9789162284152

Origo Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund

L채rarhandledning kurs A

B ONNI ER S

Bonnier Utbildning Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08–696 86 00 Telefax 08–696 86 10

Redaktion: Karolina Danström, Olof Edblom och Fredrik Enander Grafisk form: Typoform Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Jan Wilhelmsson och Jakob Robertsson Omslag: John Turner/Getty och Antonio Rosarion/Getty

Origo Lärarhandledning kurs A ISBN 978-91–622–8415–2 © 2008 Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Bonnier Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Printed in Sweden by Intellecta Docusys AB, Västra Frölunda 2008

Innehåll

Origo Kurs A

4

Introduktion till Origo-serien och guide till lärarhandledningen.

Här finns ett förslag på timplanering för matematik kurs A.

Tal

14

Kapitel 1 NV/TE och kapitel 2 SP/ES

Algebra

32

Kapitel 2 NV/TE och kapitel 3 SP/ES

Procent

50

Kapitel 3 NV/TE och kapitel 4 SP/ES

Funktioner

70

Kapitel 4 NV/TE och kapitel 6 SP/ES

Statistik

82

Kapitel 5 NV/TE och kapitel 1 och 5 SP/ES

Geometri

100

Kapitel 6 NV/TE och kapitel 7 SP/ES

Bedömningar och prov

122

Tips på hur du kan arbeta med bedömningsmallar tillsammans med eleverna. Här finns bedömningsmallar till några uppgifter i läroboken och ett större prov som täcker hela kurs A.

Diskussionsuppgifter

134

Svar till Diskutera och fundera samt Rätt eller fel?

Cd-skiva Instruktioner för användningen av cd-skivan som är inklistrad på omslagets insida.

148

Övningsblad potenser 1 Skriv som en enda potens med angiven bas. a) 27 (med basen 3) b) 64 (med basen 2) c) 81 (med basen 3) d) 625 (med basen 5) e) 729 (med basen 9) 2 Skriv som en enda tiopotens.

103 ∙ 104 a) ​ _______ ​

102 b) (103)–2 108 c) ​ _______ ​ 106 ∙ 104 10–4 ∙ 102 ​

d) ​ ________ 10–2 3 Beräkna exponenten m i följande likheter: a) 42 ∙ 43 ∙ 4m = 48 b) 9m ∙ 9–4 ∙ 97 = 1 c) (5–2)–m = 58 47 ∙ 4m d) ​ ______ ​ = 412 4–3 4 Förenkla a4 ∙ a15 ​ a) ​ _________ a ∙ a–2 ∙ a3 (2x2)3 ∙ x3 b) ​ ________ ​

∙ 2x3 (4x)2 a2 ∙ a0 c) ​ _____ ​

a–2 1 –2 ​ ​ ​ ​ d) ​​ __ a

( )

5 Skriv följande potenser i bråkform utan negativa exponenter: a) 3 ∙ 2–2 b) (50 ∙ 2–1 ∙ 32)–1 1 –2 c) ​​ ​ __ ​ ​​ ​ 3 0 d) 3 ∙ 4–1 ∙ 22

( )

6 Beräkna a) 52 + 2 ∙ 32 b) 43 – (2 ∙ 23)2 c) (25 – 4 ∙ 3) ∙ (6 – 22 + 3) d) 4(5 ∙ 3 + 2 – 7 ∙ 2)3

18 tal

© origo. bonnier utbildning och författarna

Övningsblad decimalsystemet 1 Skriv följande bråk i decimalform och avrunda till 3 decimaler.

5 a) ​ __ ​ 7 32 b) ​ ___ ​ 6 37 c) ​ ___ ​ 11 54 d) ​ ____ ​ 127 2 Ordna talen i storleksordning. Börja med det minsta. a) 3,024 3,0237 3,0273 3,0244 3,02366 1 b) ​ __ ​ 0,33 0,333 0,3 0,334 3 3 1 ___ ​ 0,214 0,2143 0,22 c) ​ __ ​ ​

7 14 3 Ge exempel på ett decimaltal mellan a) –0,532 och –0,54 b) 5,78 och 5,79 c) 8,002 och 8,020 1 1 d) ​ __ ​ och ​ __ ​ 6 5 4 Sätt ut lämpliga tecken (=, > eller <) mellan följande produkter och kvoter: 4 0,98 ∙ 4 ​ ____ ​ 0,98 3 1,02 ∙ 3 ​ ____ ​ 1,03 5,02 5,02 ∙ 1,0 ​ ____ ​ 1,0 12 12 ∙ (–2) ​ ____ ​ (–2) 5 1 dl mjölk innehåller 120 mg kalium. Hur många gram kalium finns det i en liter mjölk?

6 Albin köper sju äpplen. De väger 1,32 kg och kostar 18,30 kr. a) Vad kostar ett kilogram äpplen? b) Vad kostar ett äpple i genomsnitt? c) Vad väger ett äpple i genomsnitt?

7 Avståndet mellan solen och jorden är 150 miljoner km och ljusets hastighet är 300 000 000 m/s. Hur lång tid tar det för ljuset att röra sig mellan solen och jorden?

