9789162291280

Origo

Origo

Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund

Origo är en modern matematikbok för gymnasieskolan och vuxenutbildning med övningar, problemlösning och kommunikationsuppgifter på olika nivåer, mål, test och tankekartor som kontrollstationer, matematikens historia och undersökningar som ger fördjupade kunskaper.

Serien består av Origo kurs AB för NV och TE Origo kurs C för NV och TE Origo kurs D för NV och TE Origo kurs E för NV och TE

Origo Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund

Origo kurs A för SP och ES Origo kurs B för SP och ES Origo kurs C för SP och ES Origo Lärarhandledning kurs A Origo Lärarhandledning kurs B Origo Lärarhandledning kurs C Origo Lärarhandledning kurs D Origo Lärarhandledning kurs E

ISBN 978-91-622-9128-0

www.bonnierutbildning.se

(9128-0)

Matematik kurs D för naturvetenskapliga och tekniska program BON N I E R S

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund

Origo Matematik kurs D fรถr naturvetenskapliga och tekniska program

B ONNIER UT B IL DNING

Till läsaren DEN HÄR BOKEN i serien ORIGO är skriven för dig som går Naturvetenskaps-

eller Teknikprogrammet och ska läsa Matematik D.

BONNIER UTBILDNING Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08–696 86 00 Telefax 08–696 86 10

Redaktion: Karolina Danström och Olof Edblom Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Jakob Robertsson Bildredaktör: Margareta Söderberg

Origo kurs D för NV och TE ISBN 978-91–622–9128-0 © 2009 Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Bonnier Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Printed in Italy by STIGE S.p.A. Turin 2009

• ORIGO kurs D är indelad i fem kapitel. De fyra första kapitlen behandlar innehållet i D-kursen och inleds med att ange de förkunskaper som du har nytta av och de mål som du förväntas uppnå. I det sista kapitlet presenteras lite mer omfattande uppgifter. För att lösa dem krävs det att du använder kunskaper från olika områden av matematiken. Du hittar fler uppgifter på origowebben www.bonnierutbildning.se/origo.

• Teorigenomgång följs av lösta exempel som belyser teorin. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner till hur du kan använda din grafritande räknare.

• Det finns uppgifter på tre olika nivåer och av olika karaktär. Öppna uppgifter har inte ett givet svar och kräver många gånger en matematisk diskussion. A-uppgifterna är standarduppgifter som i regel kan lösas i ett steg, medan B-uppgifterna ofta kräver en lösning i flera steg. C-uppgifterna är mer komplexa till sin karaktär och för att lösa dem behöver du ibland använda matematikkunskaper från flera områden.

• Efter varje delkapitel kommer Diskutera och fundera. Där kan du i samtal tillsammans med din lärare och dina kamrater utveckla det matematiska innehållet i delkapitlet.

• I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv.

• Blandade uppgifter finns på tre nivåer och innehåller övningar, problemlösning och diskussionsuppgifter. Här får du möjlighet att befästa dina kunskaper från hela kapitlet.

• Du kan tillsammans med din lärare och dina kamrater göra en eller flera Undersökningar. Dessa har mer laborativ karaktär och kräver ibland tillgång till material eller dator.

• Kapiteltest och Tankekarta avslutar kapitlet. Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop och är också en bra utgångspunkt för ett muntligt test. Testet och tankekartan är din kontrollstation för att du ska veta att du har uppnått kapitelmålen.

Lycka till!

Författarna

Innehåll 1 Derivata och

deriveringsregler

2 Integraler 6

1.1 Deriveringsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Derivatans definition 8 Tolkningar av derivatan 11 Derivata av en produkt och av en kvot 13 Derivata av en sammansatt funktion 17 Derivata av en logaritmfunktion 20 Newton-Raphsons metod 22

1.2 Andraderivatan

...........................

44

2.1 Primitiva funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Vad är en primitiv funktion? 46 Primitiva funktioner till potensfunktioner och exponentialfunktioner Primitiva funktioner med villkor 52

49

2.2 Integraler och areor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

26

Grafers konkavitet 26 Lokala maximi- och minimipunkter 30 En funktions största och minsta värde 33 Differentialekvationer 35

Historia: Differentialkalkylen . . . . . . . . . . . . 38 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Arean under en kurva 55 Samband mellan derivata och integral 60 Arean av områden mellan två kurvor 64 Räkneregler för integraler 68 Arean av områden kring x-axeln 70

2.3 Mer om integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Numerisk integration 74 Tillämpningar av integraler

78

Historia: Integralkalkylens historia . . . . . . . 81

3 Trigonometri 3.1 Enhetscirkeln

88

.............................

Trigonometri i rätvinkliga trianglar 90 Exakta trigonometriska värden för några vinklar Trigonometri i enhetscirkeln 96

90

94

3.2 Triangelsatserna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Areasatsen 99 Sinussatsen 102 Cosinussatsen 105 Att använda triangelsatserna

108

3.3 Trigonometriska ekvationer . . . . . . . . . . . . . . 111 Period 111 Trigonometriska ettan 113 Att lösa trigonometriska ekvationer 116 Trigonometriska formler 119 Att lösa trigonometriska ekvationer med formler

122

4 Trigonometriska funktioner

132

4.1 Grafen till en trigonometrisk funktion . . . 134 f(x) = sin x och g(x) = cos x 134 Amplitud och period 137 Förskjutning av grafen i x- och y-led 140 Grafen till f(x) = a sin x + b cos x 143 Tangensfunktionens graf 145

4.2 Derivator och integraler av trigonometriska funktioner . . . . . . . . . . 148 Radianer 148 Derivatan av sin x 151 Derivatan av cos x och tan x 153 Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner Areaberäkningar med hjälp av integraler 158 Tillämpningar av trigonometriska funktioner 161

156

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Historia: Var är jag? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Historia: Radianer, nygrader och streck. 166

Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5 Redovisningsuppgift Problemlösning och redovisning Uppgifter 175

172

174

Facit

179

Register

199

Innehåll 1 Derivata och

deriveringsregler

2 Integraler 6

1.1 Deriveringsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Derivatans definition 8 Tolkningar av derivatan 11 Derivata av en produkt och av en kvot 13 Derivata av en sammansatt funktion 17 Derivata av en logaritmfunktion 20 Newton-Raphsons metod 22

1.2 Andraderivatan

...........................

44

2.1 Primitiva funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Vad är en primitiv funktion? 46 Primitiva funktioner till potensfunktioner och exponentialfunktioner Primitiva funktioner med villkor 52

49

2.2 Integraler och areor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

26

Grafers konkavitet 26 Lokala maximi- och minimipunkter 30 En funktions största och minsta värde 33 Differentialekvationer 35

Historia: Differentialkalkylen . . . . . . . . . . . . 38 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Arean under en kurva 55 Samband mellan derivata och integral 60 Arean av områden mellan två kurvor 64 Räkneregler för integraler 68 Arean av områden kring x-axeln 70

2.3 Mer om integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Numerisk integration 74 Tillämpningar av integraler

78

Historia: Integralkalkylens historia . . . . . . . 81

3 Trigonometri 3.1 Enhetscirkeln

88

.............................

Trigonometri i rätvinkliga trianglar 90 Exakta trigonometriska värden för några vinklar Trigonometri i enhetscirkeln 96

90

94

3.2 Triangelsatserna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Areasatsen 99 Sinussatsen 102 Cosinussatsen 105 Att använda triangelsatserna

108

3.3 Trigonometriska ekvationer . . . . . . . . . . . . . . 111 Period 111 Trigonometriska ettan 113 Att lösa trigonometriska ekvationer 116 Trigonometriska formler 119 Att lösa trigonometriska ekvationer med formler

122

4 Trigonometriska funktioner

132

4.1 Grafen till en trigonometrisk funktion . . . 134 f(x) = sin x och g(x) = cos x 134 Amplitud och period 137 Förskjutning av grafen i x- och y-led 140 Grafen till f(x) = a sin x + b cos x 143 Tangensfunktionens graf 145

4.2 Derivator och integraler av trigonometriska funktioner . . . . . . . . . . 148 Radianer 148 Derivatan av sin x 151 Derivatan av cos x och tan x 153 Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner Areaberäkningar med hjälp av integraler 158 Tillämpningar av trigonometriska funktioner 161

156

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Historia: Var är jag? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Historia: Radianer, nygrader och streck. 166

Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5 Redovisningsuppgift Problemlösning och redovisning Uppgifter 175

172

174

Facit

179

Register

199

2 Integraler Det hela är lika med summan av sina delar. Bokstaven Σ i det grekiska alfabetet utläses summa och används för att beteckna summor av liknande termer.

