Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
PREUNIVERSITARIO A-LAFKEN
PTU
| AÑO 2021 |
MATEMÁTICAS
GUIA ESTUDIANTE N°3 Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
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GUÍA DEL ESTUDIANTE N°3 1° medio
Ficha 4 y 5
GUÍA DEL ESTUDIANTE Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
La siguiente guía tiene como objetivo abordar los conocimientos propios del nivel que necesitas comprender para lograr el cumplimiento del siguiente objetivo de aprendizaje (OA 4 Primero Medio): OA 4: Resolver sistemas de ecuaciones lineales (2x2) relacionados con problemas de la vida diaria y de otras asignaturas, mediante representaciones gráficas y simbólicas, de manera manual y/o con software educativo
Se han elaborado 2 fichas de estudio, las que abordan los siguientes conocimientos: Tema 3. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas (Guía Nº3)
Ficha 1. Caracterización del concepto de sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 2. Métodos de resolución.
En las fichas encontrarás las siguientes secciones: ● Recordemos: Se activan los conocimientos previos. ● Práctica: Se proponen actividades que te permitirán aplicar los conocimientos previos. ● Desafío: Se compone de una o más actividades por medio de problemas o situaciones en contextos concretos o matemáticos, que te invitarán a la aplicación y reflexión de los aprendizajes adquiridos.
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Ficha 4 y 5
OBJETIVO: Comprender sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓 que corresponde a dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. ● 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 𝑦 𝑓 son números racionales ● 𝑥 𝑒 𝑦 son las incógnitas Ejemplos:
3𝑥 + 6𝑦 = 12 10𝑥 + 4𝑦 = 2 1) 2
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𝑥 + 3𝑦 = 0 6𝑥 + 𝑦 =− 4 2)
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Solución de un sistema de ecuaciones La solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas corresponde a un valor para cada incógnita (𝑥 𝑒 𝑦), de modo que al remplazarlas en cada una de las ecuaciones satisfacen ambas igualdades. Gráficamente, en el plano cartesiano, la solución es el punto de la intersección entre las dos rectas. Ejemplo: 3𝑥 + 6𝑦 = 36 7𝑥 − 4𝑦 =− 6
Grafica i)
Grafica ii)
Punto de intersección de las dos rectas
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El punto A de intersección de las dos rectas es A(2,5), donde la solución para este sistema de ecuaciones serán los valores:
𝑥=2 𝑦=5 Observación ¿Es posible que exista algún sistema de ecuaciones con dos incógnitas que no tengan solución? Respuesta: Sí, cuando las rectas no se intersectan (paralelas). USO DE TABLAS, PARA ENCONTRAR PARES ORDENADOS. El uso de tablas permite encontrar valores para las variables x e y de un sistema de ecuaciones. Será una estrategia inicial que consiste en reemplazar números en x y ver qué valores se obtiene en y, para observar cuando coinciden ambas ecuaciones. Se utilizan dos tablas, una para cada ecuación, pero se remplazarán los mismos valores de x en ambas ecuaciones. Ejemplos: 1) i) 2𝑥 + 𝑦 = 5 𝑦 = 5 − 2𝑥 x 0 1 2
y 5 3 1
(x,y) (0,5) (1,3) (2,1)
i) 2𝑥 + 𝑦 = 5 ii) 8𝑥 + 2𝑦 = 14
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ii) 8𝑥 + 2𝑦 = 14 2𝑦 = 14 − 8𝑥 𝑦 = 7 − 4𝑥 x 0 1 2
y 7 3 −1
(x,y) (0,7) (1,3) (2, − 1)
Como se observa en las tablas anteriores, el par ordenado que coincide es el (1,3), que es la solución al sistema de ecuaciones, donde 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 3.