© origo. bonnier utbildning och författarna

tal 19

Övningsblad ekvationer 1 Lös ekvationerna 1 6x – 14 = 28

2 9 – 5x = 49

8x 3 12 = ___ ​ ​ 3

4 x2 = 324

5 0,1x2 – 10 = 0

14x + 10 6 ​ ________ ​ = 12 9

7 3(6x – 8) = 5

8 (5x – 4) + (2x – 3) = –7

9 4(3x – 1) = 5 – (8x + 4)

10 (x – 2)2 = 9

34 algebra

© origo. bonnier utbildning och författarna

Övningsblad ekvationer 2 Lös ekvationerna 1 (3x + 1)2 = 0

5x2 2 ​ ___ ​ = 45 3

3 3x2 + 7 = 4x2 – 2

4 2(x2 + 1) = 4(5 – x2)

9 1 ​ ​= 2 5 ​ __ ​+ __ x 2

2 1 1 6 ​ ___ ​ – ​ __ ​= ​ ___ ​ 3x 6 2x

7 9 – 3x = 17 + (2x – 3)

8 (4 – x)2 = 12

9 –x – 1 = –2 – 2x

1 3 10 ​ __2 ​ = ​ ___ ​ x 27

© origo. bonnier utbildning och författarna

algebra 35

Aktivitet det gyllene snittet Vilken av nedanstående rektanglar tycker du har vackrast proportioner?

Valde du den högra? I så fall tycker du att de proportioner som kallas det gyllene snittet är den vackraste. I en rektangel som har proportionerna enligt det gyllene snittet förhåller sig sidorna på ett visst sätt.

A

B

C

F

E

D

Om man i rektangeln ACDF konstruerar en kvadrat ABEF så ska AC AC + AB ___ ​ ​ = ________ ​ ​

AB AC för att rektangeln ska ha det gyllene snittets proportioner. __

AC (​√5 ​ + 1) Förhållandet ​ ___ ​ = _______ ​ ​ och betecknas φ (man utläser det fi).

AB 2 Kvoten φ definierades redan för ca 2000 år sedan. Man försökte använda dessa proportioner inom såväl konst som arkitektur och musik.

Också när man undersöker proportioner i naturen, dyker kvoten φ upp. Det gäller till exempel kvoten mellan honor och hanar i ett bisamhälle; i spiralformer hos solrosfrön, snäckor och galaxer; tallkottars fjäll; bladens placering på en stjälk, i tusenskönan, i insektskroppens segment och mycket annat.

• Hur ser sambandet ut mellan bredd och längd i en gyllene rektangel? Skriv sambandet som en proportionalitet där bredden är proportionell mot längden.

• I en gyllene rektangel är bredden 12 cm. Beräkna rektangelns längd.

• Längden är 15,0 cm i en gyllene rektangel. Beräkna bredden?

• Mellan kronbladen runt rosens stjälk är vinkeln ca 222,5°. Vad har detta att göra med ϕ?

Italienske matematikern Leonardo Fibonacci (1170–1250) definierade i sin bok Liber abbaci den berömda talföljden som också har fått hans namn: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

• Komplettera talföljden med fler tal.

• Lista ut vilket samband det finns mellan Fibonaccis talföljd och ϕ?

104 geometri

© origo. bonnier utbildning och författarna

Aktivitet proportionalitet och proportioner Leonardo Da Vinci (1452–1519), vetenskapsman, uppfinnare och konstnär, förknippas av många med det gyllene snittet. Han och flera av hans samtida ansåg att även människokroppen skulle följa det gyllene snittets proportioner för att vara fulländad.

Mät och beräkna förhållandet mellan din längd och avståndet från din navel till golvet. Följer dina proportioner det gyllene snittet?

Gör också övriga mätningar och beräkningar enligt tabellen.

Hittar du det gyllene snittets proportioner? a cm

b cm

Din längd

Från golv till navel

Hela armen

Från fingrar till armbåge

Pekfingret

Från spets till andra leden

Fingrets två yttersta leder

Den yttersta leden

Benets längd

Från golv till knä

a __ ​ ​ b

( )

a ​ ​ ​ Medelvärde ​ __ b

Gör också de delar av den här undersökningen på Leonardos kända teckning ”Den vitruvianska människan”, som du ser här. Har Leonardo använt sig av det gyllene snittet?

Da Vinci Rule of Proportions © PhotoResearchers/ IBL Bildbyrå

© origo. bonnier utbildning och författarna

geometri 105

Extrauppgifter Tabeller

och diagram

1 Tabellen visar hur många böcker som besökarna på ett bibliotek lånar under en vecka. a) Skriv av tabellen och komplettera med relativ frekvens.

5 Enligt Vägverkets statistik skadades 259 mopedister svårt 2004. Cirkeldiagrammet visar fördelningen på olika åldersgrupper.

0–14 år

Antal böcker

Frekvens

1

7

2

12

3

8

4

6

5

4

6

1

b) Hur många procent av de skadade var mellan 15 och 17 år?

b) Rita ett stolpdiagram med antalet böcker på x-axeln och relativa frekvensen på y-axeln.

c) Hur många skadades i åldersgruppen 0–14 år?

15–17 år 18–24 år 25–64 år

a) I vilken åldersgrupp skadades flest?

2 Eleverna i en klass räknar hur många samlarbilder var och en har. Resultatet ser ut så här:

15 19 32 8 61 14 29 52 31 22 13 41 18 37 16 51 19 26 18 35 26 17 28 52 48

a) Gör en frekvenstabell med klassbredden 10.

6 Diagrammet visar hur många besök ett antal personer gör i ett badhus under en månad.

Antal personer 40 30 20 10

b) Beräkna de relativa frekvenserna.

1

c) Rita ett histogram.

3 Frekvenstabellen visar hur många filmer 30 tillfrågade personer hyrde per månad.

Antal filmer

Frekvens

Relativ frekvens

1

37 %

2

23 %

3

33 %

4

7%

2

3

4

5

Antal besök

a) Hur många personer gjorde 1 besök? b) Hur många personer var med i undersökningen? c) Rita om diagrammet så att den relativa frekvensen finns på y-axeln.

