cours analyse02 intégral

Ecole Nationale Polytechnique d’Oran-Maurice Audin 1 ère année Formation Préparatoire en Sciences & Technologie

2019-2020 Analyse 2

Primitive des fonctions trigonométriques Un grand nombre de calculs de primitives se ramène, grâce à un changement de variables adéquat, au calcul d’une primitive de fraction rationnelle. Nous citons ici quelques applications.

Primitive des fonctions de la forme 𝐟(𝒔𝒊𝒏𝒙, 𝒄𝒐𝒔𝒙) : Pour le calcul de l’intégrale  f (sin x,cos x)dx on effectue le changement de variables suivant : On pose :

t  tg

D’une autre part, on a :

x et donc x  2arctgt d’où 2 dx  2 dt 2 1t

x x x x 2 sin . cos 2 sin . cos  x x 2 2 2 2 sin x sin     x x 1 2 2 sin 2  cos 2 2 2 x 2  2t  x 1t 2 1tg 2 2 2tg

et

x x x x cos 2 sin 2 cos 2 sin 2  x x 2 2 2 2 cos x cos    x x 1 2 2 sin 2  cos 2 2 2 x 2 2  1t  x 1t 2 1tg 2 2 1tg 2

On en déduit donc

2t 1t 2 2dt  f (sin x,cos x)dx   f ( 2 , 2 ) 2 1 t 1 t 1 t 1 1 2dt 1 dx     dt  ln t  c / c  IR 2 2 t sin x 1 t t 2 1 t On obtient finalement : 1  x I  dx  ln tg    c / c  IR . sin x 2 Cas particuliers: 1) Dans le cas où on peut écrire f (sin x, cos x) = g (sin x) cos x Exemple :

I 

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Pour calculer l’intégrale :

 g (sin x) cos xdx on effectue le changement de variables suivant : ce qui donne

t  sin x et donc dt  cos xdx

 g (sin x) cos xdx   g (t )dt

Exemple : Soit l’intégrale suivante :

cos3 x I   4 dx sin x On peut écrire I comme suit :

cos 2 x 1sin 2 x cos xdx  cos xdx  I  4 sin x sin 4 x En posant t  sin x et donc dt  cos xdx on trouve : 1t 2 1 1 I   4 dt    4  2 dt t t t  1 1  c, cIR 3t 3 t 1 1   c 3 3 sin x sin x 

2) Dans le cas où on peut écrire

f (sin x, cos x) = g (cos x)sin x Pour calculer l’intégrale :

 g (cos x) sin xdx on effectue le changement de variables suivant : t  cos x et donc dt  sin xdx qui donne :

 g (cos x) sin xdx   g (t )dt

Exemple 1: Soit l’intégrale suivante :

I   sin 3 xdx On peut écrire I comme suit :





3 2 I   sin xdx   1cos x sin xdx En posant t  cos x et donc dt  sin xdx on trouve : 1 3 1 3 2 3 I   sin xdx   1t dt  t  t  c   cos x  cos x  c / cIR 3 3

 

Exemple 2: Soit l’intégrale suivante :

I   tgxdx

ce

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1ére méthode : On peut écrire I comme suit :

I   tgxdx  

sin x dx cos x

t  cos x et donc dt  sin xdx on trouve : 1 1 sin xdx   dt   ln t  c   ln cos x  c / cIR. I  cos x t En posant

2ére méthode : On peut écrire I comme suit :

I   tgxdx  

sin x dx cos x

En faisant le changement de variables suivant :

t  tg Posons aussi :

x et donc 2 dx  2 dt 2 1t

2t 1t 2 sin x  , cos x  2 1t 1t 2

on trouve :

2t 2 sin x 2 4t I   tgxdx   dt   dx   1 t 2 2 1  t 1  t dt cos x 1t 1 t 1 t 2 2

2

En utilisant la décomposition du fraction rationnelle en éléments de premières et deuxièmes espèce : 4t 1 1 2t    2 2 1  t 1  t  1  t 1  t 1  t 2 On obtient : 4t 1 1 2t  1  t 2 1  t 2 dt   1  t dt   1  t dt   1  t 2 dt





  ln 1  t 2  ln 1  t 2  c / c  IR   x  x    ln 1  tg 2    ln 1  tg 2     c / c  IR 2  2     x  x  x  x cos 2    sin 2    cos 2    sin 2    2  2   ln  2  2    c / c  IR   ln    x  x cos 2   cos 2     2 2     x  x  x  x    ln cos 2    sin 2    ln  cos 2    sin 2     c / c  IR 2 2 2  2    x   ln cos 2   ln 1  c  IR   ln cos x  c  IR 2