Reexplorando el concepto de Conjunto Borroso. Qué es y qué no es un conjunto borroso.

Enric Trillas

Enric Trillas (Barcelona, 1940), Doctor en Ciencias por la Universidad de Barcelona, fue catedrá co de las universidades politécnicas de Cataluña y Madrid, invesgador del 'European Centre for So Compu ng' y Profesor Emérito de la Universidad de Oviedo. Ha publicado más de cuatrocientos ar culos de inves gación y es autor o coautor de una docena de libros.

El libro presenta un modelo matemá co del hecho empírico de que un conjunto borroso no es sino el significado de una palabra medible; un significado que, de ser la palabra precisa, aparece en un único estado que es el conjunto que especifica pero que, de ser imprecisa, lo hace percep vamente en una mul tud de estados que, no obstante, cabe representar por magnitudes escalares dependientes del contexto y que deben diseñarse de forma acorde. El diseño de tales magnitudes es esencial y marca el punto de separación entre la lógica de lo preciso y la de lo impreciso.

El libro intenta mostrar una nueva perspec va que puede permi r fundamentar el llamado 'Cálculo con palabras y percepciones' en relación directa con el razonamiento de sen do común y el lenguaje ordinario con el que éste se expresa.

ISBN84-9773-987-0 849773906-X ISBN

FALSO 9 788497 739061

REEXPLORANDO EL CONCEPTO DE CONJUNTO BORROSO

- Qué es y qué no es un conjunto borroso -

Reexplorando el concepto de conjunto borroso / Qué es y qué no es un conjunto borroso , no es un libro de texto. Es una reflexión que, quien ha dedicado muchos años al estudio de la Lógica Borrosa, ofrece a los jóvenes inves gadores cuando la 'teoría' de los conjuntos borrosos puede considerarse parcialmente estancada y por más que ni de lejos lo estén sus aplicaciones.

En posesión de diversos premios y honores, nacionales e internacionales, es Doctor 'Honoris Causa' por las universidades Pública de Navarra y San ago de Compostela, así como Profesor Visitante Dis nguido de la Nacional de Córdoba (Argen na). Ya jubilado, pertenece a la 'Accademia Nazionale delle Scienze, Le ere e Ar ' de Palermo. Actualmente, inves ga la génesis de la Lógica desde el razonamiento de sen do común, par- endo de un esqueleto formal y simbólico que se presenta en este libro.

Enric Trillas universidad deleón 2020

REEXPLORANDO EL CONCEPTO DE CONJUNTO BORROSO. - QUÉ ES Y QUÉ NO ES UN CONJUNTO BORROSO -

REEXPLORANDO EL CONCEPTO DE CONJUNTO BORROSO. - QUÉ ES Y QUÉ NO ES UN CONJUNTO BORROSO -

Enric Trillas

Trillas, Enric Reexplorando el concepto de conjunto borroso : qué es y qué no es un conjunto borroso / Enric Trillas. – [León] : Universidad de León, [2020] 150 p. ; 24 cm Bibliogr. : p. 149-150 ISBN 978-84-9773-993-1 1. Conjuntos difusos. I. Universidad de León. II. Título 510.644.4 De acuerdo con el protocolo aprobado por el Consejo de Publicaciones de la Universidad de León, esta obra ha sido sometida al correspondiente informe por pares ciegos con resultado favorable.

© Universidad de León © Enric Trillas Reservados todos los derechos.

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier procedimiento físico, óptico, magnético y/o digital, incluyendo la fotografía y la fotocopia, sin permiso expreso por escrito de los propietarios del copyright.

ISBN: 978-84-9773-993-1 Depósito Legal: LE-137-2020 Diseño y maquetación digitales de interior y portada: Juan Luis Hernansanz Rubio Imprime: Gráficas RIGEL Impreso en España / Printed in Spain Junio, 2020

‘No nos engañemos: escribimos siempre después de otros’.

Enrique Vila-Matas

Dedicado a cuantos han pensado sobre lo vago y lo borroso y, en particular, a William of Ockham, Lotfi A. Zadeh y Settimo Termini. También a Ramon Llull, antecedente de cuanto se ha intentado para ver al razonamiento como un cálculo.

Con agradecimiento a los profesores José Luis Verdegay (Granada) a quien se deben valiosos comentarios sobre cuanto seguirá, y Adolfo R. de Soto (León), por su ayuda en la publicación del libro y su gentileza al escribir su Prólogo.

PRÓLOGO La ciencia persigue dar cuenta de lo existente, intenta describir, explicar y comprender los fenómenos naturales; entre ellos el razonamiento humano del cual y, tradicionalmente, ha sido la lógica la encargada de abordarlo.