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2) i) 𝑥 + 𝑦 =− 2 𝑦 =− 2 − 𝑥 x 0
y − 2
1
− 3
2
− 4
(x,y) (0, − 2) (1, − 3) (2, − 4)
i) 𝑥 + 𝑦 =− 2 ii) 4𝑥 − 2𝑦 = 4
ii) 4𝑥 − 2𝑦 = 4 − 2𝑦 = 4 − 4𝑥 𝑦 = 2𝑥 − 2 x 0
y − 2
1 2
0 2
(x,y) (0, − 2) (1,0) (2, 2)
En este ejemplo el par que coincide es (0, − 2), por lo que las soluciones son 𝑥 = 0 𝑒 𝑦 =− 2.
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3) i) 3𝑥 + 𝑦 = 9 𝑦 = 9 − 3𝑥 𝑦 =− 3𝑥 + 9
x 0 1 2 1 3
i) ii)
y 9 6 3 8
(x,y) (0,9) (1,6) (2,3) 1
( 3 , 8)
3𝑥 + 𝑦 = 9 6𝑥 − 𝑦 =− 6
ii) 6𝑥 − 𝑦 =− 6 − 𝑦 =− 6 − 6𝑥 𝑦 = 6𝑥 + 6 x 0
y 6
1 2
12 18 8
1 3
(x,y) (0,− 2 ) (1,0) (2, 2) 1
( 3 , 8)
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1
En este ejemplo el par que coincide es ( 3 , 8) por lo que las soluciones son 𝑥=
1)
1 3
𝑒 𝑦 = 8.
El triple de un numero más la mitad de otro número es igual a 16 y la diferencia entre estos dos números es − 4. a) Escriba el enunciado como un sistema de ecuaciones.
b) Grafique ambas ecuaciones para encontrar la solución al sistema de ecuaciones.
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2)
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Encuentre la solución de los sistemas de ecuaciones, utilizando tablas de valores. 3𝑥 + 𝑦 = 9 4𝑥 − 2𝑦 =− 8 a)
6𝑥 + 3𝑦 =− 12
7𝑥 − 𝑦 =− 14 b)
𝑥 − 4𝑦 = 31 𝑥 3
+ 𝑦 =− 6
c)
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Una persona requiere mezclar dos tipos de pinturas diferentes para pintar una casa, una de estas pinturas cuesta $12 000 el litro y la otra pintura tiene un valor de $8 500 el litro, de tal forma que la mezcla resulta tener un valor de $10 460 por litro. Si en total la persona necesita 25 litros de pintura para poder pintar la totalidad de la casa. ¿Cuántos litros de cada pintura necesita?
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OBJETIVO: Utilizar los métodos de resolución gráfica, de igualación, sustitución, reducción y Cramer, para resolver problemas.
Solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas Como se mencionó en la guía anterior, la solución a un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas corresponde a encontrar los valores de las incógnitas (x e y), que satisfagan las dos ecuaciones lineales. Para encontrar los valores numéricos existen diferentes métodos, uno de estos es el uso de tablas, sin embargo, en algunos casos no es suficiente.
1. MÉTODO GRÁFICO El primer método que se enseñará es el gráfico. Consiste en graficar las dos ecuaciones lineales del sistema y observar si estas se intersectan para encontrar la solución. Con el sistema de ecuaciones: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓 Con a, b, c, d, e y f números racionales, distintos de 0. Existen tres casos posibles en un sistema de ecuaciones:
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I)
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Compatible: un sistema es compatible cuando tiene una única solución, es decir, cuando las rectas son secantes por tanto se intersectan en un único punto (x,y). Algebraicamente
Gráficamente
Esto sucede cuando: 𝑎 𝑏 ≠ 𝑒 𝑑
II)
Compatible Indeterminado: Es cuando un sistema tiene infinitas soluciones, es decir, las dos rectas son coincidentes. Algebraicamente
Gráficamente
Esto sucede cuando: 𝑎 𝑏 𝑐 = 𝑒 = 𝑓 𝑑
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III)
