TARTALOM
El®szó 1. SZÁMOK ÉS M VELETEK Hatványozás Számok írása, olvasása, ábrázolása Szorzás, osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel, Mérés, mértékegységek Kerekítés, pontos érték, közelít® érték Osztó, többszörös Közös osztók, a legnagyobb közös osztó Közös többszörösök, a legkisebb közös többszörös Mit árulnak el a szám utolsó számjegyei? Tudáspróba (alapszint) Egész számok értelmezése, összehasonlítása Derékszög¶ koordináta-rendszer Egész számok összeadása, kivonása Egész számok szorzása egész számmal Egész számok osztása egész számmal Törtek értelmezése Egyszer¶sítés, b®vítés Mit értünk racionális számon? Racionális számok összeadása, kivonása Racionális számok szorzása Tört szorzása egész számmal Egész szám szorzása törttel Tört szorzása törttel Szorzás tizedestört alakú számmal A reciprok fogalma Racionális számok osztása Törtek osztása egész számmal Osztás törttel Osztás tizedestört alakú számmal
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::
7 9 9 11 14 17 22 26 27 28 29 32 33 35 36 40 43 45 47 50 53 57 57 58 60 63 66 67 67 68 73 3
Gyakorlófeladatok 2. GEOMETRIAI ALAKZATOK VIZSGÁLATA Eszközeink használata (Olvasmány) Geometriai alapismeretek A térelemek kölcsönös helyzete A kör. A kör húrja, érint®je Szerkesztések A szögmérésr®l tanultak ismétlése Középponti szögek, szögmásolás Ismerkedés a sokszögekkel Háromszögek Trapézok, paralelogrammák, téglalapok, rombuszok Építsünk testeket! Gyakorlófeladatok Tudáspróba (alapszint) 3. FÜGGVÉNYEK, EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS Mit olvashatunk le a gra konról? Két szám aránya Arányos osztás Egyenes arányosság Fordított arányosság A százalékérték kiszámítása Az alap kiszámítása A százalékláb kiszámítása Valószín¶ségi kísérletek Gyakorlófeladatok Tudáspróba (alapszint) 4. TENGELYES TÜKRÖZÉS Mi lehet a szabály? Mit látunk a tükörben? A tengelyes tükrözés A tengelyes tükrözés tulajdonságai A tükörkép megszerkesztése Tengelyesen tükrös alakzatok Tengelyesen tükrös háromszögek Tengelyesen tükrös négyszögek A deltoid A rombusz Gyakorlófeladatok Tudáspróba (alapszint)
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
4
76 81 81 83 88 92 95 99 102 105 109 113 117 118 120 121 121 123 126 128 134 140 143 145 147 150 152 153 153 154 156 158 159 162 166 169 170 172 174 177
5. NYITOTT MONDATOK Egyenletek, egyenl®tlenségek A m¶veletek közötti összefüggések alkalmazása Az egyenlet, egyenl®tlenség két oldalának egyenl® változása Szöveges feladatok megoldása egyenlettel Gyakorlófeladatok Tudáspróba (alapszint) 6. ÖSSZEFOGLALÓ Mit tanultunk a halmazokról? Számtan, algebra, arányosság Mérés, geometria Érdekes feladatok
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::: ::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
177 177 181 183 187 191 192 193 193 194 201 207
5
1. SZà MOK ÉS M–VELETEK
HatvĂĄnyozĂĄs 1. HĂĄnyfĂŠlekĂŠppen ĂĄllĂthatĂł be egy hĂĄromjegyÂś szĂĄmkĂłdos zĂĄr? Az elsÂŽ szĂĄmjegyet 10-fĂŠlekĂŠppen vĂĄlaszthatjuk ki. BĂĄrhogyan vĂĄlasztjuk is ki az elsÂŽ szĂĄmjegyet, a mĂĄsodik szĂĄmjegyet ismĂŠt 10-fĂŠlekĂŠppen vĂĄlaszthatjuk ki, ezĂŠrt az elsÂŽ kĂŠt szĂĄmjegyet (10 10 =) 100-fĂŠlekĂŠppen. Az elÂŽzÂŽektÂŽl fĂźggetlenĂźl a harmadik szĂĄmjegyet is 10-fĂŠlekĂŠppen vĂĄlaszthatjuk ki, vagyis a hĂĄromjegyÂś kĂłd (10 10 10 =) 1000fĂŠlekĂŠppen ĂĄllĂthatĂł be.
