Módulo de Matemática I e II

REPÚBLICA DE MOÇAMBIQUE MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

Módulo de Matemática I e II Formação de Professores do Ensino Primário Elaborado por: José Pedro Vuma & Ida Alvarinho

“Construindo competências profissionais para um ensino de qualidade”

INDE INSTITUTO NACIONAL DO DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO

Testagem 2012 1

MÓDULO DE MATEMÁTICA I E II

Duração do Módulo: 96 Horas Bloco 5

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Índice Introdução ao Módulo ................................................................................................................. 4 Competências a desenvolver no módulo ..................................................................................... 4 Resultados de aprendizagem do módulo ..................................................................................... 4 Visão geral dos temas a tratar no módulo ................................................................................... 5 Unidade 1: CONJUNTO E ELEMENTO ................................................................................. 10 Unidade 2: DIVISIBILIDADE DE NÚMEROS NATURAIS ................................................. 31 Unidade 3: FRACÇÕES............................................................................................................ 50 Unidade 4: NÚMEROS DECIMAIS E OPERAÇÕES ............................................................ 75 Unidade 6: CORRESPONDÊNCIAS ..................................................................................... 103 Unidade 7: PERCENTAGENS .............................................................................................. 120 Unidade 8: ESTATÍSTICA BÁSICA ..................................................................................... 138 Unidade 9: ESPAÇO E FORMA - FIGURAS E SÓLIDOS GEOMÉTRICOS ................... 152 Unidade 10: MEDIDAS E GRANDEZAS ............................................................................. 235

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Introdução ao Módulo O módulo ”Matemática” enquadra - se no leque dos diversos módulos do curso de Formação de Professores Primários.

A Matemática desempenha um papel decisivo na resolução de problemas da vida diária. É um instrumento poderoso para o conhecimento do mundo, domínio da natureza, construção de conhecimentos em outras áreas curriculares; interferindo também na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento e na agilização do raciocínio do aluno. O professor deve desenvolver competências que lhe permitam trabalhar com este módulo de forma a responder às exigências actuais da sociedade e promover um ensino com significado para os alunos.

Competências a desenvolver no módulo Este módulo visa proporcionar aos formandos um contacto com ideias e métodos fundamentais que lhes permitirão desenvolver as capacidades de raciocinar, comunicar de forma lógica, analisar de forma reflexiva e resolver seus os problemas e da comunidade.

No fim deste módulo o formando deverá estar competente para: 1) Promover o espírito patriótico e de cidadania, regras de convivência democrática e valores universais; 2) Agir de acordo com os princípios éticos e deontológicos associados à profissão professor; 3) Demonstrar domínio dos conhecimentos científicos do ensino primário; 4) Promover o auto- desenvolvimento profissional e envolve-se num trabalho cooperativo, colaborativo e articulado;

Resultados de aprendizagem do módulo •

Desenvolver competências para ensinar a contar, calcular e resolver problemas da vida aplicando as operações matemáticas no Ensino Primário;

4

•

Resolver problemas do quotidiano aplicando os conhecimentos sobre fracções, números decimais, critérios de divisibilidade, proporcionalidades, percentagens e permilagem;

•

Resolver problemas que envolvem grandezas de medidas, espaço e forma;

•

Aplicar os direitos e deveres da criança no ensino da matemática;

•

Resolver problemas da vida prática aplicando os conhecimentos estatísticos;

•

Construir figuras e sólidos geométricos relacionados com a vida real; extraídos da descrição do módulo

Visão geral dos temas a tratar no módulo UNIDADE TEMÁTICA

CONTEÚDOS I-Conjunto e elemento Designação de um conjunto; Definição de um conjunto por extensão e por compreensão; - Representação de um conjunto em chavetas e em diagramas; - Relação de pertença e não pertença; - Conjunto singular e conjunto vazio; - Subconjunto; - Relação de inclusão; - Reunião e intersecção de dois conjuntos; - Diferença de de dois conjuntos; - Conjunto complementar.

II- Divisibilidade dos números naturais - Noção de múltiplos de um número natural; - Conjunto de múltiplos de um número; - Múltiplos comuns de dois ou mais números; - Noção de divisor de um número; - Conjunto dos divisores de um número; - Divisores comuns de dois ou mais números; - Critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, e 15; - Número primo; - Decomposição de um número natural em factores primos; - Máximo divisor comum e mínimo 5 -

Conjuntos e elemento

Divisibilidade dos números naturais

EVIDÊNCIAS REQUERIDAS Aplica o conceito de conjunto e elemento partindo de exemplos locais como família, comunidade etc; Resolve problemas aplicando as operações sobre conjuntos.

Usa os múltiplos e divisores de um número para calcular o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum; Aplica os critérios de divisibilidade na resolução de problemas matemáticos e da vida real.

CARGA HORÁRIA

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múltiplo comum de dois ou mais números pelo processo de decomposição em factores primos.

Fracções

Números decimais e operações

Razões e proporções

III- Fracção - Noção de fracção; - Representação gráfica de fracções; - Leitura e escrita de fracções; - Representação de fracções na semirecta; - Tipos de Fracções (próprias, impróprias e mistas) - Equivalência de fracções; - Simplificação e ampliação de fracções; -Comparação de fracções; - Operação com fracções; - Expressões numéricas envolvendo as operações básicas; - Resolução de problemas.

IV- Números decimais e operações - Noção de número decimal -Leitura e escrita de números decimais; - Representação dos números decimais na semi-recta graduada; - Relação dos numeros decimais com fraccoes - Composição e decomposição de números decimais; - Comparação e ordenação dos números decimais; Operações com números decimais: - Resolução de problemas práticos envolvendo números decimais.

V- Razões e proporções - Noção de razão e proporção; - Equações do tipo proporção; - Escala; - Resolução de problemas envolvendo proporções.

Correspondê ncias

-

VI- Correspondências Tabelas de correspondência: conservação, inversão da ordem e linearidade; Equações do tipo y=kx ou y=x/k; Sistemas de coordenadas; Proporcionalidade directa e inversa 6

Efectua as operações usando os números naturais e fracções; Resolve problemas envolvendo fracções.

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Efectua as operações usando números decimais; Resolve problemas práticos que envolvem os números na sua representação decimal.

Resolve equações a partir de proporções; Aplica a propriedade fundamental das proporções na resolução de problemas reais da vida; Resolve problemas práticos que envolvem as proporções.

Aplica as proporcionalidades directas e inversa na resolução de problemas da vida prática.

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10

10

Percentagens -

-

Resolução de problemas sobre a proporcionalidade direita e inversa VII- Percentagens Noção de percentagem; Relação de fracções, números decimais e percentagem; Percentagem de quantidade; Problemas concretos com cálculo de percentagem que envolvem saldos, lucros e prejuízos; Gráficos circularem e de barra Noção de permilagem.

Relaciona as diferentes formas de representar uma percentagem

Constrói e interpreta os gráficos circulares e de barra; Resolve os problemas concretos com cálculos de percentagem que envolve saldos, lucros e prejuízos; Resolve os problemas concretos com cálculos de permilagem que envolve natalidade e mortalidade.

Aplica conhecimentos estatísticos para recolher e organizar dados de situações problemáticas da vida real; Lê, e interpreta informação apresentada em tabelas de frequências, gráficos pictogramas e histograma Constrói tabelas de frequências e gráficos a partir de dados; Resolve problemas que envolvem o cálculo de média aritmética, moda e mediana;

-

-

Estatística

-

VIII- Estatística Básica Noções elementares de estatística: população, amostra, variáveis (qualitativas e quantitativas) Recolha, organização e registo de dados em tabelas Gráfico de barras, linhas e histograma Interpretação de tabelas e gráficos Cálculo de média aritmética, moda e mediana Pictograma

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10

-

-

Espaço e Forma

-

-

-

IX- Figuras e sólidos geométricos Situar e orientar Ponto, recta e plano Posição horizontal e vertical de rectas e objectos Construção de rectas paralelas e concorrentes (oblíquas e perpendiculares) Ângulos e sua classificação Figuras geométricas: a. triângulo, quadrado, rectângulo e quaisquer outros polígonos b. Circunferências e círculo (centro, raio, diâmetro, corda e arco) Composição e decomposição de figuras geométricas Mediatriz de um segmento e sua construção Construção de altura, mediana, bissectriz de triângulo e linhas médias Teorema sobre a soma de ângulos externos de um triângulo A soma dos ângulos internos de um quadrilátero e polígono regular Perímetro de figuras planas Área de figuras planas Construção geométrica de circunferências Perímetro da circunferência Área do círculo Sólidos geométricos a. Cubo b. Bloco c. Cilindro d. Cone e. Pirâmide f. Prisma g. esfera Planificação de sólidos (cubo, bloco, cilindro, cone, pirâmide, prismas) Volume de sólidos geométricos.

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Relaciona os objectos segundo a sua posição no espaço; Identificar linhas rectas e curvas a partir da observação de objectos e de figuras geométricas; Planifica sólidos geométricos relacionando-os com os objectos concretos da vida real; Constrói figuras e sólidos geométricos; Compara e descreve sólidos geométricos identificando semelhanças e diferenças; Identifica polígonos e círculos nos sólidos geométricos; Resolve problemas concretos aplicando os conhecimentos de área, perímetro e volume das figuras e sólidos geométricos em diferentes contextos.

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-

Grandezas e medidas

-

X-Grandezas e medidas O dinheiro em circulação e movimentos bancários Medidas de comprimento; Medidas de massa; Medidas de tempo; Unidades de áreas (km2, hm2, dam2, m2, dm2, cm2 e mm2); Unidades agrárias (hectare, are e centiare); Relação entre as unidades agrárias e de superfície; Medidas de capacidade e volume; Problemas concretos da vida prática: Conversões

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Resolve problemas da vida que envolvem grandezas de medidas; Usa o sistema monetário de Moçambique na resolução de problemas; Resolve problemas reais da vida envolvendo situações temporais.

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Unidade 1: CONJUNTO E ELEMENTO

Duração da Unidade: 10 Horas

Introdução Na nossa vida formamos conjuntos. Formamos conjunto de amigos, conjunto de países, conjunto de irmãos, conjunto de números, etc. Todos nós formamos conjuntos. As crianças formam diferentes grupos para jogar por exemplo a neca ou futebol, no mercado as vendedeiras fazem montinhos de tomate ou de batata para venderem. O montinho, o grupo, a turma são conjuntos. Há pois uma necessidade de estudarmos a teoria de conjuntos.

A teoria de conjuntos exerce uma grande influência sobre o desenvolvimento da matemática e serve de base para explicação e compreensão de muitos conceitos e procedimentos matemáticos. Por exemplo, a determinação de múltiplos e divisores.

Nesta unidade apresentamos uma breve revisão teórica de alguns conceitos acompanhados de exemplos. São propostos, ainda, variados exercícios de aplicação que te permitirão resolver problemas da vida real.

Evidências Requeridas: Aplica o conceito de conjunto e elemento partindo de exemplos locais como família, comunidade, etc;

Resolve problemas aplicando as operações sobre conjuntos.

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1. Conjunto e elemento

Recursos de aprendizagem Diariamente, quando lemos uma revista, um jornal quer quando falamos com outras pessoas a ideia de conjunto surge com frequência. Usamos a palavra conjunto para dizer grupo, família, turma, equipa, comunidade, etc.

0, 1, 2, 3, 4, 5 : são elementos do conjunto dos números naturais menores de que.

Os conjuntos são constituídos de elementos .

Exemplos: - conjunto dos dias da semana : 2ª feira , 3ª feira , 4ª feira , 5ª feira , 6ª feira , sábado , domindo - conjunto de vogais do alfabeto português : a , e , i , o , u - conjunto de frutas: banana, laranja, maçã, . . .

1.1.Designação de um conjunto Os símbolos têm uma grande importância na nossa vida. Também em Matemática se usa linguagem simbólica para facilitar a comunicação.

Para melhor simplificação de linguagem escrita e oral vamos designar os conjuntos por letras maiúsculas ( A , B , C, D, . . . ) e os elementos por letras minúsculas ( a ,b ,c ,d , . . . ).

Há conjuntos com designação especial: 11

IN – conjunto dos números naturais Q – conjunto dos números racionais IR – conjunto dos números reais

1.2. Definição por compreensào e por extençào Por Compreensão: Na definição de um conjunto por compreensão coloca -se entre chavetas uma propriedade comum dos elementos do conjunto (no plural e com letra minúscula).

A = { números naturais menores de 6 } Por Extensão: Quando se enumera todos os elementos do conjunto escrevendo-os entre chavetas e separando-os por virgulas.

A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4, 5 }

1.2.Representação de um conjunto Podemos representar um conjunto por meio de chavetas ou por meio de um diagrama de Venn.

Por meio de chavetas Na representação por chavetas os elementos são separados por virgulas A={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

B={ rectângulo, quadrado, losango , trapézios}

Por meio de diagrama de Venn:

B

A mapiko ngalanga xigubo makuaiela timbila

rectângulo 12

losango

quadrado trapézios

1.4. Relação de pertença e não pertença Um elemento pode pertencer ou não a um determinado conjunto. Para se indicar que um elemento pertence a um dado conjunto, utilizamos o símbolo ∈ e quando não pertence usamos ∉. x ∈ A ( lê-se: x pertence a A) x ∉ B ( lê-se: x não pertence a B) Exemplos: Linguagem corrente

linguagem simbólica

2 é um número par

2 ∈ {números pares}

2 não é um número ímpar

2 ∉{ números ímpares}

Sérgio é um elemento da turma A

Sérgio ∈ A

1.5. Conjunto singular e conjunto vazio Representemos, em extensão, usando chavetas, os seguintes conjuntos: →

A = {números naturais menores que l} B = {capital de Moçambique}

A={0}

→

B = { Maputo }

Os conjuntos A e B têm apenas um elemento. São conjuntos singulares.

Considera, agora, os conjuntos M e N. M = { números pares menores que 2}

→

M={}

N = {alunos da tua turma com 95 anos} →

N={}

Os conjuntos M e N não têm nenhum elemento. São conjuntos vazios 13

Um conjunto sem elementos chama-se conjunto vazio.

Representa-se por: { } ou Ø

Actividades (1) 1. . Define por compreensão os conjuntos: a)

A ={Cabo Delgado, Nanpula, Zambézia, Tete, Niassa, Sofala, Manica, Inhambane,

Gaza, Maputo-Provincia, Maputo-Cidade } b) B = { Mapiko, Ngalanga, Xigubo, Timbila } c) C = { Janeiro, Fevereiro, Março, Abril, Junho, Julho, Agosto, Setembro, Outubro, Novembro, Dezembro } d) D = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } e) E = { 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , ... }

2. Defina por extensão os conjuntos: a) A = {números ímpares maiores que 7 e menores que 20 } b)

B = { países menbros da CPLP }

c)

C = { meses do ano com 31 dias }

d)

D = { números naturais menores que 5 }

3. Define por extensão: a) O conjunto do conjunto dos meses do ano com 32 dias b) O conjunto dos meses do ano que os Moçambicanos festejam o dia da Independência.

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c) O conjunto dos meses do ano com mais de 28 dias. d) O conjunto dos números ímpares múltiplos de 2.

4. Representa por meio de chavetas : a)

O conjunto dos dias de semana.

b)

O conjunto dos números ímpares.

c)

O conjunto das disciplinas do 1º semestre do teu curso.

d)

O conjunto dos teus professores.

e)

O conjunto dos números pares menores que 15.

5. Considera os conjuntos: C ={capitais das Províncias de Moçambique} , D ={províncias da zona centro de Moçambique} Completa usando os sinais ∈ ou ∉ a) Tete ….D e) Manica……C

b) Tete….C

c) Maputo….D

f) Pemba……C

d) Nacala…..C

g) Xai-Xai……D

h ) Nampula…..D

6. Seja M={ 4 , 8 , 15 , 21 , 36}. Completa com os símbolos ∈ ou ∉ a) 5 …..M

b) 21 – 15 ……M

c) 56 : 7 ….. M

d) 3 x 5 …..M

e) 45 : 3 …..M

f) 15 + 20 ….. M

7. Assinala com letra “s” os conjuntos singulares e com ”v” os conjuntos vazios: a) {elementos absolventes da multiplicação} (

15

)

b) {professores da língua japonesa da tua turma} (

)

c) {números naturais maiores que 7 e menores que 9} ( e) { elementos neutros da adição } ( f) {meses do ano com 20 dias} (

)

) )

1.6. Subconjunto Seja G o conjunto dos alunos dum grupo duma turma do 1º ano do IFP. O conjunto A é parte do conjunto G porque todos os elementos de A pertencem a G. Diz-se então que A é subconjunto de G .

G Kito

Diodita

Venicio

A

Nota: Pedro

- Qualquer conjunto é subconjunto de si próprio

Amélia

- O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

cardinal de um conjunto - Notação: # Chama-se cardinal de um conjunto e representa-se pelo símbolo # , ao número de elementos desse conjunto.

Exemplos : A = { 2, 4, 6, 8, 10} , #A = 5 B = { números dígitos} , #B = 10

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Número de subconjuntos de um conjunto a) Considere o conjunto M = { 1 }. Vamos formar todos os subconjuntos de M. {1} ; { } Com os elementos de M podemos formar dois subconjuntos b) Considere o conjunto P = { 1 , 2 }. Vamos formar todos os subconjuntos de P {1} ; { 2 }; {1, 2}; { } Com os elementos de P podemos formar quatro subconjuntos Se continuarmos com este processo formando subconjuntos de conjuntos com 3, 4, 5, … podemos chegar a seguinte conclusão:

Com um conjunto que tenha n elementos podemos formar 2n subconjuntos.

Relaçao de inclusão Repara no diagrama seguinte que conjunto A é parte do conjunto G porque todos os elementos de A pertencem ao conjunto G.

simbolicamente: A ⊂ G

G Kito

A

O símbolo ⊂ , lê-se“está contido” Diodita Venicio

Pedro Amélia

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Porque nem todos os elementos de P pertencem a G, diz-se que o conjunto P não está contido no conjunto G Simbolicamente: P ⊄ G O símbolo ⊄ lê-se ”não está contido”

Actividades (2) 1.Observa os conjuntos.

A = { borracha, lápis }: U = { caneta, borracha, lápis, afiador, caderno, pasta } B = {lápis, régua, borracha } Completa com os sinais ⊂ e ⊄ , ∈ e ∉ a)

A_____U

e) lápis...........B

b)

A_____B

f) pasta .........A

c)

B_____U

g) caneta........U

d)

B_____A

h) afiador ......A

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2. Considere os conjuntos A = { Matemática, Português, História, Biologia} B = {Províncias do norte de Moçambique} C = {Dias úteis da semana }

a)

Define os conjuntos A, B e C em extensão.

b) Completa com os símbolos ∈ , ∉ , ⊂ e ⊄ .

Nampula….A }…A

{ 2ªfeira, Sábado }….C

Sábado…..C

Biologia….B

{ Niassa }….B

{ Manica, Tete

{ História, Zambézia }….A

Sábado….A

1.6. Reunião de dois conjuntos

Recursos de aprendizagem 1. Consideremos dois conjuntos A e B: A={ a, b, c}

B={ m , p}

O conjunto formado por elementos dos dois conjuntos chama-se conjunto reunião de A e B. Escreve-se A ∪ B O símbolo U, lê-se “reunião” Assim, A ∪ B = {a, b, c ,m, p}

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8. Considera agora os conjuntos C e D C = { a, b, c, d }

D = { a, m, c, p, t }

O conjunto reunião de C e D é C ∪ D = { a , b , c , d , m , p , t }

Ao formar o conjunto reunião os elementos comuns não devem ser repetidos.

1.7. Intersecção de conjuntos Considere conjunto A de números naturais menores de 6 A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } E o conjunto B de múltiplos de 2 menores de 10.

B ={ 0, 2, 4, 6, 8 } Ao conjunto { 0, 2, 4 } formado pelos elementos comuns aos dois conjuntos, chamamos conjunto intersecção de A com B.

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Assim, A ∩ B = {0, 2, 4 } Conjuntos disjuntos Observa os conjuntos A = { a, b, c } A intersecção destes conjuntos é

e

B ={ 1, 2, 3 }.

A ∩ B=Ø

ou

A ∩ B = { }.

Se a intersecção de dois conjuntos é um conjunto vazio diz-se que eles são conjuntos disjuntos

A e B são conjuntos disjuntos Diferença entre dois conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A e B, denotada por A - B ou A\B, o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A mas não estão em B.

B\A - lê-se B menos A

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Se A = {a , b , c , d , e , f}

e

B = {a , d , g , h , m , n} , então:

A / B ={ b , c , e , f } B/A = { g , h , m , n }

conjunto universo Chama-se Conjunto Universal (ou Universo) ao conjunto constituído por todos os elementos da colecção Exemplo:

R = {números reais} A = { alunos da minha turma}

Complementar de um conjunto Dado o conjunto Universal U e um subconjunto A. Chamase complementar do conjunto A e expressa-se por C(A) ou

A a todos os elementos do Universo que não fazem parte do conjunto A.

A - lê-se complementar de A

Exemplo: Dados o conjunto U e os subconjuntos A e B, assim definidos: U = {a , b , c , d , e ,f , g } A= { a ,d , g } Observa:

;

B = {a , b , f , g }

A = { b , c , e , f}

−−

B = { c , d . e}

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Propriedades das operacoes sobre conjuntos a) Comutatividade

b) Associatividade

•A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C

•A ∪ B = B ∪ A •A ∩ B = B ∩ A c) Distributividade

•A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C d ) Propriedades do complemento

•A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) •A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )

•A = A •A ∪ A = U •A ∩ A = ∅

Propriedades do Elemento Neutro

•A ∪ ∅ = A •A ∩U = A

Exemplo: Considera os conjuntos A = {a , b , c , d } , B = {a , d , e , f } e C = { g , h }.

Observa:

A ∩ B = {a , d }   A∩ B=B∩ A B ∩ A ={ a , d } 

A ∪ ( B ∩ C ) = { a , b, c , d } ∪ {} = { a , b, c , d } ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) = { a , b, c , d , e , f } ∩ { a , b , c , d , g , h } = { a , b, c , d }

A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )

Actividades (3) 23

1. Sendo A={ a , b , c , d , e , f },

B ={ a , f , h } e C ={ m , p , q , t }

a) Completa : A ∩B ={

A ∩C=

}

Completa com os símbolos da relação de pertença: a _____ A

p ____ B

d _____ C

b ______ C

q _____ B

e ______ C

f _____ A

m _____ A

2. Dados os conjuntos: A={ 6 , 7, 8 , 9 }

B = { 8 , 9 , 11 }

C = { 11 , 13 , 15 , 17 }

Representa , em extensão, usando chavetas os seguintes conjuntos: A∪ B

C ∩A

C∪ B

B ∩ C

∈

3.Considera os conjuntos:

F

R

8 F = { 10 , 12 , 14 }

10

R = { 8 , 12 , 16 , 18 }

12 14

a) Preencha o quadro colocando ( • ) caso o número

16

pertença a F ou R.

18

b) Observa o quadro e completa: R∪ F = {

}

R F={

}

4. No universo U = {1, 2,3, 4,5, 6} , considere os conjuntos:

A = {1 , 2 , 3 , 4} , B = {3 , 4 , 5 , 6}

e C = {1 , 2 , 3 , 6}

24

• •

Determina:

a) A ∩ B ∩ C

e

A∪ B ∪C

b) ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )

e

( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )

5. No universo U = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} , considera os conjuntos: P = {1, 2,3, 4} , Q = {3, 4,5, 6}

e R = {3, 4}

Defina em extensão: a ) P , Q e R;

b) P \ Q , P \ R

c) P ∪ Q

d) P ∩Q

e P ∩Q

e R\Q

e P ∪Q

6. Em uma comunidade são lidos os jornais A e B, exactamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determinar a percentagem de alunos que lêem ambos jornais.

7. De entre os 29 jovens que frequentaram um campo de férias alguns distraíam-se com jogos: - 11 jogavam só damas - 7 jogavam só xadrez - 5 jogavam damas e xadrez a) b) c) d) e)

Quantos jovens jogavam damas?

Quantos jovens jogavam xadrez?

Quantos jovens jogavam damas ou xadrez?

Quantos jovens não jogavam xadrez?

Quantos jovens não jogavam xadrez nem damas?

Autoavaliação 25

1. A representação em extensão do conjunto dos números inteiros maiores que 10 e menores que 15 é: A. {10 ,11 , 12, 13 } B. {11, 12, 13, 14} C. {11, 12, 13, 15 }

2. A representação em compreensão do conjunto {12 , 14 , 16 , 18} é: A. {números pares maiores que 10 e menores que 20} B. { números pares maiores que 10} C. { números pares menores que 20}

3. Das representações a seguir indicadas a de um conjunto singular é: A. { números ímpares menores que 8 e maiores que 5} B. { números pares maiores que 10} C. { números ímpares menores que 10}

4. Das representações a seguir indicadas a de um conjunto vazio é: A. {4, 6, 8} B. { números pares menores que 6 e maiores que 4} C. {números pares menores que 7}

5. Considera os conjuntos A={12 , 14 , 16 , 20 }

B= { números pares maiores que 16 e menores que 22}

A representação de A ∩ B é: A. { números pares menores que 22} B. { números pares maiores que 16 e menores que 22} C. { números pares maiores que 10 e menores que 22} 6. Considera os conjuntos C={3, 5, 7 }

D = {2 , 3 , 4 , 5, 6 }

A representação de C ∪ D é: 26

A. {2, 3 ,4 ,5 ,6 ,7 } B. {2 , 3 , 6} C. { 3 , 5}

7. Em qual dos casos os conjuntos A e B são disjuntos?

A. A ∩ B = A B. A ∩ B = { } C. A ∩ B = B

8. Dados os conjuntos A={1 , 3 , 5 , 7} B={7, 9, 11} C={11, 13, 15, 17} A representação em extensão de A ∩ B ∩ C é: A. { } B. { 7 } C. { 11 }

9. Dados os conjuntos A={1 , 3 , 5 , 7} B={7 , 9 , 11} C={11 , 13 , 15 , 17} A representação em extensão de A ∪ B ∪ C é: A. { 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11, 13 ,15 17} B. { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 } C. { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 15 , 17 }

10. Identifica o conjunto que indica a parte tracejada.

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A: M ∪ P ∪ Q

B : M ∩ P∩ Q

C : M ∪ ( P ∩ Q)

11. Representa por meio de um diagrama de Venn o conjunto ( A ∩ B) ∪ C .

12. Numa reunião havida no Centro de Conferência Joaquim Chissano os participantes falavam três línguas: 30 falavam a língua francesa, 50 falavam a língua inglesa e 80 falavam a língua portuguesa.

Sabendo que 20 entendiam as três línguas, 10 entendiam apenas Inglês e Português diz quantas pessoas participaram na reunião.

A: 80

B: 110

C: 160

Chave de correcção 28

Actividades (1) 1.

a) A = {províncias de Moçambique} b) B = {danças moçambicanas} c) C = {meses do ano} d) D = {números naturais maiores que quatro e menores que nove} e) E = {múltiplos de três} 2.

a)

A= {9,11,13,17,19}

b)

B = {Moçambique, Angola, Portugal, G.Bissau, Brasil, C.Verde}

c)

C = {Janeiro, Março, Maio, Julho, Agosto, Setembro, Dezembro}

d)

D = {0, 1 , 2 , 3 , 4 }

e)

E = {vermelho, branco, preto, amarelo, verde}

3.

a) { }; b){Junho}; c){Fevereiro}; c){ } 4. a){2ª-feira, 3ª-feira, 4ª-feira, 5ª-feira, 6ª-feira, Sábado, Domingo} b){ 1, 3 , 5 , 7, 9 , 11 , 13 , . . .} c) { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 12 , 14 } f) a) ∈

b) ∈

c) ∉

d) ∉

e) ∉

f) ∈

g) a) ∉

b) ∉

c) ∈

d) ∈

e) ∈

f) ∉

h) a) s

b) v

c) s

d)s

e)v

g) ∉

h) ∉

Actividades (2) 1. a) ⊂ , b) ⊂ , c) ⊄ ,

d) ⊃

, e) ∈ ,

f) ∉ ,

g) ∉ ,

h) ∉

2. a) A = {Sofala, Manica, Tete, Zambézia} , {Nampula, Cabo Delgado, Niassa} , { 2ª-feira,

3ª-feira, 4ª-feira, 5ª-feira, 6ª-feira} b) ∉

, ⊂

,

∉ , ∈ ,

∈ , ⊂ , ⊄ ,

∉

Actividades (3) 1. a) {a , f } , { } b) ∈ , ∉ , ∉ , ∉ ,

∉,

∉,

∈,

∉

2. {6 , 7 , 8 , 9 , 11} , { } , {11} , {8 , 9 , 10 , 11 , 13 15 , 17} 29

3. b){ 8 , 10 , 12 , 14, 16 , 18} , {12} 4. {3} , U , {1 , 2 , 3 , 4 , 6} , {3 , 4 , 6} __

5. a) P = {5 , 6 , 7}

__

__

, Q = {1 , 2 , 7 , 8} , R = {1 , 2 , 5 , 6 , 7 , 8}

b) {1 , 2}, {1 , 2},{ } c) {7 , 8} , {1 , 2 , 5 , 6 , 7 , 8} ; d) {1 , 2 , 7 , 8},{1 , 2 , 7} 6. 40% 7. a) 16 ; b) 12 ; c) 23 ; d) 17 ; e) 6

Auto avaliação

1. B ; 2 ..A; 3.A ; 4.B ; 5. B ; 6. A ; 7.B ; 8.A ; 9.B ; 10.B ; 11.C ; 12.B

Bibliografia

1.

Amaral, António & outros , Descobrir Matemática – livro do aluno , 6ª classe (pag: 26 – 32), Plural Editores ( Maputo) , 2004.

2.

Caldas, Ivette & Teresa Fonseca , Uma linguagem Universal, Editores Rumo Livro, ( Lisboa), 1985

30

Unidade 2. DIVISIBILIDADE DE NÚMEROS NATURAIS

Duração da Unidade: 15 Horas

Introdução

O cálculo mental para determinação de múltiplos e divisores é primordial. Um domínio de critérios de divisibilidade facilita a realização de muitas actividades de cálculo mental ou escrito. O fraco domínio pode influenciar negativamente na determinação do mmc, do mdc, na simplificação de fracções e na resolução de expressões numéricas. Associado ao estudo desta unidade o formando deve rever a tabuada de multiplicação o que lhe permitirá assimilar esta matéria.

Evidências Requeridas:

Usa os múltiplos e divisores de um número no cálculo do maior divisor comum e do menor múltiplo comum.

Aplica os critérios de divisibilidade de números naturais na resolução de exercícios matemáticos.

31

2.1 Noção de múltiplo de um número natural

Recursos de aprendizagem

Um número natural 6 é múltiplo de 3 porque existe nenhum número que multiplicado por 3 venha dar 6 .Esse número é 2 porque, 2 x 3 = 6 9 não é múltiplo de 2 porque não existe um número natural que multiplicado por 2 dê 9.

2.2. Conjunto dos múltiplo de um número

Como determinar os múltiplos de um número ?

Observa a tabela

X

2

3

4

0

0

0

1

2

3

4

2

4

6

8

3

6

9

12

4

8

12

16

0

5

6

.

O conjunto dos múltiplos de um número acham - se multiplicando esse mesmo número por 0, 1, 2, 3 , 4, . . .

Exemplo: Conjunto dos múltiplos de 2 M2 = { 0, 2, 4, 6, 8, … }: 32

- Qualquer número natural é múltiplo de 1.

