2 Geometria Espacial Orientações para estudo
Sólidos inscritos e circunscritos Esfera e cubo
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Comentários Diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo
2r = a r = raio da esfera a = aresta do cubo
Diâmetro da esfera é igual à diagonal do cubo
2r = a 3
Esfera e octaedro regular
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Comentários O diâmetro da esfera é igual à diagonal do quadrado do octaedro
2r = a 2 r = raio da esfera a = aresta do octaedro
O raio da esfera inscrita é a altura OH do triângulo retângulo AOM. Aplicando no AOM a relação métrica: hipotenusa x altura = produto dos catetos:
H
a 2 a a 3 .r = 2 2 2 a 6 r= 6
Esfera e tetraedro regular
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Comentários Num tetraedro regular, a soma das distâncias de um ponto interior qualquer às quatro faces é igual à altura do tetraedro.
r+r+r+r=h 4r = h a 6 4r = 3 a 6 r= 12 h = altura do tetraedro =
a 6 3
r = raio da esfera
h . 4 Sabendo que R + r = h, e substituindo r h h por , encontramos R + =hR= 4 4 a 6 3h e substituindo h por , temos: 3 4
Sendo 4r = h, então r =
3. R=
a 6 3 R= a 6 4 4
h = altura do tetraedro =
a 6 3
r = raio da esfera inscrita R = raio da esfera circunscrita
Prisma e cilindro
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O raio da base do cilindro é o raio da circunferência circunscrita à base do prisma.
O raio da base do cilindro é o raio da circunferência inscrita na base do prisma.
Pirâmide e cone
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O raio da base do cone é o raio da circunferência circunscrita à base da pirâmide.
O raio da base do cone é o apótema da base da pirâmide. A geratriz do cone é o apótema da pirâmide.
Cilindro e cone
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Usando os elementos indicados nas figuras, temos:
Cilindro e esfera
ADE ~ ABC
g r Hh G R H
EFC ~ ABC
Gg R r h G R H
ADE ~EFC
g r Hh Gg R r h
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--
O cilindro circunscrito a uma esfera é um cilindro eqüilátero cujo raio da base é igual ao raio da esfera.
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O raio da base r e altura h de um cilindro inscrito numa esfera de raio R possuem a seguinte relação:
(2r) 2 + h2 = (2R)2
Esfera e cone reto
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O é o centro da esfera inscrita (OC é bissetriz). E é o centro da circunferência segundo a qual a superfície cônica tangencia a esfera. D é o ponto de tangência.
x r Hr H R G
ADO ~ ABC
x é calculado no ADO retângulo em D:
x 2 (H r ) 2 r 2
Do triângulo retângulo ABC temos:
g2 = 2R.h Que relaciona o quadrado do cateto (g2) com o produto da hipotenusa (2R) pela projeção do cateto g (h).
r2 = h(2R – h) Que relaciona o quadrado da altura (r2) com o produto da projeção h pela projeção (2R – h).
Esfera, cilindro eqüilátero e cone eqüilátero
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R=r --
H = 2r R é o raio da base do cilindro H a altura do cilindro r é o raio da esfera
(2y)2 = y2 + x2
--
y é o raio da base do cone x é a altura do cone 2y é a geratriz do cone O é o centro da esfera e o baricentro da seção meridiana do cone (que é um triângulo eqüilátero), então:
x = 3r 2
2
2
Substituindo em (2y) = y + x , temos:
(2y)2 = y2 + (3r)2 y2 = 9r2