Correção da Prova da AFA 2010-2011 by jose anchieta

O óbvio só é óbvio para mentes preparadas

Resumo teórico Produtos notáveis 1) a2 – b2 = (a – b)(a + b) 2) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 3) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 6) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 7) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

um par ordenado de coordenadas reais, cuja representação no plano é um ponto chamado afixo. Observação: a) quando b = 0  z é um número real b) quando a ≠ 0 e b ≠ 0  z é um número imaginário c) quando a = 0  z é um número imaginário puro Potências de i 1) i0 = 1

i1 = i

i2 = –1

i 3 = –i

in  resto(n/4)  iresto ,  n  N Conjugado Se z = x + yi então o conjugado de z é o complexo z

Radiciação

tal que: z = x – yi

1) a n  n a 2)

n .k

Forma trigonométrica e representação geométrica

a m.k  n a m

Seja z = x + yi, x é a parte real, x = Re(z), e y é a parte imaginária, y = Im(z), temos: a) Afixo: é o ponto P(x, y) = P(Re, Im)

ab  n a n b a  m n a

b) Módulo: | z | =  =

a na  b nb

c) Argumento: é o ângulo , tal que   [0, 2[ e y Im(z) tg  =  x Re( z) d) Forma trigonométrica: z = | z |.(cos  + i.sen )

Conjuntos Numéricos Números naturais: N = {0, 1, 2, 3, ...} Números inteiros: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Números racionais: Q = {a/b, com a ∈ Z e b ∈ Z*} Números irracionais: são todos os números que não podem ser escritos como uma fração de dois números inteiros. É o conjunto I. Números reais: R = {x | x é racional ou x é irracional}.

Números Complexos Forma algébrica Z = a + bi com a, b  R, i2 = –1 e i é a unidade imaginária Também são representados na forma z = (a, b), como Curso Caxias

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x 2  y 2 = Re 2  Im2

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Operações na forma trigonométrica z1 = |z1|.(cos 1 + i.sen 1) z2 = |z2|.(cos 2 + i.sen 2) Multiplicação: z1.z2 = (|z1|.|z2|).[cos (1 + 2) + i.sen(1 + 2)] z |z | Divisão: 1   1 .cos(θ1  θ 2 )  i.sen(θ1  θ 2 ) z2  | z2 |  Potenciação: zn = |z|n.[cos(.n) + i.sen(.n)] Radiciação:   θ  2k   θ  2k  n z  n | z |.cos   i.sen   n    n  Obs: encontrar a raiz n-ésima de um número complexo Página 1

z é resolver a equação rn = z. Essa equação é de grau n, logo, possui n raízes. Assim, fazendo k = 0, 1, 2, ..., n – 1 na equação acima, encontramos, para cada k, uma raiz diferente.

Progressão aritmética Termo Geral: an = ak + (n – k)r n.(a1  a n ) Soma: Sn  2

altera-se: a) trocando de sinal, quando duas filas paralelas trocam de lugar entre si. b) ficando multiplicado por , quando os elementos de uma fila são multiplicados por . c) ficando multiplicado por α n quando a matriz é multiplicada por . Menor complementar Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o determinante Dij , de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij.

Propriedades (a1, a2, a3, ..., x, y, z, ...) P1) z – y = y – x xyz P2)  termodo meio 3

Cofator ou complemento algébrico: Número relacionado com cada elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n dado por Aij = (–1)i+jDij.

Progressão Geométrica (PG)

Teorema de Laplace

Termo Geral: a n  a k .q n  k

O determinante de uma matriz M, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Propriedade (a1, a2, a3, ..., x, y, z, ...) P1) y  x.z

Propriedade complementar

Soma dos termos da PG a .(q n  1) Sn  1 q 1 a (1) (soma dos infinitos termos), S  1 q 1 se –1 < q < 1, então

1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. 2) det(A–1) = 1/det A. 3) det(A.B) = det A.det B 4) se A é matriz quadrada de ordem n e k é real então det(k.A) = kn. det A

Matrizes, Lineares

Determinantes

Existência da Matriz Inversa

Sistemas

M é inversível se, e somente se, det M  0. Discussão de um sistema linear homogêneo

Determinante igual a zero O determinante de uma matriz quadrada é igual a zero, se a matriz possui: a) uma fila nula. b) duas filas paralelas iguais. c) duas filas paralelas proporcionais.

