Cous probabilités 2021 S2 by RAYANE LAZOUNI C3

Intitulé de la matière :

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

Probabilités

VHS

Cours 1h30

Enseignant du cours Mr R.MEDJATI

TD 1h30

Enseignant du TD Mr R.MEDJATI

Plan de la matière:

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

Chapitre 1 : Introduction au calcul de probabilités. Chapitre 2 : Notions de variables aléatoires réelles.

Chapitre 3 : Couples de variables aléatoire.

Chapitre 1 : Introduction au calcul de probabilités. 1.1- Notion de base :

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1.1.1- Introduction : Définition 1 : Une expérience est dite aléatoire ou stochastique s'il est impossible de prévoir son résultat. Exemples : a) On jette un dé et l'on observe le résultat obtenu.

b) Si on lance trois fois de suite une pièce de monnaie, on peut distinguer 8 résultats possibles :

{(P,P,P); (P,P,F); ....; (F,F,F)}. c) On jette une pièce de monnaie jusqu'à ce que le côté face sorte pour la première fois.

Définition 2 : L'ensemble, noté en général Ω, de tous les résultats d'une expérience aléatoire est appelé univers ou espace des résultats possibles de cette expérience.

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Remarque : L'ensemble Ω peut être fini ou infini. Exemples : a) Pour le jet d’un dé Ω est fini car : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} donc card (Ω) = 6

b) Pour le lancement trois fois de suite d’une pièce de monnaie, Ω est fini et on peut distinguer 8 résultats possibles : card (Ω) = 2 × 2 × 2 = 8 c) Pour le jet d’une pièce de monnaie jusqu'à ce que le côté face sorte pour la première fois, Ω est infini car on peut jeter la pièce de monnaie éternellement sans avoir le coté face. 4

Définition 3 : On appelle événement tout sous-ensemble de Ω c’est-à-dire ( Ω).

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Remarque : Un événement qui contient un unique élément de Ω est un événement élémentaire. Exemple 1 : Si on jette un dé à 6 faces non truqué on a :

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} et card (Ω) = 6 1- A est l’événement "un nombre pair est tiré" alors : A= { 2; 4; 6 } 2- B est l’événement "un nombre impair est tiré" alors : B = { 1; 3; 5 } 3- C est l’événement "un nombre ≥ 4 est tiré" alors : C = { 4; 5; 6 } 4- D est l’événement élémentaire "le plus petit nombre" alors : D= {1}

Exemple 2 : Si on jette deux (02) pièces de monnaie on obtient :

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Ω = {(P,P); (P,F); (F,P); (F,F)}. Avec F pour «face » et P pour « pile ».

1- L’événement « avoir deux fois pille » est le sous ensemble :

A = {(P,P)}. 2- L’événement « avoir au moins une fois pille » est le sous ensemble :

{(P,P); (P,F); (F,P)}. Remarque :

1- L’ensemble Ω est appelé événement certain. 2- L’ensemble vide ∅ est appelé événement impossible. 6

1.1.2- Opérations sur les événements : 1- L’union (∪): L’événement A∪B est réalisé dés que A ou B est réalisé.

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2- L’intersection (∩): L’événement A∩B est réalisé dés que A et B sont réalisés conjointement dans la même expérience.

3- La différence (−): L’événement A−B est réalisé si A est réalisé et que B ne l’est pas. 4- Le complémentaire : Le complémentaire de l’événement A est l’événement Ω −A. Le complémentaire est noté A . Exemples : Si on prend L’expérience du jet d’un dé à 6 faces non truqué, on a : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Si A est l’événement «un nombre pair est tiré», B est l’événement « un multiple de 3 est tiré » alors :

A  2,4,6, B  3,6 et A  1,3,5; A  B  2,3,4,6;

A  B  6, et   B  1,2,4,5

1.1.3- Propriétés :  A∪(B∪C ) = (A∪B )∪C.

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 A∩(B∩C) = (A∩ B)∩C.  A∪(B∩C ) = (A∪B )∩(A∪C ).  A∩(B∪C ) = (A∩B)∪(A∩C ).  A  B  A  B ; A  B  A  B; et A  A. 1.1.4- Relations entre les événements : 1- Evénements mutuellement exclusifs : Si A∩B = ∅ on dit que A et B sont mutuellement exclusifs, ce qui signifie que A et B ne peuvent pas se produire ensemble.

2- L’inclusion (): Si A  B , on dit que A implique B. Exemple : L’expérience du jet d’un dé à 6 faces non truqué Si A est l’événement « obtenir 2 » et B «obtenir un nombre pair » alors : A  2, B  2,4,6 donc A  B. 8

1.1.4- Ensemble de parties d’un ensemble et système complet : 1- Ensemble de parties d’un ensemble : On va associer à l’univers Ω l’ensemble de toutes les parties de Ω notée A =P (Ω) C’est-à-dire :

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A = {A : A  Ω} . Exemple : Si on jette une pièce de monnaie alors : Ω = {P, F} et

A = {∅ , {P}, {F}, {P, F}}.

2- Système complet : Les événements A1, A2,…, An forment un système complet d’événements, si ils constituent une partition de Ω, c’est-à-dire : 1-  i, j (i  j), les ensembles Ai , Aj sont mutuellement exclusifs (Ai ∩ Aj = ∅ ). i n

A

i 1

 A1  A2    An   .

Exemple : On prend l’expérience du jet d’un dé à 6 faces

non truqué. on a : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

{}

{ },…, A6 = {6}

Les événements A1= 1 , A2 = 2 système complet d’événements.

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forment un

1.1.5- Probabilité : Définition : Une probabilité P, ou P(.) est une application de A dans [ 0 , 1 ], c’est-à-dire; P : A  [ 0 , 1 ]

A  P(A)  1 telle que : 1- P(Ω) = 1.

2- Pour toute suite finie d’événements A1 , … , An mutuellement  i n  i n exclusifs (Ai ∩ Aj = ∅;  i, j (i  j),) on a : P   Ai    P  Ai .  i 1  i 1 ie :

P  A1  A2    An   P  A1   P  A2     P  An .

1.1.6- Propriétés :

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1- P(∅) = 0, car : P(Ω) = P(Ω∪∅) = P(Ω) + P(∅) = 1  P(∅) = 0.

 

2- P  A  1  P A





 

car : P    P A  A  P  A  P A  1.

3- A  B  P  A  P B  car :

P B   P  A  B  A  P  A  P B  A  P  A. 4- P  A  B   P  A  P B   P  A  B .

5- P  A1  A2    An   P  A1   P  A2     P  An . i n i n   ie : P   Ai     P  Ai . i 1  Remarque :  i 1 1- Si on a l’univers Ω = {x1 ,…, xn }, donc à chaque événement i n

{xi } on associe pi = P({xi}), tels que 0  pi  1 et  p 2- Pour tout événement A  Ω on a : P  A 

i 1

 P x 

xi  A

 1. 11

Exemple : Cas particulier (Equiprobabilité) Dans ce cas on pose Ω = {x1 ,…, xn} tel que :

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tous les événements élémentaires ont la même probabilité (ont la même chance de se réaliser), ce qui conduit à :

1 car ; si on pose pi = a alors : 1- pi  P x i   n i n

i n

P    P x1  x2    xn    P xi    pi  na  1

i 1 i 1 1  pi  P xi   . n 2- Pour tout événement A  Ω on a : 1 1 card( A) P  A   P xi      card( A)  (1) n card( ) xi  A xi  A n nombre de cas favorables Autrement dit : P  A  (1) nombre de cas possibles

Remarque 1: 1- Dans le cas d’équiprobabilité, on dit que les événements

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élémentaires sont équiprobables. 2- La probabilité de l’équiprobabilité est appelée loi de probabilité uniforme discrète.

Remarque 2: La formule (1) ne s’applique que dans le cas d’équiprobabilité (les événements élémentaires ont la même probabilité).

