Cap´ıtulo 9
L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.1.
Introducci´ on
El concepto de l´ımite en Matem´ aticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funci´ on en un determinado punto o en el infinito. Veamos un ejemplo: Consideremos la funci´ on dada por la gr´ afica de la figura y fij´emonos en el punto x = 2 situado en el eje de abscisas:
¿Qu´e ocurre cuando nos acercamos al punto 2 movi´endonos sobre el eje x? Tomemos algunos valores como 2’1, 2’01, 2’001. Vemos en la figura que en este caso las im´agenes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01), f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y = 3. Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las im´agenes f(1’9), f(1’99), f(1’999) se acercan tambi´en al mismo valor, y = 3. Concluimos que el l´ımite de la funci´ on f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cu´al expresamos como: l´ım f (x) = 3 x→2
Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el l´ımite de una funci´ on en un punto es el valor en el eje Oy al que se acerca la funci´on, f (x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto. 145
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
146
Sin embargo la expresi´ on matem´atica rigurosa de l´ımite es algo m´as compleja: Definici´ on: Dada una funci´ on f (x) y un punto x = a, se dice que el l´ımite de f (x) cuando x se acerca a a es L, y se expresa como: l´ım f (x) = L x→a
cuando: Dado > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f (x) − L| < Lo que viene a expresar esta formulaci´ on matem´atica es que si x est´a “suficientemente cerca” de a, entonces su imagen f(x) tambi´en est´a muy pr´ oxima a L.
En la pr´ actica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados l´ımites laterales, que como recordaremos se definen de la siguiente forma: Definici´ on: Se define el l´ımite lateral por la derecha de a de la funci´ on f (x), y se expresa como: l´ım f (x)
x→a+
al l´ımite al que se acerca f (x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a. De igual modo, el l´ımite lateral por la izquierda de a de la funci´ on f (x) se expresa como: l´ım f (x)
x→a−
y se define como el l´ımite al que se acerca f (x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a. Propiedad: Para que una funci´ on f (x) tenga l´ımite en x = a es necesario y suficiente que existan ambos l´ımites laterales y coincidan, es decir: l´ım f (x) = l´ım f (x) = l´ım f (x)
x→a
x→a+
x→a−
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
9.2.
147
Tipos de l´ımites
Recordaremos algunos tipos de l´ımites que son conocidos: 1. L´ımites infinitos en un punto finito: En la situaci´ on del dibujo, se dice que el l´ımite cuando x se acerca por la derecha de a es +∞, pu´es a medida que la x se acerca a a, la funci´ on se hace cada vez mayor: l´ım f (x) = +∞ x→a+
(de igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo). De igual modo se define el l´ımite −∞ cuando nos acercamos a a (por la derecha o por la izquierda).(Dibuja el que falta)
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
148
Puede ocurrir que uno de los l´ımites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinaci´ on entre ellos, por ejemplo:
En la figura anterior se cumple que: l´ım f (x) = +∞
x→2+
y l´ım f (x) = 2
x→2−
2. L´ımites finitos en el infinito: Se dice que una funci´ on tiene l´ımite b cuando x tiende a +∞ cuando la funci´ on se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir: l´ım f (x) = b
x→∞
Gr´ aficamente:
En este caso el l´ımite es 2 cuando x tiende a +∞. De igual modo se define el l´ımite finito cuando x tiende a −∞.
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
149
3. L´ımites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si x tiende a +∞ la funci´ on se hace cada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞). Un ejemplo gr´ afico de este tipo de l´ımites ser´ıa:
En este caso: l´ım f (x) = −∞
x→∞
(Intenta dibujar otros casos diferentes).
9.3.
C´ alculo de l´ımites
Recordaremos, dada su importancia, algunas de las reglas para el c´alculo de l´ımites cuando se presentan diferentes indeterminaciones:
9.3.1.
