Unidad Geometría. Guía nº 6 “Modelos a escala” by Preuniversitario A-Lafken

PTU UNIDAD “GEOMETRÍA”GUÍA Nº 6 “MODELOS A ESCALA”

MATEMÁTICAS Nombre: AÑO 2020

Unidad “Geometría” Guía nº 6 “Modelos a escala”

Preuniversitario A-Lafken Dpto. Matemática Prof. Yariselle Toloza

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✔ MODELOS A ESCALA

Un modelo a escala es una representación de un objeto que mantiene una relación de semejanza con él a través de un número constante, llamado escala (razón de semejanza). Un ejemplo de modelo a escala es un plano, que representa la realidad a través de una escala definida por la razón de semejanza entre las distancias en el modelo o representación y en la realidad: distancia en el modelo distancia real

= escala

Ejemplo: La escala del plano de una ciudad es 1:10.000. ¿Cuál es la longitud real de un pasaje que mide 2,1 cm en el plano? Como la escala es una razón de semejanza, podemos escribir lo siguiente: distancia en el modelo distancia real

1 10000

Reemplazando la medida en el plan, queda: 2,1 cm x

Entonces x=

2,1 cm·10000 1

1 10000

= 21000 cm

Y como 100 cm = 1 m , 21000 cm= 210 m Respuesta: La longitud real del pasaje es 210 m

Ahora ejercitemos: Determina la alternativa correcta en cada uno de los siguientes ejercicios: 1. Un dibujante ocupó una escala de 1 : 20 para elaborar el plano de un equipo industrial. ¿Cuál es la altura del equipo si en el plano mide 9,5 cm? A) B) C) D) E)

1900 cm 1,9 m 2,105 cm 210 m Ninguna de las anteriores

2. ¿Cuál es el perímetro de su cara lateral si en el plano corresponde a un rectángulo de 6 cm de largo por 5 cm de ancho? A) B) C) D) E)

600 cm 220 cm 440 cm 1,44 m Ninguna de las anteriores

3. Si el área de la base del equipo industrial es un cuadrado de 5 m2 ¿Cuánto mide el lado del cuadrado en el plano? A) B) C) D) E)

10 cm 15 cm 2,5 cm 5 cm No se puede determinar

4. Un arquitecto construye el plano de una casa con una escala de 1 : 80. En el plano, la cocina está representada por un rectángulo de 5 cm de ancho y 8 cm de largo. ¿Cuáles son las dimensiones reales de la cocina? Ancho Largo A) 400 cm y 640 cm B) 480 cm y 820 cm C) 500 cm y 860 cm

D) 520 cm y 900 cm E) Falta información

5. Si el plano de una casa está hecho a una escala de 1 : 60, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)

Si en el plano su área es 0,025 m2; entonces corresponde a un área total construida de 90 m2. Uno de los dormitorios mide 18 m2, lo que corresponde a 0,005 m2 en el plano. En el plano la cocina mide 0,01 m2; lo que corresponde a 36.000 cm2 de construcción.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

Preuniversitario A-Lafken Dpto. Matemática Prof. Yariselle Toloza

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✔ TEOREMA DE THALES

Unidad “Geometría” Guía nº 7 Teorema de Thales Fecha:

Si dos o más rectas paralelas se intersecan por dos transversales, entonces las medidas de los segmentos determinados sobre las secantes son proporcionales. En la figura, L1 // L2 // L3 y por lo tanto, se cumple que: MN TU

NS UV

MS TV

Ejemplo: En la figura, las rectas L1, L2 y L3 son paralelas, L4 y L5 son secantes. Si AB = 3 cm, BC = 7 cm y ED = 6 cm, ¿cuál es la medida de F E ?

Respuesta : la medida de FE es de 2,57 aprox.

✔ Corolario del teorema de Thales

Si los lados de un ángulo o sus prolongaciones se cortan con varias rectas para-lelas, las medidas de los segmentos que se determinan en los lados del ángulo son proporcionales, es decir, L1 // L2 // L3 //

L4 y además L5 y L6 se intersecan con estas rectas, se cumple lo siguiente: FE AB

EO BO

OD OC

Ejemplo: En la figura, AB⃡ // DC⃡, BO = 6 cm, AO = 4 cm y AC = 6 cm. Calcula la medida de OD .

` Desarrollo:

Respuesta: la medida de OD es 3 cm

✔ Teorema particular de Thales

El teorema particular de Thales establece que un segmento de recta paralelo a un lado de un triángulo y que corta a los otros dos, determina en estos últimos segmentos proporcionales. Por ejemplo, dado el triángulo ABC y AB // MN entonces se cumplen las siguientes relaciones:

Por otra parte, si una recta corta dos lados de un triángulo y los divide en segmentos proporcionales, entonces esa recta es paralela al otro lado del triángulo. Lo anterior es el recíproco del teorema particular de Thales. Ejemplo:

En la figura, AB // DE. Además, AC = 21 cm, CD = 3 cm, DE = 5 cm y CE = 6 cm. Calcula la longitud de AB y CB .

Respuesta: la medida de AB es de 35 cm y la de CD es de 42 cm.

