Tartalom
Előszó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mértékegységek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Gondolkozz és számolj! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Racionális számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hatványozás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az 1-nél nagyobb számok normálalakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Osztó, többszörös, oszthatósági szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az összevonás gyakorlása a racionális számok halmazában . . . . . . . . . . . . . . . . . A szorzás és osztás gyakorlása a racionális számok halmazában . . . . . . . . . . . . . Mennyiségek törtrésze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A zárójelek használata. A műveletek sorrendje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arány, arányos osztás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyenes arányosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fordított arányosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Százalékszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyenlet, egyenlőtlenség, azonosság, azonos egyenlőtlenség . . . . . . . . . . . . . . . . Egyenletek megoldása a két oldal egyenlő változtatásával . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyenlőtlenségek megoldása a két oldal egyenlő változtatásával . . . . . . . . . . . . . Szöveges feladatok megoldása egyenlettel, egyenlőtlenséggel . . . . . . . . . . . . . . . Tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 8 9 9 15 21 24 28 31 35 39 40 42 45 47 51 56 57 62 65 69
2. Síkidomok, testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Alapfogalmak, alaptételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Térelemek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Szögek, az elfordulás mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Síkidomok, sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 A síkidomok területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Sokszöglapokkal határolt testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 A hasáb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Az egyenes hasáb térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3. Hozzárendelés, függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hozzárendelések vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Függvények értelmezése, vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az egyenes arányosság mint függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A lineáris függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110 110 117 123 128 135 136
3
Hajdu tankönyv
TARTALAP
(1. old.)
4. Geometriai transzformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ismerkedés a pont-pont függvényekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tengelyes tükrözés, tengelyesen szimmetrikus síkidomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az elmozdulás megadása irányított szakasszal. A vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eltolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Párhuzamos szárú szögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A forgatás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Merőleges szárú szögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forgásszimmetrikus alakzatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Középpontos tükrözés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fordított állású szögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Középpontosan szimmetrikus alakzatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egybevágósági transzformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137 137 139 143 147 152 154 158 160 161 164 166 167 168 170
5. Algebrai kifejezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Műveleti tulajdonságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hatványok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ismerkedés az algebrai kifejezésekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebrai kifejezés helyettesítési értékének meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egynemű, különnemű algebrai kifejezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egynemű kifejezések összevonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egytagú kifejezés szorzása, osztása egytagú kifejezéssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Többtagú kifejezés szorzása egytagú kifejezéssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Többtagú kifejezés szorzattá alakítása kiemeléssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyenletek, egyenlőtlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Törtegyütthatós egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . Szöveges feladatok megoldása egyenlettel, egyenlőtlenséggel . . . . . . . . . . . . . . . Tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173 173 175 176 178 180 182 187 189 192 195 198 204 210 211
6. A háromszögekről és a négyszögekről tanultak rendszerezése . . . . . . . . . . . . . . . Háromszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A háromszög oldalai közti kapcsolat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A háromszög szögei közti kapcsolat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A háromszög szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Négyszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A paralelogramma származtatása, tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Speciális paralelogrammák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A paralelogramma szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trapéz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A trapéz szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A trapéz területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorok összeadása, kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215 215 217 217 221 232 233 234 236 239 240 243 246 250 251
4
Hajdu tankönyv
TARTALAP
(2. old.)
7. Összefoglaló feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Számtan, számelmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Számok írása a tízes számrendszerben. Normálalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . Osztó, többszörös, oszthatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Műveletek a racionális számkörben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arány, arányos osztás, arányosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafikonok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineáris függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebrai kifejezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyenlet, azonosság, egyenlőtlenség, azonos egyenlőtlenség . . . . . . . . . Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Háromszög . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Négyszög . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egybevágósági transzformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Testek térfogata, felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253 253 253 254 255 258 260 260 261 262 262 263 264 264 265 267 268
Az 1998-as kiadás a korábbi kiadásokhoz képest egy fejezettel bővült (lásd 246–249. oldal).
5
Hajdu tankönyv
TARTALAP
(3. old.)
1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!
