Revista da Estrutura de Aço | Volume 2 | Número 2 by Prod

Revista da Estrutura de Aço | Revista da Estrutura de Aço | Volume 2 | Número 2

Volume 2 | Número 2 Agosto de 2013

CBCA

Centro Brasileiro da Construção em Aço

Revista da Estrutura de Aço | Volume 2 | Número 2

ARTIGOS Análise elástica dos efeitos da deslocabilidade global em estruturas de aço Luiz Alberto Araújo de Seixas Leal e Eduardo de Morais Barreto Campello 75

Momento fletor resistente de vigas casteladas de aço à flambagem lateral com torção Eduardo Matos Bezerra, Ana Lydia Reis de Castro e Silva, Ricardo Hallal Fakury e Gustavo de Souza Veríssimo 95

Procedimento simplificado para cálculo do momento fletor resistente de instabilidade distorcional em perfis U e Z enrijecidos Luiz Gustavo Fernandes Grossi e Maximiliano Malite 115

Estados limites aplicáveis às vigas alveolares de aço Gustavo de Souza Veríssimo, Washington Batista Vieira, Eliane Gomes da Silveira, José Carlos Lopes Ribeiro, José Luiz Rangel Paes, Eduardo Matos Bezerra e Ana Lydia Reis de Castro e Silva 126

Volume 2. Número 2 (agosto/2013). p. 75-94

ISSN 2238-9377

Análise elástica dos efeitos da deslocabilidade global em estruturas de aço Luiz Alberto Araújo de Seixas Leal* e Eduardo de Morais Barreto Campello Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica, Escola Politécnica, Universidade de São Paulo albertoleal26@hotmail.com, campello@usp.br

Elastic analysis of the global displacement effects in steel structures

Resumo A análise adequada do comportamento de estruturas de aço sujeitas a carregamentos verticais e horizontais requer a consideração dos efeitos da deslocabilidade global. A metodologia recomendada pela norma brasileira ABNT NBR 8800:2008, referente ao projeto de estruturas de aço e mistas de aço e concreto para edifícios, está embasada no chamado "Método da Amplificação dos Esforços Solicitantes", cuja proposta é avaliar esses efeitos de forma aproximada a partir de análises estruturais sob linearidade geométrica. Este artigo busca realizar um estudo comparativo entre essa metodologia aproximada e aquela baseada numa análise geometricamente exata, ambas em regime elástico, de forma a verificar a proximidade entre os resultados obtidos. Palavras-chave: Estruturas de aço, Efeitos da deslocabilidade global, Método da Amplificação dos Esforços Solicitantes, Análise Geometricamente Exata. Abstract The adequate analysis of steel structures subjected to vertical and horizontal loadings requires proper consideration of the global displacements effects. The methodology recommended by the Brazilian code ABNT NBR 8800:2008, regarding the design of steel and composite (steelconcrete) structures for buildings, is based on the so-called "Internal Forces Amplification Method", which aims at evaluating these effects in an approximate manner by means of linear (geometrically speaking) structural analyses. This article purposes a comparative study between this approximate method and the method based on a geometrically exact analysis, both in the elastic regime, in order to verify the proximity of their results. Keywords: Steel structures, Global displacement effects, Internal Forces Amplification Method, Geometrically exact analysis.

*autor correspondente

Volume 2. Número 2 (agosto/2013). p. 75-40 Introdução

ISSN 2238-9377

A análise das estruturas de aço deve envolver um estudo detalhado dos carregamentos externos verticais e horizontais, bem como dos efeitos que os mesmos provocam quando a estrutura se desloca. Diversos autores já verificaram que o aumento nos deslocamentos de uma edificação provoca uma modificação nos esforços solicitantes atuantes nos elementos estruturais e, caso isso não seja corretamente considerado, pode conduzir a resultados bastante inadequados. Em termos do projeto de estruturas, existem diferentes métodos de obtenção dos esforços solicitantes de cálculo. Dentre eles, destacam-se os métodos aproximados, caracterizados em sua grande maioria por fazer a avaliação da estrutura na sua posição indeformada, tais como o método de amplificação dos esforços pelo Coeficiente γz e pelos Coeficientes B1 e B2, previstos e recomendados pelas normas técnicas brasileiras ABNT NBR 6118:2007 e ABNT NBR 8800:2008, respectivamente. Existem, contudo, metodologias que empregam formulações matemáticas e ferramentas computacionais capazes de avaliar o comportamento da estrutura na sua posição deformada, tais como a Análise P-Δ e a Análise Geometricamente Exata. A Análise P-Δ divide a etapa de cálculo em diversos estágios em que a geometria da estrutura é continuamente atualizada, contudo fazendo análises lineares em cada estágio, até que os esforços solicitantes alcancem uma convergência numérica, ou seja, até o ponto onde os resultados praticamente não se alteram de um estágio para outro – se eles convergem para a resposta correta ou não, essa é outra questão. A Análise Geometricamente Exata, por sua vez, é baseada em formulações cinemáticas que não fazem qualquer restrição quanto à magnitude dos deslocamentos e das rotações, o que conduz a equações não lineares complicadas que em geral só podem ser resolvidas por meio do método dos elementos finitos. A relevância no estudo dos tópicos abordados neste artigo se dá pelo fato de que as diversas propostas de análise da deslocabilidade global podem fornecer resultados distintos e, em alguns casos, não reproduzir quantitativamente o que realmente ocorre com os elementos estruturais. Nesse contexto, o objetivo principal deste trabalho é

Volume 2. Número 2 entre (agosto/2013). p. 75-40 verificar a conformidade os métodos aproximadosISSN e a 2238-9377 análise geometricamente

exata em estruturas aporticadas de aço. O método aproximado utilizado aqui é aquele baseado na amplificação dos esforços solicitantes por meio dos coeficientes B1 e B2, proposto pela norma brasileira ABNT NBR 8800:2008. Ele será confrontado com os resultados da análise geometricamente exata obtidos por meio do uso do software PEFSYS. O PEFSYS é um programa de elementos finitos para análise não linear de estruturas que teve o seu desenvolvimento iniciado no âmbito do projeto temático da FAPESP intitulado Análise Não-Linear de Estruturas (Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica, Escola Politécnica da USP, 1995-1998), coordenado pelo pesquisador Paulo de Mattos Pimenta, e que desde então vem sendo extensivamente desenvolvido e ampliado pelo segundo autor deste trabalho. Conclusões acerca dos resultados obtidos são feitas ao final do trabalho.

Método da amplificação dos esforços por meio dos coeficientes B1 e B2

2.1

Considerações iniciais

O método que se baseia na utilização dos coeficientes B1 e B2 propõe avaliar o comportamento dos pórticos de maneira aproximada. A ideia é estimar os efeitos da não linearidade geométrica a partir da amplificação dos esforços solicitantes obtidos com a estrutura em sua posição inicial ou indeformada, isto é, obtidos por meio de análises sob linearidade geométrica. É importante ressaltar que esse método não é a única forma de obtenção dos esforços solicitantes. De acordo com o ANSI/AISC 360 (2005), admite-se, na avaliação da não linearidade geométrica, utilizar qualquer método que considere a influência dos chamados efeitos P-Δ e P-δ. O efeito P-Δ é aquele decorrente dos deslocamentos nodais que ocorrem numa dada estrutura e são comumente denominados – embora essa não seja uma denominação adequada – “efeitos globais de segunda ordem” (ABNT NBR 8800:2008). A Fig. 1 ilustra esquematicamente esse efeito. 77

Volume 2. Número 2 (agosto/2013). p. 75-40 da não retilineidade ISSN 2238-9377 O efeito P-δ, por outro lado, é aquele decorrente dos elementos de

barra (isto é, vigas, pilares e travamentos), gerando os chamados “efeitos locais de segunda ordem” – embora, também aqui, essa não seja uma denominação adequada. A Fig. 2 ilustra esquematicamente esse efeito. A formulação matemática que caracteriza o método baseado nos coeficientes B1 e B2 consiste em estimar os efeitos que os deslocamentos provocam tanto na estrutura como um todo (isto é, avaliar os efeitos P-Δ) quanto em cada uma das barras que a compõem (ou seja, avaliar os efeitos P-δ).

Figura 1 – Efeito global P-Δ

2.2

Coeficiente B1

O coeficiente B1 está relacionado aos efeitos localizados em barras isoladas que compõem a estrutura, isto é, ele é uma medida do efeito P-δ. O problema foi discutido no trabalho de Chen & Wang (1999) e uma maneira de compreender melhor o seu significado é a partir do estudo de elementos estruturais isolados, sujeitos a binários concentrados e forças axiais nas extremidades, conforme ilustrado na Fig. 2.

Figura 2 – Efeito P-δ

Volume 2. Número 2 (agosto/2013). p. duas 75-40extremidades ISSN 2238-9377 A Figura 2(a) mostra o caso geral, onde as possuem momentos M1 e

M2 distintos. Se for analisada a interação entre a flecha δ, vista num ponto intermediário do elemento de barra, e as forças axiais aplicadas nas extremidades, percebe-se que o diagrama de momentos fletores sofrerá uma alteração na sua forma. De fato, o gráfico hachurado mostra quais seriam os esforços internos caso se utilize uma análise sob linearidade geométrica, ao passo que a curva com valores mais críticos fornece uma representação mais realista do comportamento estrutural. Logicamente, a relevância dos efeitos de segunda ordem1 locais dependerá da magnitude dos esforços solicitantes de uma determinada barra. Segundo Chen & Lui (1987), podemos definir 3 (três) situações: Tabela 1. Classificação dos elementos estruturais segundo Chen & Lui (1987)

Um comentário pertinente feito em Chen & Lui (1987) é quanto ao emprego dos termos “primeira ordem (primário)” e “segunda ordem (secundário)”, referente à análise de elementos estruturais sujeitos a flexocompressão. As terminologias usadas não se referem à importância relativa desses dois efeitos, mas sim aparecem por questão de conveniência para distinguir essas duas situações. A norma ABNT NBR 8800:2008 recomenda a seguinte expressão para o cálculo do coeficiente B1: =

≥ 1,0 1 −

(1)

A terminologia “efeito de segunda ordem”, embora amplamente utilizada no meio técnico, não é adequada. Em seu contexto, é mais adequado falar em “efeitos da não linearidade geométrica”, o que os autores fortemente recomendam. Por fazer parte do jargão técnico, contudo, a expressão será mantida (com ressalvas) no presente trabalho.

onde: Volume 2. Número 2 (agosto/2013). p. 75-40

ISSN 2238-9377

Ne é a força axial que provoca a flambagem elástica por flexão da barra no plano de atuação do momento fletor, calculada com o comprimento real da barra, considerando, se for o caso, a imperfeição inicial do material, conforme 4.9.7 [ABNT NBR 8800:2008]; Nsd1 é a força axial de compressão solicitante de cálculo na barra considerada, em análise de primeira ordem (Nsd1 = Nnt + Nlt) [ABNT NBR 8800:2008]; Cm é um coeficiente que depende das condições de aplicação do carregamento ao longo das barras. Se houver forças transversais, a norma brasileira permite que seja adotado, de forma conservadora, o valor Cm=1,0. Por outro lado, se não houver carregamento externo entre os nós da barra, sugere-se adotar o seguinte valor: = 0,60 − 0,40

(2)

Segundo palavras da própria norma, “M1/M2 é a relação entre o menor e o maior dos momentos fletores solicitantes de cálculo na estrutura nt no plano de flexão, nas extremidades apoiadas da barra, tomando como positiva quando os momentos provocarem curvatura reversa e negativa quando provocarem curvatura simples (M1=Mnt1 ; M2=Mnt2)”. Como se vê, a magnitude do coeficiente B1, isto é, do efeito da não linearidade local, depende basicamente da intensidade dos esforços solicitantes e do traçado da linha elástica.

2.3

Volume 2. Número Coeficiente B2 2 (agosto/2013). p. 75-40

ISSN 2238-9377

O coeficiente B2 está relacionado aos efeitos das não linearidades globais da estrutura, isto é, ele é uma medida do efeito P-Δ. É definido pela ABNT NBR 8800:2008 pela equação:

1 1 ∆ ∑

1− ℎ ∑

(3)

onde: ΣNsd é a carga gravitacional total que atua no andar; Rs é um coeficiente de ajuste que depende das características do sistema resistente às ações horizontais; Δh é o deslocamento horizontal relativo entre os pavimentos superior e inferior; ΣHsd é a força cortante no andar; h é a altura do pavimento considerado;

O valor do coeficiente de ajuste Rs, sugerido para as estruturas formadas por pórticos onde a estabilidade lateral é garantida pela rigidez à flexão das barras e pela capacidade de momentos das ligações, é igual a 0,85. Por outro lado, seu valor para os demais sistemas estruturais é Rs=1,0 (ABNT NBR 8800:2008). Quanto ao deslocamento horizontal entre os pavimentos, a ABNT NBR 8800:2008 recomenda que, nos casos em que Δh possui valores diferentes, adote-se o maior dentre eles. A força cortante no andar, retratada pelo termo ΣHsd, é aquela utilizada para encontrar os deslocamentos horizontais na estrutura original ou na estrutura fictícia “lt” (ABNT NBR 8800:2008) A seguir, faz-se uma breve exposição das ideias que deram origem à expressão do coeficiente B2. A simplicidade dessas ideias fez com que algumas normas internacionais adotassem o B2 como medida da não linearidade geométrica global.