2. Az iskolai sportnapon 6 mĂŠrkÂŽzĂŠst jĂĄtszanak.
Az eredmĂŠnyekre ezzel a totĂłszelvĂŠnnyel lehet fogadni. Ha arra tippelĂźnk, hogy az elsÂŽ csapat gyÂŽz, akkor az 1-et karikĂĄzzuk be, ha a mĂĄsodik csapat gyÂŽzelmĂŠre fogadunk, akkor a 2-t, ha Ăşgy gondoljuk, hogy dĂśntetlen lesz a mĂŠrkÂŽzĂŠs, akkor az X-et. HĂĄnyfĂŠlekĂŠppen tĂślthetjĂźk ki a szelvĂŠnyt?
Az elsÂŽ sorban vagy az 1-et, vagy az X-et, vagy a 2-t karikĂĄzzuk be. 1 sort 3-fĂŠlekĂŠpp tĂślthetĂźnk ki. BĂĄrhogy is tĂśltjĂźk ki az elsÂŽ sort, a mĂĄsodik sorban is vagy az 1-et, vagy az X-et, vagy a 2-t karikĂĄzhatjuk be. EzĂŠrt 2 sort (3 3 =) 9-fĂŠlekĂŠpp tĂślthetĂźnk ki. 3 sort (3 3 3 =) 27-fĂŠlekĂŠppen, .. . 6 sort (3 3 3 3 3 3 =) 729-fĂŠlekĂŠpp tĂślthetĂźnk ki. A9
Hajdu tankĂśnyv
1 1
X
2
ISKOLATOTĂ“ 5.a { 5.b 1 X 6.a { 6.b 1 X 5.c { 6.c 1 X 7.a { 7.b 1 X 8.a { 8.b 1 X 7.c { 8.c 1 X 2 1 X 2 1 X 2 1 X 2
3
2 2 2 2 2 2
9
U601EMEL
2005. februĂĄr 26. {14:04 ( 3. old.)
Sok olyan feladat van, amelynek a megoldásához egy számot ismételten önmagával kell szoroznunk.
Alap
Ha egy számot például 6szor vesszük tényez®ként, akkor a szám hatodik hatványáról beszélünk. Megállapodás szerint: 3 = 31 3 3 = 32 3 3 3 = 33 3 3 3 3 = 34
Kitev® = 36 =
3 3 3 3 3 3 Szorzatalak
729 Hatvány- Hatványalak érték
(3 az els®n) (3 a másodikon vagy 3 a négyzeten) (3 a harmadikon vagy 3 a köbön) (3 a negyediken)
Megállapodás szerint: 20 = 1, 30 = 1, 40 = 1, . . . 100 = 1 stb. A 00 hatványt nem értelmezzük. A legtöbb országban a természetes számok helyiértékeit a tízes számrendszerben a következ® rendszer szerint nevezik el: 100 egy 106 millió 1012 billió 1018 trillió 101 tíz 107 tízmillió 1013 tízbillió 1019 tíztrillió 102 száz 108 százmillió 1014 százbillió 1020 száztrillió 103 ezer 109 ezermillió 1015 ezerbillió 1021 ezertrillió 104 tízezer 1010 tízezermillió 1016 tízezerbillió 1022 tízezertrillió 105 százezer 1011 százezermillió 1017 százezerbillió 1023 százezertrillió A mindennapi életben az ezermilliót milliárdnak is nevezik.
Vannak országok, ahol például a billió és a trillió mást jelent, mint nálunk. A tudományban ritkán használják a billiónál nagyobb helyiérték elnevezéseit, inkább tíz hatványainak segítségével írják fel és nevezik meg a nagy számokat.
1.01. a) Írd föl hatványalakban! Például: 7 7 7 7 = 74
6 6 6 6 6 6; 1 1 1 1 1; 5; 0 0 0; 23 23 23 b) Írd föl hatványalakban! 10 10 10; 10; 10 10 10 10 10; 10 10 10 10 10 10 10 10; 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 c) Írd föl szorzatalakban, majd számítsd ki a hatvány értékét! Például: 103 = 10 10 10 = 1000 105 ; 101 ; 104 ; 102 ; 106 ; 19 ; 24 ; 42 ; 28 ; d) Írd föl 10 hatványaként! Például: ezer = 10 10 10 = 103 Tíz; száz; millió; százezer; tízezer
10
Hajdu tankönyv
23
10;
82
A 10
U601EMEL
2005. február 26. {14:04 ( 4. old.)
