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Este ejemplo es interesante, puesto que
Ejemplo 9.1. Considérese una manguera de sección circular de diámetro interior de 2,0 cm, por la que fluye agua a una tasa de 0,25 litros por cada segundo. ¿ Cuál es la velocidad del agua en la manguera?. El orificio de la boquilla de la manguera es de 1,0 cm de
muestra el mecanismo mediante el cual al disminuir el diámetro de la boquilla, se logra que el agua salga con una velocidad que
permite
regar
a
distancias
convenientes. Note que ha disminuido el diámetro a la mitad, sin embargo la velocidad ha aumentado 4 veces, debido a
diámetro interior.
la relación cuadrática de las áreas. ¿Cuál es la velocidad de salida del agua?
Solución: Ejemplo 9.2. Disponemos del flujo de agua que circula por la manguera que es de 0,25Lt/s, de tal manera que según la ec (27):
Por una tubería inclinada circula agua a razón de 9 m3/min, como se muestra en la figura:
G=Av
En a el diámetro es 30 cm y la
presión es de 1 Kf/cm2. ¿Cuál es la presión en el punto b sabiendo que el diámetro es
Por lo que :
de 15 cm y que el centro de la tubería se " 3 cm # $ 0,25x10 % s ' G cm vm ( ( & ( 79,6 A s 3,14x12 cm2 3
halla 50cm más bajo que en a?
!
Ahora, la ecuación (18) permite calcular la velocidad de salida del agua por la boquilla, puesto que el flujo que pasa por la manguera es el mismo que pasa por la boquilla. Es decir, se debe cumplir la relación: Amvm = Abvb De donde se tiene: vb (
A m Vm G ( Ab Ab
cm3 0,25x10 s ( 316,5 cm vb ( s 3,14x0,52 cm2
Solución: Entre los puntos a y b se puede usar la ecuación de continuidad, de manera tal que: AAvA=AB vB=G
3
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De
donde
se
pueden
calcular
las
velocidades en a y en b :
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9m3 G m cm 60s vA ( ( ( 2,14 ( 214 2 2 A A 3,14x0,15 m s s
v0=v1=v En consecuencia, aplicando la ecuación de Bernouilli a puntos en la parte superior y la
9m3 G m cm 60s vB ( ( ( 8,33 ( 833 2 2 A B 3,14x0,075 m s s
parte inferior, se tiene: P0+*gh0+½ *v2=P1+*gh1+½*v2 P0+*gh0=P1+*g 1
También se puede ocupar la ecuación de
De donde:
Bernouilli para relacionar ambos puntos, de P1 =P0+ *g[h0-h1]
la que se puede calcular la presión en b:
P1=1,5[1,01x105Pa]+[1,30x103Kg/m3]
1 1 *v A 2 ( PB ) *ghB ) *vB 2 2 2 1 PB ( PA ) *g hA + hB ! ) * v A 2 + vB 2 2
PA ) *ghA )
[9,8m/s2][0m-1,0m]
!
PB ( 106 ) 1. 980 . 50cm )
P1=151500Pa-12740Pa=1,38atm
1 ,1 45796 + 693889 ! -0 2/
Dinas PB ( 724953,5 cm2
¡La presión bajó desde 1,5atm hasta 1,38atm!. Esta conclusión parece contradecir lo encontrado en el efecto Venturi, donde las presiones
eran
inversamente
proporcionales a las velocidades.
Ejemplo 9.3. Un
tubo
Sin
embargo, ha de recordarse que aquel era que
incompresible
conduce cuya
un
fluido
densidad
es
cierto bajo la restricción de líneas de flujo horizontales,
en
las
que
no
hubiera
1,30x103Kg/m3 es horizontal en h0=0m.
diferencias significativas en la energía
Para evitar un obstáculo, el tubo se debe
potencial del fluido en movimiento.
doblar hacia arriba, hasta alcanzar una altura de h1=1,00m.