Exemple : On prend l’expérience du jet d’un dé à 6 faces, tel que le 6 est remplacé par le 1. Donc :

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Ω = {1; 2; 3; 4; 5}. dans ce cas il n’y aurait pas d’équiprobabilité car : Les nombres 2, 3, 4, 5 ne peuvent être obtenu que d’une seule façon, mais le 1 peut être obtenue de deux manières distincts. Et on aura : 2 1

P 1 



1 P 2  P 3  P 4  P 5  6

Donc si on pose A = {1; 2} on obtient : card( A) 2 1  P  A  P 1  P 2   card( ) 5 2

Exemples de loi de probabilité uniforme discrète : Exemple 1 :

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Quelle est la probabilité de A : «d'obtenir un nombre pair » en lançant un dé à six faces ? Cas favorables = 3, Cas possibles = 6, donc :

nombre de cas favorables 3 1 P  A    ou 50%. nombre de cas possibles 6 2 Exemple 2 : Quelle est la probabilité de A : « d'obtenir trois fois le même côté » en lançant trois fois une pièce de monnaie ? Cas favorables = 2, Cas possibles = 23 =8, donc :

nombre de cas favorables 2 1 P  A    ou 25%. nombre de cas possibles 8 4

Exemple 3 : On choisit un comité de 3 personnes parmi 5 hommes et 7

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femmes. Quelle est la probabilité que les trois personnes choisies soient :

A : « deux hommes et une femme » ? Cas favorables = Cas possibles =

C52 C71  10  7  70

3 12

 220.

nombre de cas favorables 70  P  A    0 ,32 ou 32%. nombre de cas possibles 220

1.2- Probabilité conditionnelle : Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

Définition 1 : Soient A et B deux événements tels que P(B)  0, La probabilité qu'un événement A se réalise sachant que B s'est produit est appelée probabilité conditionnelle. Par définition, elle PA  B vaut : P A B   P B  Exemple 1 : Considérons une famille composée de deux (02) enfants, on s’intéresse à savoir la nature des 2 enfants (garçon ou fille) en respectant l’ordre de naissance. Donc :

Ω = {(G,G); (G,F); (F,G); (F,F)} avec et card (Ω) = 4 et soient les événements : 1- A : « La famille a 02 garçons » ie ; A = {(G,G)} 2- B : « La famille a au moins 01 garçon » ie ;

B = {(G,G); (G,F); (F,G)}

card( A) 1  P  A   , card( ) 4

card( B ) 3 P B    card( ) 4

card( A  B ) 1 PA  B   car card( ) 4

 P A B  

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A B = {(G,G)}

P A  B 1  . P B  3

Exemple 2 : La probabilité pour les hommes d’atteindre 65 ans est de 80% et celle d’atteindre 80 ans est de 42%. Quelle est la probabilité pour un homme de 65 ans de vivre jusqu'à 80 ans ? C’est-à-dire : Si on considère les événements ;

A : « Un homme atteint 65 ans » avec P(A) = 0,80 B : «Un homme atteint 80 ans», avec P(B) = 0,42 C : «Un homme de 65 ans atteint 80 ans», avec P(C) = ?  C  B A  P C   P B A

P B  A P B  0,42    0,525 52,5%  P C   P B A  P  A 0,80 P  A car B  A  B. Exemple 3 : Si on prend l’expérience du jet d’un dé à 6 faces non truqué. Si A est l’événement « avoir un nombre pair » et B est l’événement «avoir un nombre  4» avec;

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Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, card (Ω) = 6,

A = {2; 4; 6}, card (A) = 3, et B = {4; 5; 6}, card (B) = 3. alors : A ∩ B = {4; 6}, card (A ∩ B ) = 2, et card( A) 3 1 card( B ) 3 1 P  A    ; P B     card( ) 6 2 card( ) 6 2 1 card( A  B ) 1 PA  B 3 2  PA  B   et P  A B     . 1 3 card( ) 3 P B  19 2

1.2.1- Propriétés de la probabilité conditionnelle : 1- P(A  B) peut s’interpréter comme le fait que Ω se restreint à B et que les résultats de A se restreignent à A∩B.

A ∩B

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

P B  B  2- Si A = B on a : P  A B   P B B   1 P B  3- Si A∩B = ∅ (A et B sont incompatibles), A ne peut pas se réaliser si B s'est déjà produit et donc : P  A  B  P Ø P A B    0 P B  P B  4- P A B  P A B  1 , car : P  A  B   P A  B  P  A  B   A  B  P B  P A B   P A B     1 P B  P B  P B  20









5- Soit A, B, C, … des événements d’un univers Ω . Alors :

a) P  A  B   P  A  P B A  P B   P A B 

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b) P  A  B  C   P  A  P B A P C A  B . Car :

P  A  B  C   P  A  B   P C A  B   P  A  P B A P C A  B .



 



c) P  A  B  C  D  P  A  P B A  P C A  B P D A  B  C . En effet :

P  A  B  C  D  P  A  B  C  P D A  B  C 

 P  A  P B A P C A  BP D A  B  C 

6- En général P(A  B)  P(B  A). 21

Exemple 1 ( ou P(A  B)  P(B  A) ) : Si on prend l’expérience du jet d’un dé à 6 faces non truqué.

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Si A est l’événement «2 sorte », et B est l’événement «avoir un nombre pair». Donc : card( A) 1 card( B) 3 1 card( A  B) 1 P  A   ; P B     ; P A  B   card() 6 card( ) 6 2 card( ) 6

1- La probabilité que « 2 sorte » sachant qu’il s’agit « d’un nombre PA  B 1 pair » est de : P A B    P B  3 2- La probabilité de « avoir nombre pair » sachant qu’il s’agit de « 2 » est de : P B  A P B A  1 P  A Dans ce cas P(A  B)  P(B  A). 22

1.2.2- Evénements indépendants : Définition 2 : Soient A et B deux événements, on dit que A et B

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sont indépendants si les deux événements A et B vérifient l’une des condition équivalentes suivantes :

1- P A B   P  A.

2- P  A  B   P  A  P B . Exemple 1 : Si on prend l’expérience du jet de deux (2) dés à 6 faces non truqué. Si A est l’événement «Avoir (6,6) »,

B est l’événement «Le 1er dé obtient un nombre impair». C est l’événement «Le 2eme dé obtient un nombre impair». Donc : card( A)    1- P A  card( )

1 card( B) 18 1 18 1     ; PB    ; PC   36 card() 36 2 36 2 23

2- P  A  B   0  P  A  P B  ; P  A  C   0  P  A  P C 

9 1   P B   P C  et P B  C   36 4

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

- Les événements A et B ne sont indépendants, - A et C ne sont pas indépendants, - Par contre les événements B et C sont indépendants.

Remarque : Pour les deux exemples qui suivent on aura affaire à des problèmes qui se décomposent en épreuves successives. On donnera un aperçu de la probabilité conditionnelle avec la forme d'un arbre de classement . 24

Exemple 1 : (Épreuves successives dépendantes) Une urne contient 6 boules rouges et 4 boules vertes. On tire successivement et sans remise 2 boules de l'urne. Si on pose les événements : R1 = « Boule rouge au premier tirage » R2 = « Boule rouge au deuxième tirage » V1 = « Boule verte au premier tirage » V2 = « Boule verte au deuxième tirage » On aura : E.1 – Un système complet formés des 4 événements suivants :

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- 1er événement : R1R2 = «Boule rouge à chaque tirage» - 2ème événement : V1V2 = «Boule verte à chaque tirage» - 3ème événement : R1V2 = «Boule rouge au 1er tirage et boule verte au 2ème tirage» 25

- 4ème événement :

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V1R2 = «Boule verte au 1er tirage et boule rougeau 2eme tirage» E.2 - Les valeurs des probabilités de ces événements sont : 2 A - P R1  R2   6  5  6  1 , P R1   6 A102 9  10 3 10  P R2 R1  

P  R1  R2  5  P  R1  9

2 A - P V1  V2   4  3  4  2 , P V1   4 A102 9  10 15 10

 P V2 V1  

P V1  V2  1  P V1  3

A61  A41 6  4 4 6 P R1  V2     , P R1   2 A10 9  10 15 10  P V

P R  V  4  R     1

P R1

A41  A61 6  4 4 4 - P V1  R2       , P V1  2 A10 9  10 15 10  P R2 V1  

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P V1  R2  2  P V1  3

E.3 - Les événements R1 , R2 ,V1 , V2 ne sont pas indépendants deux à deux :

en effet ; 1 4 3 P R2   P R2  R1   R2 V1   P  R2  R1   P  R2  V1     3 15 5 5 3  P R2 R1    P  R2   9 5

Donc les événements R1 , R2 sont dépendants. - les autres se feront de la même manière (exercice).

E.4- Un aperçue avec un arbre de classement : On représente cette situation par un arbre. Au bout de chaque branche , on note l’événement qu’elle représente et, sur la branche, on note la probabilité de l’événement associé.

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Cela donne : 59

6 10 49 69

4 10 39

6 5 1 P R1  R2   P R1   P R2 R1     10 9 3 6 4 4 P R1 V2   P R1   P V2 R1     10 9 15 4 6 4 P V1  R2   P V1   P R2 V1     10 9 15 P V1 V2   P V1   P V2 V1 

4 3 2    10 9 15 28

Propriétés d’un arbre de classement : 1- Les chemins de l’arbre sont des événements du système complet cité dans (E.1). On a donc :

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P    P R1  R2   P R1 V2   P V1  R2   P V1 V2 

 P    P R1  R2   P R1 V2   P V1  R2   P V1 V2   1

2- La probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités des branches qui forment ce chemin. Exemple 2 : Si Un joueur lance un dé à 6 faces, deux fois. Cherchons la probabilité qu'il obtienne un nombre pair à chaque lancer. Soit les événements : p1 = « nombre pair au premier lancer » p2 = « nombre pair au deuxième lancer » Donc l’événement p1p2 = «nombre pair à chaque lancer.»

