GUÍA
Nº2
MATEMÁTICAS
“GEOMETRÍA”
Teorema de Euclides
Preuniversitario A-Lafken Dpto. MatemĂĄtica Prof. Yariselle Toloza
Unidad “GeometrĂaâ€? GuĂa nÂş2 Teorema de Euclides
Nombre:
Fecha:
ďƒź Teorema de Eulides
ďƒź En todo triĂĄngulo rectĂĄngulo, cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyecciĂłn sobre ella. ďƒź La altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos de la hipotenusa.
đ?‘Ž2 = đ?‘? ∙ đ?‘? đ?‘?2 = đ?‘? ∙ đ?‘ž
â„Žđ?‘?2 = đ?‘? ∙ đ?‘ž â„Ž=
đ?‘Žâˆ™đ?‘? đ?‘?
Y ademĂĄs como los triĂĄngulos son semejantes tambiĂŠn se cumple que:
đ?‘Ž: đ?‘? = đ?‘?: đ?‘ž đ?‘Ž đ?‘? = đ?‘? đ?‘ž
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Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4. Calcula la altura relativa a la hipotenusa y las dos proyecciones de los catetos. A) B) C) D) E)
12/5 cm 5 cm 12 cm 7 cm 1,5 cm
Explicación:
ALTERNATIVA CORRECTA A
Ahora ejercitemos: Determina la alternativa correcta en cada uno de los siguientes ejercicios: 1. Teniendo en cuenta que el triángulo ABC es rectángulo en C, CD es altura, AC= 6, BC=8, ¿Cuánto es el valor de x? A) B) 10 C)
2
D) 5 E)
2
2. El triángulo ABC es rectángulo en A, si AD es altura, entonces BC= 2
A) B) 52 C) D)
√ √
E)
3. El valor de X en la figura es: A) B) C) D) E)
10 1,5 7,5 4,5 6,5
4. El triángulo ABC es rectángulo en C y ̅̅̅̅ es perpendicular a ̅̅̅̅. ̅̅̅̅ = 9 y ̅̅̅̅ = 4 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
5. En la figura, el ABC es rectángulo en C y ℎ = 2 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
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Preuniversitario A-Lafken Dpto. Matemática Prof. Yariselle Toloza
Unidad “Geometría” Guía nº3 Transformaciones isométricas
Transformaciones Isométricas
Se llaman transformaciones isométricas de una figura a las transformaciones que no alteran la forma ni el tamaño de la figura sobre la que se aplica; sólo pueden cambiarla de posición (la orientación o el sentido de ésta). Al aplicar una isometría a una figura, se obtiene otra figura congruente a la original, llamada imagen. Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexiones (o simetrías).
a) Traslación Es el movimiento que se hace al deslizar o mover una figura, en línea recta, dependiendo de un vector. Pero mantiene su forma y su tamaño. En una traslación se distinguen tres elementos: Dirección: que puede ser horizontal, vertical u oblicua Sentido: derecha, izquierda, arriba, abajo Magnitud del desplazamiento: es la distancia que existe entre la posición inicial y la posición final de cualquier punto de la figura que se desplaza. Al trasladar una figura en un sistema de ejes coordenados es necesario señalar el vector de traslación. Éste es un par ordenado de números (x,y) donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical.
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Ejemplo: Al punto (2, 3) del plano se le aplica una traslación, obteniéndose el punto (5, 2). Si al punto (-2,-1) se le aplica la misma traslación se obtiene el punto: A) (1, -2) B) (-5, 0) C) (3, -1) D) (-5, 2) E) (1, 0) Explicación
ALTERNATIVA CORRECTA A
b) Rotación Es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. En una rotación se identifican tres elementos: El punto de rotación (o centro de rotación) que es el punto en torno al cual se va a efectuar la rotación: éste puede formar parte de la figura o puede ser un punto exterior a ella. Magnitud de rotación, que corresponde a la medida del ángulo determinado por un punto cualquiera de la figura original, el centro de rotación, o vértice del ángulo, y el punto correspondiente en la figura obtenida después de la rotación El sentido de giro, pueden ser positivas o negativas dependiendo del sentido de giro. Para el primer caso debe ser un giro en sentido contrario a las manecillas del reloj, y será negativo el giro cuando sea en sentido de las manecillas. 5
Importante: En una rotación se cumple siempre que la distancia entre un punto cualquiera de la figura girada y el centro de rotación es la misma que la distancia entre el punto correspondiente de la figura original y el centro de rotación. Si se realizan rotaciones en el punto (x,y) con respecto al origen O(0,0) en un ángulo de giro de 90º,180º, 270º y 360º las coordenadas de los puntos obtenidos están dados en la siguiente tabla. Punto inicial (x,y)
90º (-y,x)
180º (-x,-y)
270º (y,-x)
360º (x,y)
Ejemplo: En la figura, al vértice C del cuadrado ABCD se le aplica una rotación en 180° en el sentido horario, con centro en A. ¿Cuáles son las coordenadas de C en su nueva posición? A) En (-4,-4) B) En (2, -4) C) En (4, -4) D) En (-4, 4) E) En (0, 4)
Explicación
ALTERNATIVA CORRECTA C
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c) Reflexión Una reflexión de un figura geométrica respecto de un eje llamado eje de simetría es el movimiento que transforma la figura de manera que cada punto A y su imagen A’ equidisten del eje de simetría y el segmento ̅̅̅̅̅ sea perpendicular al eje de simetría (e ).