L´ımites en el infinito
1. L´ımites de polinomios: El l´ımite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o −∞, dependiendo del coeficiente del t´ermino de mayor grado del polinomio: l´ım (2x5 − 3x2 + 5) = +∞
x→∞
l´ım (−3x7 − 5x2 + 4x − 8) = −∞
x→∞
pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo, y en el segundo caso el coeficiente de x7 es negativo. ∞ : Si tenemos un cociente de polinomios nos encontraremos con una indeter2. Indeterminaci´ on ∞ minaci´ on de este tipo. Para resolverla basta recordar la siguiente regla: Si tenemos:
±∞ p(x) 0 = l´ım x→∞ q(x) a b
Ejemplos: a)
si grado(p(x)) > grado(q(x)), donde el signo depende de los coeficientes. si grado(p(x)) < grado(q(x)) si grado(p(x)) = grado(q(x)), siendo a y b los coeficientes de los t´erminos de mayor grado de cada polinomio. x3 − 5x2 + 6 ∞ = = −∞ x→∞ −x2 + 4 ∞ l´ım
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
150
porque el grado del numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de mayor grado tienen signo diferente. b)
∞ x2 − 5 = =0 x→∞ x6 − x4 − 3x2 + 4 ∞ porque el grado del denominador es mayor. l´ım
c)
7 7x3 + 2x − 6 ∞ = =− x→∞ −3x3 + 6 ∞ 3 l´ım
porque los grados son iguales. Nota: La resoluci´on de l´ımites cuando x tiende a −∞ se reduce a estos casos, puesto que: l´ım f (x) = l´ım f (−x)
x→−∞
x→∞
es decir: x3 − 5x2 + 4 (−x)3 − 5(−x)2 + 4 −x3 − 5x2 + 4 ∞ = l´ ım = l´ ım = =∞ x→−∞ −x2 + 5x x→∞ −(−x)2 + 5(−x) x→∞ −x2 − 5x ∞ l´ım
La misma regla anterior sirve en el caso de que aparezcan ra´ıces, siempre que tengan sentido los l´ımites: d) l´ım
3+
x→∞
√
x3 − 5x ∞ = =0 x2 + 4 ∞
3 puesto que el grado del denominador es 2 y en el numerador la mayor potencia de x es , que 2 es menor que 2. e)
√
−x + 1 + x3 = x→∞ 1 + x + 3x3 puesto que aunque los grados de numerador y denominador son iguales, cuando x tiende a +∞ (es positivo y muy grande) resulta que −x + 1 es negativo y como es bien conocido, la ra´ız cuadrada de un n´ umero negativo no existe en el cuerpo de los n´ umeros reales, por tanto el l´ımite anterior no tiene sentido. l´ım
f) √ ∞ 1 −(−x) + 1 + (−x)3 −x + 1 + x3 x + 1 − x3 = = l´ ım = l´ ım = x→∞ 1 + (−x) + 3(−x)3 x→∞ 1 − x − 3x3 1 + x + 3x3 ∞ 3
√ l´ım
x→−∞
pues en este caso la ra´ız si tiene sentido y los grados son iguales, quedando el l´ımite el cociente de los coeficientes de los monomios de mayor grado. 3. Indeterminaci´ on ∞ − ∞: Cuando aparece esta indeterminaci´ on, si tenemos una resta de fracciones, simplemente se hace la resta para obtener un cociente de polinomios que ya sabemos resolver: 2 x2 − x + 1 x + 3 + x2 (x − x + 1)(x − 1) (x + 3 + x2 )(x + 1) − = (∞ − ∞) = l´ım − = l´ım x→∞ x→∞ x+1 x−1 (x + 1)(x − 1) (x − 1)(x + 1) 3 −4x2 − 2x − 4 ∞ x − 2x2 + 2x − 1 x3 + 2x2 + 4x + 3 − = l´ ım = = −4 = l´ım x→∞ x→∞ x2 − 1 x2 − 1 x2 − 1 ∞
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
151
En caso de que aparezca una ra´ız, el proceso es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresi´on radical:
√ √ √
(2x − 1) − x + 1 · (2x − 1) + x + 1 √ = l´ım (2x − 1) − x + 1 = (∞ − ∞) = l´ım x→∞ x→∞ (2x − 1) + x + 1 √ (2x − 1)2 − ( x + 1)2 4x2 − 4x + 1 − x − 1 √ √ = l´ım = l´ım = x→∞ (2x − 1) + x + 1 x→∞ (2x − 1) + x + 1 ∞ 4x2 − 5x √ = = +∞ = l´ım x→∞ (2x − 1) + x + 1 ∞
9.3.2.