Skriv av tabellen och fyll i frekvensen.

4 Histogrammet beskriver åldersfördelningen i en schackklubb.

Antal 35 25 15 5 15

20 25 30 35 40 45 50

Ålder

Gör en frekvenstabell utifrån diagrammet som även innehåller relativ frekvens.

88 statistik

© origo. bonnier utbildning och författarna

Extrauppgifter Medelvärde och median 1 Tabellen visar antalet registreringar i Svenska Kennelklubben.

5 Det fanns 504 887 ungdomar 12–15 år och 7 693 638 personer 9–79 år i Sverige år 2005.

Till vad använder du internet privat?

70 000 60 000 50 000 40 000 30 000 1998 2000 2002 2004 2006

År

a) Hur många hundar registrerades i medeltal under perioden? b) Vilket var medianvärdet? c) År 2005 registrerades 60 371 hundar. Hur ändras medelvärde och median om du räknar med år 2005?

2 a) Beräkna medelvärdet av talen 3, 6, 4, 9, 7, 2. b) Beräkna medianen. c) Lägg till ett tal så att medelvärdet blir 5. d) Hur ändras då medianen?

3 Lilly ska sälja godis på marknaden. Hon gör i ordning påsar med godis och för in vikten i en tabell.

Vikt (hg) Frekvens 1,8

5

1,9

17

2,0

22

2,1

15

2,2

6

a) Uppskatta medelvärdet utan att räkna. b) Kontrollera ditt uppskattade medelvärde. c) Dagen efter upptäckte hon att vågen visade 20 g för lite. Hur ändras medelvärdet?

4 Medelåldern på fem anställda i en sportaffär var 24 år. En kvinna på 36 år anställs som butiksföreståndare. Vad blir därefter genomsnittsåldern i sportaffären? (Np MaA vt 2005)

Informationssökning 60 % E-post 57 % Bank 39 % Nyheter 30 % Inköp 24 % Myndighetsinformation 22 % Nöje 20 % Musik 16 % Chatta 8 % Datorteknik 7 % Pornografi/erotik 4 % Allmänheten 9–79 år. Flera svar möjliga.

Vad brukar du göra på internet?

Chatta Spela spel 47 % Surfa för nöjes skull 45 % Läxor och skolarbete 41 % Mejla 39 % Ladda ner t.ex. musik 38 % Söka information 28 % Vara på mötesplatser 23% Lägga ut egna bilder 9% Kolla på porr 2 % Använder inte internet 7 %

72 % Källa: Forskning och Framsteg

Antal

Ungdomar 12–15 år. Flera svar möjliga.

a) På vilket sätt skiljer sig ungdomars internetanvändning från befolkningen i allmänhet? b) Hur många ungdomar mellan 12 och 15 år brukar chatta? c) Studera det diagrammet som visar internetanvändning hos åldersgruppen 9–79 år.

Hur många alternativ har de prickat för i genomsnitt?

6 Diagrammet visar priset på blå och gröna vindruvor. kr 40 30

Pris

Gröna druvor Blå druvor

20 10

Vikt 0,5 1,0 1,5 2,0

kg

a) Vad kostar 1 kg gröna vindruvor? b) Hur mycket mer får du av blå druvor än av gröna om du köper vindruvor för 30 kr?

© origo. bonnier utbildning och författarna

statistik 89

Prov Statistik NV/TE 1 Ludvig klagar över att skolarbetet tar så mycket tid så att han inte hinner vara tillsammans med sina kompisar. Hans tvillingsyster Lotta säger att hon läser mer, men att hon ändå hinner med sina kompisar. De ritar var sitt diagram över hur de använder sin tid under en normal vecka. Så här såg diagrammen ut.

Ludvig

Lotta

Skolarbete Träning Kompisar Dator/tv Övrigt

35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000

1991

1993

1995

1997

1999

2001

2003

a) När under perioden är antalet upptäckta fall lägst?

(1/0)

b) Hur många procent har antalet upptäckta fall ökat med fram till år 2005? (1/0)

2≤x<4

7

4≤x<6

9

6≤x<8

3

8 ≤ x < 10

3

10 ≤ x < 12

1

a) Komplettera tabellen med relativ frekvens.

Antal 4 2 1 0

Röd

Mörkblå

Silver

Rita ett cirkeldiagram som visar samma sak.

(1/1)

7 Diagrammet visar två olika kurvor över temperaturvariationer på norra halvklotet. Den övre kurvan brukar kallas ”hockeyklubban” och togs fram av en amerikansk geolog år 1998–99. Nu har forskare vid Stockholms universitet tolkat gamla klimatdata på annat sätt och ritat en ny kurva. Jämför de båda kurvorna med varandra.

(1/0)

0,8

Temperatur °C

0,4

b) Rita ett histogram med relativa frekvensen på y-axeln

(2/0)

c) Beräkna medelvärdet.

(0/1)

0

Hockeyklubban

–0,4 Nya kurvan

4 Vidar har en samling stenar. Han har vägt dem och resultatet i gram ser du här: 15,7 15,2 16,1 14,7 15,5 15,9. a) Beräkna medelvärde och median.

(0/1)

6 Stapeldiagrammet visar färgen på de bilar som beställts på bilfirman ”Bra bil” under januari månad.

(1/0)

Antal brevlådor (frekvens) 9

0

2005

3

3 Tabellen visar antalet brev som brevbäraren en dag lade i de 32 brevlådorna i ett bostadsområde.

0≤x<2

40 000

Källa: DN

Antal testade personer Upptäckta fall av klamydia

c) Hur många procent av de som testades år 2000 visade sig ha klamydia?

