Cálculo diferencial Programa desarrollado
CUATRIMESTRE: 2 Programa de la asignatura:
Cálculo diferencial Clave: 050910206
ESAD
EducaciónSuperiorAbiertayaDistancia•CienciasExactas, Ingeniería yTecnología1
Cálculo diferencial Programa desarrollado
Índice
I. Información general de la asignatura................................................................................ 3 II. Competencia(s) a desarrollar .......................................................................................... 4 III. Temario .......................................................................................................................... 4 IV. Metodología de trabajo ................................................................................................... 7 V. Evaluación ....................................................................................................................... 7 VI. Material de apoyo ........................................................................................................... 8 VI. Desarrollo de contenidos por unidad .............................................................................. 9
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I. Información general de la asignatura a. Ficha de identificación Nombre de la Licenciatura o Ingeniería: Nombre del curso o asignatura Clave de asignatura: Seriación:
TSU y Licenciatura en Matemáticas
Cuatrimestre: Horas contempladas:
2 72
Cálculo diferencial 050910206
b. Descripción El cálculo diferencial es una rama de las matemáticas; en él se estudia la forma en la que cambian las funciones al cambiar las variables, siendo la derivada el objeto de estudio de esta asignatura. A través de ella descubriremos diversas aplicaciones en los problemas de optimización; por ejemplo, existen personas que deciden la manera en la que presentarán los envases de ciertos productos: lácteos, refrescos, jugos, etc. Pero los expertos eligen los materiales y la forma que tendrán con el fin de vender los productos a un costo razonable. ¿Te imaginas la forma en la que lo hacen? Pues, por medio de las aplicaciones de la derivada en los problemas de optimización en los que se determina el valor máximo o mínimo de una función para encontrar las dimensiones que éstos tendrán. La asignatura de cálculo diferencial se aborda en el cuatrimestre 2 de la licenciatura de matemáticas; al terminarla estarás preparado para aplicar las herramientas matemáticas en las diferentes áreas de trabajo o en las organizaciones con el fin de resolver las necesidades que éstas tengan. También estarás preparado para realizar investigaciones en forma individual o mediante la colaboración de otros investigadores, así como para construir modelos matemáticos que den respuesta a situaciones que surgen en la vida cotidiana. El contenido que trabajes en esta asignatura te servirá para aplicarlo en las demás, como cálculo integral, cálculo de múltiplesvariables, ecuaciones diferenciales I y II, variable compleja I y II, y ecuaciones diferenciales parciales.
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c. Propósito En este curso aprenderás a representar por medio de una función una situación o situaciones que surjan en las empresas u organizaciones, comprenderás el concepto de límite y continuidad, los cuales son la base para llegar al concepto de derivada. Una vez que hayas comprendido el concepto de derivada, identificarás las fórmulas de derivación y las aplicarás para encontrar las derivadas a los ejercicios propuestos. Esta ejercitación te permitirá calcular los máximos y mínimos de una función para resolver problemas de optimización. Además, cuando domines las técnicas de derivación, podrás comprender con facilidad las asignaturas de cálculo integral y ecuaciones diferenciales; en esta última integrarás ambas asignaturas.
II. Competencia(s)a desarrollar Competencia general Aplicar la derivada para resolver problemas de optimización a través de la ecuación que represente la situación o problema planteado. Competencias específicas Distinguir la clasificación, características y operaciones de las funciones a través de analogías de la vida cotidiana para representarlas mediante una tabla, una gráfica o una ecuación. Aplicar el procedimiento de límite y continuidad para determinarlos en una función por medio de la expresión general de la misma o de su representación gráfica. Resolver problemas de física y optimización para determinar los valores máximos y mínimos por medio del criterio de la primera o segunda derivada.
III. Temario 1.
Funciones 1.1. Definición de función 1.1.1. Prueba de la recta vertical 1.1.2. Representación de una función 1.1.3. Dominio y contradominio de una función 1.2. Clasificación de funciones 1.2.1. Funciones algebraicas (polinómicas, racionales y función valor absoluto) 1.2.2. Funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente) 1.2.3. Identidades trigonométricas 1.2.4. Funciones trascendentes (exponencial, logarítmica e hiperbólica)
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1.3. Características de las funciones 1.3.1. Funciones crecientes y decrecientes 1.3.2. Funciones pares e impares 1.3.3. Funciones periódicas 1.3.4. Función definida por secciones 1.3.5. Funciones implícitas 1.4. Operaciones entre funciones 1.4.1. Operaciones básicas y composición de funciones 1.4.2. Traslación de funciones 2.
Límites y continuidad 2.1. Límites 2.1.1. Concepto intuitivo de límite 2.1.2. Cálculo de límites de forma gráfica y numérica 2.1.3. Definición de límite 2.1.4. Propiedades de los límites 2.1.5. Límites especiales 2.2. Continuidad y límites laterales 2.2.1. Continuidad en un punto y en un intervalo abierto 2.2.2. Definición de continuidad 2.2.3. Límites laterales 2.2.4. Teorema de la existencia del límite 2.2.5. Definición de continuidad en un intervalo cerrado 2.3. Límites infinitos 2.3.1. Definición de límites infinitos 2.3.2. Asíntotas verticales
3.
La derivada 3.1. La derivada 3.1.1. Importancia de la derivada 3.1.2. Interpretación geométrica de la derivada 3.1.3. Concepto de derivada 3.2. Derivación de funciones algebraicas, polinomiales y racionales 3.2.1. Derivación de funciones algebraicas 3.2.2. Derivación de funciones polinomiales 3.2.3. Derivación de funciones racionales 3.3. Derivadas de orden superior 3.3.1. Definición de derivadas de orden superior
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3.4. Derivación de funciones trascendentes 3.4.1. Derivación de funciones trigonométricas 3.4.2. Derivación de funciones compuestas (regla de la cadena) 3.4.3. Derivación de funciones logarítmicas 3.4.4. Derivación de funciones exponenciales 3.5. Derivación de funciones implícitas 3.5.1. Derivación de funciones implícitas 4.
Aplicaciones de la derivada 4.1. Extremos en un intervalo 4.1.1. Extremos de una función 4.1.2. Teorema de los valores extremos 4.1.3. Extremos relativos y números críticos 4.1.4. Teorema de los extremos relativos que sólo ocurren en los números críticos 4.2. Teorema de Rolle y teorema del valor medio 4.2.1. Teorema de Rolle 4.2.2. Teorema del valor medio 4.3. Funciones crecientes, decrecientes y prueba de la primera derivada 4.3.1. Criterio de crecimiento y decrecimiento 4.3.2. Criterio de la primera derivada para extremos relativos 4.3.3. Aplicación del criterio de la primera derivada 4.4. Concavidad y el criterio de la segunda derivada 4.4.1. Definición de concavidad 4.4.2. Criterio de concavidad 4.4.3. Puntos de inflexión 4.4.4. Criterio de la segunda derivada para extremos relativos 4.4.5. Aplicación del criterio de la segunda derivada 4.5. Diferentes aplicaciones de la derivada 4.5.1. Aplicaciones físicas 4.5.2. Problemas de optimización
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IV. Metodología de trabajo Al inicio de cada unidad encontrarás las aportaciones prácticas de los conceptos de función, límite y derivada, así como el uso y la importancia que tienen en la vida cotidiana. El contenido se trabaja formalmente; de esta manera, podrás comprender el significado de los conceptos y aplicar los procedimientos en la comunidad extraescolar. La forma de trabajo para esta asignatura es con actividades formativas que pueden ser una cadena de secuencias, una rueda de atributos, un formulario o debates en el foro; además, podrás subir tus trabajos en el portafolio de evidencias. La metodología con la que se desarrolla la asignatura es el aprendizaje basado en problemas, en donde los (las) estudiantes se enfrentan a un problema o situación que deben resolver y para ello tienen que trabajar juntos, ayudándose unos(as) a otros(as), a través de una variedad de instrumentos y recursos informativos. Esto, con el propósito de que aprendan a problematizar una situación crítica de su contexto con base en asignaturas de investigación previamente cursadas.
V. Evaluación En el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo, sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al aula virtual. Por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo. Por lo anterior, para aprobar la asignatura, se espera la participación responsable y activa del estudiante así como una comunicación estrecha con su facilitador para que pueda evaluar objetivamente su desempeño. Para lo cual es necesaria la recolección de evidencias que permitan apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales. En este contexto la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentación permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias así como la participación en foros y demás actividades programadas en cada una de las unidades, y conforme a las indicaciones dadas. La calificación se asignará de acuerdo con la rúbrica establecida para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes realizarla. A continuación presentamos el esquema general de evaluación.
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ESQUEMA DE EVALUACIÓN Foros y base de datos
10%
Actividades formativas
30%
E-portafolio. 50%
Evidencias
40%
Autorreflexiones
10%
Examen final
10%
CALIFICACIÓN FINAL
100%
Cabe señalar que para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima indicada por la ESAD.
VI. Material de apoyo Bibliografía básica: Granville, W. A. (2004). Cálculo diferencial e integral. México: Limusa-Noriega editores. Larson, R. E., et al. (2006). Cálculo1 (octava edición). España: McGraw-Hill. Leithold, L. (1992). El cálculo con geometría analítica. México: Harla. Spivak, M. (1994). Calculus. Cálculo infinitesimal (segunda edición). España: Editorial Reverté. Bibliografía complementaria: Introducción al cálculo diferencial (tutorial) en: <http://www.matematicasbachiller.com/temario/calcudif/index.html> Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales. Consultado en: <http://www.sectormatematica.cl/librosmat/mat_cs_sociales.pdf>. Contiene problemas de optimización.
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VI. Desarrollo de contenidos por unidad Unidad 1. Funciones Propósitos de la unidad En esta unidad: Diferenciarás cuando una ecuación es función o no; esto lo podrás hacer por medio de la tabla de valores, la gráfica, el procedimiento algebraico o la prueba de la recta vertical. Identificarás las funciones algebraicas, trigonométricas y trascendentes. Representarás por medio de una función una situación de la vida cotidiana. Realizarás operaciones entre funciones para hacer su representación gráfica o determinar el resultado de la composición entre funciones.
Competencia específica Distinguir la clasificación, características y operaciones de las funciones a través de analogías de la vida cotidiana para representarlas mediante una tabla, una gráfica o una ecuación.
Presentación de la unidad En esta unidad conocerás el concepto de función, la representación algebraica, analítica y geométrica de la misma. Por medio de la representación gráfica identificarás si una ecuación es función o no. Una vez que identifiques esto, diferenciarás entre función polinómica, racional y función valor absoluto. Además, identificarás las características de las funciones; es decir, si una función es creciente, decreciente, par, impar, periódica, etc. Al final de la unidad investigarás las aplicaciones de las funciones en la vida cotidiana, clasificarás las funciones en algebraicas, trigonométricas y trascendentes, las representarás en el plano cartesiano y derminarás sus características.
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1.1. Definición de función El concepto de función lo utilizamos día con día en nuestra vida cotidiana; sin embargo, no estamos conscientes de ello. ¿Recuerdas algún ejemplo de función? ¿Puedes creer que una persona que atiende un puesto de jitomates le asigne diferentes valores a una variable para determinar la cantidad que va a cobrar? Por ejemplo, si deseamos comprar ½ kilo de jitomates, 2 kilos, 3 kilos, 5 kilos, etc., dicha situación se puede representar con una función. ¿Cuál sería esa función? Por supuesto que es una función muy sencilla, pero advierte que ahí están las matemáticas y que alguien las está aplicando sin conocer términos específicos, como par ordenado, dominio y contradominio. Tal vez te estés preguntando ¿qué papel juegan éstos en la venta de jitomates? Para contestar esta pregunta, primero debemos conocer la definición de función y, posteriormente, determinaremos los pares ordenados, el dominio y el contradominio en la venta de jitomates. Una función es un conjunto de pares ordenados (x, y) donde no hay dos pares ordenados distintos que tengan el mismo primer elemento; es decir, si f es una función, el par ordenado (a, b) pertenece a la función y si (a, c) es otro elemento de la función, entonces b = c; de lo contrario, f no sería una función. En pocas palabras, el primer elemento de un par ordenado no puede formar parte de otro. Si esto llega a ocurrir, el conjunto de pares ordenados no forma una función.