1.02. a) Írd föl hatványalakban, majd számítsd ki annak a négyzetnek a területét,
amelynek egy oldala: 1 egység; 4 egység; 25 egység; 100 egység! Mekkora a területe annak a négyzetnek, amelynek egy oldala: a hoszszúságegység? b) Írd föl hatványalakban, majd számítsd ki annak a kockának a térfogatát, amelynek egy éle: 1 egység; 4 egység; 25 egység; 100 egység! Mennyi a térfogata annak a kockának, amelynek egy éle: a hosszúságegység? 1.03. Melyik szám nagyobb? Mennyivel? a) 103 vagy 104 ; b) 10 000 vagy 1002 ; c) 105 vagy 1 000 000; d) 106 vagy 102 ; e) 10002 vagy 105 ; f) 107 vagy 1 000 000 1.04. Melyik szám nagyobb? A nagyobb hányszorosa a másiknak? a) 100 000 vagy 105 ; b) 1 000 000 vagy 1003 ; c) 104 vagy 1001 ; d) tízezer vagy 101 ; e) 106 vagy ezer; f) 1003 vagy 107
1.05. Melyik szám nagyobb? a) 13 vagy 16 ;
b) 23 vagy 32 ; c) 25 vagy 52 ; d) 45 vagy 54 Gyakorló 1.32{1.37.; 1.38{1.39.; Feladatgy¶jtemény 1.2.50{53., 1.2.55.
Számok írása, olvasása, ábrázolása Mit jelent a tízes számrendszerben a 65 432? Alakiértékek: 6 5 4 3 2 Helyiértékek: tízezer ezer száz tíz egy Tényleges értékek: hatvanezer ötezer négyszáz harminc kett® Összegalakban: 6 10 000 + 5 1000 + 4 100 + 3 10 + 2 1 Tíz hatványaival: 6 104 + 5 103 + 4 102 + 3 101 + 2 100 A millió igen nagy szám. Ha éjjel-nappal számlálnánk, és 100 000 felett 10 másodperc alatt 4 számot mondanánk ki, akkor kb. 28 nap alatt jutnánk el egyesével az egymillióig. Egymillió szem búza megtölt egy zsákot. Egymillió szál ceruza hosszában egymás után rakva Budapestt®l Szegedig érne. Egymillió évvel ezel®tt még csak el®emberek éltek a Földön. Magyarországon körülbelül tízmillió ember él.
1.06. Írd le számjegyekkel a következ® számokat, majd írd le összegalakban!
Például: ötezer-huszonhat = 5026 = 5 1000 + 2 10 + 6 1 a) Huszonötezer-kétszázöt; b) kétmillió-huszonkétezer-négyszáznyolc; c) kétszázötezer-huszonöt; d) huszonötezermillió-negyvenkett®
A 11
Hajdu tankönyv
11
U601EMEL
2005. február 26. {14:04 ( 5. old.)
1.07. Elemezd a 460 046 795 002-t alaki- és helyiértékek szerint! a) b) c) d) 1.08. a) b) c)
1.09. a) b) c)
Milyen számjegy áll az ezermilliós helyiértéken? Mennyi a tényleges értéke? A nagyobb helyiértéken álló 6-os számjegynek mennyi a tényleges értéke? A kisebb helyiértéken álló 4-es számjegy milyen értéket jelent? Melyik helyiértéken áll a legnagyobb alakiérték¶ számjegy? Írd le a következ® számokat helyiérték szerinti bontásban, összegalakban! 3 002 406; 400 023 077; 56 000 000 045 Írd le bet¶kkel az 1056; 987; 1998 számok nevét! Milyen szabály szerint írjuk a 2000-nél nem nagyobb számok nevét? Írd le bet¶kkel a következ® számok nevét: 91 060; 2087; 130 098 005 Milyen szabály szerint írjuk a 2000-nél nagyobb számok nevét? Írd le a számokat számjegyekkel, illetve 10 hatványaként! Tízmillió, tízezer, ezermillió (milliárd), egy, ezer, százezer, tízezermillió, tíz Rendezd ezeket a számokat növekv® sorrendbe! Állítsd növekv® sorrendbe a számokat! 105 ; ezer; 101 ; tízmillió; 1 000 000 Állítsd növekv® sorrendbe a számokat! Két-két szomszédos számról állapítsd meg, hogy a nagyobbik hányszorosa a kisebbiknek! Például: 100 < 104 Ezermillió;
100 106 ;
ezer; 101 ; 104 ; 100 000 000
A tízes számrendszerben a helyiértékek sorozatát az egynél kisebb helyiértékekre is folytathatjuk. Mit jelent a tízes számrendszerben a 65,432? Alakiértékek: 6 5 4 3 2 Helyiértékek: tíz egy tized század ezred Tényleges értékek: hatvan öt négy tized három század két ezred 1 1 1 Összegalakban: 6 10 + 5 1 + 4 + 3 + 2 10 100 1000 Tíz hatványaival: 6 101 + 5 100+ 4 11 + 3 12 + 2 13 10 10 10 1.10. Írd le bet¶kkel a következ® számok nevét:
a) 95,64; b) 507,692; c) 6040,015; d) 1500,105 Írd le összegalakban is, hogy mit jelentenek az el®z® számok!
12
Hajdu tankönyv
A 12
U601EMEL
2005. február 26. {14:04 ( 6. old.)