- todo sistema linear homogêneo é sempre possível, admite pelo menos a solução (x1, x2, ..., xn) = (0, 0, ..., 0), chamada solução trivial ou nula; - se o determinante de um sistema linear homogêneo for diferente de zero, então a única solução do sistema será a solução trivial. Classificação de sistemas lineares

Determinante não se altera O determinante de uma matriz quadrada não se altera se trocarmos ordenadamente linhas por colunas (det M = det Mt). Alterações no determinante O determinante de uma matriz quadrada de ordem n Curso Caxias

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a) possível e determinado: só possui 1 solução; b) possível e indeterminado: possui infinitas soluções; c) impossível: não possui soluções. Obs: se o número de equações for menor que o número de variáveis, o sistema jamais será possível e determinado. Página 2

Sistemas equivalentes

Equações Algébricas

Sistemas que possuem o mesmo conjunto solução. Propriedades: 1) trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente; 2) multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número real k ≠ 0 obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Teorema Fundamental da Álgebra

Escalonamento Método para resolver sistemas lineares de qualquer ordem. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. b) utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Toda equação de grau estritamente positivo admite no campo complexo pelo menos uma raiz. Decomposição F(x) = ao(x - r1).(x - r2).(x - r3) . ... . (x - rn) Toda equação de grau estritamente positivo admite no campo complexo pelo menos uma raiz e no máximo n raízes. Teorema das raízes complexas Se P(x) é um polinômio com coeficientes reais e o número complexo a + b.i é raiz de P(x) então seu conjugado a – b.i também é raiz. Teorema das raízes racionais Seja P(x) um polinômio de grau n com coeficientes p inteiros. Se P admite uma raiz racional , com p e q q primos entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor de an.

Polinômios Valor numérico: P() Substituir x por  e efetuar as operações indicadas. Polinômio identicamente nulo a) Definição P(x)  0  ao = a1 = a2 = ... = an = 0 Polinômios idênticos

Relações de Girard (mais importantes) F(x) = aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an = 0 a r1 + r2 + r3 + ... + rn =  1 a0 a r1.r2.r3. ... .rn = (–1)n . n a0

A(x)  B(x)  ao = bo ; a1 = b1 ; a2 = b2 ;... ; an = bn Divisão de polinômios

Análise Combinatória

a) Definição

Fatorial

A( x )

B( x ) 0

R (x)

Q( x )

A( x )  B( x ).Q( x )  R ( x )  G(R )  G(B) ou R ( x )  0

0! 1! 1  n! n.(n  1).(n  2)!  n  N *

Divisão por x –  Arranjos a) Obtenção do resto (r): Faça x – a = 0, e encontre o valor de x. Substitua x no polinômio, o valor encontrado é o resto.

A n , k  A kn 

b) Obtenção de Q(x) e R(x) (Utilize o dispositivo de Briott-Ruffini).