L´ımites en puntos finitos
Si queremos calcular el l´ımite de una funci´ on f (x) cuando x se acerca a cierto valor a, simplemente hemos de sustituir el valor de a en f (x): 2 · 9 − 3 · (−3) + 1 2x2 − 3x + 1 = = −28 x→−3 x+2 −3 + 2 l´ım
El problema que nos podemos encontrar en este caso es que el denominador se haga 0 al sustituir x por el valor que corresponda. Nos podemos encontrar, por tanto, varios tipos de indeterminaci´ on. k umero cualquiera 1. Indeterminaci´ on , (k = 0): Se presenta cuando en el numerador aparece un n´ 0 no nulo y el denominador es 0. En este caso el l´ımite el siempre ∞, pero para determinar su signo, se calculan los l´ımites laterales: a)
l´ım
1 − 2 · 1 0001 −1 1 − 2x = = − = +∞ 1 − x2 1 − (1 0001)2 0
l´ım
1 − 2 · 0 9999 −1 1 − 2x = = + = −∞ 2 2 1−x 1 − (0 9999) 0
x→1+
−1 1−2 1 − 2x = = = x→1 1 − x2 1−1 0 l´ım
b)
−7 −7 = = x→0 x 0
x→1−
l´ım
−7 −7 −7 = = + = −∞ x 0 0001 0
l´ım
−7 −7 −7 = = − = +∞ x −0 0001 0
x→0+
l´ım
c)
−2 −2 = = 2 x→−1 (x + 1) 0
x→0−
l´ım
−2 −2 −2 = = + = −∞ 2 2 (x + 1) (−0 9999 + 1) 0
l´ım
−2 −2 −2 = = + = −∞ 2 2 (x + 1) (−1 0001 + 1) 0
x→−1+
l´ım
x→−1−
0 : En este caso tanto numerador como denominador se hacen 0. 0 Si tanto en el numerador como en el denominador tenemos polinomios, la forma de resolver la indeterminaci´ on es descomponer los polinomios en factores (mediante, por ejemplo, la regla de Ruffini) y simplificar para posteriormente volver a sustituir. 4 − 10 + 6 0 −1 x2 − 5x + 6 (x − 2)(x − 3) (x − 3) = = = l´ım = l´ım = l´ım x→2 x→2 (x − 2)(x + 2) x→2 (x − 2) x2 − 4 4−4 0 4
2. Indeterminaci´ on
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
152
En caso de que tambi´en aparezcan ra´ıces cuadradas, el proceso es multiplicar y dividir por la expresi´ on radical conjugada con el fin de simplificar y luego sustituir: √ √ √ 0 x+4−1 ( x + 4 − 1) · ( x + 4 + 1) √ = = = l´ım l´ım 2 x→−3 x + 2x − 3 x→−3 (x2 + 2x − 3) · ( x + 4 + 1) 0 √ ( x + 4)2 − 12 x+3 √ √ = l´ım = l´ım = x→−3 (x2 + 2x − 3) · ( x + 4 + 1) x→−3 (x2 + 2x − 3) · ( x + 4 + 1) 1 −1 (x + 3) 1 √ √ = l´ım = = = l´ım x→−3 (x + 3) · (x − 1) · ( x + 4 + 1) x→−3 (x − 1) · ( x + 4 + 1) (−4) · (1 + 1) 8
9.3.3.