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Incompatible: Un sistema es incompatible cuando no tiene solución, sus rectas no se intersectan en ningún punto, es decir, son paralelas. Algebraicamente
Gráficamente
Esto sucede cuando: 𝑎 𝑏 𝑐 = 𝑒 ≠ 𝑓 𝑑
Ejemplos: Dado los siguientes sistemas de ecuaciones clasifíquelos según corresponda y encuentre el punto de intersección si es que lo tiene. Sistema Clasificación Gráfica
3𝑥 − 2𝑦 = 7 𝑥+𝑦 =4 a) 3 1
≠
−2 1
Compatible
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𝑥 + 2𝑦 = 10 2𝑥 + 4𝑦 = 20 b) 1 2
=
2 4
=
10 20
Compatible Indeterminado
𝑥 + 3𝑦 =− 2 2𝑥 + 6𝑦 = 5 c)
1 2
=
3 6
≠
−2 5
Incompatible
2. MÉTODO DE IGUALACIÓN Este método consiste en: 1° Despejar la misma variable en las dos ecuaciones del sistema. 2° Luego se igualan los resultados, despejando la incógnita que queda. 3° Finalmente, el resultado que se obtiene de una incógnita se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. Ejemplo: 17
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Calcule la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando el método de igualación. a) 7𝑥 + 2𝑦 = 6 3𝑥 + 𝑦 = 2 1° Despejar la misma variable en las dos ecuaciones del sistema. 7𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑦 = 6 − 7𝑥 7𝑥 𝑦=3 − 2
3𝑥 + 𝑦 = 2 𝑦 = 2 − 3𝑥
2° Se igualan los resultados, despejando la variable que queda 𝑦=𝑦 3−
7𝑥 2
= 2 − 3𝑥
/·2
6 − 7𝑥 = 4 − 6𝑥 − 7𝑥 = 4 − 6𝑥 − 6 − 7𝑥 =− 2 − 6𝑥 − 7𝑥 + 6𝑥 =− 2 − 𝑥 =− 2 / · − 1 𝑥=2 3° Finalmente, el resultado que se obtiene de una incógnita se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. 7𝑥 + 2𝑦 = 6 7∙2 + 2𝑦 = 6 14 + 2𝑦 = 6 2𝑦 = 6 − 14 2𝑦 =− 8 𝑦 =− 4 La solución al sistema de ecuaciones es (2, − 4), es decir, 𝑥 = 2 𝑒 𝑦 =− 4. 18
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Observación: Una recomendación es siempre fijarse en qué incógnita (x o y) es más fácil despejar, ya sea porque su coeficiente es 1 o porque la elegida implica menos procedimientos. 3. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Este método consiste en despejar una variable en una ecuación y luego reemplazarla en la otra ecuación del sistema, para finalmente reemplazar el valor de la incógnita encontrada en la primera ecuación. Ejemplo: Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones, utilizando método de sustitución. 𝑥+𝑦 =5 5𝑥 + 2𝑦 = 1
1° Despejar la incógnita x de la primera ecuación. 𝑥+𝑦 =5 𝑥=5 −𝑦
2° Reemplazar en la segunda ecuación. 5𝑥 + 2𝑦 = 1 5∙(5 − 𝑦) + 2𝑦 = 1 25 − 5𝑦 + 2𝑦 = 1 25 − 3𝑦 = 1 − 3𝑦 = 1 − 25 − 3𝑦 =− 24 𝑦=8
3° Remplazar el valor encontrado en la primera ecuación. 19
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𝑥+𝑦 =5 𝑥+8 =5 𝑥=5 −8 𝑥 =− 3
La solución del sistema de ecuaciones es (− 3, 8), es decir, 𝑥 =− 3 𝑒 𝑦 = 8.
4. MÉTODO DE REDUCCIÓN Este método consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y luego sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que se eliminen los términos que tienen coeficientes igualados. Ejemplo: Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de reducción. 2𝑥 + 𝑦 = 10 3𝑥 + 2𝑦 = 14 1° Igualamos los coeficientes de la incógnita x. 2𝑥 + 𝑦 = 10 3𝑥 + 2𝑦 = 14
/∙ − 3 /∙2
− 6𝑥 − 3𝑦 =− 30 6𝑥 + 4𝑦 = 28 2° Sumar ambas ecuaciones. − 6𝑥 − 3𝑦 =− 30 6𝑥 + 4𝑦 = 28 𝑦=
−2
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3° Remplazar 𝑦 en alguna de las dos ecuaciones. 2𝑥 + 𝑦 = 10 2𝑥 + (− 2) = 10 2𝑥 = 10 + 2 2𝑥 = 12 𝑥=6 Finalmente, la solución del sistema es (6, − 2), es decir, 𝑥 = 6 𝑒 𝑦 =
− 2.
