Tartalomjegyzék A számok 20 000-ig.......................................................................................... 5 Tájékozódás a számegyenesen ......................................................................... 10 Számok kerekítése ............................................................................................ 14 Mit árul el a szám utolsó számjegye ................................................................ 16 Az összeadás és a kivonás tulajdonságai.......................................................... 18 Írásbeli összeadás, kivonás ............................................................................... 28 A szorzás értelmezése, tulajdonságai ............................................................... 35 Írásbeli szorzás egyjegyû szorzóval ................................................................. 40 Az osztás értelmezése, tulajdonságai ............................................................... 46 Írásbeli osztás egyjegyû osztóval ..................................................................... 50 Hosszúságmérés................................................................................................ 57 Kerület .............................................................................................................. 61 Távolságmérés térképen ................................................................................... 63 Ûrtartalommérés ............................................................................................... 65 Tömegmérés ..................................................................................................... 68 Szorzás 10-zel, 100-zal, 1000-rel ..................................................................... 72 Írásbeli szorzás kétjegyû szorzóval .................................................................. 75 Merôlegesség, párhuzamosság ......................................................................... 87 A derékszög ...................................................................................................... 88 Síkidomok, sokszögek ...................................................................................... 91 Testek ................................................................................................................ 95 Ellentétes mennyiségek .................................................................................... 102 Vegyes feladatok............................................................................................... 106 Tört, törtrész ..................................................................................................... 109 Osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel ....................................................................... 119 Írásbeli osztás kétjegyû osztóval ...................................................................... 121 Idõmérés ........................................................................................................... 129 Területmérés...................................................................................................... 131 Téglatest építése ............................................................................................... 137 Hányféleképpen? .............................................................................................. 139 Osztó, többszörös.............................................................................................. 142 A mûveletek sorrendje...................................................................................... 144 Következtetés többrôl többre............................................................................ 150 Sorozatok .......................................................................................................... 152 Összefüggések, grafikonok............................................................................... 154 Egyenletek, egyenlõtlenségek .......................................................................... 157 A számok 100 000-ig........................................................................................ 159 1
Összeadás, kivonás a 100 000-es számkörben ................................................. 167 Szorzás a 100 000-es számkörben.................................................................... 172 1-es a szorzóban................................................................................................ 175 Szorzás háromjegyû szorzóval ......................................................................... 177 0 a szorzóban .................................................................................................... 179 Osztás a 100 000-es számkörben...................................................................... 181 Összetett feladatok............................................................................................ 187 Tükrözés, tükrösség .......................................................................................... 189 Hasonlóság, egybevágóság............................................................................... 191 Kitekintés 1 000 000-ig .................................................................................... 196 Játékos feladatok............................................................................................... 204
2
M4_1V5.qxd
2003.03.07.
10:48
Page 98
Síkidomok, sokszögek A háromszöget, négyszöget, ötszöget stb. sokszögnek nevezzük. A sokszöget csak szakaszok határolják.
1. Egy szabás-varrást ismertetô könyvben a gyermekruhákon ilyen zsebek találhatók:
Az így kapott síkidomok közül melyekre igazak a következô állítások? A síkidomokra írt betûvel válaszolj! a
Csak egyenes vonal határolja.
b
Négyszög.
A határoló vonalak között van szakasz.
f g
Ötszög.
c
Csak görbe vonal határolja.
h
Hatszög.
d
Van párhuzamos oldalpárja.
i
Téglalap.
e
Van merôleges oldalpárja.
j
Négyzet.
2. Az elôzô feladathoz tartozó síkidomok betûjelét írd be ilyen halmazábrába!
98
Gyakorló 102–104. oldal
M4_1V5.qxd
2003.03.07.
10:48
Page 99
3.
B
D
A
C
E
F J I
G
H
Melyik négyszögre igazak a következô állítások? A négyszögekre írt betûvel válaszolj! A merôlegességet kétszer összehajtogatott papírlappal vizsgálhatod. aa
Van két egyenlô oldala.
b
Minden oldala egyenlô.
c
Szemközti oldalai egyenlôk.
d
Van merôleges oldalpárja.
e
Van párhuzamos oldalpárja.
f
Tükrös.
g
Szomszédos oldalai merôlegesek egymásra.
h
Szemközti oldalai párhuzamosak egymással.
4. A 3. feladat állításai közül melyek igazak aa
a téglalapra;
b
a négyzetre?
5. A 3. feladathoz tartozó négyszögek betûjelét írd be ilyen halmazábrába! A címkék jelentése: a
P: A szemközti oldalak párhuzamosak. M: Van merôleges oldalpárja.
b
T: Tükrös. N: Négyzet.