1.1.1. Prueba de la recta vertical La prueba de la recta vertical nos ayuda a determinar si una ecuación es una función tan sólo con observar su gráfica. Si todas las rectas verticales posibles cruzan la gráfica una sola vez o nunca, entonces la gráfica es una función. Si una sola recta vertical cruza la gráfica más de una vez, la gráfica no es una función. Por ejemplo, la ecuación de una circunferencia con radio 2 no es una función, ya que, para cualquier valor de x, tenemos dos valores de y.
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1.1.2. Representación de una función Existen funciones que pueden representarse fácilmente mediante una fórmula; sin embargo, no se puede hacer lo mismo para todas las funciones. Para encontrar la fórmula adecuada, utilizaremos datos y procedimientos que nos permitan hacerlo. También podemos representar una función de manera gráfica mediante la tabulación de algunos de sus datos, o bien, mediante una ecuación. Estas tres formas de representación están ligadas entre sí, ya que, gracias a una de ellas, podemos encontrar las otras dos. Ejemplos de representaciones de funciones: Vamos a representar por medio de una función cada una de las siguientes situaciones de la vida cotidiana. 1. La venta de jitomates por kilo se puede representar por la ecuación: c = np, donde n es el número de kilos; c, el costo de los kilos vendidos, y p, el precio de un kilo (donde p es fijo). En este ejemplo, a medida que aumente la cantidad de kilos comprados, aumentará el costo de lo que se compra; de esta manera, la ecuación cumple con la condición de función y la podemos representar como
, que se lee: “la función f en términos de n es igual a np”.
2. El recorrido de un automóvil en una autopista a velocidad constante se puede representar por la ecuación: d = vt, donde d es la distancia recorrida; v, la velocidad, y t, el tiempo. En esta función, la distancia que recorre el automóvil se incrementará conforme pase el tiempo. Debido a esto, nunca sucederá que en dos tiempos distintos recorra la misma cantidad de kilómetros mientras continúe su recorrido, lo cual hace que cumpla la condición de los pares ordenados, por lo tanto, es una función y la podemos escribir como
.
3. La cantidad monetaria generada en un pesero en una vuelta se puede representar por la ecuación: , donde g representa la cantidad monetaria; x, el número de pasajeros, y d,el costo de un pasaje (siendo d fija). En este ejemplo, al comparar dos cantidades monetarias distintas, se puede observar que la cantidad de pasajeros que interviene en cada una de ellas es distinta, por lo cual es también una función que se representaría como
.
A partir del primer ejemplo, realizaremos la tabla de valores y su respectiva gráfica. 1. En la venta de jitomates, supongamos que el precio de cada kilo es de $15.00, de esta manera podemos completar la siguiente tabla. EducaciónSuperiorAbiertayaDistancia•CienciasExactas, Ingeniería yTecnología11
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n (número de kilos de jitomates) c ($)
1
2
3
4
5
6
7
15
30
45
60
75
90
105
a) Primero trazamos el plano cartesiano y ubicamos los puntos de la tabla; por último, unimos los puntos y obtenemos la representación gráfica tal como se muestra en la siguiente figura:
Ejercicio: 1.
Completa la tabla de valores para el recorrido del automóvil si la velocidad es de 30 km/h.
t (horas) d (km)
1
2
3
4
5
6
7
8
a) Obtén los valores correspondientes en la fila de la distancia, utiliza la fórmula d = vt; si sustituyes el valor de la velocidad, tenemos que d = 30t. b) Una vez que hayas obtenido los valores, grafica los puntos obtenidos y únelos. La gráfica que realices es la representación de la función que se utilizó para el cálculo de la distancia. 2. Tabula la ecuación , con , asignándole a y los valores: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Una vez que hayas realizado la tabulación, grafica los puntos obtenidos.
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Actividad formativa 1. Elabora una cadena de secuencias para trazar una gráfica en el plano cartesiano en donde representes cada una de las siguientes situaciones: a) Una tortillería permanece abierta de 9:00 a.m. a 5:00 p.m.; cada hora se venden 30 kilos de tortillas. b) El 2 de agosto de 2010 el dólar a la compra estaba en $12.587; si el cajero de un banco desea elaborar una tabla por cada cinco dólares que compra. 3. En equipos de tres personas, investiguen situaciones de la vida cotidiana que puedan ser representadas por medio de funciones; expresen la función que permita modelar dicha situación. Traten de conseguir ejemplos en los que las empresas u organizaciones se puedan apoyar con el modelo de una función. Por ejemplo, si la dueña de una papelería le aumenta el 50% al precio que le costó cada producto, con una función como , puede obtener los precios de cualquier producto. Además, se puede dar cuenta fácilmente de la cantidad que gana al final del día. Si vendió $3000 los puede obtener como $3000 = p + 0.5 (p), donde p = $1000 y es la ganancia que obtuvo al final del día. Por último, presenten a los demás equipos los ejemplos y discútanlos en el foro.
1.1.3. Dominio y contradominio de una función El dominio de una función está formado por el conjunto de todos los valores posibles de x y el contradominio o imagen de la función está formado por todos los valores posibles de y. En los siguientes ejemplos determinaremos el dominio y contradominio de una función. Primero debemos tomar en cuenta que una función f puede representarse de las siguientes maneras: o
o
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o
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Ejemplo: ¿Te acuerdas del primer ejemplo de la venta de jitomates? Determinemos el dominio y el contradominio. Recuerda que el precio de cada kilo es de $15.00 y la función es c = np. Observa la tabla de valores. n (número de kilos de jitomates) c ($)
1
2
3
4
5
6
7
15
30
45
60
75
90
105
El dominio de la venta de jitomates son todos los kilos que se venden a $15; si el precio cambia, tendríamos otra tabla y la gráfica sería diferente. Supongamos que se venden 100 kilos a $15, el dominio es: Dominio: {1, 2, 3, 4, 5, 6,…, 100} El contradominio de la venta de jitomates sería la cantidad que se cobra por cada kilo. Suponiendo que fueron 100, sería: Contradominio:{15, 30, 45, 60, 75, 90, 105,..., 1500} Ejercicio: Nota: se debe enviar a la sección de tareas 1. Escribe una función que represente las siguientes situaciones: a) El número de kilos de tortilla que se obtiene de varias bolas de masa, si se sabe que de cada bola se obtienen 15 kilos de tortilla. b) La cantidad de horas trabajadas por un obrero en una semana,si diariamente trabaja 8 horas y descansa los domingos. c) El número de tabiques usados por un albañil que construye un muro en 9 días, si diariamente coloca un total de 250 tabiques. 2. Establece cuáles de los siguientes enunciados representan una función y cuáles no. a) La cantidad de árboles en una ciudad. b) El número de postes de luz colocados en diferentes colonias. c) La cantidad de agua depositada en un tanque a través de una tubería que libera 200 litros en un día. EducaciónSuperiorAbiertayaDistancia•CienciasExactas, Ingeniería yTecnología14
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1.2. Clasificación de funciones En este tema conocerás los diferentes tipos de funciones de acuerdo con las características de cada una de ellas.
1.2.1. Funciones algebraicas (polinómicas, racionales y función valor absoluto) Una función algebraica está formada por un número finito de operaciones algebraicas, como son la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Un ejemplo de función algebraica son las funciones polinómicas. Las funciones polinómicas se forman por la suma y resta de polinomios de la variable independiente (a la que se le asignan valores). Son de la forma: , donde los de esta función es El grado de la función polinómica es 3.
son constantes. Un ejemplo
.
Las funciones racionales se expresan por el cociente de dos funciones polinómicas, siempre y cuando el dominio de la función que queda como denominador sea distinto de cero. Por ejemplo:
La función valor absoluto se representa por ; esta función traslada los valores negativos de la imagen de una función a valores positivos de la misma. Ejercicio: A partir de la ecuación de la función y de su representación gráfica, identifica cuáles son funciones y cuáles no. Escribe qué tipo de función es cada una de las que hayas encontrado.
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a) b)
Sí es función No es función
a) b)
Sí es función No es función
a) b)
Sí es función No es función
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a) b)
Sí es función No es función
1.2.2.
Funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente)
Observa el siguiente video: Guión para el video 1. En la primera pantalla del video, debe mostrarse un triángulo rectángulo como el que se presenta a continuación.
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1.
En la segunda pantalla, se debe mostrar lo siguiente y escuchar el siguiente diálogo.
Diálogo: Para definir las funciones trigonométricas, sólo necesitas recordar la primera, tercera y sexta función, ya que las otras son su complemento.
2. En la tercera pantalla se debe mostrar lo siguiente y escuchar el siguiente diálogo. Diálogo: Si alguna vez te has tomado una coca y al final dices: “hip, hip”, entonces te acordarás de la definición de las funciones trigonométricas. Nos referiremos al cateto opuesto como co, al cateto adyacente como ca y a la hipotenusa como hip. Y escribimos de arriba hacia abajo en la parte superior de la división: co ca co ca hip = h hip = h
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Por último, los escribimos de abajo hacia arriba en la parte inferior del signo de la división: co ca co ca hip = h hip = h y llegamos a la definición de las seis funciones trigonométricas.
Advierte que la primera y la última son funciones inversas, así como la segunda y la quinta y la tercera y la cuarta.
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Ejercicios: 1. Evalúa las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente en el ángulo θ, cuando:
3.
Para cada una de ellas, traza la gráfica correspondiente en el plano cartesiano.
1.2.3. Identidades trigonométricas Existen muchas identidades trigonométricas que se presentan en varios textos de cálculo y geometría analítica; algunas provienen de manera directa de la definición de las funciones trigonométricas. Una identidad trigonométrica es una ecuación en la cual ambos miembros son iguales. A continuación, se presentan algunas de las identidades trigonométricas más comunes en la mayoría de las áreas de las matemáticas. Identidades trigonométricas fundamentales a) b) c) d)
Suma o diferencia de dos ángulos e) f) g)
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Fórmulas del ángulo doble y del ángulo mitad
a) b) c) e) Ejemplo: Demuestra que Sabemos que Tenemos
Actividad formativa Esta actividad la van a hacer en el wiki Investiga lo siguiente: Elabora un formulario en el que escribas las fórmulas trigonométricas que se te piden a continuación y un ejemplo de cómo se aplican. a) Las fórmulas de las identidades trigonométricas fundamentales. b) Las fórmulas del ángulo mitad y doble.
1.2.4. Funciones trascendentes (exponencial, logarítmica e hiperbólica) Las funciones trascendentes son aquellas que no pueden expresarse mediante un número finito de sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces. Algunas de las funciones trascendentes son las funciones logarítmicas, exponenciales e hiperbólicas. Sea y define como:
y sea
Suponiendo que
existe con
, la función logarítmica de base
y
(denotada por
, entonces, en la ecuación
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) y se
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Con
, podemos despejar a la x para determinarla de manera única por:
y se lee como: “x es igual al logaritmo en base a de n”. Además, tenemos las siguientes propiedades de los logaritmos: Sea
y sea
, entonces, se define a la función exponencial con base a como
La función seno hiperbólico está definida por:
La función coseno hiperbólico está definida por:
1.3. Características de las funciones Para conocer las características de las funciones, es necesario definir las funciones crecientes, decrecientes, pares e impares, funciones periódicas, etc.
1.3.1. Funciones crecientes y decrecientes Una función f es creciente en un intervalo si para cualquier par de números intervalo
implica
implica
del
.
Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquier par de números intervalo
,
.
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,
del
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Ejemplo: Sea la función f(x), encuentra un intervalo en el cual la función es creciente y uno en el cual es decreciente. Para dar respuesta a este ejemplo, necesitamos graficar la función; la gráfica de f(x) es la siguiente:
En la figura podemos observar que la gráfica viene bajando desde la izquierda hasta llegar a 1, y a partir de ahí comienza a subir. Podemos decir que la gráfica es decreciente en el intervalo y creciente en el intervalo en el intervalo
con
tomamos los puntos de tal forma que
; esto es, si tomamos un par de puntos: punto entonces se cumple que
. Por otra parte, si
en el intervalo
, entonces, se verificará que
.
1.3.2. Funciones pares e impares La función
es par si
La función
es impar si
y
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Ejemplo: Determina en qué intervalos la función
es creciente o decreciente y si es par o impar.
Solución: Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, lo primero que debemos hacer es graficar la función (ver figura 1). Si nos desplazamos de izquierda a derecha en el eje x, podemos observar que la función sube, es decir, va hacia arriba. Es creciente en los intervalos decrece.
en ningún momento la función
La función es impar, ya que
.