Donc on obtient : 1 1 P  p1   , P  p2   2 2 A32 3 2 1 et P  p1  p2   2  2  A6 6 4 

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ici les arrangements sont avec répétions

De plus

1     P p1  P p2   

1  4  2

1 1  P  p1  p2   P  p1   P  p2      4  2 Donc les événements p1 et p2 sont indépendants. 30

1.2.3- Théorème des probabilités totales : Théorème : Soient A1 , A2 ,… , An un système complet d’événements, alors pour tout événement B  Ω on a :

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i n

P B    P  Ai   P B Ai   P  A1   P B A1   P  A2   P B A2     P  An   P B An  i 1

- Illustration du théorème des probabilités totales -



A1 A2 …. Ai …. An

B Preuve : En effet ;

i n

 P  A  P B A    P B  A  i 1

i 1

Comme les événements Ai ∩B sont mutuellement exclusifs, i n i n   i n   i n   P  Ai   P B Ai    P B  Ai   P   B  Ai   P  B    Ai    i 1 i 1  i 1   i 1    i n   P  Ai   P B Ai   P B     P B  i 1

1.2.4- Théorème de Bayes: Théorème : Soient A1, A2,…, An un système complet d’événements, alors pour tout événement B  Ω on a :

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P  Ak B  

C’est-à-dire :

P  Ak   P B Ak  in

 P  A   P B A  i 1

P  Ak   P B Ak  P  Ak B   P  A1   P B Ai   P  A2   P B A2     P  An   P B An 

Preuve : En effet ;

P  Ak   P B Ak 

i n

 P  A   P B A  i 1



P B  Ak   P Ak B P B 





Exercice : Supposant qu’une population d’adultes soit composée de 30% de

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fumeurs (A1) et de 70% de non fumeurs (A2). Notons B l’événement « mourir d’un cancer du poumon ». La probabilité de mourir d’un cancer du poumon si l’on est fumeur est égale à P(B A1) = 20%, et si l’on est non fumeur est égale à P(B  A2) = 1%. C’est-à-dire :

P(A1) = 0,3; P(A2) = 0,7; P(B  A1) = 0,2; et P(B  A2) = 0,01. 1- Calculer la probabilité de mourir d’un cancer du poumon ? 2- Calculer la probabilité d’une personne d’être fumeur si elle est morte d’un cancer du poumon ?

3- Calculer la probabilité d’une personne d’être non fumeur si elle est morte d’un cancer du poumon ?

Solution : On a ; P(A1) = 0,3; P(A2) = 0,7; P(B  A1) = 0,2; et P(B  A2) = 0,01. 1- Calculer la probabilité de mourir d’un cancer du poumon? C’est-à-dire : P(B) = ? D’après le théorème des probabilités totales on a :

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P B  P  A1   P B A1   P  A2   P B A2   P B   0,3  0,2  0,7  0,01  0,06  0,007  0,067

2- Calculer la probabilité d’une personne d’être fumeur si elle

est morte d’un cancer du poumon ? C’est-à-dire : P

A B   ? 1

Et d’après le théorème de Bayes on a : P  A1   P B A1  0,3  0,2 P  A1 B     0,896 P  A1   P B A1   P  A2   P B A2  0,3  0,2  0,7  0,01 de la même manière pour la question (3) on obtient : P A2 B   0,104 34

Chapitre 2 : Notions de variables aléatoires réelles. Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

2.1- Introduction et définition : 2.1.1- Définition 1 : Dans de nombreuses expériences aléatoires, nous sommes amenés à attacher un nombre réel à chaque issue (résultat) de l'univers Ω. Une telle application X de Ω vers R est appelée variable aléatoire. C’est-à-dire une variable aléatoire X est une application de l’univers Ω dans R (X : Ω

 R).

Exemple 1 : Si on jette deux (02) pièces de monnaie on obtient : Ω = {(P,P); (P,F); (F,P); (F,F)}. On considère X la variable aléatoire représentant le nombre de faces « F » obtenus :   P , P   0.   P , F   1.  X    F , P   1.    F , F   2.

2.1.2- Formulation générale : Dans ce paragraphe on va essayer de comprendre, définir, et donner la liaison entre : 1- Une expérience aléatoire et définir l’univers Ω . 2- Définir une variable aléatoire X sur Ω. 3- Evénement lié ou associé à une variable aléatoire X. Donc si on considère : Une expérience aléatoire

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

Un ensemble d’issues (résultats possibles), l’univers Ω Ω = {issue1 ; issue 2; issue 3, issue 4; issue 5}.

Donc on obtient un nouveau ensemble : Ω’ = {x1 ; x2 ; x3}. Et on dit que la variable aléatoire X sur Ω prend les valeurs :

{x1 ; x2 ; x3} = X(Ω)

Ainsi on a un système complet d’événement {A1, A2, A3} tels que :

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• Si X = x1 son événement associé est A1 = {issue 1; issue 2} . • Si X = x2 son événement associé est A2 = { issue 3 } .

• Si X = x3 son événement associé est A3 = { issue 4; issue 5}. Exemple 2 : Une urne contient trois boules numérotées 2 ; 3 et 5. On tire successivement avec remises deux boules de cette urne. Ω = { (2,2); (2,3); (2,5); (3,2); (3,3); (3,5); (5,2); (5,3); (5,5) }. Notons X la variable aléatoire indiquant la somme des points obtenus. C’est-à-dire ; X : (j , k) → j + k. Donc; Ω = { (2,2); (2,3); (2,5); (3,2); (3,3); (3,5); (5,2); (5,3); (5,5) }.



Ω’ = { 4; 5; 6; 7; 8; 10 } = X(Ω).



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Ω’ = { 4; 5; 6; 7; 8; 10 } = X(Ω). Ce qui donne :

• L’événement associé à X = 4 est A1 = {(2,2) }. • L’événement associé à X = 5 est A2 = {(2,3); (3,2) }. • L’événement associé à X = 6 est A3 = {(3,3)}. • L’événement associé à X = 7 est A4 = {(2,5); (5,2) }. • L’événement associé à X = 8 est A5 = {(5,3); (3,5) }.

• L’événement associé à X = 10 est A6 = {(5,5) }.

2.2- Etude du cas discret : 2.2.1- Définition 2 : Une variable aléatoire X est discrète si elle prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs. C’est-à-dire : X(Ω) est fini ou dénombrable.

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Remarque : 1- Les variables aléatoires définies dans les exemples 1 et 2 précédents sont discrètes, avec : - Ω’ = X(Ω) = { 0; 1; 2 } dans l’exemple 1. - Ω’ = X(Ω) = { 4; 5; 6; 7; 8; 10 } dans l’exemple 2. 2- Pour le jet d’une pièce de monnaie jusqu'à ce que le côté face sorte pour la première fois, Ω est infini. Si on considère X la variable aléatoire indiquant à quel jet de monnaie le coté face sorte alors X est une variables aléatoire discrète car : Ω’ = X(Ω) = { 1; 2; 3; … } =

N*.

2.2.2- Définition 3 : Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire et X une variable aléatoire discrète

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({x1 ; x2 ;…; xn} = X(Ω)). Si à chacune des valeurs X = xi nous associons la probabilité de l'événement correspondant, nous obtenons alors la loi de probabilité ou la distribution de probabilité de la variable aléatoire X. Notations : p1 est la probabilité que X prenne la valeur x1 : p1 = P(X = x1). p2 est la probabilité que X prenne la valeur x2 : p2 = P(X = x2). ... pn est la probabilité que X prenne la valeur xn : pn = P(X = xn). Remarque : Ces valeurs peuvent être présentées dans un tableau appelé xn … tableau de distribution de X : X x1 x2

…

Exemple : Reprenons la variable X indiquant le nombre de « faces » obtenues après avoir jeté

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deux pièce de monnaie. On avait Ω = {(P,P); (P,F); (F,P); (F,F)} avec : X(P,P) = 0; X(P,F) = X(F,P) = 1 et X(F,F) = 2. Donc le tableau de distribution de X est : 1

X P

1 4

1 2

1 4

i n Remarque : 1- Dans un tableau de distribution,  pi  1. ie  p1  p2    pn  1. i 1

2- On peut présenter ces distributions à l'aide de diagrammes en pi bâtons. 3 4 1 2

1 4

2.2.3- Fonction de répartition d’une V.A discrète : Définition 4 : On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X, la fonction définie par ; F : R → [0 , 1]

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x → F(x) = P(X ≤ x)

C’est-à-dire :

si 0  k i  F ( x )    P ( X  x k ) si  k 1  si 1

x  x1 xi  x  xi 1 x  xn

Exemple : Avec la variable X indiquant le nombre de « faces » obtenues après avoir lancé une pièce de monnaie deux (02) fois de suite, on a : Ω = {(P,P); (P,F); (F,P); (F,F)} et :