- O conjunto dos múltiplos de um número é infinito.

- O zero é múltiplo de todos os números.

- Qualquer número é múltiplo de si próprio.

2.3. Múltiplos comuns de dois ou mais números

Considera os conjuntos : M 3 = { 0, 3, 6, 9, 12, 1... }

O conjunto dos múltiplos comuns de 3, 4 e

6é M 4 = { 0, 4, 8, 12, 16, , .. }

M 3 ∩ M 4 ∩ M 6 = { 0, 12, 24, ... }

M 6 = { 0, 6, 12, 18, 24... }

Neste conjunto há um elemento diferente

de

.

zero que é o menor de todos - n

número 12 – a .

que se chama mínimo

múltiplo comum

Escreve-se: m m c ( 3, 4, 6 ) = 12

2.4 Noção de divisor de um número

Observa: 10 : 1 = 10 resto 0

Os números 1, 2, 5, e 10 chamam-se divisores de 10

10 : 2 = 5 resto 0

porque a divisão dá resto zero.

10 : 3 é 3 resto 1 10 : 4 é 2 resto 2 33

10 : 5 = 2 resto 0

Diz-se que um número m é divisor de um número p se a divisão de p por m dá resto zero.

10 : 10 = 1 resto 0

2.5. Conjunto dos divisores de um número

Os números 1, 2, 5 e 10 formam o conjunto dos divisores de 10.

Representa-se assim: Observa:

D10

= { 1, 2, 5,10 }

D2 = { 1 , 2 } D12 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 }

- O conjunto dos divisores de um número diferente de zero é finito.

- 1 é divisor de qualquer número.

- Todo número diferente de zero é divisor de si mesmo.

34

2.7. Divisores comuns de dois ou mais números

Observa a tabela

1

÷ 4

4

5

5

6

6

9

9

18

18

2

3

2

4

5

6

7

8

9

18

1 1

3

2

1

3 9

1

6

3

1

Consideremos os conjuntos dos divisores de 6 e 10 D6 = { 1, 2, 3, 6}

O conjunto dos divisores comuns de 6 e 18. É D6 ∩ D18= { 1, 2 , 3, 6 }

D18 = { 1, 2, 3, 6 , 18}

Neste conjunto há um elemento maior de todos. . .

- n número 6 – a que se chama maior divisor . comum.

Escreve-se: m d c ( 6 , 18 ) = 6

35

Actividades (1)

1. Escreve os conjuntos dos múltiplos de : a) 5

b) 7

c) 11

2. Define por extensão os seguintes conjuntos : a) D = { múltiplos de 8 menores 50 } b) A = { múltiplos de 7 menores que 80 }

3. Calcula o mmc. de : a) 3 e 4

b) 3 e 6

c) 14 e 8

d) 4, 6 e 8

e) 6, 10 e 15

4. Escreve os conjuntos dos divisores de : a) 8

b) 15

c) 20

d) 64

5.Em relação ao número 3, diz se é divisor dos números dados e justifica : a) 24

b) 36

c) 91

6. Coloca V ou F conforme sejam verdadeiras ou falsas as afirmações : a) 3 ∈ D15 (

)

b) 4 ∈ D30 (

d) 6 ∈ D50 (

)

e) 8 ∉ D72(

c) 5 ∉D50 (

)

f) 1 ∈ D1000 (

) 36

) )

7. Determina, pelo método dos conjuntos, o maior divisor comum dos seguintes números: a) 12 e 15

b) 5 e 10

c) 9 e 16

d) 20 e 30

e) 24,18 e 36

f) 30, 45 e 60

Recursos de aprendizagem 2.8. Critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 e 15

Números divisíveis por 2 Observa M2 = { 0, 2, 4 ,6 ,8, 10, 12 , 14, 16, 18, 20, ... }

Qualquer número natural que termina em 0, 2, 4 , 6 ou 8 é divisível por 2.

Números divisíveis por 3

Observa:

123 1 + 2 + 3 = 6 A soma dos algarismos é múltiplo é múltiplo de 3 .

912 9 + 1 + 2 = 12

A soma dos algarismos é múltiplo de 3 .

Qualquer número natural cuja soma dos algarismos é múltiplo de 3 é divisível por 3

37

Números divisíveis por 4

Observa:

100 : 4 = 25

91400 : 4 =22850

124 : 4 = 31

420 : 4 = 105

Qualquer número natural é divisível por 4 se os dois últimos algarismos são zeros ou formam um

número múltiplo de 4.

Números divisíveis por 5

Observa M5 = { 0, 5, 10, 15, 20, 25,... } Qualquer número natural que termina em 0 ou 5 é divisívell por 5

Números divisíveis por 6 .

Vamos escrever o conjunto dos múltiplos comuns de 2 e 3 .

M2 ∩ M3 = { 0, 6, 12, 18, 24, ... }. Verifica que os múltiplos comuns de 2 e 3 são múltiplos de 6 .

Um número natural é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 simultaneamente.

Números divisíveis por 9

Observa:

432 4 + 3 + 2 = 9 A soma dos algarismos é múltiplo de 9 .

38

8748 8 +7 + 4 + 8 = 27 A soma dos algarismos múltiplo de 9 .

Qualquer número natural cuja soma dos algarismo é múltiplo de 9, é divisível por 9

Números divisíveis por 10 .

Observa: M10 = { 0 , 10 , 20 , 30 , 40 , ... }

Qualquer número natural que termina em 0 é divisível por 10

Números divisíveis por 15 .

Agora, vamos escrever o conjunto dos múltiplos comuns de 3 e 5 .

M3 ∩ M5 = { 0,15,30,45, ..}Verifica que os múltiplos comuns de 3 e 5 são múltiplos de 15 .

Um número natural é divisível por 15 quando for divisível por 3 e 5 simultaneamente .

Divisibilidade de produtos

Observa. a) ( 3 x 14 ) : 7 = 3 x (14 :7 ) = 3 x 2 = 6 3 x 14 é divisível por 7 porque 14 é divisível por 7 b) ( 24 x 13 ) : 12 = (24 : 12 ) x 13 = 26 24 x 13 é divisível por 12 porque 24 é divisível por 12

39

Um número é divisor de um produto se for divisor de um dos factores.

Actividades (2)

1. Considera o conjunto {19 , 48 ,132 ,141 ,105 ,181 ,1480}. Indica : a) Os números divisíveis por 2 b) Os números divisíveis por 3 c) Os números divisíveis por 5 d) Os números divisíveis por 10

2. Das afirmações seguintes distingue as verdadeiras das falsas ,usando as letras V e F . b) 6 ∉ D522 _____

a) 6 ∈ D720_____ c) 15 ∉ D225______

d) 15 ∈ D515______

3. Dados os números 3375 ,111 , 2034 , 4020 . Indica, justificando, os números : a) Divisíveis por 6 b) Divisíveis por 15 . c) Divisíveis por 10 40

4. Sem calcular, diz, justificando se o produto ( 12 x 873 ) é divisível por 6

5. Sem calcular, diz, justificando se o produto ( 35 x 387 ) é divisível por 15 .

6. Substitua a letra m por um algarismo de modo que 346m seja: a) divisível por 2. b) divisível por 9.

7. Substitua a letra m por um algarismo de modo que 83m46 seja divisível por 2 , 3 e 5 ao mesmo tempo.

8. Substitua as letras m e n por um algarismos de modo que 5m476n seja divisível por 10 e 15 ao mesmo tempo.

Recursos de aprendizagem 2.9. Números primos

Observa a tabela

:

1

2

2

2

1

3

3

5

5

7

7

3

4

5

6

7

1 1 1

41

8

9

10

Consideremos os seguintes conjuntos dos divisores : D2 = { 1 , 2 }

D3 = { 1 , 3 }

D5 = { 1 , 5 }

D7 = { 1 , 7 }

Os números como 2 , 3 , 5 e 7 que têm apenas dois divisores diferentes ( a unidade e o próprio número), chamam que chamam--se númros primos

Números primos entre si

Observa os conjuntos: D6 = { 1, 2, 3, 6}

D35 = { 1 , 5 , 7}

Observa que mdc (6 ; 35) = 1

Os números como 6 e 35 cujo máximo divisor comum é a unidade, chamam-se números primos entre si.

Nota: Dois números consecutivos quaisquer são primos entre si.

2.10. Decomposição de um número natural em factores primos

Todo o número natural não primo diferente de 0 e de 1 é um número composto e pode ser escrito sob a forma dum produto de números primos, chamado decomposição em factores. primos Exemplos: 6 = 2 x 3

10 = 2 x 5

35 = 5 x 7

Na prática : Divide por 2 tantas vezes quanto poder e se não for possível passa para o

número primo seguinte e, assim em diante, seguindo a ordem crescente dos números primos P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}

20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5 42

2.11. Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum de dois ou mais

números pelo processo de decomposição em factores primos Determinação do mdc

a) Como calcular o mdc de 24 e 36?

1º decompõe os números em factores primos;

24 = 23 x 3

36 = 22 x 3 x 3

2º escolhe apenas os factores primos com menor expoente.

3º calcula o produto dos factores primos com o menor expoente

mdc ( 24 ; 36) =22. 3 = 12 O maior divisor comum de dois ou mais números é igual ao produto de factores primos comuns com o menor expoente.

Determinação do mmc

Como calcular o mmc (12 e 15)?

1º decompõe-se os números dados em factores primos;

12 = 22 x 3

15 = 3 x 5

2 º escolhe os factores primos comuns com maior expoente.

3 º Escolhe os factores primos não comuns 4 º calcula o produto dos factores primos comuns e não comuns de maior expoente.

mmc (12 , 15) = 22 x 3 x 5 = 60

43

O menor múltiplo comum de dois ou mais números é o produto dos factores primos comuns e não comuns de maior expoente.

Actividades (3 )

1. Dos seguintes números indica os que são primos : 5 , 15 ,

17, 887896 ,

2435 ,

18 ,

120710 .

2. Dados os números : 4 , 6 ,7, 9, 14 , 29 .

Escreve pares de números primos entre si : a) 4 e ____

b) ____ e 29

c) 9 e _____

d) 14 e ____

e) ___ e ____

3. Decompõe em factores primos os seguintes números : a) 42 d) 121

b) 50

c) 100

e) 180

f) 216

4.Calcula o mdc dos seguintes números pela decomposição em factores primos. a) 168 e 504

b) 105 e 135

c) 50 , 64 e 120

d) 120 , 126 e 408 44

5.Calcula o mmc de pela decomposição em factores primos. a) 20 e 75

b) 12 , 15 e 27

c) 6, 15 e 20 6. Sendo

d) 20 , 16 e 48

a = 2 x 3 x 3 x 5 x 13

Calcula:

a) mdc (a , b)

b = 2 x 2 x 3 x 7 x 11

b) mmm (a , b , c)

c = 2 x 3 x 3 x 3 x 11

c) mdc (a , b . c)

7. Pretende -se dividir dois grupos, um de 120 alunos da 1ª classe e outro de 195 da 2ª classe em turmas do mesmo tamanho. Cada turma precisa de uma sala e o número de salas ocupadas deve ser o menor possível. a) Quantos alunos terá cada turma? b) Quantas salas serão ocupadas?

8. Três ciclistas A , B e C partem de um mesmo ponto e dão voltas no mesmo sentido numa pista fechada. O ciclistas A dá uma volta à pista em 20 minutos, o ciclista B em 24 minutos e o ciclista C em 30 minutos. b) Quantas voltas terá dado cada ciclista?

45

Autoavaliação

1. Um número natural m é divisor de n se: A. m : n dá resto zero B. n : m dá resto zero C. m < n

2. Se m é divisor de n então: A. m é múltiplo de n B. n é múltiplo m C. m < n

3. Diz se são verdadeiras (V) ou falsas (F) as seguintes afirmações: a) O produto de dois números primos é um número primo _____ b) Dois números consecutivos quaisquer são números primos entre si.____ c) 2 é o único número que é primo e par simultaneamente______ d) Um número que é divisível por 15 é também divisível por 3_____ e) Nenhum número ímpar é divisível por 6_____ f) Todo o número não primo é composto _____

4. O mdc e o mmc de 120 e 200 são respectivamente iguais a: A. 12 e 240 B. 20 e 400 C. 40 e 600

5. Um número natural é divisível por 6 se: A. É múltiplo de 3 e 5 em simultâneo B. É par e múltiplo de três em simultâneo C. É ímpar e múltiplo de três em simultâneo 46

6. Considerando as tabelas de dupla entrada,

∩

D28

D30

D21

A

B

D36

C

D

∩

M30

M12

M4

E

F

M6

G

H

Representa, em extensão, e usando chavetas, os conjuntos: A

E

B

F

C

G

D

H

7. Dois números menores que 100 têm como m d c o número 24. Calcula os números sabendo que a sua diferença é 48.

A: 24 e 48 B: 24 e 72 C: 24 e 100 8.

O produto de dois números é 432 e o seu m d c é igual a 6. Quais são esses números?

A: 9 e 48 B : 18 e 24 C: 24 e 36

47

Chave de correcção Actividades (1)

1. a) M5 ={0 , 5 , 10 , 15 , 20 , …} , b) M7 ={0 , 7 , 14 , 21 , …} , c) M11 ={0 , 11 , 22 , … } b) A = {0 , 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 , 49 , 56 , 63 , 70 , 2. a) D = {0 , 8 , 16 , 32 , 40 , 48} 77} 3. a) 12 b) 6 c) 56 d) 24 e) 30 4. a) D8 = {1 , 2 , 4 , 8} b)D15 = 1 , 3 , 5} c) D20 = {1,2,4,5,10,20} d) D64 ={1,2,4,8,16,32,64} 5. a) é b) é c) não 6. a) V , b) F , c) F , d) F , e) V , f) V 7. a) 3 , a) 5 , b) 1 , c) 10 , d) 6 , f) 15 Actividades (2) 1. a) 48, 132, 1480 b) 48, 105, 132, 141 c) 105, 1480 d) 1480 2.

V,F,V,F 3. a) 2034 e 4020 b) 3375 , 4020 c) 4020 4. é porque 12: 6 =2 5. não é 6. várias respostas Ex: 3462 7. várias respostas Ex: 83640 8. várias respostas Ex: 524760 Actividades (3)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

5 , 17 várias respostas a) 2 x 3 x 7 b) 2 x 52 c) 22 x 52 d) 11x11 e) 22x32x5 f) 22 x 32 a)168 b) 15 c) 2 d) 6 a) 160 b) 540 c) 60 c) 240 a) 6 b) 540540 c) 6 a) 15 b) 21 salas, 8 turmas da 1a , 13 turmas da 2a a) 120 c) 6 , 5 , 4 voltas Autoavaliação

1. B ; 2. B ; 3. F,V,V,V,V, F ; 4. C ; 5. B 48

6. A={1,7} , B ={1,3} , C={1 , 2} , D ={1,2,3,6} , E ={0 , 60 ,120 , } , F ={0, 12, 24, } , H ={0, 12, 24, 36 …} ;G = M30 , 7. B ; 8.B

Bibliografia obrigatória:

3.

4.

Amaral, António & outros, Descobrir Matemática – livro do aluno , 6ª classe (pag:42 – 53), Plural Editores ( Maputo) , 2004 Zavala, Cardoso & Daúto, As maravilhas dos números- Livro do aluno, 7ª classe (págs: 4 - 5) , Textos Editores (Maputo), 2004

49

Unidade 3 FRACÇÕES

Duração da Unidade: 15 Horas

Introdução

Para representar o número que designamos por um meio – metade da unidade – foram necessários mais de 5 mil anos para chegar à forma actual. Diz a história de Matemática que por volta do ano 1200, o matemático italiano Leonardo de Pisa depois de ter visto um Hindu escrever essa fracção desenhando um traço vertical sobre o algarismo dois, teve a ideia de separar os dois termos com um traço horizontal.

Com o tratamento de fracções e do cálculo com números fraccionários se pretende fazer uma revisão com vista à consolidação dos conhecimentos sobre a representação gráfica, a simplificação, a comparação e resolução de expressões numéricas envolvendo as quatro operações.

Evidências Requeridas:

- Efectua as operações usando números naturais e fracções.

- Resolve problemas envolvendo fracções

50

3.1.Noção de fracção.

Recursos de aprendizagem

Uma fracção representa uma divisão exacta entre dois números naturais

1 4

1 é uma fracção.

4

→ numerador → deno min ador .

-O denominador representa o número de partes iguais em que a unidade foi dividida -O numerador representa o número de partes tomada -O numerador e o denominador duma fracção chamam-se termos da fracção

3.2. Representação gráfica de fracções

As fracções podem ser representadas graficamente.

Exemplo:

1 2

4 6

4 4

51

1 9

3.3. Leitura e escrita de fracções

fracção

Formas de leitura

2 5

-dois quintos ou dois sobre cinco

7 10

- sete décimos

8 12

- oito doze avos

3.4 Representação de fracções numa semi-recta

Na figura estão representados pontos duma semi-recta. A cada ponto se pode fazer corresponder um ponto duma semi-recta

Indica as fracções que correspondem aos pontos A , B , C e D

52

3.5 Tipos de fracções (próprias, impróprias e mistas)

- fracções próprias As fracções como

3 7 4 25 , , , são menores que a unidade , chamam-se fracções 4 10 6 500

próprias

-fracções impróprias

As fracções como

3 7 10 , , são maiores que a unidade ; chamam – se fracções 2 4 7

impróprias .

As fracções próprias têm o numerador menor que o denominador As fracções próprias têm o numerador maior que o denominador.

fracções mistas

A fracção 1

1 tem uma parte inteira e uma parte fraccionária por isso é uma fracção mista 2

parte inteira → 1

1 → parte fraccionária 2

1

1 → lê-se: um e um meio 2

Qualquer fracção imprópria pode ser escrita na forma mista.

Exemplos: 3 2 + 1 2 1 1 = = + =1 2 2 2 2 2

7 6 +1 6 1 1 = = + =2 3 3 3 3 3

outro exemplo

53

Também podemos dividir o numerador por denominador. O quociente é parte inteira e o resto o numerador da fracção mista.

Podemos passar da forma mista para a forma de fracção, fazendo assim: 2

3 3 8 3 11 = 2+ = + = 4 4 4 4 4

ou

2

2 x 4 + 3 11 3 = = 4 4 4

Actividades (1)

1.Dada a fracção

5 .

6

a) Identifica os termos desta fracção b) Em quantas partes iguais foi dividida a unidade ? c) Quantas partes foram tomadas ? d) Lê a fracção

54

3. Lê as fracções:

1 3 13 27 ; ; ; 2 4 100 127

4. Considera as fracções

2 13 108 49 2 99 20 , , , , , , .

100 5 108 3 2 1000 4

Indica: a) As fracções próprias

b) As fracções impróprias

4. Escreve na forma de fracção mista as seguintes fracções: a)

7 5

b)

58 37

c)

97 23

105 79

5. Escreve na forma de fracção : a) 3

2 7

b) 5

1 5

c) 7

2 15

55

d) 2

7 105

3.6

Equivalência de fracções

Recursos de aprendizagem

Observa as figuras e as fracções correspondentes a parte pintada:

3 4

6 8

12 16 As fracções

3 6 12 , e representam a mesma parte da unidade, são fracções equivalentes 4 8 16

Escreve-se :

3 6 12 = = 4 8 16

56

3.7 Simplificação e amplificação de fracções As fracções equivalentes obtêm-se de duas formas inversas, amplificação e simplificação.

3 4

=

3 ×6 18 amplificação: quando se multiplica os dois termos da fracção pelo = 4 ×6 24

mesmo número natural diferente de zero.

12 : 2 6 12 = = 16 16 : 2 8

simplificação: quando se divide os dois termos da fracção pelo mesmo

divisor diferente de zero.

- Para simplificar uma fracção pode-se dividir o numerador e o denominador pelo seu mdc .

Como m.d.c ( 12 , 16 ) = 4

A fracção

12 3 12 : 4 = = 16 4 16 : 4

então

3 diz-se que é irredutível porque o mdc ( 3 ; 4 ) = 1.

4

Numa fracção irredutível o numerador e o denominador são números primos entre si.

3.7. Comparação de fracções

Recursos de aprendizagem Observa as figuras:

Na figura compara a área colorida (

Observa que

3 4

>

3 1 ) com a àrea branca ( ) .

4 4

1 4

De duas fracções com o mesmo denominador é maior a que tiver maior numerador .

Considera a figura seguinte: 57

Na figura compara a área da partr preta (

Observa que

1 1 ) com a àrea azul ( ) 8 4

1 1 ≺ 8 4

De duas fracções com o mesmo numerador é maior a que tiver menor denominador

Actividades (2) 1. Completa a)

1 = 2 6

b)

4

=

12 16

c)

2 10 = 3

d)

5

=

10 6

e)

10 1 = = 20 4

2. Simplifica as fracções: a)

4 6

b)

18 124

c)

801 234

d)

306 .

464

3. Torna irredutíveis as seguintes fracções. ( usa o m.dc ) 24 18 135 12 b) d) a) c) 210 405 609 408

e)

75 105

4. Utilizando um dos sinais < ou > , completa de modo a teres afirmações verdadeiras. a)

2 3 □ 4 4

b)

11 6 □ 7 7

c)

58

13 13 □ 25 24

d)

8 8 □ 11 10

e)

7 10 □ 11 11

f)

5 5 □ 4 3

5. Escreve por ordem crescente as fracções: a) 6.

11 2 9 1 , , , 12 12 12 12

b)

3 1 5 , , 8 12 6

Escreve por ordem decrescente as fracções: a)

3 3 3 3 , , , 5 4 8 11

b)

9 7 5 , , 12 4 3

3.7. Operações com fracções

Recursos de aprendizagem Adição de fracções com o mesmo denominador Para adicionar duas fracções com o mesmo denominador, deve –se manter o denominador e adicionar os numeradores dessas fracções. exemplos a)

3 1 3 +1 4 + = = 5 5 5 5

b)

8 4 7 8+ 4−7 5 + − = = 13 13 13 13 13

Adição de fracções com denominadores diferentes Como calcular

3 4 + ?

4 5

Procedimento prático: Para adicionar duas ou mais fracções com denominadores diferentes segue-se os seguintes passos: 1° Achar o menor múltiplo comum dos denominadores : mmc( 4 , 5 ) = 20 59

2° Dividir o mmc por cada um dos denominadores

escreve 5 em baixo de 4

20 : 4 = 5

; 20 : 5 = 4

escreve 4 em baixo de 5

3 4 15 16 31 + = + = 4 5 20 20 20

(5 )

(4 )

Subtracção de fracções com denominadores diferentes Como calcular

7 5 − ?

6 9

Acha mmc ( 6, 9 ) = 18 e segue os mesmos passos da adição 18 : 6 = 3 7 − 6

(3)

18 : 9 = 2

5 21 10 11 = − = 9 18 18 18

(2)

Multiplicação de fracções Observa o exemplo 2 3

x

5 2 x 5 10 = = 4 3 x 4 12

O produto de duas fracções é uma fracção cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores.

divisão de fracções Observa: 2×

1 2 x1 1 = = 1 , os números 2 e são inversos um do outro porque o seu produto é igual 2 2 2

a1 60

3 e 2

2 3

são inversos porque

3 2 × = 1 2 3

O quociente de duas fracções é igual ao produto do dividendo pelo inverso do divisor 3 5 3 3 9 ÷ = × = 4 3 4 5 20

Exemplos: a)

5 7 5 3 15 5 ÷ = × = = 6 3 6 7 42 14

b) 3 ÷

4 9 27 = 3× = 9 4 4

Actividades (3)

1. Calcula a)

17 23 + 69 69 d)

2.

b)

98 75 − 175 175

2 1 − 3 24

e)

c)

2 37 29 + − 19 19 19

4 7 + 15 21

f)

Calcule a)

8 15 9 + − 5 25 10

b)

13 3 1 − − 6 4 9

3. Calcule a) 3 x

7 5

b)

3 x 9 2

c)

3 5 × 2 7 61

1 3 d) 1 × 2 4

2 7 − 15 90

4.

Calcue: a)

3 1 7 x x 5 2 8

1 3 7 x x 5 2 4

b)

c) 5 ×

2 5 × 3 9

5. Calcule os seguintes produtos: a)

12 16 x 8 12

b)

10 30 x 15 40

c)

21 14 12 x x 14 28 21

d)

20 5 18 x x 25 8 9

6. Complete e escreve o nome da propriedade aplicada em cada alínea: a)

3 11 × = 7 13

b)

9 ×1 = 1× ( 10

c)

2 3 2 2 ×( × )=( ×( 7 4 5 7

d)

418 ×( 798

_e)

3 ×( 8

)

( )×3

propriedade________________________________

7

)=

=0

)×1× 7

9 .

10

propriedade_________________________________

5

propriedade___________________________________

8 =0 45

1 3 5 3 × × = ×( 2 4 6 8

g)

2 ×( 5

h)

1 5 4 x( − )= 2 9 9

+

))× 2

.

f)

( )

propriedade__________________________________

propriedade___________________________________

)

propriedade____________________________________

1 2 4 2 )= × + × 2 5 3 5

( )

−

1 4 x 2 9

propriedade________________________________

propriedade________________________________.

62

7. Coloque o factor comum em evidência nas seguintes expressões e calcula: a)

3 1 3 3 × + × 4 7 4 2

c)

5 2 2 2 4 × − + × 3 7 7 7 5

b)

d)

1 5 1 1 × − × 3 7 3 2 9 9 1 9 11 + × − × 5 5 4 5 12

7. Calcule a) e)

6 4 :÷ 5 5

b)

8 4 ÷ 10 5

7 7 ÷ 4 2

f) 6 ÷

c)

6 8

6 3 ÷ 11 11

g) 14: ÷

4 3

d)

4 5 ÷ 7 9

h) 10 : ÷

8 2 : 5 25

Recursos de aprendizagem 3.8.Expressões numéricas envolvendo operações básicas Recorda que: - No cálculo de uma expressão numérica deves efectuar em primeiro lugar as operações indicadas entre parêntesis; - A multiplicação e a divisão têm prioridade em relação à adição e à subtracção.

Exemplo: Cálculo da expressão (

5 3 4 5 − x ) +1 x .

2 2 3 6

63

5 3 4 5 5 5 ( − x ) +1 x = ( − 2) + 2 6 2 2 3 6

=

5−4 5 + = 2 6

3+5 8 4 1 5 + = = = 2 6 6 6 3

(3)

(1)

Actividades (4) 1. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas:

2 1 1  x +  3 2 4 

a)

4 1 x +3 3 4

b) 1 −

3 2 c)1 : + 1 5 3

d)

2 1 3 1 + : − 3 4 2 4

1 1 1  5 e) 3 −  + x  + 3 2 5  6

1 1  13 1 d)  x − :  10 13 10 3

2. Calcule:  1 5  1 1 a)  3 + −  ÷  2 +  − 2 4  4  10  1

5  3 5  b ) 1 −   2 +  6  4 6 

c)

1 9 2 6 + − × 2  10 5 5

1  1 3 16  −  + ÷  8 20  8 5

3. Calcule: 3 2 + 1− 5 a) 7 3 4 − 2 7

1 1 1− − 2 3 b) 1  1  1 +   1 +  3  2 

2 1  5 1  c)  +  ×  −   3 5   12 4 

64

3.9 . Equações e inequações

Recursos de aprendizagem

A Stela recebeu uma fatia de bolo da sua mãe, deu dois quintos a um grupo de amigos e ficou ainda com um sexto do mesmo bolo. Que parte de bolo recebeu?

Este problema resolve-se pela equação seguinte, onde x representa a parte do bolo que a Stela recebeu da mãe:: 2 x − = 5

1 6

Uma igualdade que contém pelo menos uma variável chama-se equação

primeiro membro ou

segundo membro

membro esquerdo.

ou membro direito

Como resolver a equação x −

2 1 = ?

5 6

Resolver uma equação é determinar o número que torna a igualdade verdadeira

Exemplo 1 : Vamos resolver a equação x −

2 1 = 5 6

Numa subtracção o aditivo é igual ao subtractivo mais o resto. Por isso: x=

12 + 5 2 1 17 + ; x= ; x= 5 6 30 30

Resposta: A Stela recebeu da mãe

17  S =   30 

17 do bolo.

30

Exemplo 2 : Vamos resolver a equação 11 1 −x = 15 6 65

Numa subtracção o subtractivo é igual ao aditivo menos o resto. Por isso: 22 − 5 11 1 17 − ; x= ; x= 15 6 30 30

x=

17  S =   30 

Exemplo 3: Vamos resolver as seguintes equações: a)

3 3 ×y = 4 10

Vamos multiplicar os dois membros por 4 4 ×

3 3 12 ×y = × 4 ; 3× y = 4 10 10 Vamos dividir os dois membros por 3

3 . y 12 2 = ⇔ y= 3 30 5

S=

2 5

Exemplo 4 : Vamos resolver a equação

x:

2 3 = 5 4

Recorda que numa divisão o dividendo é igual ao divisor vezes o quociente. Por isso: x=

3 S=  10 

2 3 6 3 × ⇔ x= = 5 4 20 10

Prova:

3 2 3× 5 3 ×1 3 : = = = 10 5 10 × 2 2 × 2 4

Exemplo 5 : Vamos resolver a equação 2 3 :x= 5 4 Recorda que numa divisão o divisor é igual ao dividendo a dividir por quociente. Por isso:

2 3 2× 4 8 x= : ⇔ x= = 5 4 5× 3 15

8 s=   15 

66

3.10 Inequações.

No ensino primário e no secundário resolveu muitos problemas ou exercícios em que duas expressões estão ligadas por um dos sinais =, <,> e ( ≠ ).

Observa: Uma desigualdade que

2 1 x − < 5 6

contém pelo menos uma variável chama-se inequação

Exemplo 6 : Vamos resolver a inequação:.

x −

2 1 < 5 6

Numa subtracção o aditivo é igual ao subtractivo mais o resto. Por isso: x <

12 + 5 2 1 17 ⇔ x < + ⇔ x < 5 6 30 30

S :{ 0 }

Actividades obrigatórias (5)

1. Resolve as seguintes equações , em Q: a) x −

7 3 = 3 5

b) x − 3 , 5 = 2 , 5

c) 8,3 − x = 6 , 5

d)

8 25 +x= 3 6

e)

7 7 +x= 4 4

f)

g)

2 2 −x= 3 5

h)

11 44 −x= 7 49

i ) x + 0,875 = 1,875 − 0 ,125

67

2 4 2 +x= + 3 5 3

2. Resolve , em Q, as equações:

a)

4 5 :x= 5 4

b)

4 3 : x= 3 2

d)

2 5 .x= 3 7

e) 1, 5 x = 8 , 5

g)

252 = 1, 05 x

h)

c) 0,28 : x = 0 , 72

f)

37 , 4 = 3 ,74 x

x = 0 , 25 207 , 5

i)

1 3 :x= 9 8

3. Escreve as equações cujas soluções são:

a)

b)

c)

1 5

Equação da adição

3 4

5 Equação da multipmicação ) 8 4. Resolve as inequações :

a) x −

d)

Equação da subtracão

1 1 < 2 2

b) 0 , 8 − x ≤ 0,2

7 2 −x ≥ 8 9

e) x +

g ) 0 , 546 + x > 2 , 0045

c) 4

3 3 < 4 2

h) x : 0 , 25 < 0 , 0084

1 8 −x < 3 5

f) x−

1 7 > 5 10

i ) 0 , 45 : x > 0 , 009

5. Resolve : a) 3 , 4 x ≥ 4 , 76

d)

4 5 x< 3 3

g ) 0 ,405 . x > 4 , 860

b)

4 5 :x < 3 3

e) x :

c) x :

15 26 ≤ 13 25

4 5 ≥ 3 3

f) x :

h) x : 5 ,125 ≤ 0 , 002 68

1 >2 10

i ) 0 ,12 x ≥ 1, 032

6. Escreve todos os números naturais que satisfazem as seguintes inequações: a) a - 1 , 7 > 1,3

3.10.

b) 3.b < 4

1 2

c) 13,86 : c < 2,31

Resolução de problemas

Actividades (6)

1. Dois barcos A e B patrulham a costa. O barco A passa em frente de uma praia de 35 em 35 minutos, o barco B passa em frente da mesma praia de 25 em 25 minutos.