Sin embargo, con el razonamiento humano sucede algo semejante a lo que sucede cuando se estudia el lenguaje natural, el instrumento y el objeto de estudio coinciden; se usa el razonamiento para estudiar los mecanismos de razonamiento, no queda otra. Cuando estudiamos el lenguaje natural, lo usamos a la vez para formular nuestros estudios y descubrimientos. Es una coincidencia que ha provocado y provoca muchas paradojas y ha llevado a identificar, por parte de algunos autores, pensamiento con razonamiento y éste con lenguaje; la lógica, necesaria hasta cierto punto para tal estudio, no basta para estudiar el razonamiento humano.

La lógica ha sido y es descriptiva y prescriptiva, intenta explicar cómo razonamos, así cómo cuál es el proceso adecuado de razonar y qué razonamientos son admisibles para llegar a un determinado objetivo. Todo ello se produce en el lenguaje natural, o al menos es formulado con el lenguaje natural. No obstante y hasta la fecha, no ha sido posible explicar el lenguaje natural únicamente desde el punto de vista lógico; el lenguaje natural es demasiado rico y abierto. Con el razonamiento es de cuanto disponemos.

Si en algún momento podrá realizarse esta tarea no lo sabemos, pero al menos parece difícil. Lo que sí sabemos es que durante el siglo XX se persiguió la idea de formalizar completamente la matemática mediante la lógica formal hasta que Kurt Gödel mostró que no era un camino adecuado. Todo ello lleva, por lo menos, a dudar que la lógica permita formalizar todo el razonamiento; la lógica debe conformarse con ser humilde y trabajar con lenguajes formales, bien definidos, pero mucho más limitados que el lenguaje natural.

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Enric Trillas. Reexplorando el concepto de Conjunto Borroso

La tecnología por el contrario persigue hacer, crear nuevos productos o procesos industriales que ayuden a la humanidad; a veces ha ido por delante de la ciencia y a veces ha aprovechado los descubrimientos de esa ciencia para crear novedades. Ciencia y tecnología han mantenido un fecundo diálogo a lo largo de la historia. Seguimos enseñando a nuestros alumnos tecnólogos los principios científicos que conocemos; sin embargo, muchos productos se construyen sin conocer completamente sus bases científicas.

En 1965, L.A. Zadeh publica el artículo fundador de la teoría de conjuntos borrosos (Fuzzy Sets, en inglés) y en él describe unos artefactos formales que, ampliando los conjuntos clásicos, permiten crear una teoría ampliada de conjuntos. Zadeh tenía una formación tecnológica pero y, a la vez, un gran interés por la formalización matemática.

De igual forma que la lógica clásica booleana y los conjuntos clásicos permiten dos únicos valores de verdad, la representación de Zadeh para los conjuntos borrosos tiene su correspondencia con una lógica infinitamente valuada. Así, una teoría de conjuntos novedosa tiene asociada una lógica de la cual, sin embargo, va más lejos; la idea de Zadeh permitía que aquellos artefactos, funciones matemáticas para ser concretos, representaran ciertos conceptos imprecisos del lenguaje natural que habían quedado fuera del ámbito de la lógica clásica. Esos conceptos se caracterizan por su flexibilidad, su borrosidad, por no presentar bordes bien definidos y muestran a los rígidos conjuntos clásicos como un caso particular; Zadeh, contrariamente a sus antecesores, hizo de lo impreciso el centro de atención científica.

De todo ello quizá lo más sorprendente fue que esa capacidad de representar los conceptos imprecisos del lenguaje natural mediante funciones matemáticas, permitió representar en términos matemáticos, sistemas de reglas lingüísticas flexibles que resultaron sorprendentemente potentes.

Utilizando unos pocos conceptos flexibles, y básicamente una única regla de razonamiento lógico, fue posible construir ‘sistemas software’ que, sin disponer del fundamento científico basado en el cálculo diferencial de los sistemas de control de aquel tiempo, lograban construir sistemas de control que estaban fuera de la capacidad que esos sistemas tenían allá por los años 70. En el trabajo de Zadeh se unen lógica y matemática, tecnología y representación del lenguaje natural.