2 Ge ett exempel på ett statistiskt material där typvärdet är det bästa lägesmåttet.

–0,8

(2/0)

b) Han vill byta ut en sten mot en annan av valfri vikt så att medelvärdet blir lika stort som medianen. Hur ska han göra? Ge två förslag.

(0/2)

90 statistik

500 000 450 000 400 000 350 000 300 000 250 000 200 000 150 000 100 000 50 000 0

Skolarbete Kompisar Träning Dator/tv Övrigt Sömn

När de jämför sina diagram säger Ludvig: ”Du ser ju att jag pluggar mer än du”. Det ser ju faktiskt ut så men Lotta vet ju att hon pluggar mer. Vad beror det på?

(1/0)

Antal brev

5 Diagrammet visar antalet testade personer och antalet upptäckta fall av klamydia år 1991–2005.

År 200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

a) Beskriv i stora drag hur kurvorna skiljer sig åt.

(1/1) b) Under vilken period är det störst skillnad i tolkningen av klimatdata?

(0/1)

© origo. bonnier utbildning och författarna

Prov Statistik SP/ES 1 Diagrammet visar antalet testade personer och antalet upptäckta fall av klamydia år 1991–2005.

500 000 450 000 400 000 350 000 300 000 250 000 200 000 150 000 100 000 50 000 0

40 000

Källa: DN

Antal testade personer Upptäckta fall av klamydia

35 000

1995

1997

1999

2001

2003

2005

Kostnad i euro

Nederländerna

0,85

25 000

Sverige

1,12

15 000

Tyskland

1,23

10 000

Danmark

2,39

Storbritannien

3,37

Finland

4,84

5 000 1993

Land

30 000 20 000

1991

4 Kostnaden för ett 10 minuters samtal till USA från olika länder visas i tabellen här nedanför.

0

a) Hur många testade sig 1997?

(1/0)

b) Beskriv med ord vad diagrammet visar.

a) Rita ett diagram som visar vad det kostar att ringa från olika länder till USA. (1/0)

(1/0)

b) Hur mycket mer kostar det att ringa från Finland än från Sverige?

(1/0)

c) Hur många procent dyrare är det att ringa från Finland än från Sverige?

(1/0)

c) Hur många procent av de som testades år 2005 visade sig ha klamydia?

(0/1)

2 Ett företags resultat visas med hjälp av nedanstående diagram. Direktör Bengtsson visar diagrammet för företagsstyrelsen och hävdar att företaget går oförskämt bra.

Finns det skäl för styrelsen att vara misstänksam? Motivera ditt svar.

(1/0) milj kr

Omsättning

5 Diagrammet visar antalet asylsökande i Sverige år 2006.

Antal/månad 3 500 Asylsökande i Sverige – från alla länder Asylsökande i Sverige – från Irak

3 000 2 500

Totalt 2006 24 322

2 000

6,0

Totalt 2006 8 951

1 500 1 000 500 0

5,5

Källa: Migrationsverket jan

feb

mar

apr

maj

jun

jul

aug

sep

okt

nov

dec

a) Hur stor andel av dessa var från Irak? (1/0) Tid

5,0

sep okt nov dec Månad -07

3 Fem skolungdomar sommarjobbade vid ett företag. Eftersom de var olika gamla och en del hade jobbat där tidigare hade de olika timlön. De tjänade 39,50 kr, 65,30 kr, 67,90 kr, 67,90 kr och 69,30 kr. a) Vilket är typvärdet?

(1/0)

b) Vilket lägesmått är lämpligast att använda? Motivera ditt svar.

(1/0)

© origo. bonnier utbildning och författarna

b) Vilken typ av diagram är lämpligt att använda om man vill jämföra hur många som kom från Irak med det totala antalet. Motivera ditt svar och beskriv hur du ska göra.

(0/2)

c) Under vilken månad var andelen från Irak minst?

(0/1) 6 Anna har 12 kulor som väger 3,2 g i genomsnitt. Hon ger en kula som väger 4,0 g till Sofia. Vad väger hennes återstående kulor i genomsnitt?

(1/1)

7 Frans hade en påse godis.

Den innehöll 62 svarta, gula, röda och gröna godisar. Diagrammet visar andelen av varje färg. Rita ett stapeldiagram som visar samma sak.

(1/1)

116° 70°

87° 87°

Svarta Röda Gröna Gula

statistik 91

¤-uppgift

¤

En korg full…

Konsumentprisindex, KPI, ska visa den allmänna prisutvecklingen. Man kan tänka sig en stor korg med allt som vi köper. Korgen innehåller varor och tjänster i den proportion som hushållen brukar köpa. KPI följer hur priset på den här korgen utvecklas över tiden. Under året är det samma varor i korgen och man uppdaterar priserna från månad till månad. Inför varje nytt år ser man över KPI-korgens sammansättning för att spegla det aktuella köpmönstret.

KPI-korgen år 2005 Restauranger 5 % Rekreation 12 %

Diverse 5%

Alkohol, tobak 4 % Kläder 6 %

Transport 14 % Hälsovård 3 % Inventarier 5 %

• Anta att utgifter för kläder och skor i KPI-korgen minskar till 4 %. Hur stor är den procentuella minskningen?

• I tabellen syns hur hushållens utgifter för de olika delarna av KPI-korgen har förändrats under år 2005. Skriv av och fyll i det nya värdet med 2 decimaler. Hur många procent kommer hushållens utgifter att öka under året?

KPI-korgen

Livsmedel 13 %

Post, tele 3 %

• Familjen Sibaharti använder ungefär 700 kr till hälsovård per månad. Hur mycket kostar deras boende?