Volume 2. NĂşmero 2 (agosto/2013). p. 75-40

ISSN 2238-9377

Figura 3 - Efeitos da nĂŁo linearidade geomĂŠtrica global. Um dos requisitos para o equilĂbrio de um componente estrutural ĂŠ o de que o somatĂłrio dos momentos em relaĂ§ĂŁo a qualquer ponto seja nulo. Analisando tal condiĂ§ĂŁo na posiĂ§ĂŁo indeformada da Figura 3(a), verifica-se que:

+ = Ă&#x2014;

(4)

JĂĄ para barra de pĂłrtico da Figura 3(b), em que os esforĂ§os estĂŁo amplificados pelo coeficiente B2, considerando o equilĂbrio na configuraĂ§ĂŁo deformada tem-se: Ă&#x2014; + ! = Ă&#x2014; + Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x2020;

(5)

onde os momentos Mlt1 e Mlt2 sĂŁo obtidos em anĂĄlise de primeira ordem (SILVA, 2004). O Ăndice â&#x20AC;&#x153;ltâ&#x20AC;? significa â&#x20AC;&#x153;lateral translationâ&#x20AC;? ou â&#x20AC;&#x153;deslocĂĄvel lateralmenteâ&#x20AC;?. As expressĂľes acima permitem que seja encontrada uma equaĂ§ĂŁo similar Ă quela que ĂŠ recomendada pela ABNT NBR 8800:2008. Para isso, basta que seja isolado o coeficiente B2 e seja feita uma substituiĂ§ĂŁo da EquaĂ§ĂŁo (4) em (5): + = Ă&#x2014;

(6)

Ă&#x2014; + ! = Ă&#x2014; + Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x2020;

(7)

â&#x2C6;&#x2018; Ă&#x2014; + â&#x2C6;&#x2018; Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x2020; â&#x2C6;&#x2018; Ă&#x2014;

(8)

Volumeacima 2. Número (agosto/2013). p. 75-40 ISSN 2238-9377 A expressão ainda2 não é a desejável. A proposta de eliminar a análise não linear

por uma de primeira ordem amplificada não está completa, já que a equação (8) ainda é dependente dos deslocamentos de “segunda ordem”. A estratégia proposta por Salmon & Johnson (1997), bem como SILVA (2004), consiste na adoção de uma carga lateral equivalente e amplificada: "#$% = +

∑ × ∆

(9)

∆ = &

∆ = & ' +

(10) ∑ × ∆ (

(11)

Sendo o coeficiente φ um fator de proporcionalidade entre os deslocamentos laterais e o carregamento horizontal de cálculo. O próximo passo é substituir a relação dos deslocamentos de primeira ordem na equação dos deslocamentos de “segunda ordem”, o que conduz a: ∆ = ∆ +

∆ × ∑ × ∆ ∑ ×

(12)

∆ ∆ ∑

1 − ∑

1 = ∆ ∑

1 − ∑

∆ =

(13)

(14)

Segundo SILVA (2004), uma metodologia alternativa para o cálculo do coeficiente B2 foi desenvolvida por Chen & Lui (1987), baseado num conceito de flambagem múltipla dos pilares, sendo também sugerida pelo AISC (1999 apud SILVA, 2004), conforme abaixo: =

1 ∑

1− ∑

(15)

2. Número 2 (agosto/2013). p. 75-40 onde Volume a expressão ΣNe retrata do somatório das forçasISSN que2238-9377 provocam a flambagem

elástica dos componentes estruturais que, efetivamente, pertencem aos sistema lateral resistente no andar considerado.

Método baseado na análise geometricamente exata

Conforme mencionado na introdução, neste trabalho as análises geometricamente exatas foram efetuadas por meio do programa PEFSYS. Para detalhes acerca da teoria de barras em que o mesmo se baseia, refere-se a CAMPELLO (2000), PIMENTA & CAMPELLO (2001), PIMENTA, CAMPELLO & WRIGGERS (2008) e CAMPELLO & LAGO (2013). Cabe aqui apenas destacar que a teoria, além de permitir deslocamentos, rotações e deformações de quaisquer magnitudes, considera a deformação por cisalhamento e também o empenamento não uniforme das seções transversais. O material é admitido em regime elástico (linear ou não linear).

Metodologia

A metodologia aqui adotada consiste na avaliação do comportamento estrutural de 3 pórticos planos, sujeitos a carregamentos verticais e horizontais aplicadas em diferentes estágios, com o objetivo de observar os deslocamentos laterais e os esforços solicitantes máximos obtidos (1) por meio dos coeficientes B1 e B2 e (2) por meio da análise geometricamente exata. A Figura 4 a seguir sintetiza os cinco estudos que serão mostrados através de gráficos e tabelas.

Análise sob Linearidade Geométrica e de Material [LG&M]

Análise com o método aproximado (coeficientes B1-B2)

Análise Geometricamente Exata (PEFSYS)

sem redução das rigidezes [SRR]

com redução das rigidezes[CRR]

com redução das rigidezes [CRR]

Figura 4 - Análise estrutural dos pórticos planos

Volumeimportante 2. Número 2para (agosto/2013). 75-40 ISSN 2238-9377 Um aspecto as análisesp.efetuadas diz respeito ao comportamento do

aço estrutural. O modelo constitutivo presentemente adotado nos pórticos é o elástico linear de Hooke (no caso das análises sob linearidade geométrica) e o hiperelástico de Saint-Venant (no caso das análises geometricamente exatas). Cabe destacar que o primeiro é um caso particular desse último, no caso de as deformações serem pequenas – os deslocamentos e as rotações podem ser quaisquer É válido ressaltar que a não linearidade do material, embora não esteja no escopo deste trabalho, também foi considerada, a título de curiosidade, de maneira aproximada nos exemplos. A norma ABNT NBR 8800:2008, no item 4.9.7.2, sugere que, para estruturas de média deslocabilidade (B2≥1,10), os efeitos da chamada “imperfeição inicial do material” devem ser considerados através de uma redução de 20% da rigidez à flexão e da rigidez axial dos elementos estruturais. Neste contexto, os estudos de caso a seguir contemplam duas situações: análises sem redução das rigidezes (SRR) e análises com redução das rigidezes (CRR). Em todos os casos analisados a seguir, o módulo de elasticidade longitudinal é tomado com o valor de 200 GPa e o módulo de elasticidade transversal com o valor de 77 GPa. No PEFSYS, as vigas e os pilares foram discretizados com elementos de 5 (cinco) centímetros de comprimento (embora uma malha não tão refinada seja suficiente). É importante ressaltar que não é objetivo deste trabalho a verificação da segurança quanto aos Estados Limites Últimos (ELUs), mas sim apenas avaliar a deslocabilidade lateral e os esforços solicitantes decorrentes dos diferentes métodos de análise estrutural.

Estudos de caso

5.1 Pórtico plano com 2 pavimentos

O primeiro pórtico a ser analisado é constituído de dois pavimentos, com ligações rígidas entre as vigas e pilares, sujeito a carregamentos concentrados e uniformemente distribuídos. As vigas têm vão de 12 metros e são perfis W460×89,0. Já os pilares têm comprimento, entre pavimentos, de 6 metros e são perfis W250x89,0.

Volume 2. Número 2 (agosto/2013). p. 75-40 foi admitido ISSN 2238-9377 No que se refere às vinculações na fundação, que os pilares estão

articulados nas mesmas. As vigas são dotadas de travamento lateral contínuo. Em outras palavras, suas translações nodais na direção perpendicular ao plano da estrutura são nulas. Na prática, tal situação é encontrada nos sistemas estruturais dotados de lajes maciças de concreto solidariamente fixadas às mesas superiores das vigas, em geral por meio de pinos ou stud-bolts.

Figura 5. Modelos de cálculo para avaliação do caso 5.1 com os coeficientes B1 e B2 [Modelo com o carregamento de referência Pref].

É válido ressaltar que os carregamentos aplicados são tais que as tensões normais atuantes resultam sempre no regime elástico. O parâmetro de carregamento que provoca esforços internos máximos (P/Pref =10) conduz a tensões normais inferiores à resistência ao escoamento do aço desses perfis, que no caso é σy = 34,5kN/cm2. Para a seção mais solicitada: )=

27940.00 407.86 + = + = 29.09 4 /67 * + 1095.10 113.90

onde: M,N são os esforços solicitantes máximos, detalhados nas Tabelas 2 e 3 a seguir [PEFSYS - CRR]; W,A são, respectivamente, o módulo elástico resistente e a área da seção transversal do pilar.

Volume 2.obtidos Número 2em (agosto/2013). 75-40 solicitantes, ISSN 2238-9377 Os resultados termos de p.esforços coeficientes B1 e B2 e

deslocamentos laterais estão apresentados nas Tabelas 2 a 4 e nas Figuras 6 a 8 a seguir. Nas tabelas, a coluna Δ1 se refere ao valor do deslocamento lateral no topo do pórtico obtido por meio da análise sob linearidade geométrica e de material (LG&M, ver Figura 4), enquanto que Δ2 se refere ao valor desse deslocamento obtido por meio da análise geometricamente exata (PEFSYS).

Tabela 2. Resultados do caso 5.1. Momentos fletores na seção mais solicitada dos pilares [kN.m], valores dos coeficientes B1 e B2 e deslocamentos laterais.

Figura 6. Resultados do caso 5.1. Curvas momentos fletores (na seção mais solicitada dos pilares, em kN.m) versus parâmetro de carregamento.

A partir da avaliação dos resultados da Tabela 2 e da Figura 6, percebe-se que os momentos fletores máximos fornecidos pela metodologia aproximada foram bastante satisfatórios quando comparados com os valores obtidos por meio da análise exata. Alguns autores já haviam constatado a boa correlação entre os métodos, como pode ser visto nas análises de pórticos contraventados e não contraventados feitas por SILVA (2004). No trabalho citado, uma série de estudos de casos para diferentes tipos de análise aproximada chegou à conclusão de que a proposta da norma brasileira de 87

Volume Número 2 (agosto/2013). p. 75-40 2238-9377 "exato" – ao estruturas de2.aço se aproximava satisfatoriamente do ISSN comportamento

menos nos casos estudados. Tabela 3. Resultados do caso 5.1. Esforço normal na seção mais solicitada dos pilares [kN], valores dos coeficientes B1 e B2 e deslocamentos laterais.

Figura 7. Resultados do caso 5.1. Curvas esforço normal (na seção mais solicitada dos pilares, em kN) versus parâmetro de carregamento. Tabela 4. Resultados do caso 5.1. Esforço cortante na seção mais solicitada dos pilares [kN], valores dos coeficientes B1 e B2 e deslocamentos laterais.

Volume 2. Número 2 (agosto/2013). p. 75-40

ISSN 2238-9377

Figura 8. Resultados do caso 5.1. Curvas esforço cortante (na seção mais solicitada dos pilares, em kN) versus parâmetro de carregamento. A partir da avaliação das Figuras 7 e 8, assim como os resultados contidos nas Tabelas 3 e 4, percebe-se que a correlação entre o método aproximado e a análise geometricamente exata é boa e os resultados são praticamente iguais para os esforços normais e esforços cortantes. 5.2 Pórtico plano com 5 pavimentos O segundo pórtico a ser analisado tem 5 pavimentos e apresenta as mesmas características de vinculação e travamento lateral que no caso anterior. Novamente, as vigas são perfis W460x89,0 e têm vão de 12 metros, enquanto que os pilares são perfis W250x89,0 com comprimento de 6 metros entre os pavimentos.

Figura 9. Modelos de cálculo para avaliação do caso 5.2 com os coeficientes B1 e B2 [Modelo com o carregamento de referência Pref].

Volume 2. Número 2 (agosto/2013). 75-40 ISSNno 2238-9377 As tensões normais atuantes nas seçõesp.mais críticas, como caso anterior, também

estão em regime elástico para todos os níveis de carregamento estudados. O parâmetro de carregamento que provoca esforços internos máximos (P/Pref =10) conduz a tensões normais inferiores à resistência ao escoamento do aço desses perfis. Para a seção mais solicitada: )=

27403.00 544.17 + = + = 29.80 4 /67 1095.10 113.90 * +

onde: M,N são os esforços solicitantes máximos, detalhados na Tabela 5 e nas Figuras 10 e 11 [PEFSYS - CRR]; W,A são, respectivamente, o módulo elástico resistente e a área da seção transversal do pilar;

Conforme pode ser visto na Tabela 5 e nas Figuras 10 e 11 a seguir, a correlação entre a metodologia aproximada e a exata permanece satisfatória, mesmo nas situações de grandes deslocabilidades. Tabela 5. Resultados do caso 5.2. Momentos fletores na seção mais solicitada dos pilares [kN.m], valores dos coeficientes B1 e B2 e deslocamentos laterais.