L´ımites potenciales. Indeterminaci´ on 1∞
Cuando aparecen exponentes, hay que recordar algunas reglas b´ asicas. Si tenemos l´ım (f (x))g(x) x→a
o bien l´ım (f (x))g(x)
x→∞
se pueden presentar varios casos: 1. La base tiende a un n´ umero cualquiera no nulo y el exponente a otro n´ umero. En este caso el l´ımite es el n´ umero que resulta de realizar la operaci´on correspondiente: l´ım (x + 1)2x−3 = 2−1 =
x→1
1 2
2. La base tiende a un n´ umero positivo mayor que 1 y el exponente a +∞. En este caso el l´ımite es tambi´en +∞. 2x + 1 2x−3 = 2∞ = +∞ l´ım x→∞ 1+x 3. La base tiene a un n´ umero no nulo comprendido entre -1 y 1 y el exponente a +∞. En este caso el l´ımite es 0. ∞ 1 1 + x 2x−3 = =0 l´ım x→∞ 2x + 1 2 4. La base tiende a un n´ umero negativo menor o igual que -1 y el exponente a +∞. En este caso el l´ımite no existe, pues los productos son alternativamente de signo contrario: l´ım
x→∞
−3x + 1 1+x
2x−3
= (−3)∞ =
5. En el caso en que la base tiende a 1 y el exponente a +∞ tenemos una indeterminaci´ on que se resuelve aplicando la f´ ormula: l´ım (g(x) · (f (x) − 1)) l´ım (f (x))g(x) = (1∞ ) = (e)x→a
x→a
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
153
O bien realizando los pasos para resolver tales l´ımites que recordamos: 2x+3 2x+3 x x 3 1+x 1+x ∞ 0 −1 = (1) = (1 ) = l´ım 1 + = l´ım se suma y se resta 1 a la base x→0 se hace la resta x→0 2x + 1 2x + 1 2x+3 2x+3 x x 1 + x − 2x − 1 −x = l´ım 1 + = l´ım 1 + = se baja el numerador dividiendo al denominador x→0 x→0 2x + 1 2x + 1 −x 2x+3
· x
2x+3 2x+1 2x+1 x −x 1 1 = l´ım 1 + = l´ım 1 + = x→0
2x+1 −x
se pone el denominador como exponente
l´ım
= se sustituye el corechete por
e
(e)x→0
−x 2x+1
·
2x+3 x
2x+1 −x
x→0
l´ım
= (e)x→0
−2x−3 2x+1
= e−3
Ejercicio: Resolver el l´ımite anterior utilizando la f´ ormula. Nota: El caso en que el exponente tiende a −∞ se reduce a este sin m´as que recordar las propiedades de las potencias: a n b −n = b a
9.4.
As´ıntotas
Una primera aplicaci´ on del c´ alculo de l´ımites consiste en el c´alculo de las as´ıntotas de una funci´ on. Hay tres tipos de as´ıntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas (aunque de hecho las as´ıntotas horizontales son un caso particular de ´estas).
9.4.1.
As´ıntotas verticales
Una as´ıntota vertical de una funci´ on f (x) es una recta vertical x = k tal que se cumple: l´ım f (x) = ±∞
x→k+
o bien l´ım f (x) = ±∞
x→k−
Las posibles as´ıntotas verticales de una funci´ on se encuentran entre los puntos que no est´ an en el dominio de la funci´ on, aquellos que anulan el dominador en las funciones racionales, etc... Para determinar si un punto constituye una as´ıntota vertical de la funci´ on, se tiene que cumplir que alguno de los l´ımites laterales de la funci´ on en el punto sea ±∞. En tal caso, se dir´a que la funci´ on posee una as´ıntota vertical en dicho punto por el lado en el cu´ al dicho l´ımite sea ±∞. Ejemplo: Estudiar las as´ıntotas verticales de las funciones: f (x) =
2x + 3 x−1
1 g(x) = √ x
a) Para la primera funci´ on, la posible as´ıntota estar´a en el punto x = 1, que es el u ´nico n´ umero real que no pertenece a su domino por anular el denominador. As´ı pues estudiamos el: 2 · 1 0001 + 3 5 2x + 3 l´ım = = + = +∞ + 1 0001 − 1 0 5 x→1 x − 1 2x + 3 = = l´ım x→1 x − 1 0 l´ım 2x + 3 = 2 · 0 9999 + 3 = 5 = −∞ 0 9999 − 1 0− x→1− x − 1
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
154
Como ambos l´ımites laterales son infinitos, existe una as´ıntota vertical de la funci´ on en x = 1, y es m´as, conociendo el valor de los l´ımites podemos asegurar que en las cercan´ıas de la as´ıntota la funci´ on se comportar´a como en el dibujo:
√ 1 b) En cuanto a esta funci´ on,g(x) = √ , notemos que el denominador se anula cuando x = 0 =⇒ x x = 0, es decir la posible as´ıntota vertical estar´ a en x = 0. Analizando obtenemos: 1 1 1 l´ım √ = √ = + = +∞ + x 0 0 0001 1 x→0 1 l´ım √ = = x→0 x 0 1 1 l´ım √ = √ = − x x→0 −0 0001 puesto que no hay ra´ıces cuadradas de n´ umeros negativos. De modo que hay una as´ıntota vertical en x = 0 pero s´ olo por la derecha, es decir, la gr´ afica ser´a:
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
9.4.2.
