Caderno I - EPCAr e CN by jose anchieta

COLÉGIO MILITAR DE SANTA MARIA EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA

Preparação para o Colégio Naval (CN) e para a Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAr)

Caderno de provas I Prof. JOSÉ ANCHIETA DA SILVA – ST

2011

Comece fazendo o que é necessário, depois o que é possível, e de repente você estará fazendo o impossível. São Francisco de Assis

Assuntos que serão abordados para solução das questões apresentadas: Aritmética:  Teoria dos números – parte I  Média harmônica  Média aritmética  Média geométrica  Dízima periódica  Propriedades do MMC e MDC  Porcentagem  Regra de três: direta e inversa  Juros simples  Conjuntos: união, interseção e diferença  Divisão diretamente (ou inversamente) proporcional Álgebra:  Produtos notáveis  Operações com polinômios  Forma fatorada de um polinômio  Equações irracionais  Estudo das raízes da equação do 2º grau  Estudo das inequações do 2º grau  Máximo e mínimo de uma função do 2º grau  Análise de um sistema linear Geometria:  Base média do trapézio  Polígono regular  Lado e apótema dos principais polígonos inscritos no círculo  Potência de ponto  Quadrilátero circunscrito a um círculo (teorema de Pitot)  Relações métricas no triângulo retângulo  Semelhança de triângulos  Área do triângulo  Área do hexágono  Área do quadrado  Principais relações trigonométricas Colégio Militar de Santa Maria

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Colégio Naval 1979/80 01. Um número natural de 6 algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se este algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a sequência dos demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é: a) 100.006 b) múltiplo de 6 c) múltiplo de 11

d) maior que 180.000 e) divisível por 5

02. Se h, g e a são, respectivamente, as médias harmônica, geométrica e aritmética entre dois números, então: a) ah = 2g

b) ah = g

c) ah = 2g2

d) ah = g2

e) ah = 2 g

03. Uma bicicleta tem uma roda de 40 cm de raio e a outra de 50 cm de raio. Sabendo que a roda maior dá 120 voltas para fazer certo percurso, quantas voltas dará a roda menor, para fazer 80% do mesmo percurso? a) 78,8

b) 187,5

c) 120

d) 96

e) 130

04. Um capital foi empregado da seguinte maneira; seus dois quintos rendendo 40% ao ano e a parte restante rendendo 30% ao ano. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de CR$ 2.700,00. Qual era o capital inicial? a) CR$ 94.500,00 b) CR$ 27.000,00 c) CR$ 140.000,00

d) CR$ 120.000,00 e) CR$ 135.000,00

05. Sendo X e Y conjuntos em que: X – Y = {a, b} e X  Y ={c}. O conjunto X pode ser: a) {}

b) {a}

c) {a, d}

d) {a, c, d}

e) {a, b, c, d}

06. 3 10  6 3 é igual a: 7

a) 1 +

b) 1 +

c) 1 +

d) 1 +

e) 1 +

4x 4x 2  4x 07. x  dividido por x  2 para x ≠ 3 e x ≠ –1 dá: x 3 x  2x  3 2

a) x + 1

b) x – 4

c) x + 4

d) x2 – 3

e) x – 1

08. Para valores de x inteiros e x ≥ 2, os inteiros P e Q têm para expressões P = x2 + 2x – 3 e Q = ax2 + bx + c e o produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum desses números, P e Q dá x4 + 5x3 – x2 – 17x + 12. A soma de a, b e c é: a) 0

b) 8

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c) 6

d) 2

e) 1

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09. A equação 3x  1  2x  1  1 tem duas raízes cuja soma é: a) 10

b) 4

c) 8

d) 5

e) 6

x 2z2 x 2 y2 y2z2 3 e 2 10. Se 2  2, 2  x . O produto dos valores de x nesse sistema é: x  z2 x  y2 y  z2

a) –1,5

b) –2,4

c) –3,2

d) 2,5

e) 3,4

11. Na equação x2 – mx – 9 = 0, a soma dos valores de m, que fazem com que as suas raízes a e b satisfaçam a relação 2a + b = 7 dá: a) 3,5