Ejercicio: Determina en qué intervalos las siguientes funciones son crecientes y decrecientes, si son pares o impares. a)
b) c) d) e) Este ejercicio lo debes enviar a la sección de tareas.
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1.3.3. Funciones periódicas Una función f es periódica, si existe un número diferente de cero, el cual lo denotaremos con p para representar el periodo, tal que para todo x en el dominio de f. El menor de tales valores positivos de p (si existe) se llama el periodo de f. Las funciones trigonométricas: seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo 2π, y las funciones tangente y cotangente tienen periodo π. Ejercicio: En las siguientes gráficas arrastra el mouse para señalar de dónde a dónde va el periodo en cada una de ellas.
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1.3.4. Función definida por secciones Estas funciones están formadas por una combinación de funciones diferentes; por ejemplo, una parábola con una línea recta y una función senoidal. Ejemplo: Si Sea
Si
Si por tres secciones diferentes, de izquierda a derecha; la primera es Es una función compuesta , la segunda es 5 y la tercera es En las unidades 2 y 3 utilizaremos las funciones definidas por secciones. Actividad formativa 1. Investiga el significado de función definida por secciones, muestra tres ejemplos y elabora una cadena de secuencias para trazar la gráfica de este tipo de función. 2. Envía tu trabajo a la sección de tareas.
1.3.5. Funciones implícitas Hasta este momento, la mayor parte de las funciones que hemos trabajado ha sido expresada en forma explícita; por ejemplo, en la ecuación
, la variable y está escrita
explícitamente como función de x. Sin embargo, podemos encontrar funciones como que está definida implícitamente por la ecuación . En pocas palabras, cuando no se encuentre despejada la variable y, estamos hablando de una función implícita. Ejercicio: 1.
De cada una de las siguientes funciones, relaciona su forma implícita con su explícita.
Forma implícitaForma explícita
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,
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1.4. Operaciones entre funciones Ya sabemos que podemos realizar cuatro operaciones básicas con los números reales: sumar, restar, multiplicar y dividir; de la misma manera, podemos hacer esto con las funciones.
1.4.1. Operaciones básicas y composición de funciones Sea la función y . A partir de estas dos funciones podemos obtener la suma, diferencia, producto y cociente de las siguientes funciones.
Sean f y g dos funciones. La función dada por
se llama función compuesta de
f con g. El dominio de f ° g es el conjunto de todos los x del dominio de g tales que pertenece al dominio de f. Ejemplo: Sea
y
, encontrar:
a) b) Solución: a)
, escribimos el lado derecho de la función
, pero en
lugar de que esté evaluada en x está evaluada en sustituimos
b)
, escribimos la función
, pero no la evaluamos en x sino
en =
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1.4.2. Traslación de funciones Imagina que tienes una función cualquiera:
,
,
,
,
, , y . Supongamos que tenemos a f(x) = x, ¿cómo le harías para desplazarla una unidad hacia arriba, pero sin afectar el valor de la pendiente? ¿Qué tendrías que hacer para desplazarla dos unidades hacia la derecha? ¿Y cinco unidades a la izquierda? Recuerda que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir funciones. En este tema de traslación trabajaremos con la suma de funciones, que nos va a servir para desplazar una unidad hacia arriba a la función
.
Lo primero que debemos hacer es sumar la función obtenemos
,y
. En las siguientes tablas de valores, puedes observar los datos para la
función
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y la función constante
f y para
y -3 -2 -1 0 1 2 3
.
Para obtener la tabla de la derecha, le sumamos una unidad a cada uno de los valores de y.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -2 -1 0 1 2 3 4
En la gráfica de , la recta pasa por el origen, y, en la función , en lugar de pasar por el 0 corta al eje y en el 1 (ver gráfica). Ahora estás en posición de poder responder las preguntas hechas anteriormente: ¿Qué tendrías que hacer para desplazarla dos unidades hacia la derecha? ¿Y cinco unidades a la izquierda? En la gráfica de la derecha puedes observar las transformaciones que tuvo la función f(x) = x al sumarle y restarle una unidad y al multiplicar por -1.
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Gráfica original: Traslación horizontal de c unidades a la derecha: Traslación horizontal de c unidades a la izquierda: Traslación vertical de c unidades hacia abajo: Traslación vertical de c unidades hacia arriba: Reflexión (respecto al eje x): Reflexión (respecto al eje y): Reflexión (respecto al origen):
Evidencia de aprendizaje: Funciones Investiga las aplicaciones de las funciones en la vida cotidiana; por ejemplo, para asignar el precio a un producto a partir de la materia prima que se utilizó para fabricarlo. El trabajo debe cubrir los siguientes puntos: a) Clasificar las funciones que se presentan en la vida cotidiana en: algebraicas, trigonométricas y trascendentes mediante una expresión funcional. b)
Las gráficas de los diferentes tipos de funciones.
c) Las características de las funciones, donde se incluya el dominio y el contradominio de cada tipo de función. d) Las operaciones entre funciones; la función que represente una situación de la vida cotidiana y los diferentes tipos de funciones por las que está formada.
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Consideraciones específicas de la unidad Esta unidad te servirá como base para que amplíes tus conocimientos en situaciones que sean de tu interés. Te apoyarás enel material en versión electrónica: Aplicaciones de las funciones matemáticas en la vida real y otras áreas, el cual puedes descargar en la página: <http://www.csicsif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_23/SERGIO_BALLEST ER_SAMPEDRO01.pdf> Este material lo pueden utilizar para realizar sus trabajos de investigación, en los que deben compartir y dar a conocer sus resultados a los demás integrantes del grupo.
Fuentes de consulta Bibliográficas: Larson, R. E., et al. (1999). Cálculo (sexta edición). España: McGraw-Hill. Leithold, L. (1987). El cálculo con geometría analítica. México: Harla. Spivak, M. (1992). Calculus. Cálculo infinitesimal (segunda edición). España: Editorial Reverté. Electrónicas: http://www.keypress.com/documents/da2/CondensedLessonPlansSpanish/DA_CLPS_07.pdf
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Unidad 2. Límites y continuidad Propósitos de la unidad En esta unidad: Identificarás el concepto de límite, de forma gráfica y numérica. Aplicarás las propiedades de los límites para calcular los límites de las funciones dadas. Aplicarás el concepto de continuidad en situaciones de la vida cotidiana.
Competencia específica Aplicar el procedimiento de límite y continuidad para determinarlos en una función por medio de la expresión general de la misma o de su representación gráfica.
Presentación de la unidad Los conceptos de límite y continuidad son la base para iniciar el estudio de la derivada; de hecho, la derivada es un límite. En esta unidad, iniciaremos con la definición e interpretación intuitiva de límite y nos apoyaremos en la gráfica para mostrar lo que sucede con el límite de una función. La definición de límite nos ayudará a comprender el concepto de continuidad y este nos permitirá identificar qué situaciones de la vida cotidiana se pueden representar por medio de una función continua. Una vez que hayas comprendido estos conceptos, estarás preparado para iniciar la unidad 3.
2.1. Límites En todo curso de cálculo diferencial se aborda el concepto de límite, esto se debe a que el objeto de estudio del cálculo es la derivada y su definición está basada en dicho concepto. El límite, se aborda en otras áreas de las ciencias como son cálculo integral, vectorial, en variedades, ecuaciones diferenciales, análisis matemático, topología, etc., esto con respecto a las áreas de matemáticas. También se utiliza para deducir las fórmulas de la física y de la química, siempre lo encontrarás en los libros que utilices como referencia.
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2.1.1. Concepto intuitivo de límite Cuando hablamos de límites, nos referimos al entorno de una función en un punto determinado. Por ejemplo, si deseamos calcular el límite de la función en el punto x1, tenemos que analizar los puntos que hay a su alrededor, tanto del lado izquierdo como del derecho del eje de las equis. Pero, por cada punto que tomemos en el eje de las equis, tenemos que analizar lo que sucede con la imagen del mismo. Conforme nos acercamos al punto x1 por el lado izquierdo, debemos analizar hacia dónde se acercan las imágenes; lo mismo debemos hacer por el lado derecho (ver figura). Esta situación la vamos a representar y comprender con el siguiente ejemplo. Ejemplo: Determina el límite de la función cuando x tiende a 1. Solución: La gráfica de la función se muestra en la figura. Si evaluamos la función en , tenemos:
Esto nos indica que la función en no está definida. Cuando deseamos determinar un límite, no nos interesa encontrar cuánto vale la función en ese punto, sino lo que sucede en su entorno. En este caso, lo que sucede cuando nos vamos acercando al 1 del lado izquierdo del eje de las equis y del lado derecho, tal como se ilustra en la gráfica. Para acercarnos tanto del lado izquierdo como del derecho, le asignaremos diferentes valores a x de tal manera que se acerque al punto 1 y observaremos el comportamiento que tienen las y a medida que nos vamos acercando al punto en el que no está definido
, en este caso es
.
En este ejemplo, conforme x se aproxima al 1 tanto por la izquierda como por la derecha, el límite de cuando x tiende a 1 es 0. En el siguiente ejemplo se mostrará una situación similar al calcular los límites de forma gráfica y numérica.
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2.1.2. Cálculo de límites de forma gráfica y numérica Consideremos la función f definida por la ecuación:
En la figura se ilustra la gráfica de la función. Observemos que
existe para cualquier x, excepto
en , por lo que evaluaremos la función cuando x se aproxime a 2 por la izquierda y por la derecha. Observa la posición que tiene el 2 en el eje de las equis. Del lado izquierdo nos podemos acercar del 1 al 2, aumentando los valores. Del lado derecho nos podemos acercar del 3 al 2, disminuyendo los valores. Esto se muestra en las siguientes tablas. x f(x)
1 0
1.25 0.25
1.5 0.5
1.75 0.75
1.9 0.9
1.99 0.99
1.999 0.999
1.9999 0.9999
1.99999 0.99999
x f(x)
3 2
2.75 0.75
2.5 1.5
2.25 1.25
2.1 1.1
2.01 1.01
2.001 1.001
2.0001 1.0001
2.00001 1.00001
Notemos que en ambas tablas, conforme x se aproxima cada vez más a 2, vez más a 1; y cuanto más cerca esté x de 2, más cerca estará Como te podrás dar cuenta, la función no está definida en
se acerca cada
de 1. , pero el límite de la función
cuando x tiende a 2 es 1. En el punto , la función no está definida (tiene un huequito); al calcular el límite, encontramos el valor que hay que rellenar para que la función sea continua. Este tema lo veremos más adelante.
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2.1.3. Definición de límite
Decimos que la función
tiende hacia el límite
tal que, para todo , con
, si
en
, si para todo
existe algún
, entonces
.
Para conocer la manera en que se utiliza este concepto, mostramos el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Si deseamos usar la definición anterior para mostrar que el debemos observar es qué sucede con la función en el punto ya que:
De acuerdo con la definición de límite, la función existe algún
tal que, para todo , con
, lo primero que . La función no está definida,
tiende hacia el límite , si
en
, si para todo
, entonces
. Antes de probar que el límite de la función existe debemos sustituir todos los términos en esta definición:
La función con
tiende hacia
, si
en 2, si para todo
existe algún
, entonces:
Trabajamos con esta última expresión:
Factorizamos el numerador Reducimos términos
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tal que, para todo ,
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Por último, tenemos que que
esto nos indica que
porque en la definición tenemos
y para que esto suceda delta debe ser igual a épsilon, es decir,
.
Entonces, para cada , podemos tomar , por lo tanto, la función tiende hacia 2; de esta manera se cumplen todas las condiciones que nos piden en la definición.
en
x=2 Recuerda que no nos interesa lo que sucede exactamente en el punto , sino en su entorno, es decir, cuando nos acercamos al 2, por la izquierda y por la derecha. Por esta razón, en la
definición de límite, tenemos si
y esto se traduce en lo siguiente:
Sabemos que Entonces tiene dos opciones: que sea mayor o menor que cero. Si es mayor que cero, tenemos que pero si es menor que cero, sería al multiplicar por -1 la desigualdad se invierte:
; ;
por lo tanto, . Esto lo puedes ver en la gráfica. En ella se observa el papel que juega y . Si te das cuenta, es lo mismo que hemos trabajado anteriormente. En este caso, nos acercamos al punto la derecha.
, tanto por la izquierda como por
Actividad formativa: De acuerdo con lo que viste anteriormente, define el concepto de límite y discútelo en el foro.
