PREUNIVERSITARIO A-LAFKEN | AÑO 2021 |
PTU
Guía de aprendizaje
MATEMÁTICA
1
Guía de aprendizaje 1. El trabajo de esta Guía será complementario a lo trabajado en nuestra aula virtual. La siguiente Guía constara de 4 partes mencionadas a continuación: Preparación PDT Actividad Resuelta. Ejercicios. Preguntas Tipo PDT. Simbología Matemática
Preparación PDT. 1. Números enteros (Z). 1.1 El conjunto de los números enteros. Definición. El conjunto numérico de los números naturales se define como N = {1, 2, 3, 4,….} se denota por N 0 cuando se agrega el 0 al conjunto, esto es, N 0 = N ᴗ {0} = {0, 1, 2, 3, 4,….}. Para representar algunas situaciones o problemas de la vida cotidiana, los números naturales no son suficientes, por ejemplo: Determinar la temperatura de una ciudad si en un instante es de 5°C y luego baja a 7°C. Determinar un número que sumado con 4 resulte 1, es decir, resolver la ecuación x +4=1. Para representar estas situaciones o resolver este tipo de problemas es necesario conocer otro conjunto numérico llamado números enteros. El conjunto de los números enteros se simboliza por Z y se puede representar por. +¿={… ,−4 ,−3 ,−2 ,−1,0 ,1 ,2,3 ,4 ,…} ¿
¿ Z=Z −¿ᴗ {0 } ᴗ Z +¿ corresponde a losconjuntos de numeros enteros positivos ¿ Z −¿corresponde al conjunto delosnumeros enteros negativos ¿ Z
1.2 Divisores y múltiplos, números pares e impares. Si a , b , c ∈ Z−{ 0 }cumplen la relación c=a ·b entonces a y b son divisores de c y c es múltiplo de a y de b . El mínimo común múltiplo (m.c.m) de un conjunto de números enteros es del menor entero positivo que es múltiplo de cada uno de los números dados. El máximo común divisor (m.c.d.) de un conjunto de números enteros es el mayor entero positivo que divide a cada uno de los números del conjunto. Un número entero es par si es múltiplo de 2. n Es par ↔ n=2 p , con p ∈ Z . Un número entero es impar si es antecesor o sucesor de un número par. n Es impar ↔ n=2 p−1 o n=2 p+1 , con p ∈ Z .
Actividad resuelta. 1. Escribe un número entero que represente la información numérica de cada situación. a) En la Antártica se registró una temperatura de 20 °C bajo cero. Las temperaturas bajo cero se pueden representar con números enteros negativos. Así la temperatura descrita correspondería a -20, es decir, -20°C. b) Las ganancias de una empresa en un día fueron $700.000 Las ganancias se pueden representar con números enteros positivos, así las ganancias de la empresa corresponderían al número 700.000. 2. ¿-20 es múltiplo de 10? Sí, porque -20 = (-2) · 10. 3. ¿2 es divisor de -20? Si, -20 = 2 · (-10) 4. Determina el m.c.m. y el m.c.d. de los siguientes números enteros. c.1) m.c.m. (-2, 6) = 6 c.2) m.c.d. (-2, 6) = 2 c.3) m.c.m. (-4, 4, 8) = 8 c.4) m.c.d. (-4, 4, 8) = 4 c.5) m.c.m. (-3, 5, 7) = 105 c.6) m.c.d. (-3, 5, 7) = 1
Ejercicios. 1. Escribe V o F si el elemento pertenece o no pertenece al conjunto. +¿ ¿ a) -1 _____ Z +¿ ¿ b) 19 _____ Z +¿ ¿ c) -45 _____ Z +¿ ¿ d) 165 _____ Z −¿¿ e) 17 _____ Z −¿¿ f) 12 _____ Z 2. Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. a) El m.c.m. (4,10) es un número par. b) El m.c.d. (8,12) es un número impar. c) El m.c.m (5, 12, 25) es igual que el m.c.m. de (1, 2, 5) d) El m.c.d (12, 15, 21) es distinto al m.c.d. (9, 3, 6) 3. El resultado de la expresión (-3) · (-2)² + (-2)³ : 2 es: a) 32 b) 14 c) -16 d) -10 e) 17
4. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I)
3· (-2) = -6
II)
3 · (-3) < (-5)²
III)
3² > 2³ a) Solo I b) Solo I y II c) Solo ll y lll d) I, II Y III
5. - 3 + 3 : 3 - 3 · 3 = a) -3 b) -11 c) -9 d) -12
e) 0 6. Si a =-3 ¿Cuál es el valor de - a³ - a²? a) -36 b) -18 c) -15 d) 18 e) 36
Preparación PDT. El conjunto de los Números racionales (Q) El conjunto de los números racionales, que se simboliza Q, se puede representar como
Q=
{ab ,b ∈ Z , b ≠ 0 donde a es el numerador y b el denominador }.