1 4

1 2

1 4

si 0 1  si 4  F ( x)    1  1 si 4 2 1 si 

x0 0 x1 1 x  2 x2

2.2.4- Espérance mathématique d’une V.A discrète : Définition 4 : L’espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète X est définie par : i n

i n

i 1

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E ( X )   P ( X  xi ). xi   pi xi ie :

E ( X )  P ( X  x1 ). x1    P ( X  x n ). x n

Exemple : Pour le même exemple de la page 35 on obtient ;

E ( X )  P ( X  0).0  P ( X  1).1  P ( X  2).2 1 1 1  E ( X )  .0  .1  .2  E ( X )  1 4 2 4

Propriétés de l’espérance mathématique : Si X, Y deux variables aléatoires sur un univers Ω, a  R alors : 1- E ( X  a )  E ( X )  a . 2- E ( a . X )  a . E ( X ). i n 3- E ( X  Y )  E ( X )  E (Y ). 4- Si f une fonction réelle alors : E ( f ( X ))  pi f ( xi )

 i 1

2.2.5- Variance et écart-type d’une V.A discrète : Définition 4 : Si on note E(X) = m, la variance d’une variable aléatoire discrète X notée V(X) est définie par :

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





V ( X )  E ( X  E ( X ))2  E ( X  m ) 2

C’est-à-dire :

Ou :

i n

V ( X )   p X  xi . xi  m   2

i 1

i n

 p x i 1



 m

V ( X )  p X  x1 . x1  m     p X  xn . xn  m  L’écart-type de X notée  (X) est :  ( X )  V ( X ) 2

Remarque : La variance peut être écrite sous une autre forme dite « formule développée » qui est : i n

i n

V ( X )   P  X  xi . xi  m 2   pi . xi  m 2 2

i 1

ie :

i 1

V ( X )  P  X  x1 . x1    P  X  xn . xn  m 2 2

Exemple : Avec la variable X indiquant le nombre de « faces » obtenues après avoir lancé une pièce de monnaie deux (02) fois de suite, on a : Ω = {(P,P); (P,F); (F,P); (F,F)} et :

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1 4

1 2

1 4

Donc l’espérance mathématique est :

E ( X )  P ( X  x1 ). x1    P ( X  x n ). x n

 E ( X )  P ( X  0).0  P ( X  1).1  P ( X  2).2

1 1 1  E ( X )  .0  .1  .2  E ( X )  1 4 2 4 Et la variance est :

2 2 2     V ( X )  P X  x1 . x1    P X  xn . xn  m

 V ( X )  P ( X  0).0 2  P ( X  1).12  P ( X  2).2 2  12 1 1 1 1  V ( X )  .0  .1  .4  1  V ( X )  45 2 4 2 4

2.3- Lois de probabilités discrètes usuelles : 2.3.1- Variable aléatoire de Bernoulli :

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1- Epreuve de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux événements S et S tels que :  S appelé succès avec P ( S )  p.  S appelé échec avec P ( S )  q  1  p. 2- Variable aléatoire de Bernoulli : Une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p est une variable aléatoire X associée à une épreuve de Bernoulli définit par :  X prend la valeur 1 en cas de succès.  X prend la valeur 0 en cas d’échec. 1 0 X 1 avec une probabilité p.  ie : X   p 1- p 46 P 0 avec une probabilité (1  p).

Proposition : L'espérance mathématique, et la variance de la V.A de Bernoulli égalent à : m  E ( X )  p et V ( X )  p(1  p ) Preuve : En effet ;

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E ( X )  P ( X  x1 ). x1    P ( X  x n ). x n  E ( X )  P ( X  0).0  P ( X  1).1  E ( X )  (1  p ).0  p.1  E ( X )  p

V ( X )  P  X  x1 . x1    P  X  xn . xn  m 2 2

 V ( X )  P ( X  0).0 2  P ( X  1).12  p 2  V ( X )  p  p 2  V ( X )  p(1  p ) Remarque : La loi de probabilité associée à la variable aléatoire de Bernoulli est appelée loi de probabilité de Bernoulli. 47

Exemple 1: On tire au hasard une boule dans une urne contenant 18 boules rouges et 12 boules blanches. On définit la variable aléatoire comme suit :

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1 si la boule est rouge. X  0 si non .

La variable aléatoire ainsi définit suit une loi de Bernoulli de 18 paramètre p   0,6. 30 Avec m  E ( X )  0,6 et V ( X )  0,24. Exemple 2: Si on prend l’expérience du jet d’un dé à 6 faces non truqué. On définit la variable aléatoire comme suit :

1 si le n tiré est  5. X  0 si le n tiré est  5.

La variable aléatoire ainsi définit suit une loi de Bernoulli de 1 2 2 2 1 1 paramètre p   . Avec m  E ( X )  et V ( X )    . 6 3 3 3 9 3 48

2.3.2- Variable aléatoire Binomiale : 1- Schéma de Bernoulli de paramètres p et n : Si on a une expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois de façon identique et indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p (Succès – Echec), on dit qu’on a un schéma de Bernoulli de paramètre p et n avec : n : Nombre de répétitions. p : Paramètre du succès de l’épreuve de Bernoulli.

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2- Variable aléatoire Binomiale de p et n : Une variable aléatoire Binomiale est une variable aléatoire X associée à un schéma de Bernoulli définit par : X = Nombre de succès dans un schéma de Bernoulli. Ainsi on dit que la V.A X suit une loi Binomiale de paramètres p et n et on la note B(n; p). Et la V.A X prend des valeurs entières de 0 à n, c’est-à-dire : X  0,1,..., n. 49

Proposition 1 : Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres p

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et n (0 < p < 1), si et seulement si :

P( X  k )  C . p .q k n

Avec q = 1- p, et

n k

, k  0,1,..., n  1, n

n! C  k! n  k  ! k n

Remarque : Cette variable est appelée Binomiale car sa distribution de probabilité est un terme du binôme de Newton :

a  b 



k n

k n k k C  na b k 0

Proposition 2 : L'espérance mathématique, et la variance de la V.A Binomiale égalent à :

E ( X )  np et V ( X )  np(1  p )  npq

Exemple 1: On tire au hasard successivement et avec remise 5 boules dans une urne contenant 18 boules rouges et 12 boules blanches.

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On définit la variable aléatoire X comme suit :

X = Nombre de boules rouges obtenue. La variable aléatoire ainsi définit suit une loi de Binomiale

B(5; 0,6) car : On répète 5 fois l’épreuve de Bernoulli tels que : Le succès est S = « tirer une boule rouge », avec : 18 P S   p   0 ,6. 30 k Et  k = 0,1,2,3,4,5 on a : P ( X  k )  C 5 . 0,6

  .0,4 k

5 k

De plus

E ( X )  5  0 ,6  3 et V ( X )  5  0 ,6  0 ,4  1, 2

Exemple 2: On jette un dé à 6 faces non truqué 3 fois successivement .

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On définit la variable aléatoire X comme suit :

X = Nombre de fois d’avoir obtenue un nombre > 5 . La variable aléatoire ainsi définit suit une loi de Binomiale

B(3; 0,17) car : On répète 3 fois l’épreuve de Bernoulli tels que : Le succès est S = « Avoir obtenue un nombre > 5», avec : 1 P  S   p   0 ,17. 6 k k Et  k = 0,1,2,3 on a : P ( X  k )  C 3 . 0,17 . 0,83



 



3 k

De plus

E ( X )  3  0 ,17  0 ,51 et V ( X )  3  0 ,17  0 ,83  0 ,42 52

2.3.3- Variable aléatoire de Poisson de paramètre  : Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

Une variable aléatoire suit une loi de Poisson de paramètre lorsque sa loi de probabilité est :



Pour tout entier naturel k, ( X = N ie X = {0,1,2,…} ) 

e  P( X  k )  k!

Appellation et notation : La variable aléatoire qui suit une loi de poisson est appelée variable aléatoire de poisson, et elle est notée P ().