Figura 10. Resultados do caso 5.2. Curvas momentos fletores (na seção mais solicitada dos pilares, em kN.m) versus parâmetro de carregamento. 90

Volume 2. Número 2 (agosto/2013). p. 75-40

ISSN 2238-9377

Figura 11. Resultados do caso 5.2. Curvas esforço normal e esforço cortante (na seção mais solicitada dos pilares, em kN.m) versus parâmetro de carregamento. A Tabela 5 e a Figura 10 mostram que os resultados dos momentos fletores são razoavelmente próximos para os dois métodos. De fato, a discrepância entre as colunas 3 e 5 (Tabela 5) é inferior a 10%, sendo que os resultados obtidos com os coeficientes B1-B2 são sempre ligeiramente maiores (a favor da segurança).

5.3 Pórtico plano com 6 pavimentos O terceiro caso estudado é um pórtico com 6 pavimentos e mesmas características de vinculação, travamento lateral, dimensões e perfis que nos casos anteriores.

Figura 12. Modelos de cálculo para avaliação do caso 5.3 com os coeficientes B1 e B2 [Modelo com o carregamento de referência Pref]. As tensões normais atuantes nas seções mais críticas estão em regime elástico para quase todos os níveis de carregamento estudados. Apenas no último nível (P/Pref =10)

Volume 2. Número 2 (agosto/2013). p. 75-40 2238-9377 ao escoamento as tensões normais na seção mais solicitada ultrapassamISSN a resistência

do aço, resultam em: )=

35213.00 677.67 + = + = 38.10 4 /67 * + 1095.10 113.90

onde: M,N são os esforços solicitantes máximos, detalhados na Tabela 6 e nas Figuras 13 e 14 [PEFSYS - CRR]; W,A são, respectivamente, o módulo elástico resistente e a área da seção transversal do pilar. Os resultados estão apresentados na Tabela 6 e nas Figuras 13 e 14 a seguir. Tabela 6. Resultados do caso 5.3. Momentos fletores na seção mais solicitada dos pilares [kN.m], valores dos coeficientes B1 e B2 e deslocamentos laterais.

Figura 13. Resultados do caso 5.3. Curvas momentos fletores (na seção mais solicitada dos pilares, em kNm) versus parâmetro de carregamento.

Figura 14. Resultados do caso 5.3. Curvas esforço normal e esforço cortante (na seção mais solicitada dos pilares, em kN.m) versus parâmetro de carregamento. 92

Volumeos 2. Número 2 (agosto/2013). 75-40 2238-9377 Novamente, valores obtidos mostramp.que o método ISSN baseado nos coeficientes B1 e

B2 fornece resultados razoáveis frente à análise geometricamente exata. Apenas quando a deslocabilidade lateral começa a ficar muito elevada, com B2 próximo a 2.0 (caso do último nível de carregamento) é que as diferenças entre essas duas metodologias de cálculo começam a ficar significativas (no caso, da ordem de 15%).

Conclusões

A análise de pórticos planos através do método aproximado da norma brasileira de estruturas de aço ABNT NBR 8800:2008 e através do método baseado na teoria geometricamente exata mostrou boa correlação entre os valores de deslocabilidade e de esforços solicitantes, nos três casos analisados. As deslocabilidades laterais dadas pelos valores de B2 estão em boa concordância, em quase todos os casos analisados, com os valores exatos dados pela razão Δ2/Δ1. As discrepâncias observadas nos momentos fletores foram inferiores a 10% em praticamente todos os níveis de carregamento estudados, enquanto que nos esforços normais e esforços cortantes são praticamente desprezíveis (inferiores a 1%). Somente quando a estrutura é extremamente deslocável, com B2 da ordem de 2.0, é que as diferenças começam a ficar significativas. Essas conclusões confirmam, ao menos para os casos estudados, as previsões feitas por outros autores que estudaram o tema. Segundo SILVA (2004), que estudou alguns dos métodos de análise aproximada, o método da amplificação dos esforços baseado nos coeficientes B1 e B2 se mostrou satisfatório e foi o que mais se aproximou dos valores "exatos" (usam-se aqui as aspas porque o método “exato” utilizado pelo autor, embora considere o equilíbrio da estrutura na posição deformada, não é baseado em uma teoria geometricamente exata). A metodologia proposta pela ABNT NBR 8800:2008, pois, é adequada desde que a deslocabilidade da estrutura não seja exagerada.

Referências bibliográficas

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas – NBR8800 Projeto de Estruturas de Aço e de Estruturas Mistas de Aço e Concreto de Edifícios. Rio de Janeiro, 2008.

Volume 2. Número 2 (agosto/2013). p. 75-40 ISSN 2238-9377 ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas – NBR6118 Projeto de Estruturas de Concreto. Rio de Janeiro, 2007. AISC American Institute of Steel Construction – Specifications for structural steel buildings. United States of America, 2005. CAMPELLO, E.M.B. Análise não-linear de perfis metálicos conformados a frio. Dissertação de mestrado. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (USP), 2000. CAMPELLO, E.M.B.; LAGO, L.B. Effect of higher order constitutive terms on the elastic buckling of thin-walled rods. Thin-walled Structures, 2013 (accepted for publication). CHEN, W.F., LUI, E.M. Structural Stability. United States of America, 1987. CHEN, S.-J.; WANG, W-C. Moment amplification factor for P-δ effect of steel beam-column. Journal of Structural Engineering, Vol.125, No.2, 1999. LIMA, J.S. Verificação da punção e da estabilidade global em edifícios de concreto: desenvolvimento e aplicação de recomendações normativas. Dissertação de mestrado, Universidade de São Paulo, 2001. PFEIL, W.; PFEIL, M. Estruturas de Aço: Dimensionamento prático de acordo com a NBR8800:2008. Rio de Janeiro. Editora LTC, 2008. SALMON, C.G.; JOHNSON, J. Steel structures: design and behavior. 4th Edition. HarperCollinsCollegePublishers, 1997. SILVA, R.G.L. Avaliação dos efeitos de 2ª ordem em edifícios de aço utilizando métodos aproximados e análise rigorosa. Dissertação de mestrado, Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), 2004. PIMENTA, P.; CAMPELLO, E.M.B. Geometrically nonlinear analysis of thin-walled space frames. In: Proceedings of the Second European Conference on Computational Mechanics (II ECCM). Cracow, 2001. PIMENTA, P.; CAMPELLO, E.M.B.; WRIGGERS, P. An exact conserving algorithm for nonlinear dynamics with rotational DOFs and general hyperelasticity. Part 1: Rods. Computacional Mechanics, 42, 715-732, 2008.

Volume 2. Número 2 (agosto/2013). p. 95-114

ISSN 2238-9377

Momento fletor resistente de vigas casteladas de aço à flambagem lateral com torção Eduardo Matos Bezerra1, Ana Lydia Reis de Castro e Silva1*, Ricardo Hallal Fakury1 e Gustavo de Souza Veríssimo2 1

Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia, Universidade Federal de Minas Gerais, Av. Antônio Carlos 6627. Bloco I, 31270901, Belo Horizonte, MG, Brasil, lydia@dees.ufmg.br 2 Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Viçosa, Av. P. H. Rolfs, s/n, Campus Universitário, 36571-000, Viçosa, Minas Gerais, Brasil, gustavo@ufv.br

Lateral torsional buckling resistance moment of castellated steel beams

Resumo O trabalho consiste de um estudo para determinação do momento fletor resistente de vigas casteladas para o estado-limite último de flambagem lateral com torção, considerando vínculo de garfo nas extremidades e atuação de momento uniforme, carga uniformemente distribuída e carga concentrada na seção central. Foram realizadas análises numéricas não lineares pelo Método dos Elementos Finitos, utilizando o programa ABAQUS, prevendo comportamentos elástico e inelástico e a influência das tensões residuais. Os resultados foram comparados com valores de momento resistente obtidos pelos procedimentos da norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 e da norma europeia EN 1993-1-1:2005, ambos aplicáveis a perfis de alma cheia. Ao final, ajustou-se a formulação da norma brasileira para aplicação em vigas casteladas, chegando-se a um procedimento de cálculo de fácil utilização prática. Palavras-chave: flambagem lateral com torção, estruturas de aço, análise não linear, vigas casteladas. Abstract In this work, the lateral torsional buckling resistance moment of simple supported doubly symmetric castellated steel beams, when submitted to uniform bending moment, concentrated load at midspan and uniform distributed load, is obtained by finite element analysis. The numerical analysis, using ABAQUS, considers the nonlinear response of the material, the effect of residual stresses and geometrical nonlinear behavior of the structure. The results of the analysis are compared with those obtained by the use of the brazilian code ABNT NBR 8800:2008 and the european standard EN 1993-1-1:2005. The results allowed the adjustment in the expressions for solid web beams of the brazilian code, leading to some practical considerations for the determination of the bending response of castellated beams for this ultimate limit state. Keywords: lateral torsional buckling, steel structures, nonlinear analysis, castellated beams.

*autor correspondente

Introdução

1.1

Fabricação e utilização

As vigas casteladas são fabricadas normalmente a partir de um perfil laminado de seção I, cuja alma é inicialmente cortada longitudinalmente em “zigue-zague”. Em seguida as duas metades são defasadas e as bordas em contato soldadas, formando aberturas hexagonais sequenciais na alma (Figura 1). Esse processo resulta em uma viga com altura de seção transversal até 50% superior à do perfil original, portanto, com momento fletor resistente e rigidez à flexão maiores.

Figura 1 – Corte e soldagem de vigas casteladas (adaptada de Grunbauer, 2010) No Brasil a produção de perfis laminados com características apropriadas para a fabricação de vigas casteladas foi iniciada apenas em 2002, pela Gerdau, com altura de seção transversal variando entre 150 mm e 610 mm. 1.2

Geometria

Na maior parte da Europa, tradicionalmente, são usadas vigas casteladas de padrão Peiner, que possuem as seguintes características (Figura 2): - relação entre altura da viga castelada e altura da abertura (d/d0) igual 1,5 (do também é a altura do perfil original); - lance (deslocamento que uma metade sofre em relação à outra após o corte para formar a viga castelada) igual à altura da viga d; - ângulo de corte dos lados inclinados da abertura hexagonal igual a 63,5o.

Figura 2 – Vigas casteladas de padrão Peiner Outro padrão também usado na Europa é denominado Litzka. Em algumas publicações esse padrão é referenciado como igual ao Peiner (Grunbauer, 2010) e, em outras, apresenta características próprias, mas muito próximas do Peiner. Na Inglaterra, nos Estados Unidos e no Canadá, o padrão normalmente adotado é ligeiramente diferente do Peiner e conhecido como anglo-saxônico, no qual o lance é igual a 1,08 vezes a altura da abertura d0 e o ângulo de corte é de 60o. 1.3

Flambagem lateral com torção (FLT)

A flambagem lateral com torção (FLT) é um estado-limite último aplicável às vigas com perfil I, causado pelo momento fletor atuante em relação ao eixo de maior momento de inércia da seção transversal (eixo x, perpendicular à alma), e caracterizado por movimentos de translação lateral μ(z) e torção Φ(z), conforme ilustra a Figura 3.

Figura 3 – Flambagem lateral com torção (adaptado de Sayed-Ahmed, 2005)

Nas vigas com grande comprimento destravado e pequena relação entre altura e espessura da alma (esbeltez da alma), a FLT ocorre com distorção da alma (flexão lateral da alma) desprezável. No entanto, nas vigas com menor comprimento destravado e alta esbeltez da alma, essa instabilidade pode ocorrer com significativa distorção, fato que reduz o momento fletor resistente. A FLT é um fenômeno já bem estudado nas vigas de alma cheia, mas que ainda necessita de estudos em outros tipos de vigas, como é o caso das casteladas (Kerdal e Nethercot, 1984). 1.4

Momento resistente para FLT de acordo com normas de projeto

A norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 apresenta um procedimento para cálculo do momento fletor resistente nominal à flambagem lateral com torção de vigas com seção I de alma cheia, com vínculo de garfo (empenamento livre e torção impedida) nas extremidades do comprimento destravado, carregamento aplicado na semialtura da seção transversal e seção transversal constante ao longo do comprimento destravado. Nesse procedimento, não é considerada a distorção da alma e o momento resistente é expresso em função de um parâmetro de esbeltez λ, tomado como a razão entre o comprimento destravado da viga, Lb, e o raio de giração da seção transversal em relação ao eixo que passa pelo plano médio da alma (eixo y – Figura 3), ry. Deve-se salientar que o procedimento da ABNT NBR 8800:2008 é igual ao da norma americana ANSI/AISC 360-10, que assume um índice de confiabilidade mínimo de 2,6 e utiliza o princípio de que se a flambagem ocorre em regime elástico, o valor do momento resistente pode ser dado pela equação clássica das vigas com eixo reto, descrita por Timoshenko e Gere (1961), desprezando as imperfeições geométricas iniciais da viga. Se a flambagem ocorre em regime inelástico, são empregadas aproximações que permitem, no limite, que a viga atinja o momento de plastificação. Segundo a norma europeia EN 1993-1-1:2005, o momento resistente nominal é expresso em função de um parâmetro de esbeltez reduzido, dado pela raiz quadrada da razão entre o momento de plastificação e o momento crítico elástico, e de um fator de imperfeição, determinado em função da curva de flambagem aplicável, escolhida 98

com base no tipo de seção transversal. Assim, quando a razão entre a altura da seção transversal e a largura das mesas é maior ou igual a 2, que é situação mais comum nas vigas, para perfis laminados é adotada a curva identificada como b e, para perfis soldados, uma curva mais rigorosa, identificada como d. Se essa razão for menor que 2, adota-se a curva a para perfis laminados e a curva c para perfil soldados. A EN 1993-1-1:2005, de acordo com a EN 1990:2002, considera em seus cálculos um índice de confiabilidade mínimo de 3,8 e, ao contrário das normas brasileira e americana, considera a influência das imperfeições geométricas iniciais, que são tomadas, do lado da segurança, como iguais às das barras axialmente comprimidas. Como ilustração e para efeito de comparação, na Figura 4 é mostrada a variação do momento resistente nominal (MRk) em função do comprimento destravado Lb, pelos procedimentos propostos pela ABNT NBR 8800:2008 e pela EN 1993-1-1:2005 (para as curvas b e d) de uma viga com seção I duplamente simétrica submetida a momento uniforme. Percebe-se claramente que os valores dos momentos resistentes obtidos pela norma europeia são menores que os da norma brasileira (e americana).