Fgy. 5.07–09., 6.01., 6.14., 6.22., 6.25. feladat
99
M4_1V5.qxd
2003.03.07.
10:48
Page 100
Az eddigi tapasztalatok, vizsgálódások alapján fogalmazzuk meg a téglalap jellemzô tulajdonságait! A téglalap négyszög. Szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlôk. A szomszédos oldalak merôlegesek egymásra. A téglalap kétféleképpen hajtható félbe úgy, hogy a szemközti oldalak fedjék egymást: Ennek a téglalapnak két tükörtengelye van. A négyzet olyan téglalap, amelynek minden oldala egyenlô. A négyzet négyféleképpen hajtható félbe úgy, hogy a két rész fedje egymást.
A négyzetnek négy tükörtengelye van. 6. A négyzetrácsra rajzolt téglalapoknak mérd meg az oldalait, és számítsd ki a kerületüket!
100
M4_1V5.qxd
2003.03.07.
10:48
Page 101
Egy öttornyú vár szomszédos tornyait falak kötik össze. A nem szomszédos tornyok között egyenes útvonalak vezetnek.
A sokszög szomszédos csúcsait összekötô szakaszok a sokszög oldalai. A sokszög nem szomszédos csúcsait összekötô szakaszok a sokszög átlói.
7. Rajzolj a füzetedbe aa
háromszöget, b
négyszöget,
c
ötszöget,
d
hatszöget!
Rajzold meg az összes átlójukat! 8. Vágj ki négyzetrácsos lapból olyan téglalapot, amelynek két szomszédos oldala 3 cm, 4 cm! Rajzold meg a téglalap átlóit! aa
Hajtogatással állapítsd meg, hogy az átló tükörtengelye-e a téglalapnak!
b
Vágd szét a téglalapot az átlók mentén! Milyen sokszögek keletkeztek? Hány sokszög keletkezett? Van-e az így keletkezett sokszögek között ugyanolyan alakú és méretû?
9. Vágj ki négyzetrácsos lapból olyan négyzetet, amelynek oldala 4 cm! Rajzold meg a négyzet átlóit! aa
Hajtogatással állapítsd meg, hogy az átló tükörtengelye-e a négyzetnek!
b
Hajtogatással állapítsd meg, hogy a 2 átló merôleges-e egymásra!
c
Vágd szét a négyzetet az átlók mentén! Mi mondható el az így keletkezett sokszögekrôl? 101
M4_1V5.qxd
2003.03.07.
10:48
Page 102
Testek A mindennapi életben különbözô tárgyak vesznek körül bennünket. Például: A
B
D
C
E F
G
I
H
A következô képen építô-, illetve más játékokat látunk: 1
2
5
6
3
7
Figyeld meg, melyik játék alakja melyik tárgy alakjára emlékeztet!
4
8
9
Ha a tárgynak csak az alakjával és a méretével foglalkozunk, akkor a tárgyat testnek nevezzük. Test például a gömb, a téglatest. 1. Az elôzô képen lerajzolt testek közül melyekre igaz az állítás? aa
Van síklapja.
b
Minden lapja síklap.
c
Van háromszöglapja.
d
Van téglalap alakú lapja.
e
Van körlapja.
f
Minden lapja téglalap.
g
Van négyzetlapja.
h
Minden lapja négyzet.
102
M4_1V5.qxd
2003.03.07.
10:48
Page 103
2. Ezekbôl a lapokból melyik test ragasztható össze? Párosítsd a feladat betûjelét a test sorszámával! a
b
c
d
e
f
1
2
3
4
6 5
3. Az elôzô feladatban lerajzolt testek közül aa
melyiknek hány lapja van, hány éle van, hány csúcsa van;
b
melyek építhetôk fel csupa egyforma méretû és alakú lapból;
c
melyek építhetôk fel 6 téglalapból;
d
melyek építhetôk fel csupa háromszöglapból;
e
melyek a téglatestek;
f
melyeknek van 12 élük? Fgy. 6.04., 6.30. feladat
103
M4_1V5.qxd
2003.03.07.
10:48
Page 104
Ezeket a testeket síklapok határolják. A testek két-két szomszédos síklapja élben találkozik.
Az élek csúcsban találkoznak.
csúcs
él
A testek csúcsai pontok.
A testek élei szakaszok.