Remarque 1: - La variable aléatoire de poisson consiste à compter le nombre des réalisations d’un événement rare. 53

Remarque 2:

- Le paramètre  est le nombre moyen des réalisations de

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l’événement rare. Remarque 3: - La loi de poisson, ou «loi de faibles probabilités» est appliquée pour des phénomènes rares ie  pas trop grand où le futur est indépendant du passé tels que : (Les pannes de machine, nombre d’accidents, nombre de retards, nombre d’appels téléphoniques dans un standard, …) Exemple 1: Chaque année en moyenne deux (02) accidents de travail sont observés au sein de l’entreprise hôtelière Sheraton. 1- Quelle est la probabilité que durant 1 année il y‘ai 5 accidents de travail? 54

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L’expérience aléatoire ainsi définit suit loi de poisson

P (2)

paramètre  = 2 telle que :

X = Nombres d’accidents de travail observées durant 1 année, Donc;

X  0 ,1, 2... Avec la loi de probabilité suivante : 2

e 2 P( X  k )  , k  0,1,... k! D’où la probabilité que durant 1 année il y‘ai 5 accidents de travail :

e 2 2 5 P( X  5)   0 ,036 5! 55

Exemple 2: Un standard téléphonique reçoit en moyenne trois (03) appels toutes les 30 minutes. 1- Quelle est la probabilité que dans une ½ heure donnée il y‘ai aucun appels? 2- Quelle est la probabilité qu’ il y‘ai exactement 04 appels en 30 minutes? 3- Quelle est la probabilité d’avoir au moins 1 appel en 30 minutes? -----On remarque L’expérience aléatoire ainsi définit suit loi de poisson P (3) de paramètre  = 3 telle que : X = Nombres d’appels téléphoniques durant 30 minutes. Donc ; X  0 ,1, 2... Avec la loi de probabilité suivante :

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e 3 3 k P( X  k )  , k  0 ,1,..... k!

D’où : 1- La probabilité que durant une ½ heure donnée il y‘ai 3 0 aucun appels est :

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e 3 P( X  0)   0 ,05 0!

2- La probabilité qu’ il y‘ai exactement 04 appels en 30 minutes est : 3

e 3 P( X  4)   0 ,17 4! 3- La probabilité d’avoir au moins 1 appel en 30 minutes est :

P ( X  1)  1  P ( X  1) car : Si on pose B l’événement :

B = «Avoir au moins 1 appel en 30 Minutes », alors ;

B = «Avoir au plus 1 appel en 30 Minutes », c’est-à-dire X  1.  P ( X  1)  1  P ( X  1)  1  P ( X  0 )  0 ,95

Proposition : L'espérance mathématique, et la variance de la V.A de Poisson de paramètre  égalent à :

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E ( X )   et V ( X )   2.4- Etude du cas continue : 2.4.1- Définition : Une variable aléatoire X est continue si elle prend un nombre infini non dénombrable de valeurs. C’est-à-dire :

X peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle réel. Exemples : 1- La durée de vie d’une lampe. 2- Le salaire d’un individu tiré au sort dans une population. 3- Le poids des espèces animaux et insectes dans un zoo.

2.4.2- Fonction de densité : 1- Fonction continue par morceaux :

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Définition 1: Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur

I (ie f : I  R). On dit que f est continue par morceaux sur I s’il existe une suite finie (a0 ; a1 ;…; an) de réels de I (ai  I , i) vérifiant : 1- i =1,…,n ; f est continue sur I − {a0 ; a1 ;…; an} 2- lim f ( x ), lim f ( x ) existent et sont finies. x  a i

x  a i

Exemples : 1 1- La fonction f ( x )  2 est continue par morceaux sur [1,+[ x 1 si x  0,1  2- La fonction définie sur [0,1] par : f ( x )   x  0 si x  0 n’est pas continue par morceaux sur [0,1] car lim f ( x )   x 0

3- Soit J intervalle fermé de R et f une fonction définie sur R tel que :

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i) f est constante sur R J. ii) f est continue sur J. La fonction f ainsi définit est continue par morceaux sur R. 2- Fonction de densité (ou densité de probabilité ): Définition 2: Soient I intervalle de R, f une fonction définie sur I. La fonction f définie une fonction de densité (ou densité de

probabilité ) sur I si elle vérifie les conditions suivantes : 1- f(x)  0; x  I. 2- f est continue par morceaux sur I . 3-

 f ( x )dx  1. I

Remarques : 1-

1 u.a.

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2- Si I = [a,

b], alors la quantité notée  f ( x )dx désigne  f ( x )dx. I

3- Si I est un intervalle non borné, par exemple

I = [a,+ [, alors :

 f ( x )dx désigne lorsqu’elle existe la limite  f ( x )dx   f ( x )dx  lim  f ( x )dx

la quantité notée



t  

Définition analogue si I est du type I = ]-, b].

 f ( x )dx désigne lorsqu’elle existe :  f ( x )dx   f ( x )dx  lim  f ( x )dx  lim  f ( x )dx 61

4- Si I = R alors la quantité 



t  

t  

Exemples : 1 1- La fonction f ( x )  2 est une fonction de densité sur

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[1,+[ car f est continue et positive sur [1,+[, de plus :



 1

1  1 f ( x )dx  lim  f ( x )dx  lim  2 dx  lim     1 t   t   t   x  x 1 1 1

2- Déterminer le réel  de façon que la fonction f définie sur [0,1] par f(x) = x + soit une fonction de densité sur [0,1] . La fonction f(x) = x + est continue, donc f doit satisfaire :

i- f(x) = x +  0 ; x  I = [0,1]    -x  -1. 1 2 1 1 ii-  f ( x )dx   ( x   )dx  1   x  x   1 0

  2

 0

1 1    1   . 2 2 Ainsi (pour  =½) la fonction f définie sur [0,1] est une fonction de densité sur [0,1] .

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3- Soit f une fonction constante sur un intervalle [a,b] (f(x) =  ) . Quelle doit être la valeur de la constante  pour que f soit une fonction de densité sur [a,b] . La fonction f(x) =  est continue, donc f doit satisfaire :

i- f(x) =   0 . b b ii-  f ( x )dx   dx  1   (b  a )  1    a a

1 . ba

Définition 3 : Soit f une densité de probabilité sur un Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

intervalle I, on dit que f est attachée (associée) à la variable aléatoire X si : a , b  I : P ( a  X  b ) 

 f ( x )dx . a

Définition 4 : La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X, est la fonction définie par ; F : R → [0 , 1]

x → F(x) = P(X ≤ x)

C’est à dire F ( x )  P ( X  x )  Remarques :

 f (t )dt .



1- F ( x )  P ( X  x )  P ( X  x ) 

dF ( x )  F ' ( x ). 2- f ( x )  dx

 f (t )dt .



3- On dit que la variable aléatoire X à valeurs dans I suit une loi

de probabilité P de densité f sur I :

2.4.3- Propriétés de la fonction de densité d’une V.A.C: 1- P(a  X b) est l’aire sous la courbe de la fonction f.

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2- L’aire total sous la courbe de la fonction f mesure 1. a 3- P ( X  a ) 

 f ( x )dx  0 a

4- P ( X  a )  P ( X  a )  1  P ( X  a )  1  P ( X  a ) 5- P ( a  X  b )  P ( X  b )  P ( X  a )

6- P ( X  a )  P ( X  a ) et P ( X  a )  P ( X  a ). 7- P (a  X  b )  P (a  X  b ). 8- La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X, est la fonction définie par ; F : R → [0 , 1]

x → F(x) = P(X ≤ x)

9- La fonction de répartitionxd’une V.A.C vérifie :

9.1- F ( x )  P ( X  x )  9.2- F est dérivable. 9.3- F(x)  0, xR.

 f (t )dt .

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati



9.4- F est croissante. 9.5- lim F ( x )  0. x  

Définition 5 : On définit; 1- L’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue 

par : m  E ( X ) 

 x. f ( x )dx.



2- La variance d’une V.A.C est :

   2 2 V ( X )    x  m  . f ( x )dx   x . f ( x )dx   m 2     3- L’écart type a variance d’une V.A.C est :  ( X )  V ( X ) . 

2.5- Lois de probabilités continues usuelles : Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

2.5.1- La loi uniforme : Définition : On dit que la variable aléatoire X suit une loi uniforme de paramètres a et b si sa densité de probabilité est la fonction :  1 si a  x  b  f ( x)   b  a  0 si non

Notation : La loi de probabilité uniforme est notée U(a ; b). Propriétés de la loi uniforme : 1- c, d  [a,b] alors : P c  X  d  



1 d c dx  . ba ba

2- L’espérance mathématique et la variance de la V.A qui suit une loi uniforme sont : 2 ( b  a ) ab 2 m  E( X )  ;  V(X )  12 2 67



1 En effet : m  E ( X )   x . f ( x )dx  xdx  ba a  b 1  x2  ab  m  E( X )  .    b  a  2 a 2

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

   2 2 De même; V ( X )    x  m  . f ( x )dx   x . f ( x )dx   m 2       2 2 b 3 3     b  a a  b  1 a  b 2     V(X )  x dx     3b  a  4 ba  a 4  

Et après calcul on trouve :  2

(b  a ) 2 V(X )  12

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

3- La fonction de répartition de la V.A qui suit une loi uniforme est : 0 si x  a xa  F ( x)  P( X  x)   si a  x  b. car : ba  1 si x  b

1er cas : ( x < a)

F ( x)  P( X  x)  2eme cas : (a  x  b)

F ( x)  P( X  x)   F ( x) 



 0dt  



 f (t )dt   0dt  0  f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt

1 xa f ( t )dt  0  dt   ba a ba x

3eme cas : ( x > b)

F ( x)  P( X  x) 

 x

 a

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

 f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt b

1  F ( x )  P ( X  x )   f ( t )dt   0dt  dt   0dt  ba a   b b 1  F ( x)  P( X  x)  0  dt  0  1  ba a Donc la courbe de la fonction de répartition de la V.A qui suit une loi uniforme est :

2.5.2- La loi exponentielle : Définition : On dit que la variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre  ( > 0) si sa densité de probabilité est la fonction :  x

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

 e si x  0 f ( x)   0 si non

Notation : La loi de probabilité exponentielle de paramètre  est notée E (). Remarque : On peut vérifier que f est bien une densité de probabilité en effet : ● La fonction f est continue par morceaux et positive ou nulle (f(x)  0) sur R. De plus : 





f ( x )dx  lim  f ( x )dx  lim  f ( x )dx   lim  e  x dx y  



y  

 e  x    f ( x )dx   lim   1  y    0  

Propriétés de la loi exponentielle : 1- a, b, c trois réels positifs ou nuls (a, b, c  0), alors on a : 1.1- P a  X  b  

1.2- P  X  c  



Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

e  x dx  [ e  x ]ba  e  a  e  b .

e  x dx  [ e  x ]c0  1  e  c .