Figura 4 – Momento resistente MRk em função do comprimento destravado Lb

1.5

Sobre este trabalho

Este trabalho baseia-se no estudo de Bezerra (2011) e tem como objetivo a determinação do momento fletor resistente para o estado-limite último de flambagem lateral com torção de vigas casteladas de aço com seção duplamente simétrica, de padrões Peiner, Litzka e anglo-saxônico. Para isso foram efetuadas análises numéricas não lineares pelo Método dos Elementos Finitos, prevendo comportamentos elástico e inelástico e a influência das tensões residuais, usando o programa comercial ABAQUS 6.11, da Dassault Systèmes. Também tem como objetivos a proposição de um procedimento de cálculo para a determinação do momento resistente das vigas casteladas que seja de fácil utilização e que tenha por base a formulação da norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 e a avaliação de um procedimento originado da norma europeia EN 1993-1-1:2005, ambos para vigas de alma cheia. Salienta-se que neste trabalho são utilizados para o fenômeno estudado o termo flambagem lateral com torção e a sigla FLT com o intuito de manter a mesma nomenclatura da ABNT NBR 8800:2008, embora sua designação mais precisa seja instabilidade lateral com torção.

2 2.1

Análise Numérica Desenvolvimento da modelagem numérica

Em todos os casos estudados, inicialmente foi feita uma análise linearizada de estabilidade para se obter o autovalor (carga crítica de flambagem) e o autovetor (configuração deformada) correspondentes à flambagem lateral com torção. Em seguida foi realizada uma análise não linear considerando as tensões residuais, o comportamento plástico do material e uma imperfeição geométrica inicial correspondente à configuração deformada do processo anterior, com um fator de curvatura igual a L/1000, onde L é o vão da viga. Foram consideradas tensões residuais nas mesas, com a distribuição simplificada mostrada na Figura 5 (σrc indica tensão residual de compressão e σrt de tração). As tensões residuais na alma foram desconsideradas por não influenciarem significativamente o valor do momento resistente, uma vez que as mesas são os elementos que efetivamente influem na capacidade resistente da viga à FLT. Foi 100

assumido um valor máximo da tensão residual igual a 30% da resistência ao escoamento, percentual prescrito para vigas pela ABNT NBR 8800:2008. σrc = 0,3fy σrt = 0,3fy

Figura 5 – Distribuição das tensões residuais Foi adotado o diagrama tensão versus deformação do aço mostrado na Figura 6, com uma zona elástica e três zonas plásticas, apresentado por Earls (1999) e usado por diversos pesquisadores, como Castro e Silva (2006). σ fu

(fu+fy)/2 1,01fy fy E

εy

(III)

(II)

(I)

εst

εb

εu

Figura 6 – Diagrama tensão versus deformação do aço (adaptado de Earls, 1999) O aço estrutural considerado foi o ASTM A572-Grau 50, usado na fabricação dos perfis laminados brasileiros, que possui resistência ao escoamento fy igual a 345 MPa e resistência à ruptura fu igual a 450 MPa, com o módulo de elasticidade E suposto igual a 200000 MPa. As deformações correspondentes ao final de cada zona plástica foram retiradas do diagrama real tensão versus deformação desse aço, conforme Salmon et

101

al. (2009), de modo que εst, εb e εu (Figura 6) são iguais a 0,01726, 0,05394 e 0,1519, respectivamente. Na modelagem foram utilizados elementos de casca S3 e S4, ambos com seis graus de liberdade por nó. Esses elementos são bastante adequados para análise não linear, material e geometricamente, de placas e seções de aço, uma vez que permitem obter soluções com grande precisão para problemas de flexão (Castro e Silva, 2006). Eles apresentam curvatura dupla, integração completa e deformação finita de membrana. Buscando-se obter uma malha de elementos finitos mais estruturada foi empregado o elemento S3 para discretizar as regiões próximas às aberturas e o elemento S4 nas demais regiões das vigas casteladas (Figura 7). O elemento S4 foi também usado para discretizar todas as vigas de alma cheia estudadas.

Figura 7 – Discretização da malha estruturada de elementos finitos As vigas foram consideradas biapoiadas, com comprimento destravado igual ao vão, as duas extremidades com empenamento livre e torção impedida, simulando vínculo de garfo, e submetidas a três casos de carregamento, escolhidos de modo a representarem situações extremas do comportamento, quais sejam, momento fletor constante, carga uniformemente distribuída e carga concentrada no meio do vão, sendo as cargas aplicadas sempre no nível da semialtura da seção transversal. 2.2

Aferição da modelagem numérica

Para aferição da modelagem numérica, primeiramente foram feitas análises linearizadas de estabilidade em vigas biapoiadas de alma cheia de seção I duplamente simétrica, submetidas aos casos de carregamento citados no subitem 2.1. Os valores 102

obtidos foram sempre inferiores aos momentos resistentes calculados de acordo com a norma brasileira ABNT NBR 8800:2008, com diferença máxima de apenas 3%. Em seguida foi feita a análise não linear de uma viga de alma cheia submetida a momento fletor uniforme e os valores encontrados foram comparados com os fornecidos pelo Programa FLT, desenvolvido por Souza (1999), que permite obter valores confiáveis do momento resistente à FLT considerando as não linearidades dos modelos. Observou-se grande concordância dos resultados. Ainda para aferição da modelagem numérica, foram feitas análises não lineares de vigas casteladas de aço, no padrão anglo-saxônico, ensaiadas por Nethercot e Kerdal (1982) sob ação de momento constante. Observou-se que a diferença máxima entre resultados numéricos e experimentais foi igual a 9%, que pode ter ocorrido por não se conhecer a distribuição exata das tensões residuais do perfil. Com base nos resultados obtidos, considerou-se validada a modelagem numérica desenvolvida.

Resultados

3.1

Casos estudados

Foram estudadas vigas casteladas com os padrões Peiner (seus resultados valem também para o padrão Litzka, dada à proximidade entre suas geometrias) e anglosaxônico, criadas a partir de perfis laminados fabricados no Brasil pela Gerdau, com as especificações apresentadas na Tabela 1 (tomou-se um perfil com altura na faixa inferior dos perfis fabricados no Brasil, um na faixa intermediária e outro na faixa superior), e foram considerados os três casos de carregamento citados no subitem 2.1 (momento fletor constante, carga uniformemente distribuída e carga concentrada no meio do vão, sendo as cargas aplicadas no nível da semialtura da seção transversa)l. Tabela 1 – Vigas originais e casteladas estudadas Vigas originais

Vigas casteladas padrão Peiner

W 150 x 18 W 360 x 51 W 610 x 140

VCP 229,5 x 102 x 7,1 x 5,8 VCP 532,5 x 171 x 11,6 x 7,2 VCP 925,5 x 230 x 22,2 x 13,1

103

Vigas casteladas padrão anglosaxônico VCA 229,5 x 102 x 7,1 x 5,8 VCA 532,5 x 171 x 11,6 x 7,2 VCA 925,5 x 230 x 22,2 x 13,1

Com os valores obtidos na análise numérica para as vigas casteladas, foram traçadas curvas do momento fletor resistente nominal, MRk, em função do comprimento destravado, Lb. Essas curvas foram comparadas com as obtidas pelo procedimento de cálculo da norma ABNT NBR 8800:2008 para vigas de alma cheia hipotéticas com a mesma altura de seção transversal e também para vigas constituídas pelos perfis que deram origem às vigas casteladas. As curvas foram comparadas ainda com os valores fornecidos pelo procedimento de cálculo da norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 para vigas de alma cheia, mas adaptado para vigas casteladas utilizando-se as propriedades geométricas da seção transversal líquida no centro das aberturas, conforme prescrito pela norma britânica BS 5950-1:2000, e utilizando para a constante de empenamento Cw: - a expressão apresentada por Bradley (2003), determinada considerando a seção transversal formada apenas por dois “tês” isolados, dado por: 3 3 3 1 bf t f  h − d0  3  + Cw =   tw  18  4  2  

(1)

onde bf é a largura e tf a espessura das mesas, h é a altura e tw a espessura da alma e d0 é a altura da abertura (ver Figuras 2 e 3). - a mesma expressão dos perfis de alma cheia, a exemplo alguns pesquisadores, entre eles Kohnehpooshi e Showkati (2009): Cw =

I y h 2s 4

(2)

onde Iy é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo que passa pelo plano médio da alma e hs a distância entre os centroides das duas mesas. 3.2

Curvas do momento fletor resistente nominal

Para cada um dos casos de carregamento e para os três perfis de vigas originais (Tabela 1), foram obtidas as curvas do momento fletor resistente nominal, MRk, em função do comprimento destravado, Lb, para todas as situações descritas no subitem precedente, como se vê nas Figuras 8 a 10.

104

Vigas derivadas do perfil W 150 x 18

Vigas derivadas do perfil W 360 x 51

Vigas derivadas do perfil W 610 x 140

Figura 8 â&#x20AC;&#x201C; Momento fletor resistente de vigas sob momento constante

Vigas derivadas do perfil W 150 x 18

Vigas derivadas do perfil W 360 x 51

Vigas derivadas do perfil W 610 x 140

Figura 9 â&#x20AC;&#x201C; Momento fletor resistente de vigas sob carga uniformemente distribuĂda 105

Vigas derivadas do perfil W 150 x 18

Vigas derivadas do perfil W 360 x 51

Vigas derivadas do perfil W 610 x 140

Figura 10 – Momento fletor resistente de vigas sob carga concentrada no meio do vão 3.3

Avaliação

Observa-se que o uso do valor da constante de empenamento da Eq. (1) não conduz a resultados representativos do comportamento da viga castelada, sendo mais correto o emprego do valor da Eq. (2). Além disso, os padrões Peiner e anglo-saxônico de vigas casteladas apresentaram curvas de momento fletor resistente praticamente iguais, o que pode ser explicado pelo fato de as diferenças geométricas entre ambos serem pequenas. Verifica-se, como esperado, que as vigas casteladas possuem momento fletor resistente superior ao do perfil original, por terem a altura da seção ampliada em 50%. Comparando-as com as vigas de alma cheia hipotéticas de mesma altura, verifica-se uma redução da capacidade resistente, pois, estas apresentam menor distorção da alma. Como ilustração, a Figura 11 mostra um caso de viga castelada submetida a momento constante, em que a distorção da alma na seção central pode ser claramente observada.

106

Figura 11 – Flambagem lateral com torção acompanhada de distorção da alma Utilizando as expressões de cálculo para o momento fletor resistente da ABNT NBR 8800:2008 com as propriedades geométricas calculadas no centro da abertura, e com a constante de empenamento da Eq. (2), no regime elástico (quando Lb supera Lr), obtêm-se valores inferiores, mas próximos daqueles encontrados na análise numérica, com diferença máxima de 10% (Figuras 8 a 10). Essa diferença pequena ocorre porque, para maiores comprimentos, a flambagem lateral com torção ocorre sem distorção significativa da alma. À medida que os vãos diminuem, para valores menores que Lr, a diferença entre os valores dos momentos encontrados na análise numérica em relação aos valores da ABNT NBR 8800:2008 se eleva, em função do aumento da influência da distorção da alma e pela ocorrência de outros fenômenos acoplados, como flambagens locais da mesa comprimida e da alma, conforme se vê na Figura 12. Para vigas muito curtas, essa superposição dos modos de flambagem impede que se atinja o momento de plastificação total da seção, obtendo-se valores situados entre 88% e 95% desse momento.