Innehåll 2.1 Primitiva funktioner 2.2 Integraler och areor 2.3 Mer om integraler

Förkunskaper • Funktioner • Rationella uttryck • Logaritmer • Derivator

Mål • Kunna bestämma primitiva funktioner till givna funktioner • Kunna använda primitiva funktioner vid problemlösning • Kunna förklara vad som menas med en integral och förstå sambandet mellan integral och derivata • Kunna använda integraler vid olika tillämpningar • Förstå och kunna använda någon metod för numerisk integration • Kunna beräkna integraler med hjälp av en grafritande räknare

44

V

i har tidigare tolkat begreppet derivata som en kurvas lutning i en punkt eller som funktionen som beskriver lutningen i varje punkt längs kurvan. Vi har också visat några deriveringsregler som vi använt för att bestämma derivatans funktion. Men kan vi göra det omvända, det vill säga kan vi utifrån derivatans funktion bestämma den ursprungliga funktionen? I det här kapitlet kommer vi att visa några samband mellan en funktion och dess derivata. Dessa samband kommer du att använda för att beräkna areor av områden som begränsas av av olika sorters kurvor.

Arean av ett sådant område beräknas med hjälp av integraler.

45

2 Integraler Det hela är lika med summan av sina delar. Bokstaven Σ i det grekiska alfabetet utläses summa och används för att beteckna summor av liknande termer.

Innehåll 2.1 Primitiva funktioner 2.2 Integraler och areor 2.3 Mer om integraler

Förkunskaper • Funktioner • Rationella uttryck • Logaritmer • Derivator

Mål • Kunna bestämma primitiva funktioner till givna funktioner • Kunna använda primitiva funktioner vid problemlösning • Kunna förklara vad som menas med en integral och förstå sambandet mellan integral och derivata • Kunna använda integraler vid olika tillämpningar • Förstå och kunna använda någon metod för numerisk integration • Kunna beräkna integraler med hjälp av en grafritande räknare

44

V

i har tidigare tolkat begreppet derivata som en kurvas lutning i en punkt eller som funktionen som beskriver lutningen i varje punkt längs kurvan. Vi har också visat några deriveringsregler som vi använt för att bestämma derivatans funktion. Men kan vi göra det omvända, det vill säga kan vi utifrån derivatans funktion bestämma den ursprungliga funktionen? I det här kapitlet kommer vi att visa några samband mellan en funktion och dess derivata. Dessa samband kommer du att använda för att beräkna areor av områden som begränsas av av olika sorters kurvor.

Arean av ett sådant område beräknas med hjälp av integraler.

45

2.1 Primitiva funktioner Primitiv kommer från latinets primitivus som betyder först i sitt slag, men används också i bemärkelsen ursprunglig eller enkel.

Den italienske vetenskapsmannen Galileo Galilei visade på 1500-talet att sträckan s meter som en kropp faller fritt under t sekunder kan beräknas med funktionen s(t) = 4,9t2, om man bortser från luftmotståndet. Kroppens hastighet v(t) vid en viss tidpunkt t är lika med sträckans förändringshastighet, det vill säga derivatan av sträckan

f´(x)

f(x)

0

C

1

x

2x

x2

3x2 1 ​ __ ​ x ex

x3 ln x ex

Lösning:

c) h(x) = 1 – x

a) Vilken funktion ska man derivera för att få f(x) = 3x2? Vi prövar oss fram till rätt svar.

Den primitiva funktionen ska innehålla en x3-term därför väljer vi att derivera F(x) = x3

F´(x) = 3x2

v(t) = s´(t)

Svar: F(x) = x3 är en primitiv funktion till f(x) = 3x2

och därför kan man skriva

b) g(x) = 4

Enligt deriveringsreglerna

Den primitiva funktionen bör innehålla en x-term

Vi väljer att derivera G(x) = 4x

Matematiskt kan vi uttrycka detta som att ”hastigheten är derivatan av sträckan”.

G´(x) = 4

Svar: G(x) = 4x är en primitiv funktion till g(x) = 4

Man kan även bestämma en funktion för sträckan genom att besvara frågan: ”Vilken funktion har man deriverat för att få v(t) = 9,8t?”

c) h(x) = 1 – x

Vi väljer att derivera H(x) = x – x2

Varje funktion f´ i tabellen till vänster kallas som bekant derivatan av f och funktionen f kallas i det här sammanhanget en primitiv funktion till f´.

H´(x) = 1 – 2x

Enligt deriveringsreglerna

Ibland kallar man denna funktion för antiderivatan till f´

I tabellen ser vi att x2 är en primitiv funktion till 2x. På samma sätt ser vi att 1 ln x är en primitiv funktion till __ ​ ​. x

Primitiv funktion En funktion F är en primitiv funktion till f om F´(x) = f(x)

7 Exempel:

Lösning:

Flera funktioner kan ha samma derivata, till exempel har f(x) = x2 derivatan f´(x) = 2x liksom g(x) = x2 + 5 har derivatan g´(x) = 2x och även h(x) = x2 – 4 har derivatan h´(x) = 2x

Derivatan av konstanttermen i både g(x) och h(x) är lika med noll.

Man kan addera eller subtrahera vilken konstantterm som helst till en primitiv funktion, utan att förändra funktionens derivata. En given funktion kan alltså ha oändligt många primitiva funktioner.

Om F´(x) = f(x), så ger F(x) + C, där C är en konstant, samtliga primitiva funktioner till f(x).

integraler • 2.1 primitiva funktioner

Den primitiva funktionen bör innehålla x- och x2-termer

I H(x) dividerar vi

H(x) har inte derivatan h(x) = 1 – x

x2-termen

med 2, vilket ger

x2

H(x) = x – ​ __ ​ 2 2x H´(x) = 1 – ​ ___ ​ = 1 – x H(x) har derivatan h(x) = 1 – x 2 2 x Svar: H(x) = x – __ ​ ​ är en primitiv funktion till h(x) = 1 – x 2

Bestäm samtliga primitiva funktioner till 1 a) f(x) = __ ​ ​ b) g(x) = x2 – 9 x 1 1 a) F(x) = ln x är en primitiv funktion till f(x) = __ ​ ​ Eftersom F´(x) = __ ​ ​ x x Funktionens derivata förändras inte om man adderar en konstantterm till funktionen.

1 Svar: F(x) = ln x + C ger samtliga primitiva funktioner till f(x) = __ ​ ​ x x3 __ 2 b) G(x) = ​ ​ – 9x är en primitiv funktion till g(x) = x – 9.

3

Samtliga primitiva funktioner

46

b) g(x) = 4

v(t) = s´(t) = 4,9 ∙ 2t = 9,8t

f är en primitiv funktion till f´

Bestäm en primitiv funktion till a) f(x) = 3x2

Vad är en primitiv funktion?

Ordboken

7 Exempel:

x3

(

)

x3 3x2 G´(x) = D​ ___ ​ ​ – 9x ​= ____ ​ ​ – 9 = x2 – 9 = g(x) 3 3

Svar: G(x) = __ ​ ​ – 9x + C ger samtliga primitiva funktioner till 3 2 g(x) = x – 9

integraler • 2.1 primitiva funktioner

47

2.1 Primitiva funktioner Primitiv kommer från latinets primitivus som betyder först i sitt slag, men används också i bemärkelsen ursprunglig eller enkel.

Den italienske vetenskapsmannen Galileo Galilei visade på 1500-talet att sträckan s meter som en kropp faller fritt under t sekunder kan beräknas med funktionen s(t) = 4,9t2, om man bortser från luftmotståndet. Kroppens hastighet v(t) vid en viss tidpunkt t är lika med sträckans förändringshastighet, det vill säga derivatan av sträckan

f´(x)

f(x)

0

C

1

x

2x

x2

3x2 1 ​ __ ​ x ex

x3 ln x ex

Lösning:

c) h(x) = 1 – x

a) Vilken funktion ska man derivera för att få f(x) = 3x2? Vi prövar oss fram till rätt svar.

Den primitiva funktionen ska innehålla en x3-term därför väljer vi att derivera F(x) = x3

F´(x) = 3x2

v(t) = s´(t)

Svar: F(x) = x3 är en primitiv funktion till f(x) = 3x2

och därför kan man skriva

b) g(x) = 4

Enligt deriveringsreglerna

Den primitiva funktionen bör innehålla en x-term

Vi väljer att derivera G(x) = 4x

Matematiskt kan vi uttrycka detta som att ”hastigheten är derivatan av sträckan”.

