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Colegio Etchegoyen Talcahuano Formando al Hombre Humanista Laico
Ă NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
3ero C Denise Ulloa Díaz ¿ÁNGULO QUÉ SON LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA? : Figura formada por dos semirrectas que parten del mismo punto inicial. A las dos rectas se les denomina lados del ángulo y al punto inicial se le llama vértice del ángulo. El símbolo del ángulo es :
CIRCUNFERENCIA: La distancia alrededor del borde de un círculo (o cualquier figura curva). Es una clase de perímetro.
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Son, por lo tanto, todo tipo de ángulos dentro de una circunferencia
RELACIÓN CON LA HISTORIA
La primera medida razonable del tamaño de la tierra se debe a Erastótenes, griego nacido en Alejandría en el siglo II a.C. Vivía en la ciudad de Siena (que corresponde a la actual Asuán). Según nos cuenta el historiador Cleómedes, Erastótenes logró estimar la longitud de la circunferencia terrestre mediante el siguiente ingenioso argumento trigonométrico. La idea consiste en combinar tres observaciones: •
La Tierra es esférica. (Los griegos habían inferido este hecho a partir de la sombra siempre circular que proyecta la Tierra sobre la Luna).
•
•
Tan sólo un día de cada año, el sol se hallaba en línea vertical exacta sobre Siena. De hecho, existía un pozo profundo donde el agua del fondo sólo reflejaba los rayos del sol en ese día.
Este fenómeno nunca sucedía en Alejandría, situada 5000 estadios al norte de Siena aproximadamente.
Erastótenes combinó estos hechos en el siguiente dibujo que representa la incidencia de rayos solares (que se pueden considerar paralelos) sobre la Tierra.
Los dos ángulos que hemos representado son iguales usando un teorema de geometría elemental. Erastótenes midió este ángulo y halló que su valor era próximo a 7.2°, que corresponde a una cincuentava parte de una circunferencia. De aquí dedujo que bastaba multiplicar la distancia entre Siena y Alejandría por 50 para hallar la longitud de la circunferencia terrestre:
Circunferencia terrestre = ( 360 ÷ 7.2 ) 5.000 estadios = 250.000 estadios
1 estadio = 150 metros 250.000 estadios = 37500 km. aprox. El cálculo de Erastótenes fue ligeramente inferior al resultado correcto de unos 40074 km
TIPOS DE ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 1.
ÁNGULO CENTRAL: El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. El ángulo del centro mide lo mismo que el arco correspondiente.
EJEMPLO: Ángulo AOB = 40 grados, entonces el arco AB = 40
2.
ÁNGULO INSCRITO: El ángulo inscrito tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes de esta. El ángulo inscrito mide la mitad del arco correspondiente.
EJEMPLO: 3.
ÁNGULO INTERIOR: El ángulo interior está formado por dos cuerdas que se cortan en el interior de la circunferencia. El ángulo interior es igual a la suma de los arcos formados por las cuerdas y divididos en 2.
Ángulo AOB = 20 grados, entonces el arco AB = 40
EJEMPLO: 20
40
Arco AB + DC = 60, entonces el รกngulo X= 30
4.
ร NGULO EXTERIOR: Estรก formado por dos rectas secantes a la circunferencia que se intersectan fuera de un circulo. El รกngulo exterior es igual a la resta de los arcos formados por las rectas y divididos en 2.
EJEMPLO:
5.
ÁNGULO ArcoSEMI-INSCRITO: AB - DC = 64, entonces el ángulo X= 32 Ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son una recta tangente y una cuerda. Se calcula dividiendo el arco formado por la cuerda en 2.
Ángulo α = Arco BA/2
EJEMPLO: A Q
20
Ángulo X = Ángulo PQA
40
P
Arco AP = 40, entonces el ángulo X= 20
1.
EJERCICIOS PSU RESUELTOS En la circunferencia de centro O (fig. 1), AC es diámetro. Entonces, el valor de α es:
a)
10º
b)
20º
c)
40º
d)
80º
e)
140º
2. En la circunferencia de centro O y diámetro BC de la figura 2, ¿cuánto mide el (BCA? a)
22º
b)
34º
c)
36º
d)
44º
3. En la circunferencia de centro O de la figura 3, (BOA = 70º y (COB = 40º. ¿Cuánto mide el ángulo ABC? a)
140º
b)
125º
c)
120º
d)
110º
e)95º
1.
EJERCICIOS PSU PROPUESTOS En la circunferencia de centro O (fig. 1), se cumple que BAp โ DCp y AED q + CBp = 3BAp. Entonces, la medida del (x es
g)
45ยบ
h)
60ยบ
i)
72ยบ
j)
84ยบ
k)
90ยบ
l)
2. AC y BE son diรกmetros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si (BOA = 2 (COB, entonces el (CDB mide e)
30ยบ
f)
35ยบ
g)
45ยบ
h)
600ยบ
e) 120ยบ