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2.1.4. Propiedades de los límites Para calcular el límite de una función en forma directa sin necesidad de recurrir a la tabla de valores o de aplicar la definición, necesitamos conocer algunas propiedades.Para calcular algunos límites básicos, en la tabla se muestran las siguientes propiedades. El límite de una constante cuando la variable tiende a c es la misma constante. El límite de una variable cuando la variable tiende a c es c. El límite de una variable elevada a la n potencia cuando la variable tiende a c es c elevada a la n potencia. Sean f, g y h funciones de una variable x y , y entonces, las siguientes relaciones son ciertas: El límite de una suma es la suma de los límites. El límite de una multiplicación es la multiplicación de los límites. El límite de una división es la división de los límites, siempre y cuando el denominador no sea cero.
, si B no es cero.
Ejercicio: 1. Aplica las propiedades anteriores y calcula los límites de las siguientes funciones. a) b) c) d) e) 2. En equipos, investiguen las propiedades de los límites para el cálculo de las funciones trigonométricas. Elaboren un formulario y den un ejemplo para mostrar el procedimiento del cálculo de límites de funciones.
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3.
Den a conocer sus trabajos en el foro y comparen sus semejanzas y diferencias.
2.1.5. Límites especiales Hasta este momento hemos trabajado límites de funciones en las que, si se indetermina el límite, buscamos una estrategia para calcularlo. Tal es el caso de la función cuando x tiende a 2; al x=2 evaluar la función en , ésta se indetermina. Sin embargo, determinamos de dos maneras el límite de la función: de forma gráfica y por medio de la definición formal. En el siguiente ejemplo, vamos a calcular unos límites que serán de mucha importancia en la unidad 3, pero no utilizaremos ninguna de las dos estrategias anteriores. Para calcular el límite de la siguiente función, nos apoyaremos en la figura:
En la imagen tenemos una circunferencia de radio 1; cuando el radio es igual a 1, la longitud del arco coincide con la medida del ángulo en radianes. El seno y el coseno del ángulo son iguales a la ordenada y a la abscisa del extremo del arco. De esta manera se ha representado en la figura, así como el segmento de longitud igual a
En la figura podemos observar que:
Y dividiendo por
:
Sabemos que
, por lo que:
Cuando x tiende a0, tenemos
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Al aplicar las propiedades de los límites a la última desigualdad:
De la expresión anterior tenemos que
Esta última igualdad la vamos a utilizar para calcular el siguiente límite:
Por lo tanto, Ahora vamos a calcular el siguiente límite:
Si aplicamos las propiedades de los límites, tenemos
Pero límite.
; es necesario que evitemos esa indeterminación para poder calcular dicho
Multipliquemos la función por su recíproco: recuerda que recuerda que
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Actividad formativa: 1. Elabora una cadena de secuencias para el cálculo de los siguientes límites: a) b) c) Envía tu trabajo.
2.2. Continuidad y límites laterales Antes de definir formalmente qué es una función continua y qué una discontinua, coloquialmente podemos imaginar una función discontinua como una calle con alcantarillas sin tapas, la discontinuidad en éstas se presenta precisamente en los huecos; una función continua la podemos imaginar como la misma calle con alcantarillas y con todas sus tapas puestas; la diferencia entre ambas es la falta de tapas en la primera, o bien, los huecos que hay en ella. Básicamente, la diferencia entre una función continua (ver figura 1) y una discontinua (ver figura 2) es que la discontinua tiene huecos, ya sea por la falta de un solo punto o de todo un conjunto de ellos (segmento).
Figura 1
Figura 2
En este tema vamos a utilizar el concepto de límite para determinar si una función es continua o discontinua.
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2.2.1. Continuidad en un punto y en un intervalo abierto De manera intuitiva, podemos decir que una función es continua si la podemos trazar con un lápiz sin despegarlo del papel. Dicho de otra manera, una función es continua cuando no tiene huecos o saltos en ningún punto de su representación gráfica. Observa la gráfica y = raíz(x), la cual es continua, ya que se observa ninguna ruptura.
no
2.2.2. Definición de continuidad Una función
es continua en un punto
1.
Está definida.
2.
existe.
si se cumplen las siguientes condiciones:
3.
Ahora que sabemos cuándo una función es continua en un punto, podemos establecer que una función es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo. Cuando una función no es continua, entonces se dice que es discontinua. Para determinar si una función es continua o discontinua una de las condiciones que debe cumplir es que cuando el límite x tiende a a, es la función evaluada en ese punto, a diferencia de cuando determinábamos el límite de una función, en donde no era necesario que la función estuviera definida en el punto .
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Vamos a analizar algunas funciones y a determinar si son continuas o no. Ejemplos:
1.
Sea
, encuentra si
es continua o discontinua.
Analizando la función, podemos darnos cuenta de que siempre que demos un valor a encontraremos un valor de
excepto en un punto, en
(observa la gráfica). Para
encontrar la continuidad de en , vamos a analizar las tres condiciones de continuidad. 1.
debe estar definida en .
Esto significa que
en
no está definida. Por lo tanto,
es discontinua en .
2. Sea la función definida de la siguiente manera: si si Esta función es la misma que la del ejemplo anterior, con la diferencia de que está definida en ahora verifiquemos si cumple con las tres condiciones de continuidad. 1.
debe estar definida en
Dado que
, de acuerdo con la condición que nos dieron al definir la gráfica, entonces
sí está definida en .
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;
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2. El límite
debe existir.
Por lo tanto, el límite no existe y la función es discontinua en 3. Sea
.
la función definida de la siguiente manera: si si
Determinemos si
es continua o discontinua.
En todos sus puntos
está definida, excepto quizás en el punto en el cual el denominador es .
Verifiquemos en qué momento el denominador es . , esto ocurre únicamente cuando Analicemos si 1. 2.
cumple las tres condiciones de continuidad en el punto
debe estar definida en 1. , esto se debe a que así está definida la función.
3.
El límite
debe existir.
4.
Por lo tanto: EducaciónSuperiorAbiertayaDistancia•CienciasExactas, Ingeniería yTecnología42
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Lo cual implica que el límite sí existe y así 5.
cumple con la segunda condición de continuidad.
La tercera condición que se debe cumplir es
Ya vimos que:
Además,
Por lo que función
también cumple con la tercera condición de continuidad. Por lo tanto, se tiene que la
es continua en todo su dominio.
Ejercicio: Para las siguientes funciones, establece si son continuas o discontinuas y menciona qué condición no satisfacen al ser discontinuas. 1.
2.
3. Si
4. 5. Envía tu ejercicio a la sección de tareas.
6.
Si
Actividad formativa: Esta actividad se trabajará en el wiki 1. Define el concepto de continuidad. 2. Investiga ejemplos de funciones continuas en situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo, el crecimiento de una persona o de una planta, o bien, temas que sean de tu interés profesional. Elabora la tabla de valores, escribe la ecuación que representa dicha situación y verifica que se cumplan las tres condiciones de continuidad.
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2.2.3. Límites laterales Los límites laterales son los que nos permiten conocer el valor al que tiende la función cuando nos acercamos a ella tanto por la izquierda como por la derecha del eje de las x (ver figura).
En este caso, para determinar el límite de la función en el punto punto
, nos acercaremos al
por valores mayores que a, los cuales se encuentran a la derecha de a. También
nos podemos acercar al punto por la izquierda, por medio de valores menores que a. Al primer límite se le conoce como límite lateral derecho y al segundo como límite lateral izquierdo; cuando estos límites son iguales, el límite de la función existe; de lo contrario, el límite no existe, tal como se muestra en la imagen. Existen dos tipos de límites laterales, los cuales se definen a continuación: 1.
Sea
derecha es
una función definida en
, cuando
se aproxima a
por la
y se escribe:
Esto ocurre si para todo
existe un
Si Otra forma de decir que superiores a
, el límite de
tal que entonces
se aproxima a
por la derecha es que
.
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se acerca a
por valores
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2.
Sea
una función definida en
izquierda es
, el límite de
cuando
se aproxima a
por la
y se escribe:
Esto ocurre si para todo
existe un
tal que:
Si Otra forma de decir que
entonces se aproxima a
por la izquierda es que
se acerca a
por valores
inferiores a .
2.2.4. Teorema de la existencia del límite Los límites laterales se utilizan frecuentemente para demostrar si efectivamente el límite de una función existe o no; la importancia de su aplicación la brinda el siguiente teorema. Sea
una función y sean a y
El
números reales.
existe y es igual a
si y sólo si el
y
existen y son
iguales a . Ejemplos: 1. Encuentra el
de la función: Si Si
Puesto que la función está formada por dos partes, vamos a calcular los límites laterales en 1.
EducaciónSuperiorAbiertayaDistancia•CienciasExactas, Ingeniería yTecnología45
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Dado que de la existencia del límite; por lo tanto:
2. Encuentra el
esto hace que se cumplan las condiciones del teorema
de la función. si si
Vamos a resolver este ejemplo de manera similar al anterior. Primero, encontremos los límites laterales de la función en
.
Como los límites laterales son diferentes, es decir,
, entonces:
Ejercicios: Encuentra el
en cada una de las siguientes funciones. si si
1.
2.
si
si
si
si 3.
si
4.
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si
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2.2.5. Definición de continuidad en un intervalo cerrado Diremos que una función intervalo abierto
es continua en un intervalo cerrado
si es continua en el
y, además: y
De esta manera, podemos encontrar si una función es continua en un intervalo cerrado, simplemente descubriendo si es continua en el intervalo abierto y en los extremos. Ejercicios: Encuentra cuáles funciones son continuas y cuáles discontinuas en los intervalos dados. a)
en el intervalo cerrado
b)
en el intervalo cerrado
c)
en el intervalo cerrado
d) cerrado
en el intervalo abierto
.
, en el punto
.
Comparte tus resultados en el foro.
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y en el intervalo
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2.3. Límites infinitos Los límites infinitos se utilizan para hacer referencia al cálculo de límites de funciones en las cuales los valores pueden ser o bien demasiado grandes o demasiado pequeños, dependiendo de la forma en que se presente la función, ya sea creciente o decreciente; una vez que conocemos los límites, con ayuda de la gráfica de la función podemos inferir en qué momento tiene un límite infinito; así, por ejemplo, tenemos la gráfica de la función
La función tiende hacia el infinito cuando x se acerca al 0, tanto por la derecha como por la izquierda. En la siguiente definición conoceremos las dos clases de límites infinitos.
2.3.1. Definición de límites infinitos 1. Sea en
una función definida en un intervalo abierto
que contenga a
, entonces:
Si para todo número
existe una
tal que:
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, excepto posiblemente
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Si Es decir,
entonces
crece sin límites cuando
tiende a un número
grande como se quiera para todos los valores de de
se puede hacer tan
suficientemente cercanos a
, pero distintos
.
Hay que tener claro que el límite anterior, al ser igual a 2. Sea en
si
una función definida en un intervalo abierto
,, indica que el límite no existe. que contenga a
, excepto posiblemente
, entonces:
Si para cualquier número
existe un Si
tal que entonces
Es decir, decrece sin límites cuando tiende a un número si se puede hacer tan pequeña como se quiera para todos los valores de suficientemente cercanos a , pero distintos de . A menudo los límites anteriores se encuentran en diversas funciones; algunos ejemplos son:
Ejemplos:
1. Para encontrar el valor de este límite vamos a utilizar los límites laterales en 0; esto es:
y
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En este caso, los límites tienden hacia direcciones diferentes. Al obtener en el primer límite, ya no sería necesario calcular el segundo, debido a que, directamente, podríamos decir que el límite no existe.
2. Calcula el
en la siguiente función. si si
Queremos calcular el límite de el límite por la derecha es
en
. Vamos a desarrollar el límite por partes; tenemos que
el límite por la izquierda es
Pero el segundo miembro de la igualdad anterior decrece infinitamente a medida que a 2. Por lo tanto, podemos decir que:
Dado que los límites laterales son distintos y que uno de ellos es igual a que:
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se acerca
, podemos concluir
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2.3.2. Asíntotas verticales Si
tiende a infinito positivo o negativo cuando
se dice que la recta
tiende a
por la derecha o por la izquierda,
es una asíntota vertical de la gráfica de .
Para entender claramente lo que son las asíntotas verticales, vamos a analizar la gráfica de la siguiente función.
Sea la función vertical.