Enric Trillas llegó a la teoría de conjuntos borrosos bien temprano; lo hizo tras investigar en otros temas muy matemáticos y su formación le condujo al

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Prólogo

estudio de la formalización de la teoría, publicando en 1980 el primer libro sobre conjuntos borrosos en español. Sin embargo esa formación matemática no restringió su visión de los conjuntos borrosos como una rama de las matemáticas sino conduciéndole a trabajar, por ejemplo, alrededor de algunos de los desarrollos que en este tiempo se han realizado; matemático de formación tuvo interés en la tecnología. Para Trillas la visión lógica de la teoría y especialmente la capacidad de representación de conceptos flexibles del lenguaje natural, abría nuevas posibilidades de explicación de los fenómenos de razonamiento en el lenguaje natural. Las personas razonan en el lenguaje natural, el razonamiento que llamamos de sentido común, y que muchas veces no se ajusta a los procesos que se han formalizado en la lógica que, de ordinario, debe presuponer demasiadas ‘leyes’. Trillas cree que la lógica es demasiado restrictiva para estudiar el razonamiento en general.

Enric Trillas ha abordado este reto al estudiar cómo los términos lingüísticos, representados por conjuntos borrosos influyen en los procesos de razonamiento, en los diversos procesos de razonamiento que son muchos más que los meramente deductivos que habitualmente son objeto de estudio de la lógica. Su distinción entre un conjunto borroso y los conjuntos borrosos ‘de trabajo’ a él asociados separa, en cierta medida, lo lógico de lo que se percibe; es una novedad a tener en cuenta para el posterior avance de la teoría de Zadeh. El razonamiento inductivo, o el abductivo o el especulativo (el cual y de hecho ha considerado por vez primera) son un bagaje de herramientas de razonamiento que habitualmente utilizamos y que Trillas analiza formalmente pero sin exigir leyes lógicas sólo válidas en situaciones particulares.

En el libro que ahora nos presenta y, nuevamente en español, Enric re-explora la teoría de conjuntos borrosos mucho más desde el punto de vista del razonamiento expresado en lenguaje natural, que desde el punto de vista de una teoría matemática o lógica; lo expresa claramente al inclinarse por una evolución de la teoría de conjuntos borrosos y la Computación con Palabras y Percepciones, hacia una ciencia experimental y, a la vez, teórica. Es que gracias a la capacidad de representación de los términos lingüísticos borrosos, y por supuesto también a su capacidad de incluir los términos nítidos (puesto que los conjuntos borrosos tienen como caso particular los conjuntos clásicos), así como a la diversidad de leyes lógicas realmente aplicables, se abren nuevas posibilidades de fundamentar nuestro conocimiento sobre el razonamiento humano en el lenguaje natural, que es dónde tiene lugar.

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Enric Trillas. Reexplorando el concepto de Conjunto Borroso

Si la línea de investigación sugerida en el libro es adecuada, si podrán lograrse resultados que amplíen nuestro conocimiento, el tiempo lo dirá. Pero el intento de conocer más, re-explorando lo conocido y abordando problemas nuevos y difíciles, es de lo que está hecho el camino por el que crece el conocimiento científico y este libro pretende ser una aportación en esta línea.

Una aportación especialmente dirigida a los jóvenes a quienes y desde siempre, Enric Trillas ha intentado ayudar a iniciarse en la investigación. Entre ellos y hace ya mucho, se encontró quien firma este prólogo.

León, 16 de Octubre, 2019.

Adolfo R. de Soto.

Profesor y Vicerrector, Universidad de León.

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INTRODUCCIÓN. Las teorías de conjuntos, tanto los clásicos o rígidos como los llamados borrosos pueden, por lo menos, considerarse y enseñarse desde dos puntos de vista que, no excluyéndose y solapándose, tienen no obstante objetivos distintos. Bien cabe hacerlo con la intención de mostrar una teoría matemática, o bien con la de disponer de una presentación que, basada y apoyada en el lenguaje, pueda emplearse en la representación matemática de enunciados; de algunas frases lingüísticas. En este libro se adopta el segundo punto de vista y con el objetivo de avanzar en el estudio del razonamiento, tanto del preciso y formal de naturaleza exacta, como del ordinario o de sentido común, el de las personas en su vida diaria, usualmente aproximado, expresado en lenguaje ‘natural’ y no en algún lenguaje formal artificial. Un tipo de razonamiento que comporta conjeturar en lugar de sólo deducir; precisamente, cómo encontrar conjeturas no deductivas es otro de los temas sobre los que se intentará reflexionar.

El ordinario, el de cada día de las personas, es un tipo de razonamiento que, en sí mismo, se contemplará como más ‘analógico’ que ‘digital’ y por más que la enorme potencia de los ordenadores permita la digitalización de parte de lo que a la mecanización y simulación computacional del razonamiento se refiere.