Os barcos saíram da praia à mesma hora. Quanto tempo depois se voltam a encontrar nessa praia? ( Dá resposta em horas e minutos)

2.

O João tem 45 lapis de cor: 12 azuis , 15 vermelhos e 18 verdes. Com esses 45 lapis

quer fazer lotes iguais. a) Quantos lotes pode fazer ?

b) Quantos lapis terá cada lote?

3.

Poder-se-á dividir exactamente um saco de 76 kg de arroz por 6 famílias?

4.

1 Três litros de leite são divididos em latas de litros.

5

Quantas latas são necessárias?

5. Quantas garrafas de 6.

1 litro são necessárias para engarrafar 15 litros de sumo de cajú?

3

240 litros de óleo vão ser engarrafados em garrafas plásticas de três quartos de litro. Quantas garrafas serão necessárias?

7.

Mateus pensou num número. Subtraiu-lhe

3 1 e obteve o número fraccionário . Em que 4 3

número pensou o Mateus?

69

8.

Filipe repartiu metade do bolo que havia sobrado no dia do seu aniversário pelos seus irmãos.

Cada um recebeu um quarto do bolo. Quantos irmãos tem o Filipe?

Autoavaliação

1. Escreve por ordem crescente as seguintes fracções: 3 P :1 , 4

7 Q: 1 , 8

5 R: 1 , 6

S: 2

9 , 10

T: 2

9 14

A. P, Q, R, T, S B. P, R, T, Q, S C. P, R, Q, T, S

 3 4  2. Calcula o valor da expressão  −  +  2 3 

2    3 1  × 1+  −  .

3    2 4 

3. O Tiago, o José e o Henrique fizeram uma corrida. Ao fim de 20 minutos o José tinha percorrido

3 3 4 do trajecto, o Tiago e o Henrique . Quem ia a frente nesse momento?

5 4 5

A. Henrique B. José C. Tiago 4. Calcula o valor numérico da expressão A. 0

5 6 9  24 7 −  − : × .

36  8 12 12  36

B: 1

C: 2

1 1 1 3 5. O valor numérico da expressão 1 − + 2 × é: 8 4 2 2 A.

8 11

B.

11 8

D.11 70

SOLUÇÕES

Actividades (1) 1. a) 5 é numerador ; 6 é denominador b) Seis partes; c) 5 partes ; d) Cinco sextos

B:

2.

3.

4.

5.

6.

1 2

D:

1 4

c) F :

1 2

Um meio ; três quartos ; treze centésimos ; vinte e sete , cento e vinte e sete avos a)

2 49 13 108 49 2 20 ; b) ; ; ; ; 100 1000 3 108 3 2 4

a) 1 a)

2 5

b) 1

21 28 c) 2 37 37

246 26 117 b) c) 75 5 15

d )1

d)

26 79

216 105

Actividades (2) a)

1 3 = 2 6

2.

a)

2 9 b) 3 62

3.

a)

24 4 12 1 = b) = 210 35 408 34

1.

4.

3 12 b) = 4 16 c)

2 10 c) = 3 15 11 26

d) c)

d)

10 2 1 = = 20 4 2

153 232

18 2 = 405 45

d)

135 45 = 609 203

e)

75 5 = 105 7

a) < ; b) > ; c) < ; d) < ; e) < ; f) <.

5.

a)

1 2 9 11 3 3 3 3 7 5 9 3 5 1 ; a) < < < ; b) < < > > > ; b) > > 12 12 12 12 6 4 5 8 11 4 3 12 12 8

Actividades (3) 1. a)

40 69

b)

23 175

c)

10 19

d)

5 8

e)

71

2 5

f)

1 18

2. a )

13 10

3. a )

21 27 b) 5 2

c)

15 14

4. a)

21 21 b) 80 40

c)

50 27

5. a) 2 b)

b)

1 2

47 36

c)

3 7

d)

9 8

d) 1

6. a)

11 propriedade comutativa da multiplicação 13

b)

9 propriedade do elemento neutro da multiplicação 10

c)

3 propriedade associativa da multiplicação 4

d) 0 propriedade do elemento absorvente da multiplicação e) 0 propriedade do elemento absorvente da multiplicação f)

5 propriedade associativa da multiplicação 6

g)

4 1 , propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição 3 2

h)

5 propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtracção 18

a)

7. a)

3 1 3 × ÷  4 7 2 3 2

b)

1 2

1 5 1 b) ×  −  3 7 2

c) 2 d )

36 e) 1 35

2 5 4 c) ×  −1+  7 3 5 f ) 8 g)

72

21 2

9  1 11  d ) × 1 + −  5  4 12 

h)

625 8

Actividades (4) 1. a)

1 3

2. a )

11 12

3. a)

28 35

b)

1 2

c) 3 b) 2

b)

2 5

1 5

1 12

d)

7 12

c) 2

1 5

c)

13 90

e) 3

11 15 d)

f)0 1 4

Actividades (5) 1.

a)

44 3 b) 6 c) 1,8 d ) 15 2

2.

a)

16 8 7 15 17 8 b) c) d) e) f ) 51, 7625 g ) 24 h) 10 i) 25 9 18 14 5 27

e) 0 f )

4 4 33 g) h) i ) 0,875 5 15 49

3.

4. a) x < 1 b) x ≥ 0,6 c) x >

5. a) x ≥1,4 b)

41 47 3 d) x ≤ e) x < 15 72 4

f) x>

9 g ) x >1,4585 h) x < 0,0021 i ) x ≥ 50 10

4 20 5 6 1 c) x ≥ d ) x < e) x ≤ f)x> g ) x >12 h) x ≤ 0 , 01025 i) x ≥ 8,6 5 9 4 5 5

6. a) 4, 5 , 6 , …

b) 0 , 1

c) 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,

Actividades (6)

1. 2h55min 2. a) 3 lotes

b) 4 azuis, 5 vermelhos e 6 verdes

3. não se pode ….porque76 não é múltiplo de 6 4.

15 latas

5. 45 garrafas

6.180 garrafas

Autoavaliação

1.C ; 2. 1

7 3 ; 3. A ; 4. A ; 5. 1 8 8 73

7.

13 12

8. 2

Bibliografia obrigatória:

5.

6.

7.

8.

Langa, Hector & L. Nascimento , Descobrir Matemática – livro do aluno , 5ª classe (pag: 102 – 118), Plural Editores (Maputo).

Amaral, António & outros , Descobrir Matemática – livro do aluno , 6ª classe (pag: 62 – 85), Plural Editores ( Maputo) , 2004 Zavala, Cardoso & Daúto, As maravilhas dos números- Livro do aluno, 7ª classe (pág: 2244) , Textos Editores (Maputo) , 2004 Eu gosto de Matemática – 7ª classe , INDE ( Maputo) ,1988

74

Unidade 4: NÚMEROS DECIMAIS E OPERAÇÕES

Duração da Unidade: 10 Horas

Introdução

O cálculo, com números decimais, é de extrema importância no aprofundamento do cálculo mental e escrito através do uso da tabuáda e de regras de cálculo. Por isso professor deve ter um domínio do cáculo com números decimais para que possa ensinar os seus alunos incentivando-os a reconhecerem a importância deste tipo de cálculo.

Nesta unidade o formando vai resolver exercícios de transformação de fracções em números decimais e vice-versa, resolver expressões numéricas e resolver problemas práticos da vida real que requerem o uso de números decimais.

Evidências Requeridas: Efectua as operações usando números decimais; Resolve problemas práticos que envolvem os números na sua representação decimal.

4.1 Noção de número decimal

Recursos de aprendizagem

13 29 . Estas podem ser representados de outra maneira, e 10 1000 colocando no numerador uma vírgula à esquerda de tantos algarismos quantos os zeros do denominador. Isto é: Considera fracções

13 = 1,3 10

29 = 0,029 1000 75

A esta representação chamamos número decimal

Problema: A dona Ivete comprou 75cm de tecido para fazer uma peça de vestuário. Quantos

metros de pano comprou comprou a D. Ivete?

Vamos converter 75cm a metros.

75cm = 0,75m Resposta: A Dona Ivete comprou 0,75m de pano.

Na escrita de um número decimal finito pode omitir – se os zeros que se encontram depois do último algarismo da parte decimal. exemplos 30 , 7500 = 3 0 ,75

4.2

9,07000 = 9,07

Leitura e escrita de números decimais

Um número decimal pode ser lido de 3maneiras. Por exemplo o número 4,56 pode se ler: 4,56 le-se - quatro vírgula cinquenta e seis - quatrocentos e cinquenta e seis centésimas - quarto unidades, cinco décimas e seis centésimas

76

4.3

Representação de números decimais na semi-recta

Cada número decimal corresponde sempre a um ponto duma semi-recta. Na figura estão representados alguns números decimais.

Ao ponto A corresponde o número 0,25 ; ao ponto B corresponde o número 0,5 e assim em diante.

4.4

Relação entre números decimais e fracções

As facções como

1 1 1 , , , cujo denominador é 10, 100, 1 000, 10 000 chamam-se 10 100 1000

fracções decimais.

As fracções que não são decimais são fracções ordinárias.

Há fracções ordinárias que são equivalentes a fracções decimais. A essas fracções correspondem numerais decimais.

A fracção

1 4

1 4

é equivalente a uma fracção decimal

1 1 × 25 25 = 0,25 = = 4 4 × 25 100

Há fracções ordinárias que não são equivalentes a fracções decimais.

77

Não há nenhum número que multiplicado por 3, dê 10, 100 ou 1000.

1 3

A fracção um terço não é equivalente a nenhuma fracção decimal As fracções cujo denominador é, por exemplo, 2, 4, 5 , 8,10, 100, 1000 podem ser transformadas em números decimais.

7 x 125 7 875 = = = 0.875 8 8 x 125 1000

1 50 = = 0,50 2 100

4.5 Composição e decomposição de números decimais

Vamos rever a decomposição de um número natural 234 = 2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 1 A composição e a decomposição de um número decimal é análogo a de um número natural.

Observa a tabela de posição.

Parte inteira

Parte decimal

100

10

1

2

3

4

2

0,1

0,01

2

3

4

5

1

2

0,001

5

78

2,34 = 2 + 3 x 0,1 + 4 x 0,01 25,125 = 2 x 10+5+1 x 0,1+2 x 0,01+5 x 0,001 9 + 4 x 0,1 + 5 x 0.0001 = 9, 4005 4 x 10 + 0,001 = 40 , 001

4.6 Comparação de números decimais

Considera a semi-recta m e os números decimais: 0,5 ; 0,8 ; 1,2 ; 1;5.

O número 0,5 está antes de 0,8 por isso 0,5 é menor que 0,8 O número 1,5 está depois de 1,2 por isso 1,5 é maior que 1,2

logo logo

0,5 < 0,8 1,5 > 1,2

Procedimento prático:

De dois números decimais com partes inteiras diferentes é maior o número que tiver maior parte inteira

4,89 < 5, 02

De dois números decimais com partes inteiras iguais é maior o número que tiver maior parte decimal

13,89 > 13,035

Quando temos mesmas partes inteiras, a comparação deve ser feita nas décimas, se forem iguais nas centésimas, e assim sucessivamente.

79

4.7 Adição e subtracção de números decimais Como calcular 3, 04 + 12,726 ?

100 10 1

+

0,1 0,01 0,001

3

0

4

1

2

7

2

6

1

5

7

6

6

▪ Adicionam - se números decimais, colocando-os uns debaixo dos outros de modo que as unidades da mesma espécie fiquem em coluna.

b) Como calcular 26,734 – 18,284 ?

A subtracção de números decimais faz-se seguindo o esquema da adição.

80

Actividades (1)

1. Decompõe os seguintes números decimais em somas e produtos: 52,047

9, 005

623, 91

0, 10 54

2. Completa as igualdades: a) 2 x 100 + 5 x 0,001 + 7 x 0,00001 =

b) 785 , 25 = 7 x ____ + ___ x 8 + 5 x ___ + 2 x _____ + 5 x _____ 3. Completa o quadro: Número decimal

Parte inteira

0,3

0

Parte decimal

18,32

32

0,865

0

2,75

75

0,75

0

4. Compara os números, usando os símbolos < , = e >. a) 83,0074 □ 83,00478 b) 440, 478 □404,478 c) 46,9050 □ 46,905

5. Escreve por ordem crescente os seguintes números: 4,798

3,212

Leitura

2,002

0,025

81

Duzentos e setenta e cinco centésimas

6. Escreve por ordem decrescente os seguintes números: 4,79

4, 079

40,79

3, 79

7. Calcula: a) 18, 035 + 2, 148

e) 35, 08 - 13, 325

b) 2, 75 + 84, 7

f) 45 – 23 - 087

c) 72, 026 + 10, 627 - 81, 035

g) 15, 237 + 5, 083

d)

h) 0, 608 - 0, 4

9,9897 + 23, 302

8. O quadro seguinte apresenta os resultados da quantidade da castanha, em toneladas, que cada turma apanhou na última campanha no IFP de Homoíne .

Turma A

Turma B

Turma C

Turma D

2,45 t

3,92 t

1,850 t

4,05 t

a) Escreve as turmas por ordem decrescente dos resultados.

b) Calcula a quantidade de castanha que o instituto produziu.

9. Observa a tabela que representa os resultados obtidos por cinco famílias na campanha agrícola 89 / 90 . família

Quantidade de Milho ( em toneladas )

Cossa

2,48

Zimba

1,5

Mapika

3,29

82

Sapas

3,46

Cuava

4,05

a) Qual foi a família que mais toneladas de milho produziu ? b) Qual foi a produção total das cinco famílias ? c) Quantas toneladas produziu cada família , em média ?

10. Uma camioneta tem capacidade de carregar 12,2 t . A camioneta vai distribuir o livro da 6ª classe em três escolas da aldeia. Já transportou 8,3 t de livros para duas escolas. Quantas toneladas de livros vai levar para a 3ª escola?

Recursos de aprendizagem Multiplicação de números decimais

Como efectuar 0,25 × 2,5 ? . Forma horizontal 0,25 × 2,5 = 0,625 - multiplicam-se os factores como se fossem números inteiros

83

-coloca – se a virgula no produto de modo que o número de casas decimais seja igual a soma das casas decimais dos factores

. forma vertical

Multiplicação de números decimais por potências de 10 .

4 × 10 = 40 4 × 100 = 400 4 × 1000 = 4000

04 × 10 = 4,0

Multiplica - se um número natural por 10 , 100 , 1000 acrescentando - lhe um , dois três zeros respectivamente ao número dado.

Para multiplicar um número decimal por 10 ; 100; 1000 , desloca – se a virgula

0,4 × 100 = 40,0.

1, 2, 3 casas decimais para a direita

0,4 × 1000 = 400,0.

respectivamente.

Actividades (2) 84

1. Escreve o resultado : a) 4,29 × 0,1

b) 4,283 × 100

c) 45,83 × 0,0001

d) 0,0007 × 100 000

2. Calcula: a) 0,4 × 0,3

b) 0,34 × 0,8

c) 0,004 × 1000

d) 2,466 × 0,5

e) 40,64 × 20

f) 0,001 × 0,01

3. Uma pessoa come por dia 0,56 quilos de arroz.

Quanto come por mês ?

4. Calcula a área dum rectângulo que tem 30,24 cm de comprimento e 3,18 cm de largura .

5. Um vendedor ambulante vai receber 1200 Mt. Já recebeu 0,75 deste valor.

Que importância espera ainda receber?

Recursos de aprendizagem Divisão de números decimais

Uma sala tem a forma de um quadrado. Qual é a medida do lado sabendo que o perímetro é 6,28 cm ?

Cálculo

85

Resposta : Cada lado de sala mede 1,57 cm .

Observa: 2,46 : 10 = 0,246

Para dividir um número decimal por 10 , 100 , 1000…desloca-se a vírgula para a esquerda 1 , 2 , 3 casas respectivamente.

4,62 : 100 = 0,0 462 4,4 : 1000 = 0,0044

2,46 : 0,1 = 24,6 4,62 : 0,01 = 462

Para dividir um número decimal por 0,1 ; 0,01 ou 0,001 ,.. desloca-se a vírgula para a direita 1 , 2 , 3 casas.

4,4 : 0,001 = 4400

86

Actividades (3)

1. Escreve o resultado : a) 2,14 : 0,1 =

d)1234 : 1000

b) 2,14 : 0,01 =

e) 5,79 : 100

c) 2,14 : 0,001 =

f) 8,034 : 0,001

2. Calcula a) 3,684 : 1,2

e) 8,034 : 4120

b) 61,178 : 0,13

f) 1,28 : 0,256

c) 367,16 : 54,8

g) 3,44 : 0,00344

d) 1,67299 : 73,7

h) 8,034 : 0,41

3. Calcula com aproximação a duas casas decimais e apresenta a prova a) 564,37 : 7, 3

b) 0,97 : 37

c) 3,57 : 0,0073

d) 3,12 : 17

e) 58,2549 : 21,4

4.9 Resolução de problemas Exemplo:

A Julinha quer comprar uma boneca que custa 120 Mt mas só tem 0,8 desta quantia Quanto terá de reunir ainda para comprar a boneca ?

87

Resolução :

A Julinha tem: ( 120 × 0,8 ) Mt = 96,0 Mt

falta-lhe: 120 Mt– 96 Mt = 24 Mt .

R : Ela terá de reunir ainda 24 Mt para comprar a boneca .

Actividades ( 4 )

1.

Quantas vezes o número 0,125 cabe em 1,875?

2. . A soma de dois números é igual a 0,77. Sendo um dele 0,43. Qual é o outro?

3.

Um comerciante, por não pagar no prazo legal a sua contribuição, teve uma multa de

418 Mt o que corresponde a 0,05 de multa. a) Que contribuição pagaria se o fizesse no devido prazo? b) Que quantia pagou ao todo?

4. O Said comprou um aparelho por 45000Mt e vendeu-o depois com o prejuízo de 0,2 do seu custo. Por quanto o vendeu?

88

5. .Dois homens partem do mesmo lugar, em direcções opostas. Depois de um deles ter percorrido 15,5 km e o outro 0,6 desta distância, quantos quilómetros ficaram afastados um do outro?

Autoavaliação

1. Entre dois números há uma diferença de 0,43. Sendo o maior 20,127.

O menor é: A. 9, 697 B. 10,697 C. 19, 697

2. Quantas centésimas há numa dezena?

A. 10 B. 100 C. 1000

3. Cento e cinquenta e cinco milésimas é o produto de dois números. Sendo um deles 0,2. Qual é o outro?

A. 0,075 B. 0,775 C. 0,875 4. Um comerciante vendeu no primeiro dia 0,25 kg de açúcar, no segundo dia 45 quilos e no terceiro as restantes 0,15 kg. Que porção de açúcar vendeu o comerciante?

A. 45 kg B. 75kg C. 85 kg 89

5. Eugénio pagou com notas de 20Mt uma caneta que comprou por 25Mt e um lápis por 0,4 do valor da caneta.

Quantas notas deu para pagar a despesa? Quanto pagou?

A. 2notas, 35 Mt B. 2 notas; 45 Mt C. 2 notas; 55 Mt

Chave de correcção Actividades ( 1 )

52,047 = 5 x 10 + 2 + 4 x 0,01 +7 x 0,001

1.

9, 005 = 9 + 5 x 0,001

623, 91 = 6 x 100 + 2 x 10 + 3 + 9 x 0,1 + 1 x 0,01 0, 10 54 = 0,1 + 5 x 0,005 + 4 x 0,0001 2.

a) 200,00507

b) 7 x 100 + 10 x 8+ 5 x 1 +2 x 0,1 +5 x 0,01

3.

Número decimal

Parte inteira

Parte decimal Leitura

0,3

0

3

Três dêcimas ou zero vírgula três

18,32

18

32

Dezoito unidades e trinta e duass decimas

0,865

0

865

oitocentos e sessenta e cinco milésimas

2,75

2

75

Duzentos e setenta e cinco centésimas

0,75

0

75

Setenta e cinco centésimas ou zero vírgula setenta e cinco 90

a) > b) > c) =

4.

0,025 < 2,002 < 3,212 < 4,798

5.

6. 40,79 > 4,,79 > 4,079 > 3,79 7.

8.

a) 20,183 b)87,45

c) 1,618

d) 33,2917 e) 21,785 f) 21,913, g) 20,32 h) 0,208

a) D , B , A . C b) 12,27 t 9. a) Cuava , b) 14,78 t c) 2,956 t 10. 3,9 t Actividades obrigatórias (2)

a) 0,429

b) 428,3

c) 0,04583 d) 70

a ) 0,12 b) 0,272 c) 4 d) 1,233 e) 812 ,8 f) 0,00001 16,8kg 65 , 9232 cm2 300 Mt Actividades obrigatórias (3)

1.

2.

3.

a) 21,4

b) 214 c)2140

d)1,234

e) 0,0574

a) 3,07 b) 47 0,6 c) 6,7 d) 0,0227 e) 0,00195 a) 77,314

b) 0 ,03

c) 489.04

f) 8034 f) 5

d) 0,18

g) 1000

h) 19,595

e) 2,72

Actividades obrigatórias (4)

1. 15 vezes 2. 0,34 3. a) 8360 Mt ; b) 8778 Mt 4. 3600 Mt 5. 24,8 km Autoavaliação

1. C

2. C

3. B

4. B

91

5.A

Bibliografia obrigatória:

1.

2.

3.

4.

Langa, Hector & L. Nascimento (sd), Descobrir Matemática – livro do aluno , 5ª classe (pag: 102 – 117), Plural Editores (Maputo).

Amaral, António & outros , Descobrir Matemática – livro do aluno , 6ª classe (pag: 86 – 103), Plural Editores ( Maputo) , 2004 Zavala, Cardoso & Daúto, As maravilhas dos números- Livro do aluno, 7ª classe (pág: 8) , Textos Editores (Maputo), 2004 Eu gosto de Matemática – 7ª classe (págs:18 – 22) , INDE ( Maputo), 1988

92

Unidade 5: RAZÕES E PROPORÇÕES

Duração da Unidade: 10 Horas

Introdução

Suponhamos que numa turma há 12 raparigas e 30 rapazes. Estes dois números podem ser comparados de duas formas diferentes: - Determinando a diferença entre o número de rapazes e o número de raparigas. A diferença é 18. Isto significa que há mais 18 rapazes que raparigas.

- Determinando o quociente entre o número de raparigas e o número de rapazes. O quociente 2 significa que a duas raparigas correspondem cinco rapazes. Aqui comparamos através da 5 razão de dois números.

A fotografia de uma casa não representa as suas dimensões reais. Na fotografia as dimensões estão num tamanho reduzido. Quando queremos conhecer as dimensões reais usamos proporções. A igualdade entre duas razões chama-se proporção Os mapas e as plantas são outros exemplos de modelos em que para conhecermos as distâncias reais entre dois pontos é necessário usar as proporções.

Nesta unidade o formando vai aprofundar o cálculo com proporções. Os problemas propostos devem ser resolvidos independentemente e ou em grupos.

Evidências Requeridas:

- Resolve equações do tipo das proporções;

- Usa a propriedade fundamental das proporções na resolução de problemas da vida prática.

93

5.1 Noção de razão e proporção

Recursos de aprendizagem

O quociente entre dois números 3 e 5 chama – se razão.

Escreve assim

Nma razão

3 .

5

3 , 3 é o antecedente (está antes) e 5 o consequente (está depois).

5

A igualdade de duas razões chama-se proporção.

3 6 = 5 10

le-se : 3 está para 5 assim como 6 está para 10

Numa proporção os números chamam-se termos. A posição que os números ocupam na proporção permite dar-lhes o nome de extremos ou meios

94

Identidade fundamental das proporções

Completa o quadro seguinte:

proporções

Produto dos

Produto dos

meios

extremos

3 6 = 5 10 1 4 = 5 20 8 16 = 9 18

Verificaste que numa proporção, o produto dos meios é ………………………….. ao produto dos …………………………………… Esta igualdade chama-se identidade fundamental das proporções.

5.2 Equações do tipo das proporções

Usando a identidade fundamental das proporções podemos determinar o termo desconhecido duma proporção.

10 x = 15 6 .

⇔ x=

10 × 6 =4 , x = 4 15

Numa proporção um meio é igual ao produto dos extremos a dividir pelor outro meio.

95

.

10 6 = 15 x

⇔ x=

.

15 × 6 =9 10

Numa proporção um extremo é igual ao produto dos

.

meios a dividir pelo outro extremo.

Actividades (1)

1.

Verifica se é possível formar proporções cujos termos sejam:

a) 3 ; 5 ; 6 ; 8 b) 7 ; 3 ; 3,5 ;

3 2

Se for possível, representa três proporções em cada alínea.

2.

Resolve as seguintes equações:

a)

a 45 = 21 105

b)

4,8 6 = 0,5 b

d)

0 , 25 7 = 1, 5 e

e)

e 0,8 = 15 0,6

g)

g 1 4

1 = 3 3

h)

2 3 4

=

96

5 h

c)

c 7 = 4,5 5

f)

7,5 2 = f 3

i)

3 , 24 9 = i 0,3

Recursos de aprendizagem 5.3 Escalas

Observa num mapa de Moçambique, No canto inferior direito está escrito, por exemplo que Escala

1 : 1 300 000

A escala é a razão entre a distância no desenho e a distância real correspondente, expressa na mesma unidade de comprimento.

A escala é representada por uma fracção em que o numerador é 1.

Escala :

1 1300 000

ou 1 : 1 300 000

Isto significa que um centímetro no desenho corresponde a 1 300 000 cm no terreno ( isto é 13km).

Exemplo : No mapa acima a distância de Beira e a Tete mede, em linha recta, cerca de 32,7 cm. Por isso, a distância real de Beira a Tete é 1 32,7 = ⇔ x =1300 000 × 32,7 = 42 510 000 cm 1300 000 x x = 425 ,1km 97

5.4

Resolução de problemas práticos envolvendo proporções

Vamos usar a identidade fundamental das proporções para resolver problemas concretos do dia a dia

Exemplo: O João e o Luís compraram um bilhete de lotaria que foi premiado com 15000 meticais. Se o João gastou apenas 50 Mt e o Luís 350 Mt, quanto deve receber cada um?

Resolução: Se o João e o Luís compraram um bilhete que foi premiado com 15000 de meticais é justo que o prémio seja distribuído na proporção do dinheiro investido.

Valores Grandeza

João

Luís

total

dinheiro (Mt)

50

350

400

prémio (Mt)

a

b

15000

Vamos formar proporções:: 50 400 = a 15000

350 400 = b 15000

⇒ a=

isto e / b =

50 x15000 =1875 400

350 × 15000 = 13 125 400

Resposta: O João deve receber 1875 MT e o Luís 13 125 Mt do prémio.

98

Equaciona e resolve cada um dos seguintes problemas 1.

Três amigos A , B e C fizeram uma sociedade, tendo um deles entrado com 150 Mt ,

outro com 200 Mt e o terceiro com 250 Mt. Quanto deve receber cada um, sabendo que a sociedade tem já um lucro de 180 mil meticais a distribuir pelos sócios?

Resp: A 45000Mt

2.

B 60000Mt

C 75000Mt

Uma fotocopiadora A faz 10 cópias em 12 segundos.

a)

Quantas fotocópias faz em 5 minutos?

b)

Quanto tempo demora a fazer 55 fotocópias?

c)

Uma outra fotocopiadora B faz 52 fotocópias por minuto. Qual delas é mais rápida?

3.

Um caracol percorre 30 centímetros num minuto e quinze segundos.

a)

Quanto tempo demora a atravessar em linha recta um caminho de dois metros de

largura? b)

Um outro caracol que anda 50 centímetros em 2 minutos, será mais rápido ou mais

lento que o primeiro?

4.

A escala de um mapa é de 1 : 80 000.

a)

A que comprimento, no mapa, corresponde 1km?

b)

Qual é em cm a distância, no mapa, correspondente a 25 km?

1 e outra na 20

5.

Um arquitecto dispõe de duas plantas do mesmo prédio, uma na escala

escala

1 .

50

a)

A quanto corresponde, em cada planta, o comprimento de um metro?

b)

Qual é, na segunda planta, o comprimento da fachada do prédio se na primeira planta

medir 36 cm?

99

6.

A família Zefanias semeou 3,5 ha de milho, tendo gasto 60 kg de semente. Ela quer semear mais 2 ha.

Quantos quilogramas de semente precisa mais?

7.

O Alexandre viu num catálogo este carro. Ele quis saber o seu comprimento real.

Sabendo a escala é 1 : 50

ajuda o

Alexandre a conhecer o verdadeiro comprimento do carro.

Autoavaliação

1.

Para fazer 800 cadernos são necessaries 68 , 8 kg de papel. Quantos quilogramas de papel se utilizam para 1 200 cadernos?

A: 1,032 kg

B: 10 , 32 kg

C: 103,2 kg

2. Um pedaço de vidro de 5 cm3 de volume tem uma massa de 12,5 g. Qual é a massa de um pedaço do memo vidro com 10 cm3 de volume?

A: 2,5 g

B: 25 g

C 250 g

3. A que altura está o chão de uma casa que possui uma escada cujos degraus têm uma altura de 15 cm e uma largura de 35 cm , se a distância horizontal da escada é 2,45m?

100

A: 1,05 m

4.

B: 10,5 m

C: 105 m

A idade do pai está para a idade do filho como 5 está para 2. Sabendo que o filho tem 12 anos , qual é a idade do pai?

A: 24 anos

5.

B: 30 anos

C: 60 anos

Calcula o valor de y sabendo que 125 ÷ y = 25 ÷ 0,75.

A: 3,75

B: 37 , 5

B: 375

6. Um litro de gasolina custa 47,70 Mt. Para encher um tanque com capacidade de 650 litros quantos meticais são necessários?

A: 315 Mt

B: 3100,5 Mt

C: 31005 Mt

101

Chave de correcção Actividades (1)

1.

a) Não é possível

a) 9

b) 0,4

c) 6,3

3 3 b) = 2 7 3, 5

3 3,5 2 = 7 3

'

d) 4,2 e) 0,032

\'

7 3, 5 = 3 3 2

f) 0,1 g) 0,02777 h) 30

i) 0,108

Actividades (2) 1.

45 000 Mt , 60 000 Mt e 75 000 Mt

2.

a) 250 b)

3.

a) 8m e 2 s

4.

a) 0,125 cm

5.

a) 5 cm , 10 cm

6.

Aproximadamente34,3 kg

66s c) A b) o segundo é mais rápido b) 31,25 cm b) 14,4 cm

Autoavaliação 1. C ;2. B ; 3. A ; 4. B ; 5. A ; 6. C

Bibliografia : 2

Amaral, António & outros , Descobrir Matemática – livro do aluno , 6ª classe (pag:136 – 139), Plural Editores ( Maputo), 2004.