Nota: (1) Una reflexión respecto de un eje es conocida como simetría axial.
(2) Una reflexión respecto de un punto es conocida como simetría central.
En este caso la figura realiza un giro de 180º
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Ejemplo: 1. ¿Cuál de las siguientes figuras representa una reflexión (simetría axial) del triángulo A al triangulo B, respecto de uno de los ejes coordenados?
A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III
Explicación:
ALTERNATVA CORRECTA B
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Ahora ejercitemos: Determina la alternativa correcta en cada uno de los siguientes ejercicios: 1. La flecha sombreada se traslada como muestra la figura, luego el vector de traslación es:
A) B) C) D) E)
(-2,0) (4,-2) (-4,2) (0,-2) (-4,-2)
2. En la figura, se tiene un círculo de centro (−3, 2) y radio 1, entonces la traslación de toda la figura al nuevo centro (2, 1) sitúa al punto P en las coordenadas: A) (1, 2) B) (2, 1) C) (1, 1) D) (2, 2) E) (0, 2)
3. En la figura, al punto B se le aplica una rotación en 90º con respecto al punto A, en el sentido horario. Las nuevas coordenadas del punto B son: A) (6,2) B) (-3,6) C) (6,-7) D) (6,-3) E) (6,-5)
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4. En la figura, las coordenadas del punto A son (–4, –1), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) El punto simétrico de A con respecto al eje y es el punto (4, – 1). II) Al rotar el punto A en 90° en sentido antihorario, en torno al origen, se obtiene el punto (–1,4) III) Al trasladar el punto A dos unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba, se obtiene el punto (–2, 1).
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III 5. En la figura, ¿cuál es el punto simétrico del punto A(-1,-2) con respecto a la recta y = 3? A) (-1,8) B) (1,8) C) (-1,6) D) (7,-2) E) (-1,-4)
6. En la figura, ¿cuál de las siguientes transformaciones rígidas permite obtener el polígono P a partir del polígono Q? A) Simetría (reflexión) con respecto al eje y B) rotación en 180º con respecto al origen C) Simetría (reflexión) con respecto al eje y, y una rotación en 180º con respecto al origen D) simetría (reflexión) con respecto al eje x, y una rotación en 180º con respecto al origen E) Rotación de 90º con respecto al origen
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Preuniversitario A-Lafken Dpto. Matemática Prof. Yariselle Toloza
Unidad “Geometría” Guía nº4 Semejanza de polígonos
Nombre:
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Semejanza de polígonos Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan sus lados homólogos proporcionales.
Esta definición de semejanza encierra la idea de similitud de forma; es decir, dos polígonos son semejantes, sí y solo si, tienen la “misma forma”. Así, por ejemplo; todos los cuadrados son semejantes entre sí todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí todos los pentágonos regulares son semejantes entre sí En general, todos los polígonos regulares de un mismo número de lados son semejantes entre sí; e incluso podemos extender esta definición y decir también que todas las circunferencias son semejantes entre si.
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Semejanza de Triángulos
El hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en triángulos, motivó en los geómetras una especial atención por estas elementales figuras:
TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Los geómetras griegos de la antigüedad, notaron que para establecer la semejanza entre dos triángulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocaba necesariamente la ocurrencia de los otros restantes. TEOREMA FUNDAMENTAL Para que dos triángulos sean semejantes, basta que los ángulos de uno sean iguales a los ángulos del otro Corolario: Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero Si DE// AB, entonces
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Los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulo son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos proporcionales. a) TEOREMA AA (O CRITERIO AA DE SEMEJANZA) Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente congruentes son semejantes
b) TEOREMA LAL (O CRITERIO LAL DE SEMEJANZA) Si en dos triángulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los ángulos comprendidos entre esos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.
c) TEOREMA LLL (o criterio LLL de semejanza) Si las medidas de los tres pares de lados de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.