5. MÉTODO CRAMER Para el método de Cramer se utiliza el sistema de ecuaciones general: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓 Se calcula el determinante (Δ) del sistema y el que se relaciona con cada incógnita para poder calcular la solución del sistema. Donde los determinantes se calculan de la siguiente manera: Determinante del sistema
Determinante de x
Determinante de y
∆ = |𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 | = 𝑎∙𝑒 − 𝑏∙𝑑
∆𝑥 = |𝑐 𝑏 𝑓 𝑒 | = 𝑐∙𝑒 − 𝑏∙𝑓
∆𝑦 = |𝑎 𝑐 𝑑 𝑓 | = 𝑎∙𝑓 − 𝑐∙𝑑
Luego las soluciones del sistema se calculan:
𝑥=
∆𝑥 ∆
𝑦=
∆𝑦 ∆
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Ejemplo: Calcule por el método de Cramer el siguiente sistema de ecuaciones: 𝑥 + 7𝑦 = 3 2𝑥 − 6𝑦 =− 14
1° Identificamos los coeficientes. 𝑎 = 1; 𝑏 = 7; 𝑐 = 3; 𝑑 = 2; 𝑒 =− 6; 𝑓 =− 14
2° Calcular los determinantes asociados al sistema de ecuaciones. Determinante del sistema
Determinante de x
Determinante de y
∆ = |1 7 2 − 6 | = 1∙(− 6) − 7 ∆𝑥 = |3 7 − 14 − 6 | = 3∙(− 6) ∆𝑦 = |1 3 2 − 14 | = 1∙(− 14) − ∆ =− 6 − 14 ∆𝑥 =− 18 + 98 ∆𝑦 =− 14 − 6 ∆ =− 20 ∆ = 80 ∆𝑦 =− 20
𝑥
3° Determinar la solución del sistema. 𝑥=
80 −20
𝑥 =− 4
𝑦=
−20 −20
𝑦=1
Finalmente, la solución del sistema es (− 4, 1), es decir 𝑥 =− 4 𝑒 𝑦 = 1.
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1) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando al menos dos métodos de resolución. a) 2𝑥 + 4𝑦 = 12 𝑥 + 3𝑦 = 6
Método 1
Método 2
b)
−𝑥 1 − 𝑦= 2 2 𝑥 −5 − 𝑦= 2 2
Método 1
Método 2
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c) 𝑥 + 3𝑦 =− 1 5𝑥 − 6𝑦 = 2
Método 1
Método 2
2) Utilizando lo visto anteriormente en esta guía, calcule los valores de k, para
que el siguiente sistema de ecuaciones tenga:
𝑘𝑥 + 5𝑦 =− 7 6𝑥 − 10𝑦 = 14 24
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a) Una única solución b) Infinitas soluciones
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3) Resuelve los siguientes problemas utilizando lo visto en la guía. a) En una granja de animales hay chanchos y gallinas. Si se sabe que hay un total de 150 cabezas y un total de 360 patas, ¿cuántas gallinas y chanchos hay en la granja?
b) Si el triple de edad de una hija disminuido en 13 es igual a la edad de la madre y la suma de sus edades es igual a 47, ¿cuántos años tienen cada una?
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Ficha 4 y 5
Con los métodos vistos en esta guía, resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 3x3, encontrando los valores de 𝑥, 𝑦 y 𝑧. 𝑥 + 𝑦 + 2 = 13 𝑧 + 𝑥 − 10 =− 8 𝑦+4 +𝑧 = 9
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