Dedicado a mi familia que Amo mucho Melanie Gonzรกlez 26/04/15
Origen de los conceptos de Área y Perímetro:
La geometría fue descubierta en Egipto, teniendo su origen en la medición de áreas ya que esta era una necesidad para los egipcios debido a que la crecida anual del río Nilo inundaba los campos. Esto generaba varios problemas como, por ejemplo, que debido a que la tierra se distribuía entre los egipcios en terrenos rectangulares iguales, por los que pagaban un impuesto anual, cuando el río inundaba parte de su tierra, el dueño pedía una deducción proporcional en el impuesto, y los agrimensores de aquel tiempo tenían que certificar que tal fracción de tierra había sido inundada. El otro problema surgía cuando el agua volvía a su cauce, ya que la crecida se llevaba las señales que indicaban los límites del terreno de cada egipcio, luego era necesario calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites. Además de eso, el cálculo del área aporta información respecto a cómo podemos sembrar dicho campo o qué cantidad de fertilizante utilizar.
Debido a esto, la palabra Geometría viene del griego geo, que significa "tierra", y metrein, que significa "medir", y es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio.
La palabra perímetro proviene del latín perimetros, que se refiere al contorno de una superficie o de una figura y a la medida de ese contorno. De esta manera, el perímetro permite calcular la frontera de una superficie, por lo que en la antigüedad resultaba de gran utilidad, por ejemplo, para calcular la cantidad de material que se necesitaba para alambrar un campo.
El perímetro y el área son dos elementos fundamentales en matemáticas. Para ayudarte a cuantificar el espacio físico y también para proveer las bases de matemáticas más avanzadas como en el álgebra, trigonometría, y cálculo. El perímetro es una medida de la distancia alrededor de una figura y el área nos da una idea de qué tanta superficie cubre dicha figura.
El conocimiento del área y el perímetro lo aplican muchas personas día con día, como los arquitectos, ingenieros, y diseñadores gráficos, y es muy útil también para la gente en general. Entender cuánto espacio tienes y aprender cómo conjuntar figuras te ayudará cuando pintas tu cuarto, compras una casa, remodelas la cocina, o construyes un escritorio.
Perímetros y áreas
Perímetros y áreas
EJERCICIO RESUELTO Uno de los catetos y la hipotenusa de cierto triángulo rectángulo miden 6 cm y 10 cm respectivamente. Un rectángulo de 3 cm de ancho tiene igual área que dicho triángulo. ¿Cuál es el perímetro de este rectángulo? A) 11 cm B) 16 cm C) 22 cm D) 24 cm E) 30 cm Solución: Primero dibujamos el triangulo rectángulo con sus respectivas dimensiones:
6 cm
10 cm
X Luego, obtenemos el otro valor del cateto, ya que la necesitaremos para obtener el área de nuestro triangulo. Aplicamos el teorema de Pitágoras: 2
2
a +b =c 2
2
2
2
6 + x = 10 2
X = =
X =
100 -36 = 64 / √
8
Por lo tanto, el valor del otro cateto es 8 cm Aplicando la fórmula de Área de un triángulo rectángulo, se tiene: Área
=
(a * b) / 2
Área
=
(8 * 6) / 2
Área
=
24 cm2
Por lo tanto, el área del rectángulo será 24 cm
3 cm
Ahora obtenemos el largo del rectángulo, despejándolo de la siguiente fórmula Área
=
a*b
24
=
3*b
b
=
24/3
b
=
8 cm
Por lo tanto, el perímetro del rectángulo Perímetro
Perímetro
=
2a + 2b
=
2*8 + 2*3
=
22 cm
La alternativa correcta es la D)
EJERCICIO PROPUESTRO En la figura 1, ABCD se ha dividido en rectángulos y en un cuadrado. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el área de la región achurada? A) (x + a) (x + a) B) x(x + a) C) (x + a) (x - a) D) (x + a) (x - a) - (ax + a2) E) x2
Fig. 1
EJERCICIO RESUELTO
El área de un rectángulo es 2x2 + 2x - 24. Si uno de sus lados mide (x - 3), el otro lado mide: A) (x + 8) B) 2(x + 8) C) 2(x - 4) D) 2(x - 3) E) 2(x + 4)
SOLUCIÓN:
B 2x2 + 2x - 24
El área de un rectángulo se define como: Área
=
a*b
Reemplazando, se obtiene:
2x2 + 2x – 24
=
(x - 3) * b
Despejando se tiene: b
=
(2x2 + 2x – 24) / (x - 3)
Arreglando un poco lo obtenido, podemos decir que: b
=
(2x + 8) (x - 3) / (x – 3)
b
=
2x – 8
b
=
2 (x – 4)
Por lo tanto, la respuesta correcta es la C
(x - 3)
EJERCICIO PROPUESTO Con un cordel de largo d se forma un cuadrado. ¿Cuánto mide el área del cuadrado? A) d2 B) d2/2 C) d2/4 D) d2/8 E) d2/16
EJERCICIO RESUELTO En el triangulo isósceles de la base AB = de la figura 2, si CA/AB = 5/6 y AB = 18 cm, entonces el C perímetro y área del triangulo ABC son respectivamente: A) B) C) D) E)
39 cm y 108 cm2 48 cm y 72 cm2 48 cm y 108 cm2 48 cm y 216 cm2 58 cm y 108 cm2
A
18 cm
B
SOLUCIÓN Primero debemos sacar las dimensiones del triángulo con los datos que nos entrega el problema: Sabemos que: CA/AB
=
5/6
6 CA
=
5 AB
CA
=
(5 * 18) / 6
CA
=
15 cm
Por lo tanto nuestro triángulo queda de la siguiente forma:
C
15 cm
Ahora debemos sacar la altura del triangulo, para poder determinar el área: 15 cm
Aplicando Pitágoras: 2
2
9 +b
18 cm
B
2
2
2
=
15
b
=
144
b
=
12
2
A
2
a +b =c
Por lo tanto el área es: (12 * 18) / 2 Área
=
108 cm
2
Y el perímetro es la sumatoria de todos los lados: Perímetro
=
15 + 15 + 18
Perímetro
=
48 cm
Por lo tanto la respuesta correcta es la C
EJERCICIO PROPUESTO
3) PQRS es un cuadrado de 8 cm de lado. Si t es un cuadrado de lado 2 cm, ¿cuánto mide el área sombreada? a) 16 cm2 b) 14 cm2 c) 12 cm2 d) 10 cm2 e) 8 cm2