Revista da Estrutura de Aço - REA - Abril de 2020 by Prod

Revista da Estrutura de Aço | Volume 9 | Número 1

Volume 9 | Número 1 Abril de 2020

Revista da Estrutura de Aço | Volume 9 | Número 1

ARTIGOS Determinação de pontos críticos na trajetória de equilíbrio não linear do elemento finito de treliça posicional Aref Kalilo Lima Kzam 1

Análise teórico-numérica da influência do número de parafusos no comportamento de cantoneiras laminadas comprimidas concêntrica e excentricamente José Onésimo Gomes Junyor, Hermes Carvalho, Armando Cesar Campos Lavall, João Victor Fragoso Dias e Ana Lydia Reis de Castro e Silva 21

Procedimento para a determinação do momento fletor resistente à flambagem lateral com torção de vigas celulares de aço Caroline Corrêa de Faria, Hermes Carvalho, Ricardo Hallal Fakury, Lucas Figueiredo Grilo e Rodrigo Barreto Caldas 41

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Capacidade resistente do conector Crestbond à falha do aço desencadeada por um mecanismo combinado de cisalhamento e flexão Ricardo Laguardia Justen de Almeida, Gustavo de Souza Veríssimo, José Carlos Lopes Ribeiro, José Luiz Rangel Paes, Mateus Couri Petrauski e Rodrigo Barreto Caldas 61

Procedimento para avaliação teórica e experimental de pontes ferroviárias J.F.A. Junqueira, L.A.C.M. Aragão Filho, L.A.S. Lopes e J.F.S. Rodrigues 81

Dimensionamento otimizado de pórticos em estruturas de aço via algoritmos genéticos João Alfredo de Lazzari, Élcio Cassimiro Alves e Adenilcia Fernanda Grobério Calenzani 101

Recebido: 29/04/2019 Aprovado: 12/06/2019 Volume 9. Número 1 (abril/2020). p. 1-20 - ISSN 2238-9377 Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICT

Determinação de pontos críticos na trajetória de equilíbrio não linear do elemento finito de treliça posicional Aref Kalilo Lima Kzam1* Universidade Federal da Integração Latino Americana, Avenida Tancredo Neves, 6731, 85867-970, Cx. Postal 2102, Foz do Iguaçu, PR, Brasil, aref.kzam@unila.edu.br 1

Determination of critical points in the nonlinear equilibrium path of the positional truss finite element Resumo Este artigo apresenta o método dos elementos finitos posicional descrito em um referencial Lagrangiano total dedicado à análise não linear da instabilidade pós-crítica de treliças tridimensionais. A análise de instabilidade para elementos de treliça é computada usando o caminho de equilíbrio em grandes deslocamentos e por uma metodologia original de decomposição da matriz Hessiana em valores e vetores próprios. Perto do ponto crítico decompoem-se a Hessiana, a fim de identificar os modos de falha e o caminho crítico. O método de Newton-Raphson com controle de carga e deslocamento é usado, assim como o método do comprimento do arco na definição de pontos críticos de estruturas multiestáveis e com caminhos bifurcados. O algoritmo de Lanczos é usado para calcular os valores e vetores proprios de matrizes esparsas e simétricas. Os procedimentos são testados e os resultados comprovam a eficiência da formulação. Palavras-chave: elemento finito posicional, não linearidade geométrica, decomposição da matriz Hessiana, autovalor autovetor, pontos críticos Abstract This paper presents the positional finite element described in a full Lagrangian reference dedicated to the nonlinear analysis of the post-critical instability of three-dimensional trusses. The instability analysis for truss elements is calculated using the equilibrium path at large displacements and by an original methodology from the Hessian matrix decomposition into eigenvalues and eigenvectors. The Hessian decomposition are computed near to the critical point, in order to identify the failure modes and the critical path. The load and displacement control from Newton-Raphson method is used, as well as the arc-length method to define the critical points of multistable and bifurcated paths. The Lanczos algorithm is used to calculate the eigenvalues of sparse and symmetric matrices. The procedures are tested and the results proved the efficiency of the formulation. Keywords: positional finite element, non linear geometric, Hessian decomposition, eigenvalue and eigenvector, critical points.

Introdução A análise de autovalores e autovetores é um problema comum em várias áreas

das ciências. Na engenharia estrutural, uma série de aplicações desse tipo de análise são cruciais para o atendimento de critérios de projeto, como por exemplo na determinação dos modos de vibração de estruturas sujeitas a carregamentos dinâmicos e na determinação das cargas críticas de instabilidade de estruturas sob carregamento estático. O conhecimento dessas quantidades é de fundamental importância para a análise e dimensionamento estrutural, pois com esses valores o analista definirá os níveis de carregamentos para o qual nenhuma situação limite ocorrerá. Golub e Van der Vorst (2000) apresentam vasta revisão de métodos computacionais aplicados ao cálculo de autovalores e autovetores de matrizes, inclusive, para as matrizes simétricas e esparsas presentes na mecânica estrutural. Uma das técnicas numéricas comumente usadas na análise de instabilidade é o método dos elementos finitos. A versatilidade do método permite que inúmeras funcionalidades sejam incorporadas em análises acerca da estabilidade estrutural. Bažant e Cedolin (2010) destacam a simplicidade de formular o problema de instabilidade usando o método dos elementos finitos em análises lineares e nãolineares. Entre as estratégias utilizadas com o método dos elementos finitos, Risk (1972) enfatiza as atuais formulações não-lineares, baseadas em algoritmos capazes de traçar todo o caminho de equilíbrio da estrutura, e Risk (1984) apresenta algumas estratégias de determinação de pontos críticos ao longo da trajetória de equilíbrio da estrutura. Casciaro et al. (1992), Garcea (2001) e Garcea et al. (2012) também destacam o crescente interesse nos estudos científicos baseados em técnicas assintóticas e para a previsão do comportamento pós-crítico como em Koiter (1967). Neste artigo apresenta-se a formulação dos elementos de treliça posicional não linear geométrico com base em um referencial Lagrangiano total. A originalidade da formulação apresentada consiste na adoção de uma estratégia de decomposição da matriz Hessiana global como em Kzam (2016) e Kzam e Coda (2019), cuja finalidade é determinar os valores críticos (autovalores) e os modos de instabilidade (autovetores), para estruturas com múltiplos pontos críticos ao longo da trajetória de equilíbrio.

Neste trabalho, adotar-se-á as medidas de deformações de Hill e seus respectivos conjugados energéticos (Ogden, 1997), e a lei constitutiva de Saint-Venant-Kirchhoff.

Formulação posicional Lagrangiana total Quando o método dos elementos finitos é utilizado na solução de problemas da

mecânica dos sólidos sob regime não-linear geométrico, três formulações podem ser consideradas para descrever o movimento. Pode-se empregar a descrição Lagrangiana total, a formulação Lagrangiana atualizada e a descrição co-rotacional (Belytschko e Glaum, 1979). Todo o desenvolvimento tem como base a determinação da energia potencial total escrita em termos das posições do elemento (elemento finito posicional), como apresentado por Coda e Greco (2004). Adota-se o regime quase estático de aplicação do carregamento, a energia mecânica do sistema é calculada apenas a partir da contribuição da energia potencial total, expressa pela soma das parcelas da energia potencial das deformações armazenadas no sólido e da energia potencial das ações externas, representadas pela equação: Π = Ue + P

(1)

A energia potencial das deformações em termos das quantidades Lagrangianas é calculada sobre o volume inicial, da seguinte maneira: Ue =

∫ u dV e

(2)

Ω0

A energia potencial das forças externas é calculada a partir do trabalho realizado pela resultante das forças na configuração atual, dado por:

  P= − Fext ⋅ Y

(3)

Admite-se que o comportamento mecânico do material seja linear elástico, cuja lei material adotada tenha a seguinte forma geral:

σ (ε ) = E ε 3

(4)

Sendo, ε as medidas de deformações de Hill para o caso unidimensional; σ ( ε ) as tensões energeticamente conjugadas as deformações de Hill; E a constante de proporcionalidade ou módulo de rigidez elástica tangente. De acordo com Holzapfel (2000) as medidas de deformação de Hill unidimensionais são calculadas da seguinte maneira:

1 p  ( λ − 1) , p ≠ 0 εp =  p  ln ( λ ) , p = 0  Sendo, λ =

(5)

L1 o estiramento linear de Cauchy-Green. L0

Como apresentado anteriormente, o objetivo da formulação em posições consiste em escrever os graus de liberdade do elemento em termos das coordenadas generalizadas dos nós. Com a finalidade de se aplicar o princípio da estacionariedade da energia potencial, primeiramente determina-se a energia específica de deformação do elemento. No caso de elementos com rigidez axial, a energia específica de deformação é dada pela equação: εp

= ue

εp

E ε dε ( ε ) d ε ∫= ∫ σ= 0

1 E ε p2 2

(6)

Sendo, ε p as medidas de deformações de Hill, cujos casos particulares em termos de quantidades iniciais (Lagrangianas) mais comuns são: p = −2 , para a medida de deformação de Almansi; p = −1 para a deformação hiperbólica ou de Reiner; p = 0 para a medida de deformação natural, logarítmica ou deformação de Henky; p = 1 para a medida de deformação linear, de Biot ou de engenharia e p = 2 para a medida de deformação quadrática ou de Green-Lagrange. A energia específica pode ser escrita a partir da função composta:

ue = ue  ε p  λ ( yk  ) 4

(7)

Sendo, ε p e λ as variáveis relacionadas a deformação e ao estiramento unidimensionais, respectivamente. O símbolo (  ) representa a composição de funções, indicando a dependência entre as variáveis. A partir da energia específica é possível determinar a equação material da energia potencial das deformações, calculada como:

= Ue

u dV ∫= e

1 E ε p2 AL0 2

(8)

O equilíbrio do sistema é estabelecido a partir do princípio da estacionariedade da energia potencial total, sendo o vetor de forças internas calculado a partir do gradiente da energia de deformação. O vetor de forças internas é dado por: int = F k

∂U e 1 ∂ E AL0 ε p2 ) = ( ∂yk  2 ∂yk 

(9)

A solução numérica do equilíbrio tem como base a linearização da diferença entre as forças externas e internas, chamada função desbalanceamento ou resíduo. Esse procedimento requer a avaliação do gradiente do resíduo, calculado a partir da segunda variação da energia potencial total, dada por: = H mnk 

∂ 2U e ∂Fkint  = ∂ymn ∂yk  ∂ymn

(10)

O sistema de equações não linear é resolvido empregando-se as estratégias de solução com base nos algoritmos de previsão e correção dos métodos de NewtonRaphson e comprimento de arco (Crisfield, 1981). Outra metodologia, originalmente apresentada neste trabalho, consiste na decomposição da matriz Hessiana e controle dos autovalores. Esse processo é utilizado para identificar os pontos de bifurcação na trajetória não linear. Nesse caso, emprega-se o algoritmo de Lanczos a partir da biblioteca numérica ARPACK (Lehoucq et al 1997).

Elemento finito posicional de treliça não linear geométrico Considere-se o elemento retilíneo a seguir:

Figura 1 – Elemento finito de treliça posicional A Figura 1 ilustra as posições nodais do elemento finito no espaço de coordenadas tridimensional nas configurações inicial Ω0 e atual Ω1 . Os cálculos apresentados anteriormente são simplificados considerando-se as deformações de Green-Lagrange para p = 2 . Esses parâmetros são parte dos dados de entrada do código e podem ser modificados pelo analista. O vetor de forças internas é calculado com a equação (9), fazendo-se ε 2 = E , para as deformações de Green-Lagrange e λ = L1 / L0 para o estiramento de Cauchy-Green, sendo:

(L ) = (x

− x12 ) + ( x21 − x22 ) + ( x31 − x32 )

(L ) = ( y

− y12 ) + ( y21 − y22 ) + ( y31 − y32 )

0 2

1 2

(11)

(12)

Por simplicidade, emprega-se a variável auxiliar ∆ =( L1 ) , tal que: 2

∂L1 ∂ 1 ∂∆ 1 1 ∂∆ = ∆1 2 ) = ∆ −1 2 = ( 2 ∂yk  ∂yk  ∂yk  2 L1 ∂yk 

(13)

Escrevendo-se o vetor de forças internas em termos dessa variável, tem-se:

Fkint =

1 E AE ∂∆ . 2 L0 ∂yk  6

(14)

Sendo: ∂∆  2 ( −1) ( yk 2 − yk1 ) = ∂yk 

(15)

Com k = 1, 2,3 , as coordenadas nodais do espaço tridimensional e  = 1, 2 , o número de nós do elemento. A matriz Hessiana é obtida com a equação (10) considerando-se também, ε 2 = E ;

λ=

L1 ∂L1 1 1 ∂∆ ∂∆  ; e = = 2 ( −1) ( yk 2 − yk1 ) . 0 1 L ∂yk  2 L ∂yk  ∂yk  A matriz Hessiana é dada por:

2 E A  1  1  ∂∆ ∂∆ 1 ∂2∆  = + H mnk  E    . L0  4  L0  ∂ymn ∂yk  2 ∂yk  ∂ymn 

∂∆ n = 2 ( −1) ( ym 2 − ym1 ) ; ∂ymn

Sendo,

∂2∆  n =2 ( −1) ( −1) δ km ; ∂yk  ∂ymn

(16)

m = 1, 2,3 , as

coordenadas nodais do espaço tridimensional; n = 1, 2 , o número de nós do elemento e δ km , o delta de Kronecker. De posse das equações (14) e (16) é possível constatar que o vetor de forças internas e a matriz Hessiana ficam completamente definidas conhecendo-se os termos em destaque a seguir: a) Vetor de forças internas: E AE E AE E AE ( y11 − y12 ) ; F21int = 0 ( y21 − y22 ) ; F31int = 0 ( y31 − y32 ) 0 L L L int int int int int = − F11 ; F22 = − F21 ; F32 = − F31

F11int = int 12

(17)

b) Matriz Hessiana:

H mnk 

 H 1111 H  1121 H =  1131  − H1111  − H1121   − H1131

H 1121 H 2121

H 1131 H 2131

− H1111 − H1121

− H1121 − H 2121

H 2131 − H1121

H 3131 − H1131

− H1131 H1111

− H 2131 H1121

− H 2121 − H 2131

− H 2131 − H 3131

H1121 H1131

H 2121 H 2131

− H1131  − H 2131  − H 33   H1131  H 2131   H 3131 

(18)

Os termos da matriz são calculados como: 2  E A  y11 − y12  E A  y11 − y12   y21 − y22  = H1111 ; H1121  + E =   ; 0  0 L  L L0  L0   L0    2  E A  y11 − y12   y31 − y32  E A  y21 − y22  = H1131 ; H 2121  =  + E;  0  0 0 0  0 L  L L  L  L    2  E A  y31 − y32  E A  y21 − y22   y31 − y32  = + E H 2131 = 0  H ;   3131  L0  L0  L  L0   L0  

(19)

Exemplos de obtenção da trajetória não linear Nesta seção apresentam-se os exemplos com a finalidade de se verificar as

potencialidades do elemento posicional de barra rígida não linear geométrico. Especial atenção é dada aos problemas de instabilidade global de estruturas reticuladas. Apesar de elementar, estes exemplos são fundamentais para se explorar as principais características do fenômeno de instabilidade estrutural. 4.1

Domo tridimensional hexagonal O exemplo a seguir consiste na estrutura proposta por Hangai e Kawamata (1972),

cuja geometria é a de um domo tridimensional formado por pontos de um hexágono. Na Figura 2 ilustram-se a geometria e a disposição das 24 barra que compõem o sistema estrutural. As propriedades geométricas das barras e os dados do material utilizados na simulação também constam nessa ilustração.

Figura 2 - Domo com 24 elementos de barra simples Na Figura 3 ilustra-se a aplicabilidade do método do comprimento de arco em reproduzir completamente a trajetória de equilíbrio da estrutura. Trajetória de Deslocamento 25000 20000 15000 10000

5000 0

-5000 -10000 -15000 -20000

v Comprimento de Arco

Newton-Raphson - Deslocamento

Figura 3 - Trajetória de equilíbrio do ponto de aplicação do carregamento As soluções são coincidentes apenas nos trechos de deslocamento crescente. Quando ocorre a inversão do sentido do deslocamento, caracterizado pela ocorrência de uma tangente vertical à trajetória de equilíbrio no método de Newton-Raphson mostra-se ineficiente em acompanhar o traçado da curva de equilíbrio. 4.2

Arco treliçado de Crisfield Nesse exemplo, extraído de Crisfield (1997), analisa-se a trajetória de equilíbrio de

um arco treliçado bidimensional modelado com 101 elementos de barras simples. Os dados da estrutura estão ilustradas na Figura 4. 9

Figura 4 - Arco treliçado bidimensional O resultado da análise empregando-se a estratégia do tipo comprimento de arco está ilustrada no gráfico da Figura 5. Trajetória de Equilíbrio 1 0.8 0.6 0.4

P (106)

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0

δ Arc-Length

Newton-Raphson - Deslocamento

Newton-Raphson - Força

Figura 5 - Trajetória de equilíbrio do arco treliçado Nota-se ainda, que ao longo da trajetória, diferentes níveis de carregamento conduzem as situações de instabilidade por snap-trhough e snap-back provando-se a capacidade do elemento de teliça proceder avaliações satisfatórias de estruturas multi-estáveis, desde que se opte por um algoritmo de solução adequado. A estratégia de decomposição da matriz Hessiana se mostra eficiente para a determinação de pontos cujo controle da singularidade da matriz hessiana é essencial, como por exemplo, na determinação do primeiro ponto crítico. Essa característica pode ser visualizada a partir da indicação do ponto 1 na trajetória de equilíbrios.

Porém, o ponto 2, indicado na figura, equivale a primeira tangente vertical, obtido apenas a partir da estratégia do comprimento de arco. Para pontos com essa característica o controle de autovalores, a partir da decomposição da Hessiana, precisa de uma estratégia de solução não linear mais robusta. 4.3

Domo de Schwedler O domo de Schwedler consiste em uma estrutura treliçada com um número

mínimo de diagonais solicitadas apenas por esforço normal de tração (Kurrer, 2008). Neste trabalho a estrutura é modelada com 264 barra de treliça, cujas dimensões e propriedades do material estão ilustradas na Figura 6.

1,01

Figura 6 - Geometria e propriedades dos materiais do domo de Schwedler Na Figura 7 apresenta-se a trajetória de equilíbrio obtida empregando-se os métodos de Newton-Rapshon com controle de força e controle de deslocamento e o método do comprimento de arco. Ainda na Figura 7, se indica os pontos 1 e 2 cuja tangente horizontal produz uma condição singular na matriz Hessiana, cujo procedimento de decomposição em valores próprios é capaz de captar com satisfatória precisão. Se apenas a estratégia de solução com controle de força é utilizada, notam-se os saltos característicos do fenômeno de snap-trhough.

Trajetória de Equilíbrio 0.5 0.4 0.3 0.2

P (106)

0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0

0.5

1.5

2.5

3.5

δ Arc-Length

Newton-Raphson - Deslocamento

Newton-Raphson - Força

Figura 7 - Trajetória de equilíbrio para o domo de Schwedler Verifica-se que em todos os exemplos os resultados obtidos são típicos de treliças geometricamente abatidas. No entanto, para treliças não abatidas, a instabilidade por ponto de bifurcação pode preceder a instabilidade por ponto limite.

Estratégia de decomposição da matriz Hessiana Decompõem-se a matriz de rigidez tangente nas parcelas linear e geométrica. Na

formulação não linear do método dos elementos finitos posicional, essa equivalência é válida para problemas em pequenas deformações. A equação (16), é retomada convenientemente neste ponto, reescrevendo-a da seguinte forma: 1 1  ∂∆ ∂∆ 1 1 ∂2∆ = + H mnk  SA  0 EA 4 L  ∂ymn ∂yk  2 L0 ∂ymn ∂yk  3

(20)

Sendo, S = E E a tensão de Piola-Kirchhoff de segunda espécie. Para o caso de carregamentos com pequena intensidade, a hipótese de pequenas deformações é satisfeita e o segundo termo da equação (20) se aproxima da parcela geométrica. Empregando-se a transformação S=

S EE a equação (20) pode ser escrita como: = P P

∂∆ ∂∆ 1 1 ∂2∆ 1 1  + E A PSA   ∂ymn ∂yk  2 L0 ∂ymn ∂yk  4  L0  3

= H mnk 

(21)

A condição de instabilidade para um sistema com múltiplos graus de liberdade é determinada por meio da nulidade do determinante da matriz de rigidez tangente obtido a partir do seguinte sistema:

L mnk 

G + λ H mnk 0  ) Λ mk =

(22)

∂∆ ∂∆ 1 1  ∂2∆ 1 1 L G Sendo, H mnk e as parcelas da = E A = H PSA  mnk    ∂ymn ∂yk  4  L0  ∂ymn ∂yk  2 L0 3

matriz Hessiana equivalentes aos termos linear e geométrico em pequenos deslocamentos. A nova variável λ é usada para representar os autovalores incógnitos do problema e Λ mk os autovetores correspondentes. O menor valor de λ que satisfaz a equação (22) é a carga crítica linear de instabilidade (Reis e Camotin, 2001). A solução de (22) é obtida pré-multiplicando o sistema pela matriz de rigidez geométrica, resultando:

mnk 

+ λ I mnk  ) Λ mk = 0

(23)

G L Sendo, H mnk  = ( H mnk  ) H mnk  e I mnk  a matriz identidade de ordem mn × k  . A −1

solução desse sistema é obtida utilizando-se o algoritmo de Lanczos por meio da biblioteca ARPACK. 5.1

Análise de Autovalor do domo Hexagonal Para esta análise aplicam-se os carregamentos P = −0,5λ no nó central e P = −λ

em cada nó inscrito no círculo de raio 25, conforme proposto por Crisfield (1997). Na Figura 8 ilustra-se o arranjo final da estrutura, considerando-se os nós da base fixos.

Figura 8 - Carregamento considerado para a análise dos autovalores do domo 13

Na Tabela 1 comparam-se os resultados de Crisfield (1997), com os autovalores encontrados na presente pesquisa: Tabela 1: Parâmetros de carregamento correspondentes aos pontos críticos Pt. Bifurcação 1 Pt. Bifurcação 2 Pt. Bifurcação 3 (CRISFIELD 1997) 8,68 10,26 15,67 Treliça Posicional 8,26 9,97 15,38

Pt. Limite 18,40 18,35

Verifica-se que os resultados apresentados na Tabela 1 são equivalentes. A pequena diferença se deu, devido a capacidade da metodologia de decomposição da Hessiana, dentro do método de Newton-Raphson, encontrar valores mais próximos do ponto singular. Além disso, o condicionamento da matriz a partir do MEF posicional é melhor que o apresentado em Crisfield (1997). Na Figura 9 ilustram-se as configurações deformadas equivalentes aos primeiros cinco autovetores.

Figura 9 - Autovetores dos cinco primeiros parâmetros de bifurcação

Para uma análise das trajetórias bifurcadas, os autovetores da Figura 10 foram tomados como a configuração inicial da estrutura multiplicados por um fator de escala igual a 0,001. Os resultados dessa análise produziram as trajetórias bifurcadas completas ilustradas nas Figuras 12-16. Trajetória de Equilíbrio 20

15 Traj. Fundamental Traj. Bifurcada 1 10

Traj. Bifurcada 2

Traj. Bifurcada 3 Traj. Bifurcada 4 Traj. Bifurcada 5

Pt. Bifurcação 1 Pt. Bifurcação 2 Pt. Bifurcação 3

-5

Pt. Limite

-1

δz

Figura 10 - Trajetórias fundamental e bifurcadas com o elemento de treliça posicional Na Figura 11 ilustra-se a trajetória fundamental completa e o primeiro ponto limite obtido com a análise de autovalor. Trajetória de Equilíbrio Fundamental 30

-10

-20

-30

δz

Figura 11 - Trajetória fundamental do domo com o método do comprimento de arco A partir da Figura 12 ilustram-se as trajetórias bifurcadas completas.

Trajetória Bifurcada λ1 = 8,26 30

-10

-20

-1

-30

δz Traj. Bifurcada 1

Traj. Fundamental

Figura 12 - Trajetória bifurcada 1. Nas Figuras 13 e 14, emergem diferentes trajetórias bifurcadas de um mesmo ponto crítico, correspondente ao ponto de bifurcação 2, apresentado na Tabela 1. Nas Figuras 15 e 16, apresentam-se as trajetórias bifurcadas completas relativas ao ponto de bifurcação 3, cujo valor também está indicado na Tabela 1. Trajetória Bifurcada λ2 = 9,97 30

-10

-20

-1

-30

δz Traj. Bifurcada 2

Traj. Fundamental

Figura 13 - Trajetória bifurcada 2

Trajetória Bifurcada λ3 = 9,97 30

-10

-20

-1

-30

δz Traj. Bifurcada 3

Traj. Fundamental

Figura 14 - Trajetória bifurcada 3 Trajetória Bifurcada λ4 = 15,38 30

-10

-20

-1

-30

δz Traj. Bifurcada 4

Traj. Fundamental

Figura 15 -Trajetória bifurcada 4 Trajetória Bifurcada λ5 = 15,38 30

-10

-20

-1

-30

δz Traj. Bifurcada 5

Traj. Fundamental

Figura 16 - Trajetória bifurcada 5 17

Apesar de complexas, as trajetórias bifurcadas não se desviam completamente da trajetória fundamental. Esse comportamento é explicado pelo fato da estrutura buscar a configuração de equilíbrio fundamental durante a perda de estabilidade. O ponto de bifurcação em estruturas constituídas por barras de treliça pode ser entendido como aquele no qual a estrutura apresenta imperfeições iniciais. Verificando-se com mais detalhe as trajetórias bifurcadas é possível constatar a ocorrência de múltiplos pontos de bifurcação ao longo da trajetória fundamental.

Conclusão Neste artigo foi apresentada a formulação do elemento finito posicional de treliça

não linear geométrica. A simplicidade do método se contrapõem aos esquemas de rotações como as usadas, por exemplo, no elemento corrotacional. Esse elemento foi utilizado no estudo da instabilidade de treliças espaciais via o método de NewtonRaphson e o do comprimento de arco. Verificou-se que para se traçar o caminho completo do equilíbrio é necessário se recorrer a procedimentos mais robustos de solução como o método do comprimento de arco. Uma série de exemplos com trajetórias complexas foram solucionados satisfatoriamente a partir da determinação precisa dos autovalores e autovetores próximos ao ponto singular, por meio da metodologia de decomposição da matriz Hessiana, evidenciando-se a qualidade da técnica não linear pós-crítica.

Agradecimentos Ao Instituto Latino Americano de Infraestrutura e Território da Universidade

Federal da Integração Latino Americana Universidade Federal da integração latino americana

Referências bibliográficas

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Recebido: 07/03/2019 Aprovado: 25/06/2019 Volume 9. Número 1 (abril/2020). p. 21-40 - ISSN 2238-9377 Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICT

Análise teórico-numérica da influência do número de parafusos no comportamento de cantoneiras laminadas comprimidas concêntrica e excentricamente José Onésimo Gomes Junyor1*, Hermes Carvalho1, Armando Cesar Campos Lavall1, João Victor Fragoso Dias1, Ana Lydia Reis de Castro e Silva1 1

Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas – PROPEEs – DEES/EE/UFMG, contato@josegomes.eng.br, hermes@dees.ufmg.br, lavall@dees.ufmg.br, joaovfdias@gmail.com, lydia@dees.ufmg.br

Resumo As cantoneiras laminadas de aço axialmente comprimidas estão presentes em sistemas estruturais diversos, sendo muito comuns em estruturas de torres de transmissão. Na maioria das vezes onde se utiliza este tipo de perfil, a solicitação do mesmo ocorre através de uma aba, sendo a ligação parafusada bastante utilizada. A obtenção da solução elástica exata para cantoneiras comprimidas excentricamente é complexa. Vlasov (1962) propôs, para barras comprimidas excentricamente, um sistema de três equações diferenciais, as quais regem o problema da flexotorção considerando a posição deslocada da seção transversal. O presente trabalho teve o objetivo de estudar o comportamento de cantoneiras de abas iguais comprimidas concêntrica e excentricamente. As equações diferencias propostas por Vlasov (1962) foram aplicadas às cantoneiras comprimidas conectadas por um, dois e três parafusos. Finalmente, uma avaliação do número de parafusos utilizando análises numéricas foi realizada, sendo os resultados comparados posteriormente com as formulações analíticas. Observou-se boa concordância entre os resultados numéricos e analíticos. Palavras-chave: Compressão concêntrica; Compressão excêntrica; Cantoneiras comprimidas através de uma aba; Flambagem; Capacidade resistente à compressão. Abstract Hot-rolled steel single angle sections in compression are used in several systems. In most practical cases, these members are attached to others only by one leg, usually by bolts It is difficult to obtain the exact elastic solution for angles in eccentric compression. Vlasov (1962) proposed a system of three differential equations for eccentrically compressed bars, which govern the torsional-flexural problem, considering the displaced position of the cross-section. The present work had the objective of studying the behavior of equal-leg angles in concentric and eccentric compression. The differential equations proposed by Vlasov (1962) were applied to angles in compression connected by one, two and three bolts. Finally, numerical models were used to assess the influence of the number of bolts and the results were compared with analytical formulations. Great agreement between the numerical and analytical results was observed. Keywords: Concentric compression; Eccentric compression; Angles compressed in one leg; Buckling; Compressive strength. * Autor correspondente

Introdução

A cantoneira de abas iguais é um perfil metálico de seção em L, composta por duas abas de comprimentos iguais formando 90º entre si. O processo de fabricação das cantoneiras laminadas a quente consiste na laminação de metais/ligas acima da temperatura de recristalização do material. Nesse processo, uma placa ou chapa é reaquecida em fornos, passando em seguida através de grandes cilindros, que a comprimem e a impõe a forma pretendida. Durante o resfriamento do perfil, surge uma distribuição de tensões iniciais autoequilibradas, denominadas de tensões residuais. As cantoneiras laminadas a quente estão entre os perfis mais utilizados na construção metálica, devido à menor complexidade de fabricação, à elevada eficiência estrutural (relação capacidade resistente/peso) e, principalmente, à versatilidade de conectá-las a outros elementos estruturais. Estes perfis são muito utilizados em estruturas de contraventamentos, sistemas treliçados, e como elementos de ligações entre perfis diversos, sendo muito empregados em sistemas construtivos de edifícios, galpões e, principalmente, em torres de transmissão. Na maioria dos casos práticos, as cantoneiras estão sujeitas principalmente às forças axiais, sendo conectadas aos outros elementos da estrutura através de uma aba apenas, sendo a ligação parafusada a mais frequente (Figura 1.1).

