Números Complexos

quinta-feira, 22 de agosto de 2013

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MATEMÁTICA Prof. Anchieta

NÚMEROS COMPLEXOS Relembrando trigonometria

 x  x0 

2

  y  y0   r 2 2

É a equação de uma circunferência de centro  x 0 , y 0  e raio r.

Relembrando Geometria Analítica

 x  x0  a2

2

 y  y0   b2

2

1 Área de um polígono dados seus vértices

V1  x1, y1  , V2  x 2 , y 2  , …, Vn  xn , yn 

É a equação de uma elipse de centro  x 0 , y 0 , semieixo maior 2a, semieixo menor 2b, e, neste caso, eixo maior paralelo ao eixo Ox ou está contido no eixo Ox.

 x1, y1   x2, y2   xn , yn   x1, y1 

Área 

 2  1 2

 2  1

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Relembrando geometria plana 

  AB

Ângulo central

Ângulo inscrito

a11 a12 a21 a22

Relembrando determinantes

a11 a12 a21 a22 a31 a32

a13 a23 a33

a11  a22  a12  a21

a11  a22  a33  a12  a23  a31  a13  a21  a32 

  a13  a22  a31  a12  a21  a33  a11  a23  a32 

(a + bi) – (c + di) = = (a, b) – (c, d) = = (a – c, b – d)

Subtração (a + bi) + (c + di) = = (a, b) + (c, d) = = (a + c, b + d)

Operações na forma algébrica

Adição

Multiplicação

(a,b)  (c,d)

(a + bi)(c + di) = = (a, b)(c, d) =

(ac  bd,ad  bc)

Divisão

a  bi c  di a  bi i

 a,b   0,1

AB 2

 a,b   c,d

 a,b    0, 1  0,1   0, 1

 a,b    c, d  c,d   c, d  0  b, a  0   0  1,0  0 

 ac  bd,bc  ad

c

2

 d ,cd  cd 2

b, a  1,0 



 ac  bd,bc  ad 

c

2

 d2,0



b, a 

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n

j i

3

j m 1

2

calcule a quantidade de potências de i: n–m+1=k

os módulos das raízes são todos iguais a n  , onde n é a quantidade de raízes e  o módulo de z

2

Raízes n de um número complexo z: wn = z

divida k por 4 e tome o resto dessa divisão k  r (mód 4), onde r é o resto da divisão, r  {0, 1, 2, 3}

transforme z para a forma trigonométrica   cis 

1

os argumentos das raízes,

3

O somatório será encontrado conforme tabela abaixo:

Somatório

w0, w1, ..., wn, formam uma PA

que

tem o primeiro  2 argumento e razão , n n onde n é a quantidade de raízes

Operações na forma trigonométrica Potenciação

As n raízes de um número complexo z são os afixos dos n pontos de uma circunferência que a dividem em arcos congruentes, esses pontos são vértices de um polígono regular de n lados inscrito na circunferência de raio igual ao módulo n  , com n  3.

As raízes quadradas de um número complexo z são afixos de pontos simétricos em relação à origem (são números complexos opostos). Esses pontos são extremidades de um dos diâmetros da circunferência de centro na origem e raio igual ao módulo  .

Multiplicação

Na multiplicação de complexos, na forma trigonométrica, multiplicamos seus módulos e somamos seus argumentos.

Divisão

Estando o número complexo na forma algébrica (z = a + bi), em geral, é melhor representá-lo na forma trigonométrica (z =  .cis  ) para resolver problemas de potenciação, para isso determinamos seu módulo  e seu argumento  .

Na divisão de dois complexos, na forma trigonométrica, dividimos seus módulos e subtraímos seus argumentos.

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Módulo e Argumento Número complexo

Módulo

Argumento

Observação Possíveis valores de

b  3    , 1,  3  a  3 

z = a + bi = (a, b), com a  0eb  0 O número complexo é imaginário Sua representação no plano de Argand-Gauss será em um dos quadrantes (1º, 2º, 3º ou 4º)

tg 

  a2  b2

Im(z) b  Re(z) a

Importante: O argumento está no mesmo quadrante em que está o afixo do número complexo z

Possíveis argumentos: b 3 Para tg     a 3

  5 7 11   , , ,  6 6 6 6  b  1 a   3 5 7   , , ,  4 4 4 4 

Para tg  

b  3 a   2 4  5    , , ,  3 3 3 3 

Para tg  

z = bi = (0, b), com a=0eb  0 O número complexo é imaginário puro.