, encontrar su asíntota
Podemos observar la gráfica de siguiente imagen.
en la
Como podemos apreciar, a medida que nos acercamos al 0 por la derecha,
tiende al
infinito positivo; esto quiere decir que seguirá creciendo mientras que función
se siga acercando al 0, pero siempre sucede que
nunca tocará la línea
. Por lo tanto, la recta
; es decir,
es una asíntota vertical de la
.
Generalmente las asíntotas se presentan en funciones cuya variable independiente se encuentra en el denominador, y será el valor que haga cero a dicho denominador, como en el ejemplo anterior,
era el denominador, así que se hace cero cuando
Ejemplo:
Sea la función
, encuentra sus asíntotas.
Lo primero que hacemos es trazar la gráfica de :
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.Veamos otro ejemplo.
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En la gráfica podemos observar que si
se acerca a 3 por la derecha,
y si
, se dispara al infinito negativo; entonces, la recta
se acerca a 3 por la izquierda es una asíntota vertical de
se dispara al infinito,
.
Como podemos apreciar, esta función posee un denominador, el cual es denominador se hace 0 cuando:
Entonces, la recta
es asíntota de
; este
, tal y como se dijo en la explicación de la función.
Ejercicios:
Establece si las siguientes funciones tienen o no asíntotas verticales y escribe cuáles son. 1. 4.
2. 5.
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3. 6.
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Evidencia de aprendizaje: Límites y continuidad Para concluir esta unidad y obtener un porcentaje de tu evaluación final, elabora una presentación en Power Point que incluya lo siguiente: Presentación de la unidad en la que describas la importancia de los conceptos de límite y continuidad. Definición de límite. Un ejemplopara el cálculo de límites de forma numérica, gráfica y por medio de la definición formal. Un ejemplo del cálculo de límites por medio de las propiedades de los límites (Tema 2.1.4.). Definición de continuidad. Ejemplos en los que apliques el procedimiento para determinar si una función es continua o discontinua de forma gráfica y por medio de la definición de continuidad. Ejemplos en los que identifiques si la función es continua o discontinua a partir de la representación gráfica. Un ejemplo en el que apliques el procedimiento para determinar si una función es continua o discontinua por medio de la definición de continuidad. Un ejemplo en el que identifiques si la función es continua o discontinua a partir de la representación gráfica.
Consideraciones específicas de la unidad Para comprender el concepto de límite te sugerimos ver el siguiente video:http://mediateca.educa.madrid.org/reproducir.php?id_video=eqedyod14z7ka5v9 Para comprender el tema de límite por la derecha y por la izquierda, puedes observar las siguientesanimaciones:<http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Limites/1_limites_basicos/1_2limite_derecha/index.htm> http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Limites/1_limites_basicos/1_3limite_izquierda/index.htm
Fuentes de consulta Bibliográficas: Granville, W. A. (2004). Cálculo diferencial e integral. México: Limusa-Noriega editores. Larson, R. E., et al.(2006). Cálculo1 (octava edición). España: McGraw-Hill. Leithold, L. (1992). El cálculo con geometría analítica. México: Harla. Spivak, M. (1994). Calculus. Cálculo infinitesimal (segunda edición). España: Editorial Reverté. Electrónicas: http://www.educa.madrid.org/web/ies.avenidadelostor.madrid/matematicas/apuntes/ccnn/LimitesC ontinuidad.pdf recuperado el 8 de agosto de 2010.
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Unidad 3. La derivada Propósitos de la unidad En la presente unidad: Comprenderás el concepto de derivada. Aplicarás las fórmulas de derivación. Reconocerás en qué situaciones de la vida cotidiana se utiliza la derivada.
Competencia específica Resolver problemas de física y optimización para determinar los valores máximos y mínimos por medio del criterio de la primera o segunda derivada.
Presentación de la unidad La derivada es uno de los conceptos más importantes del cálculo diferencial. Todos los días hacemos uso de ella, pero no lo percibimos. Por ejemplo, cuando aumentamos la velocidad del automóvil; al subirnos a una montaña rusa; al lanzarnos de un trampolín; al manejar una bicicleta, y al realizar una caminata, en estos eventos hay un cambio de velocidad. La derivada es la razón de ese cambio; es decir, cómo estaba antes y cómo está ahora. Para determinar estos cambios, tienes que conocer y dominar las técnicas de derivación para aplicarlos posteriormente.
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3.1. La derivada 3.1.1. Importancia de la derivada Antes de iniciar de manera formal el concepto de la derivada, veremos de forma intuitiva lo que significa. Imagina una montaña en cuya cima deseamos apoyar una tabla. ¿Qué pasaría con la tabla? La tabla se balancearía sobre el único punto que toca (observa la figura). Esto sólo sucede si consideramos que es una curva perfecta. Dependiendo del lugar en el que apoyemos la tabla en la montaña, se inclinará de diferentes maneras; esto es la derivada. La derivada nos permite determinar la inclinación de la tabla en cada uno de los puntos de la montaña sobre los que la apoyemos.
Ahora, imagina que tienes una meseta y deseas apoyar la tabla en ella. En este caso, se apoyará sobre muchos puntos, es decir, sobre la superficie completa, tal como se muestra en la figura.
La derivada en un punto está asociada a la pendiente de la recta tangente al gráfico de una función, en el punto que le corresponde ala imagen de determinado valor de x.
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Recuerda las funciones que vimos en la unidad 1. En las siguientes imágenes se muestra la recta tangente a la función y = x² en los puntos (-1,1) y (1, 1).
Actividad formativa: Antes de continuar con el tema de la interpretación geométrica de la derivada, ve el video Pendiente e inclinación, que se encuentra en la página <http://www.acienciasgalilei.com/videos/derivadas.htm> e investiga más ejemplos de la vida cotidiana en los que se utiliza la derivada. Discútelos en el foro.
3.1.2. Interpretación geométrica de la derivada En esta unidad aprenderás a encontrar la recta tangente a una curva dada; para ello, trabajaremos el problema de la recta tangente. En este problema se tiene una función f y un punto P de su gráfica y se pide hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto P, como se ilustra en la siguiente figura. Sea P el punto de coordenadas , tomemos el punto de coordenadas y tracemos la recta que pasa por ambos puntos; la pendiente de dicha recta está dada por:
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Donde:
Este resultado expresa un cociente de incrementos, donde representa un incremento en , y representa un incremento en y (lo cual podemos representar como ). Podemos concluir que, si límite existe:
está definida en un intervalo abierto que contiene a
entonces, la recta que pasa por en el punto .
con pendiente
y, además, el
se llama recta tangente a la gráfica de
Actividad formativa: Entra a la página <http://www.acienciasgalilei.com/videos/derivadas.htm> y ve el video Pendiente de una curva, a través del cual podrás comprender en qué consiste la interpretación geométrica de la derivada. Anota los aspectos que más te llamen la atención y discute tus puntos de vista en el foro. Ejercicios: 1. Encuentra la pendiente de la gráfica en el punto 2. Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 3. Encuentra la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 4. Encuentra la pendiente de la gráfica en el punto 5. Calcula las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica
. en el punto . en el punto . .
3.1.3. Concepto de derivada La derivada de f en el punto
está dada por: , siempre y cuando el límite exista.
Decimos que una función es derivable o diferenciable en un punto derivada.
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si se puede obtener su
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Las diferentes notaciones para representar la derivada son , que se lee como ,y
prima;
, que se lee como
, que se lee como la derivada de
, que se lee como la derivada de
prima de ;
con respecto a la derivada de
con respecto a .
Actividad formativa: Investiga qué es la derivada y elabora una rueda de atributos para el concepto de derivada.
3.2. Derivación de funciones algebraicas, polinomiales y racionales 3.2.1. Derivación de funciones algebraicas En la derivación de funciones algebraicas desarrollaremos las derivadas más sencillas; para ello, debemos utilizar la definición de la derivada. En este primer ejemplo, iniciaremos con una función lineal; posteriormente trabajaremos con las cuadráticas y las cúbicas. Ejemplos: 1. Encontrar la derivada de la función Solución: Por la definición tenemos que
Evaluamos la función en los puntos que nos indica la definición
Finalmente, aplicamos las operaciones que ya conocemos para reducir la expresión resultante.
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Y, como vimos en la unidad anterior, el límite de una constante es la misma constante; por lo tanto, tenemos que:
Esto quiere decir que la derivada de la función
es
.
De acuerdo con lo que vimos en este ejemplo, ¿cuáles son las fórmulas de derivación de una función constante y de una lineal? Derivada de una constante Derivada de una función lineal Actividad formativa: Conserva estas primeras fórmulas de derivación para que elabores un formulario y lo subas al wiki, al final de la unidad. 2. Halla la derivada de la función Solución: Para encontrar la derivada de esta función, se sigue el mismo procedimiento que para el ejemplo anterior. En este caso, como tenemos una función cuadrática, se utilizarán más operaciones básicas que en la función lineal anterior, lo cual hará más interesante su desarrollo. Por la definición de derivada tenemos que
evaluamos las funciones en los puntos que nos indica la definición.
al desarrollar el binomio al cuadrado y reducir términos semejantes.
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Que el límite de una suma es la suma de los límites:
Si aplicamos nuevamente las propiedades de los límites, tendremos que:
Por lo tanto, la derivada de la función
es
¿Cuál es la fórmula para derivar una función cuadrática?
Actividad formativa (imprimible) Utiliza la definición de derivada y calcula la derivada en cada una de las siguientes funciones.
1.
2.
4.
5.
7.
8.
10.
11.
13. 16. a)
3. 6. 9. 12.
14.
15.
17. ¿Qué puedes concluir de la derivada de
?
Respuesta libre b)
¿Cuál es la fórmula general para obtener la derivada de
Envía tus ejercicios al (a la) Facilitador(a).
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?
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3.2.2. Derivación de funciones polinomiales La derivación de este tipo de funciones se realiza de la misma manera que en las funciones anteriores. La diferencia radica en que en la función polinomial pueden aparecer diferentes términos con la variable independiente (generalmente ). Ejercicios: 1. Encuentra la derivada de las siguientes funciones. a)
b)
Respuestas: a) 6x² + 2x -5
c)
b) 3x + 1/7 c) 7x² + 6x -9
3.2.3. Derivación de funciones racionales Las funciones racionales son las que tienen cocientes con términos en los que se presenta una variable independiente, o bien, aquella respecto a la cual queremos derivar. A continuación desarrollaremos algunos ejemplos y propondremos algunos ejercicios. Ejemplos: 1.
Encuentra la derivada de la función
, sustituyendo en la definición de derivada.
al desarrollar el binomio al cuadrado y la suma de fracciones. al realizar las operaciones.
reduciendo términos semejantes.
factorizando a
.
eliminando términos semejantes. EducaciónSuperiorAbiertayaDistancia•CienciasExactas, Ingeniería yTecnología61
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agrupando términos.
Sabemos que el límite de una división es la división de los límites:
Por lo tanto, la derivada de la función
es
.
Si desarrollaste todos los ejercicios de la sección Derivación de funciones algebraicas, entonces te será más fácil resolver el ejemplo anterior utilizando los resultados que encontraste. ¿Cuál sería la fórmula para derivar un cociente de funciones?
2. Encuentra la derivada de la función (
, donde f y g son funciones.
En este ejemplo, no se presentan las funciones clásicas en donde aparece alguna x con coeficiente, exponente, símbolo, etc., pero no es diferente el procedimiento. Nuestro problema es exactamente el mismo. Antes de resolver esta situación, es imprescindible analizar la manera en la que aplicaremos la definición. A continuación, resolvamos el ejemplo. De acuerdo con la definición de la derivada de f(x) tenemos que:
Sustituyendo en la definición, tenemos:
Evaluando la función en los puntos dados de donde:
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,
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Agrupando los términos, tenemos:
Aplicando las propiedades de los límites:
Y por la definición de derivada tenemos que:
Es decir, la derivada de una resta de funciones es la resta de las derivadas. Ejercicios: 1. Calcula la derivada de las siguientes funciones. a)
b)
d) f)
c) e) g)
2. Envía tus resultados al (a la) Facilitador(a) por medio de la sección de tareas para que te retroalimente.
3.3. Derivadas de orden superior 3.3.1. Definición de derivadas de orden superior Una función tiene derivada de orden superior si puede derivarse en más de una ocasión; es decir, si puede derivarse, se obtiene su segunda derivada , de la cual al derivarse puede obtenerse su tercera derivada , y así sucesivamente. El grado de la derivada de orden superior de una función es el número máximo de derivadas que se pueden obtener de ella. Así pues, tenemos los siguientes ejemplos.