Figura 1.1 - Cantoneiras de abas iguais conectadas através de uma aba via ligação parafusada (a) – Leal, 2011; b) – Bashar, 2012). Apesar da aparente simplicidade e facilidade de utilização, a análise e dimensionamento de cantoneiras conectadas por uma aba não são simples, devido à excentricidade de aplicação da força normal e à não coincidência dos eixos principais 22

de inércia da cantoneira com os paralelos aos planos de conexão (planos paralelos às abas). Estudos mostram que a capacidade resistente de cantoneiras submetidas à tração excêntrica não é muito menor do que nas situações de tração concêntrica (Woolcock e Kitipornchai, 1986). Na compressão, o efeito da excentricidade na força última é mais pronunciado, como mostraram Elgaaly et al. (1991) e Bathon et al. (1993), entre outros autores. Temple e Sakla (1996) citam ainda outro motivo para a complexidade de se analisar e dimensionar cantoneiras comprimidas: a dificuldade de contabilizar a influência da rigidez da fixação da barra na sua capacidade resistente, já que as restrições das extremidades não são conhecidas na maioria dos casos. De modo geral, as cantoneiras comprimidas apresentam dois modos de falha: instabilidades por flexão e flexotorção. A cantoneira laminada normalmente possui abas compactas (b/t < 20), onde b e t correspondem, respectivamente, à largura e espessura da aba, não estando portanto sujeitas às instabilidades locais. Nas cantoneiras conectadas através de uma aba por meio de um parafuso apenas, a ligação é considerada rotulada. Quando se utilizam dois parafusos ou mais, a ligação é usualmente denominada semi-engastada (situação intermediária entre rótula e engaste). Para a faixa de comprimento utilizada em torres de transmissão (barras esbeltas) as cantoneiras estão mais propícias a falharem por instabilidade por flexão. Em outros tipos de construção metálica, onde se empregam geralmente cantoneiras de comprimento curto a intermediário, o modo de instabilidade preponderante é a flexotorção (Kettler et al., 2017). A obtenção analítica da resposta elástica de cantoneiras comprimidas excentricamente é muito complexa. Vlasov (1962) propôs uma formulação analítica para a flexotorção, baseada no equilíbrio da barra na configuração deformada, porém de difícil solução. Assim, propõe-se neste trabalho um estudo sobre a compressão concêntrica e excêntrica de cantoneiras laminadas conectadas por um, dois e três parafusos através da formulação de Vlasov (1962) e de modelos numéricos.

Formulação analítica para determinação da força crítica de instabilidade elástica

Barras submetidas à compressão com seção transversal monossimétrica e assimétrica estão sujeitas à instabilidade por flexotorção. Portanto, as cantoneiras laminadas de abas iguais – objeto de estudo deste trabalho – estão inseridas nesse contexto. O problema da flexotorção no regime elástico, de barras com seção transversal aberta de paredes finas, embora estudado anteriormente por Timoshenko e Gere (1961), foi sistematizado por Vlasov (1962). Na presente seção, apresenta-se a formulação de Vlasov (1962) para obtenção da força crítica de instabilidade elástica para uma seção transversal genérica aberta de paredes finas, com sua posterior aplicação no caso de cantoneiras comprimidas. Seja então uma barra de seção transversal genérica aberta de paredes finas sujeita à força axial (N) e a momentos fletores (My e Mz) aplicados nas extremidades conforme Figura 2.1, onde CG representa o centro geométrico e D, o centro de torção da seção,

os eixos principais de inércia da seção transversal e

o eixo longitudinal,

que passam pelo centro geométrico das seções.

Figura 2.1 – Seção transversal genérica aberta de paredes finas submetida à força axial e momentos fletores em torno dos eixos principais de inércia. De acordo com Vlasov (1962), quando essa barra for submetida a uma pequena perturbação, capaz de causar a sua instabilidade, ela passará a ocupar uma nova posição de equilíbrio.

No desenvolvimento desta formulação adotam-se, inicialmente, as seguintes hipóteses: • A espessura do perfil é bem inferior às outras dimensões da seção transversal e essas, por sua vez, são bem menores que o comprimento da barra; • As seção transversal é indeformável em seu plano, e suas dimensões não variam com ; A segunda hipótese permite que se trate o problema como um movimento de corpo rígido no plano

, e assim, a nova posição de equilíbrio da barra pode ser

caracterizada por três funções em : ângulo de rotação ( ) e deslocamentos (

)

do centro de torção nas direções dos eixos principais ( e , respectivamente) da seção, conforme mostrado na Figura 2.1. A partir dessas funções obtêm-se equações diferenciais, as quais, na maioria das vezes, são de difícil solução exata até mesmo para os casos mais simples de vinculação e carregamento. Na Subseção 2.1 serão deduzidas as equações diferenciais para a seção transversal indicada na Figura 2.1, utilizando o Método do Equilíbrio na sua configuração deformada, com pequenos deslocamentos, rotações e deformações. 2.1

Estabilidade de uma barra com seção transversal genérica aberta de paredes finas

Conforme a Figura 2.1, o deslocamento da seção transversal no seu plano pode ser considerado como a superposição de deslocamentos relativos à translação e à rotação. Assim, considerando pequenos deslocamentos, rotações e deformações, obtêm-se as Equações (2.1) e (2.2), as quais expressam os deslocamentos da seção transversal nas direções e , respectivamente. (2.1) (2.2) onde: o ângulo de rotação; as coordenadas do centro de torção ( ); os deslocamentos do centro de torção em e . Logo,

são funções de

(ângulo de torção da seção

transversal – ver Figura 2.1), e as condições que devem satisfazer essas funções são 25

expressas por três equações diferenciais dependentes. Para deduzir essas equações, parte-se das equações básicas da flexão (da Resistência dos Materiais) – Equações (2.3) e (2.4) - e da flexotorção (proposta por Vlasov, 1962) – Equação (2.5). Essas equações são válidas quando há eixos de simetria, ou seja, quando o produto de inércia é nulo. (2.3) (2.4) (2.5) sendo: os momentos de inércia relativos aos eixos principais de inércia e ; os momentos fletores relativos aos eixos principais de inércia e ; o momento de torção; o momento de inércia à torção uniforme; os módulos de elasticidade longitudinal e transversal do aço; a constante de empenamento da seção, obtida através da Equação (2.6). (2.6) Na Equação (2.6), ω é a área setorial principal e

a área da seção transversal.

Derivando as Equações (2.3), (2.4) e (2.5) obtém-se: (2.7) (2.8) (2.9) sendo: a força por unidade de comprimento na direção y; a força por unidade de comprimento na direção z; o momento torsor por unidade de comprimento. Estão sendo consideradas apenas forças axiais aplicadas nas extremidades, logo a tensão normal ( ) é constante ao longo do eixo nula. O cálculo de

e a tensão de cisalhamento (τ) é

são realizados no equilíbrio da posição deformada

(considerando pequenos deslocamentos, rotações e deformações). Dessa forma são obtidas as Equações (2.10), (2.11) e (2.12). (2.10) 26

(2.11) (2.12) De acordo com Vlasov (1962), as tensões longitudinais atuantes na barra recebem a contribuição do bimomento ( ), conforme a Equação (2.13): (2.13) Segundo Mori (2003), para seções transversais com um eixo de simetria, o bimomento não altera o valor da força crítica de instabilidade, sendo assim, como essas formulações são aplicadas em cantoneiras neste trabalho, despreza-se a contribuição do bimomento nas tensões. Combinando a Equação (2.13) nas Equações (2.10), (2.11) e (2.12), e desenvolvendo essas últimas nas Equações (2.7), (2.8) e (2.9), obtém-se então as equações diferenciais de estabilidade para uma barra de seção transversal genérica aberta de paredes finas: (2.14) (2.15) (2.16) sendo

o raio de giração polar em relação ao centro de torção, dado por: (2.17)

são as coordenadas do centro do círculo de estabilidade (coordenadas do

ponto de Kindem), calculados através das Equações (2.18) e (2.19), respectivamente. O círculo de estabilidade (ou região de estabilidade) é a região da seção transversal onde é possível aplicar uma força de tração sem provocar a instabilidade da barra e

são as coordenadas do centro desse círculo em relação ao centro geométrico da seção. (2.18) (2.19) O vínculo de garfo é uma condição de contorno muito comum nos casos práticos de ligações metálicas, onde as extremidades da barra possuem rotação livre em relação aos eixos principais de inércia, empenamento livre e torção da seção transversal 27

impedida. Ao impor condições de contorno de vínculo de garfo (ver Tabela 2.1) nas extremidades de uma barra comprimida, as soluções das equações diferenciais, quando o carregamento atinge seu valor crítico, são: (2.20) (2.21) (2.22) sendo , , e

são constantes numéricas e

o comprimento da barra.

Tabela 2.1 – Condições de contorno de vínculo de garfo. Flexão e Rotações

Momentos Fletores e Bimomento

Combinando as Equações (2.20), (2.21) e (2.22) no sistema de equações diferenciais (Equações (2.14), (2.15) e (2.16)), e generalizando para diversos casos de condições de contorno, chegamos a seguinte equação matricial:

(2.23)

sendo: os comprimentos efetivos de flambagem em relação aos eixos e ; o comprimento efetivo de flambagem por torção devido ao empenamento. As forças axiais de flambagem elástica por flexão em relação aos eixos e , e a força de flambagem elástica relativa à torção da barra, como:

, podem ser definidas

(2.24) (2.25) (2.26)

Na busca por uma solução não trivial para a Equação (2.23), considerando N uma força de compressão, obtém-se:

(2.27)

Essa equação pode ser então reescrita na seguinte forma:

(2.28) A Equação (2.28) é uma equação geral, a partir da qual é possível determinar os valores críticos das forças axiais e momentos fletores aplicados às extremidades de um barra. 2.2

Estabilidade de Cantoneiras Comprimidas

As cantoneiras laminadas de abas iguais são amplamente utilizadas na construção metálica devido às suas facilidades de conexão. Essa, por sua vez, é a principal responsável pela compressão excêntrica a qual essas barras estão submetidas. Neste trabalho, a excentricidade a ser avaliada está relacionada ao uso de cantoneiras conectadas por parafusos em uma das abas, conforme Figura 2.2. Nessa figura, os eixos

são os eixos de menor e maior inércia da seção, respectivamente,

largura da aba e

éa

a espessura. A orientação dos eixos mostradas na Figura 2.2 é

utilizada como referência em todo o trabalho.

Figura 2.2 – Cantoneira de abas iguais parafusada por uma aba. De acordo com a Teoria de Vlasov (1962), se uma barra com seção transversal monossimétrica for submetida à uma força de compressão excêntrica – caso da Figura 2.2 – os autovetores são relativos a movimentos característicos de flexotorção. A obtenção da solução elástica exata para cantoneiras comprimidas excentricamente pode ser realizada substituindo os momentos fletores da Equação (2.28) por: (2.29) (2.30) sendo

as coordenadas de aplicação de

, calculadas em função do gabarito da

furação ( ): (2.31) (2.32) A cantoneira pertence a um grupo de perfis em que suas ramificações são coincidentes em um ponto, bem como a seção cruciforme e a seção T, o que lhe confere certas peculiaridades. O centro de torção ( ) da cantoneira está localizado no encontro das abas, o que a concede baixa rigidez à torção e coeficiente de empenamento,

, nulo

(ver Equação (2.6)). Tal fato aumenta a susceptibilidade do perfil a ser mais susceptível a sofrer instabilidade por flexotorção. Assim, a primeira expressão da Equação (2.26) desaparece, e a força axial de flambagem por torção puramente da cantoneira pode ser dada por: (2.33) 30

Além disso, devido à simetria em torno do eixo de maior inércia ( ), A constante

são nulos.

pode ser obtida através da expressão: (2.34)

Diante dessas definições, a Equação (2.28) pode ser reescrita para cantoneiras comprimidas excentricamente, conforme a Equação (2.35): (2.35) sendo

calculados através das Equações (2.24) e (2.25), respectivamente. A

Equação (2.35) fornece 3 soluções possíveis. A força crítica de instabilidade à compressão,

, é a menor das raízes positivas.

Análise Numérica

As análises numéricas deste trabalho foram realizadas com base no Método dos Elementos Finitos, através da plataforma computacional ANSYS v.15.0. As análises iniciais foram desenvolvidas para os modelos sob compressão concêntrica, a partir dos quais foram calibrados, através de formulações analíticas, todos os parâmetros da modelagem para posterior análise dos mesmos perfis sob compressão excêntrica. Para compor os perfis, foi utilizado o elemento SHELL181, elemento disponível na biblioteca do ANSYS e adequado para análises não lineares de cascas de parede fina sujeitas a grandes gradientes de deformação e rotação. No modelo, a cantoneira foi modelada a partir do plano médio das abas sem a presença dos parafusos nas extremidades. A presença deste último foi simulada através de furos (Figura 3.1a). Os furos foram modelados com elementos MPC184. Este elemento pode ser utilizado como um componente rígido na transmissão de forças usado para transmitir forças e momentos, sendo útil para simular situações de condições cinemáticas simples como a imposição de deslocamentos iguais entre duas partes ou até mais complicadas como o contato entre dois corpos flexíveis. Utilizou-se uma malha quadricular em quase todo o perfil, exceto na ligação, onde os elementos foram distorcidos, produzindo uma malha circunferencial ao redor dos furos (Figura 3.1a). Para otimizar o processamento computacional, foi utilizada a propriedade de simetria, onde apenas o metade do 31

comprimento original da cantoneira foi discretizado (Figura 3.1b). Nesta modelagem, a região de interseção entre as abas foi modelada com canto reto (sem curvatura), uma vez que essa curvatura apresenta pouca influência na capacidade resistente dos perfis (Liu e Hui, 2010).

Figura 3.1 – Extremidades das cantoneiras e malha adotada nos modelos numéricos. Como condições de contorno, foram aplicados vínculos de garfo nas extremidades das barras. Para isso, foram aplicadas restrições nos nós centrais dos furos, as mesmas mostradas na Tabela 3.1 e nas Figuras 3.2a e 3.2b. A solicitação também foi aplicada nesses nós. Para introduzir o efeito de simetria, adotaram-se as restrições nos graus de liberdade de translação em

e rotação em

(Ux, ROTy e ROTz) em todos os nós

da seção transversal correspondente à simetria (Figura 3.2c). Tabela 3.1 – Restrições adotadas nos nós centrais dos furos. Tipo de solicitação Concêntrica Excêntrica

Graus de liberdade restringidos Uy, Uz Uy, Uz, ROTx

*Ux, Uy e Uz são graus de liberdade de translação, e ROTx, ROTy e ROTz são graus de liberdade de rotação.

Figura 3.2 – Condições de contorno e carregamentos aplicados na: a) compressão concêntrica; b) compressão excêntrica; c) seção transversal de simetria. Para a obtenção da capacidade resistente das barras, primeiramente, foi realizada uma análise de instabilidade elástica (análise linearizada de estabilidade). Em seguida, uma análise não linear geométrica e de material foi realizada, onde, através de métodos iterativos (Controle por comprimento de arco), o carregamento foi acrescentado à estrutura, passando pela força última, até a parada da solução, caracterizada pela não convergência da análise (ver Figura 3.3). Utilizou-se o critério de falha de von Mises.

Figura 3.3 – Curva Força x deslocamento de uma cantoneira comprimida excentricamente. 33

Para o modelo constitutivo dos perfis, adotou-se o diagrama bilinear elastoplástico perfeito, com material de referência o aço carbono ASTM A36, cuja resistência ao escoamento é igual a 25 kN/cm². É bastante difundido na literatura que a imperfeição geométrica inicial leva a variações elevadas da capacidade resistente em barras comprimidas concentricamente. Enquanto nas cantoneiras comprimidas excentricamente, o efeito das imperfeições geométricas é muito pequeno se comparado ao efeito da excentricidade de aplicação da força normal. Sakla (1997) em seus estudos sobre compressão de cantoneiras soldadas por uma aba observou que os efeitos das imperfeições geométricas iniciais não foram relevantes. Liu e Hui (2010) avaliaram a influência de vários valores de excentricidade em torno dos eixos de maior e de menor inércia na capacidade resistente de cantoneiras. Concluíram que a imperfeição geométrica teve efeito desprezível na compressão excêntrica, enquanto que na compressão concêntrica, o valor da capacidade resistente decresce a medida que a imperfeição aumenta. No caso das tensões residuais, sabe-se da literatura que as mesmas possuem pouca influência na capacidade resistente de cantoneiras comprimidas. Elgaaly et al. (1991) verificaram que o impacto das tensões residuais na capacidade última de cantoneiras comprimidas era desprezível, sendo menor ou igual a 5%. Usami e Galambos (1971) concluíram em seus estudos sobre compressão excêntrica de cantoneiras que os efeitos das tensões residuais eram insignificantes na capacidade resistente e que a presença das tensões residuais reduzia esses valores em no máximo em 4%. Para o estudo numérico deste trabalho não foram consideradas tensões residuais e imperfeições geométricas iniciais. O estudo numérico foi desenvolvido para a cantoneira L 63,5 x 6,4 mm (ver Tabela 3.2), sendo avaliados comprimentos diversos; permitindo obter esbeltezes (relativas ao eixo de menor inércia) variando entre 25 a 500, com incrementos de 25. A esbeltez dos modelos deste trabalho é expressa por λr, índice de esbeltez relativo ao eixo de menor inércia, calculado através da Equação (3.1): (3.1)

onde Lr é a distância entre as duas extremidades da cantoneira, medida a partir dos parafusos mais próximos às bordas transversais, e r, o raio de giração em relação ao eixo de menor inércia. Tabela 3.2 – Cantoneira adotada na modelagem numérica. Perfil L 63,5 x 6,4 mm

Ag (cm²) 7,67

Iz (cm4) 11,79

Iy (cm4) 46,21

rz (cm) 1,24

ry (cm) 2,45

Comparação entre os resultados numéricos e a formulação de Vlasov (1962)

Compararam-se os resultados da análise linearizada de estabilidade (ALE) e da análise não linear geométrica e de material (NLGM) com os valores obtidos através da fórmula de Euler e da formulação de Vlasov (1962). Calcularam-se os valores das tensões relativas à flambagem elástica por flexão em torno do eixo de menor inércia (a partir da equação de Euler – Equação (2.24)) para compressão concêntrica e as tensões referentes à instabilidade por flexotorção (a partir das formulações de Vlasov (1962) – Equação (2.36)) para compressão excêntrica. Nesses cálculos, foram consideradas duas condições de contorno nas extremidades da cantoneira: rótula (K = 1,0) e engaste (K = 0,5) na fórmula de Euler, e vínculo de garfo e engaste na formulação de Vlasov (1962). A solução para essa última condição de contorno foi obtida assumindo K = 0,5 nas Equações (2.24) e (2.25), e introduzindo os novos valores de

na Equação

(2.36). A título de referência, a tensão relativa à flambagem por torção pura para o perfil em questão é igual a 87,12 kN/cm². 4.1

Compressão Concêntrica

O comportamento dos modelos numéricos apresentaram excelente concordância com as formulações analíticas para a cantoneira analisada, como pode ser observado na Figura 4.1. Na compressão concêntrica (Figura 4.1), as cantoneiras com apenas um parafuso comportam-se como barras rotuladas. Observou-se a coincidência entre a formulação de Euler e os resultados da análise linearizada de estabilidade para barras com um e dois parafusos, indicando que a flambagem por flexão em torno do eixo de menor inércia é a única instabilidade que ocorre em perfis de abas compactas sob essa 35

solicitação. Quanto à utilização de um ou dois parafusos, foi possível observar que o aumento do número de parafusos torna a ligação mais rígida, dando-lhe um efeito de engastamento, possibilitando um esforço resistente cerca de quatro vezes maior do que nas barras com apenas um parafuso. Não foi observada diferença na capacidade resistente com o aumento de dois para três parafusos. Para barras curtas, ou seja, esbeltezes (λr) inferiores a 85, para barras com um parafuso, e a 185, para situações com dois ou três parafusos, ocorreu a plastificação em praticamente todo o perfil, enquanto nas barras mais esbeltas, a flambagem elástica por flexão em torno do eixo de menor inércia foi o estado limite preponderante (ver curvas NLGM da Figura 4.1).

Figura 4.1 – Resultados da análise linearizada de estabilidade e da análise não linear geométrica e de material para compressão concêntrica do perfil L 63,5 x 6,4 mm. 4.2

Compressão Excêntrica

Na compressão excêntrica (Figura 4.2), foi observada boa concordância entre os resultados das análises linearizadas de estabilidade e os resultados obtidos através da formulação de Vlasov (1962). A Figura 4.3 apresenta as tensões de von Mises relativas à falha do perfil, típicas de cantoneiras compactas (Figura 4.3a) e esbeltas (Figura 4.3b). Para barras com um parafuso e valores de esbeltezes (λr ) abaixo de 145 e para barras com três parafusos com esbeltezes inferiores a 295, a capacidade resistente é caracterizada por plastificação da seção transversal. Na Figura 4.3a observa-se que esses perfis apresentaram plastificação em apenas parte da seção transversal, consequência direta da compressão excêntrica. Para esbeltezes maiores que as destacadas anteriormente, a flambagem elástica por flexão em torno do eixo de 36

menor inércia governa o modo de falha (ver Figura 4.3b). O comportamento esperado nas cantoneiras comprimidas excentricamente é a flexo-torção da seção transversal. No entanto, observou-se nos modelos numéricos a configuração deformada esquematizada na Figura 4.4a, onde houve predominantemente a flexão em torno do eixo de menor inércia com um pequeno giro da seção transversal. A Figura 4.4b exemplifica isso, onde se observa que as abas da seção transversal localizada a meia altura da cantoneira não são paralelas as abas da seção transversal da extremidade (seção transversal indeformada devido às condições de contorno impostas no modelo numérico), evidenciando, dessa forma, uma rotação da primeira. Observou-se que os deslocamentos devido à torção da seção transversal diminuíam à medida que se aumentava a esbeltez das barras. Esse efeito reduzido da torção no comportamento de cantoneiras comprimidas também foi observado por Liang et al. (2019) em seus estudos experimentais. Nas barras com dois parafusos, a plastificação da seção transversal foi preponderante para todas as esbeltezes. Quanto à influência do número de parafusos, foi observado um ganho no esforço resistente de 90% e 145% nos modelos com dois e três parafusos, respectivamente, quando comparados com o modelo com um parafuso. A diferença da capacidade resistente entre elementos com dois e três parafusos é bem mais significativa do que na compressão concêntrica. É válido notar que, para esbeltezes elevadas, as curvas “NLGM – dois parafusos” e “NLGM – três parafusos” apresentam comportamento assintótico com a curva “Vlasov (Engaste)”, sugerindo um engastamento das extremidades. A tendência de cantoneiras de esbeltezes elevadas comprimidas excentricamente de se comportarem como barras birrotuladas, quando conectadas por um parafuso, e como barras biengastadas, quando conectadas por dois ou mais parafusos, observada na Figura 4.2, também foi verificada por Kettler et al. (2019) em suas análises experimentais em cantoneiras comprimidas.

Figura 4.2 – Resultados da análise linearizada de estabilidade e da análise não linear geométrica e de material para compressão excêntrica do perfil L 63,5 x 6,4 mm.

Figura 4.3 – Distribuição de Tensões de von Mises relativa à falha para a compressão excêntrica – L 63,5 x 63,5 mm com um parafusos: a)

= 65 e b)

= 245.

Figura 4.4 – Desenho esquemático da configuração indeformada e deformada; b) Distribuição de Tensões de von Mises relativa à falha para a compressão excêntrica – L 63,5 x 63,5 mm –

= 245.

Conclusões

a) Compressão concêntrica: • as cantoneiras com apenas um parafuso comportam-se como barras birrotuladas. As cantoneiras com dois e três parafusos comportam-se como barras biengastadas, possibilitando uma capacidade resistente cerca de quatro vezes maior do que as barras com apenas um parafuso; • observou-se a coincidência entre a formulação de Euler e os resultados da análise linearizada de estabilidade para barras com um, dois e três parafusos, indicando que a flambagem em torno do eixo de menor inércia é a único modo de instabilidade que ocorre em perfis de abas compactas sob essa solicitação; • não foi observada diferença na capacidade resistente com o aumento de dois para três parafusos; b) Compressão excêntrica: • há excelente concordância entre os resultados analíticos obtidos através da formulação de Vlasov (1962) e os resultados numéricos das análises linearizadas de estabilidade. Para esbeltezes elevadas, as cantoneiras comprimidas excentricamente através de um parafuso comportam-se como barras rotuladas, e aquelas solicitadas com dois e três parafusos, como barras biengastadas; • a resistência máxima alcançada nos modelos com um parafuso corresponde à aproximadamente 50% da resistência ao escoamento, indicando que nesses perfis ocorre, predominantemente, a plastificação apenas da aba conectada. A resistência máxima alcançada nos modelos com dois e três parafusos corresponde à aproximadamente 75 e 95%, respectivamente, da resistência ao escoamento; • no trecho elastoplástico das curvas, a diferença na capacidade resistente em função do número de parafusos ocorre porque cada parafuso adicional permite que uma maior porção da aba não conectada seja solicitada, fornecendo, dessa forma, um ganho na capacidade resistente.

