GABARITO COMENTADO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA EsSA/2012 REALIZADA EM 21 OUT 2012. COMENTÁRIOS PROF. ANCHIETA ÁREA COMBATENTE
Solução: Se log2 3 a e log2 5 b , então o valor de
log0,5 75 é
Fazendo f(2x + 1) = f(2) Igualando 2x + 1 = 2, temos x =
(a) –a + 2b
1 2
2
1 1 1 Então f 2 1 2 2 2 2
(b) a + b (c) a – b (d) a – 2b (e) –a –2b
f 2
1 1 4
Solução:
f 2
5 4
log0,5 75 = log 1 75 = log
21
2
75 = 1 log2 75 =
1 log2 3 52 = 1 log2 3 log2 52 =
1 log2 3 2 log2 5
Sabendo que log2 3 a e log2 5 b , então:
1 a 2 b = –a –2b
Para que uma escada seja confortável, sua construção deverá atender aos parâmetros “e” e “p” da equação 2e + p = 63, onde “e” e “p” representam, respectivamente, a altura e o comprimento, ambos em centímetros, de cada degrau da escada. Assim, uma escada com 25 degraus e altura total igual a 4 m deve ter o valor de “p” em centímetros igual a (a) 31
2
Se f(2x + 1) = x + 2x, então f(2) vale
5 4
(d)
(b)
5 2
(e)
(c)
3 2
(a)
(b) 32
1 2
(c) 29
3 4
(e) 27
(d) 26
Solução: 25e = 4 m 25e = 400 cm e = 16 cm
[altura de cada degrau]
Como 2e + p = 63, temos 216 + p = 63 p = 31 cm
Utilizando a modalidade dos juros simples, teríamos: j = cit 662 = 2000
10 t 100
t = 3,31 anos 3 anos, 3 meses e 22 dias Em um programa de TV, o participante começa com R$ 500,00. Para cada pergunta respondida corretamente, recebe R$ 200,00; e para cada resposta errada perde R$ 150,00. Se um participante respondeu todas as 25 questões formuladas no programa e terminou com R$ 600,00, quantas questões ele acertou?
Utilizando a modalidade dos juros compostos, teríamos:
(a) 9
2662 = 2000(1,1)t
(b) 14
2662 11 2000 10
(c) 11 (d) 12
M = c(1 + i)t 2000 + 662 = 2000(1 + 0,1)t
t
t
(e) 10
1331 11 1000 10
Solução: C = número de questões corretas
11 11 10 10
E = número de questões erradas
t = 3 anos = 36 meses
3
t
C + E = 25 (I) 200C – 150E = 600 – 500 (II) 200C – 150E = 100 [50] 4C – 3E = 2
C E 25 3C 3E 75 7C = 77 4C 3E 2 4C 3E 2 C = 11
Em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 5 e o décimo primeiro termo é 45. Pode-se afirmar que o sexto termo é igual a (a) 25 (b) 29 (c) 35 (d) 15 (e) 21
Assinale a alternativa que representa o tempo necessário para que uma pessoa que aplicou R$ 2.000,00, à taxa de 10% ao ano, recebe R$ 662,00 de juros.
Solução:
(a) 2 anos
a1 = 5
(b) 3 meses
a11 = 45
(c) 36 meses
Sabemos que
(d) 6 anos
a1 = a6 – 5r
(e) 1 ano e meio
a11 = a6 + 5r
Do problema:
Somando membro a membro, temos: Solução:
a1 + a11 = 2a6
A questão deverá ser anulada, pois não foi citada a modalidade dos juros: se juros simples ou juros compostos.
5 + 45 = 2a6 25 = a6
1 Uma corrida é disputada por 8 atletas. O número de resultados possíveis para os 4 primeiros lugares é (a) 336 (b) 1.680
m 1 m2 1 e 1 1 m m
Sabendo que (sen x)2 + (cos x)2 = 1 2
2
m 1 m 2 Daí, 1 m m m2 + 2m + 1 + m2 + 4m + 4 = m2
(c) 1.530
m2 + 6m + 5 = 0
(d) 4.096
Cujas raízes são m1 = –1 e m2 = –5
(e) 512
Substituindo existência: Solução: A8,4 = 8.7.6.5 = 1.680
Se 5x+2 = 100, então 52x é igual a (a) 16
m1
=
–1
nas
condições
1
1 1 1 1 0 1 (convém) 1
1
1 2 1 1 1 1 (convém) 1
Substituindo existência:
m2
=
–5
nas
condições
1
5 1 1 1 0,8 1 (convém) 5
(d) 10
1
5 2 1 1 0,6 1 (convém) 5
(e) 4
Então a soma de m1 + m2 = –6
(b) 8 (c) 100
Solução: 5x+2 = 100 5x52 = 100
[25]
5x = 4
[elevando os membros ao quadrado]
52x = 16
2 e 5 g(x) = 3x2 – c possuem um único ponto em comum. O valor de c é Os gráficos das funções reais f(x) = 2x
1 5
(a) A soma dos valores de m que satisfazem a m 1 ambas as igualdades sen x = e m m2 cos x = é m (a) –4
(b) 1 (c)
1 15
(d) –0 (e)
1 5
(b) 5 (c) 6
Solução:
(d) –6
Fazendo f(x) = g(x), temos
(e) 4
2x
2 = 3x2 – c 5
Solução:
10x – 2 = 15x2 – 5c
Condição de existência:
0 = 15x2 – 10x + 2 – 5c
de
de
As funções possuem apenas um ponto em comum, então = 0 2
b – 4ac = 0 100 – 415(2 – 5c) = 0
[20]
5 – 3(2 – 5c) = 0 5 – 6 + 15c = 0 c=
1 15
Solução: Considerando um cilindro de altura “h” e raio da base “r”, seu volume é dado por: V1 = r2h Dobrando-se sua altura, ficaria “2h” e triplicando o raio de sua base, teríamos “3r”, o novo volume será dado por: V2 = (3r)22h V2 = 9r22h V2 = 18r2h Substituindo r2h por V1, temos
A média aritmética de todos os candidatos de um concurso foi 9,0, dos candidatos selecionados foi 9,8 e dos eliminados foi 7,8. Qual o percentual de candidatos selecionados? (a) 25% (b) 20% (c) 50% (d) 60% (e) 30% Solução: S = quantidade de candidatos selecionados E = quantidade de candidatos eliminados 9,0 =
9,8 S 7,8 E SE
9,0(S + E) = 9,8S + 7,8E 9,0S + 9,0E = 9,8S + 7,8E 1,2E = 0,8S
S 1,2 12 3 E 0,8 8 2
S 3 3 3 20 60 60% S E 3 2 5 5 20 100
Dobrando-se a altura de um cilindro circular reto e triplicando o raio de sua base, pode-se afirmar que seu volume fica multiplicado por (a) 6 (b) 18 (c) 36 (d) 12 (e) 9
V2 = 18V1