Figura 12 – Acoplamento de modos de flambagem 107

4 4.1

Procedimentos de cálculo Proposição de procedimento com base na ABNT NBR 8800:2008

Tendo como referência os resultados apresentados e avaliados no item 3, propõe-se um procedimento de cálculo do momento fletor resistente para o estado-limite de flambagem lateral com torção para vigas casteladas, de padrões Peiner, Litzka e anglosaxônico, tendo como base o procedimento da norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 para vigas de alma cheia. Nessa proposição, são feitos os seguintes ajustes nas prescrições da norma com o objetivo de fazer com que os resultados se aproximem dos resultados da análise numérica, procurando estar sempre do lado da segurança: - substituição do valor de Lr por um valor corrigido, aumentado em 20%, representado por Lr,cor; - consideração de que o momento fletor resistente máximo é igual a 90% do momento de plastificação, Mpl. Além disso, propõe-se considerar as propriedades geométricas da seção líquida no centro das aberturas, com a constante de empenamento determinada conforme Kohnehpooshi & Showkati (2009), ou seja, pela Eq. (2). Assim, o procedimento proposto pode ser resumido da seguinte forma: - se Lb > Lr,cor, com

Lr ,cor =

1,656 I y J J β1

1+ 1+

27 Cw β1 Iy

(3)

o momento resistente, no caso igual ao momento crítico elástico Mcr, é obtido por M Rk = M cr =

2 Cw  J Lb  1 + 0,039  I y  Cw 

Cb π 2 E I y Lb

(4)

onde Iy é o momento de inércia em relação ao eixo central que passa pelo plano médio da alma, J é a constante de torção e Cw é a constante de empenamento da seção transversal, e

β1 =

0,7 f y Wx EJ

108

(5)

sendo E o módulo de elasticidade e fy a resistência ao escoamento do aço e Wx o módulo resistente elástico da seção transversal em relação ao eixo central perpendicular à alma. - se Lp < Lb ≤ Lr,cor, com Lp = 1,76 ry

E fy

(6)

onde Lp é o valor do comprimento destravado abaixo do qual a flambagem lateral não ocorre e ry é o raio de giração em relação ao eixo central que passa pelo plano médio da alma, tem-se que  L − Lp  M Rk = Cb 0,90M pl − (0,90M pl − M r ,cor ) b  ≤ 0,90M pl Lr ,cor − Lp  

(7)

onde Mpl é o momento de plastificação da seção e Mr,cor é o momento fletor correspondente ao início do escoamento, ajustado em função do valor de Lr,cor, igual a M r ,cor =

0,31 E I y 1000 Cw + 39 J L2r ,cor 2 Lr ,cor

(

)

(8)

- se Lb ≤ Lp

M Rk = 0 ,90 M pl 4.2

(9)

Com base na EN 1993-1-1

Conforme se viu no subitem 1.4, de acordo com a norma europeia EN 1993-1-1:2005, as curvas de momento resistente relacionadas ao estado-limite de flambagem lateral com torção dependem de o perfil ser soldado ou laminado e da relação entre altura e largura do perfil I, d/bf, mas são aplicáveis apenas a perfis de alma cheia. Segundo Lakusic et al. (2008), a classificação das vigas casteladas como soldadas ou laminadas não é imediata, pois essas vigas são fabricadas normalmente a partir de perfis laminados, mas com a execução de solda na altura média da seção. Além disso, os autores consideram que o processo de fabricação das vigas casteladas faz com que as imperfeições geométricas iniciais sejam maiores que nos perfis l aminados e mais

109

próximas dos perfis soldados. Para tentar resolver a questão, realizaram ensaios com vigas casteladas e recomendaram a curva c para d/bf maior que 2 e a curva b para d/bf igual ou inferior a 2. Observa-se que a EN 1993-1-1:2005 prescreve, respectivamente, as curvas d e c para perfis soldados e as curvas a e b para perfis laminados. 4.3

Comparação entre procedimentos

Nas Figuras 13 a 15 são fornecidas as curvas momento resistente versus comprimento destravado obtidas na análise numérica das vigas casteladas dos padrões Peiner (válidas também para o padrão Litzka) e anglo-saxônico, com o uso da formulação proposta com base na ABNT NBR 8800:2008, e da formulação da EN 1993-1-1:2005 com as curvas de flambagem preconizadas por Lakusic et al. (2008), para momento constante, carga uniformemente distribuída e carga concentrada no meio do vão, respectivamente.

Vigas derivadas do perfil W 150 x 18

Vigas derivadas do perfil W 360 x 51

Vigas derivadas do perfil W 610 x 140

Figura 13 – Curvas MRk x Lb para vigas submetidas a momento constante

110

Vigas derivadas do perfil W 150 x 18

Vigas derivadas do perfil W 360 x 51

Vigas derivadas do perfil W 610 x 140

Figura 14 – Curvas MRk x Lb para vigas submetidas à carga uniformemente distribuída

Vigas derivadas do perfil W 150 x 18

Vigas derivadas do perfil W 360 x 51

Vigas derivadas do perfil W 610 x 140

Figura 15 – Curvas MRk x Lb para vigas submetidas à carga concentrada no meio do vão 111

Comparando-se os valores da análise numérica com os valores do procedimento proposto, para vigas submetidas a momento constante (Figura 13), verifica-se uma diferença máxima de 6%, mais pronunciada nos pequenos vãos, onde o efeito da distorção é maior e não se consegue atingir o momento de plastificação total da seção. Para vigas submetidas à carga uniformemente distribuída e à carga concentrada (Figuras 14 e 15, respectivamente), percebe-se que para vãos maiores que Lr,cor, a diferença atinge 10%, também devido à distorção da alma. À medida que o vão diminui a diferença aumenta e torna-se mais difícil a obtenção dos momentos resistentes na análise numérica, por não ser possível isolar o fenômeno da flambagem lateral com torção, uma vez que outros modos de colapso se manifestam simultaneamente. Observando-se os valores obtidos com a utilização da curva c, sugerida por Lakusic et al. (2008) para as situações em estudo, nos procedimentos da norma europeia EN 1993-1-1:2005, percebe-se momentos resistentes muito menores do que os obtidos pela análise numérica, com diferenças entre 15% e 35%. Esse conservadorismo nos resultados pode ser explicado com base no exposto no subitem 1.4. Evidentemente, ao se usar o procedimento da norma europeia, atinge-se o momento de plastificação, pois o fenômeno da flambagem lateral com torção é tratado isoladamente. Assim, para comprimentos destravados muito reduzidos, esse procedimento fornece momentos resistentes maiores que os do procedimento proposto com base na ABNT NBR 8800:2008 e os da análise numérica.

Conclusões

Neste trabalho foi desenvolvido e aferido um modelo numérico, utilizando-se o programa ABAQUS 6.11, para determinação do momento fletor resistente relacionado ao estado-limite último de flambagem lateral com torção de vigas casteladas de aço. Nesse modelo, foram consideradas as não linearidades física e geométrica e a influência das tensões residuais. Foi possível observar que nas vigas casteladas de maiores vãos, especialmente quando a FLT ocorreu em regime elástico, os resultados fornecidos pela norma brasileira se aproximaram muito dos da análise numérica. No entanto, à medida que os vãos 112

diminuíram, com a FLT ocorrendo em regime inelástico ou o colapso ocorrendo por plastificação, os momentos encontrados com a análise numérica se mostraram inferiores aos valores da norma, em função do aumento da influência da distorção da alma e pela ocorrência de outros fenômenos acoplados, como flambagens locais da mesa comprimida e da alma. Para vigas muito curtas, essa superposição dos modos de flambagem impediu que se atingisse o momento de plastificação da seção, obtendo-se no máximo valores situados entre 88% e 95% desse momento. Pela análise das curvas obtidas foi proposto um método para verificação da FLT de vigas casteladas válido para os padrões Peiner, Litzka (pela proximidade de geometria com o padrão Peiner) e anglo-saxônico. Esse método adota como base a formulação da ABNT NBR 8800:2008 para vigas de alma cheia, utilizando-se as propriedades da seção transversal no centro das aberturas e a constante de empenamento dada pela Eq. (2), aumentando-se em 20% o comprimento relacionado ao início do escoamento e limitando-se o momento fletor resistente máximo a 90% do momento de plastificação. Foi também avaliada a utilização às vigas casteladas do procedimento da norma europeia EN 1993-1-1:2005 para perfis de alma cheia, utilizando-se a curva de flambagem c para levar em conta as imperfeições, como sugerido por Lakusic et al. (2008) e também as propriedades da seção transversal no centro das aberturas e a constante de empenamento dada pela Eq. (2). Observou-se que esse procedimento levou a momentos resistentes muito menores do que os da análise numérica, principalmente pelo fato de a norma europeia adotar curvas de flambagem para flambagem lateral com torção em que se considera uma série de imperfeições, a rigor as mesmas imperfeições de barras axialmente comprimidas e ao seu alto índice de confiabilidade (maior, por exemplo, que o índice das normas brasileira e americana).

Agradecimentos

À FAPEMIG, à CAPES e ao CNPq, que tornaram possível a elaboração deste trabalho.

113

Referências bibliográficas

ABNT NBR 8800:2008. Projeto de Estruturas de Aço e de Estruturas Mistas de Aço e Concreto de Edifícios, Associação Brasileira de Normas Técnicas, 2008. ANSI/AISC 360-10. Specification for Structural Steel Buildings, American Institute of Steel Construction, AISC, Chicago, Illinois, USA. 2010. BEZERRA, E.M. Determinação do momento fletor resistente à flambagem lateral com torção de vigas de aço casteladas. Dissertação de Mestrado, Programa de Pósgraduação em Engenharia de Estruturas, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2011. BRADLEY, T.P. Stability of Castellated Beams During Erection. Master’s Thesis, Virginia Tech, 2003. BS 5950-1:2000. British Standards Institution (BSI), Structural use of steel in building – Part1: Code of practice for design – Rolled and welded sections, 2001. CASTRO E SILVA, A.L.R. Análise numérica não-linear da flambagem local de perfis de aço estrutural submetidos à compressão uniaxial. Tese de Doutorado, Programa de Pós-graduação em Engenharia de Estruturas, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2006. EARLS, C. J., Effects of material property stratification and residual stresses on single angle flexural ductility. Journal of Constructional Steel Research, 51:147-175, 1999. EN 1990: 2002, Eurocode 0: Eurocodes – Basis of structural design. Bruxelas. 2002. EN 1993-1-1: 2005, Eurocode 3: Eurocodes – Part 1-1: General rules and rules for buildings. Bruxelas. 2005. GRUNBAUER. Disponível em www.grunbauer.nl, Acessado em 31 de maio de 2010. KERDAL, D. & NETHERCOT, D. A. Failure modes for castellated beams. Journal of Construction Steel Research. 4:295-315, 1984. KOHNEHPOOSHI, O. & SHOWKATI, H. Numerical and Structural Behavior of Elastic Castellated Section. European Journal of Scientific Research, 2:306-318, 2009. LAKUSIC, V., DZEBA, I. & ANDROIE, B. The Buckling curve for lateral-torsional buckling resistance of castellated beams. EUROSTEEL 2008: Graz, Austria, p. 1587-92, 2008. NETHERCOT, D. A. & KERDAL, D. Lateral-torsional buckling of castellated beams. The structural engineer. Vol. 60B. No 3. Set., 1982. SALMON, C.G., JOHNSON, J.E., D. A. & MALHAS, F. A. Steel Structures - Design and Behaviour, 5th Ed. Pearson – Prentice Hall, New Jersey, 2009. SAYED-AHMED, E.Y. Lateral torsion-flexure buckling of corrugated web steel girder. Structures & Buildings, 158:53-69, 2008. SOUZA, L.A. Flambagem lateral com torção de vigas de aço em regime elasto-plástico. Dissertação de Mestrado, Programa de Pós-graduação em Engenharia de Estruturas, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 1999. TIMOSHENKO, S. P. e GERE, J. M. Theory of elastic stability. 2ª edição. New York: McGraw-Hill Kohskusha, 1961.

114

Volume 2. Número 2 (agosto/2013). p. 115-125

ISSN 2238-9377

Procedimento simplificado para cálculo do momento fletor resistente de instabilidade distorcional em perfis U e Z enrijecidos Luiz Gustavo Fernandes Grossi1 e Maximiliano Malite2* 1

Aluno de graduação em Engenharia Civil, EESC-USP, luizgfg@gmail.com 2 Professor Associado, EESC-USP, mamalite@sc.usp.br

A simplified procedure for distortional buckling of lipped channels and Zees in flexure Resumo A norma brasileira de dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio, a ABNT NBR 14762:2010, estabelece que a instabilidade distorcional deve ser considerada no projeto de perfis com enrijecedores de borda, porém não apresenta uma formulação completa para o cálculo do correspondente momento fletor resistente, uma vez que, diferentemente dos modos local e global, não consta uma solução analítica para o momento fletor de flambagem distorcional elástica. Proceder à análise linear de estabilidade elástica por meio de programas de computador resolve o problema, porém dificulta a tarefa cotidiana do projetista. Neste trabalho apresenta-se um procedimento simplificado que permite calcular diretamente o momento fletor resistente associado à flambagem distorcional de perfis U e Z enrijecidos, por meio de fórmulas semiempíricas em função de relações geométricas da seção transversal e da resistência ao escoamento do aço. Palavras-chave: estruturas de aço, perfis de aço formados a frio, instabilidade distorcional. Abstract The Brazilian specification as well as other codes for the design of cold-formed steel members state that distortional buckling shall be considered. The design codes, however, does not provide simplified equations to find the critical elastic distortional buckling moment of a member, which is usually found using a computer software. Given the difficulty of performing an elastic stability analysis for every cross-section being designed, this paper aims to provide semi-empirical equations to easily determine the nominal flexural strength for distortional buckling of C and Z sections. The semi-empirical equations presented herein takes in account the cross-section dimensions and the yield stress. Keywords: steel structures, cold-formed steel members, distortional buckling.