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Ejemplos: 1. Calcula la primera y segunda derivada de la función De ahora en adelante, para desarrollar alguna derivada utilizaremos los resultados que hemos obtenido previamente al realizar el cálculo de las derivadas de funciones polinómicas. Entonces, tenemos que:
2. Encuentra las tres primeras derivadas de la función Entonces, tenemos que las tres primeras derivadas de f son:
Ejercicios: 1. Calcula las primeras tres derivadas de las siguientes funciones: a)
b)
c)
d)
3.4. Derivación de funciones trascendentes 3.4.1. Derivación de funciones trigonométricas Para continuar esta sección, es imprescindible haber desarrollado todos los ejercicios de las secciones anteriores. Una vez que los hayas realizado, continuaremos con la derivación de las funciones trigonométricas. Las funciones más importantes que se desarrollan a partir de la definición de derivada son las de seno y coseno; la derivada de las demás funciones trigonométricas se desarrollará a partir de las identidades trigonométricas. Función seno Como ya lo hemos mencionado, para derivar la función seno emplearemos la definición de derivada. Sea
, entonces:
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Al aplicar la fórmula de la suma de seno, que seguramente viste en tu curso de geometría: Al factorizar, tenemos que:
Los límites que se presentan en ambos términos los vimos en la unidad anterior como límites especiales; así, podemos escribir directamente su resultado:
Por lo tanto, tenemos que la derivada de la función seno de un ángulo es el coseno del mismo ángulo, esto es:
Además, podemos denotar
por
.
Función coseno Aplicaremos la definición de la derivada para derivar esta función. Sea
, entonces:
Al aplicar la fórmula de la suma de coseno:
Factorizando, tenemos que donde nuevamente aplicamos los límites que ya conocemos y tenemos:
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,
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Por lo tanto, la derivada de la función coseno de un ángulo es el seno negativo del mismo ángulo, esto es:
Tanto la derivada del seno como la derivada del coseno son indispensables para conocer la derivada de las demás funciones trigonométricas; podemos denotar
por
.
A continuación desarrollaremos un ejemplo y propondremos algunos ejercicios.
Ejemplo: Sea la función , calcula su derivada. Por trigonometría, sabemos que
Sustituyendo la
, tenemos:
Entonces, tenemos la derivada de la división de dos funciones ( ), por lo que utilizaremos el resultado del problema g) de la sección 3.2.3., con lo que tenemos: . Es decir, la función de abajo por la derivada de la de arriba menos la de arriba por la derivada de la función de abajo; todo esto entre la función de abajo al cuadrado.
Utilizando la identidad trigonométrica:
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Dado que la
, tenemos que:
Por lo tanto, la derivada de la como:
(denotada por
) es la
, esto lo podemos denotar
Actividad formativa (sección de tareas) 1. Encuentra la derivada de las siguientes funciones: a) b) d)
e)
g)
c) f)
h)
i)
3.4.2. Derivación de funciones compuestas (regla de la cadena) Para poder derivar funciones compuestas, necesitamos de la regla de la cadena. Sean derivable en y derivable dada por la siguiente fórmula:
derivable en , entonces
es una función
La regla de la cadena se utiliza para derivar algunas funciones compuestas, las cuales trabajaste en la unidad 1. Ejemplos: 1. Calcula la derivada de la función Al emplear la regla de la cadena, tenemos que separar nuestra función en una composición de dos funciones o más. En este caso, podemos hacer lo siguiente: y
Tenemos que f es una función de
y
es una función de , de las cuales:
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Al sustituir el valor de u en esta última expresión:
Aplicando la regla de la cadena, tenemos:
Por lo tanto, se tiene que:
2. Calcula la derivada de la función Nuevamente elegimos nuestras funciones, sean:
Donde:
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Ejercicios: 1. Aplica la regla de la cadena para calcular la derivada de las siguientes funciones. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3.4.3. Derivación de funciones logarítmicas Comenzaremos esta sección recordando la definición de la función logaritmo natural es:
, la cual
Derivada de la función logaritmo natural Dado que aún no se han estudiado las integrales, tomaremos la derivada del logaritmo natural como cierta y la definiremos de la siguiente manera: Sea
una función derivable de , con
, entonces:
Ahora podemos derivar funciones en las cuales intervenga el logaritmo natural. Ejemplos: 1. Encuentra la derivada de la función Sea , entonces
Donde:
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Sustituyendo el valor de u y de
Al sustituir a
por
se tiene que:
Por lo tanto, la derivada de
es
.
2. Encuentra la derivada de la función Sea
, entonces al aplicar la fórmula de la derivada de un cociente. al calcular las derivadas. al aplicar la propiedad distributiva.
Al aplicar la fórmula de la derivada de logaritmo natural,
Al aplicar la propiedad distributiva y la división de fracciones: Eliminando términos semejantes:
Por lo tanto, se tiene que la derivada de
es
Actividad formativa (sección de tareas): 1. Calcula la derivada de las siguientes funciones. a)
b)
d)
e)
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c)
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Derivada de la función logaritmo de base ¿Recuerdas que en la primera unidad vimos la función logaritmo de base ? Sea
y
y sea
, se define la función logaritmo de base
como
. Con esta definición y lo que hemos aprendido, encontraremos la derivada de esta función. Así, tenemos que: por la definición de logaritmo de base a. como
es una constante, la podemos sacar del operador derivada.
Obteniendo la derivada.
Por lo tanto, ¿Qué fórmula utilizarías para encontrar la derivada de logaritmo de cualquier base de un polinomio? Para ello, debemos cambiar un poco nuestra definición de logaritmo de base aplicar el uso de la regla de la cadena. y
y sea
una función derivable de
y sea
por definición:
Por lo tanto, , al acomodar los términos. O bien:
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, encontremos
para
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Ejemplos: 1. Calcula la derivada de la función En este caso
representará el argumento; es decir, todo a lo que se le calculará el
.
De esta manera tenemos todos los elementos para aplicar la fórmula que hemos obtenido.
Sustituyendo el valor de
tenemos
Por lo tanto, se tiene que la derivada de
es
Otra de las definiciones que vimos en la unidad 1 es: Si
, entonces
, con esto vamos a desarrollar el siguiente ejemplo.
Ejemplo: 1. Calcula la derivada de la función donde es una función derivable de . Aplicando la definición que acabamos de recordar, como , entonces aplicamos la derivada a esta última ecuación y tenemos:
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;
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Despejando
, tenemos: el término
estaba dividiendo; al pasar al otro lado de la igualdad, lo hace
dividiendo.
Sustituyendo a , tenemos que:
Ejercicios: 1. Calcula la derivada de las siguientes funciones con respecto a . a) e) i)
b) f) j)
c) g) k)
d) h)
l)
3.4.4. Derivación de funciones exponenciales La función exponencial natural tiene la característica especial de que ella misma es su derivada, como veremos a continuación. Sea
Como
, entonces tenemos que su derivada está dada por:
, ya que son funciones inversas.
Se tiene que Por lo tanto:
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Ahora supongamos que derivada de .
es una función derivable de , y que
, puesto que
; vamos a encontrar la
,
o bien
, que se lee como la derivada de la función exponencial con una función de como exponente; es el producto de la derivada de la función de u por la exponencial con su respectivo exponente. Para que esto quede más claro, desarrollaremos el siguiente ejemplo. Ejemplo: Para encontrar la derivada de la función tenemos que
,
por lo cual
Aplicando la fórmula que encontramos con , tenemos:
Sustituyendo a
Sustituyendo
ya
en la ecuación anterior:
por
, tenemos:
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Ejercicios: 1. Encuentra la derivada de las siguientes funciones. a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
Envía tus ejercicios a la sección de tareas.
3.5. Derivación de funciones implícitas 3.5.1. Derivación de funciones implícitas Como ya lo vimos en la primera unidad, las funciones implícitas son aquellas en las cuales no aparece despejada la variable que se toma como independiente. Algunas de las funciones implícitas son sencillas de despejar; otras pueden ser difíciles o imposibles de despejar. Para estar preparados en el momento en el que se nos presente un problema de este tipo, vamos a desarrollar la derivada de algunas funciones implícitas. Ejemplos: 1. Encuentra la derivada de la función Primero, vamos a decidir cuál es la variable independiente. Dado que generalmente se considera a como variable independiente, tomémosla como tal; de esta manera, será la variable dependiente. Para calcular la derivada de la función, derivamos ambos miembros de la ecuación con respecto a .
Cuando las variables coinciden, derivamos como normalmente lo hemos desarrollado. Este es el caso del primer miembro, donde tenemos la derivada con respecto de x de la función 7x.
Cuando las variables no coinciden, derivamos de la misma manera en que hemos usado la regla de la cadena. Este caso es el del segundo miembro, donde aplicamos la fórmula del producto que hemos desarrollado.
EducaciónSuperiorAbiertayaDistancia•CienciasExactas, Ingeniería yTecnología75
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Finalmente, despejamos para encontrar
2.
, obteniendo:
Calcula la derivada de la función
Derivamos ambos miembros con respecto a .
Aplicamos las reglas que hemos desarrollado, comenzando con la derivada de la suma, que es la suma de las derivadas:
Aplicando la regla de la cadena y del producto:
Colocamos todos los elementos que contienen a
en el primer miembro de la ecuación y
factorizamos.
Finalmente, obtenemos la derivada:
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Ejercicios: 1. Encuentra la derivada de las siguientes funciones implícitas. a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
Actividad formativa: En equipos, elaboren un formulario para obtener la derivada de las funciones algebraicas, polinomiales, compuestas y racionales y muestren un ejemplo de cómo se obtiene la derivada para cada una de las fórmulas. Estos ejemplos deben ser diferentes a los que se trabajaron en la unidad. Presenten sus resultados en el foro.
Consideraciones específicas de la unidad En la página electrónica: <http://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/formderivadas.htm#der>puedes descargar un formulario en PDF de una tabla de derivadas que te ayudará a comprender mejor esta unidad. En la página electrónica: <http://www.acienciasgalilei.com/videos/derivadas.htm>puedes observar el video Derivada, para comprender en qué consiste este concepto.
Fuentes de consulta Bibliográficas: Larson, R. E., et al. (1999). Cálculo (sexta edición). España: McGraw-Hill. Leithold, L. (1987). El cálculo con geometría analítica. México: Harla. Spivak, M. (1992). Calculus. Cálculo infinitesimal (segunda edición). España: Editorial Reverté. Electrónicas: Derivadas. Introducción y definición.Consultado el 31 de julio de 2010 en: http://www.youtube.com/watch?v=KHuO1CK5fhs. Derivadas. Consultado el 31 de julio de 2010 en: http://www.acienciasgalilei.com/videos/derivadas.htm.
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Cálculo diferencial Programa desarrollado
Unidad 4: Aplicaciones de la derivada Propósitos de la unidad En esta unidad: Aplicarás el procedimiento de la primera y segunda derivada para determinar los máximos y mínimos de una función. Aplicarás el criterio de la segunda derivada para resolver problemas de optimización.
Competencia específica Resolver problemas de física y optimización para determinar los valores máximos y mínimos por medio del criterio de la primera o segunda derivada.
Presentación de la unidad La derivada está presente en la mayoría de las actividades que realizamos en nuestra vida cotidiana; por ejemplo, en el aumento del precio de la gasolina. En este caso, sería la razón de cambio. La aplicación más importante de la derivada es determinar los máximos y mínimos en los problemas de optimización. Por ejemplo, las empresas u organizaciones deben determinar la cantidad mínima de materia prima que necesitan invertir y la máxima cantidad que percibirán por el producto vendido. Entre los problemas que se pueden resolver con el método de optimización estádiseñar cajas de diferentes tamaños para empacar pizzas y elaborar bolsas para regalo de distintos tamaños.
4.1. Extremos en un intervalo 4.1.1. Extremos de una función Iniciaremos la unidad con algunas definiciones necesarias para comprender los ejemplos que resolveremos, así como los problemas que se plantearán. Una función para el cual
tiene un valor máximo relativo en un intervalo abierto si existe un punto existe y, además, , para cada .
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,
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Con base en esta definición, podemos encontrar el valor máximo de una función en un intervalo abierto. Ejemplo: 1. Sea
, encuentra su valor máximo en el intervalo (0, 1).