4. Végy a kezedbe olyan téglatestet, amelynek nincs négyzetlapja: 2 négyzetlapja van: minden lapja négyzetlap:
a
Keress a határoló lapok között ugyanolyan alakúakat és nagyságúakat! Hogyan helyezkednek el ezek a lapok az egyes testeken?
b
Keress az élek között egyenlô hosszúakat! Az egyes testeknek hány ilyen éle van?
c
Keress az élek között egymással párhuzamosakat! Mit mondhatsz még ezekrôl az élekrôl?
d
Keress az élek között egymásra merôlegeseket!
e
Hány lapja, hány éle, hány csúcsa van a vizsgált testeknek?
f g
Egy-egy csúcsban hány él találkozik?
104
Egy-egy lapot hány él határol? Gyakorló 105. oldal
M4_1V5.qxd
2003.03.07.
10:48
Page 105
Ezekbôl a téglalapokból egy téglatest ragasztható össze.
A téglatest szemközti lapjai ugyanolyan alakúak és nagyságúak, más szóval egybevágók. 4-4 él párhuzamos egymással és egyenlô hosszúságú. Az egy csúcsban találkozó 3 él páronként merôleges egymásra. A téglatestet 6 téglalap határolja, 12 éle és 8 csúcsa van. Ezekbôl a lapokból egy olyan téglatest ragasztható össze, amelynek pontosan 2 négyzetlapja van.
A 6 határoló téglalap közül 4 egybevágó, vagyis ugyanolyan alakú és méretû. A két határoló négyzetlap is egybevágó. A 12 él közül 8 egyenlô hosszúságú. A 6 egybevágó négyzetbôl összeállítható téglatestet kockának nevezzük.
A kockának mind a 12 éle egyenlô hosszúságú.
Fgy. 5.31–33. feladat
105
M4_1V5.qxd
2003.03.07.
10:48
Page 106
5. Ennek a felül nyitott doboznak a vastagon meghúzott éleit bevágtuk, és a lapjait kiterítettük. Ilyen alakzatot kaptunk: Ami a rajzon 1 mm, az a valóságban 2 cm. aa
Mekkora a doboz hosszúsága, szélessége, magassága a rajzon?
b
Milyen méretû téglalap hiányzik a doboz befedéséhez?
6. Egy felül nyitott doboz lapjait kiterítettük, és ilyen alakzatot kaptunk: aa
Milyen alakú volt a doboz?
b
Mekkorák a doboz élei? Ami a rajzon 1 mm, az a valóságban 1 cm.
c
Milyen alakú és méretû téglalap hiányzik a doboz befedéséhez?
7. Egy felül nyitott doboz lapjait kiterítettük, és ilyen alakzatot kaptunk: aa
Milyen alakú volt a doboz?
b
Mekkorák a doboz élei? Ami a rajzon 1 mm, az a valóságban 1 cm.
c
Milyen alakú és méretû téglalap hiányzik a doboz befedéséhez?
8. Egy téglatest alakú doboz élei 4 cm, 3 cm, 2 cm. A doboz egyik lapja hiányzik. Hányféle lehet a hiányzó lap? Mindegyik esetben rajzold le a doboz kiterített képét! 106
Gyakorló 106–107. oldal
M4_1V5.qxd
2003.03.07.
10:48
Page 107
Egy rajzlapból levágunk egy négyzetlapot. Ezt kétszer félbehajtjuk, és az egyik hajtásél feléig bevágjuk.
A négyzetlapból egy háromfalú „sarok” hajtogatható. A három falat most római számírással sorszámoztuk.
A „sarokba” egy játék teherautót helyeztünk.
Ha a játék teherautót különbözô irányokból nézzük, akkor az I. falon látjuk a II. falon látjuk a III. falon látjuk az elölnézetét: a felülnézetét: az oldalnézetét:
A kiterített lapra rárajzolhatjuk a játék teherautó elölnézeti, felülnézeti és oldalnézeti képét:
Fgy. 5.29–30. feladat
107
M4_1V5.qxd
2003.03.07.
10:48
Page 108
9. Mekkora az íróasztal hoszszúsága (h), szélessége (sz), magassága (m)? Ami a nézeti rajzon 1 mm, az a valóságban 3 cm.
10. Építsd fel a kis kockákból a testet! Rajzold le a füzetedben az elölnézetét, felülnézetét, oldalnézetét! aa
b
c
d
e
f
g
h
11. Építsd fel a kis kockákból a nézeti rajzok alapján a testet! Ami a rajzon 1 mm, az a valóságban 2 mm. a
b
12. Rajzold meg az asztalotok elölnézeti, oldalnézeti, felülnézeti képét! 108
Gyakorló 108. oldal
M4_2V5.qxd
2003.03.07.