1.3- P  X  c   1  P  X  c   1  1  e  c  e  c .

2- Cette fonction est souvent appelée "courbe en cloche". Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

3- La fonction f admet deux points d'inflexion (changement de courbure) en μ ± σ.

4- La fonction f est continue et possède donc des primitives mais il n'est pas possible d'exprimer ces primitives sous forme analytique. 5- E(X) =μ et V(X) =σ2. Remarque :La 4eme propriété signifie que pour calculer la probabilité que X prenne une valeur située entre a et b, il faut b calculer l'intégrale :

a , b : P (a  X  b)   f ( x )dx. a

par des méthodes d'approximations successives. Les résultats de ces calculs se trouvent, en particulier, dans un tableau pour la loi N(0; 1) appelée loi normale centrée réduite (Voir tableau page 79). 73

2.5.3- La loi normale centrée réduite N(0; 1) : Définition : On dit que la variable aléatoire notée X* suit une loi normale centrée réduite de moyenne 0 et d'écart-type σ = 1 si sa densité de probabilité est la fonction : x2

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

f ( x)  Qui a l’allure suivante :

 1 e 2

...(**)

Notation : La loi de probabilité normale de moyenne 0 et d'écarttype σ =1 est notée N(0;1). Propriétés de la loi normale centrée réduite N(0; 1) : 1- La fonction f est paire. 2- E(X*) =0 et V(X*) =1. 74

3- La densité de probabilité dans (**) c’est la densité de probabilité dans (*) en prenant μ = 0 et σ =1. 4- La fonction de répartition de la variable aléatoire centrée réduite X* est notée . C’est-à-dire :

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

( x )  P ( X *  x ) 

 f (t )dt .



5- Le nombre (a) représente l’aire du domaine délimité par cette courbe en cloche l’axe des abscisses et la droite x = a.

6- Le nombre (0) = 0,5 .

Théorème 1: La variable aléatoire X* normale centrée réduite de moyenne 0 et d'écart-type σ = 1 vérifie :

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

Pour tous réels a et b (a, b  R) tels que a  b, on a : 1- P a  X *  b   (b )  (a ). 2- P  X *  a   1  (a ).





3- P X *   a  1  ( a ).

Remarque : Pour les calculs on utilise le tableau pour la loi

N(0;1) normale centrée réduite (Voir tableau page suivante). 76

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

(0 ,52)  0 ,6985

Exemple d’utilisation du tableau pour la loi N(0;1) : Soit X* la variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. A l’aide du tableau des valeurs de . Déterminer les probabilités suivantes :

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

1) P(X*  1,35) ; 2) P(X*  −0,56); 3) P(−0, 56 X* 1, 35); 4) P(X*  -0,56 ou X*  1,35). Solution : On repère sur la table les valeurs : (0,56) ≃ 0,7123 et (1,35) ≃ 0,9115

1) P(X*  1,35) = 1− P(X* ≤ 1,35) = 1− (1,35) = 1− 0,9115  P(X*  1,35) = 0,0885. 2) P(X*  −0,56) = (− 0,56) = 1 − (0,56) = 1− 0,7123  P(X*  −0,56) = 0,2877.

3) P(−0,56 X* 1,35) = (1,35) − (− 0,56)

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

P(−0, 56 X* 1,35) = 0,9115 − 0,2877 = 0,6238. 4) P(X*  −0,56 ou X*  1,35)= P(X*  −0,56)+P(X*  1,35)  P(X*  −0,56 ou X*  1,35)= 0,2877+0,0885 )= 0,3762.

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

Théorème 2: Si la variable X suit une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ (N(μ; σ)), alors la variable X*  Suit une loi Normale centrée réduite N(0;1).

X 



Autrement dit :

b  b a a P a  X  b   P   X*  )  ( ).   (       Exemple d’utilisation du théorème 2 : Supposons que dans un endroit donné les températures du mois de juillet suivent une loi normale de 18,2° de moyenne avec un écart-type de 3,6°. Sous ces conditions, quelle est la probabilité que la température, un jour de juillet, soit comprise entre 20° et 25° ? 80

Solution :

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

Notons X la variable aléatoire indiquant la température en question. Comme X suit une loi N(18,2 ; 3,6), nous savons que la variable

X   suit une loi normale centrée réduite N(0;1). Et on a : X* 



b  b a a P a  X  b   P   X*  )  ( ).   (       25  18,2   20  18,2  P 20  X  25  P   X*   3,6   3,6

 P 20  X  25  (1,89)  (0,5 )  0,97062- 0,69146

 P 20  X  25  0,97062- 0,69146 0,27916  27,916%. 81

Exemple de variable aléatoire continue : Exercice : Soit X une variable aléatoire dont la fonction de densité est :

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

C (1  x 2 ) si  1  x  1 f ( x)   si non 0 1. Calculer la valeur de C. 2. Quelle est la fonction de répartition de X?

3. Calculer E(X). Solution : 1. La fonction f est une densité de probabilité :

R, donc continue par morceaux f(x)  0 xR donne C  0 . 

La fonction f est continue sur sur

De plus

Reste que la fonction f vérifie que :

 f ( x )dx  1







 f ( x )dx 













1

lim  f ( x )dx 

y  

1

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

 f ( x )dx  lim  f ( x )dx  1 y  

1

1 y

f ( x )dx  lim  0dx   C (1  x 2 )dx  lim  0dx  1 y  

y  

 x  1 1    f ( x )dx  C  x    1  C1   1    1 3  1 3 3    3  4  C   1  C  . 4  3 3

2. Calcul de la fonction de répartition de X : Par définition la fonction de répartition est : F : x

C’est à dire : F ( x )  P ( X  x ) 

x → F(x) = P(X ≤ x)

 f (t )dt .



R → [0 , 1] 83

D’après le domaine de définition de la fonction

1er

cas : (x ≤ -1)

F ( x)  P( X  x) 

2eme cas : (-1 < x < 1)

1

f , il y’a 3 cas : Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati



 f (t )dt   0dt  0 1

3 F ( x )  P ( X  x )   f ( t )dt   f ( t )dt   0dt   (1  t 2 )dt 4  1  1 x

3 t  3 x3  3  1    F ( x )  t     x   1   4 3  1 4  3  4 3  3

3  F ( x)  4

 x2  1   x  1  3  2 

3eme cas : ( x  1)

F ( x)  P( X  x)  1

1



1

 f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt x

3  F ( x )   0dt   (1  t 2 )dt   0dt 4  1 1

3 t  3 1 3 1  F ( x )  t     1      1  1 4 3  1 4  3 4 3  3

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

Par conséquent, la fonction de répartition est si x  1 0  x2  1 3    F ( x )   x 1  si  1  x  1 3  2 4  1 si x  1  3. Calcul de E(X) :

E( X ) 



1





1

 1

1 



1

 x. f ( x )dx   x. f ( x )dx   x. f ( x )dx   x. f ( x )dx

 E( X ) 

 x.0dx   x. f ( x )dx   x.0dx 1

2 4   3 3 x t 3  E ( x )   ( x  x )dx      4 4  2 4  1 1 1

3 1 1 3 1 1        0 4  2 4  4  2 4  85

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

Ce résultat est évident car on intègre une fonction impaire (xf(x)) sur un domaine centré sur 0. Remarque : Dans cette exercice on pouvait donner au départ la fonction de répartition F(x) au lieu de la fonction de densité f(x).

Chapitre 3 : Couples de variables aléatoires. Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

3.1- Couple de variables aléatoires réelles discrètes : 3.2.1- Loi de probabilité conjointe et lois marginales :

Définition 1: Soit P une probabilité définit sur un univers Ω; X, Y deux variables aléatoires réelles définies sur Ω.