b) 20

c) 10,5

d) 10

e) 9

12. Os valores de K que fazem com que a equação: Kx2 – 4x + K = 0 tenham raízes reais e que seja satisfeita a inequação 1 – K ≤ 0 são os mesmos que satisfazem a inequação: a) x2 – 4 ≤ 0 b) 4 – x2 ≤ 0 c) x2 – 1 ≥ 0

d) x2 – 3x + 2 ≤ 0 e) x2 – 3x + 2 ≥ 0

13. Relativamente ao trinômio y = x2 – bx + 5, com b constante inteira, podemos afirmar que ele pode: a) se anular para um valor de x b) se anular para dois valores reais de x cuja soma seja 4 c) se anular para dois valores reais de x de sinais contrários d) ter valor mínimo igual a 1 e) ter máximo para b = 3 a 2 x  y  1 14. Sobre o sistema  podemos afirmar: x  y  a

a) para a = 1, o sistema é indeterminado b) para a = –1, o sistema é determinado c) para a ≠ –1, o sistema é impossível d) para a = 0, x = y = 2 e) para a = –1, x = y = 3 7 3 cm 2 de apótema e z é o lado do triângulo eqüilátero inscrito no círculo de 5 cm de raio. Escrevendo em ordem crescente esses três números teremos:

15. X é o lado do quadrado de 4820 mm2 de área; y é o lado do hexágono regular de

a) Z, X, Y

b) Z, Y, X

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c) Y, Z, X

d) Y, X, Z

e) X, Y, Z

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16. Um hexágono regular tem 24 3 cm2 de área. Se ligarmos alternadamente, os pontos médios dos lados desse hexágono, vamos encontrar um triângulo eqüilátero de área a) 12 3 cm2

b) 8 3 cm2

c) 9 3 cm2

d) 6 3 cm

e) 18 3 cm2

17. Do ponto P exterior a uma circunferência tiramos uma secante que corta a circunferência nos pontos M e N de maneira que PN = 3x e PM = x – 1. Do mesmo ponto P tiramos outra secante que corta a mesma circunferência em R e S, de maneira que PR = 2x e PS = x + 1. O comprimento do segmento da tangente à circunferência tirada do mesmo ponto P, se todos os segmentos estão medidos em cm é: a)

40 cm

60 cm

34 cm

d) 10 cm

e) 8 cm

18. A área máxima do retângulo que se pode inscrever no triângulo retângulo de catetos com 3 cm e 4 cm de maneira que dois lados do retângulo estejam sobre os catetos e um vértice do retângulo sobre a hipotenusa é: a) 3 cm2

b) 4 cm2

c) 5 cm2

d) 4,5 cm2

e) 3,5 cm2

19. O ângulo interno de 150º de um triângulo é formado por lados que medem 10 cm e 6 cm. A área desse triângulo é: a) 30 cm2

b) 30 3 cm2

c) 12 3 cm2

d) 15 3 cm2

e) 15 cm2

20. O triângulo ABC tem 60 cm2 de área. Dividindo-se o lado BC em 3 partes proporcionais aos números 2, 3 e 7 e tomando-se esses segmentos para bases de 3 triângulos que têm para vértice e ponto A, a área do maior dos 3 triângulos é: a) 30 cm2 b) 21 cm2 c) 35 cm2 d) 42 cm2 e) 28 cm2

21. Um triângulo retângulo tem os catetos com 2 cm e 6 cm. A área do círculo que tem o centro sobre a hipotenusa e tangente os dois catetos é de: 25 16 9 a) cm2 b) cm2 c) cm2 d) 20π cm2 4 4 4

e) 18π cm2

22. Em um círculo de 3 cm de raio, a corda AB tem 1,8 cm. A distância do ponto B à tangente ao círculo em A mede: a) 0,54 cm

b) 1,08 cm

c) 1,5 cm

d) 2,4 cm

e) 1,8 cm

23. Em um triângulo AB = AC = 5 cm e BC = 4 cm. Tomando-se sobre AB e AC os pontos D e E, respectivamente, de maneira que DE seja paralela a BC e que o quadrilátero BCED seja circunscritível a um círculo, a distância AD = AE mede: 15 4 5 a) 0,75 cm b) 1,2 cm c) cm d) cm e) cm 7 3 3 Colégio Militar de Santa Maria