3. Zavala, Cardoso &Daúto, As maravilhas dos números- Livro do aluno, 7ª classe (págs: 78 83) , Textos Editores (Maputo) , 2004.

4. Eu gosto de Matemática – 7ª classe (pags: 57- 89) , INDE ( Maputo), 1988 102

Unidade 6: CORRESPONDÊNCIAS

Duração do Módulo: 10 horas

Introdução da Unidade Temática: Na nossa vida fazemos, quase sempre, comparações. Comparamos a nossa idade com a de outras pessoas, comparamos o número de alunos da nossa turma com o de outras turmas, o tamanho da nossa machamba com o de outras machambas, etc. Antigamente, os pastores primitivos comparavam através de correspondências. A cada ovelha faziam corresponder um objecto ou marca feita num cajado. Com a evolução da Matemática foram surgindo novas formas de correspondências numéricas como as proporcionalidades directa e inversa. Por exemplo, para conhecer o comportamento da água quando está a aquecer medimos a sua temperatura em períodos regulares de tempo.

Nesta unidade o formando vai rever as noções de proporcionalidade directa e da proporcionalidade inversa e como uma das finalidade do ensino da Matemática é a sua aplicação na resolução de problemas da vida real, propusemos variados exercícios nesse sentido.

Evidências Requeridas da Unidade Temática . Aplica as proporcionalidades directas e inversa na resolução de problemas da vida prática

103

Recursos de aprendizagem 6.1.Tabelas de correspondências: conservação Observa as tabelas:

A

B

C

D

1

0,5

25

170

2

1

20

160

3

1,5

15

158

6

3

10

150

8,5

4,25

5

100

Nesta tabela quando os valores de A

Nesta tabela quando os valores

de C aumentam os valores de B também também

diminuem os valores de D

aumentam.

Diminuem.

Diz-se, nestes casos, que as correspondências conservam a ordem.

104

6.2.InversĂŁo da ordem Observa as tabelas

E

F

G

H

5

56

50

1

10

40

40

2

25

32

30

3

50

25

20

4

45

12

10

5

55

2

5

6

Nesta tabela quando os valores de E

Nesta tabela quando os valores

de G aumentam os valores de F diminuem

diminuem os valores de H

aumentam Diz-se, nestes casos, que as correspondĂŞncias invertem a ordem

105

6.3. Correspondência linear Observa as tabelas

x

y

10

20

20

40

30

60

60

120

80

160

Verifica que nesta tabela, quando os valores de x .

.

duplicam, triplicam, etc os correspondentes valores de

y .

duplicam, triplicam, etc.

Dizemos neste caso que a tabela representa uma

.

6.4.Equações do tipo y = kx e y =

.

correspondência linear

x k

Na tabela do número anterior os valores de y obtém-se multiplicando por 2 os valores de x.

Isto é , y = 2.x Observa a tabela x

60

30

15

y

20

10

5

Nesta tabela os valores de y obtém-se multiplicando por 1 Isto é , y = x 3 106

1 os valores de x.

3

Nas correspondências lineares obtêm-se os valores da 2ª coluna multiplicando ou dividindo os valores da 1ª coluna pelo mesmo número diferente de zero.

As correspondências lineares podem ser representadas por equações na forma y = kx

ou

y=

1 x k

onde k é o número pelo qual se multiplicam ou dividem os valores de x para obter os valores correspondentes de y.

Actividades (1) 1. Observa as tabelas a

2

7

2,5

a2

1

64

100

b

4

0,5

7,8

0,5b

4,5

1,5

0

a) Completa as tabelas b) Indica a tabela da correspondência linear.

107

2. Observa as tabelas a

7

14

39

b

15

22

47

c

12

6

31,8

d

2

1

68

195 371

3,9

9,5

240 21,3

3,4

a) Completa as tabelas indicando a regra que usaste. b) Indica a tabela que representa uma correspondência linear.

3. No bairro de Zimpeto (cidade de Maputo) um metro cúbico de água custa 25Mt. a) Faz uma tabela que mostra o custo de 1 , 2 , 5, 12 e 16 metros cúbicos de água b) Escreve uma equação que mostra a correspondência entre consumo (C) e o preço a pagar (P). c) A correspondência é linear ? Porquê ?

4. a) Dê três exemplos de correspondências lineares. b) Escreve as respectivas equações. c) Compara teus exemplos com os dos teus colegas.

108

6.5.Sistemas de coordenadas

Recursos de aprendizagem Observa a figura eixo

Y

das ordenadas B(2 , 4) 4 2

A(4,2)

0

2

4

(eixo das abcissas)

Os dois eixos com a sua graduação formam um sistema de coordenadas.

O ponto comum (0 , 0) chama-se origem do sistema. x e y são coordenadas de um ponto . As coordenadas indicam a localização de um ponto.

Em geral os pares (a , b) e (b , a) representam pontos diferentes. A ordem num tem importância, por isso chamam – se pares ordenados.

Num par ordenado o 1º número chama-se abcissa e o 20 número chama-se ordenada A (4 , 2) neste par 4 é abcissa e 2 é ordenada B (2 , 4 ) neste par 2 é abcissa e 4 é ordenada

109

6.6. Proporcionalidades Proporcionalidade directa A tabela seguinte mostra a correspondência entre a quantidade de pães e o custo.

Nº de pães

(x)

1

2

3

15

20

Custo (Mt) (y) 6

12

18

90

120

X:Y

6

6

6

6

6

Quando o número de pães duplica, triplica, etc o custo duplica, triplica também. Diz-se que a quantidade de pães é directamente proporcional ao custo.

Equação y = 6.x A proporcionalidade directa representa-se por uma equação do tipo y=kx - Numa proporcionalidade directa é constante o quociente de valores correspondentes .

K=

y é a constante de proporcionalidade x

110

Gráfico da proporcionalidade directa

O gráfico de uma proporcionalidade directa é uma semi- recta com origem no ponto (0 , 0).

Proporcionalidade inversa Para encher um tanque de água, o senhor Muvida despõe de 16 torneiras. A tabela seguinte relaciona o número de torneiras abertas e o número de horas necessárias para encher um tanque.

Número de torneiras

1

2

4

8

16

abertas (x) Número de horas (y)

16

8

4

2

1

x.y

16

16

16

16

16

Quando o número detorneiras duplica, triplica, etc o número de horas reduz-se a metade, à terça parte, etc. Diz-se que o número de torneiras abertas é inversamente proporcional ao número de horas necessárias para encher o tanque.

Equação 16 = .xy - Numa proporcionalidade inversa é constante o produto entre os valores correspondentes 111

- A equação duma proporcionalidade inversa é do tipo k = x.y onde k é a constante de Proporcionalidade inversa

Gráfico da Proporcionalidade inversa

sa 20 r o h 15 e d º n 10 5 0 0

10

20 nº de torneiras

- O gráfico duma proporcionalidade inversa é uma linha curva como a indicada na figura

6.7.Resoluçao de problemas sobre proporcionalidade directa e inversa

Actividades (2) 1. Completa a tabela: Diâmetro do círculo (cm)

1

2

Perímetro do círculo (cm)

3,14 ….

5

10

….

….

Que tipo de proporcionalidade existe entre o perímetro do círculo e o respectivo diâmetro?.

2.

Desenha dois rectângulos diferentes, ambos com perímetro igual a 12cm. Completa a tabela: 112

altura

base

1º rectângulo 2º rectângulo Que tipo de proporcionalidade há entre as alturas e as bases dos rectângulos 3.

Copia e completa a tabela relativa a alguns prismas rectangulares rectos de base igual. prismas rectangulares com base igual Altura (cm)

1

Volume (cm2)

10.5

2

3

4

a) O volume destes prismas é directamente proporcional à altura ? b) Qual deve ser a altura de um prisma com base igual para que o seu volume seja 25 ?

4. O tempo gasto por um ciclista a percorrer as várias etapas de um passeio é directamente proporcional às distâncias.

Completa a tabela.

Tempo m)

0,5

1

1,5

2

2,5

Distância (km)

11

a

33

b

c

a) Escreve a equação que relaciona a distância percorrida com o tempo gasto em percorrer. b) Quanto tempo terá o ciclista gasto a percorrer 110 km? E 1100 km?

5. Para encher um reservatório de água do IFP uma torneira leva 36horas. a) Quanto tempo precisam 2, 3, 5, 8 e 10 torneiras iguais para encher o mesmo tanque? b) Constrói o gráfico que relaciona o número de torneiras e o tempo. c) Identifica o tipo de proporcionalidade existente.

113

6.

Um pedreiro trabalhando 8 horas por dia faz um muro em 8 dias. Quantos dias

levariam 4 pedreiros a fazer o mesmo muro trabalhando 8 horas por dia e desenvolvendo o mesmo esforço?

7. O soalho de uma sala está coberto com 1875 tábuas rectangulares de largura igual a 16 cm. Para assoalhar de novo com tábuas do mesmo comprimento, mas de 12 cm de largura, quantas tábuas são necessárias ?

8. Um bolo vai ser repartido em fatias de tamanho igual. A tabela seguinte relaciona o número de fatias do bolo, x , com o amplitude do ângulo, y , correspondente a cada fatia. As duas grandezas são inversamente proporcionais.

Nº de fatias

5

Amplitude do ângulo

6

90

8

9 40

a) Completa a tabela. b) Escreve a equação que liga a amplitude de cada fatia com o numero de fatias do bolo.

9.

Existem vários rectângulos de área igual a 16 cm2 .

Comprimento (c) Largura ( l)

4 8

1 0,5

a) Completa a tabela. b) Escreve a expressão que relaciona o comprimento e a largura do rectângulo

114

Autoavaliação: 1.

Diz se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes afirmações: a) Há proporcionalidade directa entre o número de bolos confeccionados e a quantidade de trigo. b) Há proporcionalidade directa entre quantia paga por um certo número de fotocópias e o preço de cada fotocópia c) Há proporcionalidade directa entre o tempo gasto por um carro para percorrer uma certa distância e a velocidade imprimida d) Há proporcionalidade directa a área de um círculo e o respectivo raio 2.

Observa as tabelas

a

3

6

9

12

c

1

2

3

4

b

6

12

18

24

d

6

3

2

1,5

Escreve as equações correspondentes:

A. b = 2.a e d = 2c c÷ . d 3.

B: b = 2.a e d = 6 : c

C; b = 2.a e 6 =

Escreve esta receita conservando as proporções e supondo que só tens : RECEITA 2 ovos Farinha g

420

150 g de manteiga 840 g farinha

Manteiga

300 g

Ovos

6

Açúcar g

240

A: Açúcar 80 g , farinha 140g , manteiga 100 g 115

B: Açúcar 140 g , farinha 80g , manteiga 100 g C: Açúcar 240 g , farinha 140g , manteiga 100 g

4.

Um livro tem 240 páginas e em cada páginas há 80 linhas. Quantas páginas teria o mesmo livro se tivesse 40 linhas em cada página?

A. 180 B: 280 C: 480 5.

Numa fábrica, a produção de camisolas é directamente proporcional ao número de máquinas, Sabendo que num certo intervalo de tempo , 5 máquinas produzem 1400 camisolas, calcula o número de máquinas que seriam necessárias para produzir 2240 camisolas?

áNuma loja existe um rolo de fita para dividir em partes iguais para fazer laços de enfeitar embrulho. A tabela relaciona o comprimento de cada pedaço de fita ( em cm) com o número de laços que se quer fazer.

12

Comprimento da fita ( c ) Número de laços ( l )

300

250

15

20

150

30

40

75

a) Completa a tabela b) Indica a constante de proporcionalidade c. Escreve uma expressão que relaciona o comprimento de cada pedaço de fita com o número de laços que se quer fazer.

116

Chave de correcção Actividades (1) a

2

1

7

8

2,5

10

a2

4

1

49

64

6,25

100

b

9

4

0,7 5

0,5

0

7,8

c = 0,5.b

4,5

2

1,5

0,2 5

0

3,9

a

7

14

39

68

195

363

1,5

b = a+8

15 22

47

76

203

371

9,5

1. a)

b) c = 0,5b 2. a)

c d=c:6

12

6

31,8 3,9

2

1

5,3

127,8 20,4 240

0,65 21,3

3. a) C

1

2

5

P

25

50 125

12

16

300 400

b) P = 25 C c) linear porque a equação é do tipo y = k.x

117

3,4

40

Actividades (2) 1.

Há proporcionalidade directa ; k = 3,14

3,14 6,28 15,7 31,4

2. a) Há várias soluções b) Não há proporcionalidade directa 3..

10,5 21

b) sim

31,5 42

c) h = 25 cm

4. a) a=22, b=44 ,c = 55 b) d = 22t , c) 5 horas ; 50horas

x

1

y

36 18 12 7h12mn 4h30mn 3h36mn

b)

C)

2

3

5

8

10

s 50 ar o h e 0 d º 0 5 10 n nº de torneiras

Proporcionalidade inversa 5. 2 dias 6.. 2500 tábuad de 12 cm de largura 7.

N0 de 4 5 fatias amplitude

90

72

6

8

9

60

45

40

118

b) 360 = xy 8.

C l

2

4

32

1

8

4

0,5

16

.. b). 16 = c. l

Auto-avaliação 1.

V, V , F , F ; 2. C ; 3. A ; 4. C ; 5. B 6 a) Comprimento da fita ( 10 12 c) Número de laços ( l )

b) K=3000

300

250

15

20

30

40

200

150

100

75

c) 3000 = c.l

Bibliografia obrigatória: a. b.

Zavala, Cardoso &Daúto, As maravilhas dos números- Livro do aluno, 7ª classe (pág: 102114) , Textos Editores (Maputo)., 2004 Eu gosto de Matemática – 7ª classe (págz: 57 – 89) , INDE ( Maputo). 1988.

119

Unidade 7: PERCENTAGENS

Duração da Unidade: 10 Horas

Introdução As actividades da vida diária conduzem á comparação de números. Por exemplo, num teste de Matemática na turma A de 40 alunos 32 alunos têm positivas e na B de 35 alunos há 29 positivas. Qual das turmas teve melhor aproveitamento? A comparação do aproveitamento das duas turmas não pode ser feita de forma simples porque elas têm número diferente de alunos.É necessário comparar estes dados numéricos com um mesmo número que, geralmente, é o número 100.

O uso das percentagens é cada dia que passa de enorme utilidade pública. Por exemplo, os descontos, os ganhos, os aumentos, os juros etc são quase sempre expressos na forma de percentagem O conhecimento do cálculo percentual ajuda o professor a analisar e interpretar os resultados da aprendizagem dos seus alunos.

Evidências Requeridas: Constrói gráficos circulares e de barras; Interpreta os gráficos circulares e de barra Resolve problemas concretos com cálculo de percentagens que envolvem saldos, lucros e prejuízos Resolve problemas concretos com cálculo de permilagens que envolvem mortalidade e natalidade

120

Recursos de aprendizagem 7.1.Noção de percentagem Observa a figura:

Esta figura foi dividida em 100 partes iguais. A letra E é formada por 15 das 100 quadrículas.

O quociente

15 chama-se percentagem das quadrículas da letra E em relação ao total das 100

quadrículas da figura.

121

15 = 0,15 = 15% 100

lê –se: quinze por cento

A percentagem das quadrículas da letra L é 9 % porque 9%

9 = 0,09 = 9% 100

lê –se: nove por cento

7.2.Relação entre fracções, números decimais e percentagens Observa a figura.

A parte pintada representa

13 20

Vamos transformar a fracção

13 na forma de percentagem.

20

1º Método: Procurar um número que multiplicado pelo denominador dê 100. Neste caso é 5.

Então,

13 13 × 5 65 = = = 65% 20 20 × 5 100

NOTA: Se o denominado for 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 é sempre possível usar este método.

122

Exemplos:

1 1 × 50 50 = = = 50% 2 2 × 50 100 3 3 × 25 75 = = = 75% 4 4 × 25 100

1 1 × 20 20 = = = 20% 5 5 × 20 100

2º Método: Escrever 1º na forma decimal, dividindo o numerador pelo denominador.

13 = 0,65 20

logo

13 = 0,65 = 65% 20

7.3 Percentagem de quantidade O António procurou saber na sua turma de 30 alunos quais os estilos musicais preferidos.

Veja os resultados:

Percentagem nº de alunos

marrabenta

passada

pop

zouk

40%

20%

30%

10%

12

Como obteve o António estes resultados?

40% de 30 alunos =

40 × 30 = 12 alunos 100

ou 40% de 30 alunos = 0,40 × 30 = 12

alunos 12 alunos da turma do António apreciam a marrabenta.

Vamos completar o quadro 20% de 30 alunos = 0,20 × 30 = 6 alunos 123

30% de 30 alunos = 0,30 × 30 = 9 alunos 10% de 30 alunos = 0,10 × 30 = 30 alunos

Actividades (1) 1. Completa o quadro Forma de fracção

forma

Forma de

decimal percentagem

9 100

23% 0.5 95 125

2. Calcule mentalmente. a) 10% de 100 m d) 75% de 1000 kg

b) 50% de 24 alunos e) 20% de 40 litros

3. Numa associação de camponeses de 200 membros. 60 são homens. a) Calcula a percentagem de homens. b) Calcula a percentagem de mulheres

124

c) 25% de 20 dias

4. No campeonato de futebol de uma escola a equipa dos Matas obteve os resutados

Nº de jogos

V

E

D

indicados na tabela.

20

65% 25% 10%

a) Quantas vitórias conseguiu? b) Quantos empates obteve? c) Quantas derrotas sofreu?

Recursos de aprendizagem 7.4

Problemas concretos com cálculo de percentagem que envolvem

saldos, lucros e prejuízos

Recorda : Valor final (Vf)

,

Valor inicial (Vi)

A = Vf - Vi

,

Aumento (A) ,

Diminuição (D)

D = Vi – Vf

As palavras lucro , ganho, juro … indicam aumento As palavras perda, prejuízo, quebra , desconto … indicam diminuição

Exemplo A Lurdes comprou um livro de Matemática cujo preço era 80MT. Fizeram-lhe um desconto de 15%. Quanto pagou pelo livro?

Resolução: Vi (%) = 100%

ou 125

D(%) = 15%

D(%) = 15%

Vf(%) = 100% - 15% = 85%

1º calcula: 15% de 80MT

A lurdes comprou o livro a 85% do valor inicial (80Mt)

D = 0,15 x 80 =12MT

0,85 × 80Mt = 68 MT

Resposta: A lurdes pagou 68 Mt pelo livro.

2º Calcula o Vf , em meticais.

Vf = 80MT – 12MT = 68MT

Resposta: A lurdes pagou 68 MT pelo livro.

Actividades (2) 1.A Zinha tem 225MT e a Diodita 20% dessa quantia. Terão, as duas meninas, dinheiro suficiente para comprar uma prenda à mãe no valor de 300MT?

2. O senhor Mendes jogou no “TOTOBOLA” e foi premiado com 500 000 MT que depositou no banco. Calcula os juros que rende durante um ano à taxa de 15%.

3. No dia em que a Susana nasceu, os pais depositaram em seu nome 50 000MT à taxa de juros de 1,6% por ano. a) Calcula os juros que rendeu ao fim do primeiro ano. b) Que dinheiro tinha ao fim do primeiro ano?

4. O Marcos fez compras tendo lhe aplicado IVA em cada artigo.

Completa o quadro: Artigo

Custo

IVA

Preço a pagar

126

Pasta escolar Estojo de desenho

400MT

7,5%

600MT

Um par de sapatilhas

630MT

10%

880MT

5. O senhor Sábado tinha de pagar 16 400 MT de imposto de importação de uma certa mercadoria. Procedeu o pagamento passados dois meses depois de expirado o prazo. Calcula a quantia paga sabendo que a taxa de juros de mora é 2% ao mês.

6. A dona Elsa pediu emprestado a sua vizinha Zulmira 120 000 MT a taxa de anual de 25%, durante 15 meses. Qual a quantia total que tem a pagar ao fim daquele tempo?

Foram avaliados na 1a ACS do corrente ano lectivo 36 alunos da turma do João. Deste

7.

número, 9 tiveram notas negativas a) Calcula a percentagem de negativas . b) Quantos alunos tiveram notas positivas.

8. Na compra de um gravador por 3500Mt, tive de pagar um imposto (IVA) de 8,4%.

Calcula; a)

O valor do imposto, em MT

b)

O dinheiro gasto na compra do gravador.

9.

Numa turma de 25 alunos, 10 praticam futebol, 8 jogam basquetebol, 2 praticam o atletismo. Os restantes não praticam nenhuma modalidade.

127

a) Calcula a percentagem de cada grupo de alunos que praticam desporto. b) Qual é a percentagem dos que não praticam desporto?

7.5. Gráficos circulares e de barra

Recursos de aprendizagem Um gráfico circular é usado quando se pretende dividir um todo em várias partes e comparar essas partes com o todo. As percentagens são muito usadas em gráficos circulares.

A turma do Sancho tem 40 alunos. Ele fez uma pesquisa para saber quais os jornais mais lidos na turma e em seguida fez a distribuição dos resultados num gráfico circular.

Para ler um gráfico circular de percentagens: - Lê –se o título para conhecer o assunto ilustrado pelo gráfico - Lê - se o que cada sector circular representa 128

- calcula –se o valor que cada sector representa, multiplicando a percentagem que lhe corresponde pelo valor total representado pelo sector .

Quantos alunos da turma lê o jornal Savana, frequentemente?

N = 40 × 34 % .

N = 0,34 × 40 = 13,60N =14 alunos da turma do Sancho lêem o jornal savana

Gráfico de barras

60 50 40 30 20 10 0 noticias

desafio

savana

campeao

7.6. Noção de permilagem

Recursos de aprendizagem Usar percentagem é uma forma de comparar com 100. Ás vezes faz-se comparação com 1000. Por exemplo, na taxa de natalidade e na taxa de mortalidade de uma país emprega – se a permilagem.

símbolo %o 129

15 = 15 0 00 1000

lê-se: 15 por mil

7.7. Resolução de problemas concretos com cálculo de permilagem

Actividades (3)

1. b)

Escreve na forma de permilagem: 0.75

b) 0,087

c)

100 400

d)

12 25

2. Escreve na forma de um número decimal; a)

25 0 00

b) 56 0 00

c) 6,5 0 00

d)12,5 0 00

3. Calcula: 2

0

de 2 000 000

00

100

0

00

de 8 000

15

28

0

0

de 6 000

00

00

de 47 500

125 3,2

0

00

0

00

de 4 000

de 12 800

4. A Celina pediu um empréstimo bancário de 16500 MT a prazo, à taxa anual de 21 0 00 .

Calcula a quantia a devolver ao banco no final do 1º ano.

5. Em 1980 a taxa de natalidade no país era de 47

0

00

. Calcula o número de bebés que

nasceram em 1980 sabendo havia cerca de 12 130 000 habitantes.

6. Segundo os dados do recenseamento de 1980 a taxa de mortalidade em Moçambique, no período de 1975 a 1980, era de 21 0 00 . Calcula o número de falecimentos que houve no país no ano de 1980, sabendo havia cerca de 12 130 000 habitantes.

130

7. No ano de 1980 havia na República de África do Sul cerca de 19 900 000 negros e

4

500 000 brancos. A taxa de natalidade era de 40 0 00 para a população negra e cerca de 28 0 00 para a população branca. a) Calcula o número de crianças negras e brancas nascidas na RSA, em 1980 (arredonda a múltiplo de 1 000). b) Calcula o número de crianças que morreram antes de completar um ano de vida sabendo que a taxa de mortalidade entre os negros era de 250 0 00 e de 25 0 00 entre os brancos.

8. No período de 1975 a 1980 a taxa de mortalidade infantil no nosso país era de 159 0 00 .

Sabendo que nasceram em 1980 cerca de 560 000 crianças, calcula quantas destas morreram no primeiro ano de vida.

9. Numa prova de Matemática, os alunos de uma turma conseguiram as seguintes classificações: Muito bom- 8 alunos ;

Bom-20 alunos ;

Satisfatório- 4 alunos ;

Não satisfatório – 8 alunos

a) Calcula o número total de alunos da turma b) Calcula percentagem de alunos com a classificação Bom c) Constrói o gráfico circular correspondente às classificações

10. A pesca artesanal , no período 1980 e 1983 , na província de Cabo Delgado era composta pelos seguintes sectores: Peixe 90%

Camarão 1,2%

Outros produtos

8,8%

Constrói o gráfico circular correspondente ás percentagens.

11.

Em 1998, o índice de infecção pelo vírus HIV entre professores da zona sul do país estava assim distribuído :

131

Inhambane 22% Maputo-Cidade 30%

Gaza 23% Maputo-Provincia 500 professores

a) Quantos professores participaram no inquérito? b)

Apresenta os resultados de estudo num gráfico circular.

Autoavaliação 1. O Sr. Macanza , na época agrícola 2000,/ lavrou 35,4ha de terreno para sementeira de milho o que corresponde a 20,4% do seu terreno. Quantos hectares tem o terreno do Macanza?

A: 1 , 375 ha

2.

B: 17 , 35 ha

C: 173 , 5 ha

Num hospital há 800 trabalhadores dos quais 69% são enfermeiros, 7% são médicos , 17% são técnicos de medicina e os restantes são serventes.

Quantos trabalhadores correspondem a cada um dos grupos antes mencionados?

A: 552 enfermeiros ; 56 médicos ; 136 técnicos ; 56 serventes B: : 552 enfermeiros ; 56 médicos ; 56 técnicos ; 136 serventes C: : 552 enfermeiros ; 56 médicos ; 136 técnicos ;

3.

76 serventes

A peça bruta de um eixo pesa 67 kg. Depois de sair da máquina prensadora o eixo já trabalhado pesa 61,5kg.

A ‘quantos por cento’ equivale o desperdício de material?

A: 5,5

4.

B: 7,5

C: 8,2%

Dos ossos pode se extrair 9% de gordura, 45% de farinha e 15% de cola. Quantos

quilogramas de cada um destes produtos se podem extrair de 1 460 kg de ossos ?

Constrói um gráfico circular de percentagens.

132

5.

A: Gorduras 131,4 kg

farinha 567

cola 219

B: Gorduras 131,4 kg

farinha 657

cola 219

C: Gorduras 131,4 kg

farinha 657

cola 129

No dia em que a Susana nasceu, os seus pais depositaram em seu nome 1500 MT. No primeiro aniversário a Susana tinha 1725 MT . Qual foi a taxa de depósito?

A: 10%

B: 11,5%

C: 15%

6. A Joana pôs a render um certo capital ‘a taxa de 15%. Ao fim de um ano recebeu o juro de 18000 MT . Qual o valor de depósito?

A:100 000 MT

7.

B:120 000 MT

C:180 000 MT

No final do 1º Semestre, numa turma de 25 alunos do IFP, verificaram-se, na disciplina de Matemática, as classificações registadas no gráfico seguinte:

80

Calcula o número de alunos que corresponde

60

a cada classificação.

40 20 0 Colunas 1

Medic

Suf

Bom

Mbom

10

27.5

57.5

5

133

Chave de correcção: Actividades obrigatórias (1) 1.

Forma forma de decimal fracção 9 100

0,09

23 100

0,23

1 2

0.5

95 125

2.

a) 10

3.

a) 30 %

4.

a) 13

9%

23 %

50 %

0,76

b) 12

forma de percentagem

76 %

c) 5

d) 750

e) 8

b) 70 % b) 5

c) 2

Actividades obrigatórias (2) 1.

30 Mt

2.

. 75 000 MT

3.

a) 800Mt ; b) 50800 MT

134

4.

Artigo

Custo

Pasta escolar

400MT 7,5% 30

Estojo de desenho

IVA

Preço a pagar

600MT 5%

Um par de sapatilhas 800

630MT

10%

5.

17056 MT

6.

. 157 500 Mt

7.

.a) 25% ; b) 75%

8.

a) 294 Mt b) 3794 Mt

880MT

Actividades obrigatórias (3) 1.

a) 750

2.

a) 0,025

3.

4000; 9 ; 500 ; 800 ; 1330 ; 40,96

4.

16846,5 MT

5.

570110 bebés

6.

254730 falecimentos

7.

a) Negros: 796 000 ; Brencos: 14 000 ; b) Negros: 4975000 ; Brancos: 12 500

8.

89040 crianças mortas

9.

a) 40; b) 50%

0

b) 87

00

0

00

b) 0,056

c) 250

0

c) 0,0065

00

d) 480 0 00 d) 0,0125

.

135

c) M bom 0%

N. satisf.

25%

Satisf 13%

Bom 62%

10.. camara o 1%

outros p.

9%

peixe 90%

11. a) 2 000 professores ; b)

136

P.M aput o 25%

Inha bane 22% Gaza 23%

C,M aput o 30%

Autoavaliação

1. C

; 2. A ; 3.C 4. B ; 5. C ; 6. B ; 7. B

Bibliografia obrigatória: a. b. c.

Langa, Hector & L. Nascimento (sd), Descobrir Matemática – livro do aluno , 5ª classe (pag: –), Plural Editores (Maputo).

Amaral, António & outros (sd), Descobrir Matemática – livro do aluno , 6ª classe (pag:136 – 139), Plural Editores ( Maputo) Zavala, Cardoso &Daúto, As maravilhas dos númerosLivro do aluno, 7ª classe (págs: 68 -77) , Textos Editores (Maputo) Eu gosto de Matemática ( 1988) – 7ª classe (pags: 41-55

137

Unidade 8: ESTATÍSTICA BÁSICA

Duração da Unidade: 10 Horas

Introdução A contagem da população, índices de analfabetismo, índices de infecção, os resultados eleitorais, etc são todos eles grandes temas de estudo e debate na sociedade moçambicana. O tratamento e a apresentação da informação na forma gráfica permitem leituras e entendimento rápido das situações. A estatística é o ramo da Matemática que permite de uma forma organizada fazer a recolha de dados sobre uma população analisá-los e tirar conclusões.

Nesta unidade o formando vai rever as noções básicas de Estatística e ainda lhe propusemos variados exercícios de aplicação que possa habilitar a resolver problemas da vida real.

Evidências Requeridas: 1. Aplica conhecimentos científicos para colher e organizar dados de situações problemáticas da vida real; 2. Constrói tabelas e gráficos a partir de dados;

3. Interpreta tabelas e gráficos; 4. Resolve problemas que envolvam o cálculo da média aritmética, moda e mediana.

138

Recursos de aprendizagem

8.1.

Noções elementares de estatística: amostra, variáveis (quantitativas e qualitativas)

População é o conjunto sobre cujos elementos se pretende fazer o estudo estatístico qualquer que seja a natureza de seus elementos. Cada elemento da população é uma unidade estatítica.

Para recolher os dados para um estudo, podemos observar todos os elementos da população e tirarmos conclusões. É o caso do recenseamento geral da população. Na impossibilidade de estudar todos os elementos da população, observa-se apenas uma parte dela (amostra) e depois se generaliza a todo o conjunto as conclusões as conclusões deste estudo parcial.

As variáveis quantitativas são mensuráveis e por isso susceptíveis de uma expressão numérica (por exemplo: altura, notas, peso, golos, idade, etc) As variáveis qualitativas não são mensuráveis (por exemplo: cor, sexo, beleza, etc)

Recursos de aprendizagem 8.2. Recolha, organização e registo de dados em tabelas Em qualquer estudo estatístico começa-se por recolher e organizar os dados necessários para descrever uma determinada situação. A organização de dados numa tabela facilita a sua análise e compreensão.