Boende 30 %

Procentangivelserna anger hur stor andel av hushållens utgifter som går till respektive huvudgrupp.

• Vad lägger de flesta hushåll mest respektive minst pengar på?

• Familjen Palmstiernas totala utgifter per månad är 32 000 kr. Hur mycket lägger de på alkohol och tobak per månad?

• Familjen Torstensson använder runt 3 000 kr per månad till transporter. Hur stora är familjens samlade utgifter per månad?

© origo. bonnier utbildning och författarna

Boende Kläder,skor Alkohol, tobak Livsmedel Diverse Restaurang och logi Rekreation Post, tele Transporter Hälsovård Inventarier

Förändring (%) Nytt värde under 2005 (%) 2,9 –0,4 1,3 –0,6 4,7 2,1 –1,5 –8,0 5,3 1,6 –1,9 Summa

• Vad blir KPI för år 2006 om KPI för år 2005 är 280 och innehållet i korgen antas vara densamma?

• Om utgiften för boende ökar med 10 % och alla andra utgifter är oförändrade, hur stor andel skulle boendet uppta?

procent 63

Bedömningsmall En korg full…

Maximalt kan man på denna uppgift få 7 G-poäng och 4 VG-poäng (7/4).

Punkt 1

Punkt 2 Punkt 3 Punkt 4 Punkt 5 Punkt 6

Eleven ger ett rimligt svar på vad de flesta hushåll lägger mest, respektive minst pengar på (mest: boendet, minst: post/tele och hälsovård).

1G

Eleven gör en lämplig beräkning för att få fram hur mycket familjen Palmstierna lägger på alkohol och tobak (1 300 kronor i genomsnitt).

1G

Eleven gör en lämplig beräkning för att få fram familjen Torstenssons samlade utgifter (runt 20 000 kr).

1G

Eleven gör en lämplig beräkning för att få fram kostnaden för familjen Sibahartis boende (7 000 kr).

1G

Eleven gör en lämplig beräkning av den procentuella minskningen av andelen (33 %).

Eleven gör en ansats till att fylla i tabellen, till exempel räknar ut något nytt värde.

Eleven fyller i tabellen huvudsakligen korrekt.

Med tydliga uträkningar och en korrekt slutsumma (utgifterna har ökat med 1,45 %).

KPI-korgen Boende Kläder, skor Alkohol, tobak Livsmedel Diverse Restaurang och logi Rekreation Post, tele Transporter Hälsovård Inventarier

1 VG 1G 1 VG + 1 VG

Förändring (%) Nytt värde under 2005 (%) 2,9 30.87 –0,4 5,98 1,3 4,05 –0,6 12,92 4,7 5,24 2,1 5,11 –1,5 11,82 –8,0 2,76 5,3 14,74 1,6 3,05 –1,9 4,91 Summa 101,45

Punkt 7

Eleven gör en lämplig beräkning för att hitta KPI för år 2006 (284).

1G

Punkt 8

Eleven gör en ansats till att räkna ut andelen som boendet upptar.

1G

Eleven räknar ut andelen korrekt med en tydlig redovisning (32 %). + 1 VG

64 procent

© origo. bonnier utbildning och författarna

Lösningar och facit ¤-uppgiften

undersökningar

En korg full

Räkna ränta med excel

• Mest på boendet och minst på post/ tele och hälsovård.

•

• Om familjen Palmstiernas utgifter speglar KPI-korgens sammansättning, så borde de lägga ut 32 000 ∙ 0,04 = 1 280 ≈ 1 300 kronor per månad i genomsnitt för alkohol och tobak.

3 000 ​ ≈ • _____ ​ 20 000 kr.

0,14 • 700 ∙ 10 = 7 000 kr.

4 2 ​ ​ ≈ 0,67 det vill säga • ​ __ ​ = __ 6 3 33 % minskning.

• KPIkorgen

Förändring (%) under 2005

Nytt värde (%)

• Efter 19, 51 och 282 år.

Kaffe med mjölk SP/ES Behållarna har volymen a och skeden rymmer volymen b.

Ta en sked kaffe och häll i mjölken.

Andelen av kaffe i mjölkkoppen är b Kaffe ​ ​

​= _____ ​ ___________ kaffe + mjölk a + b Medan andelen mjölk i mjölkkoppen är a ​ ​ _____ a+b Ta en sked av blandningen och häll i kaffet. Andelen mjölk i kaffekoppen blir Mjölk ___________

​= ​ kaffe + mjölk skedens volym ∙ andelen mjölk = _________________________ ​ ​

= hela volymen b(a/(a + b)) _____ b = __________ ​ ​ = ​ ​

a a+b Alltså är det lika mycket mjölk i kaffet som det är kaffe i mjölken.

Boende

2,9

30 ∙ 1,029 ≈ 30,87

Kläder, skor

–0,4

6 ∙ 0,996 ≈ 5,98

Alkohol, tobak

1,3

4 ∙ 1,013 ≈ 4,05

Livsmedel

–0,6

13 ∙ 0,994 ≈ 12,92

Diverse

4,7

5 ∙ 1,047 ≈ 5,24

Restaurang och logi

2,1

5 ∙ 1,021 ≈ 5,11

Rekreation

–1,5

12 ∙ 0,985 ≈ 11,82

Post, tele

–8,0

3 ∙ 0,92 ≈ 2,76

c-uppgifter nv-boken

Transporter

5,3

14 ∙ 1,053 ≈ 14,74

Lösningar till C-uppgifterna i NV/TE Kurs AB.

