Tarea

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TAREA PARA EL 13 DE NOVIEMBRE DE 2012 ECUACION DE LA ELIPSE EN SU FORMA GENERAL

CUESTIONARIO

Discute si cada una de las siguientes ecuaciones representa ó no una elipse; en caso afirmativo determina sus elementos correspondientes y traza su gráfica.

1) 7x2+16y2-28x+128y+172=0 2) 9x2+ 4y2- 18x+ 16y-11= 0 3) 6x2+9y2-24x-54y+105=0 4) 5x2+3y2-3y-12=0 5) x2+4y2-6x+16y+21=0

a).- ¿Si la elipse es paralela al eje x ó al eje y?

b).- ¿Las coordenadas de su centro?

c).- ¿ Las coordenadas de sus vértices?

d).- ¿Las coordenadas de sus focos?

e).- ¿ La longitud de su Semieje menor y mayor?

f).- ¿La longitud de cada lado recto?

Facilitador: Profr. Modesto Ramos Sánchez

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g).-¿ La excentricidad?

No importa, si no puedes resolverlo por ahora es normal; primero realiza en equipo el ejercicio siguiente. 

La ecuación de la elipse en su forma general está dada por Ax2+By2+Dx+Cy+F=0

en donde su eje focal es paralelo al eje x ó al eje y. A y B deben de ser diferentes pero del mismo signo.

EJERCICIO RESUELTO Discutir si la ecuación 2x2+3y2-8x-18y+29 = 0 ¿representa o no una elipse? En caso afirmativo determinar sus elementos correspondientes

SOLUCIÓN.-

Primero trata de reducir la ecuación dada a la segunda forma ordinaria de la elipse

1.- Al ordenar los términos se tiene:

(2x2-8x) + (3y2-18y) = -29

Facilitador: Profr. Modesto Ramos Sánchez

3 2.- Al factorizar el 1er. Miembro tenemos:

2(x2-4x) + 3(y2-6y) = -29

3.- Al completar trinomios cuadrados en “x” y ”y” tenemos: 2 2 2 2  2   4   2  6    4  6 2 x  4 x      3 y  6 y      2   3   29  2     2    2   2  

2(x-2)2 + 3(x-3)2 = 8+27-29 = 6

4.- Simplificando:

2 x  2 3 y  3 6   6 6 6 2

5.- Incluyendo un denominador común

x  22   y  32 3

2

2



 1 ………. que es la ecuación de la

elipse en su segunda forma ordinaria.

De ésta ecuación tenemos que las coordenadas de la elipse son: C (2,3) como a2 > b2 concluimos que a2 = 3, a   3 ; b2 = 2, b   2 el eje mayor es paralelo al eje de las x donde c2= a2 - b2 por lo tanto

c  1 las coordenadas de los vértices son V(h+a,k) y V’(h-a,k) 

V(2+ 3 ,3) y V’(2,-

Las coordenadas de los focos son

3 ,3)

F(h+c,k) y F(h-c,k) 

Facilitador: Profr. Modesto Ramos Sánchez

4 F(3,3) y

Longitud de cada lado recto es

La excentricidad es

e

LL’ =

F’(1,3)

2b 2 4   2.309 a 3

c 1   0.5773 a 3

Y ahora te toca determinar su gráfica con las coordenadas de sus elementos que se indican a continuación.

A(h,k+b)

F’(h+c,k)

F(h-c,k)

V’(h+a,k) V(h-a,k) A’(h,k-b)

Facilitador: Profr. Modesto Ramos Sánchez

5 EJEMPLO DE GRAFICA CON GeoGebra.

Enhorabuena y felicidades, ahora puedes retomar el cuestionario anterior y contestarlo en equipo  Revisa las respuestas al cuestionario anterior y compara con las siguientes:

Facilitador: Profr. Modesto Ramos SĂĄnchez

6 a)Elipse con eje de simetría paralelo al eje x. b) (2,-4) c) V(6,-4), V’(-2.-4) d) F(5,-4), F’(-1,-4) e) 2a= 8; 2b=2 7 f) LR = 7/2 g) e = 3/4

Facilitador: Profr. Modesto Ramos Sánchez