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24. O triângulo ABC é retângulo em A. A hipotenusa BC mede 6 cm e o ângulo em C é de 30º. Tomando-se sobre AB o ponto M e sobre BC o ponto P, de maneira que PM seja perpendicular a BC e as áreas dos triângulos CAM e PMB sejam iguais, a distância BM será: a) 4 cm





b) 6 3  2 cm





c) 6 3  2 cm





d) 6 2  1 cm





e) 6 2  1 cm

25. Duas circunferências são tangentes exteriores em P. Uma reta tangencia essas circunferências nos pontos M e N respectivamente. Se PM = 4 cm e PN = 2 cm, o produto dos raios dessas circunferências dá: a) 8 cm2

b) 4 cm2

c) 5 cm2

d) 10 cm2

e) 9 cm2

EPCAr 2002 26. No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa é a) 778

b) 658

c) 120

d) 131

27. Sobre o menor número natural n de 4 algarismos, divisível por 3, tal que o algarismo das dezenas é metade do algarismo das unidades e igual ao dobro do algarismo das unidades de milhar, é correto afirmar que a) n + 1 é divisível por 7 b) n está entre 2000 e 3009

c) n + 2 é múltiplo de 10 d) n apresenta 12 divisores positivos

28. A diferença 80,666...  9 0,5 é igual a a) –2

2 3

c)  2 2

d) 1

29. Uma abelha-rainha dividiu as abelhas de sua colméia nos seguintes grupos para exploração ambiental: um composto de 288 batedoras e outro de 360 engenheiras. Sendo você a abelha rainha e sabendo que cada grupo deve ser dividido em equipes constituídas de um mesmo e maior número de abelhas possível, então você redistribuiria suas abelhas em a) 8 grupos de 81 abelhas b) 9 grupos de 72 abelhas

c) 24 grupos de 27 abelhas d) 2 grupos de 324 abelhas

30. Ao se resolver a expressão numérica  (25.10 6 ) . 0,000075   53 1,5  0 3  :  4  . (0,0010) o valor encontrado é 10    10 

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c) 1

d) 0,1 Prof. Anchieta: prof.anchieta@hotmail.com

1 dos aprovados foi selecionado para entrevista com psicólogos, 10 que deverá ser feita em 2 dias. Sabendo-se que 20 candidatos desistiram, não confirmando sua presença para a entrevista, os psicólogos observaram que, se cada um atendesse 9 por dia, deixariam 34 jovens sem atendimento. Para cumprir a meta em tempo hábil, cada um se dispôs, então, a atender 10 candidatos por dia.

31. No concurso CPCAR,

Com base nisso, é correto afirmar que o número de aprovados no concurso a) é múltiplo de 600. b) é divisor de 720.

c) é igual a 3400. d) está compreendido entre 1000 e 3000.

2 3 do que tem na bolsa. Gasta depois do 9 7 resto em verduras e ainda lhe sobram R$ 8,00. Ela levava, em reais, ao sair de casa

32. Uma senhora vai à feira e gasta, em frutas, a) 45,00

b) 36,00

c) 27,00

d) 18,00

33. Uma bola é abandonada de uma certa altura. Até que o movimento pare, a bola atinge o 1 da altura em que se encon2 trava anteriormente. Se, depois do terceiro choque com o solo, ela sobe 100 cm, a altura em que foi abandonada a bola é, em metros, igual a solo e volta a subir repetidas vezes. Em cada subida, alcança

a) 0,8

b) 1

c) 8

d) 0,5

34. Em uma Escola, havia um percentual de 32% de alunos fumantes. Após uma campanha de conscientização sobre o risco que o cigarro traz à saúde, 3 em cada 11 dependentes do fumo deixaram o vício, ficando, assim, na Escola, 128 alunos fumantes. É correto afirmar que o número de alunos da Escola é igual a a) 176