10:45
Page 145
4. Melyik alakzat állítható elô a négyzet átdarabolásával? Hasonlítsd össze a négyzet területét a többi alakzat területével! A területegység:
a
c
b
g
f e
d
h
j
i
5. Négyzetrácsos papírból kivágtunk különbözô formákat. Állapítsd meg a kivágott formák területét! A területegység: a
b
c
Keress a sokszögek között tükröseket! Határozd meg a tükör helyét! 145
M4_2V5.qxd
2003.03.07.
10:45
Page 146
Egy téglalap szomszédos oldala 6 cm és 4 cm hosszú. Hányszorosa a téglalap területe az 1 cm oldalú négyzet területének? Területegység: 1 cm 1 cm Az egységnégyzet 4 sorba rakható. 1 sorba 6 db
fér.
4 sorba 4 · 6
= 24
fér.
T = 24
6. Rendezd területük szerint növekvô sorrendbe a téglalapokat! Területegység: a
c
b
d
e
f
g
7. Rajzolj minél több téglalapot úgy, hogy a területe T = 36
legyen!
A megrajzolt téglalapok közül melyiknek a legkisebb a kerülete? 146
Gyakorló 154–156. oldal
M4_2V5.qxd
2003.03.07.
10:45
Page 147
A terület szabványegységei: Négyzetmilliméter, az 1 mm oldalú négyzet területe: Jelölése: mm2 Négyzetcentiméter, az 1 cm oldalú négyzet területe: Jelölése: cm2 1 cm2 = 10 · 10 mm2 = 100 mm2 Négyzetdeciméter, az 1 dm oldalú négyzet területe: Jelölése: dm2
1 dm2 = 10 · 10 cm2 = 100 cm2 1 dm2 = 100 · 100 mm2 = 10 000 mm2 Négyzetméter, az 1 m oldalú négyzet területe. 1 m2 = 10 · 10 dm2 = 100 dm2
Jelölése: m2
1 m2 = 100 · 100 cm2 = 10 000 cm2 Négyzetkilométer, az 1 km oldalú négyzet területe. Jelölése: km2
147
M4_2V5.qxd
2003.03.07.
10:45
Page 148
8. Válaszd ki a sokszögek közül azokat, amelyek területe 1 cm2! a
c
b
g
h
i
d
e
f
j
k
l
m
9. Egy téglalap két szomszédos oldala 32 mm és 25 mm. aa
Hány darab 1 mm2-es kis lap rajzolható a 32 mm hosszú oldal mentén egy sorba?
b
Hány ilyen sor rajzolható egymás mellé?
c
Hány négyzetmilliméter a téglalap területe?
10. Állapítsd meg a téglalap területét! A területegység: aa
,
b
= 1 cm2,
c
= 1 mm2
11. Egy négyzet alakú konyha padlóját 1 dm2-es négyzetlapokkal fedik le. Ami a rajzon 1 mm, az a valóságban 1 dm. aa
Hány lap rakható le a konyha egy oldala mentén egy sorban?
b
Hány ilyen sor rakható egymás mellé?
c
Hány négyzetdeciméter a konyha területe?
12. Számítsd ki a szobád területét! Számítsd ki a padod lapjának területét! 148
Fgy. 5.23–28., 6.34. feladat
M4_2V5.qxd
2003.03.07.
10:45
Page 149
13. Foglald táblázatba és írd be a hiányzó adatokat! 12 dm széles járdákat 1 dm2-es négyzetlapokkal fednek le. Mekkora a területe a különbözô hosszúságú járdáknak? Szélesség (dm) Hosszúság (dm)
12 1
12 10
12 65
2
12 36
Terület (dm )
12 240
12
12
93 144 1008 1116
14. Az ábrán két blúz szabásmintájának kicsinyített rajza látható. Ami a rajzon 1 mm, az a valóságban 2 cm.
Mennyi a kiszabott anyag területe, ha a blúzok eleje és háta ugyanolyan alakú és méretû? 15. Egy téglalap alakú udvar egy részét színes kôlapokkal fedték le, a többi részét parkosították. Ami az alaprajzon 1 mm, az a valóságban 1 m. a
Hány négyzetméter a kert területe?
b
A kert területének mekkora részét fedték le kôlapokkal? Hány négyzetméter a kôlapokkal borított (a rajzon színes) rész?
c
A megmaradt rész felébe virágokat ültettek. Hány négyzetméter a virágoskert területe? Mekkora része ez a kert területének?
d
A parkosított rész másik felét gyeptéglákkal fedték le. Hány gyeptéglát raktak le, ha a gyeptégla alaplapja 50 cm oldalú négyzet?
e
Milyen hosszú kerítéssel keríthetô körül a kert, ha 2 kapu van rajta, és a kapuk szélessége 5 m? Gyakorló 157–159. oldal
149
M4_2V5.qxd
2003.03.07.
