ECUACIÓN Y GRÁFICA DE UNA HIPÉRBOLA SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: El centro de una Hipérbola se localiza en el punto C(3, -3), uno de sus vértices en V1 (1, -3) y la longitud del lado recto es LR= 8. Calculemos su ecuación ordinaria y sus elementos geométricos. Dibujemos también su gráfica. SOLUCIÓN: Sabemos que la distancia del centro de la hipérbola a uno de sus vértices es “a”; por tanto aplicando la fórmula
tenemos que:
A partir de la fórmula para calcular la longitud del lado recto b y tenemos que
despejamos
= 2.82
Ahora bien, por la fórmula =3.46 Por las coordenadas del centro de la hipérbola, (3, -3), se tiene que h= 3 y k=-3. Analizando las coordenadas del centro y del vértice dados, observamos que se trata de una hipérbola con el eje focal paralelo al eje de las abscisas, por lo que su ecuación ordinaria corresponde al modelo:
Sustituyendo en ella los valores determinados de encontramos que la ecuación de esta hipérbola es:
La ecuación general de la hipérbola es:
Para calcular las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola procedamos como sigue: Toda hipérbola tiene asociado un rectángulo. Este rectángulo tiene como su centro al de la hipérbola; dos de sus lados pasan por los vértices de la hipérbola y son
Facilitador: Modesto Ramos Sánchez
ECUACIÓN Y GRÁFICA DE UNA HIPÉRBOLA perpendiculares al eje transverso y cada lado tiene de longitud igual a 2b; los otros dos lados del rectángulo asociado pasan por los extremos del eje conjugado y son paralelos al eje transverso, con longitud cada uno igual a 2ª.
Las asíntotas de una hipérbola son las dos líneas rectas que contienen a las diagonales del rectángulo asociado a la hipérbola. Las ecuaciones de las asíntotas se pueden determinar aplicando la ecuación de la línea recta en su forma punto-pendiente: La ecuación ordinaria de nuestra hipérbola es: Para el cálculo de sus asíntotas igualamos a cero el primer miembro de la ecuación ordinaria dada, se tiene que:
Descomponiendo en factores se encuentra que
Igualando a cero el primer factor se tiene que:
Podemos observar en le ecuación de la asíntota que su pendiente es positiva por lo que es la asíntota que pasa por R2 Y R4 Ahora calculamos la ecuación de la otra asíntota de la misma forma, pero ahora igualando a cero el segundo factor:
Facilitador: Modesto Ramos Sánchez
ECUACIÓN Y GRÁFICA DE UNA HIPÉRBOLA
Fracciones:
Ahora la pendiente de esta asíntota es del mismo valor pero con signo contrario y es la asíntota que pasa por los vértices R1 y R3 del rectángulo.
Facilitador: Modesto Ramos Sánchez
ECUACIÓN Y GRÁFICA DE UNA HIPÉRBOLA
Facilitador: Modesto Ramos Sánchez