69 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 270 - ( )

M AT E M Á T I C A

Calculando

(g  f )

Ejemplo Sean las funciones definidas en los reales:

f ( x) = 3x − 1 − 1 ≤ x < 3 y g ( x) =

2 x − +3 − 2 < x <1 5

Hallar: ( f  g ) y ( g  f ) Solución Calculando ( f  g )

( f  g ) = f [ g ( x)]  2x + 3  ( f  g) = f   5   2x + 3  ( f  g) = 3  −1  5 

( f  g) =

6x + 9 6x + 9 − 5 6x + 4 −1 = = 5 5 5

( f  g) =

6x + 4 5

Dom( f  g ) = x ∈ dom( g ) ∧

g ( x) ∈ dom( f )

Dom( f  g ) = x ∈ dom( g ) ∧ g ( x) ∈ dom( f )    x∈<−2;1>

2 x +3 ∈[ −1;3> 5

z 2 70 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 271 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

−1 ≤

2x + 3 <3 5

−5 ≤ 2 x + 3 < 15 −8 ≤ 2 x < 12 −4 ≤ x < 6

−2 < x < 1 ∧ − 4 ≤ x < 6

[ −4;6 >

x ∈< −2;1 > ∩

x ∈< −2;1 > Dom( f  g ) =< −2;1 > Calculando ( g  f )

( g  f ) = g [ f ( x)]

( g  f ) = g (3 x − 1) (g  f ) =

6x − 2 + 3 6x +1 = 5 5

(g  f ) =

6x +1 5

Dom( g  f ) = x ∈ dom( f ) ∧

f ( x) ∈ dom( g )

Dom( g  f ) = x ∈ dom( f ) ∧ f ( x) ∈ dom( g )    x∈[ −1;3>

x ∈ [ −1;3 > ∩

x ∈ [ −1;3 > ∩

(3 x −1)∈<−2;1>

− 2 < 3x − 1 < 1

− 1 < 3x < 2

x ∈ [ −1;3 > ∩

1 2 − <x< 3 3

x ∈ [ −1;3 > ∩

1 2 <− ; > 3 3

1 2 x ∈< − ; > 3 3 1 2 Dom( g  f ) =< − ; > 3 3

z 2 71 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:56 a.m. - 272 - ( )

M AT E M Á T I C A

Ejemplo Dadas las funciones: f ( x) = x − 1 ; 2

( f  g ) = 9x

2

x >1

+ 30 x + 24

Hallar: la función g(x) y su dominio Solución

( f  g )( x) = f [ g ( x) ]

( f  g )( x) = [ g ( x) ] − 1 2

[ g ( x)]

− 1 = ( f  g )( x)

[ g ( x)]

− 1 = 9 x 2 + 30 x + 24

2

2

[ g ( x)]

2

= 9 x 2 + 30 x + 25

[ g ( x)]

2

= ( 3x − 5)

2

g ( x) = 3x − 5

Dom( f  g ) = x ∈ dom( g ) ∧

g ( x) ∈ dom( f )

Dom( f  g ) = x ∈ dom( g ) ∧ g ( x) ∈ dom( f )    ( 3 x + 5) ∈ <1;+∞>

x∈dom ( g )

x ∈ dom( g ) ∧ (3 x + 5) ∈< 1; +∞ >

x ∈ dom( g ) ∧ 1 < (3 x + 5) < +∞ x ∈ dom( g ) ∧ − 4 < 3 x < +∞ 4 x ∈ dom( g ) ∧ − < x < +∞ 3 4 x ∈ dom( g ) ∧ x ∈< − ; +∞ > 3 4 dom [ g ( x) ] = < − ; +∞ > 3 Ejemplo Dadas las funciones definidas en los reales:

f ( x) = 2 x − 1 ; x > 1 y

g ( x) = 2 x − 3 ; 0 < x < 8

a) hallar ( f  g ) y su dominio z 2 72 z

FE matematica-eduardo alcantara.pdf 12/08/2015 10:12:57 a.m. - 273 - ( )

E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

b) hallar f(x+1) c) Si h(2x+1) = 3x + 2,

hallar h(x)

d) Si j(x+2) = fog, hallar j(x) Solución Hallando ( f  g ) y su dominio

( f  g )( x) = f [ g ( x) ]

( f  g )( x) = f [ 2 x − 3] ( f  g )( x) = 2(2 x − 3) − 1 = 4 x − 6 − 1 = 4 x − 7 ( f  g )( x) = 4 x − 7

Dom( f  g ) = x ∈ dom( g ) ∧

g ( x) ∈ dom( f )