Permutação

n! (n  k )!

a) Cálculo das permutações simples n! Pn  A n ,n   n! (n  n )! Curso Caxias

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Domínio, imagem, período, sinais e monotonicidade (crescente, decrescente) das funções trigonométricas Função

Domínio

Imagem

Período

y = sen x y = cos x

R R   R –   k. 2 

[–1, 1] [–1, 1]

2 2

Sinais Cresce/Decresce 1º 2º 3º 4º 1º 2º 3º 4º + + – –     + – – +    



–



R – (–1, 1)

2

–





R – (–1, 1) R

2

+ +

+ –

– +

– –







y = tg x

  R –   k. 2   R – k. R – k.

y = sec x y = cossec x y = cotg x



ANOTAÇÕES

PROVA DE MATEMÁTICA

AFA 2010-2011 01. Se  =

2  2  2  2  2  2  2  2  2 , então: a)   (R – N) b)  pode ser escrito na forma  = 2k, k  Z c)   [(Q – Z)  (R – Q)]   d) [(Z  Q)  (R – N)]  

02. O número complexo z = a + bi é vértice de um triângulo equilátero, como mostra a figura abaixo.

É correto afirmar que o conjugado de z2 tem afixo que pertence ao a) 1º quadrante

b) 2º quadrante

c) 3º quadrante

d) 4º quadrante

03. De um dos lados de uma avenida retilínea, estão dispostos alguns postes nos

ponto P1, P2, ..., Pi, i ∈ N Do outro lado dessa mesma avenida, estão dispostas algumas árvores nos pontos A1, A2, ..., Aj, j ∈ N Sabe-se que:  P1P2  3 dam  P1Pi  63 dam 

P P , P P , é uma progressão aritmética finita de razão 3 1 2

2 3

 A1A j  P1Pi





 A1A 2 , A 2 A3 , é uma progressão geométrica finita de razão 2  i=j Com base nessas informações, é correto afirmar que a maior distância entre duas árvores consecutivas é, em dam, igual a a) 63

b) 32

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c) 18 ---

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d) 16 Página 8

04. Sobre o polinômio A(x) , expresso pelo determinante da matriz

ANOTAÇÕES

x 1 1   1 x  2 é INCORRETO afirmar que    1 x x  a) não possui raízes comuns com B(x) = x2 – 1 b) não possui raízes imaginárias. c) a soma de suas raízes é igual a uma de suas raízes. d) é divisível por P(x) = x + 2

05. Um colecionador deixou sua casa provido de R$ 5,00, disposto a gastar tudo na loja de miniaturas da esquina. O vendedor lhe mostrou três opções que havia na loja, conforme a seguir. • 5 diferentes miniaturas de carros, custando R$ 4,00 cada miniatura; • 3 diferentes miniaturas de livros, custando R$ 1,00 cada miniatura; • 2 diferentes miniaturas de bichos, custando R$ 3,00 cada miniatura. O número de diferentes maneiras desse colecionador efetuar a compra das miniaturas, gastando todo o seu dinheiro, é a) 15 b) 21 c) 42 d) 90

06. Sendo

4 a

2 0

1 1 b

1

 70 , o valor de

1 1 3

7  1 0 b  3c

2 c

a) 280 b) 0 c) –70 d) –210

07. Considere que: I) em uma urna encontram-se p bolas vermelhas e q bolas azuis; II) duas bolas são retiradas dessa urna, sucessivamente e com reposição. Sabe-se que x é a variável que indica o número de bolas azuis observadas com as retiradas, cuja distribuição de probabilidade está de acordo com a tabela a seguir.

Nessas condições, é correto afirmar que a) a probabilidade de se observar no máximo uma bola azul é 64%; b) se p = 6, então q = 9; c) se p = 18, então q = 12; d) p + q é necessariamente menor ou igual a 100.

08. Um quadrado de 9 cm2 de área tem vértices consecutivos sobre a bissetriz dos quadrantes pares do plano cartesiano. Se os demais vértices estão sobre a reta r, que não possui pontos do 3º quadrante, é INCORRETO afirmar que a reta r a) pode ser escrita na forma segmentária. b) possui o ponto P  2 ; 2 2





c) tem coeficiente linear igual a 3 2 d) é perpendicular à reta de equação 2x – 2y = 0

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SOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA

AFA 2010-2011 01  = 2  2 2  2 2 2  2 2 2  = 2  2  2   2  2  2  2  2  2      = 2  2  2  22   2  2   



 = 2  2 2  4 2 2



03 P.A. (3, 6, 9, ..., an), de razão r = 3 Sn = 63 a  a   n Sn = 1 n 2 3  a n   n  63 2 3  a n  n  2  63  an = a1 + (n – 1).r an = 3 + (n – 1).3 an = 3 + 3n – 3 an = 3n 3  3n  n  2  63 3(1 + n)n = 263 (1 + n)n = 2.21 (1 + n)n = 42  n = 6 ou n = –7 (não convém)

 = 2  2 2  42 2 P.A. (3, 6, 9, 12, 15, 18) P.G. (x, 2x, 4x, 8x, 16x, 32x) Sn = 63 63x = 63 x=1

 = 2 2 2  2 2 = 2 = 2

2  2 2  2  2   2 2

 = 2  42 = 2 2 =2

Sendo x = 1, a maior distância entre as árvores é 32 dam. resposta: b resposta: b

02 Solução 1: O complexo z tem argumento igual a 60°, o afixo de z2 terá argumento igual a 260°, igual a 120°, e seu conjugado terá argumento igual ao oposto de 120°, ou seja, –120°, ângulo do 3º quadrante. Solução 2: z = a + bi z = (cos 60º + i.sen 60º) z2 = 2(cos 2.60º + i.sen 2.60º) z2 = 2(cos 120º + i.sen 120º) z   [cos (240º) + i.sen (240º)]  3º quadrante 2

Solução 3: z = (cos 60º + i.sen 60º) z2 = 2(cos 2.60º + i.sen 2.60º) z2 = 2(cos 120º + i.sen 120º)  1 3  i z2 = 2    2 2    1 3  i   3º quadrante z 2  2     2 2 

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a) FALSO: 1 e –1 são raízes de A(x) e B(x). b) VERDADEIRO: as raízes –2, –1 e 1 são todas reais c) VERDADEIRO: a soma das raízes é –2 que é igual a uma das raízes d) VERDADEIRO: o resto da divisão de A(x) por P(x) é P(–2) = 0. 05 Para totalizar os R$ 5,00, ele poderá comprar: 1 miniatura de 3 reais + 2 miniaturas de 1 real ou 1 miniatura de 1 real + 1 miniatura de 4 reais. C2,1C3,2 + C5,1C3,1 = 23 + 53 = 21 resposta: b

resposta: c

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x 1 1  A(x) =  1 x  2    1 x x  A(x) = x3 + 2x2 – x – 2 = x2(x + 2) –1(x + 2) A(x) = (x + 2)(x2 – 1) = (x + 2)(x – 1)(x + 2)

resposta: a

z 2  2[cos (–120º) + i.sen (–120º)] 2

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06 2 3 4 a 0 0 2 0  70 3 1 1 b 1 0 2 c Para encontrar a segunda matriz partindo da primeira, faremos as seguintes operações: Página 13

08. (UFU MG) Seja o número complexo z = cos15º + isen15º, onde i2 = -1. Se w é um outro número complexo tal que |w| = |z| = |z – w|, então pode-se afirmar que um valor possível para w nessas condições é a) w = cos315º + isen315º b) w = cos60º + isen60º c) w = cos165º + isen165º d) w = cos225º + isen225º

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. O valor da expressão 3

( 2  1)2 - ( 2  1)2 - 3 2 é o mesmo de: 3

a) 2 2

b) 6 2

c) 3 2

d) 2 6

02. Racionalizando-se o denominador da fração 2 , obtém-se: 2  3 -1 3- 2 -2 6  3-2 a) c) 2 2 3  2 -2 6  2 -2 b) d) 2 2

09. (PUC MG) A soma de três números naturais em progressão aritmética é trinta; a diferença entre o maior e o menor destes números é doze. O menor termo dessa progressão é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