Ahora ejercitemos: Determina la alternativa correcta en cada uno de los siguientes ejercicios: 1. La figura muestra un rectángulo ABEF con BC = 10, CF = 5 y CD = 4. ¿Cuánto mide el perímetro del trapecio ABCE? A) 16 B) 22

C) 28 D) 32 E) 36 2. En el triángulo ABC de la figura, se sabe que AB = 48 cm, SP = 12 cm, y AP : P R : RB = 1 : 2 : 3 , entonces el valor de CB es:

A) 96 cm B) 72 cm C) 48 cm D) 36 cm E) 24 cm

3. Si DE// BC, ¿Cuál es la medida de AC ? A) 2 cm B) 4 cm C) 6 cm D) 10 cm E) 14 cm

4. En la figura adjunta, AF // BE // CD. Si AB : AC = 3 : 5 y FE = 6, entonces ED = A) 10 B) 6 C) 4 D) 2 E) 1

5. En la figura adjunta L1 // L2 // L3, entonces x + y = A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20

Preuniversitario A-Lafken Dpto. Matemática Prof. Yariselle Toloza

Unidad “Geometría” Guía nº 8 “Vectores”

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✔ Vectores en el plano

Existen magnitudes que quedan completamente determinadas con un número y una unidad de medida; por ejemplo, la longitud, la temperatura o la masa, entre otras. Este tipo de magnitudes se denominan escalares. Sin embargo, hay otras que para ser descritas requieren, además de un número y su unidad de medida, una dirección y un sentido. Estas magnitudes se llaman vectoriales, y se pueden representar geométricamente. Algunas de ellas son la fuerza, la velocidad y la aceleración. →

Un vector AB es un segmento de recta orientado con origen en un punto A y extremo en un punto B. Un vector se caracteriza por tener: →

→

• Magnitud (o módulo): corresponde a la longitud del segmento AB . Se representa por ‖AB‖ • Dirección: corresponde a la inclinación de la recta sobre la cual está situado el vector. Una recta y todas sus paralelas determinan una misma dirección. • Sentido: se representa por la punta de la flecha situada en el extremo del vector e indica hacia qué lado de la línea de acción dirige el vector.

Se dice que dos vectores son iguales si tienen igual magnitud, dirección y sentido. Si en un vector coinciden su origen y su extremo, se dice que este es un vector nulo y se →

denota O . Además, este vector tiene magnitud O. →

Dados dos puntos A y B en el plano cartesiano, es posible describir el vector AB en forma →

analítica a partir de las coordenadas de los puntos. El vector AB se puede asociar a un vector v→ de igual magnitud, dirección y sentido, cuyo origen es el origen del sistema de coordenadas y cuyo extremo corresponde a la diferencia entre las coordenadas de los puntos B y A. Este vector se llama vector posición. →

Las componentes del vector AB = (x, y) s

on x e y.

→

Si A(x1 , y 1 ) y B (x2 , y 2 ) son puntos en el plano cartesiano, el vector AB está asociado al vector posición v→ : →

v→ = (x2 − x1 , y 2 − y 1 ) = AB Ejemplo: →

Dados los puntos A( 3 , 4) y B(2,1), determina las componentes del vector AB . Desarrollo:

Respuesta: las componentes del vector AB son (5,-3)

Magnitud de un vector →

La magnitud (módulo) de un vector AB en el plano cartesiano corresponde a la longitud del segmento AB .

→

Si A(x1 , y 1 ) y B (x2 , y 2 ) son puntos en el plano cartesiano, la magnitud del vector AB está dada por: →

‖AB‖ =

√(x

− x1 ) + ( y 2 − y 1 )

Ejemplo: ¿Cuál es la magnitud del vector posición v→ = (-3, 5)? Desarrollo:

Respuesta: la magnitud del vector es √34

Operatoria vectorial en el plano a) Interpretación geométrica de la adición de vectores El desplazamiento de un objeto desde el punto A a un punto B se puede representar mediante el → vector AB . Si luego el objeto se traslada desde el punto B al punto C, su desplazamiento →

correspondería al vector BC . De esta manera, el desplazamiento del objeto desde el punto A al punto →

C, descrito por el vector AC , corresponde a la suma de los →

desplazamientos, es decir, la adición de los vectores es AB →

→

+ BC = AC

Geométricamente, para sumar los vectores u→ y v→ se puede dibujar primero u→ , y con origen en su extremo, dibujar a continuación el vector v→ . La suma es otro vector, cuyo origen es el origen de u→ y su extremo es el extremo de v→ . El vector resultante se denota u→ + v→ .