155
As´ıntotas horizontales
Las as´ıntotas horizontales, si existen, indican el valor al que se acerca la funci´ on cuando la variable independiente x se hace muy grande o muy peque˜ na. Dicho en forma de l´ımites, una funci´ on tiene una as´ıntota horizontal en y = k cuando para alguno de los dos l´ımites: l´ım f (x) = k x→∞
o bien l´ım f (x) = k
x→−∞
Ejemplo: Calcular las as´ıntotas horizontales de las funciones: f (x) =
x2 + 1 x+1
1 g(x) = √ x
a) Para f (x) calculemos los l´ımites anteriores: x2 + 1 = +∞ x→∞ x + 1 l´ım
x2 + 1 (−x)2 + 1 x2 + 1 = l´ım = l´ım = −∞ x→−∞ x + 1 x→∞ (−x) + 1 x→∞ −x + 1 l´ım
de modo que la funci´ on f(x) no posee as´ıntotas horizontales. b) En cuanto a g(x), de igual modo: 1 l´ım √ = 0 x
x→∞
1 l´ım √ = x
x→−∞
De modo que g(x) posee una as´ıntota horizontal en y = 0 cuando x tiende a ∞. De forma gr´afica:
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
9.4.3.
156
As´ıntotas Oblicuas
Una recta y = m · x + n es una as´ıntota oblicua de la funci´ on f(x) cuando existen y son finitos los l´ımites: f (x) m = l´ım x→∞ x y n = l´ım (f (x) − m · x) x→∞
Las as´ıntotas horizontales son un caso particular de las oblicuas para el caso en que m = 0. Ejemplo: Estudiar las as´ıntotas oblicuas de f (x) = Calculemos m y n: m = l´ım
x→∞
f (x) x
= l´ım
x→∞
x2 . x+1 x2 x+1
x
x2 =1 x→∞ x2 + x
= l´ım
2 x2 x − 1 · x = l´ım −x = n = l´ım (f (x) − m · x) = l´ım x→∞ x→∞ x + 1 x→∞ x + 1 2 x − x2 − x −x = l´ım = −1 l´ım x→∞ x→∞ x + 1 x+1
Por tanto f (x) tiene una as´ıntota oblicua en y = x − 1 cuando x tiende a +∞. Se puede comprobar que cuando x tiende a −∞, f (x) tiene esta misma as´ıntota. (Int´entalo). Gr´ aficamente se obtiene:
Figura 9.1: La as´ıntota oblicua es y = x − 1
Ejercicios: 1. Calcula las as´ıntotas de las funciones: f (x) =
x 2 x −1
g(x) = 1
2. Estudia las as´ıntotas de la funci´ on:f (x) = e x−2 .
x2 x+2
h(x) =
x2 − 4 x2 + 4
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
157
3. Calcula los l´ımites: x3 a) l´ım √ x→∞ x2 − 2 d) l´ım
x→1
9.5.