Referências

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Recebido: 19/04/2019 Aprovado: 10/07/2019 Volume 9. Número 1 (abril/2020). p. 41‐60 ‐ ISSN 2238‐9377

Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICT

Procedimento para a determinação do momento fletor resistente à flambagem lateral com torção de vigas celulares de aço Caroline Corrêa de Faria1*, Hermes Carvalho1, Ricardo Hallal Fakury1, Lucas Figueiredo Grilo1 e Rodrigo Barreto Caldas1

Departamento de Engenharia de Estruturas, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG, Brasil ‐ carolinecf@ufmg.br, hermes@dees.ufmg.br, fakury@dees.ufmg.br, lucasfgrilo@gmail.com, caldas@dees.ufmg.br

Design procedure for determination of the bending moment resistance to lateral‐torsional buckling of steel cellular beams Resumo Este trabalho tem por objetivo principal propor um novo procedimento para o cálculo do momento fletor resistente de vigas celulares de aço com relação ao estado‐limite último de flambagem lateral com torção. Para isso, um modelo em elementos finitos foi desenvolvido e validado por comparação com resultados experimentais presentes na literatura e, posteriormente, utilizado em um estudo paramétrico de vigas celulares originárias de vinte perfis laminados fabricados no Brasil. Com base nesse estudo, foi desenvolvido um novo procedimento que representa de maneira mais acurada os resultados numéricos quando comparado a outros procedimentos existentes na literatura. Por fim, um roteiro de cálculo é apresentado, incluindo o equacionamento para a determinação das propriedades geométricas da seção transversal de interesse à determinação do momento fletor resistente. Palavras‐chave: Vigas Celulares de Aço, Flambagem Lateral com Torção, Modelagem Numérica. Abstract The main objective of this paper is to propose a new design procedure to obtain the bending moment resistance of steel cellular beams for ultimate limit state for lateral‐torsional buckling. To this end, a finite element model was developed and validated by comparison with experimental results from the literature. A parametric study of cellular beams deriving from twenty hot rolled profiles manufactured in Brazil was performed. The new procedure was proposed based on the parametric study and presented better results than those obtained through procedures proposed by other authors. Finally, a complete design approach was proposed, including equations for the determination of the cross section geometric properties of interest to appoint the moment resistance. Keywords: Steel Cellular beams, Lateral‐Torsional Buckling, Numerical Modelling. * Autor correspondente

IntroduĂ§ĂŁoÂ

AsÂ vigasÂ celularesÂ usualmenteÂ sĂŁoÂ fabricadasÂ aÂ partirÂ deÂ umÂ perfilÂ IÂ laminado,Â noÂ qualÂ sĂŁoÂ feitosÂ doisÂ cortesÂ longitudinaisÂ naÂ alma,Â ambosÂ constituĂdosÂ pelaÂ sequĂŞnciaÂ deÂ semicircunferĂŞnciaÂ eÂ pequenoÂ segmentoÂ reto.Â AsÂ metadesÂ obtidasÂ apĂłsÂ osÂ cortesÂ sĂŁoÂ transladadasÂ eÂ osÂ segmentosÂ retosÂ soldadosÂ entreÂ si,Â resultandoÂ emÂ umaÂ vigaÂ expandidaÂ comÂ grandesÂ alvĂŠolosÂ circularesÂ sequenciaisÂ naÂ alma,Â eÂ maiorÂ alturaÂ emÂ relaĂ§ĂŁoÂ aosÂ perfisÂ originais,Â comoÂ ilustradoÂ naÂ FiguraÂ 1,Â ondeÂ đ?&#x2018;? Â ĂŠÂ aÂ larguraÂ dasÂ mesas,Â đ?&#x2018;? Â aÂ larguraÂ doÂ montanteÂ deÂ alma,Â đ?&#x2018;&#x2018;Â aÂ alturaÂ doÂ perfilÂ laminadoÂ original,Â đ?&#x2018;&#x2018; Â aÂ alturaÂ daÂ vigaÂ celular,Â â&#x201E;&#x17D;Â aÂ alturaÂ daÂ almaÂ daÂ vigaÂ celular,Â đ?&#x2018;Ą Â aÂ espessuraÂ dasÂ mesas,Â đ?&#x2018;Ą Â aÂ espessuraÂ daÂ alma,Â eÂ đ??ˇ Â oÂ diĂ˘metroÂ doÂ alvĂŠolo.Â d

Corte AA tf

Corte BB tf

tw D0

h A dg

D0 bw

tw bf

FiguraÂ 1Â â&#x20AC;&#x201C;Â FabricaĂ§ĂŁoÂ deÂ vigaÂ celularÂ aÂ partirÂ deÂ perfilÂ IÂ laminadoÂ Â AssimÂ comoÂ emÂ vigasÂ deÂ almaÂ cheia,Â asÂ vigasÂ celularesÂ estĂŁoÂ sujeitasÂ aoÂ estadoâ&#x20AC;?limiteÂ ĂşltimoÂ deÂ flambagemÂ lateralÂ comÂ torĂ§ĂŁoÂ (FLT),Â queÂ ĂŠÂ umÂ fenĂ´menoÂ caracterizadoÂ pelaÂ translaĂ§ĂŁoÂ lateralÂ daÂ mesaÂ comprimidaÂ acompanhadaÂ pelaÂ rotaĂ§ĂŁoÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ (FiguraÂ 2).Â EmboraÂ algunsÂ trabalhosÂ disponĂveisÂ naÂ literaturaÂ tratemÂ daÂ determinaĂ§ĂŁoÂ doÂ momentoÂ fletorÂ resistenteÂ deÂ vigasÂ celularesÂ (đ?&#x2018;&#x20AC; )Â paraÂ oÂ estadoâ&#x20AC;?limiteÂ deÂ FLT,Â hĂĄÂ divergĂŞnciasÂ entreÂ osÂ procedimentosÂ existentes,Â inclusiveÂ noÂ queÂ seÂ refereÂ aoÂ cĂĄlculoÂ dasÂ propriedadesÂ geomĂŠtricasÂ aÂ seremÂ utilizadas.Â

42Â

Â FiguraÂ 2Â â&#x20AC;&#x201C;Â FLTÂ emÂ vigaÂ celularÂ Â DianteÂ doÂ exposto,Â esteÂ trabalhoÂ apresentaÂ umÂ estudoÂ sobreÂ oÂ comportamentoÂ deÂ vigasÂ celularesÂ deÂ aĂ§oÂ sujeitasÂ Ă Â FLT,Â cujoÂ objetivoÂ principalÂ ĂŠÂ proporÂ umÂ novoÂ procedimentoÂ paraÂ oÂ cĂĄlculoÂ doÂ momentoÂ fletorÂ resistenteÂ deÂ vigasÂ celulares,Â aÂ partirÂ deÂ modelosÂ numĂŠricosÂ validadosÂ comÂ resultadosÂ experimentaisÂ disponĂveisÂ naÂ literatura.Â Â

2 2.1

ConceitosÂ RelevantesÂ eÂ EstudosÂ PregressosÂ MomentoÂ crĂticoÂ elĂĄsticoÂ

NasÂ vigasÂ comÂ perfilÂ IÂ duplamenteÂ simĂŠtricoÂ fletidoÂ emÂ relaĂ§ĂŁoÂ aoÂ eixoÂ deÂ maiorÂ momentoÂ deÂ inĂŠrcia,Â oÂ momentoÂ fletorÂ deÂ flambagemÂ elĂĄsticaÂ referenteÂ Ă Â FLT,Â tambĂŠmÂ denominadoÂ momentoÂ crĂticoÂ elĂĄsticoÂ (đ?&#x2018;&#x20AC; ),Â podeÂ serÂ calculadoÂ conformeÂ aÂ seguinteÂ equaĂ§ĂŁo:Â Â

đ?&#x2018;&#x20AC;

đ??ś

đ?&#x153;&#x2039; đ??¸đ??ź đ??ż

đ??ś đ??ź

0,039

đ??˝đ??ż đ??ś

(1)Â

ondeÂ đ??ś Â ĂŠÂ oÂ fatorÂ deÂ modificaĂ§ĂŁoÂ paraÂ diagramaÂ deÂ momentoÂ fletorÂ nĂŁoÂ uniforme,Â đ??ś Â aÂ constanteÂ deÂ empenamentoÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ transversal,Â đ??¸Â oÂ mĂłduloÂ deÂ elasticidadeÂ doÂ aĂ§o,Â đ??ź Â oÂ momentoÂ deÂ inĂŠrciaÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ emÂ relaĂ§ĂŁoÂ aoÂ eixoÂ queÂ passaÂ peloÂ planoÂ mĂŠdioÂ daÂ alma,Â đ??˝Â aÂ constanteÂ deÂ torĂ§ĂŁoÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ eÂ đ??ż Â oÂ comprimentoÂ destravadoÂ daÂ viga.Â AÂ EquaĂ§ĂŁoÂ (1)Â ĂŠÂ compostaÂ peloÂ produtoÂ deÂ đ??ś Â porÂ umÂ rearranjoÂ daÂ equaĂ§ĂŁoÂ clĂĄssicaÂ deÂ vigasÂ sujeitasÂ Ă Â flexĂŁoÂ pura,Â propostaÂ porÂ TimoshenkoÂ eÂ GereÂ (1961).Â OÂ fatorÂ đ??ś Â ĂŠÂ utilizadoÂ paraÂ seÂ considerarÂ aÂ variaĂ§ĂŁoÂ doÂ momentoÂ fletorÂ aoÂ longoÂ doÂ comprimentoÂ 43Â

destravado,Â đ??ż ,Â daÂ viga.Â ConformeÂ asÂ normasÂ brasileiraÂ ABNTÂ NBRÂ 8800:2008Â eÂ norteâ&#x20AC;? americanaÂ ANSI/AISCÂ 360:2016,Â esseÂ fatorÂ paraÂ vigasÂ constituĂdasÂ porÂ perfisÂ IÂ duplamenteÂ simĂŠtricosÂ comÂ apoiosÂ simplesÂ eÂ vĂnculosÂ deÂ garfoÂ podeÂ serÂ determinadoÂ por:Â đ??ś

Â ondeÂ đ?&#x2018;&#x20AC;

ĂĄ

2,5đ?&#x2018;&#x20AC;

ĂĄ

12,5đ?&#x2018;&#x20AC; ĂĄ 3đ?&#x2018;&#x20AC; 4đ?&#x2018;&#x20AC;

3đ?&#x2018;&#x20AC;

(2)Â

Â ĂŠÂ oÂ valorÂ doÂ momentoÂ fletorÂ mĂĄximoÂ solicitanteÂ deÂ cĂĄlculo,Â emÂ mĂłdulo,Â noÂ

comprimentoÂ destravado,Â eÂ đ?&#x2018;&#x20AC; ,Â đ?&#x2018;&#x20AC; Â eÂ đ?&#x2018;&#x20AC; Â sĂŁoÂ osÂ valores,Â emÂ mĂłdulo,Â doÂ momentoÂ fletorÂ solicitanteÂ deÂ cĂĄlculoÂ aÂ umÂ quarto,Â naÂ metadeÂ eÂ aÂ trĂŞsÂ quartosÂ doÂ comprimentoÂ destravadoÂ daÂ viga,Â respectivamente.Â EssaÂ equaĂ§ĂŁoÂ normativaÂ temÂ comoÂ origemÂ estudosÂ efetuadosÂ porÂ KirbyÂ eÂ NethercotÂ (1979).Â ConformeÂ AbreuÂ etÂ al.Â (2010),Â asÂ EquaĂ§ĂľesÂ (1)Â eÂ (2)Â tambĂŠmÂ podemÂ serÂ aplicadasÂ aoÂ cĂĄlculoÂ doÂ momentoÂ crĂticoÂ elĂĄsticoÂ deÂ vigasÂ celulares,Â desdeÂ queÂ asÂ propriedadesÂ geomĂŠtricasÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ sejamÂ obtidasÂ noÂ centroÂ dosÂ alvĂŠolosÂ (seĂ§ĂŁoÂ mostradaÂ noÂ corteÂ Bâ&#x20AC;?BÂ daÂ FiguraÂ 1).Â 2.2

MomentoÂ fletorÂ resistenteÂ

2.2.1 AbreuÂ etÂ al.Â (2010)Â AbreuÂ etÂ al.Â (2010)Â investigaramÂ oÂ comportamentoÂ deÂ vigasÂ celularesÂ sujeitasÂ Ă Â FLTÂ porÂ meioÂ deÂ modelosÂ numĂŠricosÂ validadosÂ comÂ resultadosÂ experimentais.Â NessesÂ modelos,Â osÂ autoresÂ consideraramÂ tensĂľesÂ residuaisÂ apenasÂ nasÂ mesas,Â conformeÂ aÂ distribuiĂ§ĂŁoÂ indicadaÂ naÂ FiguraÂ 3,Â naÂ qualÂ đ?&#x2018;&#x201C; Â ĂŠÂ aÂ resistĂŞnciaÂ aoÂ escoamentoÂ doÂ aĂ§o.Â AÂ partirÂ dosÂ resultadosÂ numĂŠricos,Â AbreuÂ etÂ al.Â (2010)Â apresentaramÂ umÂ procedimentoÂ paraÂ oÂ cĂĄlculoÂ doÂ momentoÂ fletorÂ resistente,Â simbolizadoÂ porÂ đ?&#x2018;&#x20AC; ,Â paraÂ vigasÂ celularesÂ utilizandoÂ aÂ mesmaÂ formulaĂ§ĂŁoÂ preconizadaÂ pelaÂ ABNTÂ NBRÂ 8800:2008,Â paraÂ vigasÂ deÂ almaÂ cheia,Â comÂ asÂ seguintesÂ modificaĂ§Ăľes:Â (i)Â propriedadesÂ geomĂŠtricasÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ calculadasÂ noÂ centroÂ dosÂ alvĂŠolos;Â (ii)Â substituiĂ§ĂŁoÂ doÂ parĂ˘metroÂ deÂ esbeltezÂ daÂ vigaÂ (đ?&#x153;&#x2020;)Â peloÂ comprimentoÂ destravadoÂ đ??ż ;Â (iii)Â substituiĂ§ĂŁoÂ dosÂ parĂ˘metrosÂ deÂ esbeltezÂ correspondentesÂ Ă Â plastificaĂ§ĂŁoÂ eÂ aoÂ inĂcioÂ doÂ escoamentoÂ (đ?&#x153;&#x2020; Â eÂ đ?&#x153;&#x2020; )Â porÂ comprimentosÂ equivalentesÂ corrigidosÂ (đ??ż Â eÂ đ??ż

44Â

);Â eÂ (iv)Â substituiĂ§ĂŁoÂ doÂ momentoÂ

fletorÂ deÂ plastificaĂ§ĂŁoÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ (đ?&#x2018;&#x20AC; )Â porÂ 0,9Â đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x201C; ,Â ondeÂ đ?&#x2018;?

Â ĂŠÂ oÂ mĂłduloÂ

deÂ resistĂŞnciaÂ plĂĄsticoÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ tomadaÂ noÂ centroÂ dosÂ alvĂŠolos.Â

0,3 f y +

0,3 f y

FiguraÂ 3Â â&#x20AC;&#x201C;Â ModeloÂ simplificadoÂ deÂ tensĂľesÂ residuaisÂ paraÂ asÂ mesasÂ Â 2.2.2 NseirÂ etÂ al.Â (2012)Â eÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015)Â PorÂ meioÂ deÂ modelosÂ numĂŠricosÂ validadosÂ comÂ resultadosÂ experimentais,Â NseirÂ etÂ al.Â (2012)Â eÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015)Â analisaramÂ oÂ comportamentoÂ deÂ vigasÂ celularesÂ sujeitasÂ Ă Â FLT.Â ConformeÂ essesÂ autores,Â oÂ cĂĄlculoÂ doÂ momentoÂ fletorÂ resistenteÂ podeÂ serÂ feitoÂ comÂ aÂ formulaĂ§ĂŁoÂ preconizadaÂ pelaÂ normaÂ ENÂ 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005,Â considerandoÂ algunsÂ ajustes.Â SegundoÂ aÂ ENÂ 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005,Â oÂ momentoÂ fletorÂ resistenteÂ ĂŠÂ dadoÂ por:Â đ?&#x2018;&#x20AC;

đ?&#x153;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2039; đ?&#x2018;&#x201C;

(3)Â

ondeÂ đ?&#x2018;&#x2039; Â ĂŠÂ oÂ mĂłduloÂ resistenteÂ deÂ interesseÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ eÂ đ?&#x153;&#x2019; Â umÂ fatorÂ deÂ reduĂ§ĂŁoÂ paraÂ aÂ flambagemÂ lateralÂ comÂ torĂ§ĂŁo,Â dadoÂ por:Â

đ?&#x153;&#x2019; ÎŚ

ÎŚ

1,0Â đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

(4)Â

ondeÂ đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026; Â ĂŠÂ aÂ esbeltezÂ adimensionalÂ daÂ vigaÂ Ă Â FLTÂ eÂ ÎŚ Â umÂ parĂ˘metroÂ auxiliar.Â EssasÂ duasÂ grandezasÂ sĂŁoÂ dadasÂ por:Â Â

đ?&#x2018;&#x2039; đ?&#x2018;&#x201C; Â đ?&#x2018;&#x20AC;

đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

45Â

(5)Â

ÎŚ

0,5 1

đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

đ?&#x203A;ź

đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

0,2

(6)Â

ondeÂ đ?&#x203A;ź Â ĂŠÂ umÂ fatorÂ deÂ imperfeiĂ§ĂŁo,Â queÂ englobaÂ osÂ efeitosÂ dasÂ tensĂľesÂ residuaisÂ eÂ dasÂ imperfeiĂ§ĂľesÂ geomĂŠtricasÂ noÂ cĂĄlculoÂ deÂ đ?&#x2018;&#x20AC; ,Â eÂ estĂĄÂ associadoÂ Ă Â curvaÂ deÂ resistĂŞnciaÂ utilizada.Â NaÂ normaÂ ENÂ 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005Â podemÂ serÂ encontradasÂ quatroÂ curvasÂ deÂ resistĂŞncia,Â cadaÂ umaÂ delasÂ associadaÂ aÂ umÂ valorÂ paraÂ esseÂ fatorÂ paraÂ oÂ estadoâ&#x20AC;?limiteÂ deÂ FLT,Â dependendoÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ doÂ perfilÂ eÂ daÂ razĂŁoÂ entreÂ aÂ alturaÂ eÂ aÂ larguraÂ dasÂ mesasÂ doÂ perfilÂ (đ?&#x2018;&#x2018;/đ?&#x2018;? ),Â comoÂ mostradoÂ naÂ TabelaÂ 1.Â NoÂ casoÂ dasÂ vigasÂ celulares,Â NseirÂ etÂ al.Â (2012)Â eÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015)Â recomendaramÂ queÂ fosseÂ adotadaÂ aÂ curvaÂ đ?&#x2018;?,Â ouÂ seja,Â queÂ đ?&#x203A;ź Â fosseÂ tomadoÂ comoÂ igualÂ aÂ 0,49.Â Â TabelaÂ 1Â â&#x20AC;&#x201C;Â FatorÂ deÂ imperfeiĂ§ĂŁoÂ đ?&#x203A;ź Â conformeÂ aÂ normaÂ ENÂ 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005Â TipoÂ deÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ IÂ LaminadoÂ

IÂ SoldadoÂ

đ?&#x2018;&#x2018; â &#x201E;đ?&#x2018;? Â â&#x2030;¤Â 2,0Â

CurvaÂ deÂ resistĂŞnciaÂ đ?&#x2018;&#x17D;Â

đ?&#x203A;ź Â 0,21Â

>Â 2,0Â

đ?&#x2018;?Â

0,34Â

â&#x2030;¤Â 2,0Â

đ?&#x2018;?Â

0,49Â

>Â 2,0Â

đ?&#x2018;&#x2018;Â

0,76Â

â&#x20AC;?Â

đ?&#x2018;&#x2018;Â

0,76Â

OutraÂ

Â OsÂ autoresÂ tambĂŠmÂ sugeriramÂ queÂ asÂ propriedadesÂ geomĂŠtricasÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ fossemÂ determinadasÂ noÂ centroÂ dosÂ alvĂŠolos.Â Entretanto,Â SonckÂ eÂ BelisÂ (2015)Â recomendaramÂ aÂ adoĂ§ĂŁoÂ deÂ đ?&#x2018;&#x2039; Â igualÂ aÂ đ?&#x2018;?

,Â eÂ queÂ đ?&#x2018;&#x20AC; Â

fosseÂ obtidoÂ comÂ aÂ constanteÂ deÂ torĂ§ĂŁoÂ ponderadaÂ (đ??˝ ),Â dadaÂ por:Â đ??˝

0,9

đ?&#x2018;&#x203A;đ??ˇ đ??˝ đ??ż

0,9

đ?&#x2018;&#x203A;đ??ˇ đ??ż

đ??˝Â

(7)Â

ondeÂ đ?&#x2018;&#x203A;Â ĂŠÂ aÂ quantidadeÂ deÂ alvĂŠolos,Â đ??żÂ ĂŠÂ oÂ comprimentoÂ daÂ viga,Â eÂ đ??˝ Â eÂ đ??˝ Â sĂŁo,Â respectivamente,Â osÂ valoresÂ dasÂ constantesÂ deÂ torĂ§ĂŁoÂ calculadasÂ noÂ centroÂ dosÂ alvĂŠolosÂ eÂ naÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ semÂ alvĂŠolos,Â conformeÂ detalhesÂ apresentadosÂ maisÂ adianteÂ noÂ SubitemÂ 3.4.Â 2.3

ResultadosÂ experimentaisÂ disponĂveisÂ naÂ literaturaÂ

NseirÂ etÂ al.Â (2012)Â eÂ BoissonnadeÂ etÂ al.Â (2014)Â realizaramÂ doisÂ ensaiosÂ deÂ flexĂŁoÂ deÂ quatroÂ pontosÂ emÂ vigasÂ celularesÂ comÂ processoÂ deÂ fabricaĂ§ĂŁoÂ convencional,Â conformeÂ 46Â

descritoÂ noÂ ItemÂ 1.Â NessesÂ doisÂ protĂłtipos,Â denominadosÂ HEAÂ 340Â eÂ IPEÂ 330,Â osÂ autoresÂ adicionaramÂ restriĂ§ĂľesÂ lateraisÂ eÂ enrijecedoresÂ nasÂ seĂ§ĂľesÂ dosÂ apoiosÂ eÂ deÂ aplicaĂ§ĂŁoÂ dasÂ forĂ§as.Â AlĂŠmÂ disso,Â comoÂ ilustradoÂ naÂ FiguraÂ 4a,Â osÂ alvĂŠolosÂ nasÂ regiĂľesÂ entreÂ osÂ apoiosÂ eÂ osÂ pontosÂ deÂ aplicaĂ§ĂŁoÂ dasÂ forĂ§asÂ foramÂ preenchidos.Â SonckÂ (2014)Â eÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015)Â realizaramÂ trĂŞsÂ ensaiosÂ deÂ flexĂŁoÂ deÂ quatroÂ pontosÂ emÂ vigasÂ celularesÂ construĂdasÂ deÂ formaÂ atĂpica,Â porÂ meioÂ daÂ fabricaĂ§ĂŁoÂ deÂ vigasÂ casteladasÂ eÂ posteriorÂ corteÂ dosÂ alvĂŠolosÂ hexagonaisÂ paraÂ queÂ passassemÂ aÂ terÂ formaÂ circular.Â OsÂ protĂłtiposÂ CS2L3,Â CS2L4Â eÂ CS2L6,Â avaliadosÂ porÂ essesÂ autores,Â continhamÂ restriĂ§ĂľesÂ lateraisÂ apenasÂ nasÂ seĂ§ĂľesÂ dosÂ apoios.Â TambĂŠmÂ valeÂ ressaltarÂ queÂ osÂ autoresÂ nĂŁoÂ conseguiramÂ determinarÂ oÂ momentoÂ fletorÂ resistenteÂ doÂ protĂłtipoÂ CS2L6,Â devidoÂ aÂ dificuldadesÂ ocorridasÂ duranteÂ aÂ realizaĂ§ĂŁoÂ desseÂ ensaio.Â OsÂ detalhesÂ dasÂ propriedadesÂ dosÂ materiais,Â dasÂ dimensĂľesÂ eÂ dasÂ configuraĂ§ĂľesÂ dasÂ vigasÂ ensaiadasÂ porÂ essesÂ autoresÂ estĂŁoÂ apresentadosÂ nasÂ TabelasÂ 2Â eÂ 3,Â eÂ naÂ FiguraÂ 4,Â respectivamente,Â ondeÂ đ??żÂ ĂŠÂ aÂ distĂ˘nciaÂ entreÂ osÂ apoiosÂ eÂ đ??ż Â ĂŠÂ aÂ distĂ˘nciaÂ entreÂ asÂ forĂ§asÂ aplicadas.Â Â TabelaÂ 2Â â&#x20AC;&#x201C;Â PropriedadesÂ dosÂ materiais,Â emÂ MPaÂ đ??¸

ProtĂłtipoÂ

đ?&#x2018;&#x201C;

đ??¸

đ?&#x2018;&#x201C;,

HEAÂ 340Â (NseirÂ etÂ al.,Â 2012)Â

212.100Â

480Â

212.100Â

480Â

IPEÂ 330Â (NseirÂ etÂ al.,Â 2012)Â

173.400Â

373Â

173.400Â

373Â

CS2L3Â (Sonck,Â 2014)Â

187.100Â

329Â

199.300Â

342Â

CS2L4Â (Sonck,Â 2014)Â

197.700Â

339Â

202.000Â

350Â

CS2L6Â (Sonck,Â 2014)Â

187.100Â

329Â

199.300Â

342Â

Â TabelaÂ 3Â â&#x20AC;&#x201C;Â DimensĂľesÂ dosÂ protĂłtipos,Â emÂ mm,Â eÂ nĂşmeroÂ deÂ alvĂŠolosÂ ProtĂłtipoÂ

đ?&#x2018;&#x2018; Â

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą Â

đ??ˇ Â

HEAÂ 340Â (NseirÂ etÂ al.,Â 2012)Â 470Â 297,4 16,0 10,4 345,0 IPEÂ 330Â (NseirÂ etÂ al.,Â 2012)Â

đ?&#x2018;&#x203A;*Â

đ?&#x2018;? Â

đ??żÂ

đ??ż

10Â (+4)Â 170,0Â 7500Â 5300

460Â 161,6 10,8

7,8Â 345,0 17Â (+10)

50,0Â 11000Â 7110

CS2L3Â (Sonck,Â 2014)Â

220Â 83,1Â

7,3Â

5,5Â 142,8

15Â

67,2Â

3150Â

CS2L4Â (Sonck,Â 2014)Â

220Â 83,1Â

7,3Â

5,5Â 142,8

19Â

67,2Â

3990Â 1890

CS2L6Â (Sonck,Â 2014)Â

220Â 83,1Â

7,3Â

5,5Â 142,8

29Â

67,2Â

6090Â 1890

Â EntreÂ parĂŞntesesÂ estĂĄÂ oÂ nĂşmeroÂ deÂ alvĂŠolosÂ preenchidosÂ (verÂ FiguraÂ 4)Â 47Â

210Â

(a)Â RepresentaĂ§ĂŁoÂ doÂ protĂłtipoÂ HEAÂ 340Â

(b)Â RepresentaĂ§ĂŁoÂ doÂ protĂłtipoÂ CS2L6Â FiguraÂ 4Â â&#x20AC;&#x201C;Â ConfiguraĂ§ĂľesÂ dosÂ ensaiosÂ deÂ NseirÂ etÂ al.Â (2012)Â eÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015)Â Â

MetodologiaÂ

NesteÂ trabalho,Â modelosÂ numĂŠricosÂ foramÂ desenvolvidosÂ paraÂ investigarÂ oÂ fenĂ´menoÂ daÂ flambagemÂ lateralÂ comÂ torĂ§ĂŁoÂ emÂ vigasÂ celulares,Â sendoÂ empregadoÂ oÂ programaÂ deÂ elementosÂ finitosÂ ABAQUSÂ (Simulia,Â 2014).Â EssesÂ modelosÂ foramÂ validadosÂ porÂ comparaĂ§ĂŁoÂ comÂ osÂ resultadosÂ dosÂ ensaiosÂ dosÂ protĂłtiposÂ listadosÂ nasÂ TabelasÂ 2Â eÂ 3.Â AÂ partirÂ doÂ modeloÂ validado,Â foiÂ desenvolvidoÂ umÂ estudoÂ paramĂŠtricoÂ deÂ vigasÂ celularesÂ originĂĄriasÂ deÂ vinteÂ perfisÂ laminadosÂ disponĂveisÂ noÂ mercadoÂ brasileiro,Â presentesÂ noÂ catĂĄlogoÂ daÂ GerdauÂ (2018).Â OsÂ resultadosÂ doÂ estudoÂ paramĂŠtricoÂ foramÂ comparadosÂ aosÂ procedimentosÂ deÂ cĂĄlculoÂ propostosÂ porÂ AbreuÂ etÂ al.Â (2010)Â eÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015),Â variandoÂ asÂ curvasÂ deÂ resistĂŞnciaÂ adotadas.Â PorÂ fim,Â foiÂ propostoÂ umÂ novoÂ procedimentoÂ paraÂ aÂ determinaĂ§ĂŁoÂ doÂ momentoÂ fletorÂ resistente,Â oÂ qualÂ representaÂ deÂ maneiraÂ maisÂ acuradaÂ oÂ espectroÂ amostralÂ estudado.Â 3.1

ModeloÂ deÂ elementosÂ finitosÂ

AsÂ vigasÂ celularesÂ foramÂ representadasÂ numericamenteÂ emÂ seuÂ planoÂ mĂŠdio,Â comÂ elementosÂ deÂ cascaÂ doÂ tipoÂ S4Â (Simulia,Â 2014).Â ApĂłsÂ testesÂ deÂ sensibilidadeÂ deÂ malha,Â oÂ tamanhoÂ mĂŠdioÂ dosÂ elementosÂ foiÂ definidoÂ comoÂ oÂ menorÂ valorÂ entreÂ đ?&#x2018;? â &#x201E;12,Â đ?&#x2018;? /4Â eÂ đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;Ą â &#x201E;24,Â masÂ considerandoâ&#x20AC;?seÂ umÂ valorÂ mĂnimoÂ deÂ 10Â mm.Â

48Â

OÂ momentoÂ crĂticoÂ elĂĄsticoÂ numĂŠricoÂ (đ?&#x2018;&#x20AC;

)Â referenteÂ Ă Â FLTÂ foiÂ obtidoÂ porÂ meioÂ deÂ

umaÂ anĂĄliseÂ linearÂ deÂ estabilidade,Â ondeÂ foramÂ consideradosÂ oÂ mĂłduloÂ deÂ elasticidadeÂ doÂ aĂ§oÂ eÂ oÂ coeficienteÂ deÂ PoissonÂ igualÂ aÂ 0,3.Â JĂĄÂ oÂ momentoÂ fletorÂ resistenteÂ numĂŠricoÂ (đ?&#x2018;&#x20AC;