Hälsovård

1,6

3 ∙ 1,016 ≈ 3,05

3 3116 Citronträd: ​ __ ​

Inventarier

–1,9

5 ∙ 0,981 ≈ 4,91

historiasidorna 7,38 kr

8

8 5 __ 1 Apelsinträd: ​ ___ ​ ∙ __ ​ ​ = ​ ​ 15 8 3 2 5 __ 1 Palmer: ​ __ ​ ∙ __ ​ ​ = ​ ​ 5 8 4 3 1 1 Mangoträd: 1 – ​ __ ​ ​ + ​ __ ​ + ​ __ ​ ​= 8 3 4 23 1 = 1 – ​ ___ ​= ___ ​ ​ ≈ 4,2 % 24 24 Svar: 4,2 % av träden är mangoträd.

Summa 101,45

(

• 280 ∙ 1,0145 ≈ 284 • Boendet ökar med 10 %: 30 ∙ 1,1 = 33, dvs. en ökning totalt sett med 3 %.

Totalt kommer vi då att ha 100 + 3 = 103 %.

33 ____ ​ ​ ≈ 0,32 dvs. 32 %.

103

)

3117 Den röda kandidaten fick 0,35 ∙ 0,28 ≈ 9,8 % av rösterna.

Om alla som inte röstade hade röstat på den röda kandidaten, så hade han fått 72 % + 9,8 % ≈ ≈ 81,8 % av rösterna.

Den blå kandidaten fick 0,65 ∙ 0,28 ≈ 18,2 % av rösterna.

Om alla som inte röstade hade röstat på den blå kandidaten, så hade han fått 72 % + 18,2 % ≈ ≈ 90,2 % av rösterna.

Svar: Om alla hade röstat, så hade resultatet kunnat vara allt från 9,8 % till 81,8 % på den röda och 18,2 % till 90,2 % på den blå.

3118 Lösning: se undersökningen Kaffe med mjölk.

3133 Sidan i den större kvadraten är x cm. x2 = 1,4 x = 1,18 Svar: Sidan måste ökas med 18 %.

3134 Förslag: Vattenmängden i en behållare ändras på grund av regn och avdunstning. Först minskar den med 1,5 %, sedan ökar den med 3,1 % och minskar slutligen åter med 1,2 %.

Hur mycket är det då i behållaren om det var 1 200 liter från början?

Lösning: 0,985 ∙ 1,031 ∙ 0,988 ∙ 1 200 l = = 1 204 liter 3135 1,25 ∙ 1,3 ∙ 0,8 = 1,3 Svar: Förpackningens volym blir 30 % större.

3136 Den största arean är 1,05 ∙ 1,05 = = 1,1025 a.e.

Den minsta arean är 0,95 ∙ 0,95 = = 0,9025 a.e.

0,9025 ​ ______ ​ ≈ 0,819 1,1025 1 – 0,819 = 0,181 Svar: Den minsta är 18 % mindre än den största.

3137 a) Modell 1 t.ex. 1,1 ∙ 0,9 = 0,99 Modell 2 t.ex. 0,9 ∙ 1,1 = 0,99 Svar Alltså är båda alternativen värdeminskning b) Svar: Ingen c) Svar: Att det inte spelar någon roll i vilken ordning man gör förändringarna.

© origo. bonnier utbildning och författarna

procent 65

100

2001

107

106

2002

105

107

2003

106

110

2004

104

106

b) På vardagar med 4 % och på veckoslut med 6 %. c) Priset har höjts med lika många procent på vardagar som veckoslut från år 1995 till år 2004, men hade höjts mer på vardagar fram till år 2000. År 1995 är basår i den ursprungliga tabellen. d) 1,04 ∙ 895 kr ≈ 931 kr Svar: Rummet skulle ha kostat 931 kr år 2004.

BU20 Jackan kostade x kr från början.

Efter prishöjningen: (x + 1 400) kr Med rabatt: 0,7(x + 1 400) = = x – 820 1 800 = 0,3x x = 6 000 Svar: Jackan hade kostat 6 000 kr.

BU21 1,5 procentenheter = 1 500 kr 1 500 Lånet var _____ ​ ​ kr = 100 000 kr

0,015 Nya räntesatsen x % x ∙ 100 000 = 9 000 x = 0,09 Svar: Lånet är 100 000 kr och den nya räntesatsen 9 %.

BU22 1,1x ≈ 2 BU23 Nya priset är 1,25 ∙ 0,9 ∙ gamla priset = 1,125 ∙ gamla priset Man ska förändra med förändringsfaktorn x.

1,1 ∙ x = 1,125 1,125 x = _____ ​ ​ 1,1 Svar: Höja priset med ytterligare 2,3 %.

66 procent

(

)

4110 Den röda kandidaten fick 0,35 ∙ 0,28 ≈ 9,8 % av rösterna.

Om alla som inte röstade hade röstat på den röda kandidaten, så hade han fått 72 % + 9,8 % ≈ ≈ 81,8 % av rösterna.

Den blå kandidaten fick 0,65 ∙ 0,28 ≈ 18,2 % av rösterna.

Om alla som inte röstade hade röstat på den blå kandidaten, så hade han fått 72 % + 18,2 % ≈ ≈ 90,2 % av rösterna.

Svar: Om alla hade röstat, så hade resultatet kunnat vara allt från 9,8 % till 81,8 % på den röda och 18,2 % till 90,2 % på den blå.

4128 Av de som har villa/sommarstuga:

Inte villa = (66 – 41) % = 25 %

Inte sommarstuga = = (66 – 48) % = 18 %

Både villa och sommarstuga = = (66 – 18 – 25) % = 23 %

Svar: 23 % hade både villa och sommarstuga.