x2 + 4 x+4
x x−1
x3 b) l´ım √ x→−∞ x2 − 2
c) l´ım
√ x2 + 5 − 3 e) l´ım √ x→2 x+7−3
x→∞
3x2 − 5 3x2 + x
x2 −1
2x2 − 2 x→1 x2 − 2x + 1
f ) l´ım
Continuidad
La idea intuitiva de funci´ on continua en un punto es bien sencilla. Una funci´ on continua en un punto es aquella que no “da saltos”, aquella que se puede dibujar sin levantar el l´ apiz del papel. Matem´aticamente la definici´ on de funci´ on continua es un poco m´ as compleja. Dice as´ı: Definici´ on: Una funci´ on f (x) es continua en un punto x = a si: Dado > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f (x) − f (a)| < Dicho de otra forma, si nos acercamos al punto a, entonces las im´agenes se acercan a la imagen de a, f (a). Si f (x) no es continua en x = a se dice que f (x) es discontinua en a o que tiene una discontinuidad en x = a. Propiedad: Para que una funci´ on sea continua en un punto a es necesario y suficiente que: a) Exista el valor de la funci´ on en el punto, f (a). b) Existan los l´ımites laterales, l´ım f (x) x→a+
y l´ım f (x)
x→a−
, y sean finitos e iguales entre s´ı e iguales a f (a), es decir: l´ım f (x) = l´ım f (x) = f (a)
x→a+
x→a−
Esta u ´ltima propiedad proporciona una forma muy sencilla de saber si una funci´ on es continua o no en un punto. Ejemplo: Estudiar la continuidad de la funci´ on: 2x + 1 si x > 2 f (x) = 1 si x ≤ 2 x En primer lugar, se˜ nalemos que la mayor´ıa de las funciones que estudiamos son continuas en todos los puntos salvo en algunos. ¿Cu´ales son los posibles puntos de discontinuidad de una funci´ on?. Aquellos en los que no est´a definida la funci´ on (anulan el denominador, etc...) y aquellos en los que cambia la definici´ on de la funci´ on. En todos los dem´ as puntos las funciones son siempre continuas y no hace falta analizarlos. En nuestro caso, si nos fijamos en f (x) encontramos 2 posibles puntos de discontinuidad. El primero es aquel en el que cambia la definici´on de la funci´ on, x = 2. Adem´as, como hay un demominador, que se anula para x = 0, y adem´ as estamos en el tramo de funci´on para valores menores que 2, el punto x = 0 es otro posible punto de discontinuidad.
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
158
Analicemos si la funci´ on es continua o no en esos puntos. Continuidad en x = 2: 1 f (2) = 2 pues debemos sustituir en la parte inferior de f (x), que es donde est´ a el igual. L´ımites laterales: 1 1 l´ım f (x) = l´ım = − x→2 x 2 x→2 Por otra parte: l´ım f (x) = l´ım 2x + 1 = 5
x→2+
x→2
Como los l´ımites laterales existen pero son diferentes, concluimos que f (x) es discontinua en x = 2. Continuidad en x = 0: f (0) = quedar´ıa un cero en el denominador. Con esto ya sabemos que la funci´ on no puede ser continua en x = 0. De todos modos calculamos los l´ımites laterales. Observemos que cuando nos acercamos a 0, da igual por la derecha que por la izquierda, estamos siempre en la parte inferior de la funci´on, luego: l´ım f (x) = l´ım
1 1 = − = −∞ x 0
l´ım f (x) = l´ım
1 1 = + = +∞ x 0
x→0−
x→0−
Por otra parte: x→0+
x→0+
Y f (x) tambi´en es discontinua en x = 0. Por tanto f (x) es continua en todos los n´ umeros reales salvo en x = 0 y x = 2.
9.6.
Tipos de discontinuidad
Analicemos los posibles casos que se pueden dar a la hora de estudiar la continuidad de una funci´ on en un punto. 1. Existe f (a) y los l´ımites laterales, que son iguales y finitos, pero distintos del valor de f (a). Una discontinuidad de este tipo se denomina discontinuidad evitable. Gr´ aficamente:
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
159
Observamos que los l´ımites por la derecha y por la izquierda valen 1, ambos, mientras que f (0) = 0. Hay una discontinuidad evitable en x = 0. 2. Existe f (a) y los l´ımites laterales existen y son finitos, aunque distintos. Estamos ante una discontinuidad de salto finito. Gr´ aficamente:
−1 , hay una discontinuidad En este caso el l´ımite por la derecha es 1, el izquierdo es 0 y f (0) = 2 evitable en x = 0. 3. Existe f (a) y alguno de los l´ımites laterales es infinito. En este caso hay una discontinuidad de salto infinito. Gr´ aficamente:
Ahora f (0) = 1, el l´ımite por la izquierda vale 1 tambi´en y el l´ımite lateral por la derecha vale +∞. Discontinuidad de salto infinito en x = 0.
CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
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4. No existe f (a) o alguno de los l´ımites laterales. Se trata de una discontinuidad esencial. De forma gr´ afica:
Los l´ımites laterales, ambos, son +∞, pero f (0) no existe. Hay una discontinuidad esencial en x = 0.