Observa os seguintes dados correspondentes à classificação na disciplina de Matemática, numa turma de 25 alunos da quinta classe. no final do 1º trimestre 7

8

8

10

11

11

9

7

10 10

11

12

8

10

11

12

9

15

8

8

8

7

7

8

Vamos organizar uma tabela de frequência com estes dados; 139

10

Tabela de frequência

8.3. Gráfico de barras, linhas e histogramas Gráfico de barras 7 freq.

6 absoluta 5 4 3 2 1 0 7

8

9

10

11

13

15

classificacoes

A altura de cada barra corresponde a frequência do respectivo valor da variável

Gráfico de linhas Unindo os extremos superiores das barras, obtém – se uma outra representação, o gráfico de linhas.

140

freq.

8 absoluta 7 6 5 4 3 2 1 0 7

8

9

10

11

13 15 classificacoes

Pictogramas Para a representação de resultados estatísticos recorre-se também , por vezes, a figuras ou símbolos sugestivos representativos da população, obtendo-se pictograma de leitura e interpretação imediata.

Este pictograma, indica o número de pessoas que cada lavrador pode alimentar em três países diferentes.

141

Recursos de aprendizagem

8.4. Interpretação de tabelas e gráficos A: Analisando a tabela e os gráficos de 8.3 podemos concluir o seguinte: - Os resultados da aprendizagem são desnivelados (variam de 7 a 15) - Os alunos com nota 8 são a maioria em relação a qualquer nota - Nem todos os alunos não atingiram os objectivos traçados para esta matéria; - A metade dos alunos não compreendeu devidamente a matéria;

B: O pictograma por sua vez nos mostra que o trabalho que os lavradores desempenham é de extrema utilidade na alimentação das pessoas.

Recursos de aprendizagem 8.5. Cálculo de média aritmética, moda e mediana __

A média aritmética x de N valores ( x1 , x2 , x3 , . . . . xn) obtém-se dividindo por N a soma dos N valores. −−

x=

x1 + x2 + x3 + . . . + xn N

A média das classificações do exemplo é 7 × 4 + 8× 7 + 9 × 2 +10 × 5 + 11× 4 +12 × 2 +1× 15 25 −− 28 + 56 + 18 + 50 + 44 + 24 + 15 235 x= = = 9 ,4 25 25

−−

x=

A nota média da turma é 9,4 valores.

142

A moda de uma distribuição de dados é o valor mais frequente.

No exemplo a moda é 8 - A mediana de uma distribuição organizada de dados é o valor que ocupa central se N for ímpar - A mediana de uma distribuição organizada de dados é a média aritmética dos dois valores que ocupam a posição central se N for par.

No exemplo a nota mediana é 9, porque N = 25.

Actividades (1) 1. Numa pauta referente ao 1º trimestre na disciplina de Biologia surgiram os seguintes resultados.

11 10 9 12 10 5 13 11 14 9 12 11 10 9 5 6 12 7 8 11 8 12 13 5 11 6 8 9 7 10 12 10 11 12 10 13 12 8 11 9 10 12 11 11 10 9 10 11 12 14 a) Organiza os resultados numa tabela de frequências absolutas. b) Calcule a média aritmética e a mediana.

2. Calcule a média, a mediana e a moda do seguinte conjunto de dado: 0 2 3 2 3 2 3 1 1 4 3 2 2 2 2

3. .Calcula a média , a moda e a mediana das idades dos alunos da tua turma. a) Faz um gráfico de barras com os dados da tua pesquisa. b) Faz um relatório onde figurem as constatações, análise dos dados e as principais conclusões do estudo efectuado.

4. As notas do Marcos , nos testes de Matemática foram 10, 15 , 11 e 12. a) Qual é a média dos testes? b) Quanto precisa de obter no 5º teste para que a média seja de 13?

143

5. .Os gráficos representam a distribuição das idades dos alunos de duas turmas do 1º Ano .

Cada turma tem 25 alunos.

Turma A Turma B a) Calcula a média, a moda e a mediana das idades dos alunos de cada turma. b) Qual das turmas te parece ter uma distribuição de idades mais equilibrada?

6. A média de treze números é 500. Doze desses números são 222 713 425 801 700 498 902 313 634 119 416 580 Qual é o número que falta?

7. A média das idades dos meus três irmãos é 8 mas a média das nossas quatro idades é 9. Qual é a minha idade?

8. Foram classificados 400 testes de instruendos dum IFP. Os resultados obtidos figuram no quadro seguinte: Classificações Nº de alunos 0

20

1

120

2

83

3

50

144

4

112

5

15

a)

b) Constrói um gráfico de barras c) Determina a média aritmética, a mediana e a moda. d) Quantos alunos tiveram notas não inferiores à classificação 3?

9. A tabela mostra a distribuição do dinheiro que pagamos ao comprar uma embalagem de leite Matéria prima…………………………..62,7% Transformação e laboratório……………..7,8% Material de embalagem…………………..16% Encargos financeiros……………………..1,9% Distribuição e comercialização…………..9,6% Custos administrativos…………………..…2%

a) Constrói um gráfico circular que ilustra a situação. b) Quanto custa a embalagem de um pacote de leite de 135Mt? c) Por cada litro de leite que compras a 135Mt quanto recebe o criador das vacas?

10.

Escolhe uma turma da escola anexa, e faz um estudo sobre a idade , em anos, dos seus alunos. a) Organiza os dados numa tabela de frequências absolutas. b) Constrói um gráfico de barras com estes dados. c) Faz um comentário sobre os resultados da sua pesquisa.

145

Autoavaliação 1. Relativamente a uma recolha estatística diga o entende por população, unidade estatística e amostragem ( usa setas para fazer correspondências): população

Cada elemento da população

Unidade estatística

Parte do todo sobre a qual incide a observação.

Conjunto sobre cujos elementos se vai fazer um estudo estatístico, qualquer que seja a sua natureza.

amostragem

2. Uma aluna da 2ª classe contou o número de vogais de uma frase e registou: e e o i a a e a a a u i e o a a e o a o i o o i u a) Indique a variável estatística. b) Elabore uma tabela de frequências absolutas. c) Constrói o gráfico de barras desta distribuição.

3.

O formador - chefe do internato de um IFP , preocupado com o desempenho dos formandos, fez um inquérito para saber os principais problemas que os apoquenta tendo obtido o seguinte: Fraca qualidade da comida ………….20% Falta de tempo para o desporto ………….10% Falta de sabão para higiene ……………15% Falta de tempo de estudo ……………40% Falta de TV ………………………... 30 alunos 146

a) Quantos alunos internos há no internato? b) Quantos alunos reclamam mais tempo para reverem as lições? c) Na tentativa de resolver as preocupações levantadas, de onde é que o chefe devia começar?

Fundamenta a tua resposta. d) Constrói um gráfico circular correspondente a esta distribuição.

4.

Estes são os números de golos obtidos por dois goleadores durante a primeira volta do campeonato nacional de futebol:

A B

0

4

2

0

1

4

0

2

2

1

0

2

0

1

1 3

3

0

2

2

a) Calcule a média de golos de cada jogador por jornada. b) Supondo que tens uma equipa de futebol, qual dos jogadores poderias contratar para reforçar o ataque? Porquê?

5. Observa o gráfico circular que ilustra a distribuição em percentagens de venda de alguns produtos alimentares num armazém da capital do país.

147

a) Qual é o produto que o armazenista deve ter permanentemente no armazém? b) Apresenta a mesma distribuição num gráfico de barras.

Chave de correcção: Actividades obrigatórias (1)

1. a) Notas

Frequências absolutas

5

3

6

2

7

2

8

4

9

6

10

9

11

10

12

9

13

3

14

2

−

c) x =10 , mediana é 10 __

2.

x = 2,1 moda 2 , mediana 2 148

3.

4. a)12

b) 17 __

__

5. a) Turma A : x =14,2 moda14 , mediana 14 ; Turma B: x =13,7 moda 15 madiana13 a) Turma A 6. 177 7. 12 anos 8. a)

__

b) x = 2,4 mediana 2 moda 1 : c) 223 9. a)

5%

21%

26%

transf Mat. Emb Enc. Finac Dist. Com

5% 43%

b) 216MT

;

Custos Adm

c) 84,65Mt

149

Autoavaliação

1. População : Conjunto sobre cujos elementos se vai fazer um estudo estatístico, qualquer que seja a sua natureza.

Unidade estatística: Cada elemento da população Amostragem: Parte do todo sobre a qual incide a observação.

2. a) Nº de vogais; b) vogais a e Frequencia absoluta

8

5

i

o

u

4

6

2

c) 8 7 6 5 freq.

4 absoluta 3 2 1 0 a

e

i

o

u

bogais

3. a) 200 alunos b) 80 alunos c) Falta de tempo de estudo porque de acordo com os resultados da pesquisa há mais alunos a reclamarem a falta de tempo de estudo, o que pode afectar negativamente o rendimento pedagógico.

4.

a) 1,5 tanto para o jogador A como para B

b) Apesar de os dois terem a mesma média de

golos por jornada, o jogador B é mais regular pode vir proporcionar bons momentos de alegria aos adeptos.

5. a) b)

Arroz porque é de maior procura.

150

Bibliografia obrigatória: Zavala, Cardoso &Daúto, As maravilhas dos números- Livro do aluno, 7ª classe (pág: 132 137) , Textos Editores (Maputo, 2004 Lopes, Ana Vieira & outros, Matemática 7 ( págs: 129 – 148) , Edições CONTRAPONTO ( PORTO), 2007.

151

Unidade 9: ESPAÇO E FORMA - FIGURAS E SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Duração da Unidade: 10 Horas

Introdução da unidade temática A unidade curricular de geometria , integrada no módulo de Matemática, tem como principal objecto o estudo de figuras e sólidos situados no plano e no espaço tridimensional. Como a própria palavra Geometria (Geo+metria) indica, trata-se de “medir a Terra”, ou seja, de “estudar e medir as formas existentes na Terra”.

Esta unidade curricular desenvolve essencialmente as competências de observação analítica da realidade, de imaginação, de estruturação e apresentação do raciocínio lógico, de construção de figuras geométricas e de elaboração de demonstrações (validação) de afirmações feitas. Estas competências são desenvolvidas partindo da análise de formas concretas, quer existentes na Natureza, quer em figuras e objectos produzidas pelo homem, identificando nelas os conceitos e princípios estudados na Geometria. O desenvolvimento das competências de imaginação e estruturação do raciocínio lógico têm campo propício em actividades relacionadas com a identificação de propriedades em figuras dadas. Atenção especial é também dada à construção rigorosa de figuras geométricas, o que passa pela competência de utilizar correctamente instrumentos de desenho e de medição, com régua, esquadro, compasso e transferidor.

Em termos de conteúdos que dão forma ao desenvolvimento das competências acima referidas, os formandos estudam figuras particulares como linhas, triângulos, quadriláteros, polígonos regulares, circunferências e círculos, 152

elaborando a sua definição, analisando, verificando e enunciando as suas principais propriedades e calculando o seu perímetro e a sua área. Estudam também sólidos geométricos como prismas, pirâmides, cilindros e cones, reconhecendo-os em objectos do quotidiano, analisando a sua forma, identificando algumas propriedades e calculando o seu volume. As isometrias - simetria axial, simetria central, rotação e translação – também são tratadas, dando-se ênfase à análise e construção de figuras e padrões obtidos por meio daquelas aplicações do plano em si próprio.

Evidências requeridas da unidade temática 1) Relaciona os objectos segundo a sua posição no espaço; 2) Identifica linhas rectas e curvas a partir da observação de objectos e de figuras geométricas; 3) Planifica sólidos geométricos relacionando-os com os objectos concretos da vida real; 4) Constrói figuras e sólidos geométricos; 5) Compara e descreve sólidos geométricos identificando semelhanças e diferenças.

153

9.1.

Situar e orientar

Recursos de aprendizagem Introdução: No dia a dia, temos constantemente a necessidade de indicar, por exemplo, onde encontrar um objecto, como localizar uma morada, quando se registou um dado acontecimento, etc. Quer dizer, precisamos muitas vezes de “situar” objectos, lugares, acontecimentos, etc., no espaço físico e/ou no espaço temporal.

Para situarmos um objecto ou um acontecimento, quer no espaço físico quer no temporal, usa-se em geral, um outro objecto ou acontecimento que sirva de referência (ou referencial). Para indicar a posição de algum objecto ou acontecimento em relação a outro escolhido para referência, usam-se expressões como: - à esquerda de, à direita de; - acima de, por cima de, em cima de, abaixo de, por baixo de, debaixo de; - à frente de, em frente a, atrás de, por trás de, ao lado de; - antes de, depois de, ao mesmo tempo que.

Em certos casos, estas expressões não são suficientes para determinar com exactidão a localização/identificação de algum objecto ou local.

Nestes casos usam-se mais informações, que constituem um “Sistema de Coordenadas”.

Sistemas de Coordenadas: Existem vários sistemas de coordenadas usados no nosso quotidiano, embora alguns deles não sejam conhecidos como tal.

154

Exemplos: 1) Sistema de coordenadas geográficas composto por duas coordenadas - latitude e longitude - para situar no mapa um dado local;

2) Sistema de localização de lugares numa sala de espectáculos (ou num autocarro ou num avião) composto, em geral, por duas coordenadas: fila e lugar. Por exemplo, o bilhete com a indicação D8, indica o lugar que se situa na fila D, na cadeira nº. 8;

3) Sistema de localização de moradas numa cidade composto, em geral, pelas coordenadas: nome da rua, número da casa, número do andar, número ou letra do apartamento, nome da cidade;

4) Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais composto por duas coordenadas: abcissa e ordenada. Cada ponto no plano é representado com exactidão usando estas duas coordenadas, dadas sempre, por convenção, na ordem indicada. Por exemplo, A(3,2) significa que o ponto A tem abcissa igual a 3 e ordenada igual a 2. Se escrevermos B(2,3), já teremos outro ponto, agora com abcissa igual a 2 e ordenada igual a 3.

155

Actividades (1) Trabalho escrito/oral: 1.

Indique, se existirem, os nomes de 3 colegas que se encontrem, na sala de aulas, sentados: - à sua esquerda; - à sua direita, - à frente de si; - atrás de si Diga qual a sua posição em relação a esses mesmos colegas.

2.

Utilizando o sistema cartesiano ortogonal, marque os seguintes pontos: A(1,0); B(1,-2); C(3,3); D(-3,2); E(-4,-5); F(0,3); G(0,-5); H(4,0); I(5,1/2); J(7/2,-6).

3.

Dê exemplos de 3 sistemas de coordenadas.

4.

Identifique e explique o significado de cada coordenada nos exemplos dados no exercício anterior.

156

9.2.

Ponto, Recta e Plano

Recursos de aprendizagem Introdução: A Geometria Euclidiana foi desenvolvida por Euclides (c. 365 - c. 300 a.C, viveu em Alexandria, no Egito), cuja obra principal é um conjunto de livros a que deu o nome de “Elementos”. Tal como outras ciências, a Geometria Euclidiana foi construida a partir de “conceitos primitivos” e “axiomas” ou “postulados”.

Em qualquer ciência, “conceitos primitivos” são conceitos que não se definem, que são entendidos intuitivamente. Todos os outros conceitos dessa ciência já necessitam de definição.

Axiomas e Postulados são proposições (afirmações) assumidas sem demonstração, ou seja, são aceites intuitivamente. Em geral, estes termos são aplicados com o mesmo significado, mas também podem ser entendidos com uma pequena diferença entre eles: os axiomas são comuns a várias ciências, enquanto que os postulados são diferentes para cada ciência particular. Todas as outras afirmações – propriedades, teoremas, princípios - têm que ser demonstradas para serem tomadas como verdadeiras e poderem ser utilizadas.

Conceitos primitivos: Os conceitos primitivos da Geometria Euclidiana são: - Ponto

- Recta - Plano

157

Como se disse, estes conceitos são assumidos intuitivamente e não têm uma definição. Para se introduzir estes conceitos aos alunos da escola pode-se dizer para pensarem: -

por exemplo, na figura que se forma quando se coloca o bico do lápis ou da caneta sobre uma folha de papel. A figura assim obtida é um ponto.

Este não tem medida e pode considerar-se uma medida mínima do campo visual.

-

por exemplo, num fio elástico que se estica infinitamente nos dois sentidos, mantendo sempre a mesma direcção; esta representação dá-nos a ideia intuitiva do conceito de “recta”:

-

por exemplo, no tampo duma mesa que se prolonga infinitamente em todas as direcções e sentidos; esta representação dá-nos a ideia intuitiva do conceito de “plano”:

Observação:

r

s

p

O

t

Por um ponto, passam infinitas rectas

Notação: •

Para representar graficamente um ponto, usa-se o sinal de “ponto final” da escrita comum, ou uma “cruzinha”, 158

acompanhado

de

uma

letra

maiúscula

do

alfabeto.

Indiquemos, por exemplo, os pontos A e P:

.

A P X

•

Para representar uma recta usa-se uma linha “direita” acompanhada de uma letra minúscula do alfabeto, ou por

duas letras maiúsculas, indicando cada uma delas, um ponto dessa recta. Representemos, por exemplo, a recta r e a recta que passa pelos pontos A e B:

r

B A

•

Para

representar

um

plano

usa-se

um

paralelogramo

(quadrilátero com dois pares de lados paralelos) acompanhado duma letra maiúscula do nosso alfabeto ou uma letra minúscula do alfabeto grego. Representemos, por exemplo, o plano Q e o plano β:

Q)

(β

Postulados de Euclides: 1. Dados dois pontos, há um segmento de recta que os une.

2. Um segmento de recta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma recta.

159

3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada.

4. Todos os ângulos rectos são iguais.

5. Se uma linha recta cortar duas outras rectas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois rectos, então essas duas rectas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos. r

s

β

α t

Se a soma das medidas dos ângulos α e β for inferior a 180º, então as rectas s e t cruzam-se do mesmo lado em que se encontram este dois ângulos.

Definição:

Uma figura geométrica é um conjunto de pontos no plano.

Definição:

Um segmento de recta é a figura geométrica formada por dois pontos duma recta e por todos os outros situados entre aqueles dois. O segmento de recta é representado por aqueles dois pontos que se chamam extremos do segmento.

B

A Notação: Para representar este segmento usamos a notação AB . Para indicar a sua medida, ou seja, o seu comprimento, usamos a notação

AB .

160

Definição:

Dois segmentos de recta dizem-se congruentes quando têm a mesma medida.

Actividades (2) 1. Explique a diferença entre “conceitos primitivos” e “conceitos definidos” na geometria Euclidiana.

2. Explique a diferença entre “Axiomas”, “Postulados” e “Teoremas”.

3. Investigue dados históricos relacionados com a geometria euclidiana.

4. Das seguintes linhas, identifique as linhas rectas e as curvas: a)

b)

c)

d)

e)

5. Nas figuras seguintes, indique os segmentos de recta e as linhas curvas que as compõem, usando uma cor para os segmentos e outra cor para as curvas: a)

b)

c)

161

d)

e)

9.3.

Posição horizontal e vertical de rectas e objectos

Recursos de aprendizagem Introdução: No nosso dia a dia, os objectos encontram-se colocados em diferentes posições. Uma pessoa, por exemplo, pode estar de pé ou estar deitada, para além de poder assumir outras posições. Em Geometria também se estudam os objectos colocados em diferentes posições. Porém, há duas posições muito importantes que são a posição horizontal e a posição vertical.

Posição horizontal: Diz-se que uma recta se encontra na posição horizontal quando ela se alinha pelo horizonte, ou seja, a sua posição é idêntica à da água em repouso.

s

Duma forma “mais ampla”, também se diz que uma recta está na posição horizontal quando ela está desenhada de tal modo que assume a mesma posição da recta que passa pelos nossos olhos:

A recta s encontra-se na posição horizontal.

s

162

Esta ideia estende-se a outros objectos que têm uma forma que, de certo modo, permite que sejam entendidos como aproximações de uma recta: pessoas, postes de iluminação, barrotes, etc. Assim, se um poste está deitado no chão, diz-se que está na posição horizontal.

Posição Vertical:

Diz-se que uma recta se encontra na posição vertical

quando a sua posição é a mesma que a do “fio-de-prumo”:

r

Duma forma “mais ampla”, também se diz que uma recta está na posição vertical quando ela está desenhada de tal modo que cruza a direito (sem inclinação) a recta que passa pelos nossos olhos:

r A recta r encontra-se na posição vertical

Do mesmo modo, esta ideia também se estende a outros objectos que têm uma forma que, de certo modo, permite que sejam entendidos como aproximações de uma recta, como se disse acima. Assim, se um poste está “de pé”, colocado direito em relação ao solo, diz-se que está na posição vertical.

Construção de rectas paralelas e concorrentes (oblíquas e perpendiculares) Se considerarmos mais do que uma recta, podemos falar da posição que elas assumem umas em relação às outras, indicando por exemplo, se elas têm ou não algum ponto comum.

163

Rectas Paralelas: Definição:

Duas rectas dizem-se paralelas se elas não têm nenhum ponto comum.

r

s As rectas r, s e t são paralelas entre si.

t

Notação: Para indicar que as rectas r e s são paralelas usa-se a notação: r // s.

As linhas de transporte de energia entre dois postes, quando bem esticadas, dão-nos uma ilustração aproximada de rectas paralelas.

Rectas Concorrentes: Definição:

Duas rectas dizem-se concorrentes se elas têm um ponto comum. p m A

B

q

n

A rectas m e n são concorrentes pois têm um ponto comum A

164

A rectas p e q são concorrentes pois têm um ponto comum B

As rectas concorrentes podem ser oblíquas ou perpendiculares entre si. As rectas m e n são oblíquas entre si, enquanto que as rectas p e q são perpendiculares entre si.

Construção de rectas paralelas e perpendiculares: Para construir com rigor rectas paralelas ou perpendiculares entre si, usa-se uma régua e um esquadro.

Actividades (3) 1. Desenhe, na mesma folha de papel,

uma recta vertical e outra

horizontal. Construir, com rigor, 5 rectas paralelas a cada uma daquelas, com a distância de 0,5 cm entre cada recta construída.

2. Desenhe uma recta r e marque nela 5 pontos A, B, C, D e E. Construa, com rigor, rectas perpendiculares a r, que passem por estes pontos.

3. Diga qual a posição relativa das rectas construídas no exercício anterior.

4. Diga qual a posição relativa das seguinte rectas: a)

b)

c)

d)

b r

m

q

c n

s

p d

r t

165

Movimentos do Plano

Recursos de aprendizagem Movimentos do Plano que mantêm as medidas (Isometrias):

Simetria Axial

Simetria Central

Rotação

Translação

Simetria Axial

Definição: Seja uma recta d . Se quaisquer dois pontos A e A´: - estiverem situados numa perpendicular a d , mas em semi-planos d

diferentes definidos por esta recta e se

A

- forem equidistantes da recta d, então os pontos dizem-se simétricos em relação à d.

A´ M

L O

À recta d chama-se Eixo de Simetria.

B

O ponto L, intersecção da perpendicular MO com a recta d, chama-se Base da Perpendicular.

Definição: Uma Simetria Axial de Eixo r é uma aplicação dum dos semiplanos definidos por uma recta r no outro, pela qual: -

os pontos situados numa perpendicular à recta r se sobrepõem aos pontos da perpendicular situados no outro semi-plano;

-

um ponto e sua imagem são equidistantes da base da perpendicular.

166

B´

Definição: A figura que se sobrepõe a si própria pela simetria axial chama-se Figura Axialmente Simétrica ou Figura Com Eixo de

Simetria.

M L

Figura com Eixo de Simetria L

Figura com Eixo de Simetria M

Simetria Central

Definição: Uma Simetria Central de Centro em O é uma aplicação do plano em si próprio de tal modo que: -

a imagem O´ do ponto O, coincide com o próprio ponto O;

-

a imagem do ponto A

é o ponto A´, diferente de A, que

pertence à recta AO. -

Definição:

AO = A´O

A

O

A´

A figura que se sobrepõe a si própria pela simetria

central chama-se Figura Centralmente Simétrica ou Figura com

Centro de Simetria.

167

Rotação

Definição: Uma Rotação de Centro em J e Ângulo α , é uma aplicação do plano em si próprio de tal modo que: - a imagem J´ do ponto J coincide com o próprio ponto J; - a imagem X´ dum ponto X qualquer do plano pertence à semirecta JX´ que faz com a semi-recta JX um ângulo de medida α .

- JX = JX ´

Translação no Plano →

Definição: Seja P( x, y) um ponto qualquer do plano coordenado E e v (h, k ) um vector. A transformação P → P´ tal que P( x, y ) → P´(x + h, y + k ) chama-se →

Translação de vector v . Este vector designa-se “Vector de translação” .

Exemplo: →

v

A´ →

A

v

B´ B C

168

C

Actividades (4)

1. Construa figuras simétricas ao triângulo equilátero ABC, tomando como eixo de simetria: a) a recta AB; b) a recta AC; c) a recta BC. Que figura forma a união da figura dada inicialmente com as figuras obtidas nas 3 alíneas?

2. Construa a figura simétrica às figuras dadas, assumindo como eixo de simetria a recta indicada. a)

b)

c)

r

r

r

3. Terá centro de simetria: a) um segmento? b) uma recta? c) uma semi-recta? d) um par de rectas concorrentes? Nos casos afirmativos, indique onde se encontram os referidos centros de simetria.

4. Quais das seguintes figuras têm: I) Centro de simetria? II) Eixo de simetria?

III) Mais do que um eixo de simetria? a)

b)

c)

d)

h) e)

f)

169

g)

i)

j)

l)

m)

n)

9. Seja a recta m e os pontos X e Y situados no mesmo semi-plano. Sejam os pontos X1 e Y1 as suas imagens pela simetria de eixo m. Serão simétricos, pela mesma simetria, os seguintes segmentos: a) XY e X 1Y1 ; b) XX 1 e YY1 ; c) XY1 e YX 1 ?

Justifique.

10.

Desenhe um ângulo recto. Construa a sua imagem pela rotação com centro no seu vértice e ângulo de 45º.

11.

Construa as figuras obtidas pela rotação das que se seguem de acordo com as indicações de cada alínea:

.O a)

b)

c)

A

d)

e) .

.O

P

Centro O α = 90º

Centro P α = - 45º

12.

O

Centro A α = -180º

Centro O α = 60º

Centro O α =180º

Determine a imagem de cada um dos seguintes pontos, pela translação T(-2,7): a) P(3, -2); b) Q(4,6); c) R(-3,11).

12.13. A translação T no plano transforma o ponto A(-2,3) no ponto B(4,6). Qual a imagem, do ponto P(2,-3) pela mesma translação? →

13.14. Construa a imagem das figuras indicadas, pela translação de vector v : 170

→

→

v

v

171

9.4.

Ângulos e sua classificação

Recursos de aprendizagem Definição:

Um ângulo é a figura geométrica constituída pelos pontos do plano que se situam entre duas semi-rectas com origem comum.

A As semi-rectas OA e OB têm origem comum O e determinam dois ângulos.

O B

O ponto O chama-se vértice do ângulo e as semi-rectas OA e OB chamam-se lados do ângulo.

Observação: Duas semi-rectas com origem comum determinam sempre dois ângulos.

Para indicarmos a que ângulo nos estamos a referir coloca-se no ângulo que se deseja um pequeno arco com centro no vértice do ângulo: A

A

O

ou B

Notação:

O B

Podem ser usadas três letras maiúsculas, por exemplo AOB para representar um ângulo, sendo que a letra do meio, neste caso O, representa sempre o vértice, a primeira letra A representa um ponto dum lado e a terceira letra B representa um ponto do segundo lado do ângulo.

172

A

O

B

Usamos a notação < para um ângulo, como por exemplo: <AOB e lemos “ângulo AOB”.

Também se representa um ângulo usando uma letra minúscula do alfabeto grego, que é colocada no interior do ângulo, junto ao vértice.

α

Neste caso usamos a notação < α e lemos “ângulo α”.

Medição de ângulos: A unidade usual de medida de ângulos, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”.

Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ (minuto) equivale a 60”(segundos).

O objecto capaz de medir o valor de um ângulo é o transferidor, podendo ele ser de “meia volta” (180º) ou volta inteira (360º).

173

Classificação de ângulos: Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas:

Agudo: ângulo com medida menor que 90º.

Recto: ângulo com medida igual a 90º.

Obtuso: ângulo com medida maior que 90º.

Raso: ângulo com medida igual a 180º.

Giro: ângulo com medida igual a 360º.

agudo

recto

obtuso

raso

Actividades (5) 1. Classifique os ângulos internos das seguintes figuras:Talvez se deva pôr letras para identificar os ângulos mais facilmente a)

b)

c) 174

d)

e)

2. Recolha 3 logotipos de empresas, marcas comerciais ou figuras afins (como, por exemplo, a figura ao lado) que tenham figuras geomÊtricas, meça e classifique cada um dos ângulos internos existentes nesses logotipos.

175

9.6.

Figuras geométricas: Polígonos, triângulos e quadriláteros. Composição e decomposição de figuras geométricas.

Recursos de aprendizagem Polígonos: Definição:

Chama-se Linha Poligonal à união de segmentos de recta A0A1, A1A2, A2A3,...,An-1An, tais que o extremo de cada segmento, excepto o último, é a origem do segmento seguinte, e segmentos consecutivos não pertencem à mesma recta.

Exemplos: A0

A1

A1 A3

A5

A2

A1

A2

A5

A

A3 A2 A4 (a)

Definição:

A3

A4

(b)

A3 (c)

Se a origem e o extremo duma linha poligonal coincidem, ela diz-se

Linha Poligonal Fechada. Exemplo: (b) e (c) acima.

Definição:

Chama-se Polígono ou n-Gono, à figura geométrica formada por uma linha poligonal fechada simples de n segmentos, e por todos os pontos no seu interior.

Definição:

Um polígono diz-se Convexo se cada um dos seus ângulos internos medir menos que 180º.

176

Exemplos:

Hexágono Convexo

Definição:

Hexágono Não-Convexo

Dois polígonos dizem-se congruentes se todos os lados de um tiverem a mesma medida que os respectivos lados do outro e se todos os ângulos de um tiverem a mesma medida que os respectivos ângulos do outro.

Definição:

Chama-se Polígono Regular ao polígono que tem todos os seus lados congruentes (equilátero) e todos os seus ângulos também congruentes (equiângulo).

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo: Si = (n − 2).180º , sendo n o número de lados do polígono

Soma dos ângulos externos de um polígono convexo: Se = 360º .

Propriedades dos polígonos regulares: Propriedade 1:

Todo o polígono regular tem circunferência inscrita e circunferência circunscrita; ambas têm o mesmo centro, que é o centro do polígono regular.

Propriedade 2:

Num

polígono regular,

intersectam

num

todas

as

suas mediatrizes

se

ponto, que coincide com o centro do

polígono.

(A definição de “mediatriz dum segmento” encontra-se no início do Tema 9.7).

177

Propriedade 3:

Num

polígono regular,

intersectam

num

todas

as

suas bissectrizes

se

ponto, que coincide com o centro do

polígono.

(A definição de “bissectriz dum ângulo” encontra-se no início

do Tema 9.7).

Observação 1:

Um polígono poder ser equiângulo e não ser equilátero.

Exemplo:

Observação 2:

Um polígono poder ser equilátero e não ser equiângulo

Exemplo:

Triângulos:

Definição:

Chama-se triângulo a todo o polígono de três lados.

A Também se define triângulo como a figura geométrica

formada por uma linha poligonal fechada de três segmentos e por todos os pontos do plano situados no interior desta linha.

Elementos do triângulo: Um triângulo tem os seguintes elementos: - 3 vértices: pontos A, B e C; - 3 lados: segmentos AB, AC e BC; - 3 ângulos: <ABC, <ACB e < BAC.