G´(x) = 4

Svar: G(x) = 4x är en primitiv funktion till g(x) = 4

Man kan även bestämma en funktion för sträckan genom att besvara frågan: ”Vilken funktion har man deriverat för att få v(t) = 9,8t?”

c) h(x) = 1 – x

Vi väljer att derivera H(x) = x – x2

Varje funktion f´ i tabellen till vänster kallas som bekant derivatan av f och funktionen f kallas i det här sammanhanget en primitiv funktion till f´.

H´(x) = 1 – 2x

Enligt deriveringsreglerna

Ibland kallar man denna funktion för antiderivatan till f´

I tabellen ser vi att x2 är en primitiv funktion till 2x. På samma sätt ser vi att 1 ln x är en primitiv funktion till __ ​ ​. x

Primitiv funktion En funktion F är en primitiv funktion till f om F´(x) = f(x)

7 Exempel:

Lösning:

Flera funktioner kan ha samma derivata, till exempel har f(x) = x2 derivatan f´(x) = 2x liksom g(x) = x2 + 5 har derivatan g´(x) = 2x och även h(x) = x2 – 4 har derivatan h´(x) = 2x

Derivatan av konstanttermen i både g(x) och h(x) är lika med noll.

Man kan addera eller subtrahera vilken konstantterm som helst till en primitiv funktion, utan att förändra funktionens derivata. En given funktion kan alltså ha oändligt många primitiva funktioner.

Om F´(x) = f(x), så ger F(x) + C, där C är en konstant, samtliga primitiva funktioner till f(x).

integraler • 2.1 primitiva funktioner

Den primitiva funktionen bör innehålla x- och x2-termer

I H(x) dividerar vi

H(x) har inte derivatan h(x) = 1 – x

x2-termen

med 2, vilket ger

x2

H(x) = x – ​ __ ​ 2 2x H´(x) = 1 – ​ ___ ​ = 1 – x H(x) har derivatan h(x) = 1 – x 2 2 x Svar: H(x) = x – __ ​ ​ är en primitiv funktion till h(x) = 1 – x 2

Bestäm samtliga primitiva funktioner till 1 a) f(x) = __ ​ ​ b) g(x) = x2 – 9 x 1 1 a) F(x) = ln x är en primitiv funktion till f(x) = __ ​ ​ Eftersom F´(x) = __ ​ ​ x x Funktionens derivata förändras inte om man adderar en konstantterm till funktionen.

1 Svar: F(x) = ln x + C ger samtliga primitiva funktioner till f(x) = __ ​ ​ x x3 __ 2 b) G(x) = ​ ​ – 9x är en primitiv funktion till g(x) = x – 9.

3

Samtliga primitiva funktioner

46

b) g(x) = 4

v(t) = s´(t) = 4,9 ∙ 2t = 9,8t

f är en primitiv funktion till f´

Bestäm en primitiv funktion till a) f(x) = 3x2

Vad är en primitiv funktion?

Ordboken

7 Exempel:

x3

(

)

x3 3x2 G´(x) = D​ ___ ​ ​ – 9x ​= ____ ​ ​ – 9 = x2 – 9 = g(x) 3 3

Svar: G(x) = __ ​ ​ – 9x + C ger samtliga primitiva funktioner till 3 2 g(x) = x – 9

integraler • 2.1 primitiva funktioner

47

a-uppgifter

b-uppgifter

Ange en primitiv funktion till följande funktioner

2101 a) f(x) = 2x c) f(x) = x + 3 2102 a) f(x) = 3x2 c) f(x) = 4 – 3x2 1 2103 a) f(x) = __ ​ ​ x c) f(x) = ex

b) f(x) = 2x + 3 d) f(x) = 9 – x b) f(x) = 4x3 d) f(x) = 5x4 b) f(x) = x3 d) f(x) = 11

2104 Följande funktioner är primitiva funktioner ö till f(x) = x3 – 2x x4 x4 G(x) = ​ __ ​ – x2 + 1 F(x) = ​ __ ​ – x2 4 4 4 x H(x) = __ ​ ​ – x2 – 5 4 Hitta ytterligare två primitiva funktioner till f(x).

2105 Hur kontrollerar man om en given funktion F(x) är primitiv funktion till f(x)?

2106 Är F(x) en primitiv funktion till f(x)?

Motivera ditt svar.

1 a) F(x) = ln x + 1 f(x) = ​ __ ​ x 3 x f(x) = x2 – 4 b) F(x) = __ ​ ​ – 4 3 c) F(x) = 3e2x + 6ex f(x) = 6e2x + 6ex

Primitiva funktioner till potensfunktioner och exponentialfunktioner

Ange samtliga primitiva funktioner till följande funktioner:

2109 a) f(x) = 3ex – 3 1 b) f(x) = __ ​ ​– x – 1 x c) f(x) = kx2 + 9, k är konstant x d) f(x) = __ ​ ​+ 7x 7

Att testa sig fram med hjälp av deriveringsreglerna varje gång man behöver hitta en primitiv funktion är tidskrävande. För att göra det enklare, ska vi visa några regler för att bestämma primitiva funktioner till potensfunktioner, exponentialfunktioner och enkla rationella uttryck.

Potensfunktioner

1 x

1 x2 2110 a) f(x) = __ ​ 2 ​ + ​ __ ​ x 3 _ ​ b) f(t) = t + √ ​ t

x2 x3

2111 Förklara varför både F(x) = 2 · x–2 och 2 G(x) = ​ __2 ​ + 12 är primitiva funktioner till x 4 f(x) = – ​ __3 ​. x

xn

x3 F(x) = ___ ​ ​ är en primitiv 3 funktion till f(x) = x2. Pröva och se att det blir rätt genom att derivera F(x) och se att det blir f(x).

Primitiv funktion till f(x) = xn xn + 1 ​ är en primitiv funktion F(x) = _____ ​

n+1 till f(x) = xn, där n ≠ –1

c-uppgifter

2114 Funktionen F(x) är en primitiv funktion till f(x) = 4x – 12. Har F(x) någon lokal extrempunkt i intervallet 1 < x < 5? Motivera ditt svar.

x+C x2 ​ ___ ​ + C 2 x3 ___ ​ ​ + C 3 4 x ___ ​ ​ + C 4 n+1 x_____ ​ ​+ C n+1

I tabellen ser vi att primitiva funktioner till potensfunktioner följer ett tydligt mönster.

2112 Bestäm en funktion f(x) vars andraderivata är ö f´´(x) = x + 1.

2113 Bestäm konstanterna a och b så att a F(x) = __ ​ 3 ​ – b · ln x är en primitiv funktion x 15 3 till f(x) = – ​ ___4 ​ + __ ​ ​ x x

f(x) F(x)

1 Primitiv funktion till f(x) = __ ​ ​ x

Exponentialfunktioner

Observera särskilt att regeln inte gäller för n = –1, eftersom F(x) = ln x har 1 1 derivatan F´(x) = __ ​ ​ . Den primitiva funktionen till f(x) = __ ​ ​ är F(x) = ln x. x x På samma sätt kan man visa att primitiva funktioner till exponentialfunktioner också följer ett tydligt mönster. f(x) F(x) ex e2x

2107 Hitta två primitiva funktioner till f(x) = 0. ö

e3x

2108 Ange samtliga primitiva funktioner till följande funktioner:

ekx

ex + C e2x ​ ___ ​ + C 2 3x e___ ​ ​ + C 3 kx e___ ​ ​+ C k

e3x F(x) = ___ ​ ​ är en primitiv 3 funktion till f(x) = e3x

a) f(x) = 9x b) f(x) = 1 c) f(x) = 11 – 2x d) f(x) = 4x2 + 3x – 2

Primitiv funktion till f(x) = ekx ekx F(x) = ___ ​ ​ är en primitiv funktion till f(x) = ekx k ≠ 0 är en konstant. k Alla funktioner har inte primitiva funktioner, eftersom det finns funktioner som inte är derivatan av en annan funktion. De funktioner som vi arbetar med här har däremot alltid primitiva funktioner.