Solución: Para encontrar el valor máximo de la ecuación en el intervalo, trazamos la gráfica. De esta manera buscamos el punto que necesitamos en la parte más alta de la gráfica que se encuentre dentro del intervalo, que en este caso es (0, 1). Así, tenemos la gráfica de como se muestra a continuación. En la gráfica podemos notar que la función es una parábola que abre hacia abajo, y la imagen es 0 en los puntos (0, 0) y (1, 0). En este intervalo podemos encontrar el punto en el que la parábola tiene su valor máximo, lo cual se muestra a continuación: a) Obtenemos la semisuma de la primera coordenada de dos puntos que se encuentren en la misma horizontal; en este caso son: (0, 0) y (1, 0), el resultado es la coordenada en .
b) Evaluamos la función en la coordenada que se obtuvo en el paso anterior; de esta manera obtenemos el valor de .
la función tiene su valor máximo en el punto intervalo (0, 1) para el cual
; por lo tanto,
alcanza su valor máximo.
EducaciónSuperiorAbiertayaDistancia•CienciasExactas, Ingeniería yTecnología79
es el punto que está en el
Cálculo diferencial Programa desarrollado
2. Sea
, encuentra su valor mínimo en el intervalo .
Efectuaremos un procedimiento muy similar al del ejemplo anterior. Comenzaremos con el trazo de la gráfica de la función para visualizar lo que sucede en el intervalo propuesto. En este caso, la parábola abre hacia arriba. Tomamos los puntos en los cuales se hace 0 para encontrar las coordenadas de su vértice. La función es 0, cuando
por lo tanto,
es cero cuando
o
.
Con estas coordenadas podemos encontrar el valor de
para el que
es un valor mínimo.
además
Por lo tanto, el mínimo de la función en el intervlo
es (0, -1).
4.1.2. Teorema de los valores extremos En esta sección veremos uno de los teoremas que nos muestra la relación entre la derivada de una función y sus valores extremos. Sea un intervalo abierto y sea una función definida en dicho intervalo con un valor extremo en . Si existe, entonces
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Vamos a validar este teorema desarrollando su demostración. Demostración Tomamos como hipótesis los siguientes puntos: 1. es un intervalo abierto. 2. está definida en . 3. evaluado en representa un valor extremo. 4. existe. Dado que
existe, por la definición de derivada, tenemos:
Si plasmamossu representación gráfica, obtenemos que la fórmula anterior, tenemos:
Podemos observar que sustituir por
y sustituimos este valor en
cuando se acerca demasiado a , por lo que podemos , y el límite anterior nos quedaría como
Por hipótesis sabemos que la derivada existe; entonces, el límite también existe. Esto significa que, para todo número , existe un número tal que para todo si entonces . Antes de continuar haremos una observación: la hipótesis tiene el mismo significado que .
con la hipótesis
Así, vamos a obtener los límites laterales de la derivada anterior. Debido a que extremo relativo de , supongamos que es un máximo.
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es un
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Cuando
se acerca a
por la derecha, tenemos que:
Cuando
se acerca a
por la izquierda, tenemos que:
Dado que la derivada de en existe, entonces el límite también existe. Por esta razón, los límites deben de ser iguales; en vista de los resultados obtenidos, se tiene
La demostración es análoga cuando se supone que es un mínimo. Este teorema lo utilizaremos más adelante; sin embargo, fue necesario conocerlo en esta sección por la relación que tiene con los extremos relativos.
4.1.3. Números críticos Si es un número que pertenece al dominio de la función entonces es un número crítico de .
y si
o
no existe,
En la gráfica puedes observar que hay dos números críticos, ya que hay dos rectas tangentes a la curva en dichos puntos. Estas rectas son paralelas al eje de las equis. La derivada en esos puntos es igual a cero. En la figura se ha representado el caso en que , falta representar por medio de una gráfica cuando . Para ello, utilizamos la función valor absoluto, sea y = |x|, la derivada en x = 0 no está definida. Para encontrar la recta tangente en el punto x = 0, podemos trazar rectas tangentes diferentes; para que la derivada exista en un punto, debemos hallar una sola recta tangente a ese punto. Por esa razón, la derivada en el punto x = 0 no está definida. Es decir, no existe. Con la definición de los números críticos y el teorema presentado anteriormente, podemos demostrar el siguiente teorema. EducaciónSuperiorAbiertayaDistancia•CienciasExactas, Ingeniería yTecnología82
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4.1.4. Teorema de los extremos relativos que sólo ocurren en los números críticos Si .
tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en
, entonces
es un número crítico de
Por hipótesis tenemos que: tiene un máximo o mínimo relativo en . Primero, supongamos que es derivable en ; es decir, que existe; entonces, por el teorema anterior, tenemos que . Ahora, supongamos que no es derivable en ; es decir, que no existe. Para ambos casos se tiene que es un número crítico, ya que satisface las condiciones de la definición. Los números críticos son indispensables para encontrar los valores extremos de una función, así como los valores en los cuales la derivada de la función no existe. Veamos algunos ejemplos de la aplicación de los números críticos. Ejemplos: 1. Encuentra los números críticos de la función . Dado que está definida en todos los números reales, sería imposible revisar cada número de la recta real para encontrar sus números críticos. Para este tipo de problemas resulta muy útil la definición de los números extremos. De esta manera podemos resolver el problema como sigue: Primero obtenemos la derivada de la función.
Notemos que la derivada ecuación:
existe y los números críticos, serán los que satisfacen la
Tal y como dice la definición, los números críticos de una función serán aquellos en los cuales la derivada de la función sea cero.
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Por lo tanto, los números críticos son: y 2. Encuentra los números críticos de la función
.
Este problema es similar al anterior; para empezar, obtenemos la derivada de la función:
igualamos a 0 la derivada
resolvemos la ecuación
entonces, los números críticos de la función
son:
Ejercicios: Encuentra los números críticos de las siguientes funciones: Enviar a la sección de tareas: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
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4.2. Teorema de Rolle y teorema del valor medio 4.2.1. Teorema de Rolle Sea
una función continua en el intervalo cerrado
Si
, entonces, existe un número
en
y derivable en el intervalo abierto
.
tal que
Haremos la demostración por medio de una serie de casos particulares que nos aseguren la validez del teorema. Las hipótesis son: es continua en el intervalo cerrado es derivable en el intervalo abierto . Y vamos a demostrar que existe un número
. .
en
tal que
Dado que es derivable en el intervalo , existe para todos los puntos de dicho intervalo; sea un punto cualquiera del intervalo abierto, puede suceder uno de los siguientes casos:
Caso 1 ; si esto ocurre, entonces sería una función constante. De la unidad anterior sabemos que la derivada de una constante es cero, por lo cual se tendría que
Para todo
en
.
Caso 2 ; si esto ocurre, como es continua, la imagen de cada uno de los puntos del intervalo abierto bajo existen. Debido a esto debe existir algún punto en tal que para todo de , por lo que es un máximo relativo de , a su vez, por ser derivable; existe y, por el teorema de los valores extremos, es igual a cero. Es decir,
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Caso 3 , este caso es similar al anterior.
4.2.2. Teorema del valor medio El teorema del valor medio es uno de los teoremas que se utilizan para probar varios teoremas más, y es muy similar al teorema de Rolle. Sea una función continua en un intervalo cerrado entonces, existe un número en tal que
y derivable en el intervalo abierto
,
4.3. Funciones crecientes, decrecientes y el criterio de la primera derivada 4.3.1. Criterio de crecimiento y de decrecimiento Retomemos las definiciones de funciones crecientes y decrecientes que vimos en la unidad 1. Sean y dos números cualesquiera dentro de un intervalo y sea una función definida en ese intervalo: es creciente en si y sólo si siempre que es decreciente en si y sólo si siempre que Algunos ejemplos de funciones crecientes: en el intervalo (-
,
en el intervalo
, entre otras.
EducaciónSuperiorAbiertayaDistancia•CienciasExactas, Ingeniería yTecnología86
y
en el intervalo
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Ejemplos de funciones decrecientes: intervalo
y
en el intervalo (-
en el intervalo
,
en el
, entre otras.
Una manera más fácil y directa para saber en qué momento una función es creciente o decreciente es a través del siguiente teorema: Sea
una función continua en el intervalo cerrado
y derivable en el intervalo abierto
i) Si
para toda
en
, entonces
es creciente en
ii) Si
para toda
en
, entonces
es decreciente en
. .
Podemos aplicar el teorema anterior para saber cuándo una función crece o cuándo decrece. Ejemplo: Sea la función , encuentra los intervalos en los cuales en los cuales es decreciente. Lo primero que haremos es encontrar la derivada de :
determinaremos en qué momento
Ahora, encontraremos cuándo
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es creciente y aquellos
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Con los resultados que se han obtenido y con base en el teorema anterior, podemos establecer que: i)
es creciente en el intervalo
ii)
es decreciente en el intervalo
iii)
tiene un número crítico en
. . .
Advierte que en el número crítico no crece ni decrece, la razón por la que ocurrió esto la veremos en el subtema Criterio de la primera derivada para extremos relativos. Ejercicios: Determina cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles decrecientes. a) , en el intervalo b) , en el intervalo c) en el intervalo d) , en e)
, en el intervalo
f)
, en
4.3.2. Criterio de la primera derivada para extremos relativos El criterio de la primera derivada para extremos relativos se basa en el siguiente teorema. Sea una función continua en todos los puntos del intervalo abierto que contiene al número como un número critico y supóngase que existe en todos los puntos de excepto, posiblemente en : i) ii)
Si Si
cambia en de negativa a positiva, cambia en de positiva a negativa,
es un mínimo relativo de . es un máximo relativo de .
4.3.3. Aplicación del criterio de la primera derivada Con base en el teorema de la sección anterior desarrollaremos algunos ejemplos que muestren su uso. Ejemplo: 1. Encuentra los extremos relativos de la función Primero, obtenemos la derivada de :
en el intervalo
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.
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Para obtener los números críticos igualamos a cero la derivada de la función y resolvemos la ecuación.
Esto ocurre cuando o si si Los números críticos son:
,
,
y cuando y cuando y
Ahora analicemos qué pasa antes y después de cada número crítico en la derivada. Esto se muestra en la siguiente tabla.
Número crítico
Signo de
Antes Después
+
Antes Después
Antes Después
-
-
+
+
Antes Después -
Ejercicios (imprimible): Encuentra los extremos relativos de cada función en sus respectivos intervalos. a) en el intervalo b) en el intervalo c) en el intervalo d) en el intervalo e) en el intervalo (-2, 2) Envía tus ejercicios a la sección de tareas.
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-
+
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4.4. Concavidad y el criterio de la segunda derivada 4.4.1. Definición de concavidad Sea una función derivable en un intervalo abierto . La gráfica de es cóncava hacia arriba en si es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo en si es decreciente en él.Para poder entender un teorema sobre concavidad es indispensable recordar la definición anterior; así encontraremos de manera más fácil cuando una función es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
4.4.2. Criterio de concavidad Sea una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto
.
i)
Si
para todo
en
, la gráfica de
es cóncava hacia arriba en
ii)
Si
para todo
en
, la gráfica de
es cóncava hacia abajo en el intervalo.
.
A continuación mostraremos algunos ejemplos de funciones cóncavas. Ejemplos: 1. Determina en qué intervalos la gráfica de la función abajo.
es cóncava hacia arriba o cóncava hacia
Primero obtenemos la primera y segunda derivada de la función
Luego encontremos en qué momento
Observemos qué pasa antes del punto
en
; por ejemplo, en
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Ahora veamos lo que pasa después del punto
entonces,
en
; por ejemplo, en
.
es una función continua, y, al igualarla a 0, nos da un único punto
, lo cual
quiere decir que nunca más pasa por cero. Esto significa que todo lo que esté antes del punto tendrá el mismo signo y que todo lo que esté después de dicho punto también tendrá el mismo signo y podrán ser iguales o diferentes, dependiendo de la función obtenida en Entonces,
.
en el intervalo además: en el intervalo Por lo tanto, la gráfica de la función cóncava hacia abajo en el intervalo
es cóncava hacia arriba en el intervalo
y es
.
2. Encuentra los intervalos en los cuales la gráfica de la función arriba y aquellos donde es cóncava hacia abajo. Nuevamente encontremos la segunda derivada de
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es cóncava hacia
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busquemos los puntos en los cuales la segunda derivada es cero.