Cuanto seguirá corresponde a una intención que tiene por objetivo principal la representación matemática de partes del lenguaje, en el cual hay más palabras imprecisas, representables por conjuntos borrosos, que palabras precisas representables por conjuntos clásicos. Se intentarán sentar unas bases para poder reexplorar los conjuntos borrosos y mostrar que en la teoría de Zadeh son posibles nuevas rutas de pensamiento.

Se partirá de la teoría ingenua de conjuntos clásicos para construir, gracias a ella, una nueva visión de los conjuntos borrosos que, basada en el significado de las palabras, contenga aquella teoría clásica como un caso

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Enric Trillas. Reexplorando el concepto de Conjunto Borroso

particular. La inclusión de los conjuntos clásicos entre los borrosos es indispensable puesto que, en el lenguaje, coexisten lo preciso y lo impreciso, lo que es binario y lo que no lo es estrictamente; contar con una metodología única para su representación es útil. Partir de los conjuntos clásicos es, además, una estrategia típicamente matemática y también, en parte, empezar a reexplorar los conjuntos borrosos con ‘ojos de niño’, es decir, ingenuamente deseando verlos más claro.

A tal fin, este libro no es sino una nueva forma o, por lo menos distinta a la que es usual para presentar los conjuntos borrosos introducidos en 1965 por el profesor Lotfi A. Zadeh (Bakú, Azerbaiyán, 1921 – Berkeley, California, 2017) y en el artículo Fuzzy Sets, publicado en la revista Information and Control (8, 1965: páginas 338-353), que se encuentra fácilmente en la web y cuya lectura se recomienda encarecidamente. Realmente, Zadeh no definió matemáticamente qué es un conjunto borroso, sólo lo describió magníficamente y dejó escrito cuanto se requiere para su definición matemática.

Desde luego, esta obra no pretende ser un libro de texto; no lo es y sólo pretende ayudar a comprender mejor la teoría de Zadeh a través de algunas reflexiones del autor, que el lector deberá poner en cuarentena antes de hacérselas o no hacérselas suyas. De pretender algo, sólo sería mostrar que cabe explorar nuevas rutas para entender los conjuntos borrosos.

Debe ponerse de relieve que los conjuntos borrosos y pese a su nombre no son ni conjuntos, ni entidades propiamente matemáticas sino lingüístico-perceptivas y empíricas que, generadas en el lenguaje por una palabra predicativa mediante una cierta colectivización de tipo nebuloso, se les asigna una extensión que proviene directamente de su significado. Por lo tanto, es esencial saber la idea de ‘significado’ involucrada; además, la teoría de tipo matemático resultante, no dede ser borrosa sino nítida.

No se tratará, por tanto, de establecer una teoría abstracta por sí misma sino, partiendo de conceptos empíricos, encontrar un modelo matemático de las palabras con la finalidad, más lejana, de llegar a un cálculo con palabras que permita, en parte y por lo menos, avanzar en el antiguo ‘No discutamos, ¡Calculemos!’ de Leibniz en el siglo XVII, inspirado en la aún más antigua obra ‘Ars Magna’ del mallorquín Ramon Llull i Erill, entre los siglos XIII y XIV. Una línea de investigación continuada, en términos matemático-simbólicos, en el siglo XIX por George Boole y, en el XX, por Lotfi A. Zadeh.

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Introducción

La finalidad última de cuanto seguirá es poder representar matemáticamente una parte más amplia del razonamiento de sentido común, expresado en lenguaje ordinario, que aquella permitida por los conjuntos clásicos, por el álgebra de Boole, y así proponer un posible fundamento para el Computing with Words and Perceptions de Zadeh y que es, seguramente, el futuro de su teoría de los conjuntos borrosos. Una teoría que, actualmente encerrada en sí misma y girando alrededor de conceptos matemáticos referentes a las funciones de pertenencia, cabe ver, por consiguiente, acabada en por lo menos la forma que a partir de los años setenta del pasado siglo empezó a desarrollarse.

Con este librito sólo se trata de discutir qué es y qué no es un conjunto borroso, cómo puede definirse; no se trata, sin embargo, de un texto inmediatamente útil para el diseño práctico de sistemas borrosos, es, simplemente, una (recomendable, en opinión del autor) reflexión inicial y a veces incluso informal, sobre tales conjuntos. Quien desee profundizar en el estudio técnico de los conjuntos borrosos y tanto por él mismo como de cara a aplicarlo, deberá estudiar textos específicos como los que se indicarán en la bibliografía al final del libro. Con todo, el autor piensa que los jóvenes investigadores y también aquellos que se están iniciando a la investigación, tanto sean de tendencia teórica como aplicada, deben reflexionar críticamente acerca de cuanto estudien; no deben manejar ciegamente los útiles teóricos a su disposición. A ello puede ayudarles una lectura detenida de este libro.