Mit tanultunk a számokról? 1.01. a) Írd fel számjegyekkel (tízes számrendszerben) a következ® természetes számokat: a = tizenötmillió-kétszázhuszonkétezer-ötszázhét; b = tizenötezermillió-hétezer-háromszáznégy; c = háromszázötmillió-ötszázhuszonhét; d = harminchétezer-négymillió-tizenhatezer-kett®. b) Írd fel tizedestört alakban a következ® racionális számokat: e = kétszázöt egész háromezer-négyszázhuszonöt tízezred; f = négyezer-húsz egész negyvenkilenc százezred; g = hetven egész kétszáz tízezred; h = nulla egész tizenöt tízmilliomod. c) Írd fel összegalakban az a) és a b) feladatban adott számokat! d) Írd fel törtalakban a következ® racionális számokat: x = kétszáztizenhét negyvenötöd; y = huszonöt egész három század 1.02. Írd fel törtalakban, majd egyszer¶sítsd az adott számokat: a = 0,25; b = 2,5; c = 0,000 025; d = 5,0354; e = 2,100; f = 2,125; g = 7,2; h = 0,000 72; i = 0,072; j = 0,72 1.03. Írd fel tizedestört alakban a törtalakban adott számokat: 39 ; b = 11 ; c = 3 ; d = 3 ; e = 125 ; f = 144 ; g = 49 ; a = 10 40 4 8 1000 125 50 73 ; i = 35 ; j = 25 ; k = 4 ; l = 45 ; 365 h = 25 m = 65 16 18 7 22 99 ; n = 999 1.04. Írd fel törtalakban a vegyesszám alakban adott számokat: 25 243 137 p = 2 54 ; r = 12 14 ; s = 2 45 57 ; t = 3 33 ; u = 1 500 ; v = 4 990 1.05. Írd fel a következ® racionális számok ellentettjét és abszolútértékét: a = 0; b = { 2,5; c = 5,4; d = { 45 ; e = 72 1.06. Írd fel a következ® racionális számok reciprokát: b = 54 ; c = { 43 ; d = 5; e = 0,3; f = 1,75 a = 12 ;
A9
Hajdu tankönyv
9
H71EMELT
2002. június 19. {19:10 ( 3. old.)
Egy számnak és ellentettjének összege 0. Például:
+3 ellentettje { 3, mert +3 + ({ 3) = 0; 2 2 2 2 mert { + + = 0; { ellentettje + , 3 3 3 3 0 ellentettje 0, mert 0 + 0 = 0. Vegyük észre, hogy egy szám ellentettje megegyezik a szám ({ 1)-szeresével. A pozitív szám és a nulla abszolútértéke önmaga, a negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje. Egy szám abszolútértéke mindig nemnegatív szám. Például:
j
+ 3j = + 3;
0 = 0;
j j
j
{ 3j = + 3
Egy 0-tól különböz® szám reciprokán azt a számot értjük, amellyel a számot megszorozva a szorzat 1. 3 2 3 2 reciproka , mert = 1; 3 2 3 2 1 1 mert ({ 2) { = 1; { 2 reciproka { , 2 2 125 100 1,25 = reciproka = 0,8, mert 1,25 0,8 = 1. 100 125 A 0-nak nem értelmezhetjük a reciprokát: 0 ? = 1 Nincs olyan szám, amely igazzá teszi az egyenl®séget. Például:
1.07. Kerekítsd a számokat a) tízesre: a = 234; b = 302; c = 4567; d = 44,97; e = 2; b) százasra: f = 2353; g = 678; h = 67,8; i = 2301; j = 49,99; c) tizedre: k = 21,34; l = 0,05; m = 0,037; n = 2,5; o = 9,97 1.08. a) Melyik lehet az a legkisebb, illetve legnagyobb természetes szám, amelynek tízesekre kerekített értéke f = 300; g = 10 000; h = 3 405 120? A megoldást ábrázold külön-külön számegyenesen! b) Hány olyan egész szám van, amelynek százasokra kerekített értéke 5400? Melyik ezek közül a legkisebb, melyik a legnagyobb? c) Hány olyan, legfeljebb tizedeket tartalmazó szám van, amelynek egyesekre kerekített értéke 4? Melyik ezek közül a legkisebb, melyik a legnagyobb?
e = 340;
10
Hajdu tankönyv
A 10
H71EMELT
2002. június 19. {19:10 ( 4. old.)