* Autor correspondente

115

Introdução

Os perfis de aço formados a frio em geral são constituídos por seções abertas de paredes delgadas resultando, portanto, em elevadas relações largura-espessura dos elementos. Além dos clássicos fenômenos de instabilidade global (da barra como um todo) ou local (instabilidade de chapa), há a possibilidade de ocorrência de outro modo de instabilidade, associado à distorção da seção transversal, que é característico dos perfis com enrijecedores de borda, como por exemplo, perfis U e Z enrijecidos, perfis cartola e perfis rack. Como exemplo, a figura 1 apresenta a curva de flambagem oriunda da análise de estabilidade elástica de um perfil U enrijecido submetido à flexão em torno do eixo de maior inércia (condição biapoiada e momento fletor constante). O primeiro ramo da curva está associado ao modo local (ML), o segundo ao modo distorcional (MD) e o terceiro ao modo global (no caso, flambagem lateral com torção - FLT). Tal análise pode ser feita por meio de programas de computador com base nos método das faixas finitas, método dos elementos finitos ou teoria generalizada de vigas (GBT). Fórmulas analíticas para estimativa do momento fletor de flambagem distorcional elástica de perfis U e Z enrijecidos são apresentadas em Silvestre & Camotim (2004a; 2004b). Diferentemente dos modos local e global, as fórmulas analíticas disponíveis para o cálculo manual da instabilidade distorcional são aproximadas e conduzem a extensas marchas de cálculo. Além disso, em alguns modelos teóricos, os resultados obtidos para o caso de flexão não são satisfatórios. É o caso do modelo australiano, proposto por Lau & Hancock (1987) e incorporado à norma australiana AS/NZS 4600:1996, em que Chodraui et al. (2006) mostram a inconsistência dos resultados da análise de estabilidade elástica na flexão.

116

1500

Tensao critica na mesa comprimida (MPa)

1400

Ue 250x85x17x2 - flexao

1300 1200 1100 1000 900 800 700

ML MD

600 500

MG (FLT)

400 300

(140mm; 348,8MPa) (650mm; 263,4MPa)

200 100 0

100

1000

10000

comprimento de meia onda (mm)

Figura 1 – Exemplo de análise de estabilidade elástica de perfil U enrijecido submetido à flexão via método das faixas finitas - programa CUFSM (Schafer, 2001)

Ellifritt et al. (1998) apresentam um procedimento aproximado, com base em análise paramétrica de perfis U e Z enrijecidos, que resultou na proposição de fórmulas ajustadas aos pontos obtidos na análise. A falha desse estudo consiste no referencial adotado, que foi o modelo australiano e que por sua vez não apresenta bons resultados na flexão. A especificação norte-americana ANSI/AISI S100-2007 apresenta dois procedimentos para cálculo da tensão crítica de flambagem distorcional elástica, sendo o primeiro de simples aplicação, porém conduzindo a resultados insatisfatórios. O segundo leva a melhores resultados, porém com extensa marcha de cálculo, inviabilizando o cálculo manual. A ABNT NBR 14762:2010 apresenta tabelas com valores mínimos da relação D/bw de modo a dispensar a verificação da instabilidade distorcional em perfis U e Z enrijecidos submetidos à compressão ou à flexão em torno do eixo de maior inércia. Tais valores foram obtidos com base em análise de estabilidade elástica de perfis com ampla gama de valores bw/t e bf/bw. Os valores limites da relação D/bw foram definidos tal que o 117

ponto de mínimo da curva do modo distorcional resulte acima do ponto de mínimo da curva do modo local. Entretanto, tal condição não é uma garantia absoluta que o estado-limite último não seja governado pelo modo distorcional. Na flexão, acontece que para a maioria dos perfis usualmente empregados, a relação D/bw resulta inferior ao valor mínimo limite indicado na ABNT NBR 14762:2010, o que implica na necessidade de se calcular o momento fletor resistente associado à flambagem distorcional. Entretanto, não é apresentada uma formulação que permita ao projetista fazer o cálculo manual, restando assim o emprego de programas de computador para a análise de estabilidade elástica. Com o intuito de preencher essa lacuna, apresenta-se aqui um procedimento simplificado (fórmula semiempírica) que permite calcular diretamente o momento fletor resistente associado à flambagem distorcional, com base apenas em relações geométricas da seção transversal e da resistência ao escoamento do aço.

Metodologia de análise e resultados

A ABNT NBR 14762:2010 estabelece na subseção 9.8.2.3 que o momento fletor resistente de cálculo associado à flambagem distorcional deve ser calculado pela expressão:

M Rd =

M Rk

χ dist Wf y γ

... (1)

onde γ é o coeficiente de ponderação da resistência, igual a 1,1

χdist é o fator de redução do momento fletor resistente, associado à flambagem distorcional, calculado por:    χ dist = 1, 0     χ = 1 − 0, 22  1  dist  λdist  λdist

para λdist ≤ 0, 673 ... (2) para λdist > 0,673

λdist é o índice de esbeltez reduzido associado à flambagem distorcional, calculado por: 118

λdist

 Wf y  =   M dist 

0,5

... (3)

W é o módulo de resistência elástico da seção bruta em relação à fibra extrema que atinge o escoamento; Mdist é o momento fletor de flambagem distorcional elástica, o qual deve ser calculado com base na análise de estabilidade elástica.

Conforme já mencionado, a dificuldade enfrentada pelo projetista consiste no cálculo do momento fletor de flambagem distorcional elástica (Mdist), uma vez que não é apresentada uma formulação para o cálculo manual, tornando-se necessário recorrer ao uso de programas de computador para a análise de estabilidade elástica. Diante de tal cenário, o objetivo deste trabalho foi determinar uma fórmula aproximada que permita calcular diretamente o momento fletor resistente associado à flambagem distorcional sem a necessidade do cálculo do momento fletor de flambagem distorcional elástica, inspirada no trabalho de Ellifritt et al. (1998). A metodologia empregada consistiu da análise de estabilidade elástica de 318 perfis U enrijecidos submetidos à flexão em torno do eixo de maior inércia (barras na condição biapoiada e momento fletor constante), impondo-se uma ampla gama de valores das relações D/bw, bf/bw e bw/t, bem como resistência ao escoamento do aço fy na faixa de 250 MPa a 350 MPa. Foi utilizado o programa CUFSM (Schafer, 2001) desenvolvido com base no método das faixas finitas. Os resultados obtidos são válidos também para perfis Z enrijecidos com “flexão restringida”, isto é, flexão apenas em torno do eixo perpendicular à alma. Na figura 2 são apresentadas as faixas de valores dos parâmetros da análise.

119

0,075 ≤ D/bw ≤ 0,25

0,20 ≤ bf/bw ≤ 0,75

30 ≤ bw/t ≤ 200

D/bf ≤ 0,75

250 MPa ≤ fy ≤ 350 MPa bw, bf e D são dimensões nominais dos elementos

Figura 2 – Faixa de variação dos parâmetros adotados na análise

Uma vez determinados os valores de Mdist via programa CUFSM, foram calculados os correspondentes valores do fator de redução do momento fletor resistente associado à flambagem distorcional χdist conforme eq. (2). Todos os valores de χdist inferiores a 1,0 foram plotados em função de um parâmetro combinado α, definido por: 1,1

b  b  α = 0, 001 f   w   t  D

0,8

fy 300

(f y em MPa)

... (4)

Finalmente foi ajustada uma função polinomial, pelo método dos mínimos quadrados, correlacionando χdist com o parâmetro α (figura 3) e dada por:

χ dist =

M Rk = −0, 098α 3 + 0,536α 2 − 1, 056α + 1,1 ≤ 1, 0 Wf y

... (5)

Na abordagem proposta o índice de esbeltez reduzido associado à flambagem distorcional (λdist) deixa de ser utilizado, uma vez que o momento fletor resistente é função apenas do parâmetro α. Para a gama de perfis analisados, o parâmetro α variou de 0,1 a 2,7 o que corresponde a um intervalo de 0,6 a 3,2 para λdist.

120

1,1 1,0 0,9

U e Z com enrijecedor a 90

χdist = MRk / Wfy

0,8

0,7

Eq. 5

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

1,1

0,8

2,5

3,0

α = 0,001(bf / t) (bw / D) (fy / 300)

Figura 3 – Conjunto de valores da análise paramétrica e curva ajustada

Na figura 4 é apresentada a dispersão dos resultados, considerando a relação entre os valores obtidos pela fórmula proposta (eq. 5) e os valores correspondentes obtidos com base no procedimento da ABNT NBR 14762:2010 e análise de estabilidade elástica via programa CUFSM. O desvio máximo resultou igual a 20% (a favor ou contra a segurança). Considerando apenas perfis padronizados pela ABNT NBR 6355:2012, isto é, perfis usuais no mercado brasileiro, a fórmula proposta (eq. 5) conduziu a resultados sempre a favor da segurança, com desvio máximo de 18% (figura 5). Na figura 6 é apresentada a relação entre resultados obtidos pela fórmula proposta (eq. 5) e resultados experimentais de perfis U enrijecidos submetidos à flexão conduzidos por Yu & Schafer (2006). Observa-se também desvio máximo de 20% sendo que, à exceção de um único resultado, todos os demais são a favor da segurança.

121

1,4

MRk (eq. 5) / MRk (NBR + CUFSM)

1,2

1,0

0,8

0,6

U e Z com enrijecedor a 90

média = 0,98 cv = 7,12%

0,4

0,2

0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

1,1

0,8

2,5

3,0

α = 0,001(bf / t) (bw / D) (fy / 300)

Figura 4 – Relação entre a fórmula proposta (eq. 5) e o procedimento da ABNT NBR 14762:2010 com análise de estabilidade elástica via CUFSM

1,4

MRk (eq. 5) / MRk (NBR + CUFSM)

1,2

1,0

0,8

0,6 o

U e Z com enrijecedor a 90 (conforme ABNT NBR 6355:2012)

0,4

0,2

0,0 0,0

0,2

0,4

0,6 1,1

0,8

1,0

1,2

0,8

α = 0,001(bf / t) (bw / D) (fy / 300)

Figura 5 – Relação entre a fórmula proposta (eq. 5) e o procedimento da ABNT NBR 14762:2010 com análise de estabilidade elástica via CUFSM, considerando apenas perfis padronizados pela ABNT NBR 6355:2012

122

1,4

MRk (eq. 5) / MRk (experimental)

1,2

1,0

0,8

0,6

Resultados experimentais o U com enrijecedor a 90 Yu & Schafer (2006)

0,4

0,2

0,0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,1

1,0

1,2

0,8

α = 0,001(bf / t) (bw / D) (fy / 300)

Figura 6 – Relação entre a fórmula proposta (eq. 5) e resultados experimentais de perfis U enrijecidos obtidos por Yu & Schafer (2006)

Exemplo de cálculo

Apresenta-se a seguir o cálculo do momento fletor resistente associado à flambagem distorcional de um perfil U enrijecido (Ue 250x85x17x2,00) por meio da fórmula semiempírica proposta neste trabalho (eq. 5). Considerando fy = 350 MPa, resulta: 1,1

b  b  α = 0, 001 f   w   t  D

χ dist =

0,8

1,1

 85   250  = 0,001    300  2   17  fy

0,8

350 = 0,62 300

M Rk = −0, 098 x0, 623 + 0,536 x0, 622 − 1, 056 x0, 62 + 1,1 = 0, 63 Wf y

M Rk = χ distWf y = 0, 63 x66,8 x35 = 1.473kN .cm

Tomando-se como referência o momento fletor resistente obtido pela curva de dimensionamento da ABNT NBR 14762:2010 e análise de estabilidade elástica via programa CUFSM (ver figura 1), resulta:

σ dist = 26,34kN / cm 2

→ M dist = W σ dist = 66,8 x 26,34 = 1.760kN .cm

123

(notar que a tensão crítica de flambagem distorcional σdist corresponde ao segundo ponto de mínimo da curva de flambagem indicada na figura 1)

Pelas equações (1) a (3), resulta:

λdist

 Wf y  =   M dist 



χ dist = 1 − 

0,5

 66,8 x35  =   1.760 

0,5

= 1,15

0, 22  1  0, 22  1 = 1 − = 0,70  λdist  λdist  1,15  1,15

M Rk = χ distWf y = 0, 70 x66,8 x35 = 1.637 kN .cm

Pelo procedimento simplificado aqui proposto, resultou M Rk = 1.473kN .cm (diferença de 10% a favor da segurança).

Conclusões

Por meio de uma análise paramétrica de perfis U enrijecidos, submetidos à flexão em torno do eixo de maior inércia (barras na condição biapoiada e momento fletor constante), foi determinada uma fórmula aproximada (semiempírica) que permite calcular diretamente o momento fletor resistente associado à flambagem distorcional, em função de um parâmetro associado a relações geométricas da seção e à resistência ao escoamento do aço. A fórmula proposta é válida para as faixas de valores dos parâmetros adotados na análise e é também aplicável a perfis Z enrijecidos (enrijecedores a 90o) com “flexão restringida”, isto é, flexão em torno do eixo perpendicular à alma. Os resultados, quando comparados aos obtidos com base no procedimento da ABNT NBR 14762:2010 e análise de estabilidade elástica via método das faixas finitas, apresentaram desvio máximo de 20% (a favor ou contra a segurança). Considerando apenas perfis padronizados pela ABNT NBR 6355:2012, isto é, perfis usuais no mercado brasileiro, a fórmula proposta conduziu a resultados sempre a favor da segurança. A comparação com resultados experimentais indicou também desvio

124

máximo de 20% sendo que, à exceção de um único resultado, todos os demais são a favor da segurança. Conclui-se que o procedimento proposto é satisfatório para cálculos preliminares, uma vez que o momento fletor resistente de instabilidade distorcional pode ser estimado rapidamente com base apenas em relações geométricas da seção transversal e da resistência ao escoamento do aço.