178

C

B

Notação:

Representa-se um triângulo indicando-se os seus 3 vértices e colocase, antes das letras, o símbolo que representa um pequeno triângulo: ∆ ABC.

Classificação dos triângulos: Os triângulos classificam-se quanto à medida dos seus lados e quanto à medida de seus ângulos.

Classificação de um triângulo quanto à medida de seus lados: Triângulo equilátero: possui os três lados com medidas iguais.

Triângulo isósceles: possui dois lados com medidas iguais.

Triângulo escaleno: possui os três lados com medidas diferentes.

A

D G

B

C

E

F

AB = AC = BC

DE = DF

Equilátero

Isósceles

H

I

GH ≠ GI ≠ HI Escaleno

Classificação de um triângulo quanto à medida de seus ângulos: Triângulo acutângulo: possui todos os ângulos com medidas menores que 90º, ou seja, todos os seus ângulos são agudos.

Triângulo retângulo: possui um ângulo com medida igual a 90º.

Triângulo obtusângulo: possui um ângulo obtuso, ou seja, com medida maior que 90º.

179

Acutângulo

Rectângulo

Obtusângulo

Resumo: Um triângulo pode classificar-se segundo: O comprimento dos seus lados

Tem os três lados com Tem pelo menos dois lados com o mesmo comprimentos comprimento- Isósceles diferentes

A amplitude dos seus ângulos

Escaleno

Isósceles - não

Equilátero

(Todos os lados têm comprimentos diferentes)

equilátero (Só dois lados com o mesmo comprimento)

(Três lados com o mesmo comprimento)

Acutângulo (Todos os ângulos são agudos)

Rectângulo (Tem um ângulo recto)

Obtusângulo (Tem um ângulo obtuso)

Quadriláteros: Definição:

Um quadrilátero é um polígono de quatro lados.

Classificação de quadriláteros: Os quadriláteros classificam-se de acordo com a existência ou não de lados paralelos.

Assim, os quadriláteros são divididos em dois grandes conjuntos: os que têm pelo menos um par de lados paralelos (trapézios) e os que não têm nenhum par de lados paralelos (não trapézios).

180

Definição:

Um trapézio é um quadrilátero que tem pelo menos um par de lados paralelos.

Observação: Os trapézios podem ter somente um par de lados paralelos. São a estes que nos referimos, em geral, quando falamos em “trapézios propriamente ditos”. Se o trapézio tiver dois pares de lados paralelos, não usamos, em geral, a designação de trapézio para o nomearmos, mas sim a designação de paralelogramo, como se vê pela definição a seguir. Nos “trapézios propriamente ditos”, os lados paralelos chamam-se bases do trapézio.

Definição:

Um paralelogramo é um quadrilátero com dois pares de lados paralelos.

A

D

AD // BC AB // CD B

C

Observação: Como se disse acima, um paralelogramo é um caso especial dum trapézio. Assim, todos o paralelogramos são trapézios, mas nem todos os trapézios são paralelogramos.

Propriedade: Num paralelogramo, os lados paralelos são congruentes entre si.

A

D

AD ≅ BC AB ≅ CD B

C

Propriedade: Num paralelogramo, os ângulos internos opostos são congruentes entre si.

181

A

D ∠ABC ≅ ∠ADC ∠BAD ≅ ∠BCD

B

C

Propriedade: Num paralelogramo, os ângulos adjacentes ao mesmo lado são suplementares.

A

B

D

C

Classificação dos “trapézios propriamente ditos”: Definição:

Um trapézio em que os lados diferentes das bases são congruentes, diz-se trapézio isósceles.

A

D AD // BC AB = CD

B

C

Propriedade: Num trapézio isósceles, os ângulos adjacentes a cada uma das bases são congruentes entre si. Na figura acima temos então: ∠ABC ≅ ∠DCB ∠BAD ≅ ∠CDA

Definição:

Um trapézio em que um dos ângulos internos é um ângulo recto, diz-se trapézio rectângulo.

A

D

B

C 182

Classificação dos Paralelogramos: Os paralelogramos dividem-se também em dois grandes conjuntos: o conjunto dos paralelogramos que não têm nenhum ângulo recto e o conjunto dos que têm pelo menos um ângulo recto. É aos paralelogramos do primeiro conjunto que chamamos, em geral, “paralelogramos”. Para os do segundo conjunto usamos a designação de “rectângulos”, como se vê numa das definições a seguir.

Definição:

Um losango é um paralelogramo com todos os lados congruentes.

Propriedade: As diagonais dum losango são perpendiculares entre si.

d1

d2

d1 ⊥ d 2

Definição:

Um rectângulo é um paralelogramo com todos os ângulos rectos.

Observação: De facto, para definirmos rectângulo, é suficiente dizermos que é um paralelogramo com pelo menos um ângulo recto, pois esta afirmação, em conjunto com a definição de paralelogramo, vai obrigar a que todos os outros ângulos sejam também rectos.

Definição:

Um quadrado é um rectângulo com todos os lados congruentes.

Observação: É claro que se podem elaborar outras definições equivalentes. Por exemplo, pode-se definir quadrado como:

183

- Um paralelogramo com um ângulo recto e todos os lados congruentes.

- Um losango com um ângulo recto.

Resumo da classificação dos quadriláteros:

Circunferência e círculo Definição:

Circunferência é o conjunto dos pontos do plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo O denominado centro da circunferência. À distância r chama-se raio da circunferência.

Definição:

Círculo é o conjunto dos pontos do plano que estão localizados a uma distância igual ou inferior a r , de um ponto fixo denominado o centro do círculo. À distância r chama-se raio do círculo.

184

O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma.

Definição:

Corda duma circunferência é todo o segmento de recta cujos extermos se situam na circunferência.

Definição:

Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. O diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.

D corda E diâmetro C

O raio

A

B

Arco: Dois pontos na circunferência

D A

determinam sempre dois arcos.

Se estes pontos não forem extremos dum diâmetro, temos então um “arco menor” e um

arco maior

O

C arco menor B

“arco maior”.

Na figura está indicado o arco menor AB ou ACB e o arco maior BDA. O ponto D está no arco maior BDA enquanto o ponto C não está no arco maior mas sim no arco menor AB. Em geral, o arco menor é representado somente por duas letras indicadas no sentido horário

185

enquanto que o arco maior é frequentemente representado por três letras, indicadas também naquele mesmo sentido.

Medição de arcos: Um arco é uma porção de circunferência, ou seja, é uma linha e, como tal, tem um determinado comprimento, que é medido usando as medidas de comprimento m, dm, cm, etc.

Chama-se a atenção para o facto de bibliografia vária referir que a unidade usual de medida de arcos é a mesma que a usada para ângulos.

Assim, para medir arcos usam o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos que são o minuto ’ e o segundo ”. Esta situação carece de rigor científico e reflecte um “abuso de linguagem”. Neste caso, não se está a medir o arco; está-se sim a referir o “valor angular do arco”, ou seja, o valor do ângulo ao centro correspondente ao arco em causa. Porém, esta noção de “valor angular” não é rigorosa, pois dois arcos de diferentes comprimentos podem corresponder ao mesmo ângulo ao centro, ou seja, dois arcos de diferentes comprimentos podem ter o mesmo valor angular, o que cria bastantes equívocos.

Na figura ao lado, os arcos AB e CD têm comprimentos diferentes mas têm o mesmo valor angular, pois correspondem ao mesmo ângulo ao centro. Para evitar esta confusão, vários autores sugerem que não se fale do valor angular dum arco e se refira somente como medida, o seu comprimento.

186

Composição e decomposição de figuras geométricas:

Em determinadas situações pode ser vantajoso juntar diversas figuras geométricas e compor com elas uma nova figura cujas propriedades conhecemos, por exemplo. Este processo denomina-se “composição de figuras geométricas”. O processo inverso, através do qual uma figura geométrica se divide em várias outras denomina-se “decomposição de figuras geométricas”.

Exemplo: 6 triângulos equiláteros podem-se juntar e compor um hexágono regular. Inversamente, um hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros.

A composição e a decomposição de figuras torna-se útil quando verificamos que através dum daqueles processos podemos obter figuras conhecidas mais simples ou mais adequadas aos dados que nos foram fornecidos, o que nos facilita o trabalho.

Actividades (6) i. Decomponha em figuras geométricas os logotipos recolhidos nas actividades do tema anterior anterior. Classifique as figuras obtidas na decomposição. ii. Usando a informação sobre a soma dos ângulos internos dum polígono, diga quanto mede a soma dos ângulos internos de: a) um triângulo b) um quadrilátero c) um polígono de 5 lados (pentágono) d) um polígono de 6 lados (hexágono)

187

iii. Meça os ângulos internos dos polígonos do exercício anterior e verifique o resultado obtido naquele exercício. iv. Meça os ângulos externos das figuras do exercício anterior e verifique que a sua soma é igual a 360º, independentemente de que polígono se trate. v. Trace uma circunferência e marque nela: - uma corda CD; - um diâmetro AB, paralelo à corda CD; - uma corda EF perpendicular ao diâmetro AB. vi. No exercício anterior, se o ângulo ao centro COD, medir 120º, quanto mede o ângulo inscrito CED? Quanto mede o ângulo ao centro AOB? vii. Desenhe um triângulo: isósceles rectângulo, escaleno obtusângulo e escaleno acutângulo.

188

9.7.

Linhas notáveis num triângulo: mediatrizes, alturas, medianas, bissectrizes e linhas médias. Principais Teoremas em triângulos.

Recursos de aprendizagem Definição:

Mediatriz dum segmento é a recta perpendicular ao segmento, que passa pelo seu ponto médio.

m m

A A

Propriedade:

M

B

M

B

Os pontos da mediatriz dum segmento são equidistantes dos extremos desse segmento. Do mesmo modo, se um ponto do plano for equidistante dos extremos dum segmento, então esse ponto pertence à mediatriz desse segmento.

Demonstremos a primeira parte desta propriedade:

Demonstração: Passos

Justificação

Seja P um ponto da mediatriz.

Pela definição de mediatriz, pela

Logo, os triângulos AMP e BMP

definição de triângulo rectângulo e

são triângulos rectângulos

pelo critério de congruência de

congruentes.

triângulos l.a.l.

189

Uma vez que os triângulos são Por serem lados correspondentes congruentes, então

AP = BP , de triângulos congruentes.

cqd.

Exercício: Demonstre o recíproco, ou seja, a segunda parte da propriedade.

Construção da Mediatriz dum segmento: Para se fazer uma construção rigorosa da mediatriz dum segmento, usa-se régua e compasso, e seguem-se os passos: 1.

Construir um segmento de recta qualquer, AB

2.

Utilizando o compasso, traçar duas circunferências, uma de centro em A e raio superior a

AB 2

e outra de centro em B e

mesmo raio que a anterior.

3.

Traçar a recta que passa pelos dois pontos de interseção das circunferências. Esta recta é a mediatriz do segmento. Na figura , a recta m é a mediatriz do segmento AB.

190

Definição:

Bissectriz dum ângulo é a semi-

B

recta com origem no vértice do b

ângulo e que o divide em dois ângulos da mesma medida.

A

Propriedade:

O

Os pontos da bissectriz dum ângulo são equidistantes dos lados desse ângulo. Do mesmo modo, se um ponto do plano for equidistante dos lados dum ângulo, então esse ponto pertence à bissectriz desse ângulo.

Construção da bissectriz dum ângulo: Aqui também vamos usar a régua e o compasso e seguir os passos: 1. Construir um ângulo qualquer de vértice O; 2. Com centro em O, traçar uma circunferência. Sejam A e B os pontos de intersecção da circunferência com o ângulo; 3. Traçar, por A e B, perpendiculares a cada um dos lados do ângulo.

Seja C o ponto de intersecção destas perpendiculares.

4. A semi-recta OC é a bissectriz do ângulo.

Definição:

Altura num triângulo é o segmento de perpendicular que une um vértice do triângulo ao lado oposto a ele (ou seu prolongamento). Um triângulo tem, assim, 3 alturas, uma a partir de cada vértice.

191

C C

Ha H Hc Hb

Ha

Hc B

A

B

A

Hb

Definição:

Mediana num triângulo é

B

todo o segmento que une um MB

vértice do triângulo ao ponto T

médio do lado oposto a este

S G

vértice.

MC

MA A

Definição:

R

C

Cada uma das bissectrizes dos ângulos internos dum triângulo diz-se

bissectriz do triângulo.

Definição:

Linha média dum triângulo é cada um dos segmentos de recta que une os pontos médios de dois lados desse triângulo.

A L M B N C

L, M e N são os pontos médios dos respectivos lados. Os segmentos LM , LN e MN são as linhas médias do triângulo.

192

Alguns Teoremas sobre Triângulos: Teorema nº. 1:

A soma dos comprimentos de dois lados dum triângulo é sempre maior que o comprimento do terceiro lado.

Teorema nº. 2:

Num triângulo o ângulo de maior medida opõe-se ao lado de maior medida e vice-versa.

Teorema nº. 3:

A soma das medidas dos ângulos internos dum triângulo é igual a 180º.

Teorema nº. 4:

A medida de cada ângulo externo dum triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.

Teorema nº. 5:

A soma das medidas dos ângulos externos dum triângulo é igual a 360º.

Teorema nº. 6:

Se dois lados dum triângulo forem congruentes então os ângulos opostos a eles também são congruentes e viceversa.

Teorema nº. 7:

As mediatrizes dum triângulo intersectam-se num ponto.

Teorema nº. 8:

O ponto de intersecção das B

mediatrizes dum triângulo é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. A este

ponto

circuncentro.

193

O

chama-se A

C

Teorema nº. 9:

As bissectrizes dum triângulo intersectam-se num ponto, chamado incentro.

Teorema nº. 10:

O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Este ponto está à mesma distância

(equidistante) dos lados do triângulo.

B

I

A

Teorema nº. 11:

C

As alturas (ou seus prolongamentos) dum triângulo intersectam-se num ponto. A este ponto chama-se C

ortocentro.

Ha

Ha, Hb e Hc são as H

alturas do triângulo e

Hc

intersectam-se no Hb

ponto H, que é o

A

ortocentro.

Teorema nº. 12:

As medianas dum triângulo intersectam-se num ponto.

A este ponto chama-se baricentro ou centro de

gravidade do triângulo.

Teorema nº 13:

O baricentro dista dois terços do vértice da mediana correspondente (Teorema de Ceva).

194

B

AT ≅ TB

B

BS ≅ SC AR ≅ RC M A ∩ MB ∩ MC

MB

= {G}

T

2 BG = BR 3 1 GR = BR 3 BG = 2. GR

Teorema nº.14:

S G

MC

MA A

R

C

Num triângulo isósceles a mediatriz, a altura, a mediana em relação à base e a bissectriz do ângulo oposto à base pertencem à mesma recta.

Teorema nº. 15:

Num triângulo equilátero, a mediatriz, a altura, a mediana em relação a cada lado e a bissectriz do ângulo oposto a ele pertencem à mesma recta.

Teorema nº. 16:

Num triângulo, qualquer linha média é paralela a um lado e o seu comprimento é igual a metade do comprimento desse lado.

Sabendo que:

A E D

D é ponto médio de AC , i.e., AD = DC

E é ponto médio de AB , i.e., AE = EB

F é ponto médio de BC , i.e., BF = FC

B

Demonstra-se que:

F C

195

1 BC 2 1 EF//AC e EF = AC 2 1 FD//AB e FD = AB 2

DE//BC e DE =

(Teorema de Pitágoras) Num triângulo rectângulo,

Teorema nº. 17:

o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. a2 = b2 + c2

B c

a

A

C b

Actividades (7) 1. Construa com rigor, usando régua, esquadro e compasso: a) as mediatrizes dum triângulo acutângulo b) as medianas dum triângulo rectângulo c) as alturas dum triângulo obtusângulo d) as mediatrizes, alturas, medianas, bissectrizes e linhas médias dum triângulo equilátero.

2. Em cada um dos triângulos desenhados acima, meça os ângulos internos e e verifique o teorema sobre a soma dos ângulos internos dum triângulo.

3. Em cada um dos triângulos desenhados acima, meça os ângulos externos e e verifique o teorema sobre a soma dos ângulos externos dum triângulo.

196

4. Num triângulo isósceles, um dos ângulos adjacentes à base mede 40º.

Quanto medem os outros ângulos?

5. Num triângulo rectângulo, um dos ângulos mede 30º. Quanto medem os outros ângulos?

6. É possível construir um triângulo cujos lados meçam: a) 5 cm, 4 cm e 3 cm? b) 5 cm, 8 cm e 6 cm? c) 5 cm, 2 cm e 9 cm? d) 1 cm, 2 cm e 3cm?

7. Nos casos em que respondeu afirmativamente no exercício anterior, construa os referidos triângulos, usando régua e compasso.

8. Demonstre que a medida de qualquer ângulo externo do triângulo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

9. Demonstre que a soma dos ângulos externos dum triângulo é igual a 360º.

Actividades facultativas 1. Num triângulo ABC, as medianas AD, BE e CF intersectam-se no ponto G. Se AG = 8cm e GE = 3cm , calcule o comprimento das medianas AD e BE. 197

2. Num triângulo ABC, os pontos D, E e F são os pontos médios dos respectivos lados. Se EF = 5cm , FD = 4cm e DE = 3cm , determine a medida de cada um dos lados do triângulo.

3. Construa a circunferência inscrita num triângulo rectângulo.

4. Construa a circunferência circunscrita a um triângulo obtusângulo.

5. Prove que o processo de construção da bissectriz dum ângulo apresentado em recursos de aprendizagem deste tema, é um processo correcto, ou seja, que a semi-recta obtida é de facto a bissectriz do ângulo. (Sugestão: use os conhecimentos sobre o triângulo rectângulo e congruência de triângulos).

6. Demonstre que a soma dos ângulos internos dum triângulo é igual a 180º.

7. Demonstre que no triângulo isósceles, as duas medianas que partem dos vértices das bases são congruentes (com a mesma medida).

198

9.8.

Perímetro de figuras planas

Recursos de aprendizagem Introdução: Imaginemos a seguinte situação: O dono de um terreno quer saber quantos metros de arame precisa para cercar um terreno de pastagem com formato retangular. Como ele deveria proceder para chegar a uma conclusão? Intuitivamente, concluímos que ele tem que determinar as medidas de cada lado do terreno e então, somá-las, obtendo o quanto seria gasto. A esse procedimento denominamos “calcular o perímetro do terreno”.

Definição:

Perímetro é a medida de comprimento de um contorno ou a soma das medidas dos lados de uma figura plana.

Geralmente, o perímetro de uma figura é representado por P. 10 cm

Assim, o perímetro da figura ao lado será: 9 cm

P = 10 cm + 9 cm + 10 cm + 9cm = 38 cm

Exemplo 1:

9 cm

10 cm

Calculemos o perímetro da figura abaixo:

P = 7 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm + 5 cm = 26 cm 199

Exemplo 2:

Se o perímetro de um quadrado é de 64 cm, qual é a medida de cada lado desse quadrado?

Sabemos que o quadrado é um quadrilátero com todos os lados congruentes. Dessa forma, para determinar a medida de cada lado teremos que dividir o perímetro por 4.

Assim, L = 64 ÷ 4 = 16 cm

Actividades (8) 1. Calcule o perímetro dum triângulo equilátero cujo lado mede 12 cm.

2. Calcule o perímetro dum losango de lado igual a 7 cm.

3. O perímetro dum quadrado é igual a 16 cm. Quanto mede o seu lado?

4. Calcule o perímetro dum paralelogramo em que dois dos seus lados medem 9 cm e 3 cm.

5. O perímetro dum triângulo isósceles mede 32 cm. Sabendo que a base mede 8 cm, quanto mede cada um dos outros lados?

6. Calcule o perímetro dum triângulo DEF formado pelas linhas médias dum triângulo ABC, cujos lados medem 12 cm, 10 cm e 8 cm.

200

9.9.

Área de figuras planas

Recursos de aprendizagem Introdução: Imaginemos a seguinte situação: Uma família resolve trocar o piso da sala de sua residência. A sala mede 4 metros de largura e 5,5 metros de comprimento. Sabe-se que o ladrilho desejado é quadrado, com 0,25 m de lado. Quantos ladrilhos serão necessários para cobrir o piso da sala inteira?

Definição:

Área é a denominação dada à medida de uma superfície.

Na situação acima, referimo-nos às áreas da sala e do ladrilho. O nosso problema resume-se ao cálculo das áreas da sala e do ladrilho e, finalmente, ao cálculo da razão entre as duas áreas obtidas.

Para resolvermos problemas deste tipo, temos que estudar como se calcula a área das figuras geométricas planas mais comuns. No fim, depois de termos visto como se calculam estas áreas, resolveremos detalhadamente o problema colocado na introdução.

Cálculo da Área do Quadrado Como dissemos atrás, todo o quadrado é também um losango, mas nem todo

losango é um quadrado, do mesmo modo que todo quadrado é um rectângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado.

O quadrado é um losango, que além de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Observe-se ainda que além de perpendiculares, as suas diagonais também são iguais.

201

Vamos agora ver como calcular a área dum quadrado e, depois, veremos como se pode passar estender a mesma fórmula ao rectângulo e ao paralelogramo.

Antes de falarmos em áreas devemos saber qual a sua unidade de medida.

Unidade de área: Para unidade de medida de área traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento:

Chamamos a esta unidade “1 unidade quadrada”. Esta unidade diz-se “metro quadrado”, “decímetro quadrado”, “centímetro quadrado”, etc., se a unidade de comprimento do seu lado for igual a 1m, 1dm ou 1 cm, respectivamente.

Seja o quadrado ABCD, cujo lado mede 3 unidades de comprimento. O quadrado ABCD pode ser dividido em 9 quadrados, com 1 unidade de área cada um deles.

1 unidade A área do quadrado ABCD é a soma das áreas destes 9 quadrados, represesentando, cada um deles, 1 uniddae de área. Logo, a área do quadrado ABCD será: 3+3+3 = 3x3=9

Assim, o número de unidades de área do quadrado ABCD é dado pelo produto do número de unidades de comprimento do seu lado, por si próprio.

202

Conclusão:

Para calcular a área dum quadrado, basta multiplicar a medida do seu lado por si mesma, ou seja, a área do quadrado é igual ao quadrado da medida do lado. Se o lado do quadrado medir l unidades, então a sua área será dada por:

S = l.l = l 2

Quando dispomos da medida das diagonais

d2

d1

do quadrado, podemos utilizar a fórmula, que se obtém usando, por exemplo, o Teorema de Pitágoras para calcular a medida da diagonal em função da medida do lado. No caso do quadrado, d1 = d 2 . Logo,

S=

d2 2

Exemplos: 1. O lado da tampa quadrada de uma caixa mede 17 cm. Qual a superfície desta tampa?

Do enunciado temos que a variável l é igual a 17: l = 17 Substituindo na fórmula temos: S = l 2 ⇒ S = 172 ⇒ S = 289 Portanto a superfície da tampa desta caixa é de 289 cm2.

2. A área de um quadrado é igual a 196 cm2. Qual a medida do lado deste quadrado?

Temos que S é igual a 196.

Utilizando a fórmula temos: S = l 2 ⇒ 196 = l 2 ⇒ l = ± 196 ⇒ l = ±14

203

Como a medida do lado não pode ser negativa, concluimos que o lado do quadrado mede 14 cm.

Cálculo da Área do Rectângulo: Por definição, o rectângulo é um quadrilátero equiângulo h

(todo os seus ângulos internos são iguais), cujos lados opostos são iguais.

b

Tal como fizemos para o quadrado, obviamente, aqui também teremos a mesma fórmula para calcular a área do rectângulo. A única diferença é que neste caso, os lados do rectângulo não têm todos a mesma medida: S = b + b + b + b + .... + b , donde vem que S = b.h

h vezes .

Exemplo: Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste terreno?

h=5 b = 25

Atribuindo 5 à variável h e 25 à variável b temos: 

Utilizando a fórmula: S = b.h ⇒ S = 25⋅ 5 ⇒ S = 125 A área deste terreno é de 125 m2.

Cálculo da Área do Paralelogramo

h

204

b

Seja h a medida da altura do paralelogramo em relação à base de medida b.

Como vimos atrás, o paralelogramo tem os lados opostos congruentes e paralelos.

Observando a figura, “transportemos” o triângulo

h

que se encontra à esquerda para o lado direito do paralelogramo que fica assim transformado num

b

rectângulo de dimensões iguais a h e b.

Com h representando a medida da sua altura em relação à base de medida b, a área do paralelogramo pode ser obtida, como a área dum rectângulo, multiplicando-se b por

h:

S = b.h

Exemplos 1. A medida da base de um paralelogramo é de 5,2 dm, sendo que a medida da altura é de 1,5 dm. Qual é a área deste polígono?

 h = 1,5 b = 5,2

Segundo o enunciado temos: 

Substituindo na fórmula: S = b.h ⇒ S = 5,2 ⋅ 1,5 ⇒ S = 7,8 A área deste polígono é 7,8 dm2.

2. Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base são respectivamente 10 cm e 2 dm?

h = 10 b = 20

Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm. Temos:  205

Substituindo na fórmula: S = b.h ⇒ S = 20⋅10 ⇒ S = 200 A medida da área deste paralelogramo é 200 cm2 ou 2 dm2.

Cálculo da Área do Losango Como vimos atrás, o losango é um tipo particular de

h

paralelogramo. Neste caso além dos lados opostos serem paralelos, todos os quatro lados são congruentes. b

Se tivermos o valor das medidas h e b, podemos utilizar a fórmula do paralelogramo para obter a área do losango:

S = b.h d1

Como se viu atrás, as diagonais do losango são perpendiculares d2

entre si.

Tal como fizemos para o quadrado, podemos também aqui calcular a área do losango a partir das suas diagonais, uma vez que as podemos escrever em função do lado do losango:

S=

d 1. d 2 2

Exemplos: 1. As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície?

Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que envolve as diagonais, cujos valores temos abaixo: 206

d1 = 10  d 2 = 15

Utilizando a fórmula temos: S =

d1. d 2 10.15 = = 75 2 2

A medida da superfície deste losango é de 75 cm2

2. Qual é a área de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja de 9 cm?

Neste caso, para o cálculo da área utilizaremos a fórmula do paralelogramo. Pelo

h =9 b = 12

enunciado temos que: 

Substituindo na fórmula: S = b.h ⇒ S = 12⋅ 9 ⇒ S = 108 A medida da área do losango é de 108 cm2.

Cálculo da Área do Triângulo: A letra h representa a medida da altura do

h

triângulo em relação ao lado de medida b, que vamos considerar de “base”.

b

Observando o triângulo, podemos ver que, se lhe “juntarmos” outro igual, mas noutra posição, formamos um paralelogramo de altura h em relação à base b. b h

h b

207

A área do triângulo será então igual a metade da área do paralelogramo: S=

b.h 2

A letra S representa a área ou superfície do triângulo.

No caso do triângulo equilátero, que possui os três

l

l

ângulos internos iguais, assim como os seus três lados, podemos utilizar a seguinte fórmula:

l 2

S=

l 4

3

Onde l representa a medida dos lados do triângulo.

Exemplos: 1. A medida da base de um triângulo é de 7 cm. Visto que a medida da sua altura em relação a esta base é de 3,5 cm, qual é a área deste triângulo?

h = 3,5  b=7

Do enunciado temos: 

Substituindo na fórmula: S =

b⋅h 7 ⋅ 3,5 ⇒ S= ⇒ S = 12,25 2 2

A área deste triângulo é 12,25 cm2.

2. Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a área deste triângulo equilátero?

208

Segundo o enunciado temos: l = 5 mm Substituindo na fórmula: S =

l2 52 3= 4 4

25 3 ≈ 10,8 4

3=

A área deste triângulo equilátero é de aproximadamente 10,8 mm2.

Cálculo da Área do Trapézio: Seja o trapézio ABCD, sendo AB//CD e h a sua altura: A

b1

B

h D

b2

E

F

C

Tracemos o segmento BF, paralelo a AE. Constatamos que o trapézio ficou decomposto em dois triângulos e um rectângulo. A soma das áreas de cada uma destas figuras dá-nos a área do trapézio: S ABCD = S ABCD = S ABCD =

h ⋅ DE 2

+ b1 ⋅ h +

DE + 2b1 + FC 2

AE ⋅ DE 2

+ AB ⋅ AE +

BF ⋅ FC 2

h ⋅ FC 2 ⋅h =

DE + b1 + b1 + FC 2

⋅h =

b1 + ( DE + b1 + FC ) 2

⋅h

b +b S ABCD = 1 2 .h 2

Conclusão:

A área dum trapézio é igual ao produto da semi-soma das medidas das suas bases, pela sua altura.

209

Cálculo da Área do Círculo: A divisão do perímetro de uma circunferência, pelo seu diâmetro resulta sempre no mesmo valor, qualquer que seja a circunferência.

r

Este valor irracional constante é representado pela letra grega minúscula

que se lê “pi”.

Por ser um número irracional, o número pi possui infinitas casas decimais. Para cálculos mais precisos, podemos utilizar o valor 3,14159265. Para cálculos com menos precisão, podemos utilizar 3,1416, ou até mesmo 3,14.

P = 2π .r

O perímetro de uma circunferência é obtido através da fórmula: O cálculo da área do círculo é realizado segundo a fórmula:

S = π .r 2

onde r

representa o raio do círculo.

Exemplos 1. A lente de uma lupa tem 10 cm de diâmetro. Qual é a área da lente desta lupa?

Do enunciado vem que o diâmetro da circunferência da lupa é igual a 10 cm, o que nos leva a concluir que o seu raio é igual a 5 cm, que corresponde à metade deste valor: r = 5 .

Substituindo-o na fórmula: S = π .r 2 = π .5 2 = 25 .π ≈ 78,54 A área da lente da lupa é de 78,54 cm2.

2. Um círculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milímetros quadrados ele possui de superfície?

Do enunciado, temos que o valor do raio r é igual a 8,52 mm.

Ao substituirmos o valor de r na fórmula teremos: S = π .r 2 = π .8,52 2 ≈ 228 ,05 210

A superfície do círculo é de 228,05 mm2.

Resolução Detalhada do Problema colocado no início deste tema, na página 31: Para resolvermos o referido problema, vamos calcular primeiro a área da sala: Para podermos utilizar a fórmula do cálculo da área de um rectângulo, vamos atribuir

h=4 b = 5,5

os 4 m da largura à letra h e os 5,5 m do comprimento à letra b: 

Substituindo na fórmula: S = b.h ⇒ S = 5,5 ⋅ 4 ⇒ S = 22 Agora que sabemos que a sala tem uma área de 22 m2, precisamos de conhecer a área do ladrilho.

Como o ladrilho é quadrado de lado l = 0,25, a sua área é dada por:

S = l 2 ⇒ S = 0,252 ⇒ S = 0,0625 Como foi dito no começo da página, a resolução do problema resume-se agora ao cálculo da razão entre a área da sala e a área do ladrilho: Como a sala tem uma área de 22 m2 e o ladrilho de 0,0625 m2, temos a seguinte razão:

22 = 352 0,0625 Como resposta, diríamos que para ladrilhar o piso da sala inteira seriam necessários 352 ladrilhos. Porém, na prática, é necessário verificar se cabem um número inteiro de ladrilhos tanto na largura como no comprimento da sala. Senão, teremos que partir ladrilhos. Vejamos o que se passa no presente caso: 211

As dimensões da sala são iguais a 4 m e 5,5 m, respectivamente. O lado do ladrilho mede 0,25 m. A dimensão 4 m é múltipla de 0,25 m e o mesmo acontece à dimensão 5,5, m. Sendo assim, não será necessário partir ladrilhos e serão necessários 352 ladrilhos com tínhamos calculado.