Sin embargo y por lo que respecta a las cuestiones teóricas fundamentales, pasados casi cincuenta y cinco años desde su establecimiento por Zadeh, seguramente ha llegado la hora de revisar críticamente el concepto de conjunto borroso, separando lo que es ‘cualitativo’ de lo que es ‘cuantitativo’, lo que cabe ver como algo fijo, de lo que depende de información contextual y es variable. De lo que se percibe como un ente nebuloso y lo que se observa del mismo en el contexto en el cual se usa la palabra que, nombrando una propiedad, genera su significado, el conjunto borroso. Si una partícula física se puede observar en un laboratorio y gracias a un aparataje específico, el significado de las palabras se observa en el lenguaje y gracias al habla.

Captar lo que es un conjunto borroso no es ni más fácil, ni más difícil, que captar lo que es un conjunto clásico; algunos son dificiles de captar al no ser ni finitos, como el de las manzanas en un cesto, ni numerables como el de todos los números naturales. Los hay mucho más complejos como es, por ejemplo, el de los números reales ‘trascendentes’, aquellos que, como los

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números π y e, no son solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros y constituyen un subconjunto propio de la recta real que es biyectivo con ella, es un conjunto con la potencia del continuo.

La génesis de los conjuntos borrosos es distinta a la de los clásicos y por más que el llamado ‘axioma de especificación’ coloque a éstos en relación inmediata con la parte precisa del lenguaje; pero es un axioma que llega al final, tras el concepto de ‘conjunto’. El autor ve al revés el caso de los conjuntos borrosos; es en el lenguaje donde se generan y luego aparece el problema de su representación matemática. Es un punto de vista desde el cual cabe reexplorar cuanto ha constituido la teoría de Zadeh de los conjuntos borrosos y, tal vez, abrirle nuevos cauces.

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ÍNDICE PRÓLOGO....................................................................................................... 7 INTRODUCCIÓN............................................................................................ 11 1. CONJUNTOS CLÁSICOS Y BORROSOS. CONSIDERACIONES GENERALES............................................................................................ 17 2. SIGNIFICADO Y CONJUNTOS BORROSOS............................................... 27 3. NEGACIÓN, COMPLEMENTARIO Y OPUESTO......................................... 37 4. REFLEXIONES ADICIONALES SOBRE EL CONCEPTO DE CONJUNTO BORROSO...................................................................... 47 5. UNA FORMA USUAL DE LAS FUNCIONES DE PERTENENCIA.................. 59 6. SOBRE EL RAZONAMIENTO CON CONJUNTOS BORROSOS.................... 65 7. EL CONCEPTO DE BORROSIDAD............................................................ 77 8. ALGO MÁS SOBRE EL RAZONAMIENTO................................................. 85 9. EXCURSIÓN AL CONCEPTO DE VERDAD................................................. 97 10. LA INTERPRETACIÓN POSIBILÍSTICA DE ZADEH................................... 103 11. INTERSECCIÓN Y REUNIÓN DE CONJUNTOS BORROSOS..................... 113 12. EXTENSIÓN DE FUNCIONES Y ARITMÉTICA BORROSA......................... 125 CONCLUSIÓN.............................................................................................. 131 ALGUNAS REFERENCIAS............................................................................. 149

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1. CONJUNTOS CLÁSICOS Y BORROSOS. CONSIDERACIONES GENERALES Los conjuntos ordinarios o clásicos, como el de las manzanas en un cesto, el de los números naturales, el de los números reales, el de los habitantes censados de una población determinada, etc., constituyen una abstracción matemática que ha resultado utilísima tanto para la fundamentación de las matemáticas, como para muchas aplicaciones y mostrando, con ellas, que el concepto de conjunto clásico es fértil, muy fértil. Es un éxito del pensamiento y su fertilidad, su capacidad de ser aplicado a muchos casos prácticos proviene, en buena medida, del siguiente axioma llamado de especificación: Si X es un conjunto y P es una palabra nombrando una propiedad p de los elementos de X que es binaria (es decir, que éstos bien la muestran por completo, o bien no la muestran en absoluto), entonces existe un único conjunto P, nombrado P, el de los P, cuyos elementos son los x ∈ X tales que ‘x es P’, es decir, que x verifica totalmente la propiedad p.

Con este axioma, el conjunto X queda perfectamente clasificado en sólo dos subconjuntos, el P y su complementario Pc constando de aquellos x que no verifican p en absoluto.