Otra forma de sumar vectores geométricamente consiste en aplicar la regla del paralelogramo. Esta indica que si se trazan dos vectores u→ y v→ no paralelos y con el mismo origen, entonces u→ + v→ es el vector que corresponde a la diagonal del paralelogramo definido por u→ + v→ respecto del mismo origen. Ejemplo: →

→

→ En los rectángulos ABEC y ADFB se definen los vectores u→ = AB , v→ = AC y w = AD , Calcula → → a) u + v → b) u→ + w

c) Vectores opuestos Dos vectores son opuestos si tienen igual magnitud y dirección, pero sentido contrario. El vector → → → opuesto de AB se denota − AB , y es equivalente al vector BA . En este contexto, para un vector v→ , se puede afirmar que el vector opuesto − v→ es su inverso aditivo, ya que al sumarlos se obtiene el →

vector nulo O .

d) Propiedades de la adición de vectores La adición de vectores cumple con las siguientes propiedades: → → → → Asociativa: si u→ , v→ y w son vectores, entonces ( u→ + v) +w = u→ + (v→ + w ). → → → Conmutativa: para todo par de vectores v→ y w se cumple que v→ + w =w + v→ →

→

Elemento neutro: para todo vector u→ existe el vector O tal que u→ + O = O + u→ = u→ → Elemento opuesto (inverso aditivo): para todo vector u→ , existe un vector (u) tal que →

→ u→ + (u) =O .

e) Interpretación geométrica de la sustracción de vectores Geométricamente la sustracción de dos vectores u→ y v→ se puede representar como la adición de u→ con el inverso aditivo de v→ , es decir, u→ − v→ = u→ + (− v→) .

f) Interpretación geométrica de la ponderación de un vector por un escalar Para ponderar un vector u→ por un número real k, se multiplica la magnitud del vector por k y se conserva la dirección del vector. El sentido será el mismo si k es positivo, y opuesto si k es negativo. Si k = O, se obtiene el vector nulo. Si |k | < 1 entonces la magnitud de un vector k u→ es menor que la de u→ . Si se pondera un vector u→ por -1, se obtiene su opuesto − u→ .

g) Adición de vectores La adición de vectores definida geométricamente con anterioridad se puede realizar analíticamente en el plano cartesiano. Sean u→ = (ux , uy ) y v→ = (v x , v y ) dos vectores posición en el plano cartesiano. La adición de u→ y v→ se realiza sumando sus componentes: u→ + v→ = (ux , uy ) + (v x , v y ) = (ux + v x , uy + v y ) Ejemplo: Considera los vectores posición u→ =(-1,4) y v→ = (4, —2). ¿Cuáles son las componentes del vector u→ + v→ ? Desarrollo: u→ + v→ = (− 1 + 4, 4 − 2) = (3, 2) Respuesta: las componentes del vector son (3,2)

f) Sustracción de vectores

Al igual que la adición, la sustracción de vectores también se puede realizar analíticamente en el plano cartesiano. Sean u→ = (ux , uy ) y v→ = (v x , v y ) dos vectores posición en el plano cartesiano. La sustracción entre u y y se realiza restando sus componentes: u→ − v→ = (ux , uy ) − (v x , v y ) = (ux − v x , uy − v y )

Ejemplo: Considera los vectores posición u→ = (-1, 3) y v→ = (-2, -2). ¿Cuáles son las componentes del vector u→ − v→ ? Desarrollo: u→ + v→ = (− 1 − (− 2) , 3 − (− 2)) = (− 1 + 2, 3 + 2) = (1, 5) Respuesta: las componentes del vector son (1,5)

h) Ponderación de un vector por un escalar La ponderación de un vector por un escalar también se puede desarrollar de manera analítica en el plano cartesiano. Si u→ = (ux , uy ) es un vector posición en el plano cartesiano y k es un número real, el vector k u→ = k ·u→ se obtiene multiplicando cada componente de u→ por k es decir: k u→ = k ·u→ = (kux , kuy ) Ejemplo: Considera el vector u→ = (2, 1). ¿Cuáles son las coordenadas de 5 u→ ? Desarrollo: 5u→ = (5·2, 5·1) = (10, 5) Respuesta: las componentes del vector son (10,5)

Ahora ejercitemos… Determina la alternativa correcta en cada uno de los siguientes ejercicios: → 1. Considere los vectores u→ = (2, -1), v→ = (-8, 5) y w = (-5, -3). ¿Cuál de los siguientes vectores

corresponde al vector (2 u→ − v→ + 3w )?

A) (-3, - 6) B) (-3,1) C) (-3, -16) D) (-19, - 6) E) (-19, -16)

→

2. En el siguiente plano cartesiano se representan los vectores a→ , b y c→ , entonces

(b − 2c + a) , →

A) (0, -1) B) (2, 3) C) (-6, 11) D) (-10, -1) E) (-10, 15)

3. El vector v→ tiene punto inicial (13, -1) y punto final (1, 4). ¿Cuál(es) de las siguiente proposiciones es (son) FALSA(S)?

→

I) v→ tiene magnitud 13. II) Su opuesto – v→ tiene magnitud -13. III) El vector u tiene punto inicial (-2, 7) y punto final (3, -5), por lo tanto u→ = v→ . A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III

(

→

)

→ 4. Se puede determinar el valor de u − v→ · |w | , si se conoce:

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por si sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

→

5. Los vectores AB , BC y CA forman el triángulo de la figura adjunta. ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? →

→

AB + BC = AC,

II)

AB + BC + CA = 0

III)

CB = BC

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III

→