Actividades (9) 1. Determine a área dum triângulo equilátero sabendo que o seu lado mede 6 cm.

2. Determine a área dum losango em que as diagonais medem, respectivamente, 20 cm e 16 cm.

3. Determine a área dum losango em que o lado mede 8 cm e uma diagonal mede 14 cm.

4. Uma parede rectangular de lados 8 m e 12 m vai ser coberta com placas quadradas de lado igual a 40 cm. Quantas placas serão necessárias?

5. Calcule a área indicada a sombreado na figura, que é composta por duas circunferências com o mesmo centro e raios iguais a 10 cm e 8 cm, respectivamente.

6. Calcule a área indicada a sombreado na figura abaixo, composta por um trapézio que tem no seu interior, um quadrado. Sabe-se que a área do quadrado é igual a 25cm 2 e que os segmentos da base do trapézio que se encontram fora do

quadrado medem, cada um, 3 cm.

212

9.10. Construção geométrica de circunferências

Recursos de aprendizagem 1. Construção duma circunferência dados o centro e o raio: Neste caso, basta usar o compasso. Com este instrumento faz-se centro no ponto dado; a seguir, com ajuda duma régua ou dum esquadro, abre-se o compasso na medida do raio dado e traça-se a circunferência.

2. Construir a circunferência que passa por três pontos A, B, e C dados em posição.

Solução: Seja O o centro da circunferência que passa por A,

B

B, e C. Como OA = OB então O pertence à mediatriz de AB. Como OB = OC

O

então O pertence à mediatriz de BC. Assim, o ponto O é a interseção destas duas

A

C

mediatrizes.

3. Construir a circunferência inscrita num triângulo dado:

Solução: Seja ABC o triângulo dado. O centro da circunferência inscrita (incentro) é o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo. Precisamos então de traçar as bissetrizes de dois ângulos do triângulo.

O ponto de interseção das duas bissetrizes (I) é o centro da circunferência inscrita, mas não podemos ainda desenhá-la pois não conhecemos o raio.

213

Para tal, traçamos por I uma recta perpendicuar a AC, cortando AC em D. Temos agora um ponto por onde passa a circunferência inscrita. Traçamos então a circunferência de centro I e raio ID. B

I

D

A

C

Actividades (10) Construa as circunferências circunscrita e inscrita em cada um dos triângulos: acutângulo, rectângulo e obtusângulo.

214

9.11. Sólidos geométricos

Recursos de aprendizagem Introdução: Os sólidos geométricos dividem-se em poliedros, se só tiverem superfícies planas e não poliedros se tiverem superfícies planas e curvas.

No dia-a-dia encontramos vários objectos que se parecem com sólidos geométricos: a bola que parece uma esfera, o dado que parece um cubo, o pacote de leite que parece um paralelepípedo, a lata de refresco que parece um cilindro, etc.

Principais sólidos geométricos: Este sólido geométrico chama-se cubo. É um prisma em que todas as faces têm a forma de quadrados.

Este sólido geométrico tem: 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.

Chamamos paralelepípedo ou bloco a este prisma.

Todas as suas faces têm a forma de rectângulos.

Tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.

Este sólido geométrico é o prisma triangular porque as suas bases são triângulos.

Tem 6 vértices, 9 arestas, 5 faces e duas bases.

215

Este sólido chama-se prisma pentagonal, porque as suas bases são pentágonos.

Tem 10 vértices, 15 arestas, 7 faces e duas bases.

Este sólido geométrico denomina-se pirâmide triangular porque a sua base é um triângulo.

Tem 4 vértices, 6 arestas, 4 faces e 1 base.

Chamamos pirâmide quadrangular a este sólido pois tem um quadrado na sua base.

Tem 5 vértices, 8 arestas, 5 faces e 1 base.

A base da pirâmide pentagonal é um pentágono.

Tem 6 vértices, 10 arestas, 6 faces e 1 base.

A esfera é um sólido geométrico limitado por uma superfície curva.

A sua forma é esférica; não tem bases, não tem vértices e não tem arestas.

Este sólido geométrico chama-se cilindro.

Encontra-se limitado por uma superfície curva e tem duas bases com a forma de círculos

216

O cone está limitado por uma superfície curva.

Tem uma base na forma de círculo e tem 1 vértice.

Planificação de sólido Os sólidos que aqui tratamos, com excepção da esfera, são formados pela união de figuras planas, as quais podem ser identificadas por meio da planificação.

Paralelepípedo

Cubo :

Pirâmide Triangular:

217

Pir창mide Quadrangular:

Cone:

Cilindro:

Prisma :

218

Volume de sólidos geométricos: Paralelepípedo rectângulo :

O volume de um paralelepípedo rectângulo é igual ao produto das suas três dimensões.

V = a.b.c

c

c

b

a

O volume de um paralelepípedo também é igual ao produto da área da base pela sua altura.

V

Cubo:

= S B .h

Como o cubo é um paralelepípedo com todas as arestas iguais, o seu volume é dado por: V = a.b.c = a 3

Prisma:

O volume de um prisma é igual ao produto da área da base pela altura.

V p = S B .h

Pirâmide:

O volume duma pirâmide é 1/3 do produto da área da base pela altura: V

V =

1 S B .h 3

r E

D C

F A

Actividades (11) 219

B

1. Recolha 3 objectos de utilidade diária que tenham formas diferentes, indique a que sólido geométrico corresponde cada um, faça as medições necessárias e calcule o seu volume.

2. Construa em cartão ou outro material, um paralelepípedo, um cilindro, um cone e uma pirâmide.

3. O raio da base e a altura dum cilindro medem, respectivamente, 5 cm e 20 cm. Foi colocado no interior do cilindro um cone com o mesmo raio da base e a mesma altura que a do cilindro. Calcule o volume do espaço compreendido entre o cilindro e o cone, sabendo que a base do cone está assente na base do cilindro.

Autoavaliação 1. Pesquise, identifique e explique o objectivo de pelo menos 2 diferentes sistemas de coordenadas usados no dia-a-dia, com indicação clara das várias coordenadas intervenientes.

2. Explique porque é que, no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, uma coordenada não é suficiente para localizar um ponto, ou seja, são necessárias duas coordenadas.

3. Mostre, por escrito, que distingue pares ordenados com coordenadas iguais mas em ordem inversa. (Exemplo: (2,5) e (5,2)).

4. Localize, num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais dado no plano, os pontos A(1,5), B(0,4), C(-3,-1), D(-3,0), E(5,5), F(3,-2).

220

5. Indique as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F abaixo indicados: y

A

4

3

B 2

C

1

D −5

−4

−3

x −2

0

−1

1

2

3

4

E

−1

F −2

−3

G

6. Explique a diferença entre “conceitos primitivos” e “conceitos definidos” na Geometria Euclidiana.

7. Quais são os conceitos primitivos da Geometria Euclidiana?

8. Explique a diferença entre “Axiomas” e “Teoremas”.

9. Quem foi o criador da geometria euclidiana? Qual a sua principal obra escrita sobre esta ciência?

10. Trace duas rectas horizontais e duas verticais.

11. Trace três rectas paralelas entre si.

12. Trace duas rectas concorrentes oblíquas e duas rectas concorrentes perpendiculares.

13. Trace uma recta paralela a cada uma das rectas traçadas no exercício 12.

14. Classifique cada um dos seguintes ângulos, quanto à sua amplitude. a) 50º

b) 99 º

c) 180º 221

d) 360º

e) 165º

15. Classifique cada um dos seguintes ângulos quanto à sua amplitude: a)

b)

c)

16. Observe a figura. O ângulo CAE é recto. Determine: a) A medida do ângulo DAE b) A medida do ângulo FAG

17. Identifique as seguintes figuras geométricas: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Triângulo

222

18. Quanto mede o terceiro ângulo dum triângulo, se cada um dos outros medir 30º e 50º?

19. Quanto medem os ângulos dum triângulo isósceles, se o ângulo oposto à base medir 50º?

20. Quanto medem os ângulos dum triângulo rectângulo, se um deles medir 70º?

21. Quanto medem os ângulos dum paralelogramo se um deles medir 100º?

22. Quanto mede o quarto ângulo dum quadrilátero, se a soma dos outros três ângulos medir 300º?

23. Trace um triângulo ABC á sua escolha. Construa a imagem deste triângulo: a) pela simetria axial de eixo AB; b) pela simetria central de centro em B; c) pela rotação de centro em A e ângulo igual a 45º; d) pela translação de vector BC. 24. Determine a área e o perímetro de uma sala quadrada, sabendo que o seu lado mede 6,45 m.

25. Calcule a área e o perímetro de uma praça rectangular, em que o comprimento é igual a 50 m e a sua largura mede 35,6 m.

26. Calcule a área e o perímetro de um rectângulo, em que a base mede 34 cm e a sua altura mede metade da base.

27. É necessário um certo número de ladrilhos de 0,25 m x 0,25 m para cobrir o chão de uma cozinha com 5 m de comprimento por 4 m de largura. Cada caixa tem 20 ladrilhos. Supondo que nenhum ladrilho se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha?

28. Calcule a área duma mesa que mede 3 m de comprimento por 2,3 m de largura.

29. Na minha sala de aula o chão é coberto com ladrilhos que medem 0,3 m x 0,3 m.

Contei 21 ladrilhos paralelamente a uma parede e 24 ladrilhos na direcção perpendicular. Qual é a área dessa sala?

30. Determine a área de um triângulo, sabendo que a sua base mede 5 cm e a sua altura mede 2,2 cm.

31. Calcule a área de um losango, sabendo que a sua diagonal maior mede 5 cm e a diagonal menor mede 2,4 cm.

223

32. Sabendo que a base maior de um trapézio mede 12 cm, a base menor mede 3,4 cm, e a altura mede 5 cm, calcule a sua área.

33. É possível construir um triângulo cujos lados meçam: a) 3 cm, 1cm e 8 cm? b) 1 cm, 1cm e 0,5 cm? c) 45 cm, 45 cm e 1cm? d) 1cm, 5 cm e 5 cm?

34. Se dois dos lados dum triângulo medirem 4 cm e 7 cm, que medida pode ter o outro lado, sabendo que deve ser um número inteiro?

35. Em que axiomas e teoremas se baseia a demonstração do teorema sobre a soma das medidas dos ângulos dum triângulo?

36. Um ângulo externo dum triângulo pode ser menor que um ângulo do triângulo?

37. Classifique os triângulos quanto aos ângulos sabendo que a medida de um dos seus ângulos é: a) igual à soma das medidas dos outros dois;

b) maior que a soma das

medidas dos outros dois; c) menor que a soma das medidas dos outros dois.

38. Classifique um triângulo quanto aos ângulos, sabendo que a soma das medidas de dois quaisquer dos seus ângulos é maior que 90o.

39. a) Quantos ângulos externos agudos pode ter um triângulo? b) De que tipo é um triângulo se um dos seus ângulos externos for agudo?

40. Num triângulo ABC, o lado AB é o maior. a) Que ângulos deste triângulo são agudos? b) Que tipo de ângulo pode ser o ângulo C?

40.41. No triângulo isósceles, são traçadas todas as suas alturas, bissectrizes e medianas.

Quantos segmentos diferentes é possível encontrar?

42. Um pátio tem a forma triangular. Onde se deve colocar um poste de luz, neste pátio, de tal modo que recebam a mesma iluminação: a) os vértices do pátio; b) os pontos dos lados, mais próximos do poste?

43. Determine e a medida da diagonal de um cubo de volume igual a 3,375m3.

44. Determine o volume de um prisma quadrangular regular de altura igual a 5 m, sendo 12,56 m2 a área do círculo circunscrito á base.

45. Determine o volume de um prisma triangular regular cuja área lateral é igual a 84,6 cm2 e em que a aresta da base tem por medida 3cm.

46. Determine o volume de um prisma recto cuja base é um triângulo isósceles, cuja altura mede 4 cm e um dos lados 5 cm. A aresta lateral tem a medida igual ao perímetro da base.

224

47. A base de um prisma recto é um trapézio rectângulo cujas bases medem 4,5 m e 8 m e a diagonal maior 10 m. Determine o volume do prisma, sabendo que a sua altura é igual à medida da diagonal menor da base.

48. A planificação da superfície lateral de um cilindro circular reto de altura h e raio r gera a região retangular ABCD, conforme é ilustrado na Figura 1. Suponha que esta região seja utilizada para construir um novo cilindro, cuja altura é a medida do segmento AB , sem haver sobreposição.

O volume do novo cilindro é: (Escolha uma das possibilidades a seguir)

a) V =

r.h 2 2

b) V =

r 2 .h 2

c) V =

r.h 2 .π 2

d) V =

r 2 .h.π 2

e) V = π .r 2 .h

49. Um cilindro circular recto e um cone recto possuem a mesma altura h e o mesmo raio r da base. Uma semi-esfera é retirada do interior do cilindro e é acrescentada no topo do cone, gerando os sólidos S1 e S2 , conforme mostra a figura.

Se os volumes desses sólidos são representados, respectivamente, por Vol(S1) e Vol(S2) , diga qual das seguintes afirmações é verdadeira: a) Vol (S1) = Vol (S2) se e somente se h = 2r . b) Vol (S1) = Vol (S2) se e somente se r = 2h . c) Vol (S1) = Vol (S2) para quaisquer valores de r e h. d) Vol (S1) > Vol (S2) para quaisquer valores de r e h.

225

e) Vol (S1) < Vol (S2) para quaisquer valores de r e h.

50. Considere um reservatório, em forma de paralelepípedo rectângulo, cujas medidas são 8 m de comprimento, 5 m de largura e 120 cm de profundidade.

Bombeia-se água para dentro desse reservatório, inicialmente vazio, a uma taxa de 2 litros por segundo. Com base nestas informações, é CORRECTO afirmar que, para se encher completamente esse reservatório, serão necessários: a) 40 min;

b) 240 min;

Chave de correcção Actividades (1): 2.

226

c) 400 min;

d) 480 min.

Actividades (2): 1. “Conceitos primitivos” são conceitos elementares, básicos, que são entendidos e assumidos intuitivamente, sem definição. “Conceitos definidos” são todos os outros conceitos tratados na Geometria Euclidiana e que têm uma definição.

Para se definir estes últimos conceitos, usam-se os conceitos primitivos ou outros conceitos já definidos anteriormente.

2. Axiomas e Postulados são proposições (afirmações) assumidas sem demonstração, ou seja, são aceites intuitivamente. Em geral, estes termos são aplicados com o mesmo significado, mas também podem ser entendidos com uma pequena diferença entre eles: os axiomas são comuns a várias ciências, enquanto que os postulados são diferentes para cada ciência particular.

Teoremas são proposições que têm que ser demonstradas para serem tomadas como verdadeiras e poderem ser utilizadas.

4. a) linha recta; b) linha curva; c) linha recta; d) linha recta; e) linha curva 5. a) uma linha curva e quatro segmentos de recta; dois segmentos de recta;

b) duas linhas curvas e

c) uma linha curva e dois segmentos de recta;

d) quatro segmentos de recta; e) duas linhas curvas e dois segmentos de recta.

Actividades (3): 1.

227

2.

3.

São paralelas entre si.

4.

a) Paralelas;

b) Concorrentes perpendiculares;

c) Concorrentes oblíquas;

d) p e r são paralelas entre si; as restantes são concorrentes entre si.

Actividades (4): 3.

a) Sim, no ponto médio do segmento; recta;

4.

c) Não;

a) Tem centro de simteria;

b) Sim, em qualquer ponto da

d) Sim, no ponto de intersecção das rectas. b)Tem um eixo de simetria; c) Tem centro de

simetria;

d) Tem dois eixos de simteria;

simetria;

f) Tem um eixo de simteria; g)Tem um centro e dois eixos de 228

e) Tem um eixo de

simetria;

h) Tem um eixo de simetria; i) Tem um centro e 8 eixos de

simetria;

j) tem um eixo de simetria;

m) Tem um centro e 4 eixos de simetria; 5.

a) Sim;

b) Não;

c) Sim.

8.

a) P´( 1,5);

b) Q´(2,13);

c) R´(-5,18)

9.

P´(8,0).

l) Tem um centro de simetria; n) Tem um eixo de simetria.

Actividades (5): 1.

a) 6 ângulos obtusos;

b) 2 ângulos agudos, 2 rectos e 3 obtusos;

c) 3 ângulos agudos;

d) 2 ângulos agudos e 2 obtusos;

e) 8 ângulos rectos e 4 obtusos.

2.

No exemplo dado temos no total 6 ângulos agudos e 6 obtusos.

Actividades (6): 1.

No exemplo dado, a figura é decomposta em 3 losangos congruentes.

2.

a) 180º;

b) 360º;

c) 540º;

5.

229

d) 720º.

6.

O ângulo CED mede 120º e o ângulo AOB mede 180º.

Actividades (7): 4.

40º e 100º.

5.

90º e 60º.

6.

a) Sim;

b) Sim;

c) Não;

Actividades (8): 1.

36 cm.

2.

28 cm.

3.

24 cm.

4.

15 cm.

5.

4 cm.

6.

12 cm

Actividades (9): 1.

S ABC = 9 3 cm 2 .

2.

S ABCD = 160 cm 2 .

230

d) Não.

3.

S ABCD = 14 15 cm 2 .

4.

6 placas.

5.

S = 36π cm 2 .

6.

S = 15 cm 2 .

Actividades (11):

3.

V=

1000 ⋅ π cm 3 .

3

Chave de correcção da autoavaliação: 1. Exemplo de sistemas de coordenadas : - Sistema de identificação de salas numa escola: cada sala é identificada por quatros “coordenadas” expressas por duas letras e quatro algarismos: EM – 1130. As letras indicam o nome da escola, o primeiro algarismo indica o número do pavilhão, o segundo algarismo indica a posição da sala no pavilhão e os dois algarismos seguintes indicam o número de carteiras que a sala comporta. No exemplo, temos uma sala da Escola Moderna, no pavilhão 1, 1ª.

Sala desse pavilhão e com a capacidade de 30 carteiras.

2. São necessárias duas coordenadas porque para uma mesma abcissa há inifinitas ordenadas e para uma mesma ordenada há infinitas abcissas. Por exemplo, se déssemos somente a abcissa 5, encontraríamos infinitos pontos, tais como : (5,1), (5,2), (5,0), (5,-1), (5,-35), (5,100), etc.

3. Os pontos (2,5) e (5,2) são diferentes: o primeiro tem abcissa igual a 2 e ordenada igual a 5. O segundo, tem abcissa igual a 5 e ordenada igual a 2.

231

y

4.

7

6

A

E

5

4

B

3

2

1

x −4

−3

D

−2

−1

1

2

3

4

5

−1

C −2

F 5. A(2,4), B(-2,2), C(3,1), D(-3,0), E(2,-1), F(-1,2), G(0,-3) 6. “Conceitos primitivos” são conceitos elementares, básicos, que são entendidos e assumidos intuitivamente, sem definição. “Conceitos definidos” são todos os outros conceitos tratados na Geometria Euclidiana e que têm uma definição. Para se definir estes últimos conceitos, usam-se os conceitos primitivos ou outros conceitos já definidos anteriormente.

7. Os conceitos primitivos da Geometria Euclidiana são: ponto, recta e plano.

8. “Axiomas” são proposições assumidas intuitivamente, sem demonstração. Os “Teoremas” são proposições que, para serem aceites, têm que ser demonstradas.

9. Foi Euclides. A sua principal obra escrita chama-se “Elementos”, que é um conjunto de vários livros.

10. Trace duas rectas horizontais e duas verticais.

11. Trace três rectas paralelas entre si.

232

12. Trace duas rectas concorrentes oblíquas e duas rectas concorrentes perpendiculares.

13. Trace uma recta paralela a cada uma das rectas traçadas no exercício anterior.

b) obtuso; c) raso; d) giro; e) obtuso.

14. a) agudo; 15. a) recto; b) agudo; c) obtuso.

16. a) 74º; b) 194º.

17. a) Triângulo acutângulo e isósceles; b) recta; c) rectângulo; d) trapézio; e) triângulo rectângulo escaleno; f) paralelogramo; g) polígono convexo de 5 lados (pentágono), não regular h) polígono convexo de 6 lados (hexágono), não regular i) polígono côncavo de 6 lados, não regular.

18. 100º 19. Cada um mede 65º 20. 20º 21. 100º, 80º, 100º e 80º 22. 60º 23. a) b) C A

C B

A

B

A´ C´

C´ c)

d)

233

24. S = 41,60 m2; P = 25,8 m 25. S = 1780 m2; P = 171,2 m 26. S = 578 cm2.; P = 102 cm; 27. 16 caixas.

28. 6,90 m2.

29. 45,36 m2.

30. S = 5,5 cm2.

31. S = 6 cm2 32. S = 38,5 cm2.

33. a) Impossível; b), c), e d) Possível.

34. l 3 ∈ {4,5,6,7,8,9,10} 35. Axioma 5; Teorema sobre ângulo externo; Teorema sobre a soma das medidas dos ângulos dum triângulo.

36. Sim. Um ângulo externo pode ser agudo e será suplementar do interno correspondente que será obtuso.

37. a) rectângulo; b) obtusângulo; c) acutângulo, rectângulo ou obtusângulo; 38. Acutângulo.

39. a) Só um; b) Obtusângulo 40. a) Qualquer um; b) Agudo, recto ou obtuso; 41. 7 segmentos.

42. a) Ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo; b) ponto de intersecção das bissectrizes.

43. 2,6 m.

44. 40 m3 45. 36,7 cm3 46. 192 cm3.

47. 281,25 m3 48. Hipótese a).

49. Hipótese a).

50. Hipótese c).ibliografia Complementar ALVARINHO, Ida: Resumo Teórico e Exercícios de Geometria Plana e Espacial, UEM, 2010 ALVARINHO, Ida; ELGERSMA, Remke, HUILLET, Danielle e outros: Matemática - Manual I, UEM – BUSCEP, 1991 THACH, Hoang: Geometria Espacial – Partes Teórica e de Exercícios – UEM, 2004

234

Unidade 10: MEDIDAS E GRANDEZAS

Duração da Unidade: 10 horas Introdução da unidade temática Como o próprio nome indica, esta unidade temática, integrada no módulo de Matemática, tem como principal objecto o estudo de grandezas usadas no diaa-dia e respectivas medidas. Como extensão deste tema, a unidade prevê também, pela relevância que tem na vida quotidiana, o estudo de unidades monetárias e de movimentos bancários elementares. As medidas de comprimento, de massa, de tempo, de áreas e de volumes serão abordadas através do tratamento e aplicação a casos concretos. É dada significativa atenção à conversão de unidades de medida para os correspondentes múltiplos ou submúltiplos ou dum sistema para outro.

Esta unidade curricular desenvolve essencialmente as competências de observação analítica da realidade, de percepção das dimensões do mundo que nos rodeia, de percepção da relação entre valores numéricos e dimensões concretas e de resolução de problemas concretos em que intervém o cálculo das grandezas acima referidas.

Evidências requeridas da unidade temática 1) Reconhece e utiliza correctamente a moeda nacional, em situações do dia-adia, resolvendo problemas de cálculo de valores a pagar e trocos a receber; 2) Resolve problemas de aplicação de juros simples e compostos; 3) Utiliza correctamente as medidas de comprimento, de tempo, de massa, de áreas, de capacidade e de volume, em situações concretas, fazendo com destreza conversões duma unidade para outra; 4) Calcula comprimentos, perímetros, áreas e volumes de figuras e sólidos respectivamente.

235

10.1.

O dinheiro em circulação e movimentos bancários

Recursos de Aprendizagem

Introdução: O dinheiro é o meio usado na troca de bens, na forma de moedas ou notas, usado na compra de bens, serviços, força de trabalho, divisas estrangeiras ou nas demais transações financeiras, emitido e controlado pelo governo de cada país, que é o único que tem essa atribuição.

Moeda é o meio através do qual são efectuadas as transações monetárias.

Existem diferentes definições de “moeda”: o dinheiro, que constitui as notas (geralmente em papel); a moeda (a peça metálica); a moeda bancária ou escritural, admitidas em circulação; e a moeda no sentido mais amplo, que significa o dinheiro em circulação, a moeda nacional.

Dinheiro em circulação no país A moeda nacional em Moçambique é o Metical, cuja sigla é MT. Actualmente existem notas no valor de 1000 MT, 500 MT, 200 MT, 100 MT, 50 MT e 20 MT e moedas no valor de 10 MT, 5 MT, 2 MT, 1 MT e de 1, 5, 10, 20 e 50 centavos.

A variedade de notas e de moedas tem em vista tornar mais ágil os pagamentos ou transações a serem efectuados.

236

Assim, se se pretender comprar um produto no valor de 96,00 MT, é mais eficiente, caso se disponha dela, pagar com uma só nota de 100,00 MT, em vez de utilizar, por exemplo, uma nota de 1000,00 MT, ou 48 moedas de 2,00 MT.

Exemplo: Supondo que se tem na carteira 2 notas de 200,00 MT, 3 de 100,00 MT, 4 de 20,00 MT e 5 moedas de 10,00 MT, indique três possibilidades de pagar uma conta de 340,00 MT, usando combinações diferentes daquelas notas e moedas.

Solução: Há várias possibilidades de fazer aquele pagamento, como por exemplo: -

1 nota de 200,00 MT, 1 nota de 100,00 MT e 2 notas de 20,00 MT, não tendo que receber qualquer troco;

-

3 notas de 100,00 MT e 2 notas de 20,00 MT, não tendo que receber qualquer troco;

-

2 notas de 200,00 MT. Neste caso, teremos que receber troco: 2.200,00 = 400,00 MT 400,00 MT – 360,00 MT = 60,00 MT Temos a receber 60,00 MT de troco.

Movimentos Bancários 237

Existem variados movimentos bancários que se podem realizar, quer por pessoas singulares, quer por pessoas colectivas, organizações, empresas, etc. Vamos aqui lembrar somente alguns conceitos elementares, mais comuns no nosso dia-a-dia. Algumas noções básicas que é necessário conhecer são:

Depósito Bancário: Um depósito bancário é uma operação bancária através da qual uma pessoa singular ou colectiva entrega à instituição de crédito determinada importância em dinheiro, cheques ou outros valores, ficando a mesma com a obrigação de devolvê-la nos prazos e condições convencionados.

Conta de depósito à ordem: Uma conta de depósito é um registo contabilístico organizado referente às operações realizadas no âmbito dessa conta. A conta de depósito permite ao titular realizar movimentações através de várias operações bancárias (por exemplo depósitos) e gerir o seu dinheiro e outros valores de acordo com as regras acordadas.

Conta a prazo: Este tipo de contas (contas a prazo) servem para que as pessoas façam economias, ou seja, quando se tem algum dinheiro que não se necessita de movimentar, pode-se entregá-lo ao banco para realização de contas a prazo. Nas contas a prazo, o banco paga normalmente um juro anual (ou outro período estipulado previamente), mais alto que as contas à ordem. O valor da taxa de juro é estipulado pelo banco, na altura da realização da abertura da conta.

Os serviços prestados pelos insituições de crédito estão sujeitos ao pagamento de uma comissão por parte do cliente. As informações disponibilizadas pelas instituições de crédito no preçário afixado em 238

todos os balcões, devem permitir conhecer, pelo menos, as informações relativas às taxas de juros, comissões, prémios de transferências, portes, despesas de expediente e datas-valor praticadas em todas as operações.

Juro simples: O regime de juros diz-se simples quando o percentual de juros incide apenas sobre o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos

J = P. i. n

Exemplo: Uma dívida de 1000,00 MT deve ser paga com juros de 8% pelo regime de juros simples, em 2 meses. Os juros que a pagar serão: J = 1000 . 0,08 . 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P.(1 + (i.n))

Juros Compostos : Neste caso, os juros relativos a cada período são calculados sobre o montante referente ao período anterior. Em resumo, os juros que são produzidos ao fim de cada período passaram a fazer 239

parte do capital ou montante que serviu de base para cálculo, de modo que o total conseguido será a base para os cálculos em períodos sequentes.

M = P.(1 + i.) n Exemplo: Uma pessoa faz, num banco, um depósito a prazo de 80.000,00 MT, beneficiando de um juro anual de 4% no regime de juros compostos.

Que quantia terá a pessoa no banco, ao fim de 3 anos?

Solução: Ao fim de 3 anos a quantia será igual a: 80.000.(1 + 0,04) 3 = 89.989,12 Resposta: Ao fim de 3 anos a pessoa terá 89.989,12 MT. Observação: Sugere-se que na medida do possível, se desenvolva a habilidade de utilização da máquina de calcular para resolver estes cálculos.

Actividades (1) 1. Uma pessoa comprou uma camisa no valor de 1000,00 MT e umas calças no valor de 1250,00 MT. Para pagar o total da compra, entregou 3 notas de 1000,00 MT. Quanto recebeu de troco?

240

2. Num supermercado, uma pessoa entregou uma nota de 100,00 MT para pagar uma conta de 68,00 MT. O funcionário da caixa disse que só tinha notas de 50,00 MT para dar de troco e pediu ao cliente para lhe dar um certo montante mais, de modo a que ele lhe pudesse dar 50,00 MT de troco. Que montante é esse?

3. O capital de 60.000,00 MT foi aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses de aplicação?

4. Um capital de 80.000,00 MT, aplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao ano, gerou um montante de 120.000,00 MT depois de certo tempo. Qual foi esse tempo?

5. Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2,5% ao mês, rendeu 22.500,00 MT de juros num semestre?

6. A que taxa devemos aplicar o capital de 10.000,00 MT, no sistema de capitalização simples para que, depois de 6 meses, o montante seja de 12.400,00 MT? 7. Um capital de 50.000,00 MT, aplicado a juros simples com uma taxa de 3% ao mês, resultou um montante de 68.000,00 MT após certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação?

8. Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano, juros de 11.000,00 MT depois de 24 meses. Qual foi esse capital?

9. No dia 1 de março de 2004 uma pessoa emprestou a quantia de 4000,00 MT, a juros simples, com taxa de 4% ao mês. Qual era o montante da dívida a 1 de julho de 2004?

10. O capital de 60.000,00 MT foi aplicado à taxa de juros compostos de 2% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses de aplicação?

241

11. Um capital de 80.000,00 MT, aplicado a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, gerou um montante de 106.480,00 MT depois de certo tempo. Qual foi esse tempo?

12. Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, resultou num montante de 40.000,00 MT num semestre?

10.2. Medidas de comprimento

Recursos de Aprendizagem Introdução: Na física, o comprimento é a grandeza física que expressa a distância entre dois pontos. Na linguagem comum costuma-se diferenciar a altura (quando se refere a um comprimento vertical) e a largura (quando se fala dum comprimento horizontal). Também na física e na engenharia, a palavra comprimento é sinônimo de "distância", e costuma-se utilizar o símbolo l ou L para representá-la.

O comprimento é uma medida de uma só dimensão, enquanto que a área, como veremos na altura própria, é uma medida de duas dimensões (comprimento quadrado), e o volume é uma medida de três dimensões (comprimento cúbico). Em muitos sistemas de medidas, o comprimento é uma unidade fundamental ou primitiva, do qual derivam outras unidades.

Unidades de comprimento Há diferentes unidades de medida que são usadas para medir o comprimento, e outras que já foram usadas no passado. As unidades de medida podem-se basear no comprimento de diferentes partes do corpo humano, na distância percorrida em número de passos, na 242

distância entre pontos de referência ou pontos conhecidos da Terra, ou também no comprimento dum determinado objeto.