48

integraler • 2.1 primitiva funktioner

integraler • 2.1 primitiva funktioner

49

a-uppgifter

b-uppgifter

Ange en primitiv funktion till följande funktioner

2101 a) f(x) = 2x c) f(x) = x + 3 2102 a) f(x) = 3x2 c) f(x) = 4 – 3x2 1 2103 a) f(x) = __ ​ ​ x c) f(x) = ex

b) f(x) = 2x + 3 d) f(x) = 9 – x b) f(x) = 4x3 d) f(x) = 5x4 b) f(x) = x3 d) f(x) = 11

2104 Följande funktioner är primitiva funktioner ö till f(x) = x3 – 2x x4 x4 G(x) = ​ __ ​ – x2 + 1 F(x) = ​ __ ​ – x2 4 4 4 x H(x) = __ ​ ​ – x2 – 5 4 Hitta ytterligare två primitiva funktioner till f(x).

2105 Hur kontrollerar man om en given funktion F(x) är primitiv funktion till f(x)?

2106 Är F(x) en primitiv funktion till f(x)?

Motivera ditt svar.

1 a) F(x) = ln x + 1 f(x) = ​ __ ​ x 3 x f(x) = x2 – 4 b) F(x) = __ ​ ​ – 4 3 c) F(x) = 3e2x + 6ex f(x) = 6e2x + 6ex

Primitiva funktioner till potensfunktioner och exponentialfunktioner

Ange samtliga primitiva funktioner till följande funktioner:

2109 a) f(x) = 3ex – 3 1 b) f(x) = __ ​ ​– x – 1 x c) f(x) = kx2 + 9, k är konstant x d) f(x) = __ ​ ​+ 7x 7

Att testa sig fram med hjälp av deriveringsreglerna varje gång man behöver hitta en primitiv funktion är tidskrävande. För att göra det enklare, ska vi visa några regler för att bestämma primitiva funktioner till potensfunktioner, exponentialfunktioner och enkla rationella uttryck.

Potensfunktioner

1 x

1 x2 2110 a) f(x) = __ ​ 2 ​ + ​ __ ​ x 3 _ ​ b) f(t) = t + √ ​ t

x2 x3

2111 Förklara varför både F(x) = 2 · x–2 och 2 G(x) = ​ __2 ​ + 12 är primitiva funktioner till x 4 f(x) = – ​ __3 ​. x

xn

x3 F(x) = ___ ​ ​ är en primitiv 3 funktion till f(x) = x2. Pröva och se att det blir rätt genom att derivera F(x) och se att det blir f(x).

Primitiv funktion till f(x) = xn xn + 1 ​ är en primitiv funktion F(x) = _____ ​

n+1 till f(x) = xn, där n ≠ –1

c-uppgifter

2114 Funktionen F(x) är en primitiv funktion till f(x) = 4x – 12. Har F(x) någon lokal extrempunkt i intervallet 1 < x < 5? Motivera ditt svar.

x+C x2 ​ ___ ​ + C 2 x3 ___ ​ ​ + C 3 4 x ___ ​ ​ + C 4 n+1 x_____ ​ ​+ C n+1

I tabellen ser vi att primitiva funktioner till potensfunktioner följer ett tydligt mönster.

2112 Bestäm en funktion f(x) vars andraderivata är ö f´´(x) = x + 1.

2113 Bestäm konstanterna a och b så att a F(x) = __ ​ 3 ​ – b · ln x är en primitiv funktion x 15 3 till f(x) = – ​ ___4 ​ + __ ​ ​ x x

f(x) F(x)

1 Primitiv funktion till f(x) = __ ​ ​ x

Exponentialfunktioner

Observera särskilt att regeln inte gäller för n = –1, eftersom F(x) = ln x har 1 1 derivatan F´(x) = __ ​ ​ . Den primitiva funktionen till f(x) = __ ​ ​ är F(x) = ln x. x x På samma sätt kan man visa att primitiva funktioner till exponentialfunktioner också följer ett tydligt mönster. f(x) F(x) ex e2x

2107 Hitta två primitiva funktioner till f(x) = 0. ö

e3x

2108 Ange samtliga primitiva funktioner till följande funktioner:

ekx

ex + C e2x ​ ___ ​ + C 2 3x e___ ​ ​ + C 3 kx e___ ​ ​+ C k

e3x F(x) = ___ ​ ​ är en primitiv 3 funktion till f(x) = e3x

a) f(x) = 9x b) f(x) = 1 c) f(x) = 11 – 2x d) f(x) = 4x2 + 3x – 2

Primitiv funktion till f(x) = ekx ekx F(x) = ___ ​ ​ är en primitiv funktion till f(x) = ekx k ≠ 0 är en konstant. k Alla funktioner har inte primitiva funktioner, eftersom det finns funktioner som inte är derivatan av en annan funktion. De funktioner som vi arbetar med här har däremot alltid primitiva funktioner.

48

integraler • 2.1 primitiva funktioner

integraler • 2.1 primitiva funktioner

49

2320 Grafen visar accelerationen a m/s2 av en skateboardåkare under en tidsperiod. Vid t = 1 befinner hon sig 5 m från startpunkten och hennes hastighet är då 6 m/s. Hur långt har hon färdats mellan t1 = 2 s och t2 = 4 s? m/s2

2318 Visa att arean av området mellan kurvan y = xn (n positivt heltal), x-axeln och linjen 1 x = 1 är lika med _____ areaenheter. n+1

h

Integralkalkylens historia Den tidiga integralkalkylen

a

t

1 1

c-uppgifter 2319 Från en 19 meter hög klippa kastas en sten rakt upp i luften med en hastighet av 8 m/s enligt figuren. Vi bortser från luftmotståndet och räknar med en acceleration på g = 9,8 m/s2 vid fritt fall.

HISTORIa

2317 Det behövs en kraft på F = 60 N för att dra ut en fjäder 5 cm. Kraften är proportionell mot den sträcka x m som fjädern har dragits ut, dvs. F = k ∙ x. Beräkna det arbete i newtonmeter (Nm) som krävs för att dra ut fjädern från 5 cm till 14 cm.

2321 I en stor vattenbehållare rinner vattnet in genom ett rör. Vid tiden t min innehåller behållaren f(t) liter vatten. Vid t = 0 är behållaren tom. Figuren visar för 0 ≤ t ≤ 15 den hastighet med vilken vattnet rinner in i behållaren. Hastigheten är konstant 10 liter/min i intervallet 0 ≤ t ≤ 5 och minskar sedan linjärt till 0 då t = 15. Bestäm funktionen f.

Arkimedes (287–212 f.Kr.)

Integralkalkylen i Asien

liter/min 10 5 Tid

a) Bestäm en funktion h(t), där t är tiden i sekunder, som beskriver stenens höjd över vattenytan.

5

(Cp NT3, 1994)

b) Hur lång sträcka faller stenen från sin högsta punkt till att den når vattenytan?

Diskutera och fundera • Ge exempel på några vanliga tillämpningar av integraler.

• På vilka olika sätt kan man beräkna en integral?

• I vilka fall behöver man uppskatta en integral med numeriska metoder?

• Vilka metoder för numerisk integration känner du till?

• På vilket sätt kan man uppskatta arean av ett område mellan en graf och y-axeln samt de räta linjerna y = a och y = b?

80

integraler • 2.3 mer om integraler

10

Det var den grekiske matematikern och astronomen Eudoxos (runt 390–340 f.Kr.) som lade grunderna till den sortens integralkalkyl som vi använder i våra dagar. Han använde en metod som gick ut på att uppskatta arean eller volymen hos ett objekt genom att dela in det i många små objekt med kända areor eller volymer.

Arkimedes (287–212 f.Kr.), som var en av antikens mest framstående vetenskapsmän, utvecklade sedan Eudoxos metod. Han uppskattade cirkelns omkrets genom att rita en regelbunden månghörning såväl i cirkeln som runt cirkeln. Genom upprepad fördubbling av antalet sidor i månghörningarna, så fick han allt bättre värde på cirkelns omkrets.

Metoden ger en mycket god uppskattning av talet π. Arkimedes konstaterade att ”förhållandet mellan omkretsen av varje cirkel och dess 1 10 diameter är mindre än 3__ men större än 3___”.

7 71

15 Cirkeln är omskriven av en sexhörning och den är inskriven i en sexhörning.

h ? Uppskatta π med Arkimedes metod. Låt en cirkel med radien 1 l.e. omskriva en regelbunden månghörning. Använd sedan månghörningen för att uppskatta ett värde på π. Fyll i tabellen.