Agradecimentos

Ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) pela concessão da bolsa de iniciação científica.

Referências bibliográficas

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125

Volume 2. Número 2 (agosto/2013). p. 126‐144

ISSN 2238‐9377

Estados limites aplicáveis às vigas alveolares de aço Gustavo de Souza Veríssimo1*, Washington Batista Vieira2; Eliane Gomes da Silveira3; José Carlos Lopes Ribeiro4; José Luiz Rangel Paes5; Eduardo Matos Bezerra6; Ana Lydia Reis de Castro e Silva7

Professor Adjunto, DEC/UFV, email: gustavo@ufv.br 2 Estudante de Doutorado, DEC/UFV, email: washington.vieira@ufv.br 3 Mestre em Engenharia Civil, UFV, email: eliane.silveira@ufv.br 4 Professor Adjunto, DEC/UFV, email: jcarlos.ribeiro@ufv.br 5 Professor Adjunto, DEC/UFV, email: jlrangel@ufv.br 6 Mestre em Engenharia de Estruturas, DEES/UFMG 7 Professora Adjunta, DEES/UFMG, email: analydiarcs@gmail.com Universidade Federal de Viçosa, Av. P. H. Rolfs, s/n, 36570‐000, Viçosa – MG.

Limit states for steel cellular beams Resumo As vigas alveolares de aço foram muito usadas na Europa durante um período, tendo caído em desuso devido ao aumento dos custos de fabricação. Recentemente voltaram a figurar como uma solução competitiva, devido aos avanços tecnológicos em automação de corte e solda do aço estrutural. Observa‐se um ressurgimento do interesse por esses elementos estruturais, motivado pelas vantagens técnicas e estéticas que oferecem e pelo início da produção de perfis I de aço laminados no Brasil, a partir de 2002. Neste trabalho apresenta‐se um estudo dos estados limites aplicáveis às vigas alveolares de aço, tendo em vista as caraterísticas dos perfis I laminados atualmente produzidos no Brasil, considerando alguns padrões de fabricação consagrados. Propõem‐se alguns procedimentos de dimensionamento. Palavras‐chave: viga, viga castelada, viga celular, viga alveolar, estrutura metálica. Abstract Cellular steel beams were widely used in Europe for a period, having fallen into disuse due to rising manufacturing costs. Recently cellular beams back to figure as a competitive solution due to technological advances in automated cutting and welding of structural steel. It has been observed a resurgence of interest in cellular beams, motivated by technical and aesthetic advantages they offer and, particularly in Brazil, by the start of production of I‐shaped hot rolled steel profiles, from 2002. This paper presents a study of the limit states for cellular steel beams, considering the characteristics of rolled steel beams currently produced in Brazil, considering some famous manufacturing patterns, including guidelines for dimensioning. Keywords: beam, castellated beam, cellular beam, design, steel structures.

Introdução

As vigas alveolares de aço surgiram na Europa por volta de 1930, devido à necessidade de perfis com altura superior à dos perfis I produzidos pela indústria da época. São 126

fabricadas a partir de perfis I laminados, cortados longitudinalmente segundo um traçado próprio que possibilita destacar as duas metades obtidas, deslocá‐las e soldá‐ las, formando uma viga com altura superior à do perfil original, com uma sequência de aberturas na alma, como mostrado na Figura 1.

Figura 1: Esquema do procedimento utilizado na fabricação de vigas casteladas (a) sem chapa intermediária e (b) com chapa intermediária (GRÜNBAUER, 2012). Por um tempo, as vigas alveolares caíram em desuso devido aos custos de fabricação envolvidos, até que, mais recentemente, devido aos avanços tecnológicos na área de automação que possibilitam a execução de tarefas de corte e de solda a baixo custo, as vigas alveolares voltaram a ser competitivas, ressurgindo o interesse por essa solução. Embora alguns estudos com vigas alveolares tenham sido realizados no passado, os avanços tecnológicos recentes têm possibilitado o desenvolvimento de aços mais resistentes e perfis com chapas mais esbeltas. Eventualmente, uma combinação desses dois fatores pode alterar a importância relativa dos modos de colapso possíveis, bem como criar a possibilidade de novos modos, que não ocorriam com os perfis mais antigos e, portanto, não eram contemplados nos estudos feitos no passado. Além disso, a fabricação de perfis laminados brasileiros iniciou‐se em 2002 e alguns desses perfis possuem esbeltez de alma superior à dos perfis típicos da época em que as vigas alveolares foram inicialmente utilizadas.

127

Recentemente, tem‐se observado uma busca crescente por critérios e procedimentos de projeto aplicáveis às vigas alveolares no Brasil. Em função dessa necessidade e da inadequação dos modelos mais antigos disponíveis na literatura, um grupo de pesquisadores do Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de Viçosa (DEC‐UFV) e do Departamento de Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais (DEES‐UFMG) tem empreendido uma ampla investigação sobre o tema, envolvendo estudos teóricos, numéricos e experimentais (Abreu, 2011; Bezerra, 2011; Silveira, 2011; Vieira, 2011; Oliveira, 2012). Este trabalho é fruto dessa investigação. O objetivo deste trabalho foi avaliar a adequação de procedimentos de cálculo propostos no passado às vigas alveolares produzidas atualmente, à luz de simulações numéricas, e, quando necessário, propor novas expressões capazes de contemplar as características e os modos de colapso observados nos modelos mais recentes.

Simbologia e definições

As vigas alveolares podem ser fabricadas de acordo com diversos padrões geométricos, dentre as quais se destacam as vigas casteladas e as vigas celulares. Usualmente as que possuem alvéolos com formato hexagonal ou octogonal são chamadas casteladas e as que possuem alvéolos circulares são chamadas vigas celulares. Na Figura 2 e na Figura 3 é apresentada a simbologia utilizada neste trabalho para as vigas casteladas e para as vigas celulares, respectivamente. Na Figura 4 é mostrada a simbologia dos elementos da seção transversal das vigas alveolares. montante de alma

chapa expansora alvéolo

hp ho

Figura 2: Elementos das vigas casteladas e simbologia relacionada às dimensões. 128

Figura 3: Simbologia relacionada às dimensões dos elementos das vigas celulares. bf

y ht

ht _ t f

C.G.

d tw

seção do cordão superior

tf seção original

seção alveolada

Figura 4: Simbologia dos elementos da seção transversal de vigas alveolares. O traçado do corte das vigas casteladas pode conduzir a diversos padrões de fabricação. Os mais usuais são os padrões Anglo‐Saxão (Figura 5), Peiner (Figura 6a) e Litzka (Figura 6b). Cada um desses padrões é definido por um conjunto de relações geométricas entre seus elementos (indicadas nas figuras). 0,83ho

0,25ho

0,29ho

59,9°

d g =1,5d

ho = d

p = 1,08ho

Figura 5: Geometria de uma viga castelada no padrão Anglo‐Saxão.

129

bw bw/ 2 =ho/ 2

ao=ho

bw/ 2

60,0°

63,4° dg

1,1547ho

p/6 p/6 p/6 p/6 p/6 p/6

(b)

(a)

Figura 6: Geometria de vigas casteladas: (a) padrão Peiner; (b) padrão Litzka. Define‐se como razão de expansão a relação entre a altura da viga expandida e a altura do perfil original (dg/d). Diversos estudos feitos no passado demonstram que o melhor desempenho das vigas alveolares é conseguido para uma razão de expansão igual a 1,5.

3 3.1

Procedimentos para dimensionamento de vigas alveolares Generalidades

Devido à complexidade associada ao estudo preciso e rigoroso das vigas alveolares, Delesques (1968, 1969) desenvolveu uma formulação para a verificação da capacidade resistente de vigas casteladas padrão Litzka, assumindo algumas simplificações. Dentre essas simplificações, destaca‐se a analogia do comportamento das vigas alveolares com o comportamento de uma viga Vierendeel com articulações no ponto médio dos montantes e dos segmentos de banzo entre montantes (Figura 7) e com as ações aplicadas nos nós. A partir disso, a análise pode ser feita de modo análogo à de uma treliça isostática, em que os nós coincidem com as seções para as quais se considera o momento nulo.

Figura 7: Analogia de viga Vierendeel para vigas alveolares.

130

3.2

Estados‐limites últimos

3.2.1 Formação de mecanismo plástico Isolando‐se os elementos situados entre as rótulas admitidas na Figura 7, têm‐se a distribuição dos esforços nos trechos das vigas alveolares conforme apresentado na Figura 8. F V2

yb ht

V2 A

C.G.

ya hexp

1 2

Figura 8: Elementos adotados para análise de tensões na seção transversal de uma viga castelada (adaptado de CIMADEVILA, 2000). Na Figura 8, a seção 2 é a mais desfavorável, uma vez que, além das tensões normais e de cisalhamento, decorrentes do momento fletor e do esforço cortante, respectivamente, existe uma parcela adicional de tensão normal que se origina da flexão produzida pela ação da força cortante na extremidade do tê em balanço, como mostrado na Figura 9. F

1 2 V2

yb ht

M 2yo

V2 M 2yo

C.G.

V M

bw M 2yo V2

M 2yo V2

bw 2

y p

Figura 9: Forças atuantes no alvéolo de uma viga castelada. 131

Em geral, cada um dos alvéolos de uma viga estará sujeito a um determinado valor de momento fletor e outro de força cortante. Dependendo da configuração do carregamento, não é possível determinar a priori em qual seção transversal a combinação mais desfavorável de momento fletor e força cortante irá ocorrer. Delesques (1969) sugeriu o seguinte procedimento prático para se determinar a seção crítica em uma viga alveolar submetida a um carregamento genérico: em um gráfico, marca‐se o diagrama do módulo do momento fletor (M) de um lado, e, de outro lado, o diagrama do módulo da força cortante (V) multiplicado por uma constante que converte a força cortante no centro do alvéolo em um momento fletor equivalente atuando na seção 2, mostrada na Figura 9. A seção crítica será aquela para a qual a distância entre as duas curvas é máxima, como exemplificado na Figura 10.

MOMENTO FLETOR DE CÁLCULO

DISTÂNCIA MÁXIMA ENTRE AS DUAS CURVAS SEÇÃO MAIS DESFAVORÁVEL

c * CORTANTE DE CÁLCULO

VIGA ALVEOLAR

Figura 10: Método gráfico para determinação da seção mais desfavorável em uma viga alveolar (adaptado de CIMADEVILA, 2000).

132

O valor da constante c que multiplica a força cortante na Figura 10 é dado por:

yo ya bw At 2 It

c

(1)

onde: At

é a área da seção transversal de um tê, dado pela Eq. (2);

é o momento de inércia de um tê, dado pela Eq. (3);

ya, bw são mostrados na Figura 8. Ag

At 

ho  h p

b f t 3f

It 

(2)

tf  t h  t  ht  t f     w t f  t w ht  t f  y   b f t f  y  2  12 2   3

b f t 2f  ht2 t w  t 2f t w

y

ht 



2  b f t f  ht t w  t f t w



(3)

(4)

d g  ho

yo 

  

(5)

ho  ht  y 2

(6)

onde bf, tf, tw, ho são mostrados na Figura 4. No caso de uma viga biapoiada sujeita a um carregamento uniformemente distribuído, como a representada na Figura 11, tem‐se as seguintes equações de momento fletor e força cortante numa seção qualquer a uma distância x do apoio:

M 

V 

qL q x2 x 2 2

qL q x 2

dV dM c 0 dx dx



dM qL   qx dx 2

dV  q dx 

x

(7)

(8)

L c 2

(9)

Como pode ser visto na Eq. (9), a seção mais desfavorável numa viga alveolar não coincide com a seção de momento máximo, como ocorre com as vigas de alma cheia. 133

Esta peculiaridade ressalta a importância de uma formulação de cálculo apropriada para a verificação da capacidade resistente das vigas alveolares. q

x qL 2

qL 2

Figura 11: Viga alveolar submetida a um carregamento uniformemente distribuído. Realizando‐se uma análise de tensões em cada um dos vértices do alvéolo na seção crítica, obteve‐se uma equação que determina o estado‐limite último de formação de mecanismo plástico, dado pela seguinte expressão:

M Sd  c VSd 

M plo

(10)

 a1

onde o momento fletor de plastificação da seção transversal pode ser calculado pela Eq. (11).

M plo  Z xo f y  2 yo At f y

(11)

onde: Zxo

é o módulo resistente plástico da viga expandida na seção do alvéolo;

é a tensão de escoamento do aço.