)Â foiÂ determinadoÂ comÂ umaÂ anĂĄliseÂ

nĂŁoÂ linearÂ peloÂ mĂŠtodoÂ deÂ RiksÂ Modificado.Â DuranteÂ aÂ realizaĂ§ĂŁoÂ dasÂ anĂĄlisesÂ nĂŁoÂ linearesÂ foramÂ considerados:Â oÂ modeloÂ constitutivoÂ bilinearÂ paraÂ oÂ aĂ§oÂ (elastoplĂĄsticoÂ perfeito),Â oÂ modeloÂ deÂ tensĂľesÂ residuaisÂ aplicadoÂ nasÂ mesas,Â conformeÂ representadoÂ naÂ FiguraÂ 3,Â eÂ umaÂ imperfeiĂ§ĂŁoÂ geomĂŠtricaÂ comÂ magnitudeÂ igualÂ aÂ đ??ż/1000Â eÂ formatoÂ correspondenteÂ Ă Â flexĂŁoÂ lateralÂ sobÂ forĂ§aÂ distribuĂdaÂ emÂ tornoÂ doÂ eixoÂ deÂ menorÂ inĂŠrcia.Â 3.2

AferiĂ§ĂŁoÂ doÂ modeloÂ numĂŠricoÂ

3.2.1 AnĂĄliseÂ linearÂ deÂ estabilidadeÂ AÂ anĂĄliseÂ linearÂ deÂ estabilidadeÂ implementadaÂ noÂ modeloÂ numĂŠricoÂ foiÂ verificadaÂ comÂ osÂ resultadosÂ numĂŠricosÂ dosÂ modelosÂ HEAÂ 340,Â IPEÂ 330,Â CS2L3,Â CS2L4Â eÂ CS2L6,Â elaboradosÂ porÂ SonckÂ (2014).Â ParaÂ possibilitarÂ aÂ comparaĂ§ĂŁo,Â considerouâ&#x20AC;?seÂ oÂ mesmoÂ valorÂ doÂ mĂłduloÂ deÂ elasticidadeÂ doÂ aĂ§oÂ adotadoÂ porÂ SonckÂ (2014),Â igualÂ aÂ 205Â GPa,Â eÂ oÂ coeficienteÂ deÂ PoissonÂ igualÂ aÂ 0,3.Â Â AsÂ condiĂ§ĂľesÂ deÂ contornoÂ adotadasÂ paraÂ representarÂ osÂ protĂłtiposÂ deÂ NseirÂ etÂ al.Â (2012)Â eÂ deÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015)Â sĂŁoÂ ilustradasÂ nasÂ FigurasÂ 5Â eÂ 6.Â ConformeÂ podeÂ serÂ observadoÂ naÂ TabelaÂ 4,Â oÂ modeloÂ numĂŠricoÂ adotadoÂ nesteÂ trabalhoÂ conduziuÂ aÂ valoresÂ deÂ momentoÂ crĂticoÂ elĂĄsticoÂ (đ?&#x2018;&#x20AC; numĂŠricosÂ (đ?&#x2018;&#x20AC;

)Â muitoÂ prĂłximosÂ aosÂ valoresÂ

)Â determinadosÂ porÂ SonckÂ (2014).Â

Â Â FiguraÂ 5Â â&#x20AC;&#x201C;Â CondiĂ§ĂľesÂ deÂ contornoÂ adotadasÂ paraÂ representarÂ osÂ protĂłtiposÂ deÂ NseirÂ etÂ al.Â (2012)Â 49Â

Â FiguraÂ 6Â â&#x20AC;&#x201C;Â CondiĂ§ĂľesÂ deÂ contornoÂ adotadasÂ paraÂ representarÂ osÂ protĂłtiposÂ deÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015)Â Â TabelaÂ 4Â â&#x20AC;&#x201C;Â MomentosÂ crĂticosÂ elĂĄsticosÂ obtidosÂ comÂ oÂ modeloÂ propostoÂ nesteÂ trabalhoÂ eÂ comÂ oÂ modeloÂ numĂŠricoÂ deÂ SonckÂ (2014)Â ModeloÂ

đ?&#x2018;&#x20AC;

/đ?&#x2018;&#x20AC;

(kN.m)Â

(%)Â

HEAÂ 340Â (NseirÂ etÂ al.,Â 2012)Â

3518,4Â

3476,9Â

â&#x20AC;?1,2%Â

IPEÂ 330Â (NseirÂ etÂ al.,Â 2012)Â

227,4Â

222,6Â

â&#x20AC;?2,1%Â

CS2L3Â (Sonck,Â 2014)Â

20,4Â

20,5Â

0,3%Â

CS2L4Â (Sonck,Â 2014)Â

13,6Â

13,7Â

0,5%Â

CS2L6Â (Sonck,Â 2014)Â

8,9Â

0,1%Â

Â â&#x20AC;&#x201C;Â 1Â

Â 3.2.2 AnĂĄliseÂ nĂŁoÂ linearÂ AÂ anĂĄliseÂ nĂŁoÂ linearÂ implementadaÂ noÂ modeloÂ numĂŠrico,Â descritaÂ noÂ SubitemÂ 3.1,Â foiÂ verificadaÂ comÂ osÂ resultadosÂ dosÂ ensaiosÂ listadosÂ noÂ SubitemÂ 2.3,Â comÂ exceĂ§ĂŁoÂ doÂ modeloÂ CS2L6,Â cujoÂ momentoÂ resistenteÂ nĂŁoÂ foiÂ obtidoÂ experimentalmenteÂ (SonckÂ eÂ Belis,Â 2015).Â ForamÂ adotadosÂ asÂ condiĂ§ĂľesÂ deÂ contornoÂ mostradasÂ nasÂ FigurasÂ 5Â eÂ 6,Â oÂ mĂłduloÂ deÂ elasticidadeÂ eÂ aÂ resistĂŞnciaÂ aoÂ escoamentoÂ doÂ aĂ§oÂ determinadosÂ experimentalmenteÂ porÂ NseirÂ etÂ al.Â (2012)Â eÂ SonckÂ (2014).Â NasÂ FigurasÂ 7Â eÂ 8,Â asÂ curvasÂ momentoÂ resistenteÂ versusÂ deslocamentoÂ verticalÂ dosÂ ensaiosÂ deÂ NseirÂ etÂ al.Â (2012)Â eÂ deÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015)Â sĂŁoÂ comparadasÂ Ă sÂ curvasÂ obtidasÂ comÂ oÂ modeloÂ numĂŠricoÂ desenvolvido.Â

50Â

200

Momento fletor (kN.m)

1250 1000 750 500 250

exp num

160 120 80 40

exp num

0 0

100

Deslocamento (mm)

100

Deslocamento (mm)

(a) Modelo HEA 340

(b) Modelo IPE 330

Figura 7 – Comparação entre os resultados do modelo proposto e dos ensaios das vigas celulares com processo de fabricação convencional (Nseir et al., 2012) 15

Momento fletor (kN.m)

20 16 12 8 4

exp num

12 9 6 3

exp num

0 0

Deslocamento (mm)

(a) Modelo CS2L3

(b) Modelo CS2L4

Figura 8 – Comparação entre os resultados do modelo proposto e dos ensaios das vigas celulares com processo de fabricação atípico (Sonck e Belis, 2015) Conforme pode ser observado na Figura 7, o comportamento do modelo numérico apresentou boa concordância com os resultados experimentais das vigas fabricadas pelo método convencional. Por outro lado, nos casos dos modelos CS2L3 e CS2L4, as diferenças maiores podem estar relacionadas ao processo de fabricação não convencional dessas vigas. O aumento das etapas de fabricação do perfil envolvendo corte com calor pode ter ampliado as imperfeições geométricas e acentuado os valores das tensões residuais, diminuindo a capacidade resistente desses modelos.

AsÂ diferenĂ§asÂ entreÂ osÂ valoresÂ dosÂ momentosÂ resistentesÂ numĂŠricosÂ eÂ experimentaisÂ dosÂ modelosÂ HEAÂ 340,Â IPEÂ 330,Â CS2L3Â eÂ CS2L4Â foramÂ iguaisÂ aÂ â&#x20AC;?4,8%,Â â&#x20AC;?4,5%,Â 10,6%Â eÂ 4,7%,Â respectivamente,Â resultadoÂ que,Â aliadoÂ Ă Â pequenaÂ diferenĂ§aÂ noÂ comportamentoÂ global,Â foiÂ consideradoÂ confiĂĄvelÂ paraÂ oÂ estudoÂ propostoÂ nesteÂ trabalho.Â 3.3

EstudoÂ paramĂŠtricoÂ

AÂ partirÂ doÂ modeloÂ numĂŠricoÂ validado,Â foiÂ feitoÂ umÂ estudoÂ sobreÂ oÂ comportamentoÂ deÂ vigasÂ celularesÂ sujeitasÂ aÂ momentoÂ fletorÂ uniformeÂ (đ??ś Â =Â 1),Â comÂ apoiosÂ simplesÂ eÂ vĂnculosÂ deÂ garfoÂ nasÂ extremidades,Â comoÂ representadoÂ naÂ FiguraÂ 9.Â NosÂ modelosÂ numĂŠricos,Â foramÂ consideradosÂ oÂ valorÂ daÂ resistĂŞnciaÂ aoÂ escoamentoÂ doÂ aĂ§oÂ ASTMÂ A572Â grauÂ 50,Â igualÂ aÂ 345Â MPa,Â oÂ mĂłduloÂ deÂ elasticidadeÂ igualÂ aÂ 200Â GPa,Â oÂ modeloÂ constitutivoÂ bilinearÂ paraÂ oÂ aĂ§oÂ eÂ asÂ demaisÂ consideraĂ§ĂľesÂ descritasÂ noÂ SubitemÂ 3.1.Â Â

Â Â FiguraÂ 9Â â&#x20AC;&#x201C;Â CondiĂ§ĂľesÂ deÂ contornoÂ adotadasÂ noÂ estudoÂ paramĂŠtricoÂ Â TrĂŞsÂ parĂ˘metrosÂ foramÂ avaliadosÂ nesteÂ trabalho:Â aÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ doÂ perfilÂ laminadoÂ original,Â asÂ razĂľesÂ đ??ˇ /đ?&#x2018;&#x2018; Â eÂ đ?&#x2018;? /đ??ˇ Â e,Â porÂ fim,Â oÂ comprimentoÂ dasÂ vigasÂ (igualÂ aoÂ comprimentoÂ destravado),Â totalizandoÂ 586Â modelos.Â AsÂ vigasÂ analisadasÂ foramÂ originĂĄriasÂ deÂ vinteÂ perfisÂ laminadosÂ brasileirosÂ presentesÂ naÂ TabelaÂ deÂ BitolasÂ deÂ PerfisÂ EstruturaisÂ daÂ GerdauÂ (2018),Â comoÂ mostradoÂ naÂ FiguraÂ 10,Â eÂ possuemÂ razĂŁoÂ deÂ expansĂŁoÂ (đ?&#x2018;&#x2018; /đ?&#x2018;&#x2018;)Â igualÂ aÂ 1,5.Â Â 52Â

Â PerfisÂ laminadosÂ originaisÂ WÂ 200Â xÂ 15,0Â

WÂ 310Â xÂ 32,7Â

WÂ 410Â xÂ 60,0Â

WÂ 530Â xÂ 85,0Â

WÂ 200Â xÂ 26,6Â

WÂ 360Â xÂ 44,6Â

WÂ 460Â xÂ 68,0Â

WÂ 610Â xÂ 82,0Â

WÂ 250Â xÂ 17,9Â

WÂ 360Â xÂ 51,0Â

WÂ 460Â xÂ 89,0Â

WÂ 610Â xÂ 101,0Â

WÂ 250Â xÂ 32,7Â

WÂ 360Â xÂ 79,0Â

WÂ 530Â xÂ 66,0Â

WÂ 610Â xÂ 174,0Â

WÂ 310Â xÂ 21,0Â

WÂ 410Â xÂ 53,0Â

WÂ 530Â xÂ 74,0Â

WÂ 610Â xÂ 217,0Â

FiguraÂ 10Â â&#x20AC;&#x201C;Â BitolasÂ daÂ GerdauÂ (2018)Â consideradasÂ noÂ estudoÂ paramĂŠtricoÂ Â NosÂ modelosÂ foramÂ investigadosÂ doisÂ paresÂ deÂ razĂľesÂ đ??ˇ /đ?&#x2018;&#x2018; Â eÂ đ?&#x2018;? /đ??ˇ ,Â sendoÂ umÂ parÂ igualÂ aÂ 0,7Â eÂ 0,5,Â respectivamente,Â eÂ oÂ outroÂ igualÂ aÂ 0,8Â eÂ 0,25,Â respectivamente.Â PorÂ fim,Â variouâ&#x20AC;?seÂ oÂ comprimentoÂ dasÂ vigasÂ deÂ modoÂ aÂ considerarÂ oÂ intervaloÂ deÂ esbeltezÂ đ??ż /đ?&#x2018;&#x; , Â entreÂ 30Â eÂ 300,Â sendoÂ đ?&#x2018;&#x; , Â oÂ raioÂ deÂ giraĂ§ĂŁoÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ emÂ relaĂ§ĂŁoÂ aoÂ eixoÂ principalÂ deÂ inĂŠrciaÂ perpendicularÂ aoÂ eixoÂ deÂ flexĂŁo.Â NesteÂ trabalho,Â considerouâ&#x20AC;?seÂ umÂ nĂşmeroÂ inteiroÂ deÂ alvĂŠolos,Â eÂ queÂ aÂ larguraÂ doÂ montanteÂ deÂ almaÂ nasÂ extremidadesÂ ĂŠÂ igualÂ aÂ đ?&#x2018;? /2,Â e,Â portanto,Â oÂ comprimentoÂ ĂŠÂ igualÂ aoÂ nĂşmeroÂ deÂ alvĂŠolosÂ multiplicadoÂ pelaÂ somaÂ deÂ đ??ˇ Â eÂ đ?&#x2018;? .Â 3.4

CĂĄlculoÂ dasÂ propriedadesÂ geomĂŠtricasÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ dasÂ vigasÂ celularesÂ

ParaÂ realizarÂ aÂ comparaĂ§ĂŁoÂ entreÂ osÂ valoresÂ numĂŠricosÂ eÂ analĂticosÂ doÂ momentoÂ crĂticoÂ elĂĄsticoÂ eÂ doÂ momentoÂ fletorÂ resistenteÂ deÂ vigasÂ celulares,Â asÂ propriedadesÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ transversalÂ foramÂ calculadasÂ conformeÂ asÂ equaĂ§ĂľesÂ aÂ seguir,Â nasÂ quaisÂ đ??ź , Â eÂ đ??ź

Â sĂŁo,Â

respectivamente,Â osÂ momentosÂ deÂ inĂŠrciaÂ emÂ relaĂ§ĂŁoÂ aosÂ eixosÂ centraisÂ deÂ inĂŠrciaÂ perpendicularÂ eÂ paraleloÂ Ă Â alma,Â đ??˝ Â eÂ đ??˝ Â sĂŁo,Â respectivamente,Â asÂ constantesÂ deÂ torĂ§ĂŁoÂ naÂ regiĂŁoÂ semÂ alvĂŠolosÂ eÂ noÂ centroÂ doÂ alvĂŠolo,Â đ?&#x2018;&#x; , Â ĂŠÂ oÂ raioÂ deÂ giraĂ§ĂŁoÂ emÂ relaĂ§ĂŁoÂ aoÂ eixoÂ paraleloÂ Ă Â alma,Â đ?&#x2018;&#x160; , Â eÂ đ?&#x2018;?

Â sĂŁoÂ osÂ mĂłdulosÂ deÂ resistĂŞnciaÂ elĂĄsticoÂ eÂ plĂĄsticoÂ emÂ relaĂ§ĂŁoÂ

aoÂ eixoÂ perpendicularÂ Ă Â alma,Â eÂ đ??ś Â ĂŠÂ aÂ constanteÂ deÂ empenamento,Â obtidaÂ aÂ partirÂ daÂ integralÂ deÂ empenamentoÂ (Mori,Â 2003),Â tambĂŠmÂ adotadaÂ porÂ Elâ&#x20AC;?SawyÂ etÂ al.Â (2014):Â Â

đ??ź

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą 6

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;Ą 2

53Â

đ?&#x2018;&#x2018;

2đ?&#x2018;Ą 12

đ??ˇ đ?&#x2018;Ą

(8)Â

đ??ź

đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;? 6

2đ?&#x2018;Ą đ??ˇ đ?&#x2018;Ą Â 12

đ?&#x2018;&#x2018;

đ??ź 2đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;

2đ?&#x2018;Ą 2

đ??ˇ đ?&#x2018;Ą

(12)Â

đ??ź, Â đ?&#x2018;&#x2018;

(13)Â

đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;Ą

2đ?&#x2018;Ą

đ??ˇ đ?&#x2018;Ą 4

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;

đ??ś

(11)Â

đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x160;

(10)Â

đ??ˇ đ?&#x2018;Ą Â 3

đ??˝

Â ,

đ?&#x2018;Ą Â

đ??˝

đ?&#x2018;&#x;

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;&#x2018;

2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą 3

đ??˝

(9)Â

đ?&#x2018;Ą

(14)Â

(15)Â

4 4.1

ResultadosÂ MomentoÂ crĂticoÂ elĂĄsticoÂ

EmboraÂ diversosÂ autoresÂ concordemÂ comÂ aÂ utilizaĂ§ĂŁoÂ daÂ EquaĂ§ĂŁoÂ (1)Â paraÂ aÂ determinaĂ§ĂŁoÂ deÂ đ?&#x2018;&#x20AC; ,Â nĂŁoÂ hĂĄÂ consensoÂ sobreÂ oÂ valorÂ daÂ constanteÂ deÂ torĂ§ĂŁoÂ aÂ serÂ utilizado.Â AbreuÂ etÂ al.Â (2010)Â indicamÂ aÂ utilizaĂ§ĂŁoÂ daÂ constanteÂ deÂ torĂ§ĂŁoÂ đ??˝ ,Â dadaÂ pelaÂ EquaĂ§ĂŁoÂ (11),Â enquantoÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015)Â recomendamÂ oÂ usoÂ daÂ constanteÂ deÂ torĂ§ĂŁoÂ đ??˝ ,Â fornecidaÂ pelaÂ EquaĂ§ĂŁoÂ (7).Â ParaÂ avaliarÂ oÂ impactoÂ desseÂ parĂ˘metroÂ nosÂ resultadosÂ analĂticos,Â foramÂ calculadosÂ osÂ valoresÂ doÂ momentoÂ crĂticoÂ elĂĄsticoÂ đ?&#x2018;&#x20AC;

Â eÂ đ?&#x2018;&#x20AC;

,Â obtidosÂ comÂ asÂ constantesÂ deÂ

torĂ§ĂŁoÂ đ??˝ Â eÂ đ??˝ ,Â respectivamente.Â NaÂ FiguraÂ 11,Â sĂŁoÂ apresentadasÂ asÂ diferenĂ§asÂ entreÂ osÂ valoresÂ analĂticosÂ eÂ numĂŠricosÂ doÂ momentoÂ crĂticoÂ elĂĄsticoÂ emÂ funĂ§ĂŁoÂ daÂ esbeltezÂ adimensionalÂ numĂŠricaÂ deÂ vigasÂ celularesÂ Ă Â FLT,Â đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x2039; igualÂ aÂ đ?&#x2018;?

,Â determinadaÂ comÂ oÂ usoÂ daÂ EquaĂ§ĂŁoÂ (5),Â considerandoâ&#x20AC;?seÂ

Â eÂ đ?&#x2018;&#x20AC; Â igualÂ aÂ đ?&#x2018;&#x20AC;

.Â

54Â

10%

â&#x20AC;? 1Â (%)

8% 6% 4% 2% 0% â&#x20AC;?2% â&#x20AC;?4%

ErrosÂ ErrosÂ Mcr,Jm

â&#x20AC;?6%

ErrosÂ ErroÂ Mcr,J0

â&#x20AC;?8% 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Â FiguraÂ 11Â â&#x20AC;&#x201C;Â DiferenĂ§asÂ entreÂ osÂ valoresÂ analĂticosÂ eÂ numĂŠricosÂ deÂ đ?&#x2018;&#x20AC; Â Â AoÂ avaliarÂ aÂ FiguraÂ 11,Â verificaâ&#x20AC;?seÂ queÂ asÂ diferenĂ§asÂ sĂŁoÂ maioresÂ paraÂ asÂ vigasÂ menosÂ esbeltas.Â TalÂ fatoÂ ocorreÂ devidoÂ Ă Â elevadaÂ distorĂ§ĂŁoÂ daÂ almaÂ dessasÂ vigas,Â oÂ queÂ implicaÂ naÂ reduĂ§ĂŁoÂ doÂ valorÂ deÂ đ?&#x2018;&#x20AC;

.Â AÂ distorĂ§ĂŁoÂ daÂ alma,Â tambĂŠmÂ observadaÂ emÂ perfisÂ deÂ

almaÂ cheiaÂ (SilvaÂ etÂ al.,Â 2017),Â tornaâ&#x20AC;?seÂ menosÂ pronunciadaÂ Ă Â medidaÂ queÂ oÂ comprimentoÂ daÂ vigaÂ aumenta,Â conformeÂ podeÂ serÂ observadoÂ naÂ FiguraÂ 12.Â

(a)Â ModeloÂ comÂ 3Â alvĂŠolosÂ (b)Â ModeloÂ comÂ 4Â alvĂŠolosÂ (c)Â ModeloÂ comÂ 5Â alvĂŠolosÂ FiguraÂ 12Â â&#x20AC;&#x201C;Â ConfiguraĂ§ĂŁoÂ deformadaÂ noÂ centroÂ doÂ alvĂŠoloÂ maisÂ prĂłximoÂ Ă Â seĂ§ĂŁoÂ centralÂ obtidaÂ porÂ modelosÂ originĂĄriosÂ doÂ perfilÂ WÂ 410Â xÂ 60,0,Â comÂ đ??ˇ /đ?&#x2018;&#x2018; Â igualÂ aÂ 0,7Â eÂ đ?&#x2018;? /đ??ˇ Â igualÂ aÂ 0,5Â Â AÂ curvaÂ deÂ errosÂ associadaÂ aÂ đ?&#x2018;&#x20AC;

Â seguiuÂ umaÂ tendĂŞnciaÂ descendenteÂ comÂ oÂ aumentoÂ

doÂ valorÂ daÂ esbeltez,Â oÂ queÂ gerouÂ aÂ subestimaĂ§ĂŁoÂ doÂ momentoÂ crĂticoÂ elĂĄsticoÂ paraÂ asÂ vigasÂ maisÂ longas.Â 55Â

PorÂ outroÂ lado,Â oÂ usoÂ daÂ constanteÂ deÂ torĂ§ĂŁoÂ ponderadaÂ đ??˝ Â gerouÂ umÂ resultadoÂ maisÂ estĂĄvelÂ aoÂ longoÂ doÂ intervaloÂ deÂ esbeltezÂ avaliado.Â AsÂ diferenĂ§asÂ observadasÂ entreÂ đ?&#x2018;&#x20AC;

Â eÂ đ?&#x2018;&#x20AC;

Â estĂŁoÂ deÂ acordoÂ comÂ oÂ estudoÂ realizadoÂ porÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015),Â noÂ

qualÂ ĂŠÂ mostradoÂ queÂ essesÂ errosÂ tendemÂ aÂ zeroÂ paraÂ elevadosÂ comprimentosÂ destravadosÂ (đ??ż Â superiorÂ aÂ 25Â m).Â 4.2

MomentoÂ fletorÂ resistenteÂ

OsÂ resultadosÂ doÂ momentoÂ resistenteÂ doÂ estudoÂ paramĂŠtrico,Â đ?&#x2018;&#x20AC;

,Â foramÂ

comparadosÂ aosÂ valoresÂ analĂticosÂ determinadosÂ comÂ oÂ procedimentoÂ deÂ AbreuÂ etÂ al.Â (2010),Â đ?&#x2018;&#x20AC;

,Â eÂ comÂ osÂ obtidosÂ aÂ partirÂ dosÂ procedimentosÂ deÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015),Â

masÂ adotandoâ&#x20AC;?seÂ asÂ curvasÂ deÂ resistĂŞnciaÂ đ?&#x2018;&#x17D;,Â đ?&#x2018;?Â eÂ đ?&#x2018;?Â (TabelaÂ 1),Â representadosÂ porÂ đ?&#x2018;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x20AC;

Â eÂ đ?&#x2018;&#x20AC;

,Â

,Â respectivamente.Â AsÂ diferenĂ§asÂ entreÂ osÂ valoresÂ analĂticosÂ eÂ numĂŠricosÂ

sĂŁoÂ mostradasÂ naÂ FiguraÂ 13.Â 25%

â&#x20AC;? 1Â (%)

20% 15% 10%

Abreu

CurvaÂ CurvaÂ a

CurvaÂ CurvaÂ b

â&#x20AC;?5%

CurvaÂ CurvaÂ c

â&#x20AC;?10% â&#x20AC;?15% â&#x20AC;?20% â&#x20AC;?25% 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Â FiguraÂ 13Â â&#x20AC;&#x201C;Â DiferenĂ§asÂ entreÂ osÂ valoresÂ numĂŠricosÂ eÂ analĂticosÂ deÂ đ?&#x2018;&#x20AC; Â Â AoÂ analisarÂ aÂ FiguraÂ 13,Â notaâ&#x20AC;?seÂ queÂ oÂ usoÂ doÂ procedimentoÂ deÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015),Â comÂ aÂ adoĂ§ĂŁoÂ daÂ curvaÂ deÂ resistĂŞncia đ?&#x2018;&#x17D;,Â foiÂ oÂ queÂ maisÂ seÂ aproximouÂ doÂ momentoÂ fletorÂ resistenteÂ numĂŠrico,Â apresentandoÂ diferenĂ§asÂ entreÂ â&#x20AC;?9%Â eÂ 9%.Â 4.3

ProcedimentoÂ propostoÂ

ComoÂ osÂ procedimentosÂ deÂ cĂĄlculoÂ deÂ đ?&#x2018;&#x20AC; Â comÂ baseÂ naÂ normaÂ ENÂ 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005Â seÂ aproximaramÂ maisÂ dosÂ resultadosÂ numĂŠricos,Â foiÂ investigadaÂ aÂ adoĂ§ĂŁoÂ deÂ umaÂ curvaÂ deÂ resistĂŞnciaÂ queÂ levasseÂ aÂ melhoresÂ resultados.Â ParaÂ isso,Â foiÂ feitoÂ umÂ ajusteÂ naÂ curvaÂ deÂ 56Â

resistĂŞnciaÂ numĂŠrica,Â constituĂdaÂ pelosÂ pontosÂ đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026; aÂ FLTÂ numĂŠricosÂ (đ?&#x153;&#x2019;

OÂ fatorÂ deÂ reduĂ§ĂŁoÂ paraÂ aÂ FLTÂ proposto,Â đ?&#x153;&#x2019;

đ?&#x153;&#x2019;

Â eÂ pelosÂ fatoresÂ deÂ reduĂ§ĂŁoÂ paraÂ

),Â obtidosÂ atravĂŠsÂ daÂ divisĂŁoÂ deÂ đ?&#x2018;&#x20AC;

plastificaĂ§ĂŁoÂ daÂ seĂ§ĂŁoÂ transversal,Â dadoÂ porÂ đ?&#x2018;?