Dom( f  g ) = x ∈ dom( g ) ∧ g ( x) ∈ dom( f )    ( 2 x + 3) ∈ <1;+∞>

x∈< 0;8 >

x ∈< 0;8 > ∧ (2 x + 3) ∈< 1; +∞ >

x ∈< 0;8 > ∧ 1 < (2 x + 3) < +∞

x ∈< 0;8 > ∧ − 2 < 2 x < +∞

x ∈< 0;8 > ∧ − 1 < x < +∞ x ∈< 0;8 > ∩ x ∈< −1; +∞ > x ∈=< 0;8 >

Dom( f  g ) =< 0;8 > Hallando f(x+1) En la función f, remplazamos x por x+1, es decir:

f ( x) = 2( x + 1) − 1

f ( x) = 2 x + 2 − 1 = 2 x + 1

f ( x + 1) = 2 x + 1 Si h(2x+1) = 3x + 2,

hallar h(x)

haciendo k = 2 x + 1 z 2 73 z

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si k = 2 x + 1 ⇒ 2 x = k − 1 k −1 x= 2  k −1  h( k ) = 3  +2  2 

3k − 3 +2 2 3k − 3 + 4 3k + 1 h( k ) = = 2 2 3k + 1 h( k ) = 2 h( k ) =

h( x ) = d)

si

3x + 1 2 j ( x + 2) = ( f  g ), hallar j ( x)

( f  g) = 4x − 7 j ( x + 2) = 4 x − 7

m = ( x + 2) x = m−2 j (m) = 4(m − 2) − 7

j ( m) = 4m − 8 − 7

j (m) = 4m − 15 j ( x) = 4 x − 15

z 2 74 z

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E D U A R D O A L C Á N TA R A B E C E R R A

Sucesiones aritméticas En términos generales, una sucesión es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números dispuestos entre sí por una ley de formación. Cada uno de ellos se denomina término o elemento o miembro de la sucesión y al número de elementos de la sucesión ya ordenados se le llama longitud de la sucesión.

Una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de números naturales {1; 2; 3; 4; 5; ...; + }.

Una sucesión aritmética es aquella en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante.

La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es: an + b en donde: a: es una constante que se obtiene mediante la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión (un término y el anterior) b: es una constante que se obtiene con el primer término de la sucesión. n: es el número de términos deseado.

Si sumamos n términos de la sucesión en la cual el término general de dicha sucesión es “an + b” obtenemos la siguiente fórmula:

 n(n + 1)  Sn = a  + nb  2  Ejemplo Se tiene la siguiente sucesión aritmética: 4, 9, 14, 19, 24, 29, ……….hallar la expresión que representa al termino general.

Solución Sabemos que La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es: “an + b” Entonces: a = 9–4 = 5, para calcular el valor de “b” tomamos el primer término, entonces n = 1 remplazando en la formula tenemos: 5(1) + b = 4 5+b=4 b = 4–5

b = -1

Por lo tanto, la expresión que representa al término general es: 5n – 1

z 2 75 z

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Con esta expresión podemos calcular el término 15 de la sucesión dada, es decir, 5(15)–1 = 75–1 = 74, entonces el número de la ubicación 15 de la sucesión es 75.

Ejemplo Se tiene la siguiente sucesión aritmética: -14, -7, 0, 7, 14, 21, ………. hallar la expresión que representa al término general y el valor del número de la ubicación 25 de la sucesión.

Solución Sabemos que La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es: “an + b” Entonces: a = –7–(-14) = -7+14= 7, para calcular el valor de “b” tomamos el primer término de la sucesión, entonces n = 1 remplazando, en la fórmula tenemos: 7(1) + b = -14 7 + b = -14 b = -14–7 b = -21 Por lo tanto, la expresión que representa al término general es: 7n – 21 Con esta expresión podemos calcular el término 25 de la sucesión dada, es decir 7(25) – 21 = 175 – 21 = 154, entonces el número de la ubicación 25 de la sucesión es 154.

Ejemplo Se tiene la siguiente sucesión aritmética: -7, -12, -17, -22, -27,………. hallar la expresión que representa al término general, el valor del número de la ubicación 12 de la sucesión y calcular la suma de los primeros 20 términos de la sucesión.

Solución Sabemos que La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es: “an + b” Entonces: a = -12–(-7)= -12+7=-5, para calcular el valor de “b” tomamos el primer término de la sucesión, entonces n = 1 remplazando en la fórmula, tenemos: -5(1) + b = -7 -5 + b = -7 b = -7+ 5 b = -2 z 2 76 z

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Por lo tanto, la expresión que representa al término general es: –5n – 2 Con esta expresión, podemos calcular el término 12 de la sucesión dada, es decir -5(12)–2 = -60–2 = -62 , entonces el número de la ubicación 12 de la sucesión es –62.

Para calcular la suma de los primeros 20 términos de la sucesión utilizamos la siguiente relación:

 n(n + 1)  Sn = a  + nb  2  En donde: a = - 5,

b = - 2,

n = 20,

 20(20 + 1)  S 20 = −5   + 20(−2) 2 

 400 + 20  S 20 = −5   − 40 2   420  S 20 = −5  − 40  2 

S 20 = −5 [ 210] − 40

S 20 = −1050 − 40 S 20 = −1090

z 2 77 z

Sn= ?

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