Sin embargo, el lenguaje tiene muchas palabras no binarias y como es ‘frío’, ya que de las cosas, los líquidos, por ejemplo, no cabe afirmar sólo que bien son frías o bien no lo son y, por eso, existen palabras como ‘tibio’ identificable como ‘ni frío ni caliente’.

1.1.

Por tanto, cada palabra P, significativa en X y de uso binario en él, precisa en X, especifica un único subconjunto P ⊆ X, cuyo complementario en X, Pc, contiene aquellos x ∈ X que no verifican p en absoluto, aquellos para los que

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Enric Trillas. Reexplorando el concepto de Conjunto Borroso

x no es P, no es ‘x es P’ sino que ‘x es no-P’. El carácter significativo de P en X se requiere para que no sea un caso como el de la palabra P = soso, en el conjunto X = las montañas de la cordillera Cantábrica; para que los enunciados ‘x es P’ sean sensatos, significativos. Es en base a tales enunciados lingüísticos que todo puede tener sentido y, de hecho, las matemáticas se desarrollan mediante la teoría de conjuntos (clásicos), previa y también matemáticamente construida con palabras precisas bien definidas, lo cual ya muestra un signo evidente de la fertilidad de esa teoría. Debe observarse, con Bertrand Russell, que si el desarrollo de las matemáticas sólo requiere algunas de las palabras del lenguaje, el razonamiento común las requiere todas.

Así, en el conjunto N de los números naturales, las palabras Impar = I y primo = P, ambas de significados bien conocidos, especifican los conjuntos I ⊆ N y P ⊆ N, que contienen, respectivamente, los números impares y los números primos, y verificando P – {2} ⊆ I, es decir, la cadena de contenciones P – {2} ⊆ I ⊆ N, reflejando que los números primos distintos de dos son impares y que estos son naturales. Los números pares, los no impares, quedan especificados por el conjunto Ic U {2}.

Los conjuntos clásicos especifican propiedades binarias, nítidas, de elementos que, a su vez, están en otro conjunto-base, el ‘universo del discurso’, el cual, por tanto, también se supone especificado por una propiedad nítida y como, en el ejemplo, es el conjunto N cuyos elementos se definen unívocamente gracias a los tres axiomas de Peano, es decir por la propiedad binaria consistente en la conjunción de esos tres axiomas.

Si x está en X y verifica una propiedad binaria p, es por cuanto ya verifica la propiedad que especifica a X y a la cual p restringe; la especificación de un subconjunto de X por una propiedad binaria presupone que antes se haya especificado el correspondiente universo del discurso X. Así, que 5 es un número impar, indica que 5 es un número natural e impar, la conjunción de la propiedad binaria que define a los números naturales con aquella que define a los que son impares (números naturales que divididos por 2 dan resto 1).

De la misma manera, de referirse a los londinenses que son altos primero hay que tener en cuenta qué es o quiénes son los londinenses.

Nótese que, consiguientemente, dado un subconjunto P ⊆ X, para cualquier x ∈ X sólo es posible una de las dos alternativas x ∈P o x ∉ P x ∈ Pc; el universo X y los símbolos binarios ∈, ∉ bastan para construir matemáticamente la teoría ingenua de conjuntos clásicos; lo que no es así en el caso de los (nebulosos) conjuntos borrosos.

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Conjuntos clásicos y borrosos. Consideraciones generales

Especificar el uso de una palabra en un universo del discurso por un conjunto, sea clásico o borroso, no es sino otorgarle extensión a la palabra en ese universo (algo que deberá concretarse formalmente) y tomado a éste como la totalidad a considerar. Debe notarse que tales palabras sólo son aquellas que predican algo, una propiedad, de los elementos del universo del discurso; no son, por tanto, todas las palabras. Sin embargo, la consideración del concepto de relación también permite, luego y saliendo de X, capturar mediante conjuntos, clásicos o borrosos, más palabras que no se prediquen de elementos sino de pares, ternas, etc., de ellos y dependiendo de que tal predicación sea o no sea binaria.

1.2.