b) 374

c) 400

d) 550

35. Uma loja aumenta o preço de um determinado produto cujo valor é de R$ 600,00 para, em seguida, a título de ”promoção”, vendê-lo com “desconto” de 20% e obter, ainda, os mesmos R$ 600,00; então, o aumento percentual do preço será de a) 20%

b ) 25%

c) 30%

d) 35%

36. Uma fábrica recebeu uma encomenda de 50 aviões. A fábrica montou os aviões em 5 dias, utilizando 6 robôs de mesmo rendimento, que trabalharam 8 horas por dia. Uma nova encomenda foi feita, desta vez 60 aviões. Nessa ocasião, um dos robôs não participou da montagem. Para atender o cliente, a fábrica trabalhou 12 horas por dia. O número de dias necessários para que a fábrica entregasse as duas encomendas foi a) exatamente 10 b) mais de 10 Colégio Militar de Santa Maria

c) entre 9 e 10 d) menos de 9 Prof. Anchieta: prof.anchieta@hotmail.com

37. Um medicamento deve ser ingerido na quantidade de 3 mg por quilograma da massa corporal. Não pode, contudo, exceder 200 mg por dose ministrada. Cada gota, desse medicamento, contém 5 mg do remédio. O número de gotas desse medicamento que deve ser prescrito por dose a um paciente de 80 kg, é a) 46

b) 40

c) 16

d) 80

38. O valor de x que é solução da equação 3x  2( x  5)  a) –6 < x < 0 b) –12 < x < –8

c) 3 < x < 10 d) 12 < x < 18

39. O inverso de 6

5  3x  0 é tal que 2

xy 5 y

x3 y , com x > 0 e y > 0, é igual a y x 3

x2y x

yx 5 x

xy 2 y

10 3 3

1 1 40. Se  n    3 , então n 3  3 vale n n  a) 0

b) 3 3

41. Simplificando a expressão a) x – y

b) x + y

c) 6 3



  x  2  2 1      x   y   x y



 2 xy

, com x > y > 0, obtém-se

c) y – x

d) xy

42. O resto da divisão do polinômio p(x)  x 4  2x 3  2x 2  x  1 por x + 1 é um número a) ímpar menor que 5 b) par menor que 6

c) primo maior que 5 d) primo menor que 7

43. A equação x 2  px  q  0 tem raízes reais opostas e não-nulas. Pode-se então afirmar que a) p > 0 e q = 0 b) p < 0 e q = 0

c) p = 0 e q > 0 d) p = 0 e q < 0

44. A equação ax 2  2bx  ab  0 (b  0) admite raízes reais e iguais se, e somente se a) b  a 2

b) b  2a 2

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c) a = – b

d) b 2  2a Prof. Anchieta: prof.anchieta@hotmail.com

45. O produto das raízes da equação 7  x 2  1  x 2 é a) –50

b) –10

c) –5

d) 50

x  2 y  0 , então x.y é igual a 2 3xy  y  63

46. Se  a) 18

c) –9

b) 9

d) –18

47. Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna abaixo. Numa prova de matemática, um aluno deve responder a 60 itens do tipo verdadeiro ou falso. Para cada item respondido corretamente, o aluno vai ganhar 2 pontos e, para cada item que errar, vai perder 1 ponto. A nota do aluno é função do número de itens que ele acertar. Se o aluno obteve 30 pontos, ele acertou ____ itens. a) 20

b) 25

c) 30

d) 35

48. Um caixa automático de um banco só libera notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retirou desse caixa a importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de notas de R$ 5,00 pelo número de notas de R$ 10,00 é igual a a) 16

b) 25

c) 24

d) 21

49. Um botijão de gás contém 13 kg de gás. Em média, é consumido, por dia 0,5 kg do seu conteúdo. O esboço do gráfico que melhor expressa a massa y de gás no botijão, em função de x (dias de consumo) é a)

1 2 y

13 d)