No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade básica do comprimento é o metro. Para medir comprimentos mais pequenos ou bastante maiores que o metro, foram criados, respectivamente,

submúlitplos e múltiplos do metro, como a seguir se indica. As unidades mais usadas no quotidiano são o metro, o centímetro e o quilómetro.

Para medir comprimentos usa-se, no dia-a-dia, a fita métrica e a régua ou o esquadro.

Tabela dos principais Submúltiplos e Múltiplos do Metro:

Unidade

Notação

Valor em Metros

Quilómetro

km

1000 m

Hectómetro

hm

100 m

Decâmetro

dam

10 m

m

-----

Decímetro

dm

0,1 m

Centímetro

cm

0,01 m

Milímetro

mm

0,001 m

Metro

Há outros múltiplos e submúltiplos do metro, mas como não se usam muito no dia-a-dia, não nos vamos debruçar sobre eles.

Conversão de unidades de comprimento: Acontece, muitas vezes, que nos deparamos com dados fornecidos em diferenres unidades de comprimento e, para podermos operar com

243

esses valores, temos que os reduzir todos à mesma unidade. Vamos então ver como converter unidades:

Exemplo: 1. Reduzir a metros as medidas: a) 5 cm;

b) 234 dm; c) 5,6 km;

d) 0,03 dam e e) 111,13 mm.

Solução: a) Na tabela vê-se que o centímetro está duas posições abaixo do metro. Logo, 5 cm = 0,05 m. b) O decímetro está uma posição abaixo do metro.

Então, 234 dm = 23,4 m. c) O quilómetro está 3 posições acima do metro.

Logo, 5,6 km = 5600 m. d) O decâmetro está situado um lugar acima do metro.

Logo, 0,03 dam = 0,3 m. e) O milímetro está três posições abaixo do metro.

Logo, 111,13 mm = 0,11113 m.

2. Determine o perímetro dum terreno rectangular, sabendo que um dos seus lados mede 0,5 km e o outro, 200 m.

Sabemos que o rectângulo tem dois pares de lados paralelos. Logo o seu perímetro é igual a: P = 2.0,5 km+2.200 m Ora, não podemos efectuar os cálculos por termos unidades diferentes. Temos que decidir com que unidade vamos trabalhar.

Suponhamos que queremos a resposta em metros.

Sendo assim, faz-se: 0,5 km = 500 m.

Então P = 2x500 + 2x200 = 1400 m 244

Resposta: O perímetro do terrenos é de 1400 m.

Actividades (2) 1. Reduza a metros as medidas: a) 51 cm; b) 2,44 dm; c) 8,05 km; d) 0,021 dam e e) 2311 mm.

2. Determine o perímetro dum terreno rectangular, sabendo que um dos seus lados mede 0,3 km e o outro, 100 m.

3. Determine o perímetro dum triângulo, sabendo que os seus lados medem, respectivamente, 2 dm, 15 cm e 350 mm.

4. Com uma fita métrica, meça as dimensões do tampo da sua carteira e determine o perímetro do mesmo.

5. Com uma fita métrica, meça as dimensões da sua sala de aulas e calcule o perímetro do seu soalho.

6. Uma pessoa comprou 3 m de um tecido, uma segunda pessoa comprou 25 dm e, uma terceira, 400 cm do mesmo tecido. Que quantidade de tecido foi comprada, no total, pelas 3 pessoas? Dê a resposta em: a) metros; b) decímetros; c) centímetros.

245

10. 3. Medidas de massa Introdução: Medidas de massa ( ou medidas de peso ) são aquelas que servem para pesar corpos. O que habitualmente chamamos de peso de um corpo é, na realidade, a massa do corpo. Peso é a força com que o corpo é atraído para o centro da terra. O peso varia de acordo com o local onde o corpo se encontra. Isso acontece devido à "Acção da Gravidade ".

Massa é a quantidade de matéria que o corpo possui. A massa de um corpo é a mesma em qualquer lugar da terra ou fora dela. Porém, no dia-a-dia, usamos a palavra “peso” para significar “massa”.

Unidades de Massa O Sistema Internacional de Unidades adopta como unidade padrão de medida da massa de um corpo o Quilograma (kg). Apesar de o Quilograma ser a unidade padrão, na prática usamos o Grama como unidade fundamental. O grama é a milésima parte do quilograma e é representado pela letra g. Uma unidade que é também muito usada é a

Tonelada, que é representada pela letra t e corresponde a 1000 kg. O instrumento usado para medir a massa de um corpo é a balança.

Tabela dos principais submúltiplos e múltiplos do grama:

Unidade

Notação

Valor em Gramas

Quilograma

kg

1000 g

Hectograma

hg

100 g

Decagrama

dag

10 g

g

-----

Decigrama

dg

0,1 g

Centigrama

cg

0,01 g

Miligrama

mg

0,001 g

Grama

246

Conversão de unidades de massa: Tal como nas unidades de comprimento, acontece também neste caso que, em situações concretas, nos deparamos com dados fornecidos em diferentes unidades de massa e, para podermos operar com esses valores, temos que os reduzir todos à mesma unidade. Vamos então converter unidades:

Exemplos: 1. Reduzir a gramas as medidas: a) 3 cg; b) 205 dg; c) 8,5 kg; d) 0,07 dag;

e) 521,2 mg.

Solução: a) Na tabela vê-se que o centigrama está duas posições abaixo do grama. Logo, 3 cg = 0,03 g. b) O decigrama está uma posição abaixo do grama.

Então, 205 dg = 20,5 g. c) O quilgrama está 3 posições acima do grama.

Logo, 8,5 kg = 8500 g. d) O decagrama está situado um lugar acima do grama.

Logo, 0,07 dag = 0,7 g. e) O miligrama está três posições abaixo do grama.

Logo, 521,2 mg = 0,5212 g.

2. Uma pessoa comprou, num supermercado, 1 saco de 3 kg de arroz, 2 frangos de 900 g cada um, 0,5 kg de sal e 50 g de açafrão.

Determine a massa (peso) total das compras feitas: a) Em gramas; b) Em quilogramas.

247

Solução: a) Para saber a massa total temos que somar as massas dos vários produtos comprados. Porém, como elas estão dadas em unidades diferentes, temos que convertê-las todas para a mesma unidade, neste caso, para gramas: 3 kg = 3000 g 0,5 kg = 500 g Massa total em gramas: M = 3000 g + 2x900 g +500 g + 50 g = 5350 g

b) Massa total em quilogramas: 5350 g = 5,350 Kg.

Actividades (3) 1. Reduza a gramas as medidas: a) 501 cg; b) 12,44 dg; c) 9,015 kg; d) 0,02 dag;

e) 523,11 mg.

2. Determine o peso total dum produto comprado num supermercado, em que a embalagem pesa 0,3 kg e o conteúdo, 1200 g.

3. Determine o peso total das compras feitas por uma pessoa, sabendo que os pacotes comprados pesam, respectivamente, 250 dag, 1,5 kg e 35000 dg.

248

4. Com uma balança pese, um a um, 5 livros seus e determine o seu peso total. A seguir, coloque os 5 livros na balança e pese-os todos juntos. Compare os resultados obtidos nos dois procedimentos.

5. Converta as seguintes medidas: a) 0,153g para dg e dag; b) 210 hg para kg e g; c) 0,017 dg para mg e hg; d) 0,38 kg para g e mg.

10. 4. Medidas de Tempo Introdução: É comum ouvirmos, no nosso dia-a-dia, perguntas do tipo: Quanto tempo temos que esperar pelo transporte?

Qual a duração dum certo filme?

Quanto tempo leva essa viagem?

Qual a duração dum curso?

Todas essas perguntas são respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.

Unidades de Tempo A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.

As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal, ou seja, as suas unidades não são submúltiplos ou múltiplos de10 pois: 1 dia tem 24 horas.

1 hora tem 60 minutos.

1 minuto tem 60 segundos.

Tabela dos principais Submúltiplos e Múltiplos do Segundo :

249

Unidade

Notação

Valor em Segundos

Dia

d

86400´´

Hora

h

3600´´

Minuto

´

60´´

´´

-----

dseg

0,1 ´´

cseg

0,01 ´´

mseg

0,001 ´´

Segundo Décimo de segundo Centésimo de segundo Milésimo de segundo

Conversão de unidades de tempo: Tal como nas unidades de comprimento e de massa já estudadas, também temos a necessidade de converter as unidades de tempo para a mesma unidade, para podermos ter a mesma base, quer para fazermos comparações, quer para efectuarmos operações aritméticas.

Exemplos: 1. Reduzir a segundos os valores: a) 5´;

b) 11,5´;

c) 1h 20´;

d) 1d 3 h 15´ .

Solução: a) Como 1 minuto tem 60 segundos então: 5´= 5 x 60´´= 300´´. b) Do mesmo modo, 11,5´= 11,5x60´´ = 690´´ c) Neste caso temos 1 hora e 20´. Podemos primeiro converter a hora para minutos, adicionar o resultado aos 20´ e, por fim, converter a soma obtida para segundos: 1 h = 60´ 1h 20´= 60´+20´= 80 ´ Por sua vez, 80´ = 80x60´´ = 4800´´ 250

d) Do mesmo modo, 1d 3h 15´ ficará: 1d = 24 h = 24x60´= 1440´= 1440x60´´ = 86400´´ 3h = 3x60´= 180´= 180x60´´= 10800´´ 15´= 15x60´´ = 900´´ No total teremos: 1d 3h 15´= 86400´´+10800´´+900´´= 98100´´.

2. Numa corrida, o atleta A levou 700´´, o atleta B levou 12´ e o atleta C levou

1 h . Qual dos atletas foi mais rápido? E qual o que levou 6

mais tempo?

Solução: Para podermos comparar, temos que reduzir todos os valores à mesma unidade, por exemplo, o segundo: Atleta A:

700´´;

Atleta B:

12x60 = 720´´;

Atleta C:

1 1 h = .60´= 10´= 10 x60´´= 600´´ 6 6

Conclusão: O atleta mais rápido foi o atleta C e o que levou mais tempo foi o atleta B.

3. Converta para horas e minutos: a) 78´;

b) 5400´´.

Solução: ´

 78  a) 78´=   = 1,3h  60  Como 1,3 h = 1 h + 0,3 h e 0,3 h = 0,3 x 60´=18´, então 78´= 1 h 18´. b) Vamos converter primeiro 5400´´ para minutos: ´

 5400  5400´´=   = 90´  60  Convertamos agora 90´ para horas e minutos: 251

 90  90´=  h = 1,5h  60  Como 1,5 h = 1 h + 0,5 h

e 0,5 h = 0,5 x 60´= 30´, então

540´´= 90´= 1 h 30´.

Nunca escreva,

Atenção:

por exemplo, 2,40 h como forma de representar 2 h 40´, pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.

Observe o quadro acima!

Actividades (4) 1. Reduzir a segundos os valores: a) 13´;

b) 27,5´;

c) 2h 33´;

d) 1d 2 h 25´ .

2. No primeiro dia, uma pessoa caminhou durante 144´, no segundo, durante 2h 30´ e, no terceiro dia, durante 7200´´. Responda: a) Em qual dos dias caminhou mais? b) Durante quanto tempo caminhou no total, a pessoa, ao fim dos 3 dias?

3. Converta para horas e minutos: a) 87´;

b) 6800´´.

4. Um aluno levou 48 minutos a fazer o seu TPC. Sabendo que ele começou a fazê-lo às 14h30´, a que horas terminou?

252

5. Uma pessoa esteve a ver televisão das 20h 10´ às 21h 40´. Quanto tempo gastou nesta actividade?

6. Um exame escrito começou às 08h 10´. Sabendo que a prova é de 100 minutos, a que horas deverá terminar?

7. Quantas horas tem uma semana?

8. Quantos minutos tem uma semana?

9. Numa corrida dos 800 metros, uma atleta levou 2´50´´ a atingir a meta e outra levou 3´03´´. Quantos segundos levou a mais a segunda atleta?

10. 5. Unidades de áreas Introdução: O cálculo de áreas é uma parte da Geometria que possui uma variedade de aplicações no quotidiano. A área pode ser calculada através do produto entre duas dimensões do plano: comprimento x largura ou base x altura. Existem algumas expressões algébricas matemáticas que são associadas a figuras geométricas (veja a Unidade Temática “Figuras e Forma”), possibilitando o cálculo de suas áreas.

Unidades de áreas: As unidades usuais de áreas, de acordo com o SI (sistema internacional de unidades), são as seguintes: km², hm², dam², m², dm², cm² e mm².

O procedimento para o cálculo da área de uma região plana exige que todas as dimensões estejam numa mesma unidade de comprimento.

253

As unidades de área podem ser transformadas de acordo com as seguintes tabelas de conversões de medidas:

Unidade

Notação

Valor em m²

Quilômetro quadrado

km²

1.000.000

Hectômetro quadrado

hm²

100 00

Decâmetro quadrado

dam²

100

m²

-----

Decímetro quadrado

dm²

0,01

Centímetro quadrado

cm²

0,0001

Milímetro quadrado

mm²

0,000001

Metro quadrado

Exemplos: 1. Transformar 1 m² (metro quadrado) em cm² (centímetro quadrado) 1º passo: transformar m² em dm² 2º passo: transformar dm² em cm² Pelo processo prático podemos multiplicar o m² por 100x100 (10 000) 1 x 100 x 100 = 10 000 ; logo, 1m² = 10 000 cm²

2. Um muro com 20 m de comprimento e 2 m de altura foi construído com tijolos de dimensões 20 cm de comprimento e 20 cm de altura. Quantos tijolos foram gastos na construção desse muro, 254

supondo que não tenha havido desperdício?

Área do muro: 20 m x 2 m = 40 m² Área do tijolo: 20 cm x 20 cm = 400 cm² A área do muro e a do tijolo estão em unidades diferentes. Vamos ter que as converter para uma mesma unidade. Podemos escolher entre as seguintes transformações: m² em cm² ou cm² em m² .

Vamos transformar m² em cm²: 40 x 100 x 100 = 400 000 cm² Para descobrir quantos tijolos foram gastos, basta dividirmos a área do muro dada em cm² pela área de um tijolo: 400 000 cm² : 400 cm² = 1000 Foram gastos 1000 tijolos na construção do muro.

3. Pretende-se cobrir de placas quadradas o chão duma sala que possui 9 m de comprimento por 6 m de largura. Se forem usadas placas com lado igual a 100 cm, quantas serão gastas?

Área da sala em m² : 9m x 6m = 54m² Área do ladrilho em m² : 100 cm x 100 cm = 10 000 cm² Transformando cm² em m², temos: 10 000 : 100 : 100 = 1 m²

255

54 m² : 1 m² = 54 Serão utilizados 54 ladrilhos para cobrir o chão da sala.

Actividades (5) 1. Determine, em m² a área das seguintes figuras (as dimensões são dadas em cm):

2. Converta em cm²: a) 12 m²; mm².

b) 2,44 m²;

c) 345,68 dm²;

d) 440,4

3. Converta em m²: a) 2 km²; cm².

b) 0,31 dam²;

c) 345,68 dm²;

d) 5342

4. Uma parede rectangular, de comprimento e largura iguais a 8 m e 400 cm respectivamente, vai ser pintada de azul. Uma outra parede, também rectangular, de dimensões iguais a 600 cm 50 dm, vai ser pintada de vermelho. De que cor se vai utilizar maior quantidade de tinta? Escreva a área de cada uma das paredes em dm².

5. Determine a área de um triângulo isósceles cuja base mede 20 cm e cuja altura em relação a esta base mede 1,8 dm. Apresente o resultado em m².

256

10. 6. Medidas de Capacidade e Volumes Introdução: A quantidade de líquido que se introduz num recipiente é igual ao volume interno deste; quando enchemos o recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.

Unidades de capacidade: A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.

Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.

Múltiplos e submúltiplos do litro Unidade

Notação

Valor em litros

Quilolitro

kl

1.000

Hectolitro

hl

100

Decalitro

dal

10

Litro

l

-----

Decilitro

dl

0,1

Centilitro

cl

0,01

Mililitro

ml

0,001

Medidas de Volume: O metro cúbico é um padrão internacional para medidas de volume, e é equivalente ao volume de um cubo de aresta 1 m. A unidade fundamental é o

metro cúbico (m3). De acordo como Sistema Internacional de medidas (SI), o metro cúbico é a unidade padrão das medidas de volume. Um metro cúbico (1m³) corresponde a uma capacidade de 1000 litros. Essa relação pode ser exemplificada

257

em conjunto com a Geometria, através de um cubo com arestas medindo 1 metro.

Múltiplos e Submúltiplos do Metro Cúbico Notação

Valor em m3

Quilômetro cúbico

km3

1.000.000.000

Hectômetro cúbico

hm3

1.00 0.000

Decâmetro cúbico

dam3

1.000

m3

-----

Decímetro cúbico

dm3

0,001

Centímetro cúbico

cm3

0,000001

3

0,000000001

Unidade

Metro cúbico

Milímetro cúbico

mm

Relação entre Medidas de Volume e de Capacidade: Unidade de

Notação

Unidade de Volume

capacidade 1l

1 dm3

Mililitro

1 ml

1 cm3

Kilolitro

1 kl

1 m3

Litro

Exemplos: 1. Quantos litros estão contidos em 45,7 cm3 ?

Solução: Inicialmente transformamos cm3 em dm3 45,7 cm3 = 0,0457 dm3 e assim 0,0457 dm3 = 0,0457 litros

2. Quantos litros de água cabem numa piscina de 10 m x 5 m x 3 m ?

Solução: Inicialmente calculemos o volume dessa piscina: 10 m x 5 m x 3 m = 150 m3. Transformemos 150 m3 para dm3 258

150 m3 = 150.000 dm3 = 150.000 litros de água 3. Um vasilhame contém 2,75 litros de refrigerante. Quantos cm3 ele contém?

Solução: Sabemos que 2,75 l = 2,75 dm3 e passando para cm3, teremos : 2,75 dm3 = 2.750 cm3

4. Exemplos de unidades convertidas: a)

1 hm3 = 1 000 000 m3

b)

21,3 dam3 = 21 300 000 dm3

c)

0,5 km3 = 500 000 dam3

d)

52,1 cm3 = 0,000 0521 m3

e)

4,21 mm3 = 0,00000421 dm3

f)

22,44 mm3 = 0,00000000002244 dam3

g)

0,3 dl = 0,03 l

h)

713,5 l = 0,7135 kl

i)

13,27 dl = 0,01327 hl

j)

1000 litros = 1000 cm3 = 1 m3

k)

1cm3 = 0,001dm3 = 0,001 litro

l)

5 mm3 = 0, 000 005 dm3 = 0,000005 litro

m)

100 hl = 10 000 litros = 10000dm3 =10m3

n)

4 kl = 4 000 litros = 4000 dm3 = 4m3

o)

4 dm3 = 4 litros = 0,004 kl

Actividades (6) 1.

Efectue as seguintes transformações: 259

a) 5 m3 em dm3;

b) 12 km3 em dam3;

c) 13,34 dam3 em m3;

d) 457 dm3 em m3;

e) 655 dam3 em km3;

f) 4,57 m3 em dam3;

g) 4,44 dm3em mm3;

h) 0,054 dam3 em dm3;

i) 3,1416 m3 em cm3.

b) 83,6 dm3;

c) 5 m3;

e) 3500 cm3;

f) 92 cm3.

2. Exprima em litros:

a) 70 dm3; d) 2,8 m3; 3

3. Qual é o volume, em cm , de:

a) uma embalagem de vinagre de 720 ml? b) uma garrafa de refrigerante de um litro e meio? c) um garrafão de 5 litros de água?

4. Numa embalagem cabem 250 ml de detergente. Para a limpeza de uma cozinha

industrial foram usadas 6 embalagens. Indique quanto foi usado de detergente, em litros.

5. Um copo tem capacidade de 0,25 l. Quantos desses copos podemos encher com 5

litros de refrigerante?

6. Uma indústria produz 900 litros de vinho por dia. Essa produção é distribuída em

garrafas de 720 ml. Quantas garrafas são usadas por dia?

7.

Uma piscina tem 10 m de comprimento, 7 m de largura e 1,80 m de profundidade. Como estava completamente cheia, dela foram retirados 4830 litros de água. Quantos litros ainda restaram?

8. Quantos copos de água de 200 ml cabem num cubo de 20 cm de aresta?

260

9. Uma garrafa contém 500 ml de suco. Juntando esse suco com 1,5 litros de água,

obtivemos 10 copos de refresco. Quantos mililitros de refresco contém cada copo?

10. No asfaltamento de uma estrada muitos camiões basculantes carregam pedra.

Sabendo-se que cada camião tem uma carroçaria cujas dimensões são 8 m de comprimento, 1,70 m de largura e 1,20 m de altura, quantos metros cúbicos de pedra pode transportar cada camião?

11. Uma caixa-d’água tem a forma de um bloco retangular de 2,5 m de comprimento,

1,5 m de largura e 1,6 m de altura. Das afirmações seguintes, diga quais são verdadeiras: a) a capacidade da caixa é de 600 litros; b) na caixa cabem mais de 6000 litros; c) o volume da caixa é de 60 m 3 ; d) uma torneira que despeja 50 litros de água por minuto na caixa enche-a em 2 horas.

12. Uma empresa com carros-tanque de 8000 l de capacidade foi chamada para

encher um reservatório subterrâneo de água de um edifício. Esse reservatório, com forma de bloco retangular, tem dimensões 3 m, 5 m e 1 m. Das afirmações seguintes, diga quais são verdadeiras: Para a realização dessa tarefa, podemos concluir que: a) 1 carro-tanque de água tem capacidade maior do que a capacidade do reservatório; b) 1 carro-tanque de água é suficiente para encher totalmente o reservatório sem sobrar água; c) 2 carros-tanque de água são insuficientes para encher totalmente o reservatório; d) 2 carros-tanque ultrapassam em 1000 litros a capacidade do reservatório.

261

Autoavaliação

1. Em cada operação de débito directo, um banco cobra uma comissão de 3% sobre o valor debitado. Se uma pessoa efectuar, por débito directo, um pagamento no valor de 600,00 MT, quanto pagará de comissão?

Solução: Este problema resume-se a um problema de cálculo de percentagens já visto anteriormente: 600,00 MT x 3% = 600,00 MT x 0,03 = 18,00 MT. Resposta: a pessoa irá pagar 18,00 MT de comissão.

2. O capital de 53000,00 MT foi aplicado à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses de aplicação?

3. Um capital de 60.000,00 MT, aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de 108.000,00 MT depois de certo tempo.

Qual foi esse tempo?

4. Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 1,5% ao mês, rendeu 90.000,00 MT num trimestre?

5. A que taxa devemos aplicar o capital de 4500,00 MT, no sistema de capitalização simples, para que depois de 4 meses, o montante seja de 5040,00 MT?

262

6. Uma dívida de 750,00 MT foi paga 8 meses depois de contraída e os juros pagos foram de 60,00 MT. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?

7. Um capital de 80.000,00 MT, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou num montante de 88.000,00 MT após certo tempo.

Qual foi o tempo da aplicação?

8. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado para que seu valor duplique, no sistema de juros simples, à taxa de 2% ao mês?

9. Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, resultou num montante de 90.000,00 MT num trimestre?

10. O capital de 50000,00 MT foi aplicado à taxa de juros compostos de 5% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses de aplicação?

11. Um capital de 100.000,00 MT, aplicado a juros compostos com uma taxa de 4% ao ano, resultou num montante aproximado de 121.665.30 MT após certo tempo. Qual foi o tempo de aplicação?

12. Reduza a metros as medidas: km; d) 0,0081 dam

e

a) 70 cm;

b) 15,48 dm; c) 15,05

e) 23,11 mm.

13. Determine em km o perímetro dum terreno quadrangular, sabendo que o seu lado mede 300 m.

14. Determine o perímetro dum triângulo, sabendo que os seus lados medem, respectivamente, 5 dm, 25 cm e 250 mm.

263

15. Uma pessoa caminhou: 1 km no primeiro dia, 1800 m no segundo, 2300 m no tereceiro, 3,01 km no quarto e 380 dam no quinto dia. Determine a quantidade total caminhada ao fim dos 5 dias em: a) quilómetros; b) metros.

16. Reduza a gramas as medidas: a) 300 cg; d) 0,08 dag

e

b) 113,4 dg;

c) 5,025 kg;

e) 1529,4 mg.

17. Determine o peso total dum produto comprado num supermercado, em que a embalagem pesa 0,28 kg e o conteúdo, 1450 g.

18. Determine o peso total das compras feitas por uma pessoa, sabendo que os pacotes comprados pesam, respectivamente, 35 hg, 0,9 kg e 3500 g.

19. Converta as seguintes medidas: a) 0,183 g para cg e hg; b) 210 dag para kg e g;

c) 0,035 dg para mg e dag;

d) 1,455 kg para g e mg.

20. Reduzir a segundos os valores: a) 17´;

b) 38,5´;

c) 3h 22´;

d) 1 h 47´ .

21. No primeiro dia, um atleta pessoa treinou durante 114´, no segundo, durante 2h 05´ e, no terceiro dia, durante 7050´´. Responda: a) Em qual dos dias caminhou mais? b) Durante quanto tempo, em horas, minutos e segundos, caminhou no total, a pessoa, ao fim dos 3 dias?

22. Converta para horas, minutos e segundos: a) 93´;

264

b) 8150´´.

23. Um aluno levou 47 minutos a fazer o percurso da sua casa até à escola.

Sabendo que ele saiu de casa às 6h 20´, a que horas terminou?

24. Uma aluna esteve a estudar das 15h 20´ às 16h 10´. Quanto tempo gastou nesta actividade?

25. Um filme começou às 18h. Sabendo que a sua duração é de 127 minutos, a que horas deverá terminar?

26. Uma pessoa fez duas viagens, uma de 3h 50´ e outra, de 207´. Qual das viagens foi mais demorada?

27. Quantos segundos tem uma hora?

28. Quantos segundos tem um dia?

29. Uma semana tem quantas horas?

30. Quantos minutos são 3h45min?

31. Uma década tem quantos anos?

32. Quantos minutos são 5h05min?

33. Quantos minutos se passaram das 9h50min até às 10h35min?

34. Quantos segundos têm 35min?

35. Quantos segundos têm 2h53min?

36. Quantos minutos têm 12 horas?

265

37. Converta em cm²: a) 21 m²; b) 34,22 m²;

c) 37,68 dm²;

d) 4408,4

mm².

38. Converta em m²: a) 0,2 km²; b) 1,31 dam²; c) 349,9 dm²;

d) 142

cm².

39. Uma parede rectangular, de comprimento e largura iguais a 10 m e 300 cm respectivamente, vai ser coberta de azulejos quadrados de 10 cm de lado.

Uma outra parede, também rectangular, de dimensões iguais a 500 cm 60 dm, também vai ser coberta pelos mesmos azulejos. Quantos azulejos serão necessários para cada parede? Escreva a área de cada uma das paredes em m².

40. Determine a área de um triângulo isósceles cuja base mede 1 dm e cuja altura em relação a esta base mede 60 mm. Apresente o resultado em m².

41. Determine a área de um triângulo rectângulo em que os catetos medem 0,5 m e 200 mm. Apresente o resultado em cm².

Chave de correcção Actividades (1) 1.

750 MT. 2.

18 MT. 3.

66.000,00 MT. 4.

5 anos.

5.

150.000,00 MT. 266

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

4%.

12 meses.

22.000,00 MT. Aproximadamente 4.679,43 MT. Aproximadamente 66.244,85 MT. 3 anos.

Aproximadamente 34.491,87 MT.

Actividades (2) 1.

2.

3.

6.

a) 0,51 m; 800 m.

70 cm. a) 9,5 m;

b) 0,244 m;

c) 8050 m;

b) 95 dm;

c) 950 cm.

b) 1,244 g;

c) 9015 g;

d) 0,21 m;

e)2,311 m.

Actividades (3) 1.

2.

3.

5.

a) 5,01 g; 1,5 kg.

7,5 kg. a) 1,53 dg; b) 21 Kg; c) 1,7 mg; d) 380 g;

d) 0,2 g;

0,0153 dag.

21000 g.

0,000017 hg.

380000 mg.

Actividades (4) 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

a) 780 ´´, b) 1650 ´´; c) 9180 ´´; a) No 2º. dia, b) 6h 54´. a) 1 h 27 ´; b) 1 h 53´ 20´´.

15 h 18 ´.

1 h 30´.

9 h 50´.

168 h.

10080´.

267

d) 95100´´.

e) 0,52311 g.

9.

13´´.

Actividades (5) 1.

2.

3.

4.

5.

a) 0,0033 m²; b) 0,00385 m². a) 120000 cm²; b) 24400 cm²; c) 34568 cm²; d) 4,404 cm². a) 2000000 m²; b) 31 m²; c) 3,4568 m²; d) 0,5342 m².

Cor azul; 3200 dm² e 3000 dm², respectivamente.

0,036 m².

Actividades (6) 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

a) 5000 dm3; d) 0,457 m3; g) 4440000 mm3; a) 70 litros; d) 2800 litros; a) 700 cm3; 1,5 litros.

20 copos.

1250 garrafas.

121170 litros.

40 copos.

200 ml.

16,32 m3. b) d)

b) 12000000 dm3; e) 0,000655 km3; h)54000 dm3; b) 83,6 litros; e) 3,5 litros; b) 1500 cm3;

Chave de correcção da auto avaliação 1. 18,00 MT .

2. 60.950,00 MT 268

c) 13340 m3; f) 0,00457 dam3; i) 3141600 cm3. c) 5000 litros; f) 0,092 litros. c) 5000 cm3.

3. 4 anos 4. 2.000.000,00 MT 5. 3% ao mês 6. 1% ao mês 7. 5 meses 8. 50 meses 9. 86.068,53 MT 10. 63.814,08 MT 11. 5 anos 12. a) 0,7 m; b) 1,548 m; c) 15.050 m; d) 0,081 m; e) 0,02311 m 13. 1,2 km 14. 100 cm 15. a) 11,91 km; b) 11910 m 16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

a) 3g; b) 11,34 g; c) 5025 g; d) 8 g; e)1,5294 g 1,73 kg 7900 g a) 18,3 cg; 0,00183 hg; b) 2,1 kg; 2100 g; c) 3,5 mg; 0,00035 dag; d) 1455 g; 1455000 mg. a) 1020´´; b) 2310´´; c) 12120´´; d) 6420´´ a) No segundo dia; b) 5h 56´ 30´´ a) 1h 33´; b) 2h 15´ 50´´ 7h 7´ 50´ 20h 7´ A primeira 3600 segundos 24.60.60 = 86400 segundos 7. 24 = 168 horas (3.60)+45 = 225 minutos 10 anos (5.60) + 5 = 305 min 45 mn 35.60 = 2100 2.60 + 53 = 173 min 12.60 = 720 min 269

37. a) 210000 cm 2 ; b) 342200 cm 2 ; c) 3768 cm 2 ; d) 44,084 cm 2 38. a) 200000 m 2 , b) 131 m 2 , c) 3,499 m 2 ; d) 0,0142 m 2 39. 3000 azulejos 40. 0,003 m 2 41. 500 cm 2 .

Bibliografia Complementar

ALVARINHO, Ida; ELGERSMA, Remke, HUILLET, Danielle e outros: Matemática - Manual I, UEM – BUSCEP, 1991; VODOPIANOV, Serguei e ALVARINHO, Ida : Geometria Euclidiana – UEM, 1982

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