10:45
Page 150
Téglatest építése A fehér kis kocka minden éle 1 cm. Hány kis kockából építhetjük fel azt a téglatestet, amelynek élei: 5 cm, 3 cm, 2 cm?
Az 5 cm-es éléhez 1 sorba 5 kis kocka rakható.
3 ilyen sort helyezhetünk egymás mellé. Ez a réteg 3 · 5 kis kocka.
2 ilyen réteg rakható egymásra. A téglatest: 2 · 3 · 5 kis kocka = 30 kis kocka.
1. Egy téglatest egy csúcsba futó élei: 6 cm, 5 cm, 4 cm. aa
Hány 1 cm élû kis kockából építhetô fel a téglatest?
b
Hány 6 cm-es lila rúdból építhetô fel a téglatest?
c
Hány 4 cm-es piros rúdból építhetô fel a téglatest?
d
Hány 5 cm-es citromsárga rúdból építhetô fel a téglatest?
e
Hány 2 cm-es rózsaszín rúdból építhetô fel a téglatest?
f
Hány 3 cm-es világoskék rúdból építhetô fel a téglatest?
150
M4_2V5.qxd
2003.03.07.
10:45
Page 151
2. 216 kis kockából építünk téglatestet. Mekkora a téglatest harmadik éle, ha két éle a
6 cm és 3 cm;
b
6 cm és 6 cm;
c
6 cm és 9 cm;
d
8 cm és 3 cm;
e
9 cm és 4 cm;
f
2 cm és 12 cm?
3. Egy téglatest 72 darab 1 cm élû kockából építhetô fel. a
Milyen magas a téglatest, ha a hosszúsága 6 cm, a szélessége 4 cm?
b
Hány rózsaszín rúdból építhetô fel a téglatest?
c
Hány világoskék rúdból építhetô fel a téglatest?
d
Hány piros rúdból építhetô fel a téglatest?
e
Hány lila rúdból építhetô fel a téglatest?
4. Három téglatest alakú doboznak ugyanolyan az alakja és a mérete. Mindegyik nyitott, csak mindegyiknek másféle lapja hiányzik.
a
Hány négyzetcentiméter területû kartonból készíthetô el az egyes dobozok hiányzó lapja?
b
Hány négyzetcentiméter területû kartonból készíthetôk el az egyes dobozok?
c
Hány kis fehér kocka fér el az egyes dobozokban?
5. 1 l víz fér egy olyan kocka alakú edénybe, amelynek minden éle 1 dm. Egy kocka alakú tartály élei 1 m-esek. Hány liter víz fér ebbe a tartályba? Hány hektoliter víz fér ebbe a tartályba?
Gyakorló 160–161. oldal
151
M4_2V5.qxd
2003.03.07.
10:45
Page 152
Osztó, többszörös Anton így számolt be barátjáKedves Vazul! nak az erdei táborról: Szerencsésen megérkeztünk. Az álloMit gondolsz, meg tudta-e állapítani Vazul, hogy pontosan hány gyerek üdült az erdei táborban?
máson két 45 fôs busz várt bennünket. Amikor felszálltunk a buszokra, maradtak üres helyek. A táborban minden kis faházban pontosan 5 gyerek alszik. Az ebédlõben minden asztalnál 4-en ülünk. Tegnap délután akadályversenyt rendeztek, amelyen minden gyerek részt vett. Minden csapat 3 fõbõl állt. Találd ki, hányan táborozunk!
Vazul így gondolkodott: Ha a gyerekekért két 45 fôs busz ment, és maradt a buszon üres hely, akkor a táborozók létszáma 45 és 90 között van. Mivel minden faházban pontosan 5 gyerek alszik, ezért a táborozók száma maradék nélkül osztható 5-tel, vagyis 5-nek a többszöröse.
Mivel minden asztalnál pontosan 4-en ülnek, ezért a táborozók száma maradék nélkül osztható 4-gyel, vagyis 4-nek a többszöröse.
Vazul észrevette, hogy a táborozók létszáma 60 vagy 80 lehet. Mivel minden csapat 3 fôbôl állt, ezért a táborozók száma maradék nélkül osztható 3-mal is. Ebbôl következik, hogy a táborozók létszáma 60.
60 osztói: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Minden számnak osztója az 1 és saját maga. 3 többszörösei: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ... Minden számnak végtelen sok többszöröse van. A 0 minden számnak többszöröse.
152
Gyakorló 138–139. oldal