Â peloÂ momentoÂ deÂ

đ?&#x2018;&#x201C; .Â ,Â ĂŠÂ dadoÂ por:Â

1 1

1 ,

ÎŚ

đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

(16)Â

ondeÂ aÂ esbeltezÂ daÂ vigaÂ Ă Â FLT,Â đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026; ,Â ĂŠÂ dadaÂ por:Â đ?&#x2018;&#x20AC; Â đ?&#x2018;&#x20AC;

đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

Â eÂ oÂ parĂ˘metroÂ auxiliarÂ ÎŚ

(17)Â

,Â determinadoÂ peloÂ mĂŠtodoÂ dosÂ mĂnimosÂ quadrados,Â

sendoÂ dadoÂ por:Â ÎŚ

0,5 1

0,25 đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

0,2

đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

(18)Â

ComÂ osÂ ajustesÂ propostos,Â aÂ mĂŠdiaÂ eÂ oÂ desvioÂ padrĂŁoÂ dasÂ diferenĂ§asÂ percentuaisÂ entreÂ osÂ fatoresÂ deÂ reduĂ§ĂŁoÂ numĂŠricosÂ eÂ osÂ valoresÂ obtidosÂ comÂ procedimentoÂ propostoÂ foramÂ iguaisÂ aÂ â&#x20AC;?0,053%Â eÂ 1,552%,Â respectivamente,Â comÂ umÂ coeficienteÂ deÂ determinaĂ§ĂŁoÂ (đ?&#x2018;&#x2026; )Â igualÂ aÂ 0,999.Â AoÂ analisarÂ aÂ FiguraÂ 14,Â observaâ&#x20AC;?seÂ aindaÂ queÂ asÂ diferenĂ§asÂ absolutasÂ foramÂ inferioresÂ aÂ 4%Â emÂ todosÂ osÂ casosÂ analisados,Â resultadoÂ

â&#x20AC;? 1Â (%)

consideradoÂ adequadoÂ paraÂ oÂ procedimentoÂ proposto.Â 4% 2%

0% â&#x20AC;?2% â&#x20AC;?4% 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Â FiguraÂ 14Â â&#x20AC;&#x201C;Â DiferenĂ§asÂ entreÂ osÂ fatoresÂ deÂ reduĂ§ĂŁoÂ numĂŠricosÂ eÂ analĂticosÂ Â AÂ curvaÂ deÂ resistĂŞnciaÂ numĂŠricaÂ ĂŠÂ comparadaÂ nasÂ FigurasÂ 15Â eÂ 16,Â respectivamente,Â Ă sÂ curvasÂ deÂ resistĂŞnciaÂ đ?&#x2018;&#x17D;Â (ENÂ 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005)Â eÂ đ?&#x153;&#x2019; 57Â

,Â queÂ foiÂ calculadaÂ considerandoâ&#x20AC;?

seÂ oÂ parĂ˘metroÂ ÎŚ

Â naÂ EquaĂ§ĂŁoÂ (16).Â ConformeÂ podeÂ serÂ observado,Â aÂ utilizaĂ§ĂŁoÂ daÂ

curvaÂ đ?&#x2018;&#x17D;Â superestimaÂ osÂ resultadosÂ noÂ trechoÂ inicialÂ daÂ curva,Â eÂ subestimaÂ noÂ trechoÂ final,Â enquantoÂ aÂ curvaÂ propostaÂ nesteÂ trabalhoÂ mantĂŠmÂ umaÂ concordĂ˘nciaÂ relativamenteÂ homogĂŞneaÂ aoÂ longoÂ deÂ todaÂ aÂ faixaÂ deÂ esbeltezÂ analisada.Â 1,0 Ď&#x2021;a

0,8

Ď&#x2021;LT,num

0,6 0,4 0,2 0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Â FiguraÂ 15Â â&#x20AC;&#x201C;Â CurvaÂ đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

Â versusÂ đ?&#x153;&#x2019;

Â eÂ curvaÂ deÂ resistĂŞnciaÂ đ?&#x2018;&#x17D;Â daÂ ENÂ 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005Â

Â 1,0 Ď&#x2021;LT,0

0,8

Ď&#x2021;LT,num

0,6 0,4 0,2 0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Â FiguraÂ 16Â â&#x20AC;&#x201C;Â CurvaÂ đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

Â versusÂ đ?&#x153;&#x2019;

Â eÂ curvaÂ deÂ resistĂŞnciaÂ propostaÂ

Â EmÂ sĂntese,Â oÂ procedimentoÂ deÂ cĂĄlculoÂ propostoÂ nesteÂ trabalhoÂ paraÂ aÂ determinaĂ§ĂŁoÂ deÂ đ?&#x2018;&#x20AC; Â ĂŠÂ constituĂdoÂ pelasÂ seguintesÂ etapas:Â (i)Â obtenĂ§ĂŁoÂ dasÂ propriedadesÂ geomĂŠtricasÂ đ??˝ ,Â đ??ź

,Â đ?&#x2018;?

Â eÂ đ??ś Â conformeÂ asÂ EquaĂ§ĂľesÂ (7),Â (9),Â (14)Â eÂ (15),Â respectivamente;Â (ii)Â cĂĄlculoÂ

deÂ đ?&#x2018;&#x20AC; Â porÂ meioÂ daÂ EquaĂ§ĂŁoÂ (1);Â (iii)Â determinaĂ§ĂŁoÂ deÂ đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026; Â porÂ meioÂ daÂ EquaĂ§ĂŁoÂ (17);Â (v)Â 58Â

adoĂ§ĂŁoÂ doÂ parĂ˘metroÂ ÎŚ

Â conformeÂ aÂ EquaĂ§ĂŁoÂ (18);Â (iv)Â determinaĂ§ĂŁoÂ deÂ đ?&#x153;&#x2019;

porÂ meioÂ daÂ EquaĂ§ĂŁoÂ (16)Â comÂ osÂ parĂ˘metrosÂ đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026; Â eÂ ÎŚ

;Â eÂ (v)Â cĂĄlculoÂ doÂ momentoÂ

fletorÂ resistenteÂ Ă Â FLTÂ conformeÂ aÂ EquaĂ§ĂŁoÂ (3),Â adotandoâ&#x20AC;?seÂ đ?&#x2018;&#x2039; Â igualÂ aÂ đ?&#x2018;?

.Â

Â ConclusĂŁoÂ

NesteÂ trabalho,Â umÂ estudoÂ numĂŠricoÂ sobreÂ aÂ determinaĂ§ĂŁoÂ doÂ momentoÂ fletorÂ resistenteÂ quantoÂ aoÂ estadoâ&#x20AC;?limiteÂ ĂşltimoÂ deÂ flambagemÂ lateralÂ comÂ torĂ§ĂŁoÂ (FLT)Â deÂ vigasÂ celularesÂ foiÂ realizado.Â ParaÂ isso,Â umÂ modeloÂ deÂ elementosÂ finitosÂ foiÂ desenvolvidoÂ eÂ validadoÂ comÂ resultadosÂ experimentaisÂ eÂ numĂŠricosÂ disponĂveisÂ naÂ literatura.Â OÂ modeloÂ validadoÂ foiÂ utilizadoÂ emÂ umÂ estudoÂ paramĂŠtricoÂ deÂ vigasÂ celularesÂ originĂĄriasÂ deÂ vinteÂ perfisÂ laminadosÂ brasileiros.Â AÂ partirÂ dosÂ resultadosÂ desseÂ estudo,Â observouâ&#x20AC;?seÂ queÂ osÂ resultadosÂ analĂticosÂ eÂ numĂŠricosÂ doÂ momentoÂ crĂticoÂ elĂĄsticoÂ seÂ aproximamÂ comÂ oÂ usoÂ daÂ constanteÂ deÂ torĂ§ĂŁoÂ ponderada,Â propostaÂ porÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015).Â TambĂŠmÂ foiÂ possĂvelÂ verificarÂ queÂ oÂ comportamentoÂ dasÂ vigasÂ celularesÂ ĂŠÂ melhorÂ representadoÂ pelasÂ formulaĂ§ĂľesÂ baseadasÂ naÂ normaÂ ENÂ 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005.Â EntreÂ osÂ procedimentosÂ deÂ cĂĄlculoÂ analisados,Â oÂ deÂ SonckÂ eÂ BelisÂ (2015)Â comÂ aÂ adoĂ§ĂŁoÂ daÂ curvaÂ deÂ resistĂŞnciaÂ đ?&#x2018;&#x17D;Â levouÂ aÂ resultadosÂ analĂticosÂ maisÂ prĂłximosÂ dosÂ numĂŠricos.Â Finalmente,Â foiÂ recomendadaÂ umaÂ curvaÂ deÂ resistĂŞnciaÂ ajustadaÂ paraÂ oÂ cĂĄlculoÂ doÂ momentoÂ fletorÂ resistenteÂ Ă Â FLT,Â queÂ melhorÂ seÂ adequaÂ aosÂ resultadosÂ numĂŠricosÂ obtidos.Â OÂ usoÂ doÂ parĂ˘metroÂ ÎŚ

Â noÂ cĂĄlculoÂ deÂ đ?&#x153;&#x2019;

Â fezÂ comÂ queÂ asÂ diferenĂ§asÂ

entreÂ osÂ valoresÂ numĂŠricosÂ eÂ analĂticosÂ dosÂ fatoresÂ deÂ reduĂ§ĂŁoÂ paraÂ aÂ flambagemÂ lateralÂ comÂ torĂ§ĂŁoÂ fossemÂ menoresÂ doÂ queÂ 4%Â emÂ todosÂ osÂ casos,Â fundamentandoÂ assimÂ oÂ procedimentoÂ proposto.Â Â

AgradecimentosÂ

OsÂ autoresÂ agradecemÂ Ă sÂ agĂŞnciasÂ brasileirasÂ CAPES,Â CNPqÂ eÂ FAPEMIGÂ peloÂ investimentoÂ eÂ apoioÂ recebidosÂ aoÂ longoÂ doÂ desenvolvimentoÂ destaÂ pesquisa.Â Â

59Â

Referências bibliográficas

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Recebido: 08/02/2019 Aprovado: 22/07/2019 Volume 9. Número 1 (abril/2020). p. 61-80 - ISSN 2238-9377 Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICT

Capacidade resistente do conector Crestbond à falha do aço desencadeada por um mecanismo combinado de cisalhamento e flexão

Ricardo Laguardia Justen de Almeida1*, Gustavo de Souza Veríssimo1, José Carlos Lopes Ribeiro1, José Luiz Rangel Paes1, Mateus Couri Petrauski1, Rodrigo Barreto Caldas2 1

Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Viçosa, Av. P.H. Rolfs, s/n, 36570-000, Viçosa/MG, Brasil, ricardoljalmeida@gmail.com, gsv1965@gmail.com, jcarlos.ribeiro@ufv.br, jl.rangelpaes@gmail.com, mateus.petrauski@gmail.com Universidade Federal de Minas Gerais, Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas, Av. Antônio Carlos, 6627 - Escola de Engenharia, Bloco I – 4º andar – Sala 4215– Pampulha – Belo Horizonte – MG – Brasil, rbcaldas@gmail.com 2

Load bearing capacity of Crestbond shear connector to steel failure due combined shear and bending mechanism

Resumo Um dos modos de falha da conexão proporcionada por conectores em chapa de aço contínua com recortes regulares, conhecidos como composite dowels, é a falha do aço desencadeada por um mecanismo combinado de flexão e cisalhamento sobre os dentes do conector. Neste trabalho é apresentado um estudo sobre esse modo de falha em conectores tipo Crestbond, dividido em duas partes. Num primeiro momento, o comportamento estrutural do conector foi analisado por meio de um estudo numérico. Posteriormente, o critério de escoamento de von Mises foi utilizado para a determinação da seção crítica do conector. Os resultados obtidos indicaram que a formulação existente para estimar a resistência característica à falha do aço dos conectores tipo puzzle e clothoidal, segundo o DATec alemão Z-26.4-56 (2013), também pode ser aplicada em conectores Crestbond para fins de dimensionamento. Palavras-chave: Crestbond, composite dowels, conector de cisalhamento contínuo, falha do aço, modelagem numérica. Abstract One of the failure modes of the connection provided by continuous shear connectors, also known as composite dowels, is the steel failure caused by a combined shear-bending mechanism on the steel dowel. This work presents a study on the steel failure in Crestbondshaped connectors, divided in two parts. Firstly, the structural behavior of the connector was analyzed through a numerical study. Subsequently, the von Mises yield criterion was used to determine the connector’s critical section. The obtained results showed that the existing formulation that estimate the characteristic resistance against steel failure of puzzle and clothoidal shear connectors, according to the German technical approval Z-26.4-56 (2013), can also be applied to Crestbond-shaped connectors for design purpose. Keywords: continuous shear connector, composite dowels, Crestbond, steel failure, numerical modelling.

* Autor correspondente

Introdução

O comportamento dos conectores de cisalhamento em chapa de aço contínua com recortes regulares em estruturas mistas de aço e concreto, também chamados de composite dowels, é complexo, em função da geometria dos conectores e da interação entre dois materiais com capacidades de deformação totalmente diferentes. De modo geral, o colapso da conexão pode ser desencadeado a partir de uma falha do próprio conector (definida aqui como a falha do componente de aço da conexão) ou por um determinado tipo de ruptura do concreto (KOPP et al., 2018). O mecanismo de falha do aço é observado principalmente quando o conector é constituído de chapas mais finas, com espessuras entre 10 e 15 mm, incorporado em concreto de alta resistência. Uma vasta pesquisa sobre esse modo de falha foi realizada na Universidade de Ciência e Tecnologia da Breslávia (LORENC et al., 2014a,b; LORENC, 2016a,b), na Polônia, no âmbito do projeto PreCo-Beam (SEIDL et al., 2013), em conectores com as geometrias puzzle (PZ) e clothoidal modificado (MCL). Como resultado, foi desenvolvida uma equação para estimar a resistência da conexão relacionada à falha do componente de aço para os conectores PZ e MCL, que hoje incorpora o Documento de Aprovação Técnica (DATec) alemão (Z-26.4-56, 2013). Tendo por referência as investigações sobre o comportamento dos conectores PZ e MCL, este trabalho teve como objetivo estudar o mecanismo de falha do aço em conexões com o conector Crestbond (CR), desenvolvido por Veríssimo (2007), cuja geometria é similar ao conector puzzle (Figura 1). Para isto, este estudo foi dividido em duas partes: a primeira, em que a falha do aço do conector é investigada por meio de análises numéricas via elementos finitos e a segunda, na qual é utilizado o critério de von Mises para determinar a seção crítica do conector. As simulações numéricas foram realizadas com o software ABAQUS-v.6.12-1 (SIMULIA, 2012), e algumas considerações preliminares foram estabelecidas para que o presente estudo fosse possível. Investigações sobre o comportamento estrutural do conector Crestbond relacionadas a outros modos de falha da conexão podem ser encontrados na literatura (AGUIAR et al., 2015; ALVES et al., 2018; CARDOSO et al., 2018a,b).

Figura 1 - Conectores de cisalhamento em chapa de aço contínua com recortes regulares: (a) puzzle (BIEGUS e LORENC, 2014); (b) clothoidal (BIEGUS e LORENC, 2014) e (c) Crestbond (VERÍSSIMO, 2007).

Descrição do comportamento do componente de aço de conectores em chapa com recortes regulares

O mecanismo resistente de conectores em chapa de aço com recortes regulares relacionado à falha do aço pode ser descrito de duas formas: admitindo o aço em regime elástico e em regime plástico (LORENC, 2016a,b). O estudo em regime elástico é realizado para se verificar o desempenho do conector em condições de serviço (Estado Limite de Serviço – ELS) e de fadiga (Estado Limite de Fadiga – ELF). Neste caso, além das forças de cisalhamento longitudinal transferidas do concreto para o conector (denominadas como efeito local), é necessário considerar também as tensões provenientes da seção mista como um todo, denominadas como efeito global. Essas tensões resultam da excentricidade do conector em relação à linha neutra da seção mista, que provoca o surgimento de tensões normais à seção crítica do conector (região crítica na Figura 2), em função da flexão dos dentes concomitante com o cisalhamento decorrente do deslizamento relativo entre os elementos de aço e de concreto. Assim, tem-se uma complexa superposição de tensões na região crítica do conector (LORENC, 2016b). Desse modo, no dimensionamento de conectores contínuos no ELS e no ELF deve-se introduzir os fatores fL e fG que consideram os efeitos local e global, respectivamente. Os valores de fL e fG dependem do formato do conector e podem ser encontrados na literatura para as geometrias PZ e MCL (SEIDL et al., 2013; LORENC, 2016b). No Estado Limite Último (ELU), admite-se a plastificação total da seção crítica, uma vez que o conector apresenta uma resposta inelástica devido à relação tensão-deformação não-linear do aço estrutural. 63

Figura 2 - Tensões normais nos perfis de aço e detalhe com as tensões na região crítica do conector (adaptado de Lorenc, 2016b). As tensões normais que atuam na seção transversal do perfil de aço não solicitam o conector de modo a provocar a sua ruptura (ou seja, em ELU). Por esse motivo, não é necessário considerar a superposição dos efeitos local e global para a verificação no ELU, mas apenas as forças locais transferidas do concreto para o conector (ou seja, o efeito global pode ser desprezado e considera-se apenas o efeito local). A transferência das forças de cisalhamento longitudinais (efeito local) cria um estado de tensão combinado de cisalhamento e flexão sobre o dente do conector, conforme ilustrado na Figura 3.

Figura 3 - Falha do conector desencadeada por um mecanismo combinado de cisalhamento e flexão ((a) KOZÜCH (2012) e (b) SEIDL et al. (2013)). Os estudos sobre o modo de falha por plastificação total da seção crítica do dente de aço do conector levaram à seguinte conclusão: considerando um estado plano de tensão nos dentes do conector, a resistência à falha do aço por unidade de comprimento da conexão não depende do tamanho dos dentes do conector, e a ductilidade da conexão, para uma mesma geometria, é linearmente proporcional ao tamanho dos dentes (LORENC, 2016a). Assim, a capacidade resistente do conector pode ser estimada por meio da Eq. (1):

Ppl = β pl tw f y

(1)

em que β é um fator de forma; fy é a resistência ao escoamento do aço do conector [N/mm²]; tw é a espessura da chapa do conector [mm] e Ppl é a capacidade resistente do conector [N/mm]. Por se tratar de um conector contínuo, a resistência é dada em força por unidade de comprimento. 64

Diferente da formulação dos conectores tipo pino com cabeça que considera a capacidade última do aço fu, a resistência de conectores contínuos é estimada por meio da resistência ao escoamento fy. Isso decorre das diferentes geometrias e respostas estruturais dos conectores quando submetidos a uma determinada configuração de esforços. Além disso, o mecanismo de falha do aço associado aos conectores em chapa contínua difere do mecanismo do conector tipo pino com cabeça: nos primeiros, é adotada a abordagem utilizada em seções de aço, enquanto para o segundo é considerada a ruptura dos pinos (bolts) (LORENC et al., 2014b; LORENC, 2016a). O parâmetro βpl na Eq. (1), chamado fator de forma, é levemente dependente do formato do conector e, após várias investigações experimentais e numéricas, foi considerado igual a 0,25 para as geometrias PZ e MCL no DATec alemão Z-26.4-56 (2013) (SEIDL et al., 2013; LORENC et al., 2014a,b; LORENC, 2016a,b; KOPP et al., 2018). A determinação desse parâmetro (objeto de estudo no presente trabalho) deve levar em consideração o mecanismo combinado de cisalhamento e flexão que atua sobre o dente do conector. Uma interpretação do fator βpl é apresentada na Tabela 1. Tabela 1 - Interpretação do fator βpl (adaptado de Lorenc, 2016a)

A Eq. (1), portanto, pode ser reescrita na forma da Eq. (2), que determina a resistência característica à falha de aço dos conectores puzzle e clothoidal: 65

Ppl= β pl tw f y ⇒ Ppl= 0, 25 tw f y ,k ,k

(2)

O colapso da conexão devido à falha do aço está associado à formação de uma fissura na base do dente, e a consequente progressão dessa fissura (que ocorre na fase póspico da curva força-deslizamento) leva à total ruína da conexão, em que os dentes são, de fato, separados do ‘corpo do conector’. Segundo Lorenc (2016b), a formação da fissura é típica desse modo de colapso, sendo presenciada em qualquer geometria do conector (Figura 4).

Figura 4 - Falha do aço no conector Crestbond (VERÍSSIMO, 2007).

3 3.1

Modelagem numérica Considerações preliminares

Para validação do modelo numérico para simulação do mecanismo de falha do aço com o conector Crestbond, foram utilizados resultados experimentais de LORENC et al. (2014a,b) e LORENC (2016a,b), relacionados à falha do aço em conectores puzzle. Este procedimento foi adotado pelo fato de os resultados experimentais disponíveis de ensaios com Crestbond estarem associados à ruptura do concreto (VERÍSSIMO, 2007; CARDOSO et al., 2018a,b), e por considerar a semelhança formal entre os conectores Crestbond e o puzzle. 3.2

Aspectos gerais e condições de contorno

Em seus estudos numéricos sobre o mecanismo de falha do aço em conexões com conector puzzle, Lorenc et al. (2014b) desenvolveram um modelo numérico para estudar tal modo de colapso independente da geometria do conector. Assim, a mesma abordagem foi utilizada para estudar o comportamento de conectores Crestbond 66

frente à falha do aço. As dimensões do conector são apresentadas na Figura 5 e correspondem ao CR56b, utilizado nos ensaios experimentais de Veríssimo (2007). A geometria do modelo e as condições de contorno são apresentadas na Figura 6.

Figura 5 - Dimensões adotadas para o conector (medidas em mm). As análises foram realizadas aplicando-se um deslocamento controlado na laje de concreto, no ponto de referência RP-1 (Figura 6). A parte inferior do perfil de aço (superfície S2) foi restringida ao deslocamento na direção vertical (Uy = 0) e a superfície S1 foi restringida nas três direções (Ux = Uy = Uz = 0). Além disso, as superfícies frontais da laje de concreto (plano XY) foram restringidas de modo a impedir qualquer tipo de rotação da laje sobre o perfil de aço (URx = URy = 0), garantindo que a seção permaneça plana após a aplicação do deslocamento. Por fim, as interações de contato foram aplicadas apenas no dente central do conector, conforme destacado na Figura 6. Na direção normal, foi adotada a interação “Hard Contact”, enquanto na direção tangencial (ao longo do deslizamento) foi considerado um coeficiente atrito µ = 0,3.

Figura 6 - Geometria e condições de contorno do modelo numérico. Todos os componentes do modelo numérico foram discretizados com o elemento “hex-dominated” disponível no ABAQUS, em que o software adota, primariamente, 67

elementos de oito nós (C3D8), mas permite utilizar elementos de seis nós tipo wedge (C3D6) nas regiões de transição (regiões com possíveis irregularidades na malha). O tamanho dos elementos variou entre 1 mm (nas áreas mais relevantes onde ocorre a transferência dos esforços do concreto para o conector) e 30 mm (nas regiões menos relevantes), conforme ilustrado na Figura 7. Além disso, foi adotada integração reduzida para os elementos de oito nós (C3D8R).

Figura 7 - Malha adotada no modelo numérico com detalhe da discretização no entorno do conector. 3.3

Relações constitutivas dos materiais e método de análise

Por falta de resultados de ensaios de caracterização dos materiais, foram adotadas as mesmas relações constitutivas admitidas por Lorenc et al. (2014b) para o material do conector e do perfil de aço. A partir da curva tensão-deformação obtida por meio de ensaios de caracterização do aço do conector, os autores determinaram a curva true stress-true strain (relação ‘b’ da Figura 8) segundo as expressões recomendadas na EN 1993-1-5:2006.

Figura 8 - Relações constitutivas para o aço utilizadas nas análises (adaptado de Lorenc et al., 2014b). Além disso, visto que o mecanismo de colapso do aço requer uma análise numa faixa com grandes deformações, foi necessária a extrapolação da curva obtida experimentalmente até à deformação de falha εf do conector, adotada igual a 0,80 (LORENC et al., 2014b). Duas outras relações constitutivas foram consideradas nas análises (Figura 8): a relação ‘c’, que apresenta um decaimento após atingir a resistência última do aço para simular a propagação da fissura; e a relação ‘d’, representada por uma curva elastoplástica perfeita (isto é, sem encruamento) adotada no dimensionamento de estruturas de aço. O concreto, por sua vez, foi caracterizado por um comportamento elástico-linear. Essa abordagem foi adotada por outros autores para o estudo do mecanismo relacionado à falha do aço em conectores puzzle e clothoidal, tendo fornecido resultados coerentes com os experimentos desenhados para estudar este modo de falha (KOZÜCH, 2012; LORENC et al., 2014b; LORENC, 2016a). As simulações numéricas foram realizadas utilizando-se análise estática implícita, adotando o método Newton-Raphson (static, general) disponível no ABAQUS, uma vez que as únicas não-linearidades presentes no modelo são as interações de contato e o comportamento não-linear do aço. A adoção de comportamento elástico-linear para o concreto dispensou a adoção de métodos mais sofisticados, como, por exemplo, a análise dinâmica explícita, frequentemente utilizada em modelos com grandes 69

interações e não-linearidades presentes nos estudos sobre conectores em chapa de aço com recortes regulares (CLASSEN e HERBRAND, 2015; KOPP et al., 2018). 3.4

Resultados e discussão

Os resultados numéricos obtidos com as relações constitutivas ‘b’ e ‘c’ são apresentados na Figura 9. As curvas obtidas com as relações constitutivas ‘b’ e ‘c’ são praticamente coincidentes no trecho ascendente. No entanto, quando uma mudança ocorre nos parâmetros da relação tensão-deformação na região com grandes deformações, isto é, após a tensão ultrapassar a capacidade última do aço (fu), diferentes resultados são obtidos, conforme ilustrado na área hachurada da Figura 9 (LORENC et al., 2014b). Esse comportamento pode ser igualmente observado nas simulações numéricas realizadas por Lorenc et al. (2014b) com o conector puzzle.

Figura 9 - Resultados numéricos obtidos com o conector Crestbond utilizando as relações constitutivas ‘b’ e ‘c’. Segundo Lorenc et al. (2014b), pode-se ajustar os parâmetros da relação constitutiva do aço para obter uma melhor convergência entre os resultados numéricos e os experimentais. No entanto, esse procedimento é questionável (LORENC et al., 2014b), já que o surgimento de tensões combinadas na região crítica do conector e a invalidade da hipótese do estado plano de tensão na região de grandes deformações, 70

considerado

inicialmente

sobre

dente

conector,

dificultam

simular

numericamente o que de fato ocorre na região de colapso. Além disso, em função das fortes mudanças não-lineares no esforço exercido pelo concreto pulverizado, é difícil modelar o comportamento dessa região, razão pela qual adotou-se um modelo elástico-linear para representar o comportamento do concreto. O problema ainda é afetado pela rugosidade da superfície do corte na chapa do conector e por alterações estruturais do aço resultantes do processo de fabricação. Ainda de acordo com os autores, esses aspectos mostram que discussões sobre as relações constitutivas apropriadas do aço são desnecessárias nessa etapa da análise. A formação da fissura no dente do conector é mais complicada que a estricção presenciada em ensaios de tração em corpos de prova de aço, até hoje sujeito a diversas discussões sobre as relações constitutivas que devem ser adotadas para sua modelagem mesmo após vários estudos na literatura (KAMAYA e KAWAKUBO, 2011 1 apud LORENC et al., 2014b). Na Figura 10, são apresentados os resultados numéricos no incremento de força máxima, para as distribuições de tensões e deformações, correspondentes à relação constitutiva ‘c’. Analisando as deformações plásticas equivalentes (Figura 10c), destaca-se o início da formação da fissura (indicado pela seta preta) próxima à seção crítica do conector.

KAMAYA, M.; KAWAKUBO, M. A procedure for determining the true stress-strain curve over a large range of strains using digital image correlation and finite element analysis. Mech Mater, 2011. 1

Figura 10 - Distribuição de tensões e deformações no conector Crestbond no incremento correspondente à força máxima do modelo (relação constitutiva ‘c’): (a) tensões de von Mises; (b) tensões principais S23 e (c) deformações plásticas equivalentes (PEEQ). Na Figura 11, essa mesma análise é apresentada no último incremento da análise, onde é possível observar a simulação da propagação da fissura e as grandes deformações sofridas até a ruína completa do conector.

Figura 11 - Distribuição de tensões e deformações no conector Crestbond no último incremento da análise (relação constitutiva ‘c’): (a) tensões de von Mises; (b) tensões principais S23 e (c) deformações plásticas equivalentes (PEEQ). A relação constitutiva ‘d’ foi criada por meio de uma relação tensão-deformação simplificada, frequentemente utilizada no dimensionamento de estruturas de aço segundo a EN 1993-1-5:2006, em que o aço é caracterizado por um comportamento elastoplástico perfeito. A ausência do encruamento do aço impede que a resistência do conector obtida numericamente seja igual àquela atingida nos experimentos (Figura 12). Mesmo assim, a relação constitutiva ‘d’ é justificada para fins de dimensionamento e pode ser considerada como uma base real para determinar a capacidade resistente característica do conector, assim como foi feito para os conectores MCL e PZ (LORENC et al., 2014b). O ponto destacado na Figura 12 (comum às duas curvas) corresponde à capacidade característica do conector, e foi definido por Lorenc et al. (2014b) como o incremento da análise numérica em que a tensão de von Mises atinge, pela primeira vez, em qualquer região da seção do dente, a tensão última do aço (fu = 627 MPa). A distribuição de tensões no Crestbond, ilustrada na Figura 12, refere-se ao incremento 21 do modelo numérico com a relação constitutiva ‘c’, em que cerca de 70% da carga máxima é aplicada. 73

Figura 12 - Influência do encruamento do aço no comportamento do conector (incremento 21 da análise). Na Figura 13 é apresentada a distribuição de tensões no Crestbond correspondente ao incremento considerado no dimensionamento dos conectores (incremento 21 – 70% da carga máxima aplicada), em que o comportamento do aço é representado pela relação constitutiva ‘d’. Ainda na Figura 13, observa-se o escoamento ao longo de toda a seção crítica do conector, similar ao comportamento do conector puzzle estudado por Lorenc et al. (2014b).

Figura 13 - Distribuição de tensões no conector Crestbond (relação constitutiva ‘d’). O parâmetro βpl da Eq. (2) foi determinado por Lorenc (2016a) para o conector puzzle como sendo o valor com o qual a resistência característica do conector é calculada no 74

último ponto convergente das curvas ‘força-deslizamento’ obtidas com as relações constitutivas ‘c’ e ‘d’ (curvas apresentadas na Figura 12). Em outras palavras, as curvas da Figura 12 são coincidentes até o término do regime elástico da conexão, sobre a qual a resistência característica do conector é determinada com o fator βpl (incremento 21 das análises com o Crestbond). Visto o comportamento semelhante entre as geometrias PZ e CR (justificado nos parágrafos anteriores), a mesma abordagem utilizada por Lorenc (2016a) é adotada neste trabalho para estimar numericamente o parâmetro βpl do conector Crestbond (Figura 14).