Esto significa que pasa en dos ocasiones por el cero. Observemos lo que sucede. Antes de , es positiva o negativa; encontremos su signo evaluándola en
veamos cómo es
después de
; tomemos como referencia el punto
.
El signo que tendrá después de será el mismo que tendrá antes de ; esto se debe a que es una función continua y en ella los únicos ceros que existen son los puntos en los cuales .
Por último, veamos lo que ocurre después de
evaluando
en el punto
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, por lo que
es negativa después del punto
.
Ahora podemos establecer los intervalos en los cuales hacia abajo, de la siguiente manera:
es cóncava hacia arriba o cóncava
en el intervalo y en los intervalos Por lo tanto, la función abajo en los intervalos
y
es cóncava hacia arriba en el intervalo y
y es cóncava hacia
.
Ejercicios: Encuentra en cada una de las funciones los intervalos en los cuales son cóncavas hacia arriba y en los que son cóncavas hacia abajo. a)
b)
c)
d)
4.4.3. Puntos de inflexión Como pudimos apreciar, para establecer un criterio de concavidad de alguna función, ya fuese hacia arriba o hacia abajo, nos ayudamos de la segunda derivada y de los puntos en los cuales ésta es cero. Esos puntos que hemos utilizado son lo que se conoce como puntos de inflexión, siempre y cuando cumplan ciertas condiciones. A continuación, daremos la definición precisa de punto de inflexión.
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El punto
es un punto de inflexión de la gráfica de la función , si por él pasa una recta
tangente a dicha gráfica y si existe un intervalo abierto en , entonces: i)
si
y
ii)
si
y
que contenga a , tal que si
si
está
, o bien,
si
Así, en el ejemplo de la función
, se encontró un punto de inflexión, el cual es
. Para la función del segundo ejemplo, cuales son
y
encontramos dos puntos de inflexión, los
.
En el subtema Criterio de la segunda derivada para extremos relativos conoceremos la importancia de los puntos de inflexión dentro del cálculo.
4.4.4. Criterio de la segunda derivada para extremos relativos El criterio de la segunda derivada está dado por el siguiente teorema: Sea una función tal que contiene a . 1. Si entonces 2. Si , entonces
y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que es un mínimo relativo. es un máximo relativo.
4.4.5. Aplicación del criterio de la segunda derivada El criterio de la segunda derivada es uno de los más indispensables para realizar el cálculo de los máximos y los mínimos de una función. Presentamos los siguientes ejemplos: 1. Encuentra los valores extremos relativos de la función
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Para empezar, encontramos los números críticos de la función
calculamos la segunda derivada de la función y evaluamos en ella el punto
Como
es una función constante y siempre es positiva, tenemos que
por lo tanto,
es un mínimo relativo.
2. Encuentra los valores extremos relativos de la función Calculamos la derivada de
La igualamos a cero y encontramos los números críticos de .
los números críticos son: y Obtenemos la segunda derivada de .
sustituimos los puntos críticos en
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.
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Para
La exponencial con cualquier exponente es siempre positiva, así que el signo lo determina el del corchete, por lo cual
Para
Por lo que
Por lo tanto, tenemos que
es un mínimo de
y, a su vez, que
Ejercicios: Encuentra los extremos relativos de las siguientes funciones. a)
b)
c)
d)
e)
f)
Envía tus resultados a la sección de tareas.
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es un máximo.
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4.5. Diferentes aplicaciones de la derivada 4.5.1. Aplicaciones físicas En este subtema vamos a trabajar el primer ejemplo de las aplicaciones físicas de la derivada. Ejemplo: En un campamento se realizará una competencia, la cual consiste en ir desde la cabaña del cedro hasta la cabaña del roble. Para esto, cada competidor deberá utilizar únicamente su uniforme correspondiente. Las cabañas están separadas por un río que tiene un ancho de 500m; la distancia por tierra desde una cabaña al punto del río que está frente a la otra es de 1200m, tal y como lo muestra la figura. Para ir de la cabaña del cedro a la del roble, los participantes pueden elegir su ruta, comenzando con correr o nadar, según lo deseen, con la condición de que, una vez que hayan entrado al agua [o iniciado la carrera], deberán salir [terminar; desembocar] exactamente frente a la cabaña del roble. Toma en cuenta que la velocidad al desplazarse por el agua será 50% menor que la de ir por tierra, ya que nadarán a contracorriente. Suponiendo que todos los competidores tienen las mismas cualidades físicas, encuentra: ¿a qué distancia de la cabaña del cedro deben meterse al río los competidores para minimizar el tiempo que les tomará llegar de una cabaña a la otra? Lo que hacemos primero es modelar el problema mediante un esquema; podemos resumirlo de la siguiente manera: En la figura, C es la cabaña del cedro; R, la del roble; Q, el punto que se encuentra frente a la cabaña del roble en la orilla opuesta, y L representa el punto en el cual los participantes deben meterse al agua. Sea x la distancia de L a Q y sea d la distancia del punto L al punto R. Para empezar, encontramos d por medio del teorema de Pitágoras, como sigue:
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El tiempo en el cual los competidores deberán recorrer la ruta por tierra podemos representarlo como sigue:
El tiempo en el cual los competidores recorren la ruta por agua podemos representarlo como sigue:
Entonces, podemos representar la ecuación que nos dará la distancia a la cual los competidores deberían meterse al agua para minimizar el tiempo en terminar la competencia de la siguiente manera:
Lo primero que haremos es derivar la función obtenida:
Ahora, igualamos la derivada a cero y encontramos sus números críticos.
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Dado que hablamos de una distancia positiva, el valor negativo lo descartamos; así, tendríamos que x únicamente puede tomar el valor positivo que se obtenga de la raíz. Una vez que calculamos el valor crítico, vamos a encontrar la segunda derivada de la función tal y como se muestra a continuación:
Antes de comenzar a calcular la segunda derivada, vamos a hacer la siguiente sustitución.
Así, tenemos que la primera derivada de T es
Debemos recordar que g es una función de x, por lo que la derivaremos implícitamente.
Tenemos que:
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Sustituimos
por su valor original y tenemos:
En esta expresión, podemos observar que el tiempo (t) siempre será positivo, ya que estamos hablando de la cantidad de tiempo que transcurre desde que los participantes inician la competencia hasta el momento en que llegan a la meta. Haciendo esta observación, se tiene que el numerador de la expresión anterior es positivo. La expresión siempre dará valores positivos, ya que x representa una distancia y, en este caso, siempre será positiva; con esto, identificamos que el denominador de la expresión anterior es positivo, por lo cual tenemos que la segunda derivada de T siempre será positiva, particularmente cuando:
Se tendrá que
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Por lo tanto, la expresión
tiene un mínimo cuando entonces, podemos concluir el problema de la siguiente manera: los competidores deben comenzar a nadar en el río después de haber recorrido una distancia de desde la cabaña del cedro; con esto, tardarán menos tiempo en su recorrido.
4.5.2. Problemas de optimización En esta sección, aplicaremos el criterio de la segunda derivada para resolver problemas que se presentan en algunas situaciones, más que practicar un simple ejercicio con variables colocadas al azar. Veremos algunas de las aplicaciones de la derivada en situaciones reales de la vida, ya que existen infinidad de problemas que están asociados a una función o combinación de funciones, las cuales pueden ser continuas o discontinuas y, a su vez, pueden o no ser derivables . Podemos aplicar el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos, que son de mucha utilidad. Daremos un par de ejemplos y dejaremos algunos ejercicios para practicar. Ejemplos sobre las aplicaciones del criterio de la segunda derivada para resolver problemas de optimización. 1. Manuel fue a un banco para invertir su dinero y preguntó si de alguna manera su capital podría incrementarse. El banco le ofreció un interés anual cuyo porcentaje dependería del tiempo (en años) que durara su inversión. Para conocer la ganancia de Manuel, el banco se basó en la siguiente expresión:
donde: indica el interés anual obtenido indica el número de años que dure la inversión.
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Establece: i) ¿Cuál es el mayor tiempo que le conviene a Manuel invertir su dinero? ii) ¿Cuál será el interés que le generará su dinero al invertirlo el tiempo que más le convenga? iii) Para resolver el problema anterior y dar respuesta a las preguntas planteadas, vamos a aplicar el criterio de la segunda derivada y encontrar valores críticos de la expresión dada; con base en dichos valores, resolveremos el problema. Calculamos la primera derivada de la expresión
La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante para encontrar los números críticos.
En este caso, la variable se refiere al tiempo que dura la inversión, al mencionar que no tiene sentido, por lo que no la tomaremos en cuenta. Encontramos la segunda derivada de la expresión.
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Sustituimos el número crítico que obtuvimos en la segunda derivada de la expresión y encontramos su signo.
Encontramos, entonces, que la expresión es igual a 2 años.
tiene un máximo en el momento en que el tiempo
Por lo tanto, a Manuel le conviene más invertir su dinero a un plazo de 2 años. Encontremos el interés que producirá el capital; para hacer esto, tenemos que sustituir el tiempo que más le conviene a Manuel invertir su dinero en la expresión y nos dará el porcentaje buscado. Entonces
Por lo tanto, si Manuel invierte su dinero a un plazo de 2 años en el banco, éste producirá un interés de 5%. 2. Durante la venta de figuras de porcelana, los fabricantes se dan cuenta de que el costo de la producción está relacionado con el número de figuras fabricadas . La relación que encontraron la representaron mediante la siguiente función:
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Si cada figura tiene un precio de venta de $97.00: a) Escribe la función que representa los ingresos que obtienen los fabricantes por la venta de sus figuras de porcelana. b) Plantea la función que representa las utilidades que obtienen los fabricantes de las figuras de porcelana. c) Calcula la cantidad de figuras que deben fabricar para maximizar los beneficios, y calcula tambiénsu monto.
Solución: a) Comenzaremos por resolver el primer inciso del problema. Lo que se nos pide es que escribamos la función que representa los ingresos de los fabricantes; para ello, utilizaremos la cantidad de artículos vendidos, en este caso, multiplicada por el precio de venta de una figura, así proponemos a como la función que represente los ingresos:
b)
La función que representa las utilidades la propondremos como
y estará dada por:
c) Para encontrar la cantidad de figuras que deben fabricar para maximizar beneficios, aplicamos el criterio de la segunda derivada a la función que representa las utilidades:
igualamos a cero y resolvemos la ecuación
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Obtenemos la segunda derivada de la función que representa las utilidades
Como
es negativa, entonces, se tendrá un máximo cuando
Para conocer las utilidades que se obtendrán sustituimos
. en la función de las utilidades:
Entonces, la mayor cantidad de utilidades que se obtendrán es de $2301.00 y ocurrirá cuando se produzcan 48 figuras de porcelana.
Evidencia de aprendizaje: Optimización Para la evaluación de la tercera y cuarta unidades, investigarás los problemas que surgen en las organizaciones y que se resuelven a través de optimización; además, debes plantear las posibles soluciones. El tipo de problemas que se pueden incluir son los siguientes: La manera en que se debe construir un camión de basura para que almacene la mayor cantidad de desechos. Construir un cuarto que tenga el área máxima. Diseñar cajas para repartir pizzas, de tal manera que se ocupe la mínima cantidad de material. Elaborar bolsas de regalo de tal manera que ocupen el mayor volumen. Para resolver los problemas debes utilizar el criterio de la segunda derivada.
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Consideraciones específicas de la unidad En la presentación en Power Point que se encuentra en la página: http://beta.upc.edu.pe/matematica/cdar/paginas_verano/recursos/semana08/S0801_MA102_070 0.ppt hay un resumen de los temas y subtemas que se trabajan en esta unidad, como elTeorema de los valores extremos, Criterio de crecimiento y decrecimiento, Criterio de la primera derivada para extremos relativos, Definición de concavidad y Criterio de la segunda derivada para extremos relativos. En la página: http://roble.pntic.mec.es/jarran2/optimizacion/weboptimiza/optimiza.htm encontrarás problemas de optimización en los que se determina el área máxima y el máximo volumen de una figura y se modelan mediante programas de geometría dinámica.
Fuentes de consulta Granville, W. A. (2004). Cálculo diferencial e integral. México: Limusa-Noriega editores. Larson, R. E., et al. (1999). Cálculo (sexta edición). España: McGraw-Hill. Leithold, L. (1987). El cálculo con geometría analítica. México: Harla. Spivak, M. (1992). Calculus. Cálculo infinitesimal (segunda edición). España: Editorial Reverté.
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