Antal sidor i Uppskattat månghörningen värde på π 6 12 24 38 96

Några hundra år senare, under 300-talet i Kina, använde matematikern Liu Hui liknande metoder för att uppskatta cirkelns area. Liu Huis metoder förbättrades sedan av Zu Chongzi, som under 500-talet lyckades med att uppskatta klotets volym. Sedan dröjde det ända fram till 1100-talet tills integralkalkylen återigen utvecklades. Det var då den indiske matematikern Bhaskara (1114–1185) presenterade några idéer som anses vara grundläggande inom läran om integraler. Och det var också i Indien (under 1300-talet) då matematikern och astronomen Madhava betraktade areor som integraler. Madhavas skrifter säger att ”integralen av pada (en variabel) är hälften av varga (kvadraten på samma variabel)”. Detta x2 skulle vi idag uttrycka som”integralen av x är __”.

2

Den moderna integralkalkylen Den mest framgångsrika perioden i integralkalkylens historia har sin början i 1600-talets Europa, när italienaren Cavalieri vidareutvecklar Arkimedes idéer. Cavalieris arbete leder till att de brittiska matematikerna John Wallis och Isaac Barrow samt fransmannen Fermat lägger grunderna till läran om oändligt små delar, så kallade infinitesimaler.

Vid slutet av 1600-talet sammanfattar Newton och Leibniz oberoende av varandra alla tidigare kända insatser inom området, vilket leder till den moderna integralkalkylens uppkomst. Deras banbrytande upptäckt kan formuleras som att ”funktionen är integralen av derivatan”, vilket man i dag också kallar för integralkalkylens fundamentalsats. integraler • hiStoria

81

2320 Grafen visar accelerationen a m/s2 av en skateboardåkare under en tidsperiod. Vid t = 1 befinner hon sig 5 m från startpunkten och hennes hastighet är då 6 m/s. Hur långt har hon färdats mellan t1 = 2 s och t2 = 4 s? m/s2

2318 Visa att arean av området mellan kurvan y = xn (n positivt heltal), x-axeln och linjen 1 x = 1 är lika med _____ areaenheter. n+1

h

Integralkalkylens historia Den tidiga integralkalkylen

a

t

1 1

c-uppgifter 2319 Från en 19 meter hög klippa kastas en sten rakt upp i luften med en hastighet av 8 m/s enligt figuren. Vi bortser från luftmotståndet och räknar med en acceleration på g = 9,8 m/s2 vid fritt fall.

HISTORIa

2317 Det behövs en kraft på F = 60 N för att dra ut en fjäder 5 cm. Kraften är proportionell mot den sträcka x m som fjädern har dragits ut, dvs. F = k ∙ x. Beräkna det arbete i newtonmeter (Nm) som krävs för att dra ut fjädern från 5 cm till 14 cm.

2321 I en stor vattenbehållare rinner vattnet in genom ett rör. Vid tiden t min innehåller behållaren f(t) liter vatten. Vid t = 0 är behållaren tom. Figuren visar för 0 ≤ t ≤ 15 den hastighet med vilken vattnet rinner in i behållaren. Hastigheten är konstant 10 liter/min i intervallet 0 ≤ t ≤ 5 och minskar sedan linjärt till 0 då t = 15. Bestäm funktionen f.

Arkimedes (287–212 f.Kr.)

Integralkalkylen i Asien

liter/min 10 5 Tid

a) Bestäm en funktion h(t), där t är tiden i sekunder, som beskriver stenens höjd över vattenytan.

5

(Cp NT3, 1994)

b) Hur lång sträcka faller stenen från sin högsta punkt till att den når vattenytan?

Diskutera och fundera • Ge exempel på några vanliga tillämpningar av integraler.

• På vilka olika sätt kan man beräkna en integral?

• I vilka fall behöver man uppskatta en integral med numeriska metoder?

• Vilka metoder för numerisk integration känner du till?

• På vilket sätt kan man uppskatta arean av ett område mellan en graf och y-axeln samt de räta linjerna y = a och y = b?

80

integraler • 2.3 mer om integraler

10

Det var den grekiske matematikern och astronomen Eudoxos (runt 390–340 f.Kr.) som lade grunderna till den sortens integralkalkyl som vi använder i våra dagar. Han använde en metod som gick ut på att uppskatta arean eller volymen hos ett objekt genom att dela in det i många små objekt med kända areor eller volymer.

Arkimedes (287–212 f.Kr.), som var en av antikens mest framstående vetenskapsmän, utvecklade sedan Eudoxos metod. Han uppskattade cirkelns omkrets genom att rita en regelbunden månghörning såväl i cirkeln som runt cirkeln. Genom upprepad fördubbling av antalet sidor i månghörningarna, så fick han allt bättre värde på cirkelns omkrets.

Metoden ger en mycket god uppskattning av talet π. Arkimedes konstaterade att ”förhållandet mellan omkretsen av varje cirkel och dess 1 10 diameter är mindre än 3__ men större än 3___”.

7 71

15 Cirkeln är omskriven av en sexhörning och den är inskriven i en sexhörning.

h ? Uppskatta π med Arkimedes metod. Låt en cirkel med radien 1 l.e. omskriva en regelbunden månghörning. Använd sedan månghörningen för att uppskatta ett värde på π. Fyll i tabellen.

Antal sidor i Uppskattat månghörningen värde på π 6 12 24 38 96

Några hundra år senare, under 300-talet i Kina, använde matematikern Liu Hui liknande metoder för att uppskatta cirkelns area. Liu Huis metoder förbättrades sedan av Zu Chongzi, som under 500-talet lyckades med att uppskatta klotets volym. Sedan dröjde det ända fram till 1100-talet tills integralkalkylen återigen utvecklades. Det var då den indiske matematikern Bhaskara (1114–1185) presenterade några idéer som anses vara grundläggande inom läran om integraler. Och det var också i Indien (under 1300-talet) då matematikern och astronomen Madhava betraktade areor som integraler. Madhavas skrifter säger att ”integralen av pada (en variabel) är hälften av varga (kvadraten på samma variabel)”. Detta x2 skulle vi idag uttrycka som”integralen av x är __”.

2

Den moderna integralkalkylen Den mest framgångsrika perioden i integralkalkylens historia har sin början i 1600-talets Europa, när italienaren Cavalieri vidareutvecklar Arkimedes idéer. Cavalieris arbete leder till att de brittiska matematikerna John Wallis och Isaac Barrow samt fransmannen Fermat lägger grunderna till läran om oändligt små delar, så kallade infinitesimaler.

Vid slutet av 1600-talet sammanfattar Newton och Leibniz oberoende av varandra alla tidigare kända insatser inom området, vilket leder till den moderna integralkalkylens uppkomst. Deras banbrytande upptäckt kan formuleras som att ”funktionen är integralen av derivatan”, vilket man i dag också kallar för integralkalkylens fundamentalsats. integraler • hiStoria

81

Här måste man använda cosinussatsen (cm)

1) 3,1

x

44° 4,2 2)

(cm) 2,8

3,2 v 4,0

Här fungerar bara sinussatsen 3)

(cm) x

65° 33° 4,6

4) 50°

4,6

a-uppgifter

Areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen kallas med ett gemensamt ord för triangelsatserna. Vilken av triangelsatserna man använder beror förstås på förutsättningarna, det vill säga vilka sidor och vinklar som är givna.

3238 Hur hög är flaggstången?

7 Exempel:

Lösning:

I många fall kan man välja mellan att använda sinussatsen och cosinussatsen för att bestämma en okänd sida eller vinkel i en triangel. Men det finns två fall när sinussatsen inte fungerar och då man måste använda cosinussatsen. Det är när 1) två sidor och mellanliggande vinkel är kända, samt 2) när man vet längden på sidorna men inga vinklar. Känner man däremot två vinklar och en sida i en triangel, så måste man använda sinussatsen för att kunna bestämma övriga sidor.

Eva och Lars vill bestämma avståndet från ön till en mast på fastlandet. De mäter vinklarna till masten från öns båda uddar och avståndet mellan uddarna. Hur långt är det till masten?

Sträckan från masten till U1 antas vara A km och sträckan från masten till U2 antas vara B km. Den tredje vinkeln i triangeln är 180° – (41° + 52°) = 87°

U1

41° 22 km 52°

U2

Eftersom vi vet en sida och två vinklar i triangeln så använder vi sinussatsen A 22 ______ = ______ sin 52° sin 87° 22 A = sin 52° · ______ sin 87° A ≈ 17 B 22 ______ = ______ sin 41° sin 87° 22 B = sin 41° · ______ sin 87° B ≈ 14 Svar: Avståndet till masten från U1 är 17 km och från U2 är det 14 km.