Sua representação no plano de Argand-Gauss é no eixo imaginário

 b



z = a = (a, 0), com b = 0 O número complexo é real, sendo representado no plano de Argand-Gauss no eixo real.

 a

  0 ou   

 3 ou   2 2

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zw  z  w

Módulo - propriedades -

1

zn  z

4

2

n

3

z z  w w

z2  z  a  b  i   a,b   2

2

2



a2  b2



2

 a2  b2

Módulo e Geometria Analítica z  k, com k > 0

z  k, com k > 0 z  k, com k > 0

a b k 2

2



a b 2

2



2

 k 

a b k 2

2

a2  b2  k

a b k 2

2



2

a b 2

2



2

 k 



2

Representa a equação da circunferência de centro (0, 0) e raio k.

z  w

2

a  bi  c  di

 a,b    c,d

a2  b2  c 2  d2

z  ci  a  bi  ci   a,b  c   a  b  c 

z  a  bi   a,b   a2  b2

7

z = a + bi = (a, b)

3

2

z 1 

2

Representa a região externa da circunferência de centro (0, 0) e raio k.

z  a  bi   a, b 

a  bi   a, b  

 a 

b  ai   b, a  

 b 

1 z

Arg(z) =  Arg(a + bi) = Arg[(a, b)] =  tg 

4

Im(z) b  Re(z) a

10

9 z=w a + bi = c + di (a, b) = (c, d) a=ceb=d

 k 

a2  b2  c 2  d2

Atenção

6 8

2

a2  b2  k 2

Representa a região interna da circunferência de centro (0, 0) e raio k.

2

5



2

a2  b2  k 2

1

a2  b2

2

  b   a2  b2

2

  a   b2  a 2

2

2

Se z = a + bi tem seu afixo no 1º quadrante, então z = a – bi terá seu afixo no 4º quadrante e vice-versa.

A soma Arg(z) + Arg  z  = 2.

Se z = a + bi tem seu afixo no 2º quadrante, então z = a – bi terá seu afixo no 3º quadrante e vice-versa.

A soma Arg(z) + Arg  z  = 2.

a  bi  b  ai  a2  b2

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MATEMÁTICA Prof. Anchieta Polinômios Um polinômio na variável ou indeterminada x é uma expressão da forma p(x)  a0 xn  a1xn1  ...  an1x  an n  N, onde: a0 , a1 , ..., an 1 e an são números complexos denominados coeficientes do polinômio; a0 xn , a1xn1, ..., an1x e an são chamados termos do polinômio; an é chamado termo independente do polinômio.

GRAU DE UM POLINÔMIO n1

VALOR NUMÉRICO

  C, que O valor numérico é dado por p(  ), obtemos substituindo-se, em p(x), x por  , e efetuando-se as operações indicadas.

SOMA DAS RAÍZES

x1  x 2 

PARA RESOLVER PROBLEMAS DO TIPO

z  4z  8  2i

Calcular p(13) em p(x) = x8–12x7–8x6–64x5–9x4–50x3–26x2+7

z1  z2  z3   z 6  z7  z 4  z5

z1  z2  z3 z 4  z5

z1n

 z 2  z3 z4

a1 a0

PRODUTO DAS RAÍZES

x1  x 2 

Dado p(x)  a0 x  a1x  ...  an1x  an , n  N, O grau de p(x) é dado por gr(p) = n, se a0  0 n

 xn  

 an  a ,se n é par  0  xn    an ,se n é ímpar  a0

FAÇA z = a + bi, z  a  bi e a igualdade entre complexos p(13) = 138–12.137–8.136–64.135–9.134–50.133–26.132 + 7 p(13) = (13.137–12.137)–8.136–64.135–9.134–50.133–26.132 + 7 p(13) = 137–8.136–64.135–9.134–50.133–26.132 + 7 p(13) = (13.136–8.136)–64.135–9.134–50.133–26.132 + 7 p(13) = 5.136–64.135–9.134–50.133–26.132 + 7 p(13) = (5.13.135–64.135)–9.134–50.133–26.132 + 7 p(13) = (65.135–64.135)–9.134–50.133–26.132 + 7 p(13) = 135 – 9.134 – 50.133 – 26.132 + 7 p(13) = (13.134 – 9.134) – 50.133 – 26.132 + 7 p(13) = 4.134 – 50.133 – 26.132 + 7 p(13) = (4.13.133 – 50.133) – 26.132 + 7 p(13) = (52.133 – 50.133) – 26.132 + 7 p(13) = 2.133 – 26.132 + 7 p(13) = 2.13.132 – 26.132 + 7 p(13) = 2.13.132 – 26.132 + 7 p(13) = 26.132 – 26.132 + 7 p(13) = 7

z1  z2  z3  z 6  z7 z 4  z5

z1  z2  z3 z 4  z5

 z 6  z7

z1  z2  z3 z 4  z5

z1n  z2m  z3

z1n  z2m  z3

z4

m

z4

n

z1  z2

m

 z3

z4

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