Correção da prova da Escola de Sargentos das Armas (EsSA) 2012-2013

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GABARITO COMENTADO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA EsSA/2012 REALIZADA EM 21 OUT 2012. COMENTÁRIOS PROF. ANCHIETA ÁREA COMBATENTE

Solução: Se log2 3  a e log2 5  b , então o valor de

log0,5 75 é

Fazendo f(2x + 1) = f(2) Igualando 2x + 1 = 2, temos x =

(a) –a + 2b

1 2

2

1  1   1 Então f  2   1     2  2  2  2

(b) a + b (c) a – b (d) a – 2b (e) –a –2b

f  2 

1 1 4

Solução:

f  2 

5 4

log0,5 75 = log 1 75 = log

21

2

75 = 1 log2 75 =

1 log2 3  52 = 1 log2 3  log2 52 =

1 log2 3  2  log2 5 

Sabendo que log2 3  a e log2 5  b , então:

1  a  2  b  = –a –2b

Para que uma escada seja confortável, sua construção deverá atender aos parâmetros “e” e “p” da equação 2e + p = 63, onde “e” e “p” representam, respectivamente, a altura e o comprimento, ambos em centímetros, de cada degrau da escada. Assim, uma escada com 25 degraus e altura total igual a 4 m deve ter o valor de “p” em centímetros igual a (a) 31

2

Se f(2x + 1) = x + 2x, então f(2) vale

5 4

(d)

(b)

5 2

(e)

(c)

3 2

(a)

(b) 32

1 2

(c) 29

3 4

(e) 27

(d) 26

Solução: 25e = 4 m 25e = 400 cm e = 16 cm

[altura de cada degrau]


Como 2e + p = 63, temos 216 + p = 63 p = 31 cm

Utilizando a modalidade dos juros simples, teríamos: j = cit 662 = 2000

10 t 100

t = 3,31 anos  3 anos, 3 meses e 22 dias Em um programa de TV, o participante começa com R$ 500,00. Para cada pergunta respondida corretamente, recebe R$ 200,00; e para cada resposta errada perde R$ 150,00. Se um participante respondeu todas as 25 questões formuladas no programa e terminou com R$ 600,00, quantas questões ele acertou?

Utilizando a modalidade dos juros compostos, teríamos:

(a) 9

2662 = 2000(1,1)t

(b) 14

2662  11   2000  10 

(c) 11 (d) 12

M = c(1 + i)t 2000 + 662 = 2000(1 + 0,1)t

t

t

(e) 10

1331  11   1000  10 

Solução: C = número de questões corretas

 11   11   10    10     

E = número de questões erradas

t = 3 anos = 36 meses

3

t

C + E = 25 (I) 200C – 150E = 600 – 500 (II) 200C – 150E = 100 [50] 4C – 3E = 2

C  E  25 3C  3E  75    7C = 77   4C  3E  2 4C  3E  2 C = 11

Em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 5 e o décimo primeiro termo é 45. Pode-se afirmar que o sexto termo é igual a (a) 25 (b) 29 (c) 35 (d) 15 (e) 21

Assinale a alternativa que representa o tempo necessário para que uma pessoa que aplicou R$ 2.000,00, à taxa de 10% ao ano, recebe R$ 662,00 de juros.

Solução:

(a) 2 anos

a1 = 5

(b) 3 meses

a11 = 45

(c) 36 meses

Sabemos que

(d) 6 anos

a1 = a6 – 5r

(e) 1 ano e meio

a11 = a6 + 5r

Do problema:

Somando membro a membro, temos: Solução:

a1 + a11 = 2a6

A questão deverá ser anulada, pois não foi citada a modalidade dos juros: se juros simples ou juros compostos.

5 + 45 = 2a6 25 = a6


1  Uma corrida é disputada por 8 atletas. O número de resultados possíveis para os 4 primeiros lugares é (a) 336 (b) 1.680

m 1 m2  1 e 1  1 m m

Sabendo que (sen x)2 + (cos x)2 = 1 2

2

 m  1  m  2  Daí,     1  m   m  m2 + 2m + 1 + m2 + 4m + 4 = m2

(c) 1.530

m2 + 6m + 5 = 0

(d) 4.096

Cujas raízes são m1 = –1 e m2 = –5

(e) 512

Substituindo existência: Solução: A8,4 = 8.7.6.5 = 1.680

Se 5x+2 = 100, então 52x é igual a (a) 16

m1

=

–1

nas

condições

1 

1  1  1  1  0  1 (convém) 1

1 

1  2  1  1  1  1 (convém) 1

Substituindo existência:

m2

=

–5

nas

condições

1 

5  1  1  1  0,8  1 (convém) 5

(d) 10

1 

5  2  1  1  0,6  1 (convém) 5

(e) 4

Então a soma de m1 + m2 = –6

(b) 8 (c) 100

Solução: 5x+2 = 100 5x52 = 100

[25]

5x = 4

[elevando os membros ao quadrado]

52x = 16

2 e 5 g(x) = 3x2 – c possuem um único ponto em comum. O valor de c é Os gráficos das funções reais f(x) = 2x 

1 5

(a)  A soma dos valores de m que satisfazem a m 1 ambas as igualdades sen x = e m m2 cos x = é m (a) –4

(b) 1 (c)

1 15

(d) –0 (e)

1 5

(b) 5 (c) 6

Solução:

(d) –6

Fazendo f(x) = g(x), temos

(e) 4

2x 

2 = 3x2 – c 5

Solução:

10x – 2 = 15x2 – 5c

Condição de existência:

0 = 15x2 – 10x + 2 – 5c

de

de


As funções possuem apenas um ponto em comum, então  = 0 2

b – 4ac = 0 100 – 415(2 – 5c) = 0

[20]

5 – 3(2 – 5c) = 0 5 – 6 + 15c = 0 c=

1 15

Solução: Considerando um cilindro de altura “h” e raio da base “r”, seu volume é dado por: V1 = r2h Dobrando-se sua altura, ficaria “2h” e triplicando o raio de sua base, teríamos “3r”, o novo volume será dado por: V2 = (3r)22h V2 = 9r22h V2 = 18r2h Substituindo r2h por V1, temos

A média aritmética de todos os candidatos de um concurso foi 9,0, dos candidatos selecionados foi 9,8 e dos eliminados foi 7,8. Qual o percentual de candidatos selecionados? (a) 25% (b) 20% (c) 50% (d) 60% (e) 30% Solução: S = quantidade de candidatos selecionados E = quantidade de candidatos eliminados 9,0 =

9,8  S  7,8  E SE

9,0(S + E) = 9,8S + 7,8E 9,0S + 9,0E = 9,8S + 7,8E 1,2E = 0,8S

S 1,2 12 3    E 0,8 8 2

S 3 3 3  20 60      60% S  E 3  2 5 5  20 100

Dobrando-se a altura de um cilindro circular reto e triplicando o raio de sua base, pode-se afirmar que seu volume fica multiplicado por (a) 6 (b) 18 (c) 36 (d) 12 (e) 9

V2 = 18V1


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