Entre
los
conjuntos
numéricos estudiados se tiene que N ⊂ Z ⊂ Q . Las fracciones equivalentes debe cumplir que:
a c = ↔ a ∙ d=b ∙ c b d
Las fracciones irreducibles son aquellas en que el numerador y el denominador no tienen divisores comunes distintos de 1, es decir, no se pueden simplificar. Por ejemplo
4 es irreducible porque los divisores de 4 son {1, 2, 3} y los divisores de 9 son 9
{1, 3, 9} Para ordenar los números racionales, se pueden escribir estos números como una fracción de igual denominador. Luego, se determina el orden entre los numeradores de las fracciones equivalentes.
Actividad Resuelta. Determina si las siguientes fracciones representan el mismo número racional. Justifica tu respuesta. a)
−3 45 y 4 60
Como −3 ∙ 60=180 y 4 ∙ 45=180Entonces las fracciones no son equivalentes. b)
−2 40 y− 5 100
Como −2 ∙100=200=5 ∙ (−40 ) , entonces las fracciones son equivalentes.
Ejercicios. 1. Escribe tres fracciones equivalentes a cada número racional.
a)
−12 5
b)
3 4
c)
3 10
2. El resultado de la expresión a)
8 10
b)
8 21
c)
1 35
d)
1 40
8 2 3 ∙( − ) es: 7 5 8
3. Una fracción con numerador y denominador positivo aumenta su valor si: I.
El numerador aumenta
II.
El denominador aumenta
III.
El denominador disminuye
a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) Solo I y III
4. ¿Qué precio tiene una mercadería si los a) $15.000 b) $18.000 c) $21.000 d) $28.000
2 2 de los de ella equivalen a $5.600? 3 5
e) $42.000 5. Los números racionales
1 2 3 3 , , , ordenados de mayor a menor son: 2 3 4 5
Preguntas tipo PDT.
1 1 1. Tomas gasto del total de su dinero en comprar ropa. De lo que le queda, gasta en 5 8 comprar diferentes tipos de calzado. Si en un principio tenía $ 1.200.000 ¿Cuál es la fracción, respecto del total, que representa el dinero que le qu0da a Tomas? A)
3 10
B)
7 10
C)
7 30
D)
13 40
E)
27 40 Resolución.
Tomas tiene en un principio $ 1.200.000, luego hace los siguientes gastos. Ropa :
1 1.200.000 de $ 1.200.000 que corresponde a calcular = 240.000 , es decir, 5 5
gasta Calzado:
$240.000 y le quedan $ (1.200.000 – 240.000) = $960.000
1 960.000 =120.000 ,es decir, gasta de $960.000, que corresponde a calcular 8 8
$120.000 y le quedan $(960.000 – 120.000) = $840.000 Para calcular la fracción que representa el dinero restante, se debe hacer lo siguiente:
Dineroque≤queda 84 0.000 84 :12 7 = = = Total de dinero 1.20 0.000 120 :12 10 Observaciones y comentarios.
En este ejercicio es conveniente tener claro que para calcular el dinero utilizado en la compra de calzado se debe considerar la diferencia entre el dinero que se tenía en un principio y el gastado en la ropa. Además, una vez que se haya determinado la fracción correspondiente, se debe simplificar hasta obtener una fracción irreducible. Respuesta. B