3.2.2 Escoamento do montante de alma por cisalhamento Dependendo da geometria e do carregamento atuante numa viga alveolar, o montante de alma pode atingir o colapso por cisalhamento. Para um estudo da capacidade resistente do montante de alma ao cisalhamento em sua menor seção, pode‐se partir do equilíbrio de forças em relação ao ponto O apresentado na Figura 12.

134

V2 ht

yb ya

M 2 yo

M+  M 2 yo

bm (y )

V+F 2 O

M 2yo

yo h exp h p /2

V+F 2

bm ( y ) Ro

y F2



M+ M 2yo

y F2

(a) (b) Figura 12: Elementos para o estudo dos esforços no montante de alma em vigas (a) casteladas e (b) celulares Escrevendo o somatório de momentos em relação ao ponto O tem‐se:  Vh yo 

V p V F p  0 2 2 2 2



F p  Vh  V   2  2 yo 

(12)

Considerando uma distribuição elástica das tensões, na seção em que o montante de alma possui a menor largura, a tensão de cisalhamento máxima é dada por:

 max 

3 Vh 2 bw t w

F  V   p fy 3 2  y    4 bw t w yo 3

(13)

Da Eq. (13) obtém‐se: V

4 bw t w yo f y F  2 p 3 3

(14)

Logicamente, esta verificação deve ser feita na seção sujeita ao cortante máximo. Como na maioria dos casos considera‐se o carregamento uniformemente distribuído, a parcela F/2 é pequena se comparada à força cortante V, pelo que pode‐se desprezá‐la. Com isto, a Eq. (14) pode ser reescrita na forma:

VRk 1 

4 bw t w yo fy p 3 3

(15)

135

Particularizando a Eq. (15) para cada um dos padrões considerados, têm‐se:

VRk 1  VRk 1 

VRk 1 

4 9 3

t w yo f y

25 t w yo f y 81 3

(16)

(para o padrão Anglo‐Saxão)

(17)

4  1 1   t w yo f y 3 3 

onde   p / Do (ver Figura 3).

(para os padrões Litzka e Peiner)

(para as vigas celulares) (18)

O valor da força cortante resistente de cálculo, seguindo as prescrições da ABNT NBR 8800:2008, é dado por: VRd 1 

VRk1

(19)

 a1

3.2.3 Escoamento do montante de alma por flexão A mesma força cortante Vh indicada na Figura 12, para vigas casteladas e celulares, no ponto correspondente à articulação virtual admitida no centro do montante, produzirá sobre o mesmo momentos fletores que a uma distância y do eixo da viga assumirão o valor de “Vh·y” que, por sua vez, produzirão sobre a seção de área “tw·bm(y)” uma tensão normal máxima dada por:

 

Vh y 6 Vh y  t w bm2 t w bm2 6

(20)

Aplicando (12) em (20), e desprezando a parcela F/2 pelas mesmas razões justificadas anteriormente, tem‐se que:



3V p y y o t w bm2

(21)

A função bm(y) varia da seguinte forma:

bm  bw bm  bw 

para y ≤ hp/2, em vigas casteladas

b 2 y  h p  para hp/2 < y < hexp + hp/2, em vigas casteladas hexp

(22) (23)

bm  p  2 Ro cos  para vigas celulares (24) onde b é a projeção horizontal do lado inclinado da abertura nas vigas casteladas.

136

Para a obtenção da coordenada y em que ocorre a tensão máxima, há que se escrever a equação da tensão em função de bm e igualar a zero a derivada dessa equação em relação a y. Fazendo isso, para as vigas casteladas obtém‐se:

y

bw hexp 2b



(25)

Quando o valor de y calculado for menor que hp/2, tem‐se bm = bw, e, para este caso, a coordenada da tensão máxima será:

y

(26)

Desse modo, a tensão máxima nas vigas casteladas será:

 max

2 hexp pV

3  8

 max 

 fy ,

yo t w b  bw hexp  b h p 

3 V p hp  fy , 2 yo t w bw2

para 0  h p 

para h p 

bw hexp 2b

(27)

(28)

Realizando‐se o mesmo procedimento para as vigas celulares, obtém‐se o seguinte valor da tensão máxima:

 max

3 V  yo t w



4    2 8

3 

 8 2



 fy

(29)

onde   p / Do (ver Figura 3). Escrevendo as Eqs. (27), (28) e (29) em termos de força cortante, tem‐se, para as vigas casteladas:

VRk 2 

8 3

yo t w b  bw hexp  b h p  2 hexp p

fy ,

2 yo t w bw2 fy , 3 hp p

para 0  h p 

para h p 

bw hexp 2b

(30)

bw hexp 2b

(31)

e para as vigas celulares (com aberturas circulares): VRk 2 

yo t w f y 3

 3    8  4      8  2

137

(32)

Para o caso das vigas casteladas, pode‐se particularizar as Eqs. (30) e (31), para cada um dos padrões mais usuais. ‐ para os padrões Litzka e Peiner: VRk 2 

VRk 2 

2 3

yo t w bw2  2 hexp  h p  2 hexp p

fy ,

2 yo t w bw2 fy 3 hp p

para 0  h p  hexp

(33)

para h p  hexp

(34)

‐ para o padrão Anglo‐Saxão: VRk 2 

VRk 2 

2 232 yo t w bw hexp  1,16h p  fy 2 hexp p 75

2 yo t w bw2 fy 3 hp p

para 0  h p  para h p 

hexp 2,32

(35)

(36)

O valor da força cortante de cálculo, seguindo as prescrições da ABNT NBR 8800:2008, é dado por: VRd 2 

VRk 2

(37)

 a1

3.2.4 Flambagem do montante de alma O estado‐limite último de instabilidade dos montantes de alma pode ser verificado pelas seguintes equações:

Vcr 1 VRk 2

VSd 

2 Vcr 3

VSd 

VRk 2  Vcr 3

se 1 

VSd  VRk 2

(38)

Vcr 2 VRk 2

(39)

Vcr 2 VRk 2

(40)

onde Vcr é dado pela seguinte expressão geral, válida para todos os padrões de vigas alveolares: E t w3 Vcr  1,18 yo

  2 bw   yo  0,8hexp  h p     1  1  p yo    

138

  

(41)

A Eq. (41) pode ser particularizada para cada um dos padrões usuais de vigas alveolares, como apresentado a seguir. ‐ para os padrões Litzka e Peiner:

Vcr 

E  4 yo  0,8 hexp  h p  t w3

(42)

3,54 yo2

‐ para o padrão Anglo‐Saxão:

Vcr 

E  2,86 yo  0,8 hexp  h p  t w3 2,2 yo2

(43)

‐ para as vigas celulares:

Vcr 

 yo

 0,2 2    Do  t w3 0,59  yo2

(44)

3.2.5 Flambagem lateral com torção O procedimento para determinação do estado limite último de flambagem lateral com torção tem como base a adoção das prescrições da ABNT NBR 8800:2008 para vigas de alma cheia, substituindo‐se os parâmetros de esbeltez p e r, relacionados respectivamente à plastificação e ao início do escoamento pelos valores correspondentes de comprimentos destravados, quais sejam Lp e Lr e, ainda:

tomando as propriedades geométricas da seção líquida no centro das aberturas, com a constante de empenamento determinada conforme Kohnehpooshi e Showkati (2009), como mostrado na Eq.(45);

substituindo o valor de Lr por um valor corrigido, Lr,cor = 1,2 Lr;

assumindo como momento fletor resistente máximo um valor igual a 90% do momento de plastificação. Cw 

I yh2

(45)

Os limites Lp e Lr,cor são dados por:

Lp  1,76 ry

E fy

(46)

139

Lr , cor 

1,66 I y J

27 Cw 1 Iy

1

J 1

1

(47)

onde: J

é a constante de torção;

é a constante de empenamento da seção transversal;

β1

é dado pela Eq. (48).

1 

0,7 f y Wx

(48)

Assim, o momento fletor resistente é dado pelas equações a seguir, em função do comprimento destravado Lb. ‐ se Lb  Lr,cor

M Rk  M cr 

Cb  2 E I y Lb

Cw Iy

2  J Lb   1  0,039   Cw  

(49)

‐ se Lp  Lb  Lr,cor

 Lb  L p M Rk  M cr  Cb 0,90M pl  0,90M pl  M r ,cor  Lr ,cor  L p 

   0,90M pl 

(50)

‐ se Lb  Lp

M Rk  0,90 M pl

(51)

onde: Cb

é o fator de modificação para diagrama de momento fletor não‐uniforme conforme a ABNT NBR 8800:2008;

Mpl

é o momento de plastificação da seção transversal;

Mr,cor é o momento fletor correspondente ao início do escoamento, ajustado em função do valor de Lr,cor, dado pela Eq. (52)

M r ,cor 

0,31E L2r ,cor



I y 1000 Cw  39 J Lb

140



(52)

O valor do momento fletor de cálculo, seguindo as prescrições da ABNT NBR 8800:2008, é dado por: M Rd 

3.3

M Rk

(53)

 a1

Estado‐limite de serviço de deslocamento excessivo

Para uma viga de alma cheia, é usual desconsiderar a parcela relativa às deformações devidas à força cortante no cálculo dos deslocamentos. Entretanto, para as vigas alveolares, as deformações decorrentes do esforço cortante podem apresentar uma magnitude apreciável, e não devem ser ignoradas. Assim, os deslocamentos totais devem ser obtidos somando‐se as parcelas de deslocamento devidas à flexão e ao cisalhamento, com o auxílio das seguintes expressões:

f  f M  fV

(54)

fM 

5 q L4 384 E I e

(55)

fV 

q L2 8 G Ae

(56)

onde Ie e Ae são respectivamente a inércia equivalente e a área equivalente de uma viga alveolar. O valor da inércia equivalente pode ser determinado pela seguinte expressão:





I e  2 At y02  I t  

tw 24

 2bw 3 2 2 2 2  6 hexp  3hexp h p  8 hexp h p  p h p  hexp  h p  2h p hexp  2hexp   





(57)

A Eq. (57) pode ser particularizada para cada um dos padrões usuais de vigas alveolares, como apresentado a seguir. ‐ para os padrões Litzka e Peiner:  11 h 3p  4 5 3 2 2  I e  2 At y  I t  t w h  h h  h h    36 exp 9 exp p 24 exp p 36   



2 0



141

(58)

‐ para o padrão Anglo‐Saxão:





133 79 25 3   187 3 2 I e  2 At y02  I t  t w  hexp  hexp h p  hexp h p2  hp  324 432 1296   648

(59)

‐ para as vigas celulares:





I e  2 At y 02  I t 

t w Do3 48

 1  2,5    

(60)

A expressão para o cálculo da área equivalente (Eq. (61)) foi desenvolvida por Cimadevila (2000) para vigas alveolares com relação p/bw igual a 3 (relação válida para os padrões Litzka e Peiner).





G 1 54 3  0,20 hexp  0,375 hexp h p  hexp  0,75 h p  0,125 h 3p  2 2 Ae t w yo p E

0,60 p 2 G 2 tw ya5    2 , 08 h  1 , 5 h   exp p tw yo2 648 I t E 45 I t2

(61)

Segundo Cimadevila (2000), a parcela dos deslocamentos devidos à força cortante em vigas alveolares varia de 5 a 20% da flecha total. Assim, apesar de ter sido deduzida com base na configuração geométrica dos padrões Litzka e Peiner, em que p/bw = 3, a Eq. (61), fornece uma boa aproximação da área equivalente para o padrão Anglo‐Saxão e para as vigas celulares.

Discussão

A formulação apresentada no item 3 foi verificada comparando‐se seus resultados com resultados obtidos de modelos numéricos validados a partir de resultados experimentais. Detalhes dessa verificação podem ser encontrados nos trabalhos de Silveira (2011), Vieira (2011), Abreu (2011) e Bezerra (2011). Nos casos de vigas alveolares com relação L/d  20, para as quais o comportamento é governado pelo momento fletor, a formulação proposta apresenta excelente concordância com os resultados numéricos. Para os casos em que a relação L/d < 20, a formulação apresenta resultados conservadores. Isto se verifica porque no desenvolvimento da formulação admitiu‐se uma distribuição elástica para as tensões

142

de cisalhamento produzidas pela força cortante, ao passo que para as tensões normais decorrentes do momento fletor, foi admitida uma distribuição plástica. Evidentemente, nos casos em que o momento fletor predomina a resposta da formulação se aproxima mais do fenômeno real. Não obstante, vigas alveolares com relação L/d < 20 são incomuns e, nelas, o efeito da força cortante sobre a estabilidade dos montantes de alma é particularmente importante. Para esses casos, uma formulação conservadora é interessante.

Conclusões

Neste trabalho são propostos procedimentos atualizados para verificação de estados‐ limites últimos e de serviço aplicáveis às vigas alveolares de aço. Uma formulação analítica consistente é apresentada, com expressões particularizadas para os principais padrões de vigas alveolares usualmente empregados na construção metálica, seguindo a sistemática da ABNT NBR 8800:2008. A formulação foi aferida por meio de análises numéricas com modelos de elementos finitos validados a partir de resultados experimentais, apresentando bons resultados.

Agradecimentos

Os autores agradecem à FAPEMIG, à CAPES, à FUNARBE, ao Departamento de Engenharia Civil da UFV e ao Departamento de Engenharia de Estruturas da UFMG pelo apoio para a realização deste trabalho.

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144