Figura 14 - Determinação do parâmetro βpl do conector Crestbond. Após atingir a resistência característica do conector, as curvas divergem, na medida em que o deslizamento aumenta, se interceptando num valor de deslizamento próximo a 6 mm. O valor encontrado de βpl para o Crestbond (βpl = 0,28) corrobora a afirmação de Lorenc (2016a) de que tal parâmetro é levemente dependente da geometria do conector. Embora exista certa similaridade entre as geometrias dos conectores puzzle e Crestbond, vale destacar que o segundo é um conector mais esbelto, isto é, os 75

dentes do conector são mais altos para um mesmo passo (relação hD/ex). Além disso, o Crestbond apresenta um trecho reto entre os raios de curvatura, que são mais suaves em relação aos raios do puzzle.

Capacidade resistente do dente de aço do conector Crestbond

A seção crítica do conector, região onde ocorre a maior concentração de tensões e eventual ruptura da conexão, de acordo com o critério de von Mises, é determinada considerando que o esforço P que atua sobre o dente do conector, proveniente de um carregamento externo, é constante ao longo da altura heff (Figura 15). Esse esforço, por sua vez, pode ser dividido em duas forças resultantes: a força P1 (abaixo da seção crítica), que não provoca tensão na seção crítica, e a força P2 (acima da seção crítica), cuja localização depende da posição da seção crítica (KOPP et al., 2018).

Figura 15 – Modelo utilizado para determinação da seção crítica por meio do critério de von Mises (adaptado de FELDMANN et al., 2016). A resistência à falha do aço do conector pode ser obtida aplicando-se o critério de escoamento de von Mises na seção crítica, considerando a seção totalmente plastificada. Desse modo, a resistência característica do conector a esse modo de falha (Ppl,k) é determinada segundo a Eq. (3), cujos parâmetros estão identificados na Figura 15:

 hcrit Ppl ,= 1 + k  heff − hcrit

 bcrit   2 2   16hs ,crit + 3bcrit

 b t f  crit w y 

(3)

Em sua pesquisa numérico-experimental, Heinemeyer (2011) verificou que, diferente do conector MCL, a altura heff sobre a qual pode-se considerar constante a distribuição do esforço P sobre o dente do conector puzzle é cerca de 0,75hD (Figura 16). 76

Figura 16 - Distribuição do esforço P ao longo do dente do conector puzzle (adaptado de Heinemeyer, 2011). Nos experimentos realizados com o conector Crestbond, cunhas de concreto comprimido também foram observadas junto ao dente do conector (Figura 17a), de modo similar ao conector puzzle. Além disso, as tensões de contato (variável CPRESS) obtidas no modelo numérico confirmam essa distribuição de tensões (Figura 17b).

Figura 17 – (a) Cunha de concreto comprimido nos experimentos com Crestbond (VERÍSSIMO, 2007) e (b) distribuição de tensões ao longo do dente do conector obtida no modelo numérico com a relação constitutiva 'c'. Para a elaboração do DATec alemão Z-26.4-56 (2013), contudo, a altura heff nos conectores puzzle foi determinada subtraindo-se o raio de concordância superior da altura total do dente (hD), resultando em valores ligeiramente diferentes daqueles obtidos quando se considera 0,75hD. Por se tratar de uma publicação mais atualizada, o parâmetro heff nos conectores Crestbond foi determinado conforme a metodologia de Z-26.4-56 (2013). Para determinação da seção crítica do Crestbond, realizou-se o seguinte procedimento: aplicou-se uma carga unitária ao longo da altura heff, e a região do ‘pescoço’ do conector, onde se localiza a seção crítica, foi dividida em 500 seções (Figura 18). Aplicando-se o critério de escoamento de von Mises em cada seção, 77

buscou-se a crítica, aquela que apresentava a maior tensão resultante. A partir da determinação da seção crítica, os parâmetros hcrit, hs,crit, heff e bcrit foram identificados e descritos em função de ex, conforme ilustrado na Figura 19.

Figura 18 - Determinação da seção crítica em conectores Crestbond.

Figura 19 - Identificação dos parâmetros relativos à falha do aço pelo critério de von Mises.

Substituindo os parâmetros encontrados pelo critério de von Mises (Figura 19) na Eq. (3), tem-se, portanto:

   0,044 ex 0,456 ex Ppl ,= 1 +  k 2 2  0,361ex − 0,044 ex   16 ( 0,159 ex ) + 3 ( 0,456 ex ) 78

  0,456 ex tw f y  

Ppl ,k = 0,233 ex tw f y

(4)

O valor do parâmetro βpl = 0,233 encontrado para o conector Crestbond pelo critério de escoamento de von Mises, apesar de inferior ao valor encontrado por meio das simulações numéricas (βpl = 0,283), também é significativamente próximo ao valor padronizado pelo DATec alemão (βpl = 0,25). Além disso, o valor de βpl encontrado para os conectores PZ e MCL (também pelo critério de von Mises) foram iguais a 0,269 e 0,243 respectivamente (KOPP et al., 2018), indicando que o valor encontrado para o Crestbond parece coerente e pode-se, portanto, adotar βpl = 0,25 para fins de padronização.

Conclusões

Neste trabalho, estudos numéricos foram realizados com o intuito de investigar o comportamento do conector Crestbond em relação à falha do aço. Os resultados obtidos sugerem um comportamento similar ao do conector puzzle frente a esse modo de ruptura, o qual é desencadeado por uma combinação de esforços de cisalhamento e de flexão sobre o dente do conector (LORENC et al., 2014b; FELDMANN et al., 2016). A formulação apresentada pelo DATec alemão Z-26.4-56 (2013) para estimar a resistência característica à falha do aço (válida para conectores tipo PZ e MCL) mostrou-se válida também para conectores tipo Crestbond, haja vista os valores encontrados para o parâmetro βpl por meio de simulações numéricas e pelo critério de von Mises. Apesar dos resultados encontrados neste trabalho serem coerentes com os da literatura (no que tange à resistência característica do conector), sugere-se a realização de ensaios experimentais que comprovem a validade da Eq. (2) para estimar a resistência do conector Crestbond à falha do aço.

Agradecimentos

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – Brasil (CAPES) – Código de Financiamento 001. Os autores agradecem também ao CNPq, à FAPEMIG, à Universidade Federal de Viçosa e à

Universidade Federal de Minas Gerais pelo apoio para a realização e divulgação deste trabalho.

Referências bibliográficas

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Recebido: 28/02/2019 Aprovado: 28/07/2019 Volume 9. Número 1 (abril/2020). p. 81-100 - ISSN 2238-9377 Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICT

Procedimento para avaliação teórica e experimental de pontes ferroviárias

J.F.A. Junqueira1*, L.A.C.M. Aragão Filho², L.A.S. Lopes3 e J.F.S. Rodrigues4 Instituto Militar de Engenharia, joaofaj@gmail.com Instituto Militar de Engenharia, moniz@ime.eb.br 3 Instituto Militar de Engenharia, laslopes@ime.eb.br 4 Procert Engenharia, fernando.procert@gmail.com 1

Procedure for theoretical and experimental assessment of railway bridges Resumo O artigo apresenta o procedimento teórico-experimental que vem sendo utilizado para avaliação das pontes pertencentes à uma malha ferroviária brasileira. Esse procedimento, foi empregado em quinze obras de artes especiais e tem fornecido subsídios importantes para a priorização das intervenções nessas estruturas. A investigação teórico-experimental inclui o levantamento geométrico, inspeção, caracterização dos materiais, instrumentação, monitoramento e ensaios dinâmicos com veículos de prova. Nesse trabalho, são apresentados, também os principais resultados aos aspectos dinâmicos das estruturas, frequência natural e amplificação dinâmica, e estimativa da vida residual à fadiga. O procedimento proposto vem sendo utilizado e aprimorado, aumentando, assim, a confiabilidade da infraestrutura do sistema de transporte ferroviário. Palavras-chave: identificação estrutural; avaliação estrutural; fadiga; pontes; ferrovia. Abstract The paper presents the theoretical-experimental procedure that has been used to evaluate bridges, belonging to the network of a Brazilian railway. This procedure has been used in fifteen special artworks and has provided important subsidies for the prioritization of interventions in these structures. The theoretical-experimental investigation includes the geometric survey, inspection, extraction of testimonies for characterization of the materials, instrumentation, monitoring and dynamic tests with test vehicles. In the development of the paper are presented, but in detail, the main results to the dynamic aspects of the structures, natural frequency and dynamic amplification, and estimated residual fatigue life. The proposed procedure has been used and improved, thus increasing the reliability of the infrastructure of the rail transport system. Keywords: structural identification; structural assessment; fatigue; bridges; railway. * Autor correspondente

Introdução

Com o estímulo ao aumento da eficiência e ampliação do transporte de cargas, alguns desafios vêm sendo impostos ao sistema ferroviário. São os principais: aumento de carga por eixo, aumento da densidade operacional, aumento das velocidades médias autorizadas, e aumento do tamanho dos comboios ferroviários. Analisando as pontes como componentes críticos do sistema ferroviário, essas estruturas podem impactar de várias formas na eficiência deste modo de transporte, tais como a limitação de cargas por eixo, restrições de velocidade e a necessidade de intervalos operacionais para a realização de intervenções (JUNQUEIRA et al., 2017). Diante disso, concessionárias e empresas de logística ferroviária vêm investindo em processos que permitam a priorização das intervenções de manutenção em pontes ferroviárias, de forma a obter eficiência em custos, reduzir impactos operacionais e garantir o equilíbrio entre produção e manutenção, mantendo-se níveis satisfatórios de segurança estrutural e, consequentemente, operacional. Faz-se necessário, então, o desenvolvimento de um processo de aprimoramento da representação teórica de sistemas físicos por meio da análise de suas ações e respectivas respostas, ou seja, por meio de modelos híbridos (teóricos e experimentais) é possível obter maior conhecimento destas estruturas, não somente de forma geométrica e estática, mas também a partir da medição de suas propriedades e características dinâmicas. No Brasil, a ABNT NBR 15307:2006 estabelece o procedimento para a execução de provas de carga dinâmicas em grandes estruturas por meio da medição das vibrações ambientes. Porém, essa norma apresenta limitações para a utilização em pontes, visto que sugere uma estimativa de dano em função do índice de vibração, chamado de vibrar, que em alguns casos, pode não estar relacionado com a presença de danos (CASAS e RODRIGUES, 2015). Já a ABNT NBR 9452:2016 estabelece os requisitos para inspeções visuais e cadastrais em pontes, viadutos e passarelas, e para a apresentação dos resultados de tais inspeções. De forma geral, verifica-se uma quantidade limitada de referências bibliográficas que trazem uma abordagem específica para pontes ferroviárias, e em especial, de alta carga por eixo.

Com a desestatização e concessão da malha férrea para empresas privadas, muito se perdeu sobre documentos técnicos e históricos das estruturas, tornando ainda mais complexa a inferência do desempenho estrutural dessas obras de arte especiais. Desta forma, um procedimento de avaliação estrutural deve ser desenvolvido, não somente com a finalidade de avaliação das condições estruturais atuais das pontes ferroviárias, mas também permitindo a priorização e a quantificação das intervenções, e o estabelecimento de estratégias de manutenção, aumentando a confiabilidade e, consequentemente, a segurança operacional. O presente trabalho tem como objetivo propor um procedimento de avaliação de pontes ferroviárias, considerando-se, principalmente, aspectos relacionados à inspeção, instrumentação, monitoramento, amplificação dinâmica e a conceitos de fadiga estrutural. Para isto, será utilizada uma coletânea de informações já existentes de

inspeções,

ensaios,

caracterização

materiais,

instrumentações

monitoramentos de dezenove sistemas estruturais de quinze pontes, com diferentes idades, concepções estruturais e condições operacionais.

Aspectos da dinâmica das estruturas

Sabe-se que qualquer estrutura possui modos de vibração, cada um deles associado a uma frequência natural. De forma simplificada, esses modos de vibração podem ser entendidos como as possíveis maneiras que a estrutura pode oscilar em torno de uma posição referencial. Matematicamente, trata-se de um problema de autovetores (modos de vibrar) associados a autovalores (frequências naturais). (CLOUGH e PENZIEN, 1993) Considerando uma ponte como sistema, para passar de uma situação deformada para outra, em um determinado intervalo de tempo, essa ponte é sujeita a um determinado campo de forças elásticas, forças de inércia e amortecimento, provocando a sua vibração. Por exemplo, à medida que um veículo progride sobre uma ponte, sua estrutura deforma-se modificando o perfil inicialmente horizontal. Essa alteração traduz-se em deslocamento da roda do veículo e consequente deslocamento da suspensão, que, por sua vez, resultam em forças elásticas e de amortecimento que 83

atuam diretamente sobre a massa do veículo, provocando a sua vibração e consequente alteração da força de interação entre a ponte e o veículo. (CALÇADA, 2001) Para o caso das pontes ferroviárias, muitos fatores podem afetar a distribuição das energias entre ponte e veículo, tais como as massas dos veículos, as irregularidades geométricas da linha férrea, a presença de defeitos no trilho e veículos, as ações do vento, a frenagem, a demarragem e a presença de outros veículos. Essas vibrações induzidas pela passagem de veículos sobre estruturas de pontes provocam esforços ou deslocamentos na estrutura que, de forma geral, são maiores que aqueles aplicados pelo carregamento estático. Este fenômeno é designado por amplificação dinâmica. (CALÇADA, 2001) Atualmente, o caráter dinâmico da resposta das pontes ao tráfego ferroviário pode ser determinado por meio do método proposto por PAULTRE et al. (1992). A Figura 1 representa a resposta estática de uma ponte ou viaduto quando da passagem de um veículo em uma velocidade muito baixa (denominada quase estática) e a resposta dinâmica, obtida da passagem a uma velocidade significativa de um veículo isolado sobre seu vão.

Figura 1 - Resposta estática e dinâmica de uma ponte à passagem de um veículo (Adaptado de CALÇADA, 2001) Assim, o fator de amplificação dinâmica (DAF – Dynamic Amplification Factor) pode ser obtido por meio da Equação 1. (1) 84

Na avaliação da capacidade de carga de pontes e viadutos existentes, há três alternativas possíveis para a obtenção do DAF: utilizar coeficientes dinâmicos obtidos de normas e códigos; realizar análises dinâmicas completas por via numérica; ou considerar valores de amplificações dinâmicas decorrentes de carregamentos efetivos de tráfego normais ou controlados por meio das medidas dos efeitos estruturais, como por exemplo, deslocamentos e deformações específicas (PAULTRE et al., 1992). Os valores recomendados por normas e códigos são adotados tomando-se como base certas condições de execução e de operação das pontes, e que nem sempre correspondem à realidade. Nas estruturas de pontes ferroviárias, normalmente as solicitações dinâmicas são consideradas por coeficientes de majoração da carga estática. As normas brasileiras e referências internacionais que tratam do cálculo estrutural de pontes, consideram as cargas dinâmicas por meio de coeficientes de impacto. O principal desafio consiste na obtenção da resposta estática. Segundo PIMENTEL (2008), a resposta estática pode ser obtida a partir dos seguintes procedimentos: (i) circulando o veículo a velocidades suficientemente baixas, de forma que se possam desprezar seus efeitos dinâmicos; (ii) aplicando filtros digitais com o objetivo de eliminar as componentes dinâmicas do sinal; e (iii) numericamente, simulando a passagem do veículo. O método i) fornece os melhores resultados, uma vez que está associado à obtenção de respostas diretamente medidas na estrutura, porém acarreta impactos operacionais à circulação de trem e maiores custos de execução. O procedimento ii) fornece bons resultados, no entanto, quando ocorrem fenômenos de ressonância, torna-se difícil separar a parte estática de parte dinâmica devido a necessidade de adotar filtros eficazes. Já o iii) está relacionado às dificuldades de se obter o comportamento real da estrutura no modelo numérico, bem como o desconhecimento das cargas atuantes e ao fato de não reproduzir todos os fatores contribuintes, como exemplo os defeitos da via e dos vagões. (PIMENTEL, 2008) Na prática, as variáveis de interesse que são medidas durante a monitoração das pontes ferroviárias são as acelerações e as deformações específicas, utilizando-se, respectivamente, sensores do tipo acelerômetros e extensômetros. Devido ao 85

princípio de funcionalidade de cada transdutor, esses respondem de maneira diferenciada em função da frequência que são solicitados. Logo, a determinação do DAF por meio do deslocamento (decorrente da integração do sinal de aceleração) ou da deformação específica, pode influenciar os resultados.

Fenômeno da fadiga

Uma estrutura sujeita a solicitações de esforços com intensidades variáveis ao longo do tempo pode, após um certo número de ciclos de carregamento, entrar em processo de ruptura sem que tenha atingido o seu limite de resistência estática, ocasionando uma perda de resistência local, desenvolvendo o dano lentamente nas fases iniciais e acelerando nas fases finais. Este fenômeno é conhecido como fadiga. O fato da ruptura por fadiga surgir de cargas de utilização, podendo ser uma ruptura brusca e sem aviso prévio, torna esse fenômeno ainda mais grave (MARQUES, 2006). O estudo da fadiga em estruturas, especialmente em pontes, vem aumentando nos últimos anos. Pontes ferroviárias, em especial, estão entre as estruturas com maiores índices de danos decorrentes da fadiga. De acordo com OEHME (1989), separando as causas dos danos em cada tipo de estrutura, temos os seguintes resultados para as pontes: 38,3% por fadiga; 32,0% por questões ambientais; 14,8% por forças estáticas; 8,6% por instabilidade, local ou global; e 6,3% devido a outras causas, tais como fraturas frágeis, movimentos de corpo rígido, deformações elásticas, carregamentos térmicos etc. (KUHN et al., 2008). Portanto, a fadiga é a maior causadora dos colapsos de pontes ferroviárias, o que justifica, por si só, a ênfase que é dada a esse fenômeno no presente trabalho. Para determinar a vida residual à fadiga de pontes ferroviárias, são utilizadas as séries temporais das tensões estáticas e as resultantes das passagens dos comboios para cada velocidade sobre a estrutura da ponte em questão. Em seguida, esses valores são comparados com a resistência à fadiga dada pelas curvas S-N (Stress range – S; Number of cycles – N), que especificam a resistência à fadiga de um material submetido a ciclos de tensão de amplitude constantes. Se a amplitude dos ciclos é

variável, o desempenho é estudado por meio da hipótese de Palmgreen-Miner e o dano de Miner. A teoria de Palmgren-Miner considera o fenômeno da fadiga como um processo de acumulação de danos até certo limite de danos toleráveis. Considerando esse acúmulo como linear, cada ciclo contribui para uma mesma quantidade de dano em um dado nível de tensão (AFONSO, 2007). Para a estimativa da vida residual das estruturas foram assim utilizadas as expressões do dano de Miner, que podem ser simplificadas da seguinte forma (KUHN et al., 2008): (2) onde, DM é o dano de Miner, ni é o número de ciclos ocorrendo para uma faixa de tensão de magnitude Δσi, e Ni o número de ciclos correspondente a resistência à fadiga de uma faixa de tensão de magnitude Δσi. Para investigações do dano à fadiga, a Equação 2 pode ser aplicada a múltiplas faixas de tensão de um espectro ou histograma de tensões, como ilustrado na Figura 2. Dessa forma, a resistência à fadiga Ni é definida por meio do método de classificação baseada nas curvas S-N. Quando o dano de Miner DM é igual a um, indica a ocorrência de falha.

Figura 2 - Gráfico S-N para o cálculo da acumulação de danos (KUHN et al., 2008) Na prática, as amplitudes dos ciclos decorrentes das passagens dos veículos ferroviários são variáveis, e por isso utiliza-se o algoritmo da contagem de Rainflow para o estudo de fadiga nas estruturas ferroviárias. Alguns exemplos de curvas utilizadas para avaliação da fadiga são apresentadas pela American Association of Railroads (AAR), para estruturas em aço, e pelo CEB-188, para estruturas em concreto. 87

Estas curvas variam em função do detalhe estrutural, quando se consideram as tensões nominais, e das configurações de soldadura, quando se consideram tensões geométricas (MARQUES et al., 2010). No caso das pontes ferroviárias, o aumento das cargas por eixo de tráfego, da quantidade de veículos em circulação – e consequente aumento de ciclos de carregamento – e das velocidades operacionais registradas nos últimos anos justificam a crescente preocupação com essas estruturas em relação ao estado limite de fadiga.

Proposta de procedimento para avaliação de pontes e viadutos

Para avaliar as pontes ferroviárias, foram selecionadas, primeiramente, obras que já apresentavam motivações qualitativas sobre a sua inadequabilidade estrutural, e também obras cujo partido estrutural apresenta maior representatividade na ferrovia. Foram avaliadas obras de arte especiais de diferentes tipologias e materiais, sendo 19 sistemas estruturais de um total de 15 pontes e viadutos ferroviários, caracterizados conforme Figura 3.

Figura 3 - Número de vãos avaliados por tipologia estrutural Inicialmente, foram identificados todos os documentos disponíveis referentes às estruturas analisadas, tais como projetos de construção, de manutenção, memórias de cálculo e fotos. Também foram entrevistados os profissionais que tinham algum conhecimento acerca de intervenções realizadas nas estruturas além de dados de trem-tipo operacional e histórico de carregamento. 88

Seguiu-se com a verificação da conformidade geométrica da estrutura da ponte em relação ao projeto e, quando este não estava disponível, era realizado todo o levantamento geométrico das pontes e viadutos. Essa atividade teve o objetivo de elaborar o as built da estrutura. Em paralelo, foram extraídos testemunhos para a identificação dos materiais e as suas características mecânicas. Na etapa de inspeção das estruturas, foram realizados ensaios não destrutivos e a vistoria em todo o sistema, com o objetivo de identificação de danos e manifestações patológicas. Foram registradas e mapeadas todas as alterações nos elementos estruturais, possibilitando o acompanhamento de sua evolução, e apontando as prováveis causas e recomendações para o seu tratamento. O modelo numérico preliminar da ponte foi elaborado por meio das informações do levantamento geométrico e caracterização dos materiais. A partir desse modelo, foram determinados, para as solicitações típicas, os pontos da estrutura submetidos às máximas tensões normais e também aqueles submetidos às máximas variações de tensões, definindo-se os pontos de instalação dos extensômetros segundo as respectivas direções principais. Também a partir do modelo numérico preliminar, determinou-se os pontos de maiores deslocamentos para a instalação dos acelerômetros. Com base nessas análises prévias era elaborado o plano de instrumentação, que incluía ainda, eventualmente, sensores de temperatura, transdutores de deslocamento e inclinômetros. De forma geral, foram utilizados sensores e transdutores elétricos. O monitoramento da estrutura se deu em duas etapas. A primeira, e mais longa, consistiu no monitoramento do tráfego normal da ferrovia durante um período mínimo de 24 horas, a fim de se obter as medições ante a variação térmica do dia. Todos os veículos que trafegaram durante essa primeira etapa tinham sua numeração anotada para posterior aquisição das informações de pesagem dessas composições. Na segunda etapa, realizada sempre que operacionalmente possível, foi montada uma composição de teste com todas as suas principais características conhecidas. Monitorou-se a passagem desse trem de teste em várias velocidades e sentidos sobre a ponte. Também foram instalados extensômetros nos trilhos em regiões próximas às

pontes, com o objetivo de medir o efeito dinâmico do carregamento das composições de forma independente das amplificações dinâmicas da estrutura. Posteriormente, os modelos numéricos foram ajustados variando-se a rigidez e vínculos dos elementos dentro dos respectivos intervalos de incerteza, buscando-se, assim, a compatibilidade com as medidas das respostas estruturais para os carregamentos de serviço do sistema ferroviário. O modelo também foi calibrado com os danos de maior relevância identificados por meio da inspeção e ensaios realizados. Concluído o ajuste do modelo numérico, foi verificada a adequação estrutural das pontes para o carregamento atualmente empregado e inferido seu comportamento para um trem-tipo futuro definido pela operadora da ferrovia. Após a análise elástica, foi realizado o estudo da fadiga dos materiais, estimando-se a vida residual da estrutura. Por fim, foram identificados os elementos a serem reforçados para a reabilitação do sistema, e estabelecida a priorização das intervenções nas estruturas. Dessa forma, a avaliação da segurança estrutural foi realizada por meio das respostas estruturais medidas na condição de serviço das pontes, ou seja, caracterizando quantitativamente o desempenho estrutural efetivo dessas obras de arte especiais. Na Figura 4 são apresentadas, de forma concatenada, as principais atividades do procedimento utilizado.

Figura 4 - Procedimento para avaliação estrutural

A etapa de avaliação da capacidade estrutural prescindiu, então, de prévio ajuste do modelo numérico, utilizando-se as informações coletadas na inspeção e no monitoramento da estrutura (model updating). Ela foi realizada para, no mínimo, três situações de carregamento: o tráfego atual, considerando as características dos veículos ferroviários que operam no trecho analisado, e seus carregamentos, obtidos da amostragem monitorada durante os ensaios dinâmicos; o trem-tipo atual, considerando as distâncias entre eixos dos veículos ferroviários típicos do trecho analisado e a sua tolerância máxima de carga por eixo para os carregamentos; e o trem-tipo futuro, definido pela concessionária da ferrovia. A avaliação experimental iniciou-se com a estimativa das propriedades modais da estrutura por meio de métodos de domínio do tempo e domínio da frequência. Também foram analisadas as tensões atuantes nas seções monitoradas, comparando com os valores obtidos pelo modelo numérico, por meio da simulação da passagem de um veículo com as mesmas características dos veículos monitorados. Nesse momento, foi verificada a necessidade de reanálise e calibração do modelo numérico, com o objetivo de aproximação dos resultados teóricos aos medidos experimentalmente na condição de serviços das obras de arte especais. Para determinar a vida residual à fadiga da estrutura foram utilizados os históricos de tensões. As tensões estáticas foram inferidas por meio das deformações medidas no intervalo das passagens dos veículos ferroviários, também considerando as deformações decorrentes dos efeitos térmicos. Já as tensões decorrentes da passagem dos veículos ferroviários foram inferidas a partir das deformações específicas medidas durante a passagem dos comboios para cada velocidade trafegada sobre a estrutura estudada, obtendo-se assim a variação decorrente do peso do trem e as variações de tensões decorrentes das sucessivas passagens dos vagões. Para a estimativa da vida residual foram resgatados os históricos das características das composições, cargas por eixo e volume de tráfego ao longo da vida da estrutura. Esses dados são essenciais para a estimativa dos ciclos de carregamento da estrutura anteriores à avaliação de fadiga. A partir desse resultado, considerando os carregamentos e características operacionais atuais e futuros, foi possível estimar, com boa confiabilidade, a vida residual das pontes analisadas. 91

Após a avaliação da capacidade estrutura e da vida residual à fadiga eram identificados os elementos a serem reforçados, bem como a avaliação da viabilidade de sua execução. É importante ressaltar que no caso particular de estruturas ferroviárias, a avaliação da viabilidade de se reforçar um elemento vai muito além da questão estrutural. Deve-se realizar, também, a avaliação do impacto operacional, que pode ter como resultado elevadas horas de intervalos operacionais, aumento do tempo de circulação, maior disponibilização de equipagens, perda de eficiência energética, dentre outros (Junqueira et al., 2017). A priorização da intervenção em estruturas ferroviárias tem sido feita considerando os seguintes fatores principais: os danos ou patologias existentes; a consequência de uma eventual falha da estrutura para a cadeia produtiva; a existência de elementos com falta de capacidade estrutural; e a avaliação da vida residual à fadiga. Todos estes fatores alimentam uma matriz de priorização, onde é proposto um sequenciamento de pontes que deverão sofrer manutenção ou substituição (Montoya et al., 2017).

Resultados

Inicialmente, com a execução do cadastramento geométrico, foi possível medir e cadastrar as dimensões reais da estrutura. A caracterização dos materiais permitiu conhecer as propriedades mecânicas efetivas dos elementos da estrutura em seu estado atual. Com o desenvolvimento do modelo numérico inicial, foram calculados e determinados os modos de vibração, além dos pontos de maiores deslocamentos, de maiores tensões normais e de maiores variações de tensões, permitindo a elaboração de um plano de instrumentação mais assertivo, econômico e eficiente. A inspeção, por meio visual ou de ensaios de qualidade, permitiu a identificação de danos e manifestações patológicas nas pontes e viadutos estudados. Tais anomalias, quando apresentaram maior relevância, impactando negativamente na segurança estrutural, eram detalhadas e investigadas na modelagem numérica. Quando apresentavam menor relevância, eram cadastradas e mapeadas, permitindo a sua quantificação e acompanhamento da sua evolução ao longo do tempo. 92

Após a etapa de inspeção, a estrutura foi instrumentada tomando-se como referência o plano proposto. Quando necessária a investigação de algum dano conhecido, o plano de instrumentação era revisado com o objetivo de avaliar as suas causas e consequências. A monitoração das estruturas contemplou não somente o tráfego normal da ferrovia, mas também, em alguns casos, o tráfego de uma composição de teste, com características conhecidas, variando-se a velocidade, e, até mesmo, as condições ideais de carregamento, de elementos dos vagões (rodas e molas), e da via permanente. Nas situações em que foi possível utilizar o trem de teste com velocidade controlada nas obras instrumentadas, foram obtidos os fatores de amplificação dinâmica (DAF) para cada velocidade. Na Figura 5 são apresentados os valores máximos do fator de amplificação dinâmica (DAF), medidos em campo, em função do vão teórico das pontes. Também foram plotadas, no gráfico, as curvas dos coeficientes de impacto previstos na norma ABNT NBR 7187:2003 e no manual da AREMA:2013.