El tubo tiene área
transversal constante. Si la presión en la
Ejemplo 9.4.
sección inferior es P0=1,50atm. Calcule la
Un fluido incompresible fluye de izquierda a
presión P1 en la parte superior.
derecha por un tubo cilíndrico como el que
Solución:
se muestra en la figura. La densidad de la sustancia es de 1000 kg/m3. Su velocidad
Según lo que predice la ecuación de continuidad,
al
tener
área
transversal
constante, no debe cambiar la velocidad del fluido en su interior, por tanto: 16/04/2008
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en el extremo de entrada es v0=1,5m/s, y la presión allí es de P0=1,75N/m2, y el radio de la sección es r0=0,20m. El extremo de salida está 4,5m abajo del extremo de 324
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Ejemplo 9.5.
entrada y el radio de la sección allí, es r1=0,075m.
Encontrar la presión P1 en
Un tanque cilíndrico de 1,80m de diámetro
ese extremo.
descansa sobre una plataforma de una torre a 6m de altura, como se muestra en la figura. Inicialmente, el tanque está lleno de agua, hasta la profundidad h0=3m. De un orificio que está al lado del tanque y en la parte baja del mismo, se quita un tapón que cierra el área del orificio, de
Solución:
6cm2.
La presión se puede encontrar mediante la
¿Con qué velocidad fluye inicialmente el
ecuación
agua del orificio?.
de
previamente velocidad
Bernouilli ;
sin
necesitaremos v1
con
la
embargo,
calcular
ecuación
la
¿Cuánto tiempo necesita el tanque para
de
vaciarse por completo?.
continuidad : A0v0=A1 v1 De donde: v1 ( A 0
v0 v v ( 1r0 2 02 ( r0 2 20 A1 1r1 r1
" m# 202 x10 +4 m $ 1,5 % m s' & v1 ( ( 10,7 s 7,5x10+4 m
!
Solución: Este problema es muy importante, puesto
Ahora, según Bernouilli :
que
1 1 *v 0 2 ( P1 ) *gh1 ) *v12 2 2 1 2 P1 ( P0 ) *g h0 + h1 ! ) * v 0 + v12 2
numéricamente algunos conceptos y por
P0 ) *gh0 )
otra
!
P1 ( 1,75x104 ) 103 . 10 . 4,5 )
por
parte,
una
parte
aún cuando
revisaremos
no
trata
de
conceptos directamente considerado en la teoría
aquí
expuesta,
contiene
otros
elementos que son relevantes para los 1, 3 10 1,52 + 10,72 / 0 2 estudiantes.
!
P1 ( 17500 ) 45000 + 56120 Al soltar el tapón, se tiene una situación
P1 ( 6380Pa
regulada por la ec. de Bernouilli; de tal Note que si ponemos una válvula y
manera que se puede calcular la velocidad
cortamos el flujo de agua, P1=sube ! 16/04/2008
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con que sale inicialmente el agua por el orificio, como hemos hecho hasta ahora: P1 ) *gh1 )
1 2 1 *v1 ( P2 ) *gh2 ) *v 22 2 2
Consideraremos la referencia en el piso;
P2+*gh2+½*V22=P3+*gh3+½*V32 Con P2=P3=P0 : P0+*gH+½*V22=P0+*g[0]+½*V32 De donde: v32=v22+2gh
además tanto en 1 como en 2 la presión es la atmosférica, y v1=0, puesto que la relación entre las áreas del tanque y del orificio permite despreciarlo a través de la ecuación de continuidad. (Note que:
A1 1r12 ( ( 4239 A 2 6cm2
v32=58.8 m2/s2+2[9,8m/s2][6 m] v3=13,3m/s Hasta aquí, el problema es resuelto como ha predicho la teoría expuesta.
embargo, calcular el tiempo que demora el tanque
¡La velocidad en 2 será 4239 veces mayor que la velocidad en 1! ).
en
vaciarse
requiere
de
consideraciones distintas, puesto que la profundidad no será constante, como en los casos anteriores.
De lo anterior:
Sin
Esto producirá que la
velocidad con que baja el fluido en el 1 1 2 P0 ) *g h ) h0 ! ) * 0 ! ( P0 ) *gh ) *v 2 2 2 2
tanque, así como la velocidad con que sale el líquido por el orificio, no sean constantes
De donde:
en el tiempo. v 22 ( 2gh0
Tal como lo habíamos previsto según Torricelli.