On appelle couple de variables aléatoires réelle Z = (X; Y) l’application de Ω dans R (Z : Ω  2

R2 ) telle que :

w   : Z ( w )  ( X ( w ), Y ( w )) Donc si (X; Y) est un couple de variables aléatoires discrètes réelles telles que les variables X et Y sont comme suit:

X(Ω) = {x1 ; x2 ;…; xn} et Y(Ω) = {y1 ; y2 ;…; yk}

Et les lois de probabilités de X et Y sont :

i  1,..., n, j  1,..., k : pi .  P ( X  x i ) et p. j  P(Y  y j )

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

X P

x1 P1.

x2 P2.

… …

xn Pn .

y1 P.1

y2 P.2

… …

yk P. k

La loi de probabilité de (X; Y) donnée par :

X(Ω)Y(Ω) = {(xi ,yj ): iI, jJ } et



 



i  I , j  J : pij  P ( X ;Y )  ( xi ; y j )  P X  xi  Y  y j Définition 2 : 1- L’application P( X ,Y ) : X ( )  Y ( )  0,1 est appelée loi



( x i , y j )  pij

conjointe du couple (X; Y).

2- L’application PX : X ( )  0,1 et PY : Y ( )  0,1

x i  pi .

y j  p. j

sont appelées lois marginales de X et de Y. Ce sont les lois de probabilité PX et PY de X et Y. 88

Proposition : Avec les notations précédentes, on a : 1- i{1,…, n}, pi .  in

p i 1



jk

p j 1

j k

p



et j{1,…, k}, p. j 

j 1 in jk

 p i 1 j 1

i n

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

p i 1

1

3.2.2- Représentation de la loi conjointe et des lois marginales : 1- La loi conjointe du couple (X; Y) peut être présenté dans un tableau comme suit : Tableau de la loi conjointe du couple (X; Y)

Y y 1 y2

…

p11 p12 p21 p22

p1j p2j

p1k p2k

Total p1. p2.

pi1 pi2

pij

pik

pi .

xn pn1 pn2 Total p.1 p.2

pnj p. j

pnk p. k

Pn . 1

X x1 x2 .. .

xi .. .

2- Les lois marginales de X et de Y se présentent dans un tableau comme suit : X P

x1 P1.

x2 P2.

… …

xn Pn .

y1 P.1

y2 P.2

… …

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

yk P. k

Exemple 1: Une urne contient 3 boules blanches et 4 boules noires. On tire deux boules successivement de l’urne. Soit X la variable aléatoire égale à 1 si la première boule est blanche, à 0 sinon. Soit Y la variable aléatoire égale à 1 si la deuxième boule est blanche, à 0 sinon. En distinguant le cas avec remise et sans remise déterminer la loi conjointe du couple du couple (X; Y) et ses lois marginales. Solution : 1 si la 1ere boule est blanche. 1- Cas sans remise : on a : X   0 si non . eme  1 si la 2 boule est blanche. et Y     90 0 si non .

Si on représente cette situation par un arbre On obtient : Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

26 37

Total

p11

p12

p1.

p21

p22

p2 .

Total

p.1

p.2

X 46

et 36

tel que :

p11  P ( X ;Y )  (0;0)  P X  0 Y  0  P  X  0 P Y  0 X  0

4 3 2  p11    7 6 7

p12  P ( X ;Y )  (0;1)  P X  0 Y  1  P  X  0 P Y  1 X  0

4 3 2  p12    7 6 7

p21  P ( X ;Y )  (1;0)  P X  1 Y  0 3 4 2  p     p21  P  X  1  P Y  0 X  1 21 7 6 7 p22  P ( X ;Y )  (1;1)  P X  1 Y  1  P  X  1 P Y  1 X  1





Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

3 2 1  p21    7 6 7 Et on aura le tableau de la loi conjointe

du couple (X; Y) :

0 1 Total

Total

2 7 2 7 4 7

2 7 1 7 3 7

4 7 3 7

 Les lois marginales de X et de Y sont : X

4 7

3 7

4 7

3 7

2- Cas aves remise : on aura le tableau de la loi conjointe du couple (X; Y) : Y 0 Total p11  P ( X ;Y )  (0;0)  P X  0 Y  0 1 X 16 4 4 16 12 4  p11    0 49 49 7 49 7 7 3 12 9 1 p12  P ( X ;Y )  (0;1)  P X  0 Y  1 7 49 49 Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

Total

4 7

3 7

4 3 12  p12    49 7 7 3 4 12 p21  P ( X ;Y )  (1;0)  P X  1 Y  0  p21    7 7 49 3 3 9 p22  P ( X ;Y )  (1;1)  P X  1 Y  1  p21    7 7 49  Les lois marginales de X et de Y sont : X

4 7

3 7

4 7

3 7

Remarque : 1- On constate que les lois marginales sont identiques dans les deux cas, alors que les lois conjointes sont différentes.

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

2- La donnée des seules lois marginales ne suffit pas pour obtenir la loi conjointe.

3.2- Lois conditionnelles : Définition 1: Soit (X; Y) un couple de variable aléatoires sur Ω.

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

1- Pour yj Y , on appelle loi conditionnelle de X sachant Y = yj l’application :

PY  y j : X ( )  0,1 telle que :





pij



pij



P X  x i ;Y  y j



P X  xi ;Y  y j

PY  y j  X  xi   P X  xi Y  y j 



P Y  yj



p. j 2- Pour xi  X , on appelle loi conditionnelle de Y sachant X = xi l’application :

PX  xi : Y ()  0,1 telle que :







PX  xi Y  y j  P Y  y j X  xi 



P  X  xi  pi . Remarque 1 : Ces deux lois peuvent être présentées dans un 95 tableau comme suit :

Loi conditionnelle de X sachant Y = yj

X Y = yj

PY  y j

p1 j

p2 j

p. j

…

xn pnj

…

Loi conditionnelle de Y sachant X

Y  X = xi

p. j

PX  xi

pi 1

pi 2

pi .

… …

= xi Yk pi n pi .

Remarque 2 : Ces applications sont bien des probabilités. En effet, par exemple, n n p 1 1 n ij  p. j  1 P X  xi Y  y j    pij    p. j p. j i 1 i 1 i 1 p. j Exemple 2 : On reprend le même exemple 1 pages 92 à 95 , ou on





a trouvé la loi conjointe du couple (X; Y) dans le cas avec remise : Y 0 Total 1 X 0 1 Total

16 49 12 49 4 7

12 49 9 49 3 7

4 7 3 7

Ce qui donne : 1- La loi conditionnelle de X sachant Y = 0 (X Y=0) dans le Cas avec remise est : Loi conditionnelle de X sachant Y =

X Y=0

PY= 0

4 7

3 7

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

p11 16 49 4 p21 12 49 3     et car p 47 7 p. 1 47 7 .1

2- La loi conditionnelle de X sachant Y = 1 (X Y=1) dans le Cas avec remise est : Loi conditionnelle de X sachant Y =

X Y=1

PY= 1

4 7

3 7

p12 12 49 4 car   et p. 2 37 7

p22 9 49 3   p. 2 3 7 7

Ce qui donne : 3- La loi conditionnelle de Y sachant X = 0 (Y X=0) dans le Cas avec remise est :

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

Loi conditionnelle de X sachant X = 0

Y  X=0

PX = 0

4 7

3 7

car p11  16 49  4 et p1 47 7

p12 12 49 3   p1 47 7

4- La loi conditionnelle de Y sachant X = 1 (Y X=1) dans le Cas avec remise est : Loi conditionnelle de X sachant X

Y  X=1

PX = 1

4 7

3 7

car p21  12 49  4 et p2  37 7

p22 9 49 3   p2  3 7 7 98

Remarque 2 : Pour le cas sans remise on a : Loi conditionnelle de X sachant Y = 0

X Y= 0

PY=0

0 1 2

Loi conditionnelle de X sachant Y = 1

X Y= 1

1 3

PY= 1

2 3

1 3

Loi conditionnelle de Y sachant X= 0

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

Loi conditionnelle de Y sachant X = 1

Y X= 0

Y X= 1

PX= 0

1 2

PX=1

2 3

1 3

3.3- Indépendance : Définition : Soient X, Y deux variables aléatoires réelles définies sur un univers Ω. X et Y sont indépendantes si et seulement si : i , j : P X  xi ;Y  y j  P  X  xi  P Y  y j









C’est-à-dire : i , j : pij  pi .  p. j Exemple 3: On reprend toujours le même exemple 1 pages 92 à 95, ou on a trouvé la loi conjointe du couple (X; Y) dans les deux cas : 99

1- cas sans remise

X 0

1 Total

2- cas avec remise

Total

2 7 2 7 4 7

2 7 1 7 3 7

4 7 3 7

X et

0 1 Total

0 16 49

12 49 12 9 49 49 4 3 7 7

Total

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

4 7 3 7

1- Pour le cas sans remise les deux variables X et Y ne sont pas indépendantes car : 2 4 4 16 p11   p1.  p.1    7 7 7 49 2- Pour le cas avec remise les deux variables X et Y sont indépendantes car ; i , j : pij  pi .  p. j . En effet : 4 3 12 4 4 16 ; p12  p1.  p.2    p11  p1.  p.1    7 7 49 7 7 49 3 4 12 3 3 9 p21  p2.  p.1    ; p22  p2.  p.2    100 7 7 49 7 7 49

3.4 - Covariance et coefficient de corrélation de deux V.A réelles discrètes :

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

.3.4.1 - Propriétés de l’éspérance mathématique : Si X, Y deux variables aléatoires réelles discrètes,  

R alors :

1- E(X + Y) = E(X ) + E(Y) . 2- E( X ) =  E(X ). 3- Si X

 Y  E(X )  E(Y) .