1 2

13 26

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13 x

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50. Considere o gráfico ao lado sabendo-se que I é dado por f ( x)  ax 2 II é dado por g( x)  bx 2 III é dado por h( x )  cx 2

y x III II I

com base nisso, tem-se necessariamente que a) a < b < c

b) a > bc

c) a > b > c

d) ab < c

51. No triângulo ABC abaixo, a bissetriz do ângulo interno A forma com o lado AB um ângulo de 55º. O ângulo  agudo formado pelas retas suporte das alturas relativas aos vértices BeCé a) menor que 70º b) o complemento de 20º c) igual ao dobro de 25º d) o suplemento de 120º

52. O gráfico, a seguir, representa o resultado de uma pesquisa sobre a preferência por conteúdo, na área de matemática, dos alunos do CPCAR.

COMBINATÓRIA

PROGRESSÕES

FUNÇÃO

MATRIZ

GEOMETRIA ESPACIAL

GEOMETRIA ESPACIAL: 22% PROGRESSÕES: 6% COMBINATÓRIA: 47% MATRIZ: 14% FUNÇÃO: 11%

Sabendo-se que no gráfico o resultado por conteúdo é proporcional à área do setor que a representa, pode-se afirmar que o ângulo central do setor do conteúdo MATRIZ é de a) 14º b) 57º 36 c) 50º 24 d) 60º 12

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53. Por um ponto P da base BC de um triângulo ABC, traça-se PQ e PR paralelos a AB e AC, respectivamente. Se AB = 6, AC = 10, BC = 8 e BP = 2, o perímetro do paralelogramo AQPR é a) divisível por 3 A b) divisor de 35 c) maior do que 40 d) múltiplo de 7 Q

54. Num mapa, as cidades A, B e C são vértices de um triângulo retângulo e o ângulo reto está em A. A estrada AB tem 80 km e a estrada BC tem 100 km. Um rio impede a construção de uma estrada que liga diretamente a cidade A com a cidade C. Por esse motivo, projetou-se uma estrada saindo da cidade A e perpendicular à estrada BC para que ela seja a mais curta possível. Dessa forma, a menor distância, em km, que uma pessoa percorrerá se sair da cidade A e chegar à cidade C é a) 84 b) 48 c) 36 d) 64

55. O reabastecimento em vôo é um procedimento que permite abastecer aviões de caça em pleno vôo a partir de uma mangueira distendida de uma aeronave tanque. Um avião A (tanque) e outro B (caça) ao término do procedimento descrito acima, em determinado ponto P, tomam rumos que diferem de um ângulo de 60º. A partir de P as velocidades dos aviões são constantes e iguais a VA  400 km / h e VB  500 km / h . Considerando que mantiveram os respectivos rumos, a distância, em km, entre eles após 2 horas de vôo é a) 5200 21 b) 300 21 B c) 200 21 P 60º d) 100 21 A

56. Três pedaços de arame de mesmo comprimento foram moldados: um na forma de um quadrado, outro na forma de um triângulo eqüilátero e outro na forma de um círculo. Se Q, T e C são, respectivamente, as áreas das regiões limitadas por esses arames, então é verdade que a) Q < T < C b) C < T < Q c) T < C < Q d) T < Q < C Colégio Militar de Santa Maria

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57. Um avião decola de um ponto B sob inclinação constante de 15 com a horizontal. A 2 km de B se encontra a projeção vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m de altura, conforme figura. D

15

Dados: cos 15º  0,97

B sen C 15º  0,26

tg 15º  0,27

É correto afirmar que a) não haverá colisão do avião com a serra. b) haverá colisão do avião com a serra antes de alcançar 540 m de altura. c) haverá colisão do avião com a serra em D. d) se o avião decolar 220 m antes de B, mantendo a mesma inclinação, não haverá colisão do avião com a serra.