En el lenguaje ni todas las palabras predicativas reflejan propiedades binarias, ni todos los universos que en él aparecen pueden especificarse nítidamente. Por ejemplo, en el conjunto de los habitantes de Londres, previamente especificado por el censo municipal, la propiedad de ‘ser joven’, la palabra J = joven, su nombre, no es binaria, en tanto lo es una palabra significando tener ‘menos de 25 años’. Un habitante de Londres bien tiene menos de 25 años o no, pero ello no es así respecto de ‘joven’ ya que un/una londinense puede ser más o menos joven, muy joven, poco joven, nada joven, de media edad, etc.; el uso habitual de joven en el lenguaje no es binario como lo es el de ‘menor de 25 años’. Los ‘jóvenes londinenses’ no pueden distinguirse, percibirse, mediante sólo considerar los símbolos ∈, ∉, como puede hacerse con los londinenses de menos de 25 años; hay casos límite en los que resulta muy difícil percibir si alguien es joven o no lo es. Por consiguiente, no cabe especificar propiamente a ‘los jóvenes de Londres’ sin previamente especificar el ‘Londres’ involucrado y, sin embargo, tanto ‘joven’ como ‘los jóvenes’ son términos bien anclados en el lenguaje, cuyos hablantes los manejan con toda naturalidad, sin problema alguno y aceptando que los menores de 25 años están entre los jóvenes de Londres; los hablantes conceden extensión a la palabra ‘joven’, aunque la misma no sea precisa. Se trata de palabras que responden a percepciones.

De no especificar previamente que ‘joven’ se refiere a los habitantes censados de Londres, la situación no será la misma; si considerar a los jóvenes censados nos mantiene dentro de la teoría clásica de conjuntos, no lo hace considerar a los jóvenes de Londres sin tener en cuenta que estén previamente censados y también puedan ser, por ejemplo, residentes temporales

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Enric Trillas. Reexplorando el concepto de Conjunto Borroso

o no legales; faltaría su ‘lista’ y, con ello, el universo del discurso pierde la categoría de conjunto al no poderse ligar nítidamente los habitantes con ‘Londres’ por medio de uno de los dos símbolos ∈ y ∉. De un residente temporal podría decirse que es un londinense con grado intermedio a cero (no es un londinense) y a uno (lo es por completo); que ‘está’ en Londres pero ‘no es’ de Londres. En ese caso, con frecuencia ordinario, sólo cabe afirmar que en el colectivo nebuloso de los londinenses, conteniendo el nítido de los censados, está incluido el de aquellos que son jóvenes; naturalmente, la forma de especificar el universo del discurso no es única, depende del problema en cuestión. Así, podría considerarse que son londinenses aquellas personas nacidas en Londres, que han estado censadas en esa ciudad hasta sus 25 años y con independencia de donde residan ahora mismo.

Sin embargo, para empezar a construir una teoría formal no conviene utilizar lo que esté por definir; por ello se supondrá que el universo del discurso X es un conjunto clásico.

La aplicación de la teoría de conjuntos clásicos al lenguaje ordinario no es universal; no puede serlo ya que el lenguaje la sobrepasa como, en realidad, lo sobrepasa todo y cómo, por ejemplo, muestra la poesía. La sobrepasa al manejar con toda naturalidad propiedades imprecisas, no rígidas sino flexibles, no binarias sino graduables, nebulosas, y de las cuales son buenos ejemplos, en las mismas matemáticas, conceptos como ‘grande’ en el intervalo [0, 1] y ‘redondo’ en el conjunto de los números naturales (‘n es redondo’ si se descompone en el producto de un número pequeño de factores primos elevados a exponentes relativamente grandes). Por ejemplo, 29315 podría calificarse como redondo, pero, ¿qué decir de 22335173? Naturalmente, faltaría establecer qué grado de redondo puede asignarse a cada uno de ellos.

No se trata aquí de considerar todas las palabras del lenguaje, sino solamente aquellas que son predicativas, que predican algo de los elementos del universo del discurso lo cual, en principio, deja fuera a por ejemplo aquellas que denotan un verbo, como son ‘ser, ‘estar’, etc., para las cuales hay que extender los conjuntos a las relaciones, los predicados unarios a los binarios y, en general, n-arios.

En el diccionario hay muchas más palabras de uso impreciso que preciso; la imprecisión permea al lenguaje. Cómo se perciben las cosas es fundamental en la expresión lingüística, en su descripción por medio de palabras del

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Conjuntos clásicos y borrosos. Consideraciones generales

lenguaje ordinario. Las palabras imprecisas permiten descripciones ‘rápidas’ de aquello que no se conoce exactamente, que en un determinado contexto no cabe definir de la forma ‘sí y sólo sí’; es decir, por medio de una condición necesaria y suficiente empleando sólo conceptos precisos. Intentar mantener una conversación interesante con sólo palabras precisas es muy difícil, por no decir imposible.

Si las teorías matemáticas son una parte del pensamiento a la que se llega manejando adecuadamente algunas (pocas) palabras, el pensamiento en general las necesita todas; aquello de lo que puede hablarse por cuanto ‘se piensa’ o ‘se percibe’, no admite siempre un modelo matemático basado en la teoría de conjuntos clásicos. Lo que no significa que no admita algún modelo matemático, sino únicamente que su extensión no puede reflejarse por un conjunto clásico.

