Chapitre III Partie 2

 Pour que l’électron reste sur une orbite circulaire de rayon r ; il faut que la force centrifuge dirigée vers l’extérieur Fcen ; équilibre la force d’attraction électrostatique (force de Coulomb) F dirigée vers le noyau.

 ε0 : permittivité du vide (cste diélectrique).

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 v est la vitesse tangentielle de l’électron, m sa masse, e la charge élémentaire, r la distance noyau-électron. On pose :

a-Expression de la vitesse de l’électron Les deux forces s’équilibrent :

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b- Expression de l’énergie cinétique de l’électron

c- L’expression de l’énergie potentielle de l’électron

 La variation dEP d’énergie potentielle d’un système est l’opposée de la variation du travail dW effectué par la force (ici, la force de Coulomb) , ainsi : dEP = –dW = –Fdr

 On doit calculer l’énergie potentielle EP(r) de l’électron à la

distance r du noyau.

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 Pour cela, on calcule le travail W qu’il faut effectuer pour amener l’électron depuis l’infini (où l’on supposera que l’énergie potentielle

EP(∞) est nulle) jusqu’à la distance r du noyau.

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d- Expression de l’énergie totale de l’électron  L’énergie totale E de l’électron est égale à la somme de son énergie cinétique EC et de son énergie potentielle Ep.

 On déduit la relation suivante : e- Expression du rayon de Bohr a0  On peut écrire l’équation 2 sous la forme suivante:

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 Faisons le rapport membre à membre (1)/(4) :

 Remplaçons (5) dans (1) et tirons-en r :

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 À l’exception de n et Z, toutes les quantités sont des constantes connues. Pour Z=1 et n=1 on pose :

 a0 est le rayon de Bohr (rayon de la 1ère orbite de l’H).

 L’expression des rayons rn des orbites stationnaires en fonction de n et Z est donc :

 Ce sont les seules orbites permises par la condition de quantification du moment cinétique orbital.

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 Le rayon de la deuxième orbite de l’atome d’H est r = 4a0.  On peut ainsi tracer toutes les orbites permises sur lesquelles

l’électron ne rayonne pas dans l’atome considéré.

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f-Expression des énergies permises pour l’électron  Pour un hydrogénoïde son énergie cinétique Ec est :

 Son énergie potentielle Ep est :

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 L’énergie totale de l’hydrpgéöide est:

 On pose :

 R : constante énergétique de Rydberg, tel que R = 13,60 eV.

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 Les énergies permises pour l’électron sont ainsi toutes négatives :

 Elles représentent les énergies des états stationnaires de l’atome. Ces valeurs sont quantifiées et elles désignent les niveaux d’énergie.

 L’énergie la plus basse correspond à n = 1 (niveau fondamental), puis viennent les niveaux d’énergies n = 2, 3, 4, ... (niveaux excités).

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 Ainsi, pour un hydrogénoïde, caractérisé par son numéro atomique Z :

 Dans le cas de l’atome d’H (Z=1) :

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g-Expression des nombres d’onde des raies d’émission  Le 3ème postulat de Bohr nous permet de relier l’énergie de l’atome

aux raies des séries d’émission spectrale tel que:

 La formule exprimant la fréquence des raies d’émission des

hydrogénoïdes :

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 L’expression du nombre d’ondes, qui est la grandeur mesurée directement pour chaque raie se trouve en effectuant ν = c/λ :

 C’est la formule de Balmer (1885) qui a été généralisée par Ritz en 1908:

 RH ≡ R/hc : Constante de Rydberg déterminée par des méthodes spectroscopiques et mesurée en m−1 (ou cm−1).

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