108

3243 Bestäm tältets volym. (m)

1,7

trigonometri • 3.2 triangelsatserna

1,3

1,5

En triangel har som bekant tre sidor och tre hörn med vinklar. Känner man en sida och ytterligare två sidor eller vinklar, så kan man beräkna de övriga sidorna och/eller vinklarna med hjälp av sinus- och cosinussatsen.

Är triangelns area känd kan man också använda areasatsen för att ta reda på vinklar och sidlängder hos triangeln. Söker man en okänd vinkel med sinussatsen eller areasatsen får man en ekvation av typen sin x = k, som i de flesta fall har två lösningar. På liknande sätt kan man också få två möjliga lösningar när man beräknar en okänd sida med hjälp av cosinussatsen. Ta för vana att alltid undersöka om båda lösningarna duger.

(cm) 3,3

v

Att använda triangelsatserna

2,0

b-uppgifter 53° 15 m

3239 Området ska täckas med 15 cm matjord. Hur många m3 går det åt?

25 m 47° 40 m

3240 En ledningsstolpe lutar med 7,0° mot sin egen skugga. När vinkeln mellan solljuset och marken är 50° kastar stolpen en 8,0 m lång skugga. Hur hög är stolpen?

3241 Per går till sin kompis Reza. Han går 800 m längs en väg och tar sedan av på en mindre väg som går i 50° vinkel till den första vägen. Längs den mindre vägen är det 1,2 km rakt fram till Reza. På vägen hem genar Per genom skogen.

Hur lång blir hemvägen, om den följer en rät linje mellan Pers och Rezas hem?

3242 Eva vill beräkna avståndet till en bergstopp hon är på väg till. Hon mäter avståndet mellan två mer närbelägna punkter och vinklarna därifrån till toppen enligt figuren. Hur långt har hon kvar till toppen?

3244 En klocka har en minutvisare som är 10 mm och en timvisare som är 7,0 mm. Hur långt är det mellan spetsarna på klockans visare då klockan är 7.00?

3245 En triangulär tomt har sidorna 27 m, 38 m och 50 m. Beräkna tomtens area.

3246 En kraft som är 200 kN ska delas upp i två komposanter. Komposanterna ska väljas så att de bildar en parallellogram med den ursprungliga kraften som diagonal, se figuren. Bestäm komposanternas storlek.

F1 35,2° 27,8°

200 kN

F2

3247 I en parallellogram är en vinkel 53°. Sidorna är 3,7 cm och 4,5 cm. Bestäm parallellogrammens area.

3248 F markerar mittpunkten på sträckan BC. Bestäm vinkeln AEF i pyramiden.

E

(cm)

10 F B A 73°

68° 180 m

8,0

C 8,0 D

3249 Konstruera en uppgift där en vinkel i en triö angel ska beräknas. Man ska komma fram till två lösningar där den ena inte är rimlig.

trigonometri • 3.2 triangelsatserna

109

Här måste man använda cosinussatsen (cm)

1) 3,1

x

44° 4,2 2)

(cm) 2,8

3,2 v 4,0

Här fungerar bara sinussatsen 3)

(cm) x

65° 33° 4,6

4) 50°

4,6

a-uppgifter

Areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen kallas med ett gemensamt ord för triangelsatserna. Vilken av triangelsatserna man använder beror förstås på förutsättningarna, det vill säga vilka sidor och vinklar som är givna.

3238 Hur hög är flaggstången?

7 Exempel:

Lösning:

I många fall kan man välja mellan att använda sinussatsen och cosinussatsen för att bestämma en okänd sida eller vinkel i en triangel. Men det finns två fall när sinussatsen inte fungerar och då man måste använda cosinussatsen. Det är när 1) två sidor och mellanliggande vinkel är kända, samt 2) när man vet längden på sidorna men inga vinklar. Känner man däremot två vinklar och en sida i en triangel, så måste man använda sinussatsen för att kunna bestämma övriga sidor.

Eva och Lars vill bestämma avståndet från ön till en mast på fastlandet. De mäter vinklarna till masten från öns båda uddar och avståndet mellan uddarna. Hur långt är det till masten?

Sträckan från masten till U1 antas vara A km och sträckan från masten till U2 antas vara B km. Den tredje vinkeln i triangeln är 180° – (41° + 52°) = 87°

U1

41° 22 km 52°

U2

Eftersom vi vet en sida och två vinklar i triangeln så använder vi sinussatsen A 22 ______ = ______ sin 52° sin 87° 22 A = sin 52° · ______ sin 87° A ≈ 17 B 22 ______ = ______ sin 41° sin 87° 22 B = sin 41° · ______ sin 87° B ≈ 14 Svar: Avståndet till masten från U1 är 17 km och från U2 är det 14 km.

108

3243 Bestäm tältets volym. (m)

1,7

trigonometri • 3.2 triangelsatserna

1,3

1,5

En triangel har som bekant tre sidor och tre hörn med vinklar. Känner man en sida och ytterligare två sidor eller vinklar, så kan man beräkna de övriga sidorna och/eller vinklarna med hjälp av sinus- och cosinussatsen.

Är triangelns area känd kan man också använda areasatsen för att ta reda på vinklar och sidlängder hos triangeln. Söker man en okänd vinkel med sinussatsen eller areasatsen får man en ekvation av typen sin x = k, som i de flesta fall har två lösningar. På liknande sätt kan man också få två möjliga lösningar när man beräknar en okänd sida med hjälp av cosinussatsen. Ta för vana att alltid undersöka om båda lösningarna duger.

(cm) 3,3

v

Att använda triangelsatserna

2,0

b-uppgifter 53° 15 m

3239 Området ska täckas med 15 cm matjord. Hur många m3 går det åt?

25 m 47° 40 m

3240 En ledningsstolpe lutar med 7,0° mot sin egen skugga. När vinkeln mellan solljuset och marken är 50° kastar stolpen en 8,0 m lång skugga. Hur hög är stolpen?

3241 Per går till sin kompis Reza. Han går 800 m längs en väg och tar sedan av på en mindre väg som går i 50° vinkel till den första vägen. Längs den mindre vägen är det 1,2 km rakt fram till Reza. På vägen hem genar Per genom skogen.

Hur lång blir hemvägen, om den följer en rät linje mellan Pers och Rezas hem?

3242 Eva vill beräkna avståndet till en bergstopp hon är på väg till. Hon mäter avståndet mellan två mer närbelägna punkter och vinklarna därifrån till toppen enligt figuren. Hur långt har hon kvar till toppen?

3244 En klocka har en minutvisare som är 10 mm och en timvisare som är 7,0 mm. Hur långt är det mellan spetsarna på klockans visare då klockan är 7.00?

3245 En triangulär tomt har sidorna 27 m, 38 m och 50 m. Beräkna tomtens area.

3246 En kraft som är 200 kN ska delas upp i två komposanter. Komposanterna ska väljas så att de bildar en parallellogram med den ursprungliga kraften som diagonal, se figuren. Bestäm komposanternas storlek.

F1 35,2° 27,8°

200 kN

F2

3247 I en parallellogram är en vinkel 53°. Sidorna är 3,7 cm och 4,5 cm. Bestäm parallellogrammens area.

3248 F markerar mittpunkten på sträckan BC. Bestäm vinkeln AEF i pyramiden.

E

(cm)

10 F B A 73°

68° 180 m

8,0

C 8,0 D

3249 Konstruera en uppgift där en vinkel i en triö angel ska beräknas. Man ska komma fram till två lösningar där den ena inte är rimlig.

trigonometri • 3.2 triangelsatserna

109

4 Trigonometriska

funktioner Din hjärtfrekvens kan beskrivas med en sinusfunktion

Innehåll 4.1 Grafen till en trigonometrisk funktion 4.2 Derivator och integraler av trigonometriska funktioner

Förkunskaper • Trigonometriska samband • Enhetscirkeln • Derivata • Produktregeln, kvotregeln och kedjeregeln • Primitiva funktioner • Integraler

Mål

V

ågor på vattnet, dagens längd eller ljudet som alstras av en vibrerande sträng är exempel på periodiska förlopp som matematiskt kan beskrivas med hjälp av trigonometriska funktioner.

Tidigare har vi uteslutande mätt vinklar i grader, men i det här kapitlet kommer du att få lära dig att ange vinklar i radianer. Vi kommer här också att återknyta till derivator och integraler och tillämpa dem på de trigonometriska funktionerna.