Figura 5 - Comparação entre os valores de DAF e coeficientes de impacto normativos Verifica-se uma grande dispersão dos resultados do DAF inferidos da monitoração experimental realizada nas pontes e viadutos ferroviários. Essa dispersão pode ser atribuída a inúmeros fatores relacionados ao sistema ferroviário, tais como: diferença de rigidez entre as pontes monitoradas; movimento dinâmico, perda de capacidade das molas e defeitos nas rodas dos veículos ferroviários; imperfeições geométricas; condições de fixações e materiais existentes na via permanente. 93

É importante

ressaltar que, ao estudar a interação veículo e ponte, outros parâmetros também podem afetar os resultados, tais como a rigidez da estrutura e as propriedades inerciais do veículo e da ponte (YANG et al., 1995). Analisando os coeficientes de impacto normativos, nota-se que a curva referente à AREMA:2013 apresentou valores de referência bem superiores aos previstos pela ABNT NBR 7187:2003 para todos os vãos do intervalo representado. Essa diferença chega a ser de, aproximadamente, 8,3% para vãos de 5 metros e de cerca de 20,4% para vãos próximos a 55 metros. Durante a análise dos resultados dos ensaios de monitoração, foram obtidas as frequências e os modos naturais de vibração de maior energia das estruturas, em geral os três primeiros modos de vibração. De forma geral, comparando-se os valores das frequências naturais de vibração calculadas numericamente e as inferidas experimentalmente nos ensaios dinâmicos, verificou-se uma convergência entre os valores, indicando uma boa representatividade do modelo numérico para o comportamento dinâmico da estrutura. Os valores de frequência natural experimental em função do vão teórico das pontes foram plotados em um gráfico e determinada a curva de tendência de potência, descrita na Equação 3, onde é definido o valor da frequência natural experimental f (Hz) em função do vão teórico L (metros). Considerou-se somente a frequência natural experimental para o primeiro modo de flexão de cada superestrutura dos sistemas estruturais

das

pontes

estudadas.

identificação

modal

foi

considerada

determinística, ou seja, não foram inferidas incertezas na obtenção dos parâmetros modais. 8,34m ≤ L ≤ 74,35m

(3)

A linha de tendência foi calculada com uma correlação 70,9%, o que pode ser considerada satisfatória para estimativas dos valores de frequência natural em função do vão teórico para pontes ferroviárias. Com a finalidade de avaliação dos resultados obtidos utilizando o procedimento proposto, no gráfico da Figura 6 a curva de tendência obtida pela frequência natural experimental em função do vão teórico das pontes ferroviárias (Equação 3) foi 94

comparada com a curva (Equação 4) recomendada pelo CEB209 (1991), e também com as equações propostas por RODRIGUES et al. (2011), conforme Equação 5, desenvolvida a partir de resultados observados em pontes rodoviárias brasileiras, e por BACHMANN et al. (1995), conforme Equação 6, determinada a partir de dados de 224 pontes rodoviárias. Também foram plotadas as curvas de dispersão superior e inferior para as pontes ferroviárias, considerando o valor da correlação obtida na linha de tendência da Equação 3. (4) 20,0 ≤ L ≤ 50,0

(5) (6)

Figura 6 - Comparação da curva de frequência natural experimental em função do vão calculada para as pontes ferroviárias De forma geral, a curva da equação proposta para as pontes ferroviárias é satisfatoriamente aderente às demais curvas de referência da literatura técnica. Notase, em especial, que a curva proposta nesse trabalho é mais aderente à proposta por BACHMANN et al. (1995) para pontes rodoviárias.

Para vãos superiores a aproximadamente 25 metros, a curva proposta neste estudo, baseada nos dados das pontes ferroviárias, se mostrou praticamente coincidente com a curva proposta por BACHMANN et al. (1995) e intermediária aos demais valores de referência. Já para vãos inferiores a 25 metros, a curva proposta para as pontes ferroviárias é superior a todas as demais curvas. Quando avaliado os limites inferiores e superiores de dispersão, a superioridade da curva proposta acontece em torno dos vãos inferiores a 18 metros. Isso pode ser explicado pela elevada carga por eixo das pontes estudadas, pelas maiores amplificações dinâmicas em pontes mais curtas e pelo fato das pontes ferroviárias serem dimensionadas, principalmente, para atender ao estado limite último de fadiga, que é mais crítico em estruturas de menores vãos, o que acarreta estruturas mais robustas e, portanto, com maior rigidez e maiores frequências, quando comparadas com as rodoviárias. Quando houve desvio significativo entre valores experimentais e numéricos, os modelos numéricos iniciais foram calibrados, com o objetivo de convergir os valores numéricos com os valores experimentais, e dessa forma, representarem as características das estruturas reais, em condição de serviço. Como valores de referência para essa calibração, foram empregadas as frequências naturais e deformações específicas experimentais. Para essa calibração, em alguns modelos, foi necessário incorporar parcialmente a massa do trem à massa da estrutura, a fim de se aproximar as frequências naturais numéricas das experimentais. Concluída a calibração, a avaliação da capacidade estrutural foi realizada. Por meio do levantamento geométrico, inspeção, realização de ensaios, instrumentação e monitoração, foi possível superar, em parte, a falta de conhecimento sobre as características da estrutura e dos carregamentos, e assim, reduzir fatores de ponderação. MELCHERS (2002), em seu livro Structural Reliability Analysis and Prediction, questiona a verificação de estruturas pelos códigos as quais ela foi projetada, ou normas mais recentes, visto que nas estruturas existentes algumas incertezas previstas nessas referências já terão sido realizadas, podendo ser determinadas, e então deixando de serem incertezas.

Também foi estimada a vida residual à fadiga das pontes e viadutos ferroviários, conforme apresentado na Figura 7.

Figura 7 - Estimativa da idade e vida residual à fadiga para os trens-tipos atual e futuro para as pontes e viadutos ferroviários As estimativas de vida residual superiores a 100 anos foram limitadas a este valor, visto que, usualmente, e em acordo com o FIB-55 (FIB, 2010) e a ISO 2394:2012, estruturas de pontes e viadutos devem ser projetadas para uma vida útil de 100 anos. Assim, sugere-se que, atingida a idade limite, essas estruturas sejam reavaliadas. Analisando-se a Figura 9 verifica-se uma idade média das pontes e viadutos ferroviários de, aproximadamente, 49,6 anos. Quanto à vida residual à fadiga, os diferentes arranjos estruturais avaliados nesse trabalho apresentaram uma vida média de 67,5 anos, para a operação dos trens-tipos atuais, e 58,9 anos, considerando a operação do trem-tipo futuro, definido pela operadora ferroviária.

Conclusões

O procedimento usual para projetar e avaliar pontes e viadutos considera, implicitamente, incertezas associadas aos modelos teóricos de dimensionamento, aos 97

materiais e processos de construção, à danificação ao longo do tempo e às ações que essa estrutura estará submetida. Os valores recomendados por normas e códigos são adotados tomando-se como base certas condições de execução e de operação das pontes, e que nem sempre correspondem à realidade. No caso da avaliação de estruturas existentes, é possível reduzir essas incertezas por meio do conhecimento das propriedades e característica dinâmicas das pontes, com a finalidade de melhor representar as estruturas em seu estado atual. Nesse sentido, o procedimento proposto vem sendo empregado por meio da análise teórico-experimental em uma operadora de um trecho de malha ferroviária brasileira, como forma de reduzir as incertezas durante o processo de avaliação da segurança estrutural de pontes ferroviárias existentes. As frequências naturais experimentais e as amplificações dinâmicas foram consideradas como parâmetros de interesse para o conhecimento das respostas dinâmicas das estruturas, permitindo, posteriormente, a efetiva avaliação da integridade e do desempenho estrutural. Juntamente com a ponderação de outros fatores estratégicos e operacionais do sistema ferroviário, o conhecimento das amplificações dinâmicas auxilia na avaliação da necessidade e no dimensionamento da imposição de restrições de velocidades dos comboios ferroviários, possibilitando uma maior eficiência no equilíbrio entre produção e manutenção e alcançando, por consequência, melhores níveis de segurança estrutural e operacional. Da mesma forma, o desenvolvimento de uma curva para a estimativa frequência natural e o conhecimento dessa característica dinâmica auxilia na avaliação da integridade dessas estruturas, permitindo, por exemplo, a determinação de níveis de alarme para a restrição ou interrupção de serviço. A estimativa da vida residual à fadiga é essencial em estruturas solicitadas por carregamentos cíclicos, tais como as pontes ferroviárias. Essa estimativa se apresenta como um dos mais importantes parâmetros de priorização da intervenção em estruturas, ante a gravidade desse fenômeno para as pontes ferroviários. É possível concluir, também, que o procedimento se mostrou consistente para a avaliação de estruturas existentes, conferindo rastreabilidade às decisões técnicas tomadas e permitindo o conhecimento do desempenho dessas pontes e viadutos 98

ferroviários ao longo da sua vida, avaliando as suas características e propriedades dos materiais de acordo com o seu estado atual. Uma estrutura não deve ser somente segura e útil às suas condições iniciais de implantação, mas também deve ter resistência suficiente contra a deterioração, ou seja, não só a resistência intrínseca do início da vida útil deve atender aos critérios de projeto, mas também deve ser desenvolvida uma estratégia de manutenção (FIB, 2010).

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Recebido: 23/03/2018 Aprovado: 09/08/2019 Volume 9. Número 1 (abril/2020). p. 101‐121 ‐ ISSN 2238‐9377 Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICT

Dimensionamento otimizado de pórticos em estruturas de aço via algoritmos genéticos

João Alfredo de Lazzari1*, Élcio Cassimiro Alves2, Adenilcia Fernanda Grobério Calenzani3

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Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Av. Fernando Ferrari, 514, Goiabeiras, CEP 29075‐910, Vitória – ES, 1 joaoadelazzari@outlook.com.br 2 elcio.calves1@gmail.com 3 afcalenzani@gmail.com

Optimum structural design of spatial steel frames by genetic algorithm Resumo O presente trabalho tem o objetivo de apresentar a formulação e aplicação do dimensionamento ótimo para pórticos espaciais em estruturas de aço com perfis I e H laminados e soldados. O software desenvolvido na plataforma do GUIDE do MATLAB utiliza uma metodologia determinística para soluções com variável contínua e outra probabilística para soluções com variável discreta. Toda a rotina de dimensionamento será baseada na norma Brasileira ABNT NBR 8800:2008 e as técnicas de otimização utilizadas são a Programação Quadrática Sequencial e o Algoritmo Genético para efeito de comparação da eficiênciado método. Para a validação do software desenvolvido será proposto à comparação com resutlados na literatura e soluções sugeridas pelo programa CYPE 3D. Os resultados são apresentados em formas de tabelas, gráficos e figuras do software desenvolvido e concluído com comentários sobre os resultados. Palavras‐chave: Dimensionamento Ótimo, Estruturas de Aço, Pórtico Tridimensional, Softwares, Análise Estrutural. Abstract The present paper has the objective to present the formulation and application of an optimal design for tridimensional steel frames with I and H sections of hot‐rolled and welded steel. The software was developed on the GUIDE platform from MATLAB, and uses deterministic optimization methodology for solution with continuous variable, and a probabilistic optimization methodology for solution with discrete variable. All the routine for the design was based on the Brazilian standard, ABNT NBR 8800:2008, and the optimization technics used are the Sequential Quadratic Programming and Genetic Algorithm. For the validation of the developed software, comparisons are done with examples found on the literature and solutions suggested by the CYPE 3D commercial software. The results will be present on tables, graphs and print screens of the developed software. To conclude, it will be provided commentaries about the results. Keywords: Optimal Design, Steel Structures, Tridimensional Steel Frames, Software, Structural Analysis. * Autor correspondente

Introdução

Como o avanço nos softwares de cálculo estrutural, cada vez mais se faz necessário obter projetos confiáveis e com o menor custo possível. Para isso, técnicas de otimização podem ser aplicadas como podem ser destacados nos trabalhos de Novelli et al. (2015), Lubke et al. (2017), Unde (2016), Akbari et al. (2016), De Lazzari et al. (2017) entre outros. Porém trabalhos envolvendo técnicas de otimização para estruturas espaciais começam a ser exploradas para diferentes sistemas estruturais e diferentes técnicas de otimização. Erdal, Dorgan e Saka (2010) fizeram dois estudos de projeto ótimo de vigas celulares utilizando metodologia evolutiva; o primeiro baseado em pesquisa harmônica, já o segundo em otimizadores de enxame. Os pesquisadores fazem uma análise comparativa dos dois métodos verificando qual se adapta melhor ao problema. Em Cabas (2015) foi proposto o dimensionamento ótimo de pórticos espaciais, utilizando uma técnica baseada na Biogeography Optimization. Alves, Lubke e Azevedo (2017) apresentaram trabalho de otimização de vigas celulares. Foram usadas três técnicas de otimização computacional, todas tendo como objetivo minimizar o peso da viga, a saber: Método dos pontos interiores, Programação quadrática sequencial e Algoritmos genéticos. O presente trabalho tem o objetivo de apresentar a formulação do problema de otimização e aplicação para estruturas de pórticos em aço. Para a formulação do problema foi implementado o prescrito pela ABNT NBR 8800:2008 no que diz respeito aos esforços resistentes e deformações limites. O programa foi desenvolvido utilizado a ferramenta do GUIDE (Graphical User Interface Development Environment) do MATLAB 2016.a e a solução do problema foi obtida via método dos Algoritmos Genéticos.

Análise e Dimensionamento de Elementos em Aço

Na etapa de análise estrutural, foi utilizado o Structure3D (figura 2), que é um programa implementado em MATLAB. O programa foi desenvolvido na Universidade 102

Federal do Espírito Santo primeiramente pelos ex‐alunos Hélio Gomes Filho e Mindszenty Júnior Pedroza Garozi e obteve pequenas atualizações por alunos de projetos de graduação e iniciação científica, sendo o Prof. Dr. Élcio Cassimiro Alves como o professor orientador desse projeto. O Structure3D fornece os diagramas e deformadas de estruturas tridimensionais com carregamentos uniformemente distribuídos e forças nodais. A análise estrutural é linear (1ª ordem), utilizando o método dos deslocamentos. No que se refere ao o dimensionamento dos elementos estruturais em aço, foi abordada a verificação à flexão assimétrica com cargas axiais de uma estrutura formada por pórticos espaciais segundo os critérios da ABNT NBR 8800:2008. A força axial resistente de cálculo é determinada pela menor capacidade resistente entre os dois estados‐limites aplicáveis: escoamento da seção bruta e ruptura da seção líquida. No dimensionamento de elementos comprimidos, um dos modos de colapso é a instabilidade global da barra, dotada de curvatura inicial. O outro modo de colapso é a flambagem local da mesa e da alma do perfil. Para flexão, os estados limites últimos a serem verificados em vigas em relação ao eixo de maior momento de inércia são: instabilidade local, instabilidade global e plastificação total da seção transversal. Já para as vigas solicitadas à flexão em relação ao eixo de menor momento de inércia só é verificado o estado limite de instabilidade local da mesa. A força cortante resistente é restringida pela instabilidade da alma, ocasionada pelas tensões cisalhantes e pelo escoamento da alma. Dessa forma o elemento resistente à força cortante será a alma. Entretanto, quando o perfil é fletido no eixo de menor momento de inercia, o elemento resistente à força cortante será as mesas. Para esse trabalho, foi considerado o dimensionamento de barras de aço sob combinação de esforços solicitantes. Essas combinações são aquelas que estão sujeitas simultaneamente à força axial (tanto de tração quanto de compressão) e flexão a um ou aos dois eixos centrais de inércia. Esse tipo de situação de projeto é bastante comum em pilares de pórticos rígidos planos e espaciais. 103

ParaÂ essaÂ atuaĂ§ĂŁoÂ simultĂ˘neaÂ dosÂ esforĂ§os,Â deveâ&#x20AC;?seÂ atenderÂ aÂ limitaĂ§ĂŁoÂ fornecidaÂ pelasÂ seguintesÂ expressĂľesÂ deÂ interaĂ§ĂŁo:Â ď&#x201A;ˇ

ď&#x201A;ˇ

0,2

Caso ,

1,0

(1)

1,0

(2)

0,2

Caso ,

OndeÂ đ?&#x2018; Â eÂ đ?&#x2018; Â sĂŁoÂ asÂ forĂ§asÂ axiaisÂ solicitantesÂ eÂ resistentesÂ deÂ traĂ§ĂŁoÂ ouÂ compressĂŁo,Â sendoÂ queÂ foramÂ utilizadasÂ aquelasÂ aplicĂĄveis.Â OsÂ momentosÂ resistentesÂ (đ?&#x2018;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x20AC;

)Â eÂ solicitantesÂ (đ?&#x2018;&#x20AC;

Â eÂ Â đ?&#x2018;&#x20AC;

Â eÂ Â

)Â sĂŁoÂ referentesÂ aosÂ eixosÂ zÂ eÂ y,Â sendoÂ oÂ eixoÂ xÂ oÂ

eixoÂ longitudinalÂ daÂ barra.Â

FormulaĂ§ĂŁoÂ doÂ ProblemaÂ

OÂ presenteÂ trabalhoÂ utilizaÂ duasÂ tĂŠcnicasÂ deÂ otimizaĂ§ĂŁo.Â OÂ problemaÂ comÂ variĂĄvelÂ contĂnuaÂ utilizaÂ umÂ modeloÂ matemĂĄticoÂ determinĂstico,Â aÂ ProgramaĂ§ĂŁoÂ QuadrĂĄticaÂ SequencialÂ (PQS).Â JĂĄÂ oÂ problemaÂ comÂ variĂĄvelÂ discreta,Â utilizaÂ umÂ modeloÂ probabilĂsticoÂ comÂ oÂ auxĂlioÂ doÂ AlgoritmoÂ GenĂŠticoÂ (AG).Â AÂ ProgramaĂ§ĂŁoÂ QuadrĂĄticaÂ SequencialÂ utilizaÂ comoÂ baseÂ oÂ mĂŠtodoÂ deÂ Newton,Â eÂ parteÂ deÂ umÂ pontoÂ inicial,Â presenteÂ naÂ regiĂŁoÂ deÂ pesquisa.Â AÂ partirÂ deÂ umaÂ soluĂ§ĂŁoÂ inicial,Â oÂ mĂŠtodoÂ parteÂ paraÂ aÂ soluĂ§ĂŁoÂ ĂłtimaÂ deÂ subproblemasÂ quadrĂĄticos,Â paraÂ cadaÂ iteraĂ§ĂŁo.Â AÂ cadaÂ passo,Â oÂ problemaÂ ĂŠÂ aproximadoÂ daÂ soluĂ§ĂŁoÂ ĂłtimaÂ global,Â chegandoÂ assimÂ naÂ soluĂ§ĂŁoÂ ĂłtimaÂ doÂ problema.Â JĂĄÂ oÂ AlgoritmoÂ GenĂŠticoÂ resolveÂ problemasÂ comÂ ouÂ semÂ restriĂ§Ăľes,Â eÂ seÂ baseiaÂ noÂ processoÂ deÂ seleĂ§ĂŁoÂ naturalÂ queÂ imitaÂ aÂ evoluĂ§ĂŁoÂ biolĂłgica.Â BasicamenteÂ oÂ algoritmoÂ modificaÂ aÂ populaĂ§ĂŁoÂ repetidamente,Â selecionandoÂ indivĂduosÂ deÂ formaÂ aleatĂłriaÂ paraÂ seremÂ osÂ paisÂ deÂ futurosÂ filhosÂ paraÂ aÂ prĂłximaÂ geraĂ§ĂŁoÂ daÂ populaĂ§ĂŁo.Â ApĂłsÂ sucessivasÂ geraĂ§Ăľes,Â aÂ populaĂ§ĂŁoÂ convergeÂ paraÂ umÂ ĂşnicoÂ indivĂduo,Â queÂ ĂŠÂ aÂ soluĂ§ĂŁoÂ Ăłtima.Â

104Â

3.1

ProblemaÂ comÂ VariĂĄvelÂ ContĂnuaÂ

AÂ formulaĂ§ĂŁoÂ computacionalÂ paraÂ oÂ problemaÂ comÂ variĂĄvelÂ contĂnuaÂ foiÂ feitaÂ comÂ baseÂ naÂ ProgramaĂ§ĂŁoÂ QuadrĂĄticaÂ Sequencial.Â OÂ mĂŠtodoÂ doÂ PQSÂ podeÂ serÂ obtidoÂ atravĂŠsÂ funĂ§ĂŁoÂ fminconÂ doÂ OptimizationÂ Toolboxâ&#x201E;˘Â doÂ MATLABÂ 2016a.Â DessaÂ forma,Â paraÂ esseÂ trabalhoÂ foiÂ propostoÂ umÂ modeloÂ deÂ otimizaĂ§ĂŁoÂ voltadoÂ aoÂ utilizadoÂ noÂ MATLAB.Â Abaixo,Â aÂ formulaĂ§ĂŁoÂ doÂ problemaÂ ficaÂ descritaÂ como:Â funĂ§ĂŁoÂ objetivoÂ (3);Â pontoÂ inicialÂ (4);Â limiteÂ inferiorÂ eÂ superiorÂ (5);Â funĂ§ĂŁoÂ deÂ restriĂ§ĂľesÂ deÂ inequaĂ§ĂľesÂ nĂŁoÂ linearesÂ (6);Â funĂ§ĂŁoÂ deÂ restriĂ§ĂľesÂ deÂ igualdadesÂ nĂŁoÂ linearesÂ (7).Â đ??š đ?&#x2018;ż đ?&#x2018;ż

đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;&#x2039;

đ?&#x2018;&#x2039;

Ă§

đ?&#x2018;&#x2039;

đ??´ đ?&#x2018;ż đ?&#x2018;&#x2039;

đ?&#x2018;&#x2039;

â&#x2C6;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2039;

â&#x17D;§ â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2018;ż

đ?&#x2019;&#x2030; đ?&#x2018;ż

â&#x17D;¨ â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Şđ?&#x2018;&#x201D; â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Š â&#x201E;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x2039;

đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż

đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż đ?&#x2018;ż

đ?&#x2018;&#x201D;

(3) (4)Â

đ?&#x2018;ż

đ?&#x2018;&#x2039;

Ă§

đ?&#x2018;&#x2039;

(5)

(6)

(7)

onde:Â Â đ?&#x153;&#x152;

đ?&#x2018;&#x2039;

â&#x17D;Ť â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş

đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż â&#x17D;§ â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Şđ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż â&#x17D;Ş â&#x17D;Ź â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş đ?&#x2018;ż â&#x17D;Şđ?&#x2018;&#x201D; â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;¨ â&#x17D;Ş â&#x17D;Şđ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Şđ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Šđ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż â&#x17D;

đ?&#x2018;ż

đ?&#x2018;&#x2039;

đ??ż

:Â ĂŠÂ oÂ pesoÂ especĂficoÂ doÂ aĂ§oÂ (7850 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201C;/đ?&#x2018;&#x161; );Â

105Â

AÂ funĂ§ĂŁoÂ objetivoÂ (3)Â ĂŠÂ oÂ pesoÂ totalÂ daÂ estrutura,Â compostaÂ peloÂ somatĂłrioÂ daÂ ĂĄreaÂ vezesÂ oÂ comprimentoÂ daÂ vigaÂ eÂ porÂ fimÂ multiplicadoÂ peloÂ pesoÂ especĂficoÂ doÂ aĂ§o.Â QuantoÂ menorÂ forÂ oÂ pesoÂ deÂ aĂ§oÂ totalÂ determinado,Â menorÂ serĂĄÂ oÂ consumo,Â eÂ consequentementeÂ menorÂ serĂĄÂ oÂ custo.Â OÂ pontoÂ inicialÂ (4)Â foiÂ obtidoÂ comoÂ umÂ pontoÂ mĂŠdioÂ dosÂ limitesÂ inferioresÂ eÂ superioresÂ (5),Â jĂĄÂ queÂ ĂŠÂ umÂ pontoÂ queÂ ficaÂ maisÂ prĂłximoÂ dosÂ limitesÂ deÂ formaÂ equivalente.Â EssesÂ limitesÂ foramÂ obtidosÂ comoÂ osÂ valoresÂ mĂnimosÂ eÂ mĂĄximosÂ deÂ cadaÂ elementoÂ geomĂŠtricoÂ descritoÂ naÂ FiguraÂ 2,Â deÂ acordoÂ comÂ oÂ catĂĄlogoÂ daÂ GERDAU,Â paraÂ perfisÂ laminados,Â eÂ aÂ ABNTÂ NBRÂ 5884:2005,Â paraÂ perfisÂ soldados.Â AsÂ funĂ§ĂľesÂ deÂ restriĂ§ĂľesÂ nĂŁoÂ lineares,Â equaĂ§ĂŁoÂ (6)Â eÂ equaĂ§ĂŁoÂ (7),Â foramÂ determinadasÂ deÂ acordoÂ comÂ asÂ limitaĂ§ĂľesÂ doÂ problema.Â ElasÂ podemÂ serÂ divididasÂ emÂ quatroÂ seĂ§Ăľes:Â restriĂ§ĂľesÂ aosÂ estadosâ&#x20AC;?limitesÂ (đ?&#x2018;&#x201D; restriĂ§ĂŁoÂ aÂ enrijecedoresÂ (đ?&#x2018;&#x201D; eÂ igualdadesÂ (â&#x201E;&#x17D;

đ?&#x2018;ż );Â restriĂ§ĂŁoÂ aÂ perfisÂ deÂ almaÂ esbeltaÂ (đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż );Â restriĂ§ĂľesÂ geomĂŠtricasÂ deÂ inequaĂ§ĂľesÂ (đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż ).Â DentroÂ daÂ funĂ§ĂŁoÂ deÂ restriĂ§ĂľesÂ geomĂŠtricasÂ đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż );Â đ?&#x2018;ż )Â

đ?&#x2018;ż Â temâ&#x20AC;?se:Â

restriĂ§ĂľesÂ aoÂ ĂndiceÂ deÂ esbeltezÂ (đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż ),Â restriĂ§ĂľesÂ aoÂ valorÂ deÂ đ?&#x2018;&#x2DC; Â (đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż ),Â

đ?&#x2018;ż ),Â soldadosÂ sĂŠrieÂ CSÂ (đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż ),Â

restriĂ§ĂľesÂ aoÂ catalogoÂ deÂ perfisÂ laminadosÂ (đ?&#x2018;&#x201D; soldadosÂ sĂŠrieÂ CVSÂ (đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż )Â eÂ soldadosÂ sĂŠrieÂ VSÂ (đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż ).Â LembrandoÂ queÂ asÂ

funĂ§ĂľesÂ deÂ restriĂ§ĂŁoÂ đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2018;ż Â devemÂ serÂ menoresÂ queÂ zeroÂ eÂ asÂ đ?&#x2019;&#x2030; đ?&#x2018;ż Â iguaisÂ aÂ zero.Â AsÂ variĂĄveisÂ deÂ projetoÂ podemÂ serÂ observadasÂ naÂ FiguraÂ 1.Â Â

106Â

Â FiguraÂ 1Â â&#x20AC;?Â VariĂĄveisÂ geomĂŠtricasÂ emÂ perfilÂ soldadoÂ eÂ laminadoÂ IÂ eÂ H,Â eÂ oÂ vetorÂ XÂ (Fonte:Â autor)Â 3.2

ProblemaÂ comÂ VariĂĄvelÂ DiscretaÂ

OÂ problemaÂ queÂ visaÂ umaÂ soluĂ§ĂŁoÂ discretaÂ foiÂ feitoÂ comÂ baseÂ noÂ AlgoritmoÂ GenĂŠticoÂ (AG).Â ParaÂ transformarÂ oÂ problemaÂ deÂ contĂnuoÂ paraÂ discreto,Â foiÂ necessĂĄrioÂ criarÂ umÂ vetorÂ deÂ codificaĂ§ĂŁoÂ paraÂ serÂ utilizadoÂ naÂ metodologiaÂ doÂ AG.Â EsseÂ vetorÂ ĂŠÂ umÂ binĂĄrio,Â queÂ quandoÂ convertidoÂ paraÂ umÂ nĂşmeroÂ inteiro,Â serĂĄÂ atribuĂdoÂ comoÂ aÂ posiĂ§ĂŁoÂ doÂ perfilÂ naÂ tabelaÂ (equaĂ§ĂŁoÂ (8)).Â Â ParaÂ aÂ formulaĂ§ĂŁoÂ computacionalÂ doÂ problemaÂ utilizandoÂ oÂ OptimizationÂ Toolboxâ&#x201E;˘Â doÂ MATLABÂ 2016a,Â foiÂ necessĂĄrio:Â funĂ§ĂŁoÂ aptidĂŁoÂ (8);Â limiteÂ inferiorÂ eÂ superiorÂ (9);Â funĂ§ĂŁoÂ deÂ restriĂ§ĂľesÂ deÂ inequaĂ§ĂľesÂ nĂŁoÂ linearesÂ (10);Â funĂ§ĂŁoÂ deÂ restriĂ§ĂľesÂ deÂ igualdadeÂ nĂŁoÂ linearÂ (11).Â đ?&#x2018;ż

â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;ż

đ??š đ?&#x2018;ż

(8) đ?&#x153;&#x152;

0 0â&#x20AC;Ś0 0

Ă§

â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;ż

đ??´ đ?&#x2018;ż

đ??ż

1 1â&#x20AC;Ś 1 1

107Â

Â (9)

â&#x17D;§ â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2018;ż

đ?&#x2019;&#x2030; đ?&#x2018;ż

đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż

đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż

đ?&#x2018;&#x201D;

â&#x17D;¨ â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Şđ?&#x2018;&#x201D; â&#x17D;Ş â&#x17D;Š

đ?&#x2018;ż

â&#x17D;Ť â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş

â&#x17D;Ź â&#x17D;Ş đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż â&#x17D;Ş â&#x17D;§ â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;¨ đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż â&#x17D; â&#x17D;Š

(10)

(11)

ObserveÂ queÂ todaÂ aÂ tĂŠcnicaÂ deÂ otimizaĂ§ĂŁoÂ peloÂ algoritmoÂ genĂŠticoÂ serĂĄÂ feitaÂ comÂ baseÂ emÂ umÂ vetorÂ comÂ variĂĄveisÂ binĂĄrias.Â CadaÂ vetorÂ comÂ variĂĄveisÂ binĂĄriasÂ representaÂ umÂ indivĂduoÂ queÂ forneceÂ umaÂ soluĂ§ĂŁoÂ paraÂ oÂ problema.Â EsseÂ vetorÂ ĂŠÂ compostoÂ porÂ umÂ conjuntoÂ deÂ perfis,Â queÂ estĂŁoÂ representadosÂ porÂ valoresÂ binĂĄrios.Â OsÂ limitesÂ superioresÂ eÂ inferioresÂ (9)Â sĂŁoÂ osÂ binĂĄriosÂ queÂ representamÂ oÂ inteiroÂ convertidoÂ mĂnimoÂ eÂ mĂĄximoÂ paraÂ umÂ valorÂ limiteÂ deÂ cĂŠlulas.Â NoteÂ queÂ oÂ valorÂ inteiroÂ paraÂ oÂ binĂĄrioÂ doÂ limiteÂ inferiorÂ ĂŠÂ 0Â eÂ paraÂ oÂ limiteÂ superiorÂ ĂŠÂ variado,Â dependendoÂ doÂ limiteÂ deÂ cĂŠlulas.Â PorÂ exemplo,Â seÂ oÂ valorÂ limiteÂ forÂ 7,Â portantoÂ oÂ valorÂ doÂ inteiroÂ queÂ representaÂ oÂ binĂĄrioÂ doÂ limiteÂ superiorÂ ĂŠÂ 127.Â

FiguraÂ 2Â â&#x20AC;?Â InterfaceÂ principalÂ doÂ programaÂ Structure3DÂ

108Â

A solução do problema de otimização será obtida via método dos Algoritmos Genéticos através de implementações dentro do software desenvolvido Structure 3D, cuja interface gráfica pode ser vista na Figura 2. O programa foi desenvolvido utilizando a ferramenta do GUIDE do MATLAB 2016.a, e além da análise estrutural, o programa verifica os perfis estruturais e otimiza a melhor seção.