58. A área do losango ABCO da figura abaixo mede 24 cm2. O lado do hexágono regular ABCDEF é, em cm, igual a

a) 44 3 b) 4 3 c) 4 d) 16 3

O E

59. Considere dois círculos de raios (r) e (R) centrados em A e B, respectivamente, que são tangentes externamente e cujas retas tangentes comuns formam um ângulo de 60. A razão entre as áreas do círculo maior e do menor é a) 9 b) 3 1 c) 3 1 d) 9

A r

30 Colégio Militar de Santa Maria

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60. Em torno de um campo de futebol, conforme figura abaixo, construiu-se uma pista de atletismo com 3 metros de largura, cujo preço por metro quadrado é de R$ 500,00. Sabendose que os arcos situados atrás das traves dos gols são semicírculos de mesma dimensão, o custo total desta construção que equivale à área hachurada, é Dado: Considere  = 3,14 3m

40 m

100 m

a) R$ 300.000,00 b) R$ 464.500,00

c) R$ 502.530,00 d) R$ 667.030,00

61. Em condições ambiente, a densidade do mercúrio é de aproximadamente 13g/cm3. A massa desse metal, do qual um garimpeiro necessita para encher completamente um frasco de meio litro de capacidade é igual a a) 260 g

b) 2,6 kg

c) 650 g

d) 6,5 kg

GABARITO 0 0 1 2 3 4 5 6

B C C A A C

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1 C C A A A B D

2 D D A D C C -

3 C D C C D D -

4 E A E D A A -

5 E E C B B C -

6 D C C C A D -

7 B B A B C B -

8 A A D A D A -

9 E E B B B A -

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QUADRILÁTEROS São polígonos com quatro lados. Os quadriláteros podem ser classificados em: paralelogramo, trapézio e trapezóide.

Paralelogramo: lados opostos paralelos dois a dois

Trapézio: dois lados opostos paralelos e dois não paralelos

Trapezóide: nenhum lado paralelo

QUADRILÁTEROS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS I - Teorema de Ptolomeu Para qualquer quadrilátero inscritível, produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos.

AC.BD = AB.DC + AD.BC

II - Teorema de Hiparco Para qualquer quadrilátero inscritível, a razão entre as diagonais é igual à razão da soma dos produtos dos lados que concorrem com as respectivas diagonais. BD AD.DC  BC .BA  AC AD.AB  CB.CD

III - Teorema de Pitot Em todo quadrilátero circunscrito, a soma das medidas de dois lados opostos é igual à soma das medidas dos outros dois. AB + CD = DA + BC O teorema de Pitot é uma conseqüência da propriedade das tangentes que diz; "se de um ponto exterior a uma circunferência traçarmos duas tangentes, as distâncias do ponto aos pontos de tangência são iguais". Isto é: BR = BS.

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OS POLÍGONOS REGULARES Polígonos regulares são aqueles em que os lados são congruentes (mesma medida) e os ângulos internos têm a mesma medida. Todo polígono regular é inscritível em uma circunferência. Nos polígonos regulares devemos destacar: o lado AB, o raio OA e o apótema OC. O apótema é perpendicular ao ponto médio do lado.

Entre os polígonos regulares destacamos:

INFORMAÇÕES GERAIS EPCAr: Qual é o limite de idade para me inscrever no concurso? Ter nascido entre 1º de janeiro de 1993 e 1º de janeiro de 1997 Qual é a escolaridade exigida para o concurso? Ter concluído ou estar em condições de concluir, com aproveitamento, o Ensino Fundamental do Sistema Nacional de Ensino. O aluno deve estar apto a ser matriculado na 1ª série (ou 1º ano) do Ensino Médio do citado sistema. Fonte: http://www.epcar.aer.mil.br/Concurso.php

CN: Principais Requisitos: Ser brasileiro nato e ter concluído com aproveitamento o Ensino Fundamental (ou estar cursando o último ano, de forma que o mesmo esteja concluído até a data prevista no edital para a verificação dos documentos exigidos). Idade: Ter de 15 a 17 anos de idade. Provas: Matemática, Estudos Sociais, Ciências, Português e Redação. Local do Curso: Colégio Naval, Angra dos Reis/RJ. Duração: 3 anos, na condição de aluno interno. Situação após o Curso: Ingresso na Escola Naval como Aspirante. Fonte: https://www.ensino.mar.mil.br/html/ingressar.html

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