A racionális számok nagyság szerinti összehasonlítása { 9 12
{ 1 0 43
{ 3,5
{7
2,5
5
Két pozitív szám közül az a nagyobb, amelyiknek nagyobb az abszolútértéke. Például: 2,5 < 5, mert j2,5j < j5j. Két negatív szám közül az a nagyobb, amelyiknek kisebb az abszolútértéke. Például: { 7 <{ 3,5, mert j { 7j > j { 3,5j. Minden pozitív szám nagyobb bármely negatív számnál. A 0 minden pozitív számnál kisebb és minden negatív számnál nagyobb. 1.09. a) Ábrázold a számegyenesen a következ® számokat: a = 0; b = 1; c = { 1; d = { 21 ; e = 0,75;
i = 54 ;
g = { 0,5; h = 58 ;
j = 1,75;
k = { 2;
f = { 0,25; l = 28
b) Írd fel növekv® sorrendben az a) feladatban adott számokat! c) Az a) feladatban adott számok közül melyikre igaz, hogy A: 3-nál kisebb és pozitív; B: 1-nél kisebb vagy háromnál nagyobb; C: nem kisebb { 0,25-nál; D: törtszám vagy nempozitív szám? d) Olvasd le a számegyenesr®l a bet¶kkel jelzett számokat! A G M S
B H N T
10
C
E
F
K
L
10 000
16 000 P Q
R
1,0
1,6
1000
I O U
D
16
J
1600
V
W
X
1.10. Legyen az alaphalmaz: U = 0; { 0,2; { 0,6; { 1; 1,4; 0,8; 2 : f
Ábrázold számegyenesen, majd írd föl növekv® sorrendben a) az alaphalmaz elemeit; b) az alaphalmaz elemeinek ellentettjét; c) az alaphalmaz elemeinek az abszolútértékét!
A 11
Hajdu tankönyv
g
11
H71EMELT
2002. június 19. {19:10 ( 5. old.)
Egyenl® nevez®j¶ pozitív törtek közül az a nagyobb, amelyiknek nagyobb a számlálója. Például: 5 3 > 8 8 Egyenl® számlálójú pozitív törtek közül az a nagyobb, amelyiknek kisebb a nevez®je. Például: 5 5 < 8 6 Két törtet általában úgy hasonlíthatunk össze, hogy egyenl® nevez®j¶ (vagy egyenl® számlálójú) alakban írjuk fel ®ket. 3 2 ? : 5 3
3 9 = ; 5 15
2 10 = ; 3 15
9 10 3 2 < , vagyis < : 15 15 5 3
Negatív törtek összehasonlítása 3 5 { >{ , 8 8
mert
{ 0,01 > { 0,11,
mert
3
5
{ < { ; 8 8
j
{ 0,01j < j { 0,11j:
1.11. Írd föl növekv® sorrendben a következ® racionális számokat! a) a = { 1,23; b = 0,2; c = 1,4; d = 1,38; e = 1,04; b) a = 0; c) a = { 1;
b = 57 ;
b = 72 ;
c = 73 ;
c = 77 ;
d = 97 ;
d = 57 ;
e = 77 ;
e = 78 ;
f = { 67 ;
f = { 71 ;
f = { 0,5
g = { 27
g = { 79
d) a = 78 ; b = 74 ; c = 65 ; d = 34 ; e = { 66 ; f = { 18 ; g = { 34 75 95 63 50 10 e) a = 30 72 ; b = 24 ; c = { 36 ; d = 24 ; e = { 18 ; f = { 2 18 600 ; b = { 275 ; c = 288 ; d = { 1 111 ; e = { 1 121 f) a = 360 150 600 120 242 4140 3888 3645 g) a = 6000 8400 ; b = { 4320 ; c = 1944 ; d = 1 4500 ; e = 1,8
Gyakorló 1.01{1.96.
12
Hajdu tankönyv
A 12
H71EMELT
2002. június 19. {19:10 ( 6. old.)