Exemplos Comparativos e Resultados

Para validar e mostrar a aplicação do programa alguns exemplos serão apresentados. Alguns resultados são comparados com resultados obtidos na literatura e comparados aplicando as rotinas de otimização desenvolvidas nesse trabalho. 4.1

Exemplo 01 – Pilar com carga axial e flexão assimétrica

Para o primeiro exemplo, foi validado a verificação e a otimização para uma barra com flexão assimétrica e carga axial também apresentado por Fakury et. al (2016).

Figura 3 ‐ Verificação de barra flexo‐comprimida em perfil I soldado (fonte: Fakury et. al, 2016).

109

A figura 3 mostra os esforços solicitantes na estrutura. Para efeito de comparação, foi modelada a estrutura no Structure3D conforme apresentado na Figura 4.

Figura 4 ‐ Pilar com carga axial de compressão e flexão assimétrica Para modelar o pilar no Structure3D foi necessário dividir o pilar em duas barras, já que no centro possuía uma condição de contorno especial (impedimento da rotação em x e translação no eixo z). De acordo com a resolução do exercício, que utilizou o método do MAES, prescrito na ABNT NBR 8800:2008 Anexo D, não precisou alterar os esforços de análise de segunda ordem, já que o coeficiente de amplificação calculado nas duas direções do pilar foi menor que um. Assim, os esforços solicitantes analisados no problema serão os esforços de primeira ordem. Na tabela 1 é mostrado os resultados de forma comparativa entre o programa Structure3D e os resultados presentes em Fakury et. al (2016). 110

TabelaÂ 1Â â&#x20AC;?Â ComparaĂ§ĂŁoÂ dosÂ resultadosÂ dosÂ esforĂ§osÂ resistentesÂ deÂ cĂĄlculo.Â EsforĂ§osÂ ResistentesÂ đ?&#x2018;&#x20AC; , , Â đ?&#x2018;&#x20AC; , , Â đ?&#x2018;&#x20AC; , , Â đ?&#x2018;&#x20AC; , , **Â đ?&#x2018;&#x2030; , đ?&#x2018;&#x20AC; , , Â đ?&#x2018;&#x20AC; , , **Â đ?&#x2018;&#x2030; , đ?&#x2018; ,

UnidadeÂ Structure3DÂ [kN.m]Â 415,40Â [kN.m]Â 404,83Â [kN.m]Â 415,40Â [kN.m]Â 559,74Â [kN]Â 634,77Â [kN.m]Â 121,92Â [kN.m]Â 124,38Â [kN]Â 1.193,20Â [kN]Â 2.601,10Â

FakuryÂ et.Â alÂ (2016)Â *Â 415,55Â 404,87Â 415,55Â â&#x20AC;?Â 634,77Â 121,90Â â&#x20AC;?Â 1.194,00Â 2.606,00Â

*Â ForamÂ obtidosÂ dividindoÂ oÂ esforĂ§oÂ caracterĂsticoÂ peloÂ coeficienteÂ deÂ ponderaĂ§ĂŁoÂ dasÂ resistĂŞncias.Â Â **Â Â đ?&#x2018;&#x20AC; , Â ĂŠÂ oÂ momentoÂ fletorÂ resistenteÂ deÂ cĂĄlculoÂ queÂ asseguraÂ aÂ validadeÂ daÂ anĂĄliseÂ elĂĄstica.Â

Ainda,Â ĂŠÂ necessĂĄrioÂ verificarÂ osÂ esforĂ§osÂ solicitantesÂ comÂ osÂ resistentesÂ calculados.Â ParaÂ aÂ combinaĂ§ĂŁoÂ deÂ esforĂ§osÂ solicitantes,Â oÂ exercĂcioÂ verificouÂ oÂ efeitoÂ combinadoÂ daÂ mesmaÂ formaÂ queÂ foiÂ propostoÂ nesseÂ trabalho,Â eÂ obteveÂ oÂ seguinteÂ resultado:Â Â . .

0,69

0,29

0,98

1,0

đ?&#x2018;&#x201A;đ??ž!

JĂĄÂ osÂ resultadosÂ daÂ verificaĂ§ĂŁoÂ doÂ programaÂ deÂ dimensionamentoÂ doÂ Structure3D,Â podemÂ serÂ visualizadosÂ naÂ figuraÂ 5.Â ObserveÂ queÂ pelosÂ diagramasÂ (figuraÂ 3)Â queÂ aÂ maisÂ solicitadaÂ aosÂ esforĂ§os,Â ĂŠÂ aÂ barraÂ 2.Â Assim,Â aÂ combinaĂ§ĂŁoÂ deÂ efeitosÂ maisÂ desfavorĂĄvelÂ encontraâ&#x20AC;?seÂ naÂ barraÂ 2.Â ComparandoÂ osÂ resistentesÂ comÂ essesÂ solicitantes,Â ĂŠÂ possĂvelÂ obterÂ umaÂ relaĂ§ĂŁoÂ deÂ 0,9797Â (figuraÂ 5),Â valorÂ muitoÂ prĂłximoÂ aoÂ encontradoÂ naÂ literaturaÂ (Eq.Â 12).Â ApĂłsÂ verificarÂ queÂ oÂ dimensionamentoÂ daÂ barraÂ peloÂ Structure3DÂ foiÂ relativamenteÂ igualÂ Ă Â soluĂ§ĂŁoÂ daÂ literatura,Â foiÂ propostoÂ umaÂ otimizaĂ§ĂŁoÂ doÂ pilar,Â comÂ aÂ metodologiaÂ doÂ algoritmoÂ genĂŠtico.Â AÂ otimizaĂ§ĂŁoÂ peloÂ AGÂ foiÂ feitaÂ utilizandoÂ oÂ mesmoÂ catalogoÂ doÂ perfilÂ (serieÂ CVS)Â eÂ comÂ umÂ agrupamentoÂ deÂ todasÂ asÂ barras.Â Â

111Â

(12)

Figura 5 ‐ Resultados da verificação pelo Structure3D. A solução da otimização discreta obteve o mesmo perfil proposto na literatura. Assim, o perfil ótimo do catálogo CVS, que a metodologia do AG encontrou para esse problema, foi o CVS 350 x 73. O fato de a otimização apresentar o mesmo perfil que o proposto na literatura, garante a validade do processo de otimização e verificação. Apesar de não ter encontrado um perfil mais leve, a formulação empregada para esse exemplo mostra que é válida. Assim, pode‐se partir para problemas mais complexos de otimização. 4.2

Exemplo 02 – Pórtico Plano com vão de 30 metros

Nesse exemplo foi verificado e otimizado o dimensionamento de um pórtico plano, com apoios engastados, e carregamento uniformemente distribuído característico de 30 kN/m aplicado na direção contraria a gravitacional. Possui uma altura útil de 9 metros, e altura máxima de 14 metros, com um vão de 30 metros. O pórtico foi modelado no programa comercial CYPE 3D e no programa de análise FTOOL 3.00, para comparação dos esforços solicitantes. Algumas considerações foram determinadas para o dimensionamento. Foi considerado fator de ponderação das ações igual a 1,5. Ainda, utilizou‐se como coeficientes de flambagem por compressão todos iguais a 1,0 e o fator de modificação para diagrama de momento fletor não uniforme, igual a 1,0. A flecha máxima definiu‐se como L/300 112

para todas as 4 barras, e o peso próprio foi considerado na análise. Para uma melhor abordagem dos dados, todas as barras do pórtico foram unificadas para o mesmo grupo, e foram utilizados os perfis soldados da série VS. A figura 6 ilustra a estrutura modelada no Structure3D, com todas as considerações impostas.

Figura 6 – Pórtico Plano com vão de 30 metros modelado no programa de dimensionamento e otimização desenvolvido, Structure3D. A estrutura foi dimensionada no programa CYPE 3D, utilizando a opção “Quick Section Design”, o qual não é uma técnica de otimização ao dimensionamento. Como resultado, foi encontrado o perfil VS 1500x293 como solução para todas as barras. Com a finalidade de comparar os resultados, foi proposto uma modelagem da estrutura no programa de análise FTOOL, o qual os resultados estão na tabela 2, referente aos esforços solicitantes. 113

TabelaÂ 2Â â&#x20AC;&#x201C;Â ComparaĂ§ĂŁoÂ dosÂ EsforĂ§osÂ SolicitantesÂ deÂ CalculoÂ Â

Programa CYPEÂ 3D Ftool Structure3D

Barra 1 2 1 2 1 2

EsforĂ§osÂ SolicitantesÂ deÂ CĂĄlculo MomentoÂ X CortanteÂ y Axial [kN.m] [kN] [kN] 2138,96 420,70 666,13 2138,96 498,90 609,76 2066,50 422,10 643,40 2066,50 476,90 603,90 2066,79 422,16 643,46 2066,79 476,94 603,98

VariaĂ§ĂŁo MomentoÂ X CortanteÂ y [] [] 3,49% â&#x20AC;?0,35% 3,49% 4,60% â&#x20AC;?0,01% â&#x20AC;?0,01% â&#x20AC;?0,01% â&#x20AC;?0,01% â&#x20AC;? â&#x20AC;? â&#x20AC;? â&#x20AC;?

Axial [] 3,52% 0,96% â&#x20AC;?0,01% â&#x20AC;?0,01% â&#x20AC;? â&#x20AC;?

*Â BarrasÂ 4Â eÂ 3Â simĂŠtricasÂ aÂ 1Â eÂ 2,Â respectivamente.

NoteÂ queÂ osÂ esforĂ§osÂ solicitantesÂ doÂ programaÂ desenvolvidoÂ deramÂ iguaisÂ aoÂ programaÂ FTOOL,Â porĂŠm,Â houveÂ pequenaÂ diferenĂ§aÂ comÂ relaĂ§ĂŁoÂ aoÂ programaÂ comercial.Â IssoÂ ocorre,Â pois,Â oÂ programaÂ comercialÂ incluiÂ osÂ efeitosÂ deÂ 2ÂŞÂ ordem,Â eÂ oÂ programaÂ Structure3DÂ apresentaÂ somenteÂ osÂ esforĂ§osÂ deÂ 1ÂŞÂ ordem,Â assimÂ comoÂ oÂ FTOOL.Â Â ComÂ relaĂ§ĂŁoÂ aosÂ esforĂ§osÂ resistentes,Â naÂ tabelaÂ 3,Â mostraÂ umaÂ comparaĂ§ĂŁoÂ doÂ programaÂ Structure3DÂ comÂ oÂ CYPEÂ 3D.Â TabelaÂ 3Â â&#x20AC;&#x201C;Â ComparaĂ§ĂŁoÂ dosÂ EsforĂ§osÂ ResistentesÂ deÂ CĂĄlculoÂ

Programa CYPEÂ 3D Structure3D

Barra 1 2 1 2

EsforĂ§osÂ ResistentesÂ deÂ CĂĄlculo VariaĂ§ĂŁo MomentoÂ X CortanteÂ y AxialÂ (traĂ§ĂŁo) MomentoÂ X CortanteÂ y [kN.m] [kN] [kN] [] [] 4925,92 1121,74 11690,80 0,00% 0,00% 2253,07 1121,74 11690,80 0,00% 0,00% 4925,74 1121,74 11690,80 â&#x20AC;? â&#x20AC;? 2252,99 1121,74 11690,80 â&#x20AC;? â&#x20AC;?

Axial [] 0,00% 0,00% â&#x20AC;? â&#x20AC;?

*Â BarrasÂ 4Â eÂ 3Â simĂŠtricasÂ aÂ 1Â eÂ 2,Â respectivamente.

NoteÂ queÂ osÂ esforĂ§osÂ resistentesÂ deramÂ iguais,Â validandoÂ oÂ cĂĄlculoÂ dessesÂ esforĂ§os.Â Assim,Â validandoÂ aÂ verificaĂ§ĂŁoÂ estrutural,Â foiÂ propostoÂ umaÂ otimizaĂ§ĂŁoÂ peloÂ AlgoritmoÂ GenĂŠticoÂ (AG).Â ParaÂ aÂ otimizaĂ§ĂŁoÂ estruturalÂ foiÂ determinadoÂ algumasÂ consideraĂ§Ăľes.Â ParaÂ oÂ AlgoritmoÂ GenĂŠtico,Â foiÂ utilizadoÂ umaÂ populaĂ§ĂŁoÂ inicialÂ deÂ 200Â indivĂduos,Â comÂ umaÂ geraĂ§ĂŁoÂ daÂ populaĂ§ĂŁoÂ padrĂŁoÂ doÂ prĂłprioÂ MATLAB.Â ParaÂ oÂ critĂŠrioÂ deÂ parada,Â definiuâ&#x20AC;?seÂ umÂ mĂĄximoÂ deÂ 40Â geraĂ§Ăľes,Â eÂ 20Â geraĂ§ĂľesÂ semÂ progresso.Â ParaÂ efeitoÂ deÂ comparaĂ§ĂŁoÂ comÂ osÂ resultados,Â Ă Â estruturaÂ foiÂ otimizadaÂ visandoÂ umaÂ otimizaĂ§ĂŁoÂ contĂnua,Â utilizandoÂ aÂ ProgramaĂ§ĂŁoÂ QuadrĂĄticaÂ SequencialÂ (PQS).Â FoiÂ consideradoÂ comoÂ pontoÂ inicialÂ đ?&#x2018;ż

800 320 0 8 19 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;Â paraÂ todasÂ asÂ

barras.Â OÂ critĂŠrioÂ deÂ paradaÂ ficouÂ definidoÂ comÂ umÂ mĂĄximoÂ deÂ 10.000Â iteraĂ§Ăľes,Â eÂ umaÂ 114Â

tolerância de 10

para a diferença de solução entre um passo e outro. Ainda, definiu

uma tolerância de 10 para o cálculo das restrições. Tabela 4 – Resultados da Otimização do pórtico. Programa CYPE 3D Structure3D

AG PQS

Perfil Massa total [t] VS 1500 x 293 14,52 VS 1500 x 293 14,52 PQS ‐ VS x 231 11,49

Na tabela 4, está o resultado da otimização. Observe que o método de otimização pelo AG obteve o mesmo perfil que o escolhido pelo dimensionamento do CYPE 3D. Apesar do CYPE 3D não executar uma técnica de otimização, foi possível obter o perfil ótimo, pelo fato do processo de agrupamento de todas as barras, que tornou o processo mais simples. De fato, o perfil VS 1500X293 é o perfil ótimo, para a estrutura descrita. Ainda, note que a otimização contínua, PQS, alcançou uma massa total de aço cerca de 20% mais econômica. 4.3

Exemplo 03 – Pórtico Tridimensional com 16 barras

A apresentação do exemplo 3, envolve a verificação e a otimização de um pórtico tridimensional. O pórtico foi modelado no programa comercial CYPE 3D, e foi dimensionado utilizando os perfis soldados. O pórtico é composto por 16 barras, e todas as bases são engastadas. Ainda, possui 2 pavimentos, com 3 m de pé direito, e vão de 10 x 10 metros. Na figura 7.b, é possível visualizar a estrutura modelada no CYPE 3D, e na figura 7.a no Structure3D. O pórtico possui carregamento uniformemente distribuído característico nas vigas, de 40 kN/m, sendo que o fator de ponderação das ações foi considerado como 1,5. Ainda, utilizou‐se como coeficientes de flambagem por compressão todos iguais a 1,0 e o fator de modificação para diagrama de momento fletor não uniforme, igual a 1,0. A flecha máxima definiu‐se como L/300 para todas as barras, e o peso próprio foi considerado na análise. Toda a análise, tanto no programa comercial, quanto no Structure3D foram as de primeira ordem.

115

Primeiramente,Â todasÂ asÂ vigasÂ foramÂ agrupadas,Â assimÂ comoÂ todosÂ osÂ pilares,Â deÂ formaÂ aÂ unificarÂ oÂ dimensionamentoÂ entreÂ osÂ elementos.Â ForamÂ escolhidosÂ somenteÂ osÂ perfisÂ daÂ sĂŠrieÂ CVSÂ daÂ ABNTÂ NBRÂ 5884Â paraÂ dimensionamentoÂ noÂ programaÂ CYPEÂ 3D.Â DessaÂ forma,Â oÂ CYPEÂ 3DÂ dimensionouÂ usandoÂ oÂ â&#x20AC;&#x153;QuickÂ sectionÂ designâ&#x20AC;?Â paraÂ aÂ estruturaÂ oÂ perfilÂ CVSÂ 650Â xÂ 234Â paraÂ asÂ vigas,Â eÂ oÂ perfilÂ CVSÂ 500Â xÂ 194Â paraÂ osÂ pilares.Â OsÂ resultadosÂ dasÂ verificaĂ§Ăľes,Â entreÂ osÂ esforĂ§osÂ solicitantesÂ eÂ resistentesÂ calculados,Â paraÂ osÂ perfisÂ dimensionadosÂ noÂ CYPEÂ 3D,Â podemÂ serÂ visualizadosÂ porÂ meioÂ daÂ figuraÂ 10.Â NoÂ eixoÂ verticalÂ encontraâ&#x20AC;?seÂ aÂ capacidadeÂ resistenteÂ efetiva,Â caracterizadaÂ pelasÂ equaĂ§ĂľesÂ (1)Â eÂ (2)Â eÂ noÂ eixoÂ horizontalÂ sĂŁoÂ ilustradosÂ cadaÂ umaÂ dasÂ barras.Â

(a)Â (b)Â FiguraÂ 7Â â&#x20AC;&#x201C;Â ModeloÂ doÂ PĂłrticoÂ tridimensionalÂ comÂ vigasÂ CVSÂ 650Â xÂ 234Â eÂ pilaresÂ CVSÂ 500Â xÂ 194:Â (a)Â ProgramaÂ Structure3D;Â (b)Â ProgramaÂ ComercialÂ CYPEÂ 3D.Â

OsÂ resultadosÂ comparativosÂ ficaramÂ muitoÂ prĂłximos,Â comÂ umÂ desvioÂ mĂŠdioÂ deÂ 1,0%,Â eÂ todasÂ asÂ verificaĂ§ĂľesÂ atenderam.Â NoteÂ queÂ aÂ linhaÂ vermelhaÂ pontilhada,Â indicaÂ oÂ mĂĄximo,Â quandoÂ oÂ valorÂ doÂ momentoÂ resistenteÂ ĂŠÂ igualÂ aoÂ solicitante.Â AÂ prĂłximaÂ etapaÂ ĂŠÂ aÂ otimizaĂ§ĂŁoÂ daÂ estrutura.Â ParaÂ oÂ PQSÂ utilizouÂ comoÂ pontoÂ inicialÂ oÂ pontoÂ đ?&#x2018;ż

550 450 0 11 22 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;Â paraÂ todosÂ osÂ grupos.Â OÂ critĂŠrioÂ deÂ paradaÂ

ficouÂ definidoÂ comÂ umÂ mĂĄximoÂ deÂ 10.000Â iteraĂ§Ăľes,Â eÂ umaÂ tolerĂ˘nciaÂ deÂ 10

Â paraÂ aÂ

diferenĂ§aÂ deÂ soluĂ§ĂŁoÂ entreÂ umÂ passoÂ eÂ outro.Â Ainda,Â definiuÂ umaÂ tolerĂ˘nciaÂ deÂ 10 Â paraÂ oÂ cĂĄlculoÂ dasÂ restriĂ§Ăľes.Â JĂĄÂ paraÂ oÂ AG,Â utilizouÂ umaÂ populaĂ§ĂŁoÂ inicialÂ deÂ 500Â

116Â

indivíduos, e com uma geração da população padrão do próprio MATLAB. Para o critério de parada, definiu um máximo de 100 gerações, e 50 gerações sem progresso. Os métodos de otimização obtiveram uma solução mais econômica do que a proposta pelo programa comercial CYPE 3D (tabela 5). Ainda, a solução do PQS obteve a solução mais econômica, com uma redução de 46% em comparação com o CYPE 3D. Já a otimização do AG, obteve uma redução de 37% no peso.

Figura 8 ‐ Gráfico de dispersão com as verificações do CYPE 3D e do Structure3D. Os perfis otimizados para o método do AG encontraram uma solução mais econômica para as vigas, porém mais onerosa para os pilares. Para as vigas o AG encontrou o perfil CVS 550 x 123, que é mais leve que o dimensionamento do CYPE 3D. Entretanto, para que a estrutura resistisse, teve que utilizar o perfil mais leve para as vigas, e para os pilares o AG teve que escolher um perfil mais pesado (CVS 550 x 204). Como os pilares são menores em comprimento que as vigas, a mudança de perfis otimizou no peso total da estrutura, oferecendo uma solução mais econômica no geral. Tabela 5 ‐ Comparação do peso (kg) da estrutura entre os métodos do CYPE 3D e o Structure3D (fonte: Autor). Elemento

CYPE 3D

Pilar Viga Peso total*

581,69 2.342,69 23.395,04

Structure3D AG PQS 612,38 567,63 1.228,21 1.011,52 14.724,69 12.633,20

* O peso total é formado pelo peso do pilar mais o peso da viga multiplicado por 8

117

Esses resultados melhores para as vigas e priores para os pilares está relacionada à análise global da estrutura, já que os perfis utilizados nos processos de otimização estão muito próximos do limite na verificação. Assim, a escolha da um perfil mais pesado para os pilares, permitiu que um perfil mais leve pudesse ser utilizado nas vigas, que como possuem comprimento maior, a redução em seu peso permite uma economia maior que uma redução no peso dos pilares. Tabela 6 ‐ Dimensões dos perfis do pórtico tridimensional otimizados (fonte: Autor). Barra

Método CYPE 3D

Pilares

Structure3D

CVS 500 X 194 CVS 550 x 204 CVS 650 X 234 CVS 500 x 123 -

AG PQS

CYPE 3D Vigas

Structure3D

kg/m

Perfil

AG PQS

193,9 204,1 189,2 234,3 122,8 101,2

X bf 500,0 550,0 513,2 650,0 500,0 456,1

d 350,0 400,0 427,7 450,0 350,0 369,5

R 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

tw 16,0 16,0 11,1 16,0 9.5 7,3

tf 25,0 22,4 22,1 22,4 16,0 13,2

Já para a metodologia do PQS, os perfis encontrados não são catalogados, dessa forma, utilizando as restrições relativas aos perfis soldados CVS, pode‐se obter aproximações as dimensões obtidas no catálogo. Abaixo está à tabela com os perfis dos pilares e das vigas otimizadas pelos métodos AG e PQS. CYPE 3D

PQS

Capacidade Resistente Efetiva (%)

100%

0% 0

8 9 Barra

Figura 9 ‐ Comparação do dimensionamento do CYPE 3D com os métodos de otimização AG e PQS.

Em relação aos esforços normalizados, as soluções otimizadas requisitaram uma maior parcela da capacidade resistente disponível. No gráfico da Figura 9 é possível visualizar

118

os esforços normalizados. Note que os resultados pela otimização pelo PQS obtiveram os esforços normalizados bem próximos de 100%. O método do PQS oferece soluções melhores que o AG e o dimensionamento do CYPE 3D. Isso ocorre já que o PQS otimiza os perfis com variáveis contínuas, dessa forma, o seu método consegue alcançar 100% da capacidade resistente efetiva em grande parte das barras, tornando o método que fornece a melhor solução. Entretanto, para efeitos práticos, os perfis otimizados pelo método do PQS não são catalogados, havendo a necessidade de uma fabricação especifica para determinado perfil. Já o método do algoritmo genético, fornece uma solução discreta, com perfis catalogados, e com uma solução melhor que a proposta pelo dimensionamento do CYPE 3D. Note que em algumas barras, o método do AG chegou muito próximo da solução ótima alcançada pelo PQS, que apesar de ser um método discreto, pode alcançar soluções propostas por métodos com variável contínua.

Conclusões

Conforme pode ser observado nos exemplos apresentados, em todos os casos uma solução melhor foi obtida em relação ao problema proposto inicialmente, exceto no segundo exemplo que o perfil ótimo já havia sido definido. No primeiro exemplo, com o pilar submetido a esforços cominados de flexão assimétrica e carga axial, foi possível validar a formulação para a verificação a esforços combinados. Todos os esforços resistentes ficaram muito próximos, com uma mínima diferença no quinto número significativo. Ainda nesse exemplo, foi utilizado à otimização discreta utilizando o Algoritmo Genético, e mostrou‐se que o perfil CVS 350 x 73 é o perfil ótimo da tabela de perfis da série CVS. Para o segundo exemplo, com o pórtico plano, foi apresentado os resultados comparativos entre o Structure3D e o CYPE 3D. Foi possível observar que o método de otimização pelo AG obteve o mesmo perfil que o escolhido pelo dimensionamento do CYPE 3D. De fato, o perfil alcançado pelos dois programas é o perfil ótimo. Ainda, foi possível observar que a otimização contínua alcançou uma solução mais econômica, porém, menos viável para fabricação. 119

Já no terceiro e último exemplo comparativo, com o pórtico tridimensional, foi proposta uma comparação entre o dimensionamento do CYPE 3D com o programa. Em relação à verificação da estrutura, a capacidade resistente efetiva entre o programa comercial e o desenvolvido nesse trabalho obteve um desvio percentual de 1% em média. Em relação aos esforços solicitantes, houve uma diferença maior entre o programa CYPE 3D em comparação com o Structure3D. Porém, os esforços resistentes ficaram muito próximos entre o CYPE 3D e o Structure3D. Ainda, houve uma pequena diferença nas deformações entre os dois programas, entretanto, para esse exemplo, a deformação não foi fator determinante no dimensionamento e otimização da estrutura. Apesar das diferenças entre os esforços solicitantes, os resultados ficaram muito próximos, não afetando no resultado final. É importante destacar que o programa Structure3D faz análise estrutural somente em 1º ordem, enquanto o CYPE 3D faz análise de 2º ordem. Com relação à otimização, o Structure3D apresentou uma solução mais leve. O AG forneceu uma estrutura mais leve, cerca de 37% mais leve, em comparação com o exemplo dimensionado no CYPE 3D. Já o PQS informou uma redução de 46%.

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