03. (EEAR – 2/2001) Supondo definida em R a fração

a . a  a . a  a . a 1 a2 1 a)

a 1

b) a + 1

c) a – 1

o seu valor é d) a

04. (CN – 1997) (2  3 )1997  (2 - 3 )1997 e 2 (2  3 )1997 - (2  3 )1997 y , o valor de 3 4x2 – 3y2 é: a) 1 b) 4 c) 2 d) 5 e) 3

Sejam

05. (MACK SP)

a) i

11. (FUVEST SP) Em um bloco retangular (isto é, paralelepípedo reto retângulo) de volume

, i  - 1 , é igual a:

b) – i

c) 1

d) 1 + i

e) – 1

06. (MACK SP) O complexo z = a + bi, de módulo 1, que satisfaz a condição  z – i  = 2 é um número: a) da forma bi, com b > 0. b) da forma bi, com b < 0 c) tal que a > 0 e b > 0 d) tal que a < 0 e b > 0 e) tal que a > 0 e b < 0 07. (PUCCampinas SP) Sejam x e y os números reais que satisfazem a igualdade i(x – 2i) + (1 + yi) = (x + y) – i, onde i é a unidade imaginária. O módulo do número complexo z = (x + yi)2 é: a) 5 b) 2 5 c) 5 d) 5 5 e) 25

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27 , as medidas das arestas 8

concorrentes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é: a)

102

1 i     1 i 

10. (UFU MG) Sejam x, y e z números reais positivos. Se os números log10 x, log10 y e log10 z formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então a) 2y = xy b) y2 = x + z c) 2y = x + z d) y2 = xz

7 8

8 8

9 8

10 8

11 8

12. (MACK SP) Supondo

k k k k k k k        ...  9 , então: 2 3 4 9 8 27 16

a) sen (k) = 1 b) cos (k) = 1  k   1  2 

c) sen 

 k   1  2 

d) cos 

e) sen (k) > cos (k) 13. (UFU MG) Se q(x) é um polinômio do terceiro grau com q(2) = q(3) = q(4) = 2 e q(5) = 0, então o valor de q(0) é igual a a) –8 b) –10 c) 8 d) 10

Página 17

14. (UNIFOR CE) São dados os polinômios P  x  3, Q  x2  3x  9 e R  (a  b)x3  (a  b)x2  cx  d. Sabendo-se que o polinômio P . Q é idêntico a R, conclui-se que a  b  c  d é igual a a) 28 b) 13 c) 25/2 d) 3/2 e) 26

19. (FURG RS) Existem cinco livros diferentes de Matemática, sete livros diferentes de Física e dez livros diferentes de Química. O número de maneiras que podemos escolher dois livros com a condição de que eles não sejam da mesma matéria é: a) 35 b) 50 c) 70 d) 155 e) 350

15. (UFU MG) Considere o polinômio p(x) = x4 + 5x3 – x2 + (3a + b – 1)x + (a-2b). Sabendo-se que zero é raiz de multiplicidade dois deste polinômio, então a) a  72 e b  17

20. (PUC RS) Se A e B são duas matrizes quadradas de ordem n e det (A) = a, det (B) = b, a  0 e b  0, então det (4A B-1) é igual a 4n  a a) b 4n a b) b 4  n2  a c) b d) 4  a  b 4 a e) b

b) a= -1 e b  17 c) C = 0 e E = 0 d) a  72 e b   17 e) C = 1 e E = 0 16. (MACK SP) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é: a) 120 b) 108 c) 160 d) 140 e) 128

21. (MACK SP) Se A é o conjunto de soluções reais da inequação 1

17. (MACK SP) Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O número de possíveis comissões é: a) 66 b) 72 c) 90 d) 120 e) 124 18. (UFPE) A ilustração abaixo é do mapa de uma região, onde estão indicadas as cidades A, B, C, D, E, F e as estradas que ligam estas cidades. Um vendedor deseja empreender uma viagem partindo de A para visitar cada uma das outras cidades, exatamente uma vez, e voltar para A. Acerca dos trajetos possíveis de tais viagens, qual das seguintes afirmações é incorreta? A