4- Propriété de la V.A produit X.Y : Si X, Y deux variables aléatoires réelles discrètes, alors la variable aléatoire X.Y admet une espérance mathématique n k donnée par : E  X .Y    xi y j pij   xi y j pij telle que ;



i, j

i 1 j 1

 



i  I , j  J : pij  P X  xi ;Y  y j  P X  xi  Y  y j

 103

Remarque 3 : En général E  X .Y   E  X . E Y  3.4.2 - Covariance de deux v.a.r discrètes :

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

Soient X, Y deux variables aléatoires réelles définies sur

univers Ω. On appelle covariance de X et Y, et l’on note

Cov(X, Y), le réel :

Cov ( X , Y )  E X  E  X .Y  E Y  3.4.3 - Covariance sous formule dévelopée :

Proposition : 1- La covariance de X et Y peut être calculer par :

Cov ( X , Y )  E  X .Y   E  X . E Y 

2- La covariance de X et Y vérifie :

V  X  Y   V  X   V Y   2Cov ( X , Y )

102

Exemple 4: On reprend le même exemple 1 pages 90 à 94 . On avait pour le cas sans remise :

X 0 1

Total

2 7 2 7 4 7

2 7 1 7 3 7

4 7 3 7

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

Donc E ( X )  P ( X  x1 ). x1  P ( X  x2 ). x2 et E (Y )  P (Y  y1 ). y1  P (Y  y2 ). y2  E ( X )  p1. . x1  p2. . x2  E (Y )  p.1 . y1  p.2 . y2  E ( X )  4 .0  3 .1  E (Y )  4 .0  3 .1 7 7 7 7 3 3  E( X )   E (Y )  7 7 n k D’autre part : E  X .Y    xi y j pij   xi y j pij i, j

i 1 j 1

103

 E  X .Y   x1 y1 p11  x1 y2 p12  x2 y1 p21  x2 y2 p22

1 2 2 2 1  E  X .Y   0.0  0.1  1.0  1.1  E  X .Y   7 7 7 7 7

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

 Cov ( X , Y )  E  X .Y   E  X . E Y  2 1 3 3  Cov ( X , Y )   .  Cov ( X , Y )   49 7 7 7

104

Remarque 4 : Afin d’avoir une rapidité de calcul , il est conseillé d’utiliser le calcul sur des tableaux, en effet : Y 0 1 Total X 0 1 Y 0 1 X 0 1 Total

2 7 2 7 4 7

2 7 1 7 3 7

4 7 3 7

 P( X = xi ) xi .P( X = xi )

4 3 Total 7 7

3 3 E( X )  7 7

P( Y = yi ) yj .P( Y = yj )

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

4 3 Total 7 7

3 3 E (Y )  7 7

Donc, le tableau des valeurs xi .yj .pij est : 1  E  X .Y   Y 0 Total 7 1 X  Cov ( X , Y )  E  X .Y   E  X . E Y  0 0 0 0 1 1 3 3 1 0 1  Cov ( X , Y )   . 7 7 7 7 7 1 Total E ( X .Y )  7

2  Cov ( X , Y )   49

105

Dans le même exemple si on calcul les variances :

V(X+Y), V(X), V(Y) .

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

on trouve : V ( X )  p1. . x1 2  p2. . x2 2  E ( X )2 et

V (Y )  p1. . y1  p.2 . y2  E (Y )2 2

4 2 3 2  3  V ( X )  .0  .1    7 7 7

Et en fin :

4 2 3 2  3  V (Y )  .0  .1    7 7 7

12 12 V(X)   V (Y )  7 7

V  X  Y   V  X   V Y   2Cov ( X , Y ) 12 12 2   V X  Y     2    7 7  49  164 V X  Y   49

106

3.4.4 - Propriétés de la covariance : Soient X, X’ et Y des variables aléatoires réelles définies sur un univers Ω, a, b alors on a :

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

P.1) Cov ( aX  bX ' , Y )  a .Cov ( X , Y )  b.Cov ( X ' , Y )

P.2) Cov ( X , Y )  Cov (Y , X ) P.3) Cov ( X , X )  V ( X )  0 P.4) Cov ( X , X ) 

E ( X 2 )  E ( X )2  V ( X )  0

P.5) L’inégalité de Cauchy Schwartz :

Cov ( X , Y )   ( X ). (Y ) 3.4.5 - Le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y : Le coefficient de corrélation linéaire de X et Y est : Cov ( X , Y ) Cov ( X , Y ) rX ,Y    ( X ) (Y ) V ( X )V (Y )

107

Remarque 5 : 1- Le coefficient de corrélation linéaire est compris entre -1 et 1, c’est-à-dire :  1  rX ,Y  1

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

2- Si  rX,Y =1 on dit que Y est une fonction affine de X (linéarité

entre X et Y )

Proposition : Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes, alors : 1- E  X .Y   E  X . E Y  c’est-à-dire : Cov ( X , Y )  0. 2- V  X  Y   V  X   V Y . Remarque 6 :

La réciproque est fausse, c’est dire il se peut que Cov(X,Y)=0 sans que les deux variables (Voir exercice 3 fiche TD 3).

aléatoires

soient

indépendantes 108

Exercice : La loi du couple (X , Y) est donnée par : Y 1 2 3 X 0 1 2

1 20 7 60

1 4 1 10

1 12

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

1 15

1 8

1 12

1 8

1- Vérifier qu’on a bien défini une loi de probabilité d’un couple puis déterminer les lois marginales. 2- X et Y sont-elles indépendantes ? 3- Calculer E(X), E(Y ) et E(X.Y ). Solution : 1- La loi du couple (X , Y) est bien définie si et seulement si : i 3 j 4

 p i 1

j 1

1 109

En effet :

1 20

7 60

1 4 1 10

Total

1 6

Total

1 15

1 8

1 12

11 30 17 40

1 12

1 8

5 24

13 30

1 8

33 120

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

i 3 j 4

 p i 1 j 1

 1

Ou plutôt : i  3 j 4

1 1 1 7 1 1 1 1 1 pij    0      0  0  20 4 15 60 10 8 12 12 8 i 1 j  1 i  3 j 4 6  30  0  8  14  12  15  10  0  10  0  15   pij  120 i 1 j  1 i  3 j 4

  pij  i 1 j 1

120 1 120

Donc on a bien défini une loi de probabilité du couple (X , Y). Et Les lois marginales des variables aléatoires X et Y sont :

110

 La lois marginale de la variable aléatoires X :

Total

P( X = xi )

11 30

17 40

5 24

Equipe de probabilités Coordinateur : Mr Medjati

 La lois marginale de la variable aléatoires Y :

Total

P( Y = yj )

1 6

13 30

1 8

33 120

2- X et Y sont-elles indépendantes ?

X et Y sont indépendantes si et seulement si :









i , j : P X  xi ;Y  y j  P  X  xi  P Y  y j C’est-à-dire : i , j : pij  pi .  p. j On a : 11 1 1  p1.  p.1  P  X  xi  P Y  y j   p11  P  X  0;Y  1  30 6 20 Donc les variables aléatoires X et Y ne sont indépendantes : 111





3- Calcul de E(X), E(Y ) et E(X.Y ). X Y 0 1 2 Total P( X = xi ) xi .P( X = xi )

11 30

17 40

5 24

17 40

10 24

101 120

P( Y = yj )

1 6

13 30

yj .P( Y = yj )

1 6

13 15

1 8 3 8

33 120 33 30

Total 1 301 120

4 101 301  E Y    y j p. j   2,51  E  X    xi pi .   0,84 120 120 j 1 i 1 Et le tableau des valeurs xi .yj .pij est : Y 1 Total Y 1 Total 2 3 4 2 3 4 X X

0 1 2 Total

1 20 7 60

1 4 1 10 1 12 1 13 6 30

1 15 1 12 1 8

0 1 8

33 120

1 8

11 30 17 40 5 24



7 60

1 5

3 8

1 3

123 120

1 3

4 3

 E  X .Y    xi y j pij   i, j

i 1 j  1

163  1,358 xi y j pij  120

163 120

112