• Kunna skissa grafen till en trigonometrisk funktion för hand • Förstå begreppen amplitud och period • Kunna använda radianer • Förstå och kunna använda deriveringsreglerna för trigonometriska funktioner • Kunna ange primitiva funktioner till en trigonometrisk funktion • Kunna använda derivator och integraler av trigonometriska funktioner i problemlösning

132

133

4 Trigonometriska

funktioner Din hjärtfrekvens kan beskrivas med en sinusfunktion

Innehåll 4.1 Grafen till en trigonometrisk funktion 4.2 Derivator och integraler av trigonometriska funktioner

Förkunskaper • Trigonometriska samband • Enhetscirkeln • Derivata • Produktregeln, kvotregeln och kedjeregeln • Primitiva funktioner • Integraler

Mål

V

ågor på vattnet, dagens längd eller ljudet som alstras av en vibrerande sträng är exempel på periodiska förlopp som matematiskt kan beskrivas med hjälp av trigonometriska funktioner.

Tidigare har vi uteslutande mätt vinklar i grader, men i det här kapitlet kommer du att få lära dig att ange vinklar i radianer. Vi kommer här också att återknyta till derivator och integraler och tillämpa dem på de trigonometriska funktionerna.

• Kunna skissa grafen till en trigonometrisk funktion för hand • Förstå begreppen amplitud och period • Kunna använda radianer • Förstå och kunna använda deriveringsreglerna för trigonometriska funktioner • Kunna ange primitiva funktioner till en trigonometrisk funktion • Kunna använda derivator och integraler av trigonometriska funktioner i problemlösning

132

133

Kapitel 4

Trigonometriska funktioner

1 Ange amplitud och period till funktionerna a) y = 2 sin 3x 3x b) y = –cos ___ 5

9 Beräkna arean av det skuggade området. y

2 Derivera

x π 5 Lös ekvationen y´ = 0 om y = sin __ + __ .

2 6

)

6 Bestäm arean av figurerna (cm)

b)

3,0 π __

3π ___

(cm)

16

(

)

a) Hur långt är det vågräta avståndet från vägbulans början till slut? c) Hur mycket material går åt till en bula på en väg som är 5 m bred?

5,5

7 Bestäm konstanterna a och b i funktionen g(x) = sin (2x + a) + b, som visas i grafen. y 1

x 180°

–180°

11 En vägbula följer funktionen __ π ___ 2π x __ √3 __ y = sin + – , för 0 ≤ x ≤ ___ och y ≥ 0.

2 3 2 3 y m är bulans höjd över vägen efter x m i vågrät riktning.

b) Bestäm bulans maximala höjd.

4,5

3

–1

• f(x) = sin x , f(x) = cos x och f(x) = tan x • modeller för periodiska förlopp • amplitud • förskjutning av kurvor • grafisk lösning av trigonometriska ekvationer

10 Uttryck funktionen f(x) = 3 sin x – 2 cos x med en funktion på formen f(x) = A sin (x + C).

)

(

Trigonometriska funktioner

• period y = cos x

4 Ge de exakta lösningarna till ekvationerna π 1 a) cos x + __ = __ 3 2 __ b) 2 sin (2π – 2x) + √3 = 0

(

y = sin x x

( )

!

• enhetscirkeln

1

a) y = 3 cos 2x + 2 sin 3x cos 3x b) g(x) = ______ 5 π 3 Bestäm f´ __ om f(x) = 4 tan x.

4

a)

8 Ange den primitiva funktion F(x) till x f(x) = cos __, som uppfyller F(π) = 2.

3

taNKEKaRta

KaPItELtESt

?

Radianer

Derivata

• enheter på vinklar πα • v = _____

180°

• D(sin x) = cos x

π • ett varv = 2π, 90° = __ 2 • derivata

• D(cos x) = –sin x 1 • D(tan x) = ______ cos2 x • kedjeregeln • kvotregeln • produktregeln • trigonometriska samband • förändringshastigheter • naturvetenskapliga tillämpningar

12 Beskriv hur grafen till y = sin (Bx + C) förskjuts i horisontell riktning för positiva värden på B och C.

Integraler • primitiva funktioner • area • naturvetenskapliga tillämpningar

170

trigonometriska funktioner • kapiteltest

trigonometriska funktioner • tankekarta

171

Kapitel 4

Trigonometriska funktioner

1 Ange amplitud och period till funktionerna a) y = 2 sin 3x 3x b) y = –cos ___ 5

9 Beräkna arean av det skuggade området. y

2 Derivera

x π 5 Lös ekvationen y´ = 0 om y = sin __ + __ .

2 6

)

6 Bestäm arean av figurerna (cm)

b)

3,0 π __

3π ___

(cm)

16

(

)

a) Hur långt är det vågräta avståndet från vägbulans början till slut? c) Hur mycket material går åt till en bula på en väg som är 5 m bred?

5,5

7 Bestäm konstanterna a och b i funktionen g(x) = sin (2x + a) + b, som visas i grafen. y 1

x 180°

–180°

11 En vägbula följer funktionen __ π ___ 2π x __ √3 __ y = sin + – , för 0 ≤ x ≤ ___ och y ≥ 0.

2 3 2 3 y m är bulans höjd över vägen efter x m i vågrät riktning.

b) Bestäm bulans maximala höjd.

4,5

3

–1

• f(x) = sin x , f(x) = cos x och f(x) = tan x • modeller för periodiska förlopp • amplitud • förskjutning av kurvor • grafisk lösning av trigonometriska ekvationer

10 Uttryck funktionen f(x) = 3 sin x – 2 cos x med en funktion på formen f(x) = A sin (x + C).

)

(

Trigonometriska funktioner

• period y = cos x

4 Ge de exakta lösningarna till ekvationerna π 1 a) cos x + __ = __ 3 2 __ b) 2 sin (2π – 2x) + √3 = 0

(

y = sin x x

( )

!

• enhetscirkeln

1

a) y = 3 cos 2x + 2 sin 3x cos 3x b) g(x) = ______ 5 π 3 Bestäm f´ __ om f(x) = 4 tan x.

4

a)

8 Ange den primitiva funktion F(x) till x f(x) = cos __, som uppfyller F(π) = 2.

3

taNKEKaRta

KaPItELtESt

?

Radianer

Derivata

• enheter på vinklar πα • v = _____

180°

• D(sin x) = cos x

π • ett varv = 2π, 90° = __ 2 • derivata

• D(cos x) = –sin x 1 • D(tan x) = ______ cos2 x • kedjeregeln • kvotregeln • produktregeln • trigonometriska samband • förändringshastigheter • naturvetenskapliga tillämpningar

12 Beskriv hur grafen till y = sin (Bx + C) förskjuts i horisontell riktning för positiva värden på B och C.

Integraler • primitiva funktioner • area • naturvetenskapliga tillämpningar

170

trigonometriska funktioner • kapiteltest

trigonometriska funktioner • tankekarta

171

Platonska kroPPar

Kortaste stegen?

RÄnta PÅ rÄnta

Flykthastighet

Tetraedern och kuben är exempel på platonska kroppar. Ta reda på vad som kännetecknar en platonsk kropp och vilka kroppar som räknas som platonska.

Vad har de symboliserat genom åren? Redogör för ett bevis av att det inte kan finnas fler platonska kroppar än de du har räknat upp.

Två meter framför huset står en tre meter hög mur.

En brandman ska resa en stege mot huset och över muren. Vilken är den kortaste stegen hon kan använda?

Inte sällan har vi bett dig att räkna ut räntan på ett kapital på banken. Hitintills har vi förutsatt att räntan ska beräknas på en period om ett år. Men vad händer om ränteperioden blir kortare?

Tänk dig att du ska resa till en plats långt bort från jorden. Den gravitationskraft F som jorden påverkar dig med kommer att avta med avståndet r till jordens centrum enligt Newtons gravitationslag: m1m2 F = G _____ r2 Där m1 och m2 är din massa respektive jordens massa.

• Visa att om man delar in året i n lika stora perioder och beräknar ränta på ränta för dem, så kommer den totala behållningen i kronor att bli a n K 1 + __ där K är det insatta kapitalet och n a räntesatsen i decimalform. a n • Undersök värdet av K 1 + __ för några olika n värden på n. Vad händer om ränteperioden är en månad, en vecka, en dag?