4129 Låt nB vara antalet personer med blå ögon, nL antalet ljushåriga personer, nBL antalet ljushåriga personer med blå ögon och n totala antalet personer. Då är nBL __ n ​ ___ ​ > ​ L ​ n n

(om nBL, nB , nL och n alla är > 0) n n ___ ​ BL ​ > ___ ​ B ​ nL n

Det vill säga: Andelen med blå ögon av de ljushåriga är större än andelen blåögda av hela befolkningen.

Svar: Ja!

4224 a) 42 000 ∙ 1,076 invånare ≈ ≈ 63 000 invånare Svar: 63 000 invånare b) 1,077 ≈ 1,61 Svar: Med 61 % 4225 Lös ekvationen 0,95x = = 0,5 grafiskt. Lägg in y1 = 0,95x och y2 = 0,5 och undersök var graferna skär varandra med hjälp av räknarens intersect.

Svar: Efter 14 dagar.

4237 Lösning, se facit i läroboken.

(0,32 ‰ – 16 ppm) 4238 ​ ________________ ​

= 0,32 ‰ 0,00032 – 0,000016

= ​ ________________ ​ =

0,95 0,00032 Svar: Den sjönk med 95 %.

4239 Om vi antar att barnadödligheten förändras linjärt så kan vi lösa uppgiften grafiskt.

Barnadödlighet (milj) 14 12 10 8 6 4 2 0

Förväntad dödlighet

FN:s mål År 2015

100

2015

2000

1 1 4214 ​ __ ​= 0,25 och __ ​ ​ = 0,125 4 8 Förändringsfaktor = = 0,75 ∙1,125 = 0,84375 1 – 0,84375 ≈ 0,16 = 16 % Svar: Värdet har minskat med 16 %

2010

Veckoslut

Lösningar till C-uppgifterna i SP/ES Kurs A. 3 4109 Citronträd: ​ __ ​ 8 8 5 __ 1 Apelsinträd: ​ ___ ​ ∙ __ ​ ​ = ​ ​ 15 8 3 2 5 __ 1 Palmer: ​ __ ​ ∙ __ ​ ​ = ​ ​ 5 8 4 3 1 1 Mangoträd: 1 – ​ ​ __ ​ + ​ __ ​ + ​ __ ​ ​= 8 3 4 1 23 ​ ​ ≈ 4,2 % = 1 – ​ ___ ​= ___ 24 24 Svar: 4,2 % av träden är mangoträd.

2005

Vardag

4213 1,05 ∙ 0,93 = 0,93 ∙ 1,05 Svar: Det spelar ingen roll.

2000

3227 a) År

c-uppgifter sp-boken

1995

3216 Förslag: Handpenning = = 0,10 ∙ 14 995 kr = 1 500 kr.

Resten = = 14 995 – 1 500 + 24 ∙ 25 = = 14 095 kr 14 095 Per månad = ​ ______ ​ =

587 kr 24 Svar: Han ska betala 1 500 kr när han hämtar datorn och sedan 587 kr/mån i 24 månader.

BU25 B = 0,9A och C = 0,2 ∙ 0,9A B 0,9A __ ​ ​= ________ ​ ​= 5

C 0,2 ∙ 0,9A

4212 Sidlängden är s längdenheter och arean A areaenheter. s∙s=A Om förändringsfaktorn är f så gäller f ∙ s ∙ f ∙ s = 1,40 A dvs. f 2 = ____ 1,4 f=√ ​ 1,40 ​ ≈ 1,18 Svar: Med 18 %

BU24 Låt x vara 2 år och lös olikheten 8 ∙ 10–6 ∙ 2x > 10–3 genom prövning. x ≈ 7 alltså 14 år Svar: Det tar 14 år innan salthalten överstiger 1 ‰.

1990

3215 Jackan kostar 1 595 kr. Hon betalar 399 kr vid köpet.

Resten av kostnaden med 20 % påslag är 1436 kr.

Att betala per månad: 120 kr.

Svar: Sara betalar 399 kr vid köper och 120 kr/mån i 12 månader.

FN:s mål är 0,33 ∙ 13 milj ≈ ≈ 4,3 milj Förväntad dödlighet ≈ 8,0 milj vilket innebär en minskning på 1 – 8,0 ​ ______ ​ ≈

38 % 13 Skillnad = (67 – 38) procentenheter = 29 procentenheter vilket 29 är ​ ___ ​ ≈ 43 % av målet.

67 Svar: Barnadödligheten kommer att minska med 29 procentenheter mindre än FN:s mål vilket är 43 % av det uppställda målet.

© origo. bonnier utbildning och författarna

Diskussionsuppgifter Svar till Diskutera och fundera i NV-boken

Sidan 20

• Vilka är fördelarna med att använda MGN jämfört med en annan gemensam nämnare?

Svar: Beräkningarna blir oftast enklare om man använder MGN eftersom nämnaren blir mindre.

• Vad betyder egenskapen delbarhet hos hela tal? a Svar: Man säger att heltalet a är delbart med heltalet b om kvoten ​ __ ​ är ett b heltal.

• Varför kan inte ett sammansatt tal vara negativt?

Svar: För att alla sammansatta tal (enligt definitionen) är större än 1.

• Vilka olika betydelser kan minustecknet ha?

Svar: Minustecknet kan beteckna ett negativt tal, till exempel –14. Minustecknet kan också beteckna en subtraktion, till exempel 7 – 4 = –3, liksom ett motsatt tal, t.ex. –7 till 7.

• Vad är skillnaden mellan ett bråk och en kvot? a Svar: Ett uttryck av formen ​ __ ​ kallas för bråk, där a och b är hela tal och b b ≠ 0. Resultatet av divisionen mellan täljare och nämnare kallas för kvot.

