CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS industrial y de servicios 163 Guía Exámen Global de Geometría Analítica I.- Instrucciones: Grafica los siguientes puntos en el plano cartesiano y calcula el perímetro y el área de la figura geométrica que se forma. A (-6, 3)
B (-2, -2)
C(3, 3)
Para calcular el perímetro del triángulo es necesario conocer la magnitud de cada uno de sus lados. Para calcular la longitud de los lados del triángulo utilizaremos la formula de la distancia entre dos puntos:
=6.4u = 7.07u
El perímetro del polígono es la suma de las magnitudes de sus lados: P= 6.4+7.07+9= 23.1u Para calcular el área del triángulo aplicamos la ecuación
de donde la altura la
consideraremos como el segmento BD el cual tiene una longitud de 5 unidades y la base de 9 u, por tanto el área del triángulo es
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II.- Calcula el circuncentro del triángulo que tiene como coordenadas los puntos: A (1, -5); B (3, -1) C (6, -4). INSTRUCCIONES: a) En el plano cartesiano traza las coordenadas que se te proporcionaron y por medio de segmentos de recta une las coordenadas con el propósito de que formes un polígono.
b) Calcula las ecuaciones de los lados del polígono, en el siguiente orden; 1°.- Lado AB; 2° Lado BC; 3° Lado AC. Ecuación a utilizar: Nota: Simplificar las ecuaciones a la forma de pendiente, ordenada al origen:
LADO AB Primeramente calculamos la pendiente del lado AB con la ecuación:
LADO BC
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LADO AC
c) Calcula las coordenadas de los puntos medios de los lados AB y BC del polígono y grafícalos. Por los puntos medios cruzarán las mediatrices de los lados AB y BC. Ecuación a aplicar:
LADO AB
Por tanto las coordenadas del punto” E” son:
, -3)
LADO BC
Las coordenadas del punto F son: (4.5, -2.5) d) Calcula las ecuaciones de las mediatrices de los lados AB Y BC. ¿Cuál es el significado de la mediatriz? Respuesta: La mediatriz de un segmento (AB Ó BC) es la recta perpendicular a dicho segmento, que pasa por el punto medio del segmento, es decir, es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento. ¿Qué es el Circuncentro? Respuesta: Es el punto de intersección de las mediatrices de los lados de un triángulo. El Circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, de tal manera que los tres vértices del triángulo tocan la circunferencia.
¿Cuál es la condición para que dos rectas sean perpendiculares? Respuesta: Para que dos rectas sean perpendiculares es necesario y suficiente que el producto de sus pendientes sea igual a menos uno. Para calcular dichas ecuaciones es necesario conocer algunas condiciones geométricas de las mediatrices, tales como la pendiente y las coordenadas de un punto. Las coordenadas del punto que pertenecen a la mediatriz es el punto medio del segmento AB, ó BC. La pendiente de la mediatriz que pasa por AB se calcula de la siguiente forma:
mmediatriz (mAB)= -1 de donde La pendiente del lado AB= 2 y las coordenadas del punto medio (2, -3)
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Sustituyendo estos valores en la ecuación punto pendiente tenemos:
La ecuación de la mediatriz que pasa por AB es
y= - 0.5x -2
Calculamos ahora la mediatriz que pasa por el lado BC del triángulo. La pendiente del lado BC = -1 y las coordenadas del punto medio del lado BC son (4.5, -2.5) La pendiente de la mediatriz la calculamos de igual forma que la anterior:
mmediatriz (mBC)= -1
de donde
Aplicando la ecuación de punto-pendiente tenemos que:
La ecuación de la mediatriz que pasa por BC es: y= x-7 e) El siguiente paso es calcular las coordenadas del circuncentro del triángulo ABC por lo que tenemos que resolver el sistema de ecuaciones de las dos mediatrices.
1) y=-0.5x-2 2) y=x-7 Resolviendo este sistema por el método de igualación tenemos: -0.5x -2= x – 7 -0.5 x- x= -7 +2 -1.5x = -5
En la ecuación número sustituimos el valor de “x” y= 3.33- 7= -3.67 Por lo que las coordenadas del circuncentro son: (3.33, -3.67)
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III.- INSTRUCCIONES: de acuerdo con la gráfica proporcionada mencione sus elementos geométricos y calcule su ecuación canónica y general. La ecuación canónica de la circunferencia es:
Las coordenadas del centro son C(h, k) de donde h= 2 y k=3 r=4 Sustituyendo los valores en la ecuación canónica tenemos que:
El siguiente paso es desarrollar los binomios al cuadrado. El siguiente paso es igualar a cero la ecuación, y simplificarla.
Ecuación general de la circunferencia.
La ecuación canónica de la Elipse es:
El centro de la Elipse tiene como coordenadas h, k; por lo que el centro es C (3, 3) de donde h= 3 y k=3 El valor de “a” es el semieje mayor ó sea es la distancia del centro a uno de los vértices= 3 El valor de “b” es la distancia del semieje menor y en este caso su valor es igual a 2. Sustituyendo valores en la ecuación canónica tenemos que:
Para calcular la ecuación general, primeramente hacemos la suma de fracciones y para eso tomamos como común denominador la multiplicación de 9(4)= 36
ó cuadrado nos queda la expresión,
:
. Desarrollando los binomios al
ó
:
:
ó 5
La ecuación canónica de la parábola, como la que se muestra en la gráfica es: de donde h y k son las coordenadas del vértice de la parábola y “p” es la distancia de la mediatriz al vértice y también del vértice al foco. El lado recto es un segmento de recta ó cuerda de la parábola, que es perpendicular al eje focal y pasa por el foco. En la gráfica podemos observar que la distancia de la mediatriz al vértice es de dos unidades, por lo que p= 2. El valor de h= 2 y el de k=2, en este caso. Sustituyendo valores tenemos que Realizando las operaciones indicadas en la ecuación canónica, con el propósito de llegar a la ecuación general de la parábola, tenemos: ó ,
:
Ordenando las variables y simplificando los términos independientes, tenemos que:
y esta es la ecuación general de la Parábola.
En seguida la gráfica de la parábola con sus elementos geométricos.
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Para calcular la ecuación general de la Hipérbola, primeramente partiremos de su ecuación canónica.
Los elementos geométricos correspondientes de la Hipérbola son: a) El centro con coordenadas C(h, k), en este caso podemos observar en la gráfica que las coordenadas del centro son C(3, 2). b) Los vértices con coordenadas V1 (0, 2) y V2 (6,2). La distancia de vértice a vértice es seis unidades por lo que el eje Transverso es igual a seis= 2a; de donde a=3 c) La distancia del centro al punto A1 es igual a cuatro unidades y esta longitud corresponde al semieje conjugado= b. Por tanto b=4 d) La distancia del centro al foco es igual a “c” y su dimensión se calcula aplicando el teorema de Pitágoras
Sustituyendo los valores en la ecuación canónica:
Para realizar la resta de fracciones tenemos que emplear un común denominador y este se obtiene de la multiplicación de 9(16)= 144
Ahora pasamos el 144 al miembro derecho de la ecuación y nos queda: 8
Desarrollando los binomios al cuadrado e igualando a cero, tenemos:
Realizando las multiplicaciones indicadas, ordenando las variables de acuerdo a su grado exponencial y simplificando, obtenemos la ecuación general de la Hipérbola.
ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA
Queridos alumnos he cumplido con lo que les prometí, esperando que les sean de utilidad estos datos. Facilitador: Modesto Ramos Sánchez.
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