1.3.

Así y por ejemplo, los números reales grandes entre 0 y 1, de usar la palabra G = grande de la manera usual y no limitándola, por ejemplo, a ‘mayor que 0.7’, no admiten un conjunto clásico como modelo matemático. En efecto, de poder representarse por un tal conjunto, sea G, por descontado que éste verificaría las siguientes propiedades involucrando los símbolos ∈ y ∉: 1) 0 ∉G; 2) Si x ∈G y z es ‘próximo’ a x, entonces también z ∈ G; 3) 1 ∈ G. Obsérvese que de identificar G con ‘mayor que 0.7’, entonces sería G = {x ∈[0, 1]; 0.7 < x} = (0.7, 1], G sería un conjunto ya que la propiedad anterior es binaria, un número es bien mayor que 0.7, o bien no lo es; salvo con una identificación como ésa, artificial en el lenguaje ordinario, G no es un conjunto ya que el uso ordinario de grande no es binario y, en (2) la palabra ‘próximo’ introduce la dificultad de desconocerle un significado preciso.

Por tanto y para mostrar un esquema de cómo cabría probar de forma matemática que G no es un conjunto, ante todo debe explicarse qué afirma la anterior propiedad (2): La percepción no permite distinguir a números como 0.8, 0.8 – 10-10.000 y 0.8 + 10-10.000; por ello, si 0.8 es percibido como grande, los otros dos números tan ‘próximos’ a él también serán percibidos como grandes al ser perceptivamente indistinguibles de 0.8. He aquí un esquema para una prueba:

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Enric Trillas. Reexplorando el concepto de Conjunto Borroso

Como es G ⊆ [0, 1], G está acotado inferiormente por 0 y siendo el intervalo unidad ‘compacto’ en la topología de la recta real, de ser G un conjunto entonces tendrá una cota inferior mínima; sea g. Necesariamente g deberá ser grande ya que cualquier número menor y muy próximo a g por la derecha (como por ejemplo g - 10-10.000), deberá ser grande al ser perceptivamente indistinguible de g; la percepción ordinaria no permite otra cosa, desmiente que g sea la cota inferior mínima y todos los elementos de G serían grandes cuando 0 no lo es, ya que siendo g grande también lo sería g + 10-10.000 y, así, sucesivamente y aunque en un gran número finito de pasos, se llegaría a que 0 sería grande. Por tanto, G no tiene una cota inferior mínima y, siendo esa una propiedad de los conjuntos, no puede ser un conjunto contenido en [0, 1] aunque, de existir una hipotética entidad que pudiese nombrarse G y siendo ésta lo que fuese, contendría partes propias rígidas como es el conjunto clásico de los mayores de 0.9, (0.9, 1]. ¿Qué muestra el ejemplo? Esencialmente, que de manejar la palabra ‘grande’ como en el lenguaje ordinario, la propiedad ‘ser grande’ no es binaria; que dado un x de [0, 1], que bien sólo vaya a ser x ∈ G, o bien x ∉ G, no sucederá en todos los casos, es decir, para todos los x involucrados: Que ‘grande’ varía a lo largo de su aplicación a los x de [0, 1] y mediante los enunciados ‘x es G’. ¿Cómo representar matemáticamente las formas lingüísticas usuales de manejar la palabra grande en X = [0, 1]? Es justamente el intento de responder preguntas como ésa lo que origina la teoría de conjuntos borrosos, la cual se basa en el ‘significado’ de las palabras en el lenguaje, en la forma cómo se usan en el lenguaje; nótese que el hecho de que G no sea un conjunto depende del uso asignado a la palabra ‘grande’ en el universo [0, 1], de un significado dado por las tres propiedades anteriores y, esencialmente por la (2). Se requiere una nueva teoría al respecto. Nótese que 0.4 como peso de un producto químico venenoso puede ser grande, pero como porcentaje de una venta, pequeño; en el lenguaje grande se usa de formas muy diversas; el significado no es algo absoluto y universal, sino contextual, situacional.

Ante la enorme cantidad de palabras imprecisas del lenguaje caben dos actitudes, bien dejar de lado su modelización matemática, o bien afrontarla; la teoría de los conjuntos borrosos de Zadeh la afrontó por vez primera y tras que muchos lógicos intentasen obviar directamente las palabras imprecisas.

En su momento fue una teoría revolucionaria con la que cabe representar mediante fórmulas muchas más frases lingüísticas que con sólo la teoría de

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