• Varför använder man multiplikation när man ska dividera två bråk?

Svar: När man dividerar två bråk, så förlänger man bråket med nämnarens inverterade tal för att få talet 1 i nämnaren. Därför beräknas kvoten av två bråk genom att ”multiplicera bråket i täljaren med nämnarens inverterade tal”.

Sidan 28

• Vilka produkter kan skrivas i potensform?

Svar: Produkter där man multiplicerar ett tal eller ett uttryck (basen) med sig självt ett antal gånger kan skrivas i potensform.

• På vilket sätt gäller potenslagarna för exponenten noll?

Svar: Potenslagarna gäller på samma sätt som för andra exponenter för exponenten noll. Potensen 00 är dock inte definierad.

• Hur tolkas negativa exponenter?

Svar: Negativa exponenter betecknar potenser i nämnaren av ett bråk, till 1 exempel 5–3 = ​ __3 ​ 5 • Vilket tal kan inte vara både bas och exponent samtidigt i en potens?

Svar: Talet noll kan inte vara både bas och exponent samtidigt, eftersom potensen 00 inte är definierad.

• Vilka prioriteringsregler gäller för det som står inom parentes i ett matematiskt uttryck?

Svar: Det som står inom parentes beräknas först.

134 diskutera

© origo. bonnier utbildning och författarna

Sidan 39

• Vad betyder begreppet bas i ett positionssystem?

Svar: Basen i ett positionssystem är ett tal. Om basen är 2, så kan varje tal skrivas med hjälp av två olika siffror. Om basen är 10, så kan varje tal skrivas med 10 olika siffror. Antalet olika siffror eller symboler som man använder för att beteckna talen eller storheterna med är alltså lika med basen.

• Hur skriver man ett tal i utvecklad form?

Svar: Om man skriver ett tal i utvecklad form, så skriver man talet som en summa av de olika platsvärdena (tiopotenserna). Till exempel 3 201 = 3 · 1 000 + 2 · 100 + 0 · 10 + 1 · 1 = 3 · 103 + 2 · 102 + 0 · 101 + 1 · 100.

• Varför kan kvoten av ett bråk inte vara ett irrationellt tal? a Svar: För att alla rationella tal kan skrivas på formen ​ __ ​ , där a och b är b hela tal och b ≠ 0. Om man utför divisionen mellan a och b, så blir även kvoten ett rationellt tal. Irrationella tal kan däremot inte skrivas som a kvoten av två heltal, dvs. på formen ​ __ ​ där b ≠ 0. b • Vilka siffror kan betraktas som gällande siffror i ett närmevärde?

Svar: I en mätning är det de siffror som man vet är tillförlitliga. I ett givet tal är det alla siffror utom (för det mesta) nollor i slutet på ett heltal, och nollor framför andra siffror i ett decimaltal.

• Hur kan man få ett så bra resultat som möjligt vid överslagsräkning?

Svar: Genom att avrunda talen så att man kan utföra beräkningarna i huvudet och sedan följa tumreglerna för addition, subtraktion, multiplikation och division. Resultatet av en överslagsräkning blir bättre vid addition: om ena termen minskas och den andra ökas subtraktion: om båda termerna ökas eller minskas multiplikation: om ena faktorn minskas och den andra ökas division: om nämnaren avrundas först och sedan täljaren helst åt samma håll, viktigast är att man kan utföra divisionen i huvudet • I vilka situationer är det lämpligt att använda grundpotensform respektive prefix?

Svar: I vardagslivet är det oftast enklare att beskriva storheter med prefix, t.ex. kilometer eller milligram. Egentligen bör man alltid använda sig av prefix, om prefixen underlättar kommunikationen. Väldigt små eller mycket stora tal (som innehåller många nollor) är lämpliga att skriva i grundpotensform.

Sidan 58

• Vad är skillnaden mellan variabelterm, koefficient och konstantterm?

Svar: Variabeltermen kan innehålla både en koefficient och en variabel, t.ex. 3x2. Koefficienten är konstanten framför variabeln, t.ex. i 3x2 är koefficienten 3. En konstantterm innehåller inga variabler, t.ex. är 5 en konstantterm.

• Hur beräknar man värdet av ett uttryck?

Svar: Värdet av ett algebraiskt uttryck beräknas genom att ersätta variabeln med ett givet tal.

• Vad menas med termer av samma slag?

Svar: Termer av samma slag är termer med samma variabler där variablerna har samma exponent.

© origo. bonnier utbildning och författarna

diskutera 135

Origo Lärarhandledning kurs A Origo Lärarhandledning kurs A är ett lärarmaterial kopplat till böckerna Origo kurs AB för NV och TE och Origo kurs A för SP och ES. Origo är en modern matematikbok för gymnasieskolan och vuxenutbildning med övningar, problemlösning och kommunikations­uppgifter på olika nivåer, mål, test och tankekartor som kontrollstationer, matematikens historia och undersökningar som ger fördjupade kunskaper.

Serien består av Origo kurs AB för NV och TE Origo kurs C för NV och TE Origo kurs D för NV och TE Origo kurs E för NV och TE Origo kurs A för SP och ES Origo kurs B för SP och ES Origo kurs C för SP och ES Origo Lärarhandledning kurs A Origo Lärarhandledning kurs B Origo Lärarhandledning kurs C Origo Lärarhandledning kurs D Origo Lärarhandledning kurs E

Vill du veta mer om Origo-serien kontakta: Karolina Danström, karolina.danstrom@bonnierutbildning.se Olof Edblom, olof.edblom@bonnierutbildning.se

ISBN 978-91-622-8415-2

www.bonnierutbildning.se

Best.nr 622–8415-2