1 x 1 1 1 1 x 1 1

1

1 1  1  0 , então R- - A é o 1 x 1

conjunto: a)  b) ] – 2, - 1] c) ] – 1, 0] d) ] – 3, 0] e) ] – 3, - 2] 22. (UFU MG) Se A e B são matrizes inversíveis de mesma ordem, então

det(A 1BA) det B

é igual a

a) 1 b) –1 c) det A + det B d) det(AB)

23. (UNIFOR CE)

a) Existem 6 trajetos para o vendedor. b) Se ele começa visitando D existe um único trajeto. c) Se ele primeiro visita B então existem três trajetos. d) Se ele começa visitando E existe um único trajeto. e) Existem três trajetos em que ele visita C antes de B.

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a b c  Se o determinante da matriz b c a  é  c a b   abc então o determinante da matriz  a  b  c  a  b  c

igual a) k³

b) k²

c) 3k

d) 2k

igual a k, b c c a  é a b 

e) k

Página 18

65. (FUVEST SP) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB , N é o ponto médio de BC e MN = 14 / 4 . Então, DM é igual a

70. (EFOA MG) Um paralelepípedo retângulo, inscrito em uma esfera de raio r, tem área igual a 992 cm2. Sabendo-se que suas três arestas são proporcionais a 2, 3 e 5, o valor de r, em cm, é: a) 4 38 b) 2 39 c) 3 38 d) 2 38

2 4

2 2

c) 2

3 2 2

e) 4 39 e)

5 2 2

66. (ITA SP) Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede 2 cm. Sejam  e , respectivamente, os ângulos opostos aos segmentos BC e AC. A área dotriângulo é (em cm²) igual a: a) 2 sen2  cotg  + sen 2 b) 2 sen2  tg  – sen 2 c) 2 cos2  cotg  + sen 2 d) 2 cos2  tg  + sen 2 e) 2 sen2  tg  – cos 2 67. (UECE) O paralelogramo PQRS é tal que a bissetriz do ângulo Q intercepta o lado PS no ponto M com MS  5m e MQ  MR  6cm . Nestas condições a medida do lado PQ é: a) 3,0m b) 3,5m c) 4,0m d) 4,5m 68. (PUC SP) Um cone circular reto, cujo raio da base é 3 cm, está inscrito em uma esfera de raio 5 cm, conforme mostra a figura a seguir. O volume do cone corresponde a que porcentagem do volume da esfera.

. . a) 26,4% b) 21,4% c) 19,5% d) 18,6% e) 16,2% 69. (ITA SP) Um prisma hexagonal regular tem como altura o dobro da aresta da base. A razão entre o volume deste prisma e o volume do cone reto, nele inscrito, é igual a: a)

6 2 π

9 2 π

Curso Caxias

3 6 π

---

6 3 π

71. (UNESP SP) As arestas do cubo ABCDEFGH, representado pela figura, medem 1 cm. A

M N

D C E

F Q

Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a que pertencem, então o volume do prisma DMNCHPQG é. a) 0,625 cm³. b) 0,725 cm³. c) 0,745 cm³. d) 0,825 cm³. e) 0,845 cm³. 72. (MACK SP) Dividindo-se P(x) = x² + bx + c por x – 1 e por x + 2, obtém-se o mesmo resto 3. Então, a soma das raízes de P(x) – 3 é: a) – 3 b) – 2 c) – 1 d) 1 e) 3 Gabarito 0 0 -1 D 2 A 3 A 4 B 5 A 6 D 7 D

1 D C D B E D C A

2 D B A B A C E C

3 D D E D E C B

4 B E E B D E C

5 E A D D A B B

6 B A E E C C A

7 C A C B D D C

8 A D B B C B E

9 C D A C C D D

9 3 π

Prof. Anchieta

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