Para resolver esto, consideraremos que la altura h del líquido disminuye en dh durante un intervalo de tiempo dt (ver figura). Entonces, la velocidad con que baja el
Es interesante esta expresión, puesto que
fluido en el tanque v1, queda determinada
la velocidad no depende de la densidad del
por la expresión:
líquido, tal como la caída de un objeto no depende de su masa en ausencia de aire. Por lo tanto:
v1 ( +
dh dt
Negativa puesto que h disminuye en el
m# m " v 2 ( 2 $ 9,8 2 % 3m ! ( 7,7 s s ' &
tiempo. Adicionalmente, se tiene que
Luego, aplicando nuevamente Bernouilli
Como ya sabemos, expresión que es cierta
para los puntos 2 y 3, podemos calcular la
para todo t, de donde:
v1A1=v2A2
velocidad con que llega el agua al suelo: 16/04/2008
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v1 ( v 2
1 , 21r12 4 +h0 2 5 / 0 t( 2gA 2
A2 A1
Al igualar ambas expresiones, se tiene: +
A dh ( v2 2 dt A1
Además, según torricelli como hemos visto:
Remplazando valores : 1
2 3,14 ! 0,9m ! 3m ! 2 2
t(
v 2 ( 2gh
m# " 2 $ 9,8 2 % 0,0006m2 s ' &
!
t= 3263,3 segundos
Por lo que: Se
A dh , + ( 2gh -0 2 dt / A1
recomienda
revisar
con
especial
cuidado la lógica seguida en la solución de este problema.
Que se puede expresar como : +
A ( ,/ 2g -0 2 dt A1 h
dh
Ejemplo 9.6. Un tanque cilíndrico de 1,2 m de diámetro
Integrando la expresión para el intervalo
se llena hasta 0,3 m de profundidad con
entre t=0, donde la profundidad es h0 y el
agua. El espacio encima del agua está
tiempo 222t=t, donde la profundidad es h, se
ocupado con aire, comprimido a la presión
tiene :
de 2,026 x105 N/m2. De un orificio en el 1 + A + 3 h 2 dh ( ,/ 2g -0 2 3 dt A1
fondo se quita un tapón que cierra un área de 2,5 cm3. Calcular la velocidad inicial de la corriente que fluye a través de este
1 , 1 A +2 4h 2 + h0 2 5 ( ,/ 2g -0 2 t A1 / 0
orificio. Encontrar la fuerza vertical hacia arriba que experimenta el tanque cuando se quita el tapón.
Despejando t:
P1 v1 A1
1 , 1 +2A1 4h 2 + h0 2 5 / 0 t( , 2g - A 2 / 0
h Cuando el tanque se vacíe, h=0, por lo que: 1 , +2A1 4 +h0 2 5 / 0 t( 2gA 2
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P2 v2
A2
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Pero
Solución: Cuando el fluido sale del tanque, de acuerdo al tercer principio de Newton, reacciona con una fuerza hacia arriba
podemos
continuidad
y
suponer h2=0,
v1=0
usándola
por como
referencia: De aquí:
sobre el tanque de igual magnitud, pero de v 22 (
dirección opuesta a la fuerza con que es
2 P1 + P2 ! *
) 2gh1
expulsado. Por otro lado, el segundo principio de Newton establece que el impuso que recibe el fluido expulsado, debe ser equivalente al cambio en su cantidad de movimiento. Justo
al
ser
soltado
la
cantidad
Por lo que: , 2 P1 + P2 ! ) 2gh1 5 F ( *A 2 4 * / 0
Reemplazando: de
movimiento del líquido es cero, pero dt segundos más tarde, habrá sido expulsado
!
, 2 2,026x106 + 1,013x106 ) 2 980 ! 30 ! 5 F ( 1! 2,5 ! 4 1 4 5 / 0
un elemento de líquido de masa dm, que tendrá una velocidad v2 en dirección hacia
F=5 212 000 D=52,12 N
abajo.
Cuando la presión P1 es suficientemente
En consecuencia:
grande, este es básicamente el mecanismo de propulsión de un cohete
dp=v2dm=v2[*dv]=v2*[A2dy] dp=v2*A2[v2dt]=v22*A2dt Esta cantidad de movimiento dirigida hacia arriba será la comunicada al tanque, la que debe ser igual al impulso de la fuerza que actúa sobre él, de modo que: Fdt=v22*A2dt De donde: F=v22*A2 La velocidad de salida puede calcularse con la ecuación de Bernouilli: P1 ) *gh1 )
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1 2 1 *v1 ( P2 ) *gh2 ) *v 22 2 2
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