(

)

(

EukliDisk geometri meD Passare och linJal I den euklidiska geometrin är konstruktioner med passare och linjal ett viktigt inslag. Passaren får användas endast för att rita cirklar där man har en given medelpunkt och en given punkt som ligger på randen. När man ritat cirkeln och lyfter passaren, så tappar den sin inställning. Passaren kan alltså inte användas för att rita en ny cirkel med samma radie.

Linjalen kan användas endast för att dra en rät linje genom två givna punkter. Man kan alltså inte t.ex. mäta med linjalen.

• Undersök hur du med hjälp av passare och linjal kan konstruera t.ex. en liksidig triangel och mittpunktsnormalen till en given sträcka.

• Det finns tre klassiska problem som visat sig omöjliga att lösa med hjälp av endast passare och linjal. Vilka är de tre problemen? Redogör kortfattat varför något av problemen inte är lösbart med dessa metoder.

176

redovisningsuppgift

)

• Undersök numeriskt gränsvärdet

KÖningsBergs sJu Broar Grafteori är ett område inom matematiken där man studerar hur punkter hänger samman med olika linjer. Beskriv grunderna i grafteorin och visa hur man med grafteorin kan lösa det klassiska problemet som kallas Königsbergs sju broar.

StÖrst synvinkel?

1 n lim 1 + __ och använd det resultatet för att n→∞ n a n visa att lim 1 + __ = ea n→∞ n

(

)

(

)

TÖmma Polen Swimmingpoolen i bilden har en cirkulär kantlinje med radien 3,0 m. Poolens tvärsnitt följer formen av en parabel med ekvationen y = 0,2x2. När man tömmer poolen pumpar man vattnet över kanten och ner i en vattenbrunn. Hur stort arbete behövs för att tömma poolen?

arbete som krävs för att ta dig (i princip) oändligt långt bort från jorden.

• Bestäm också den så kallade flykthastigheten, det vill säga den hastighet som ett föremål måste ha för att ha nog med rörelseenergi för att kunna frigöra sig från jordens gravitation.

LÄngDen av en kurva Du har beräknat arean under en kurva med hjälp av integraler. Det är också möjligt att beräkna längden av en kurva med hjälp av en integral.

• Förklara hur man med hjälp av en integral kan beräkna längden av en kurva.

ex + e–x 2

• Beräkna längden av kurvan till y = ______ mellan x = 1 och x = 2.

DreJa en skÅl

y

Du står under en reklamskylt. Hur långt ska du förflytta dig från skylten för att se den under största synvinkeln?

1,5 m

• Beräkna med hjälp av en generaliserad integral det

Keramikern Björn ska konstruera en modell till en skål som ___ han ska dreja. Han ritar därför funktionen y = 2 + √2x , 0 ≤ x ≤ 6. Sedan låter han funktionens graf rotera kring x-axeln för att skapa en modell av skålen. x

• Ta reda på hur man kan bestämma volymen av en rotationskropp och beräkna skålens volym.

1,0 m

• Föreslå några olika sätt på vilka Björn kan öka volymen utan att skålens form ändras alltför mycket.

redovisningsuppgift

177

Platonska kroPPar

Kortaste stegen?

RÄnta PÅ rÄnta

Flykthastighet

Tetraedern och kuben är exempel på platonska kroppar. Ta reda på vad som kännetecknar en platonsk kropp och vilka kroppar som räknas som platonska.

Vad har de symboliserat genom åren? Redogör för ett bevis av att det inte kan finnas fler platonska kroppar än de du har räknat upp.

Två meter framför huset står en tre meter hög mur.

En brandman ska resa en stege mot huset och över muren. Vilken är den kortaste stegen hon kan använda?

Inte sällan har vi bett dig att räkna ut räntan på ett kapital på banken. Hitintills har vi förutsatt att räntan ska beräknas på en period om ett år. Men vad händer om ränteperioden blir kortare?

Tänk dig att du ska resa till en plats långt bort från jorden. Den gravitationskraft F som jorden påverkar dig med kommer att avta med avståndet r till jordens centrum enligt Newtons gravitationslag: m1m2 F = G _____ r2 Där m1 och m2 är din massa respektive jordens massa.

• Visa att om man delar in året i n lika stora perioder och beräknar ränta på ränta för dem, så kommer den totala behållningen i kronor att bli a n K 1 + __ där K är det insatta kapitalet och n a räntesatsen i decimalform. a n • Undersök värdet av K 1 + __ för några olika n värden på n. Vad händer om ränteperioden är en månad, en vecka, en dag?

(

)

(

EukliDisk geometri meD Passare och linJal I den euklidiska geometrin är konstruktioner med passare och linjal ett viktigt inslag. Passaren får användas endast för att rita cirklar där man har en given medelpunkt och en given punkt som ligger på randen. När man ritat cirkeln och lyfter passaren, så tappar den sin inställning. Passaren kan alltså inte användas för att rita en ny cirkel med samma radie.

Linjalen kan användas endast för att dra en rät linje genom två givna punkter. Man kan alltså inte t.ex. mäta med linjalen.

• Undersök hur du med hjälp av passare och linjal kan konstruera t.ex. en liksidig triangel och mittpunktsnormalen till en given sträcka.

• Det finns tre klassiska problem som visat sig omöjliga att lösa med hjälp av endast passare och linjal. Vilka är de tre problemen? Redogör kortfattat varför något av problemen inte är lösbart med dessa metoder.

176

redovisningsuppgift

)

• Undersök numeriskt gränsvärdet

KÖningsBergs sJu Broar Grafteori är ett område inom matematiken där man studerar hur punkter hänger samman med olika linjer. Beskriv grunderna i grafteorin och visa hur man med grafteorin kan lösa det klassiska problemet som kallas Königsbergs sju broar.

StÖrst synvinkel?

1 n lim 1 + __ och använd det resultatet för att n→∞ n a n visa att lim 1 + __ = ea n→∞ n

(

)

(

)

TÖmma Polen Swimmingpoolen i bilden har en cirkulär kantlinje med radien 3,0 m. Poolens tvärsnitt följer formen av en parabel med ekvationen y = 0,2x2. När man tömmer poolen pumpar man vattnet över kanten och ner i en vattenbrunn. Hur stort arbete behövs för att tömma poolen?

arbete som krävs för att ta dig (i princip) oändligt långt bort från jorden.

• Bestäm också den så kallade flykthastigheten, det vill säga den hastighet som ett föremål måste ha för att ha nog med rörelseenergi för att kunna frigöra sig från jordens gravitation.

LÄngDen av en kurva Du har beräknat arean under en kurva med hjälp av integraler. Det är också möjligt att beräkna längden av en kurva med hjälp av en integral.

• Förklara hur man med hjälp av en integral kan beräkna längden av en kurva.

ex + e–x 2

• Beräkna längden av kurvan till y = ______ mellan x = 1 och x = 2.

DreJa en skÅl

y

Du står under en reklamskylt. Hur långt ska du förflytta dig från skylten för att se den under största synvinkeln?

1,5 m

• Beräkna med hjälp av en generaliserad integral det

Keramikern Björn ska konstruera en modell till en skål som ___ han ska dreja. Han ritar därför funktionen y = 2 + √2x , 0 ≤ x ≤ 6. Sedan låter han funktionens graf rotera kring x-axeln för att skapa en modell av skålen. x

• Ta reda på hur man kan bestämma volymen av en rotationskropp och beräkna skålens volym.

1,0 m

• Föreslå några olika sätt på vilka Björn kan öka volymen utan att skålens form ändras alltför mycket.

redovisningsuppgift

177

Origo

Origo

Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund

Origo är en modern matematikbok för gymnasieskolan och vuxenutbildning med övningar, problemlösning och kommunikationsuppgifter på olika nivåer, mål, test och tankekartor som kontrollstationer, matematikens historia och undersökningar som ger fördjupade kunskaper.

Serien består av Origo kurs AB för NV och TE Origo kurs C för NV och TE Origo kurs D för NV och TE Origo kurs E för NV och TE

Origo Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund

Origo kurs A för SP och ES Origo kurs B för SP och ES Origo kurs C för SP och ES Origo Lärarhandledning kurs A Origo Lärarhandledning kurs B Origo Lärarhandledning kurs C Origo Lärarhandledning kurs D Origo Lärarhandledning kurs E

ISBN 978-91-622-9128-0

www.bonnierutbildning.se

(9128-0)

Matematik kurs D för naturvetenskapliga och tekniska program BON N I E R S