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Importante : 1. Como criterios de semejanza de triángulos tenemos el teorema AA y los teoremas LAL y LLL 2. los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos, proporcionales. 3. Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual área. Ejemplo: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P es semejante con el triángulo Q? A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en I y en II D) Sólo en II y en III E) En I, en II y en III
EXPLICACIÓN
ALTERNATIVA CORRECTA E
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Ahora ejercitemos: Determina la alternativa correcta en cada uno de los siguientes ejercicios: 1. ¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes? A) Que tienen igual área B) Que tienen igual perímetro C) Que sus lados son proporcionales D) Que sus tres lados respectivos coinciden E) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno
2. Una torre de TV proyecta una sombra que mide 150 metros de longitud. A 148,8 metros del pie de la torre y en la misma dirección que se proyecta la sombra, se encuentra un poste que mide 1,6 metros de altura. Sabiendo que los puntos extremos de la sombra que proyectan la torre y el poste coinciden, ¿qué altura tiene la torre? A) 200 metros B) 198,4 metros C) 113,2 metros D) 112,5 metros E) 110 metros
3. Según la figura, ¿Cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejante(s)?
A) Sólo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III
4. En la figura, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos es(son) semejantes.
A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
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5. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí?
A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguno de ellos son semejantes entre si
6. En la figura, el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEC. Si CM= 5, AB= 21 y CN= 15, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
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Preuniversitario A-Lafken Dpto. Matemática Prof. Yariselle Toloza
Unidad “Geometría” Guía nº5 Homotecia
HOMOTECIA
Una homotecia es la transformación de una figura en otra semejante a ella, con respecto a un punto en el plano, llamado centro de homotecia(generalmente denotado como O), y a una razón dada, llamada razón de homotecia(k). Existen dos tipos de homotecia: Homotecia directa: cuando la razón es positiva, es decir, , las figuras quedan en el mismo lado del centro de la homotecia.
Homotecia inversa: cuando la razón es negativa, es decir, , las figuras quedan en lados opuestos con respecto al centro de la homotecia.
Propiedades de la homotecia Si | |
la figura homotética es una ampliación de la figura original.
Si | |
la figura homotética es una reducción de la figura original.
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Observando la figura de la derecha tenemos que: Lados homólogos paralelos, es decir,
̅̅̅̅ // ̅̅̅̅̅̅, ̅̅̅̅ // ̅̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ // ̅̅̅̅̅ El cociente entre sus lados homólogos es k
̅̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅
Además se cumple:
̅̅̅̅̅ = | | ∙ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ = | | ∙ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ = | | ∙ ̅̅̅̅
Ángulos homólogos congruentes. El perímetro de la figura homotética será el producto del perímetro de la figura original y la razón, es decir,
= | |∙ El área de la figura homotética será el producto del área de la figura original y la razón al cuadrado, es decir,
=
2
∙
Ejemplo: 1. Si la figura B es la homotética de la figura A, ¿Qué opción es la correcta? a) K < - 1 b) -1 < K < 0 c) 0 < K < 1 d) K > 1 e) K > 0
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Explicación
ALTERNATIVA CORRECTA B
Ahora ejercitemos: Determina la alternativa correcta en cada uno de los siguientes ejercicios: 1. A un cuadrado de vértices A (2,2) , B(2,-2), C(-2,-2) y D(-2,2), se le aplica una homotecia cuyo factor de homotecia (razón) es 3, con centro en el origen. Entonces es cierto que la figura resultante: I) II) III) A) B) C) D) E)
Es un cuadrado Es una ampliación de la original Contiene al vértice A’(3,3)
Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III Ninguna de las anteriores
2. En la figura se observa una homotecia de factor 2,5. Si el perímetro del triángulo A’B’C’ es de 35cm, ¿Cuál es el perímetro ABC? A) B) C) D) E)
7 cm 14 cm 17,5 cm 87,5 cm 105 cm
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3. Encuentra el perímetro del ∆ A’B’C’ si los valores son ̅̅̅̅ = razón = A) 2 B) 12 C) 24 D) 22 E) 16
4. Encuentra el área del ∆ ABC si los valores son ̅̅̅̅̅ =
; ̅̅̅̅ =
,ℎ =
y ̅̅̅̅ =
y la razón
y la
=
A) 3 cm B) 36 cm C) cm D) cm E) No se puede calcular
5. En la figura se muestra una homotecia de centro O que transforma al triangulo ABC en el triángulo DEF. si OC > OF, entonces la razón de homotecia es:
A) B) C) D) E)
Menor que -1 Igual a -1 Mayor que -1 y menor que 0 Mayor que 0 y menor que 1 Mayor que 1
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6. En la figura, O es el centro de homotecia que transforma al ∆ABC en el ∆ A’B’C’, con una razón de homotecia igual a . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)
Si OC=36, entonces CC’= 9 Si A’C’ = 35, entonces AC= 28 Si el área del triángulo ABC es 64, entonces el área del triángulo A’B’C’ es 100.
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